Në fazën e përgatitjes për testin përfundimtar, nxënësit e shkollave të mesme duhet të përmirësojnë njohuritë e tyre në temën "Ekuacionet eksponenciale". Përvoja e viteve të kaluara tregon se detyra të tilla shkaktojnë vështirësi të caktuara për nxënësit e shkollës. Prandaj, nxënësit e shkollave të mesme, pavarësisht nga niveli i tyre i përgatitjes, duhet të zotërojnë plotësisht teorinë, të mbajnë mend formulat dhe të kuptojnë parimin e zgjidhjes së ekuacioneve të tilla. Pasi kanë mësuar të përballen me këtë lloj detyre, të diplomuarit do të jenë në gjendje të mbështeten rezultate të larta kur kalon Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.
Bëhuni gati për testimin e provimeve me Shkolkovo!
Kur shqyrtojnë materialet që kanë trajtuar, shumë studentë përballen me problemin e gjetjes së formulave të nevojshme për zgjidhjen e ekuacioneve. Teksti shkollor nuk është gjithmonë në dorë, dhe përzgjedhja informacionin e nevojshëm për temën në internet kërkon shumë kohë.
Portali arsimor Shkolkovo fton studentët të përdorin bazën tonë të njohurive. Ne zbatojmë plotësisht metodë e re përgatitjen për testin përfundimtar. Duke studiuar në faqen tonë të internetit, do të jeni në gjendje të identifikoni boshllëqet në njohuri dhe t'i kushtoni vëmendje atyre detyrave që shkaktojnë më shumë vështirësi.
Mësuesit e Shkollkovës mblodhën, sistemuan dhe prezantuan gjithçka që ishte e nevojshme përfundim me sukses Materiali i Provimit të Unifikuar të Shtetit në formën më të thjeshtë dhe më të arritshme.
Përkufizimet dhe formulat bazë janë paraqitur në seksionin "Sfondi teorik".
Për të kuptuar më mirë materialin, ju rekomandojmë që të praktikoni përfundimin e detyrave. Shqyrtoni me kujdes shembujt e ekuacioneve eksponenciale me zgjidhje të paraqitura në këtë faqe për të kuptuar algoritmin e llogaritjes. Pas kësaj, vazhdoni të kryeni detyrat në seksionin "Direktoritë". Mund të filloni me detyrat më të lehta ose të shkoni direkt në zgjidhjen e ekuacioneve komplekse eksponenciale me disa të panjohura ose . Baza e të dhënave të ushtrimeve në faqen tonë të internetit plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.
Ata shembuj me tregues që ju shkaktuan vështirësi mund të shtohen te "Të preferuarat". Në këtë mënyrë ju mund t'i gjeni shpejt ato dhe të diskutoni zgjidhjen me mësuesin tuaj.
Për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit, studio çdo ditë në portalin Shkolkovo!
Ekuacionet eksponenciale janë ato në të cilat e panjohura gjendet në eksponent. Ekuacioni më i thjeshtë eksponencial ka formën: a x = a b, ku a> 0, a 1, x është i panjohur.
Vetitë kryesore të fuqive me të cilat transformohen ekuacionet eksponenciale: a>0, b>0.
Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, ata gjithashtu përdorin vetitë e mëposhtme funksioni eksponencial: y = a x, a > 0, a1:
Për të paraqitur një numër si fuqi, përdorni bazën identiteti logaritmik: b = , a > 0, a1, b > 0.
Probleme dhe teste me temën "Ekuacionet eksponenciale"
- Ekuacionet eksponenciale
Mësime: 4 Detyra: 21 Teste: 1
- Ekuacionet eksponenciale - Tema të rëndësishme për rishikimin e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë
Detyrat: 14
- Sistemet e ekuacioneve eksponenciale dhe logaritmike - Demonstruese dhe funksionet logaritmike klasa e 11-të
Mësime: 1 Detyra: 15 Teste: 1
- §2.1. Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale
Mësimet: 1 Detyrat: 27
- §7 Ekuacione dhe pabarazi eksponenciale dhe logaritmike - Seksioni 5. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike, klasa 10
Mësimet: 1 Detyrat: 17
Për të zgjidhur me sukses ekuacionet eksponenciale, duhet të dini vetitë themelore të fuqive, vetitë e funksionit eksponencial dhe identitetin logaritmik bazë.
Kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale, përdoren dy metoda kryesore:
- kalimi nga ekuacioni a f(x) = a g(x) në ekuacionin f(x) = g(x);
- prezantimi i linjave të reja.
Shembuj.
1. Ekuacionet e reduktuara në më të thjeshtat. Ato zgjidhen duke reduktuar të dyja anët e ekuacionit në një fuqi me të njëjtën bazë.
