Cili ekuacion quhet ekuacioni më i thjeshtë eksponencial. Zgjidhja e ekuacioneve të fuqisë eksponenciale, algoritme dhe shembuj

Aplikimi

Zgjidhja e çdo lloj ekuacioni online në faqe për studentët dhe nxënësit e shkollës për të konsoliduar materialin e studiuar.. Zgjidhja e ekuacioneve online. Ekuacionet online. Ka ekuacione algjebrike, parametrike, transcendentale, funksionale, diferenciale dhe lloje të tjera të ekuacioneve vlerën e saktë rrënjë, por ju lejon të shkruani zgjidhjen në formën e një formule, e cila mund të përfshijë parametra. Shprehje analitike lejojnë jo vetëm llogaritjen e rrënjëve, por edhe analizimin e ekzistencës dhe sasisë së tyre në varësi të vlerave të parametrave, gjë që shpesh është edhe më e rëndësishme për aplikim praktik, si vlera specifike rrënjët. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Zgjidhja e një ekuacioni është detyra e gjetjes së vlerave të tilla të argumenteve në të cilat arrihet kjo barazi. Aktiv vlerat e mundshme mund të imponohen argumente kushte shtesë(numër i plotë, real etj.). Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në internet menjëherë dhe me saktësi të lartë të rezultatit. Argumentet e funksioneve të specifikuara (ndonjëherë të quajtura "variabla") quhen "të panjohura" në rastin e një ekuacioni. Vlerat e të panjohurave në të cilat arrihet kjo barazi quhen zgjidhje ose rrënjë të këtij ekuacioni. Ata thonë për rrënjët që kënaqin këtë ekuacion. Të zgjidhësh një ekuacion në internet do të thotë të gjesh grupin e të gjitha zgjidhjeve (rrënjëve) të tij ose të provosh se nuk ka rrënjë. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Ekuacionet, grupet e rrënjëve të të cilave përkojnë quhen ekuivalente ose të barabarta. Ekuivalente konsiderohen gjithashtu ekuivalente që nuk kanë rrënjë. Ekuivalenca e ekuacioneve ka vetinë e simetrisë: nëse një ekuacion është ekuivalent me një tjetër, atëherë ekuacioni i dytë është i barabartë me të parin. Ekuivalenca e ekuacioneve ka vetinë e kalueshmërisë: nëse një ekuacion është i barabartë me një tjetër, dhe i dyti është i barabartë me një të tretë, atëherë ekuacioni i parë është i barabartë me të tretin. Vetia e ekuivalencës së ekuacioneve na lejon të kryejmë transformime me to, në të cilat bazohen metodat për zgjidhjen e tyre. Zgjidhja e ekuacioneve online.. Ekuacionet online. Faqja do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionin në internet. Ekuacionet për të cilat njihen zgjidhjet analitike përfshijnë ekuacione algjebrike jo më të larta se shkalla e katërt: ekuacioni linear, ekuacioni kuadratik, ekuacion kub dhe një ekuacion të shkallës së katërt. Ekuacionet algjebrike diploma më të larta në rast i përgjithshëm zgjidhje analitike nuk kanë, megjithëse disa prej tyre mund të reduktohen në ekuacione të shkallëve më të ulëta. Ekuacionet që përfshijnë funksione transcendentale quhen transcendentale. Midis tyre, për disa janë të njohura zgjidhjet analitike ekuacionet trigonometrike, që nga zero funksionet trigonometrike i njohur mirë. Në rastin e përgjithshëm, kur nuk mund të gjendet një zgjidhje analitike, përdoren metoda numerike. Metodat numerike mos jepni një zgjidhje të saktë, por vetëm ju lejoni të ngushtoni intervalin në të cilin shtrihet rrënja në një të paracaktuar vlera e vendosur. Zgjidhja e ekuacioneve në internet.. Ekuacionet në internet.. Në vend të një ekuacioni në internet, ne do të imagjinojmë se si formohet e njëjta shprehje varësia lineare dhe jo vetëm përgjatë një tangjente të drejtë, por edhe në pikën e lakimit të grafikut. Kjo metodë është e domosdoshme në çdo kohë në studimin e lëndës. Shpesh ndodh që zgjidhja e ekuacioneve t'i afrohet vlerës përfundimtare me numra të pafund dhe regjistrimet vektoriale. Është e nevojshme të kontrollohen të dhënat fillestare dhe ky është thelbi i detyrës. Përndryshe gjendje lokale konvertohet në një formulë. Përmbysja përgjatë vijës së drejtë nga funksioni i dhënë, të cilin kalkulatori i ekuacionit do ta llogarisë pa shumë vonesa në ekzekutim, kompensimi do të shërbehet nga privilegji i hapësirës. Do të flasim për suksesin e studentëve në mjedisin