3 x = 9 x – 2 .
Zgjidhja:
3 x = (3 2) x – 2;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.
Përgjigje: 4.
2. Ekuacione të zgjidhura duke nxjerrë nga kllapat faktorin e përbashkët.
Zgjidhja:
3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.
Përgjigje: 3.
3. Ekuacionet e zgjidhura duke përdorur një ndryshim të ndryshores.
Zgjidhja:
2 2x + 2 x – 12 = 0
Shënojmë 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ekuacioni nuk ka zgjidhje, sepse 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
Përgjigje: regjistri 2 3.
4. Ekuacione që përmbajnë fuqi me dy baza të ndryshme (jo të reduktueshme me njëra-tjetrën).
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.
3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
× 23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.
Përgjigje: 2.
5. Ekuacione që janë homogjene në lidhje me a x dhe b x.
9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.
Zgjidhja:
3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Le të shënojmë (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.
Përgjigje: log 3/2 2; - regjistri 3/2 2.
1º. Ekuacionet eksponenciale quhen ekuacione që përmbajnë një ndryshore në një eksponent.
Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale bazohet në vetinë e fuqive: dy fuqi me të njëjtën bazë janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse eksponentët e tyre janë të barabartë.
2º. Metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale:
1) ekuacioni më i thjeshtë ka një zgjidhje;
2) një ekuacion i formës logaritmike me bazën a zvogëlohet në formë;
3) një ekuacion i formës është i barabartë me ekuacionin ;
4) ekuacioni i formës është ekuivalente me ekuacionin.
5) një ekuacion i formës zvogëlohet përmes zëvendësimit në një ekuacion, dhe më pas zgjidhet një grup ekuacionesh të thjeshta eksponenciale;
6) ekuacioni me reciproke reciproke me zëvendësim ato reduktohen në një ekuacion dhe më pas zgjidhin një grup ekuacionesh;
7) ekuacionet homogjene në lidhje me a g(x) Dhe b g(x) duke pasur parasysh se lloj
përmes zëvendësimit ato reduktohen në një ekuacion, dhe më pas zgjidhet një grup ekuacionesh.
Klasifikimi i ekuacioneve eksponenciale.
1. Ekuacionet zgjidhen duke shkuar në një bazë.
Shembulli 18. Zgjidheni ekuacionin .
Zgjidhja: Le të përfitojmë nga fakti se të gjitha bazat e fuqive janë fuqi të numrit 5: .
2. Ekuacionet e zgjidhura duke kaluar në një eksponent.
Këto ekuacione zgjidhen duke e shndërruar ekuacionin origjinal në formë , i cili reduktohet në më të thjeshtën duke përdorur vetinë e proporcionit.
Shembulli 19. Zgjidhe ekuacionin:
3. Ekuacionet zgjidhen duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat.
Nëse në një ekuacion secili eksponent ndryshon nga tjetri me një numër të caktuar, atëherë ekuacionet zgjidhen duke e vendosur eksponentin c jashtë kllapave. norma më e ulët.
Shembulli 20. Zgjidheni ekuacionin.
Zgjidhje: Le të marrim shkallën me eksponentin më të vogël nga kllapat në anën e majtë të ekuacionit:
Shembulli 21. Zgjidheni ekuacionin
Zgjidhje: Le të grupojmë veçmas në anën e majtë të ekuacionit termat që përmbajnë fuqi me bazën 4, në anën e djathtë - me bazën 3, pastaj vendosim fuqitë me eksponentin më të vogël jashtë kllapave:
4. Ekuacione që reduktohen në ekuacione kuadratike (ose kubike)..
Ekuacionet e mëposhtme reduktohen në një ekuacion kuadratik për ndryshoren e re y:
a) llojin e zëvendësimit, në këtë rast;
b) llojin e zëvendësimit dhe .
Shembulli 22. Zgjidheni ekuacionin .
Zgjidhje: Le të bëjmë një ndryshim të ndryshores dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:
.
Përgjigje: 0; 1.
5. Ekuacione që janë homogjene në lidhje me funksionet eksponenciale.
Një ekuacion i formës është ekuacioni homogjen shkallë e dytë në raport me të panjohurat një x Dhe b x. Ekuacione të tilla reduktohen duke i ndarë fillimisht të dyja anët dhe më pas duke i zëvendësuar në ekuacione kuadratike.
Shembulli 23. Zgjidheni ekuacionin.
Zgjidhje: Ndani të dyja anët e ekuacionit me:
Duke vënë , marrim një ekuacion kuadratik me rrënjë .
Tani problemi zbret në zgjidhjen e një grupi ekuacionesh . Nga ekuacioni i parë gjejmë se . Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, pasi për asnjë vlerë x.
Përgjigje: -1/2.
6. Ekuacionet racionale në lidhje me funksionet eksponenciale.
Shembulli 24. Zgjidheni ekuacionin.
Zgjidhje: Pjesëtoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 3 x dhe në vend të dy marrim një funksion eksponencial:
7. Ekuacionet e formës .
Ekuacione të tilla me një bashkësi vlerat e pranueshme(ODZ), e përcaktuar nga kushti, duke marrë logaritmin e të dy anëve të ekuacionit reduktohen në një ekuacion ekuivalent, i cili nga ana e tij është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh ose.
Shembulli 25. Zgjidh barazimin: .
.
Material didaktik.
Zgjidh ekuacionet:
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
9. ; 10.
; 11.
;
14. ; 15. ;
16. ; 17.
;
18. ; 19. ;
20. ; 21. ;
22. ; 23.
;
24. ; 25.
.
26. Gjeni prodhimin e rrënjëve të ekuacionit .
27. Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit .
Gjeni kuptimin e shprehjes:
28. , ku x 0– rrënja e ekuacionit;
29. , ku x 0 – rrënjë e tërë ekuacionet .
Zgjidhe ekuacionin:
31. ; 32. .
Përgjigjet: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5.0; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Tema nr 8.
Pabarazitë eksponenciale.
1º. Një pabarazi që përmban një ndryshore në eksponent quhet pabarazia eksponenciale.
2º. Zgjidhje pabarazitë eksponenciale lloji i bazuar në deklaratat e mëposhtme:
nëse , atëherë pabarazia është ekuivalente me ;
nëse , atëherë pabarazia është ekuivalente me .
Kur zgjidhen pabarazitë eksponenciale, përdoren të njëjtat teknika si kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale.
Shembulli 26. Zgjidh inekuacionin (Metoda e kalimit në një bazë).
Zgjidhja: Meqenëse , pastaj për kjo pabarazi mund të shkruhet si:
. Meqenëse , atëherë kjo pabarazi është e barabartë me pabarazinë
.
Duke zgjidhur pabarazinë e fundit, marrim .
Shembulli 27. Zgjidh pabarazinë: ( duke nxjerrë nga kllapa faktorin e përbashkët).
Zgjidhje: Le të nxjerrim kllapa në anën e majtë të pabarazisë, në anën e djathtë të pabarazisë dhe të ndajmë të dy anët e pabarazisë me (-2), duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në të kundërtën:
Meqenëse, atëherë kur kaloni në pabarazinë e treguesve, shenja e pabarazisë ndryshon përsëri në të kundërtën. marrim. Kështu, grupi i të gjitha zgjidhjeve për këtë pabarazi është intervali.
Shembulli 28. Zgjidhja e pabarazisë ( duke futur një ndryshore të re).
Zgjidhja: Le të . Atëherë kjo pabarazi do të marrë formën: ose
, zgjidhja e të cilit është intervali .
Nga këtu. Meqenëse funksioni rritet, atëherë .
Material didaktik.
Specifikoni grupin e zgjidhjeve të pabarazisë:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Në çfarë vlerash x A janë pikat në grafikun e funksionit nën vijën e drejtë?
7. Në çfarë vlerash x A shtrihen pikat në grafikun e funksionit të paktën deri në vijën e drejtë?
Zgjidh pabarazinë:
8. ; 9.
; 10. ;
13. Përcaktoni zgjidhjen më të madhe të numrit të plotë të pabarazisë .
14. Gjeni produktin e numrit të plotë më të madh dhe të numrit të plotë më të vogël zgjidhjet e pabarazisë .
Zgjidh pabarazinë:
15. ; 16. ; 17.
;
18. ; 19. ; 20. ;
21. ; 22.
; 23.
;
24. ; 25.
; 26.
.
Gjeni domenin e funksionit:
27. ; 28.
.
29. Gjeni grupin e vlerave të argumenteve për të cilat vlerat e secilit prej funksioneve janë më të mëdha se 3:
Dhe
.
Përgjigjet: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.
Disa prej tyre mund t'ju duken më komplekse, ndërsa të tjerët, përkundrazi, janë shumë të thjeshta. Por të gjithë kanë një veçori të përbashkët të rëndësishme: shënimi i tyre përmban funksionin eksponencial $f\left(x \right)=(a)^(x))$. Pra, le të prezantojmë përkufizimin:
Një ekuacion eksponencial është çdo ekuacion që përmban një funksion eksponencial, d.m.th. shprehja e formës $((a)^(x))$. Përveç funksionit të treguar, ekuacione të tilla mund të përmbajnë çdo ndërtim tjetër algjebrik - polinome, rrënjë, trigonometri, logaritme, etj.