shkencor. Megjithatë, si të gjitha sa më sipër, do të na ndihmojë në procesin e gjetjes dhe kur të zgjidhni plotësisht ekuacionin, ruani përgjigjen që rezulton në skajet e segmentit të drejtë. Drejtëzat në hapësirë priten në një pikë dhe kjo pikë quhet e prerë nga drejtëza. Intervali në linjë tregohet siç është specifikuar më parë. Do të publikohet postimi më i lartë për studimin e matematikës. Cakto vlerën e argumentit nga parametrikisht sipërfaqe e dhënë dhe zgjidhja e ekuacionit në internet do të jetë në gjendje të përshkruajë parimet e aksesit produktiv në funksion. Shiriti Möbius, ose pafundësia siç quhet, duket si një figurë tetë. Kjo është një sipërfaqe e njëanshme, jo e dyanshme. Sipas parimit të njohur përgjithësisht për të gjithë, ne do të pranojmë objektivisht ekuacionet lineare për emërtimin bazë siç është dhe në fushën e studimit. Vetëm dy vlera të argumenteve të dhëna në mënyrë sekuenciale janë në gjendje të zbulojnë drejtimin e vektorit. Duke supozuar se një zgjidhje tjetër për ekuacionet në internet është shumë më tepër sesa thjesht zgjidhja e saj do të thotë të merrni një version të plotë të invariantit si rezultat. pa qasje e integruarËshtë e vështirë për studentët të mësojnë këtë material. Si më parë, për çdo rast të veçantë, kalkulatori ynë i përshtatshëm dhe i zgjuar i ekuacionit në internet do t'i ndihmojë të gjithë në periudha të vështira, sepse thjesht duhet të specifikoni parametrat e hyrjes dhe vetë sistemi do të llogarisë përgjigjen. Përpara se të fillojmë futjen e të dhënave, do të na duhet një mjet input, i cili mund të bëhet pa shumë vështirësi. Numri i çdo vlerësimi të përgjigjes do të çojë në një ekuacion kuadratik për përfundimet tona, por kjo nuk është aq e lehtë për t'u bërë, sepse është e lehtë të vërtetohet e kundërta. Teoria, për shkak të karakteristikave të saj, nuk mbështetet njohuri praktike. Të shohësh një kalkulator fraksioni në fazën e publikimit të përgjigjes nuk është një detyrë e lehtë në matematikë, pasi alternativa e shkrimit të një numri në një grup ndihmon në rritjen e rritjes së funksionit. Megjithatë, do të ishte e gabuar të mos flasim për mësimdhënien e studentëve, kështu që secili do të thotë aq sa duhet bërë. Ekuacioni kub i gjetur më parë me të drejtë do t'i përkasë fushës së përkufizimit dhe do të përmbajë hapësirën vlerat numerike, si dhe ndryshore simbolike. Pasi të kenë mësuar ose mësuar përmendësh teoremën, studentët tanë do ta provojnë veten vetëm me ana më e mirë, dhe ne do të jemi të lumtur për ta. Ndryshe nga kryqëzimet e shumta të fushës, ekuacionet tona online përshkruhen nga një plan lëvizjeje duke shumëzuar dy dhe tre vija të kombinuara numerike. Një grup në matematikë nuk është përcaktuar në mënyrë unike. Zgjidhja më e mirë, sipas studentëve, është regjistrimi i plotë i shprehjes. Siç u tha gjuha shkencore, abstragimi i shprehjeve simbolike nuk hyn në gjendjen e punëve, por zgjidhja e ekuacioneve jep një rezultat të paqartë në të gjitha rastet e njohura. Kohëzgjatja e mësimit të mësuesit varet nga nevojat për këtë propozim. Analiza tregoi domosdoshmërinë e të gjitha teknikave llogaritëse në shumë fusha, dhe është absolutisht e qartë se një kalkulator ekuacionesh është një mjet i domosdoshëm në duart e talentuara të një studenti. Një qasje besnike ndaj studimit të matematikës përcakton rëndësinë e pikëpamjeve nga drejtime të ndryshme. Ju dëshironi të identifikoni një nga teoremat kryesore dhe të zgjidhni ekuacionin në një mënyrë të tillë, në varësi të përgjigjes së të cilit do të ketë nevojë të mëtejshme për zbatimin e tij. Analitika në këtë fushë po fiton vrull. Le të fillojmë nga fillimi dhe të nxjerrim formulën. Duke thyer nivelin e rritjes së funksionit, vija përgjatë tangjentes në pikën e lakimit sigurisht që do të çojë në faktin se zgjidhja e ekuacionit në linjë do të jetë një nga aspektet kryesore në ndërtimin e të njëjtit grafik nga argumenti i funksionit. Një qasje amatore ka të drejtë të zbatohet nëse këtë gjendje nuk bie ndesh me përfundimet e nxënësve. Nën-detyra që paraqet analizën është sjellë në sfond. kushtet matematikore si ekuacione lineare në domenin