OK atëherë. Ne e kemi rregulluar përkufizimin. Tani pyetja është: si të zgjidhet gjithë kjo katrahurë? Përgjigja është e thjeshtë dhe komplekse.
Le të fillojmë me lajmin e mirë: nga përvoja ime në mësimdhënien e shumë studentëve, mund të them se shumica prej tyre i gjejnë ekuacionet eksponenciale shumë më të lehta se të njëjtat logaritme, dhe aq më tepër trigonometrinë.
Por ka një lajm të keq: ndonjëherë shkrimtarët e problemeve për të gjitha llojet e teksteve dhe provimeve goditen nga "frymëzimi" dhe truri i tyre i ndezur nga droga fillon të prodhojë ekuacione aq brutale, saqë zgjidhja e tyre bëhet problematike jo vetëm për studentët - madje edhe shumë mësues. ngecni në probleme të tilla.
Megjithatë, le të mos flasim për gjëra të trishtueshme. Dhe le të kthehemi te ato tre ekuacione që u dhanë në fillim të tregimit. Le të përpiqemi të zgjidhim secilën prej tyre.
Ekuacioni i parë: $((2)^(x))=4$. Epo, në çfarë fuqie ju nevojitet për të ngritur numrin 2 për të marrë numrin 4? Ndoshta e dyta? Në fund të fundit, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - dhe morëm barazinë e saktë numerike, d.m.th. me të vërtetë $x=2$. Epo, faleminderit, Cap, por ky ekuacion ishte aq i thjeshtë sa edhe macja ime mund ta zgjidhte atë.
Le të shohim ekuacionin e mëposhtëm:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Por këtu është pak më e ndërlikuar. Shumë studentë e dinë se $((5)^(2))=25$ është tabela e shumëzimit. Disa gjithashtu dyshojnë se $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ është në thelb përkufizimi i fuqive negative (i ngjashëm me formulën $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Së fundi, vetëm disa të zgjedhur e kuptojnë se këto fakte mund të kombinohen dhe të japin rezultatin e mëposhtëm:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
Kështu tonë ekuacioni origjinal do të rishkruhet si më poshtë:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Djathtas ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Por kjo tashmë është plotësisht e zgjidhshme! Në të majtë në ekuacion ka një funksion eksponencial, në të djathtë në ekuacion ka një funksion eksponencial, nuk ka asgjë tjetër askund përveç tyre. Prandaj, ne mund të "heqim" bazat dhe të barazojmë budallallëk treguesit:
Ne kemi marrë ekuacionin linear më të thjeshtë që çdo student mund të zgjidhë në vetëm disa rreshta. Mirë, në katër rreshta:
\[\filloj(rreshtoj)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\fund (rreshtoj)\]
Nëse nuk e kuptoni se çfarë ndodhi në katër rreshtat e fundit, sigurohuni që t'i ktheheni temës "ekuacionet lineare" dhe ta përsërisni atë. Sepse pa një kuptim të qartë të kësaj teme, është shumë herët për ju të merrni ekuacione eksponenciale.
\[((9)^(x))=-3\]
Pra, si mund ta zgjidhim këtë? Mendimi i parë: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kështu që ekuacioni origjinal mund të rishkruhet si më poshtë:
\[((\majtas(((3)^(2)) \djathtas))^(x))=-3\]
Pastaj kujtojmë se kur ngremë një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:
\[((\majtas(((3)^(2)) \djathtas))^(x))=((3)^(2x))\Djathtas ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\fillim(radhis)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\fund (rreshtoj)\]
Dhe për një vendim të tillë do të marrim një dy sinqerisht të merituar. Sepse, me barazinë e një Pokemon, ne dërguam shenjën minus përpara të treve në fuqinë e kësaj treve. Por ju nuk mund ta bëni këtë. Dhe ja pse. Hidhini një sy shkallë të ndryshme trenjake:
\[\fillimi(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\fund(matricë)\]
Kur përpilova këtë tabletë, unë nuk shtrembërova asgjë: shikova fuqitë pozitive, ato negative, madje edhe ato thyesore... mirë, ku është të paktën një numër negativ këtu? Ai ka ikur! Dhe nuk mund të jetë, sepse funksioni eksponencial $y=((a)^(x))$, së pari, merr gjithmonë vetëm vlera pozitive (pavarësisht se sa shumëzohet ose pjesëtohet me dy, do të jetë përsëri një numër pozitiv), dhe së dyti, baza e një funksioni të tillë - numri $a$ - është me përkufizim një numër pozitiv!