ekzistues të përcaktimit të objektit. Kompensimi në drejtim të ortogonalitetit redukton reciprokisht avantazhin e të vetmit vlerë absolute. Zgjidhja e ekuacioneve me modul në internet jep të njëjtin numër zgjidhjesh nëse hapni kllapat fillimisht me një shenjë plus dhe më pas me një shenjë minus. Në këtë rast, do të ketë dy herë më shumë zgjidhje, dhe rezultati do të jetë më i saktë. Një kalkulator i qëndrueshëm dhe i saktë i ekuacioneve në internet është suksesi në arritjen e qëllimit të synuar në detyrën e vendosur nga mësuesi. Duket e mundur të zgjidhet metoda e duhur për shkak të dallimeve domethënëse në pikëpamjet e shkencëtarëve të mëdhenj. Ekuacioni kuadratik që rezulton përshkruan kurbën e vijave, të ashtuquajturën parabolë, dhe shenja do të përcaktojë konveksitetin e saj në sistem katror koordinatat Nga ekuacioni marrim si diskriminuesin ashtu edhe vetë rrënjët sipas teoremës së Vietës. Hapi i parë është të paraqisni shprehjen si një fraksion të duhur ose të papërshtatshëm dhe të përdorni një kalkulator të fraksionit. Në varësi të kësaj, do të formohet plani për llogaritjet tona të mëtejshme. Matematika me qasje teorike do të jetë e dobishme në çdo fazë. Rezultatin do ta paraqesim patjetër si një ekuacion kub, sepse do t'i fshehim rrënjët e tij në këtë shprehje për të thjeshtuar detyrën për një student në një universitet. Çdo metodë është e mirë nëse është e përshtatshme për analiza sipërfaqësore. Shtesë veprimet aritmetike nuk do të çojë në gabime në llogaritje. Përcakton përgjigjen me një saktësi të dhënë. Duke përdorur zgjidhjen e ekuacioneve, le ta pranojmë - gjetja e ndryshores së pavarur të një funksioni të caktuar nuk është aq e lehtë, veçanërisht gjatë periudhës së studimit të drejtëzave paralele në pafundësi. Duke pasur parasysh përjashtimin, nevoja është shumë e dukshme. Dallimi i polaritetit është i qartë. Nga përvoja e mësimdhënies në institute, mësuesi ynë mësoi mësimin kryesor në të cilin u studiuan ekuacionet online në kuptimin e plotë matematikor. Këtu flitej për përpjekje më të larta dhe aftësi të veçanta në zbatimin e teorisë. Në favor të përfundimeve tona, nuk duhet parë nga një prizëm. Deri vonë besohej se komplet i mbyllur rritet me shpejtësi mbi sipërfaqen ashtu siç është dhe zgjidhja e ekuacioneve thjesht duhet të hetohet. Në fazën e parë nuk kemi marrë parasysh gjithçka opsionet e mundshme, por kjo qasje është më e justifikuar se kurrë. Veprime të panevojshme me kllapa justifikojnë disa përparime përgjatë boshteve të ordinatave dhe të abshisave, të cilat nuk mund të anashkalohen me sy të lirë. Në kuptimin e një rritjeje proporcionale të gjerë të funksionit, ekziston një pikë e përkuljes. Edhe një herë do të vërtetojmë se si kusht i nevojshëm do të zbatohet gjatë gjithë intervalit të zvogëlimit të njërit apo tjetrit pozicion zbritës të vektorit. Në kushte hapësirë e kufizuar ne do të zgjedhim një variabël nga blloku fillestar i skriptit tonë. Një sistem i ndërtuar si bazë përgjatë tre vektorëve është përgjegjës për mungesën e momentit kryesor të forcës. Megjithatë, kalkulatori i ekuacionit gjeneroi dhe ndihmoi në gjetjen e të gjitha termave të ekuacionit të ndërtuar, si mbi sipërfaqe ashtu edhe përgjatë vijave paralele. Rreth pikënisje Le të përshkruajmë një rreth të caktuar. Kështu, ne do të fillojmë të lëvizim lart përgjatë vijave të seksionit, dhe tangjentja do të përshkruajë rrethin përgjatë gjithë gjatësisë së tij, duke rezultuar në një kurbë të quajtur involute. Meqë ra fjala, le të tregojmë pak histori për këtë kurbë. Fakti është se historikisht në matematikë nuk kishte asnjë koncept të vetë matematikës në kuptimin e saj të pastër siç është sot. Më parë, të gjithë shkencëtarët bënin një gjë shkaku i përbashkët, pra shkenca. Më vonë, disa shekuj më vonë, kur botën shkencore i mbushur me një sasi kolosale informacioni, njerëzimi ende identifikoi shumë disiplina. Ato mbeten ende të pandryshuara. E megjithatë, çdo vit, shkencëtarët në mbarë botën përpiqen të provojnë se shkenca është e pakufishme dhe ju nuk do ta zgjidhni ekuacionin nëse nuk keni njohuri për këtë fushë. shkencat natyrore. Mund