Epo, si të zgjidhet atëherë ekuacioni $((9)^(x))=-3$? Por në asnjë mënyrë: nuk ka rrënjë. Dhe në këtë kuptim, ekuacionet eksponenciale janë shumë të ngjashme me ekuacionet kuadratike - gjithashtu mund të mos ketë rrënjë. Por nëse në ekuacionet kuadratike numri i rrënjëve përcaktohet nga diskriminuesi (diskriminues pozitiv - 2 rrënjë, negativ - pa rrënjë), atëherë në ekuacionet eksponenciale gjithçka varet nga ajo që është në të djathtë të shenjës së barabartë.
Kështu, le të formulojmë përfundimin kryesor: ekuacioni më i thjeshtë eksponencial i formës $((a)^(x))=b$ ka një rrënjë nëse dhe vetëm nëse $b>0$. Duke ditur këtë fakt të thjeshtë, mund të përcaktoni lehtësisht nëse ekuacioni që ju propozohet ka rrënjë apo jo. ato. A ia vlen ta zgjidhësh fare apo të shkruash menjëherë se nuk ka rrënjë.
Kjo njohuri do të na ndihmojë shumë herë kur duhet të vendosim më shumë detyra komplekse. Tani për tani, mjaft nga tekstet - është koha për të studiuar algoritmin bazë për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale.
Si të zgjidhim ekuacionet eksponenciale
Pra, le të formulojmë problemin. Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni eksponencial:
\[((a)^(x))=b,\katër a,b>0\]
Sipas algoritmit "naiv" që kemi përdorur më parë, është e nevojshme të përfaqësohet numri $b$ si fuqi e numrit $a$:
Përveç kësaj, nëse në vend të ndryshores $x$ ka ndonjë shprehje, do të marrim një ekuacion të ri që tashmë mund të zgjidhet. Për shembull:
\[\filloj(rreshtoj)& ((2)^(x))=8\Shigjeta djathtas ((2)^(x))=((2)^(3))\Shigjeta djathtas x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Shigjeta djathtas ((3)^(-x))=((3)^(4))\Djathtas -x=4\Djathtas x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Djathtas ((5)^(2x))=((5)^(3))\Djathtas 2x=3\Djathtas x=\frac(3)( 2). \\\fund (radhis)\]
Dhe çuditërisht, kjo skemë funksionon në rreth 90% të rasteve. Po atëherë për 10% të mbetur? 10% e mbetur janë ekuacione eksponenciale pak "skizofrenike" të formës:
\[((2)^(x))=3;\katër ((5)^(x))=15;\katër ((4)^(2x))=11\]
Epo, në çfarë fuqie ju nevojitet për të ngritur 2 për të marrë 3? E para? Por jo: $((2)^(1))=2$ nuk mjafton. E dyta? As jo: $((2)^(2))=4$ është shumë. Cilin pastaj?
Studentët e ditur ndoshta tashmë e kanë hamendësuar: në raste të tilla, kur nuk është e mundur të zgjidhet "bukur", hyn në lojë "artileria e rëndë" - logaritmet. Më lejoni t'ju kujtoj se duke përdorur logaritmet, çdo numër pozitiv mund të përfaqësohet si fuqi e çdo numri tjetër pozitiv (përveç njërit):
E mbani mend këtë formulë? Kur u tregoj studentëve të mi për logaritmet, gjithmonë paralajmëroj: kjo formulë (është gjithashtu identiteti kryesor logaritmik ose, nëse dëshironi, përkufizimi i një logaritmi) do t'ju ndjekë për një kohë shumë të gjatë dhe do t'ju "shfaqet" më së shumti. vende të papritura. Epo, ajo doli në sipërfaqe. Le të shohim ekuacionin tonë dhe këtë formulë:
\[\fillim(rreshtoj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\fund (rreshtoj) \]
Nëse supozojmë se $a=3$ është numri ynë origjinal në të djathtë, dhe $b=2$ është vetë baza e funksionit eksponencial në të cilin duam të çojmë anën e djathtë, atëherë marrim sa vijon:
\[\filloj(rreshtoj)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Djathtas shigjeta 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Shigjeta djathtas ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3)\Shigjeta djathtas x=( (\log )_(2))3. \\\fund (radhis)\]
Morëm një përgjigje paksa të çuditshme: $x=((\log )_(2))3$. Në një detyrë tjetër, shumë do të kishin dyshime me një përgjigje të tillë dhe do të fillonin të kontrollonin dyfish zgjidhjen e tyre: po sikur të kishte hyrë diku një gabim? Unë nxitoj t'ju kënaq: nuk ka asnjë gabim këtu, dhe logaritmet në rrënjët e ekuacioneve eksponenciale janë mjaft situatë tipike. Kështu që mësohu me të.