të mos jetë e mundur që përfundimisht t'i jepet fund. Të mendosh për këtë është po aq e kotë sa ngrohja e ajrit jashtë. Le të gjejmë intervalin në të cilin argumenti, nëse vlera e tij është pozitive, do të përcaktojë modulin e vlerës në një drejtim në rritje të mprehtë. Reagimi do t'ju ndihmojë të gjeni të paktën tre zgjidhje, por do t'ju duhet t'i kontrolloni ato. Le të fillojmë me faktin se ne duhet të zgjidhim ekuacionin në internet duke përdorur shërbimin unik të faqes sonë të internetit. Le të prezantojmë të dyja pjesët ekuacioni i dhënë, klikoni në butonin “ZGJIDH” dhe merrni përgjigjen e saktë brenda pak sekondave. NË raste të veçanta Le të marrim një libër për matematikën dhe të kontrollojmë dy herë përgjigjen tonë, domethënë, thjesht shikoni përgjigjen dhe gjithçka do të bëhet e qartë. I njëjti projekt për një paralelipiped artificial të tepërt do të fluturojë jashtë. Ka një paralelogram me të anët paralele, dhe ai shpjegon shumë parime dhe qasje për të studiuar marrëdhënien hapësinore të procesit të akumulimit të hapësirës së zbrazët nga poshtë-lart në Ekz. pamje natyrale. Ekuacionet lineare të paqarta tregojnë varësinë e ndryshores së dëshiruar nga e përbashkëta jonë për momentin Vendimi në kohë dhe ju duhet të nxirrni dhe të sillni disi thyesë e papërshtatshme për një rast jo të parëndësishëm. Shënoni dhjetë pika në vijën e drejtë dhe vizatoni një kurbë nëpër secilën pikë në drejtimin e dhënë, me pikën konvekse lart. Pa shumë vështirësi, kalkulatori ynë i ekuacionit do ta paraqesë shprehjen në një formë të tillë që kontrolli i tij për vlefshmërinë e rregullave do të jetë i dukshëm edhe në fillim të regjistrimit. Sistemi i paraqitjeve të veçanta të stabilitetit për matematikanët vjen i pari, përveç nëse parashikohet ndryshe nga formula. Ne do t'i përgjigjemi kësaj me një prezantim të detajuar të një raporti mbi temën e gjendjes izomorfike të një sistemi plastik të trupave dhe zgjidhja e ekuacioneve në internet do të përshkruajë lëvizjen e secilës pikë materiale në këtë sistem. Në nivelin e hulumtimit të thelluar, do të jetë e nevojshme të sqarohet në detaje çështja e përmbysjeve të të paktën shtresës së poshtme të hapësirës. Sipas renditjes në rritje në seksionin e ndërprerjes së funksionit, ne do të aplikojmë metodë e përgjithshme një studiues i shkëlqyer, meqë ra fjala, bashkatdhetari ynë, dhe ne do të flasim më poshtë për sjelljen e avionit. Në fuqi karakteristika të forta funksioni i dhënë në mënyrë analitike, ne përdorim vetëm kalkulatorin e ekuacionit në internet për qëllimin e tij të synuar brenda kufijve të autoritetit që rrjedhin. Duke arsyetuar më tej, ne do ta fokusojmë rishikimin tonë në homogjenitetin e vetë ekuacionit, domethënë ana e djathtë e tij është e barabartë me zero. Le të sigurohemi edhe një herë që vendimi ynë në matematikë është i saktë. Për të shmangur marrjen e një zgjidhjeje të parëndësishme, le të bëjmë disa rregullime kushtet fillestare mbi problemin e stabilitetit të kushtëzuar të sistemit. Le të krijojmë një ekuacion kuadratik, për të cilin shkruajmë dy hyrje duke përdorur formulën e njohur dhe gjejmë rrënjë negative. Nëse një rrënjë është pesë njësi më e madhe se rrënja e dytë dhe e tretë, atëherë duke bërë ndryshime në argumenti kryesor në këtë mënyrë shtrembërojmë kushtet fillestare të nëndetyrës. Nga vetë natyra e saj, diçka e pazakontë në matematikë mund të përshkruhet gjithmonë me të qindtën më të afërt. numër pozitiv. Llogaritësi i fraksionit është disa herë më i lartë se analogët e tij në burime të ngjashme në momentin më të mirë të ngarkesës së serverit. Në sipërfaqen e vektorit të shpejtësisë që rritet përgjatë boshtit të ordinatave, ne vizatojmë shtatë vija, të përkulura në drejtime të kundërta me njëra-tjetrën. Krahasueshmëria e argumentit të funksionit të caktuar është përpara leximeve të numëruesit të bilancit të rikuperimit. Në matematikë, këtë fenomen mund ta paraqesim përmes një ekuacioni kub me koeficientë imagjinarë, si dhe në progresionin bipolar të vijave në rënie. Pikat kritike ndryshimet e temperaturës në shumë mënyra përshkruajnë procesin e dekompozimit të një kompleksi funksioni thyesor nga shumëzuesit. Nëse ju thuhet të zgjidhni një ekuacion, mos nxitoni ta bëni atë menjëherë, përfundimisht së pari vlerësoni të gjithë planin e veprimit dhe vetëm atëherë merrni qasjen e duhur. Sigurisht që do të ketë përfitime. Lehtësia e punës është e dukshme dhe e njëjta gjë vlen edhe në matematikë. Zgjidheni ekuacionin në internet. Të gjitha ekuacionet online janë lloj i caktuar një rekord numrash ose parametrash dhe një variabël që do të përcaktohet. Llogaritni këtë variabël, domethënë gjeni vlera specifike ose intervale të një grupi vlerash në të cilat do të mbahet identiteti. Kushtet fillestare dhe përfundimtare varen drejtpërdrejt. NË zgjidhje e përgjithshme Ekuacionet zakonisht përfshijnë disa variabla dhe konstante, duke vendosur të cilat do të marrim familje të tëra zgjidhjesh për një deklaratë të caktuar problemi. Në përgjithësi, kjo justifikon përpjekjet e investuara në rritjen e funksionalitetit të një kubi hapësinor me një anë të barabartë me 100 centimetra. Ju mund të aplikoni një teoremë ose lemë në çdo fazë të ndërtimit të një përgjigjeje. Faqja prodhon gradualisht një kalkulator ekuacioni nëse është e nevojshme të tregohet vlera më e vogël në çdo interval të përmbledhjes së produkteve. Në gjysmën e rasteve, një top i tillë është i zbrazët, jo në një masë më të madhe plotëson kërkesat për vendosjen e një përgjigjeje të ndërmjetme. Të paktën në boshtin e ordinatave në drejtim të reduktimit të paraqitjes së vektorit, kjo proporcion do të jetë padyshim më optimale se shprehja e mëparshme. Në orën kur funksionet lineare plot analiza e pikave, në thelb do të bashkojmë të gjitha tona numra komplekse dhe hapësira planare bipolare. Duke zëvendësuar një ndryshore në shprehjen që rezulton, ju do të zgjidhni ekuacionin hap pas hapi dhe do të jepni përgjigjen më të detajuar me saktësi të lartë. Do të ishte një formë e mirë nga ana e një studenti që të kontrollonte edhe një herë veprimet e tij në matematikë. Përqindja në raportin e fraksioneve regjistroi integritetin e rezultatit për të gjithë fusha të rëndësishme aktivitetet vektor zero. Trivialiteti konfirmohet në fund të veprimeve të përfunduara. Me një detyrë të thjeshtë, studentët mund të mos kenë ndonjë vështirësi nëse e zgjidhin ekuacionin online në kohën më të shkurtër të mundshme, por mos harrojnë të gjitha rregullat e ndryshme. Një grup nënbashkësish kryqëzohen në një rajon të shënimit konvergjent. NË raste të ndryshme produkti nuk është i faktorizuar gabimisht. Ju do të ndihmoheni për të zgjidhur ekuacionin online në seksionin tonë të parë, kushtuar bazave të teknikave matematikore për seksione të rëndësishme për studentët në universitete dhe kolegje teknike. Shembujt e përgjigjes nuk do të na mbajnë në pritje për disa ditë, pasi procesi i ndërveprimit më të mirë të analizës vektoriale me gjetje konsistente zgjidhjet u patentuan në fillim të shekullit të kaluar. Rezulton se përpjekjet për të krijuar marrëdhënie me ekipin përreth nuk kanë qenë të kota. Disa breza më vonë, shkencëtarët në mbarë botën i bënë njerëzit të besojnë se matematika është mbretëresha e shkencave. Qoftë përgjigja e majtë apo e djathta, megjithatë, termat shterues duhet të shkruhen në tre rreshta, pasi në rastin tonë patjetër do të flasim vetëm për analizën vektoriale të vetive të matricës. Ekuacionet jolineare dhe lineare, së bashku me ekuacionet bikuadratike, mori një pozicion të veçantë në librin tonë rreth praktikat më të mira duke llogaritur trajektoren e lëvizjes në hapësirën e të gjithëve pikat materiale sistem i mbyllur. Na ndihmoni të realizojmë idenë tuaj analiza lineare produkt me pika tre vektorë të njëpasnjëshëm. Në fund të çdo prodhimi, detyra bëhet më e lehtë duke zbatuar përjashtime numerike të optimizuara nëpër mbivendosjet që po kryhen. hapësira numrash. Një gjykim i ndryshëm nuk do të kundërshtojë përgjigjen e gjetur formë e lirë trekëndësh në një rreth. Këndi midis dy vektorëve përmban përqindjen e kërkuar të diferencës dhe zgjidhja e ekuacioneve në internet shpesh zbulon një rrënjë e përbashkët ekuacionet në krahasim me kushtet fillestare. Përjashtimi