Tani le të zgjidhim dy ekuacionet e mbetura me analogji:
\[\fillim(rreshtoj)& ((5)^(x))=15\Djathtas ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Shigjeta djathtas x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Shigjeta djathtas ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Shigjeta djathtas 2x=( (\log )_(4))11\Shigjeta djathtas x=\frac(1)(2)((\log)_(4))11. \\\fund (radhis)\]
Kjo është ajo! Nga rruga, përgjigja e fundit mund të shkruhet ndryshe:
Ne prezantuam një shumëzues në argumentin e logaritmit. Por askush nuk po na ndalon të shtojmë këtë faktor në bazë:
Për më tepër, të tre opsionet janë të sakta - është e thjeshtë forma të ndryshme regjistrime të të njëjtit numër. Cilin të zgjidhni dhe të shkruani në këtë zgjidhje varet nga ju që të vendosni.
Kështu, ne kemi mësuar të zgjidhim çdo ekuacion eksponencial të formës $((a)^(x))=b$, ku numrat $a$ dhe $b$ janë rreptësisht pozitiv. Megjithatë realitet i ashpër bota jonë është e tillë detyra të thjeshta do të takohesh shumë, shumë rrallë. Më shpesh do të hasni diçka të tillë:
\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\fund (radhis)\]
Pra, si mund ta zgjidhim këtë? A mund të zgjidhet fare kjo? Dhe nëse po, si?
Mos u trembni. Të gjitha këto ekuacione mund të reduktohen shpejt dhe lehtë në formula të thjeshta të cilat i kemi shqyrtuar tashmë. Thjesht duhet të mbani mend disa truke nga kursi i algjebrës. Dhe sigurisht, nuk ka rregulla për të punuar me diploma. Unë do t'ju tregoj për të gjitha këto tani :)
Konvertimi i ekuacioneve eksponenciale
Gjëja e parë që duhet mbajtur mend: çdo ekuacion eksponencial, pavarësisht sa i ndërlikuar mund të jetë, në një mënyrë ose në një tjetër duhet të reduktohet në ekuacionet më të thjeshta - ato që kemi shqyrtuar tashmë dhe që dimë t'i zgjidhim. Me fjalë të tjera, skema për zgjidhjen e çdo ekuacioni eksponencial duket si kjo:
- Shkruani ekuacionin origjinal. Për shembull: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Bëj një mut të çuditshëm. Ose edhe ndonjë katrahurë të quajtur "konverto një ekuacion";
- Në dalje, merrni shprehjet më të thjeshta të formës $((4)^(x))=4$ ose diçka tjetër si kjo. Për më tepër, një ekuacion fillestar mund të japë disa shprehje të tilla njëherësh.
Gjithçka është e qartë me pikën e parë - edhe macja ime mund ta shkruajë ekuacionin në një copë letër. Pika e tretë gjithashtu duket të jetë pak a shumë e qartë - ne kemi zgjidhur tashmë një grup të tërë ekuacionesh të tilla më lart.
Por ç'të themi për pikën e dytë? Çfarë lloj transformimesh? Konvertoni çfarë në çfarë? Dhe si?
Epo, le ta zbulojmë. Para së gjithash, do të doja të shënoja sa vijon. Të gjitha ekuacionet eksponenciale ndahen në dy lloje:
- Ekuacioni është i përbërë nga funksione eksponenciale me të njëjtën bazë. Shembull: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formula përmban funksione eksponenciale me baza të ndryshme. Shembuj: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dhe $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.
Le të fillojmë me ekuacionet e llojit të parë - ato janë më të lehta për t'u zgjidhur. Dhe në zgjidhjen e tyre, ne do të ndihmohemi nga një teknikë e tillë si theksimi i shprehjeve të qëndrueshme.
Izolimi i një shprehjeje të qëndrueshme
Le të shohim përsëri këtë ekuacion:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Çfarë shohim? Të katër janë ngritur në shkallë të ndryshme. Por të gjitha këto gradë - shuma të thjeshta ndryshorja $x$ me numra të tjerë. Prandaj, është e nevojshme të mbani mend rregullat për të punuar me gradë:
\[\fillim(liroj)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\fund (radhis)\]
E thënë thjesht, mbledhja mund të shndërrohet në një produkt të fuqive dhe zbritja mund të shndërrohet lehtësisht në pjesëtim. Le të përpiqemi t'i zbatojmë këto formula në shkallët nga ekuacioni ynë:
\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\ fund (rreshtoj)\]
Le të rishkruajmë ekuacionin origjinal duke marrë parasysh këtë fakt, dhe më pas të mbledhim të gjithë termat në të majtë:
\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fund (radhis)\]
Katër termat e parë përmbajnë elementin $((4)^(x))$ - le ta heqim atë nga kllapa:
\[\fillim(rreshtoj)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \djathtas)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \djathtas)=-11. \\\fund (radhis)\]
Mbetet të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me thyesën $-\frac(11)(4)$, d.m.th. në thelb shumëzohet me thyesën e përmbysur - $-\frac(4)(11)$. Ne marrim:
\[\fillim(rreshtoj)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \djathtas)\cdot \left(-\frac(4)(11) \djathtas )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \djathtas); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=(4)^(1)); \\& x=1. \\\fund (radhis)\]
Kjo është ajo! Ne e kemi reduktuar ekuacionin origjinal në formën e tij më të thjeshtë dhe kemi marrë përgjigjen përfundimtare.
Në të njëjtën kohë, në procesin e zgjidhjes ne zbuluam (dhe madje e hoqëm atë nga kllapa) faktorin e përbashkët $((4)^(x))$ - kjo është një shprehje e qëndrueshme. Mund të përcaktohet si një ndryshore e re, ose thjesht mund ta shprehni me kujdes dhe të merrni përgjigjen. Në çdo rast, parimi kryesor i zgjidhjes është si më poshtë:
Gjeni në ekuacionin origjinal një shprehje të qëndrueshme që përmban një ndryshore që dallohet lehtësisht nga të gjithë funksionet eksponenciale.
Lajmi i mirë është se pothuajse çdo ekuacion eksponencial ju lejon të izoloni një shprehje kaq të qëndrueshme.
Por ka edhe një lajm të keq: shprehje të ngjashme mund të jetë mjaft e ndërlikuar dhe mund të jetë mjaft e vështirë për t'u identifikuar. Pra, le të shohim një problem tjetër:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Ndoshta dikush tani ka një pyetje: “Pasha, je të vrarë me gurë? Këtu ka baza të ndryshme - 5 dhe 0.2. Por le të provojmë ta konvertojmë fuqinë në bazën 0.2. Për shembull, le të heqim qafe thyesën dhjetore duke e reduktuar atë në një të rregullt:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(2)(10 ) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)) )\]
Siç mund ta shihni, numri 5 u shfaq akoma, megjithëse në emërues. Në të njëjtën kohë, treguesi u rishkrua si negativ. Dhe tani le të kujtojmë një nga rregullat më të rëndësishme punë me diploma:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Djathtas ((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^( -\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(5)(1) \djathtas))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Këtu, natyrisht, u gënjeva pak. Sepse për të kuptuar plotësisht formulën për të hequr qafe tregues negativ duhej të ishte shkruar kështu:
\[((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))=((\majtas(\frac(1)(a) \djathtas))^(n ))\Djathtas ((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(5)(1) \ djathtas))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
Nga ana tjetër, asgjë nuk na pengoi të punonim vetëm me thyesa:
\[((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas((5)^(-1)) \ djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((5)^(\majtas(-1 \djathtas)\cdot \majtas(-\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas) ))=((5)^(x+1))\]
Por në këtë rast, ju duhet të jeni në gjendje të ngrini një fuqi në një fuqi tjetër (më lejoni t'ju kujtoj: në këtë rast, treguesit mblidhen së bashku). Por nuk më duhej të "ktheja" fraksionet - mbase kjo do të jetë më e lehtë për disa.
Në çdo rast, ekuacioni origjinal eksponencial do të rishkruhet si:
\[\filloj(rreshtoj)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fund (radhis)\]
Pra, rezulton se ekuacioni origjinal mund të zgjidhet edhe më thjesht se ai i konsideruar më parë: këtu nuk keni nevojë as të zgjidhni një shprehje të qëndrueshme - gjithçka është zvogëluar vetvetiu. Mbetet vetëm të kujtojmë se $1=((5)^(0))$, nga e cila marrim:
\[\fillim(rreshtoj)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\fund (radhis)\]
Kjo është zgjidhja! Ne morëm përgjigjen përfundimtare: $x=-2$. Në të njëjtën kohë, unë do të doja të shënoja një teknikë që thjeshtoi shumë të gjitha llogaritjet për ne:
Në ekuacionet eksponenciale, sigurohuni që të hiqni qafe dhjetore, konvertojini në ato të rregullta. Kjo do t'ju lejojë të shihni të njëjtat baza të shkallëve dhe të thjeshtoni shumë zgjidhjen.
Le të kalojmë tani në më shumë ekuacionet komplekse, në të cilat ka baza të ndryshme që nuk janë aspak të reduktueshme me njëra-tjetrën duke përdorur shkallë.
Përdorimi i vetive të diplomave
Më lejoni t'ju kujtoj se kemi dy ekuacione veçanërisht të ashpra:
\[\fillim(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\fund (radhis)\]
Vështirësia kryesore këtu është se nuk është e qartë se çfarë duhet dhënë dhe mbi çfarë baze. Ku vendos shprehje? Ku janë të njëjtat baza? Nuk ka asnjë nga këto.