luan rolin e një katalizatori në të gjithë procesin e pashmangshëm të gjetjes së një zgjidhjeje pozitive në fushën e përcaktimit të një funksioni. Nëse nuk thuhet se nuk mund të përdorni kompjuterin, atëherë kalkulatori i ekuacionit në internet është i duhuri për nevojat tuaja. detyra të vështira. Thjesht duhet të futesh formatin e duhur të dhënat tuaja të kushtëzuara dhe serveri ynë do të ofrojnë një përgjigje të plotë rezultuese në kohën më të shkurtër të mundshme. Një funksion eksponencial rritet shumë më shpejt se ai linear. Talmudët dëshmojnë për këtë literaturë bibliotekare. Do të kryejë llogaritjen në në një kuptim të përgjithshëm siç do të bënte një ekuacion kuadratik i dhënë me tre koeficientë kompleksë. Parabola në pjesën e sipërme të gjysmërrafshit karakterizon lëvizjen paralele drejtvizore përgjatë boshteve të pikës. Këtu vlen të përmendet ndryshimi potencial në hapësirën e punës së trupit. Në këmbim të një rezultati jo optimal, llogaritësi ynë i fraksionit me të drejtë zë pozicionin e parë në vlerësimin matematikor të rishikimit të programeve funksionale në anën e serverit. Lehtësia e përdorimit të këtij shërbimi do të vlerësohet nga miliona përdorues të internetit. Nëse nuk dini si ta përdorni, ne do të jemi të lumtur t'ju ndihmojmë. Gjithashtu dëshirojmë të vëmë re dhe të theksojmë veçanërisht ekuacionin kub nga një sërë problemesh të shkollës fillore, kur është e nevojshme të gjejmë shpejt rrënjët e tij dhe të ndërtojmë një grafik të funksionit në një plan. Grada më të larta riprodhimi është një nga më të vështirat problemet matematikore në institut dhe ndahet për studimin e tij sasi të mjaftueshme orë. Si të gjitha ekuacionet lineare, edhe ekuacionet tona nuk bëjnë përjashtim sipas shumë rregullave objektive, hidhini një sy pika të ndryshme vizion, dhe do të jetë e thjeshtë dhe e mjaftueshme për të vendosur kushtet fillestare. Intervali i rritjes përkon me intervalin e konveksitetit të funksionit. Zgjidhja e ekuacioneve në internet. Studimi i teorisë bazohet në ekuacione në internet nga seksione të shumta mbi studimin e disiplinës kryesore. Në rastin e një qasjeje të tillë në probleme të pasigurta, është shumë e thjeshtë të paraqitet zgjidhja e ekuacioneve në një formë të paracaktuar dhe jo vetëm të nxirren përfundime, por edhe të parashikohet rezultati i një zgjidhjeje kaq pozitive. Mësoni fusha lëndore shërbimi do të na ndihmojë më së shumti traditat më të mira matematikë, pikërisht siç është zakon në Lindje. NË momentet më të mira intervali kohor, detyra të ngjashme shumëzuar me shumëzues i përbashkët dhjetë herë. Bollëku i shumëzimeve të variablave të shumtë në kalkulatorin e ekuacionit filloi të shumëzohej me cilësi dhe jo me variablat sasiorë si masa ose pesha e trupit. Për të shmangur rastet e çekuilibrit sistemi material, derivimi i një konverteri tredimensional bazuar në konvergjencën e parëndësishme të jodegjeneruar matricat matematikore. Plotësoni detyrën dhe zgjidhni ekuacionin në koordinatat e dhëna, meqenëse prodhimi është i panjohur paraprakisht, ashtu si të gjitha variablat e përfshirë në kohën pas hapësinore. Aktiv afatshkurtër shtyni shumëzuesin e përgjithshëm përtej kufijve kllapa dhe pjesëtojeni me më të madhin pjesëtues i përbashkët të dyja pjesët paraprakisht. Nga nëngrupi i mbuluar i numrave që rezulton, nxirrni në mënyrë të detajuar tridhjetë e tre pika me radhë në një periudhë të shkurtër. Në masën që në mënyrën më të mirë të mundshme Zgjidhja e një ekuacioni në internet është e mundur për çdo student Duke parë përpara, le të themi një gjë e rëndësishme, por kyçe, pa të cilën do të jetë e vështirë të jetosh në të ardhmen. Në shekullin e kaluar, shkencëtari i madh vuri re një sërë modelesh në teorinë e matematikës. Në praktikë, rezultati nuk ishte përshtypja e pritshme e ngjarjeve. Megjithatë, në parim, pikërisht kjo zgjidhje e ekuacioneve në internet ndihmon në përmirësimin e të kuptuarit dhe perceptimit qasje holistike për studimin dhe konsolidimin praktik të asaj që është mësuar material teorik mes studentëve. Është shumë më e lehtë për ta bërë këtë gjatë kohës së studimit.