Por le të përpiqemi të shkojmë në një mënyrë tjetër. Nëse nuk ka gati baza identike, mund të provoni t'i gjeni duke faktorizuar bazat ekzistuese.
Le të fillojmë me ekuacionin e parë:
\[\fillim(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Djathtas ((21)^(3x))=((\majtas(7\cdot 3 \djathtas))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\fund (radhis)\]
Por ju mund të bëni të kundërtën - bëni numrin 21 nga numrat 7 dhe 3. Kjo është veçanërisht e lehtë për t'u bërë në të majtë, pasi treguesit e të dy shkallëve janë të njëjtë:
\[\filloj(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\majtas(7\cdot 3 \djathtas))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\fund (radhis)\]
Kjo është ajo! E morët eksponentin jashtë produktit dhe menjëherë morët një ekuacion të bukur që mund të zgjidhet në disa rreshta.
Tani le të shohim ekuacionin e dytë. Gjithçka është shumë më e ndërlikuar këtu:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\majtas(\frac(27)(10) \djathtas))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
NË në këtë rast fraksionet rezultuan të jenë të pakalueshme, por nëse diçka mund të reduktohet, sigurohuni që ta zvogëloni atë. Shpesh do të ketë arsye interesante, me të cilin tashmë mund të punoni.
Fatkeqësisht, asgjë e veçantë nuk u shfaq për ne. Por ne shohim se eksponentët në të majtë në produkt janë të kundërt:
Më lejoni t'ju kujtoj: për të hequr qafe shenjën minus në tregues, thjesht duhet të "rrokullisni" fraksionin. Epo, le të rishkruajmë ekuacionin origjinal:
\[\fillo(rreshtoj)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9 ) (100); \\& ((\majtas(100\cdot \frac(10)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\majtas(\frac(1000)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fund (radhis)\]
Në rreshtin e dytë ne thjesht kemi kryer tregues i përgjithshëm nga produkti jashtë kllapave sipas rregullit $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \djathtas))^(x)) $, dhe në këtë të fundit thjesht shumëzoi numrin 100 me një fraksion.
Tani vini re se numrat në të majtë (në bazë) dhe në të djathtë janë disi të ngjashëm. Si? Po, është e qartë: ato janë fuqi të të njëjtit numër! Ne kemi:
\[\filloj(rreshtoj)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\majtas(\frac( 10)(3) \djathtas))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\majtas(\frac(3)(10) \djathtas))^(2)). \\\fund (radhis)\]
Kështu, ekuacioni ynë do të rishkruhet si më poshtë:
\[((\majtas((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3)) \djathtas))^(x-1))=((\majtas(\frac(3 )(10)\djathtas))^(2))\]
\[((\majtas((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3)) \djathtas))^(x-1))=((\majtas(\frac(10 )(3) \djathtas))^(3\majtas(x-1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3x-3))\]
Në këtë rast, në të djathtë mund të merrni gjithashtu një diplomë me të njëjtën bazë, për të cilën mjafton thjesht të "ktheni" fraksionin:
\[((\majtas(\frac(3)(10) \djathtas))^(2))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(-2))\]
Ekuacioni ynë më në fund do të marrë formën:
\[\fillo(rreshtoj)& ((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3x-3))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac (1) (3). \\\fund (radhis)\]
Kjo është zgjidhja. Ideja e saj kryesore zbret në faktin se edhe me mbi baza të ndryshme ne po mundohemi, me grep apo me grep, t'i reduktojmë këto baza në të njëjtën gjë. Ata na ndihmojnë me këtë transformimet elementare ekuacionet dhe rregullat për punën me gradë.
Por cilat rregulla dhe kur duhet të përdoren? Si e kuptoni që në një ekuacion duhet të ndani të dyja anët me diçka, dhe në një tjetër duhet të faktorizoni bazën e funksionit eksponencial?
Përgjigja për këtë pyetje do të vijë me përvojë. Provoni dorën tuaj në ekuacione të thjeshta fillimisht dhe më pas ndërlikoni gradualisht problemet - dhe shumë shpejt aftësitë tuaja do të jenë të mjaftueshme për të zgjidhur çdo ekuacion eksponencial nga i njëjti Provim i Unifikuar i Shtetit ose ndonjë punë e pavarur/testuese.
Dhe për t'ju ndihmuar në këtë detyrë të vështirë, unë sugjeroj të shkarkoni një grup ekuacionesh nga faqja ime e internetit për ta zgjidhur vetë. Të gjitha ekuacionet kanë përgjigje, kështu që gjithmonë mund ta testoni veten.