Në fazën e përgatitjes për testin përfundimtar, nxënësit e shkollave të mesme duhet të përmirësojnë njohuritë e tyre në temën "Ekuacionet eksponenciale". Përvoja e viteve të kaluara tregon se detyra të tilla shkaktojnë vështirësi të caktuara për nxënësit e shkollës. Prandaj, nxënësit e shkollave të mesme, pavarësisht nga niveli i tyre i përgatitjes, duhet të zotërojnë plotësisht teorinë, të mbajnë mend formulat dhe të kuptojnë parimin e zgjidhjes së ekuacioneve të tilla. Pasi kanë mësuar të përballen me këtë lloj detyre, të diplomuarit do të jenë në gjendje të mbështeten rezultate të larta kur kalon Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Bëhuni gati për testimin e provimeve me Shkolkovo!

Kur shqyrtojnë materialet që kanë trajtuar, shumë studentë përballen me problemin e gjetjes së formulave të nevojshme për zgjidhjen e ekuacioneve. Teksti shkollor nuk është gjithmonë në dorë, dhe përzgjedhja informacionin e nevojshëm për temën në internet kërkon shumë kohë.

Portali arsimor Shkolkovo fton studentët të përdorin bazën tonë të njohurive. Ne zbatojmë plotësisht metodë e re përgatitjen për testin përfundimtar. Duke studiuar në faqen tonë të internetit, do të jeni në gjendje të identifikoni boshllëqet në njohuri dhe t'i kushtoni vëmendje atyre detyrave që shkaktojnë më shumë vështirësi.

Mësuesit e Shkollkovës mblodhën, sistemuan dhe prezantuan gjithçka që ishte e nevojshme përfundim me sukses Materiali i Provimit të Unifikuar të Shtetit në formën më të thjeshtë dhe më të arritshme.

Përkufizimet dhe formulat bazë janë paraqitur në seksionin "Sfondi teorik".

Për të kuptuar më mirë materialin, ju rekomandojmë që të praktikoni përfundimin e detyrave. Shqyrtoni me kujdes shembujt e ekuacioneve eksponenciale me zgjidhje të paraqitura në këtë faqe për të kuptuar algoritmin e llogaritjes. Pas kësaj, vazhdoni të kryeni detyrat në seksionin "Direktoritë". Mund të filloni me detyrat më të lehta ose të shkoni direkt në zgjidhjen e ekuacioneve komplekse eksponenciale me disa të panjohura ose . Baza e të dhënave të ushtrimeve në faqen tonë të internetit plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.

Ata shembuj me tregues që ju shkaktuan vështirësi mund të shtohen te "Të preferuarat". Në këtë mënyrë ju mund t'i gjeni shpejt ato dhe të diskutoni zgjidhjen me mësuesin tuaj.

Për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit, studio çdo ditë në portalin Shkolkovo!

Ekuacionet eksponenciale janë ato në të cilat e panjohura gjendet në eksponent. Ekuacioni më i thjeshtë eksponencial ka formën: a x = a b, ku a> 0, a 1, x është i panjohur.

Vetitë kryesore të fuqive me të cilat transformohen ekuacionet eksponenciale: a>0, b>0.

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, ata gjithashtu përdorin vetitë e mëposhtme funksioni eksponencial: y = a x, a > 0, a1:

Për të paraqitur një numër si fuqi, përdorni bazën identiteti logaritmik: b = , a > 0, a1, b > 0.

Probleme dhe teste me temën "Ekuacionet eksponenciale"

Ekuacionet eksponenciale
Mësime: 4 Detyra: 21 Teste: 1
Ekuacionet eksponenciale - Tema të rëndësishme për rishikimin e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë
Detyrat: 14
Sistemet e ekuacioneve eksponenciale dhe logaritmike - Demonstruese dhe funksionet logaritmike klasa e 11-të
Mësime: 1 Detyra: 15 Teste: 1
§2.1. Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale
Mësimet: 1 Detyrat: 27
§7 Ekuacione dhe pabarazi eksponenciale dhe logaritmike - Seksioni 5. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike, klasa 10
Mësimet: 1 Detyrat: 17

Për të zgjidhur me sukses ekuacionet eksponenciale, duhet të dini vetitë themelore të fuqive, vetitë e funksionit eksponencial dhe identitetin logaritmik bazë.

Kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale, përdoren dy metoda kryesore:

kalimi nga ekuacioni a f(x) = a g(x) në ekuacionin f(x) = g(x);
prezantimi i linjave të reja.

Shembuj.

1. Ekuacionet e reduktuara në më të thjeshtat. Ato zgjidhen duke reduktuar të dyja anët e ekuacionit në një fuqi me të njëjtën bazë.

3 x = 9 x – 2 .

Zgjidhja:

3 x = (3 2) x – 2;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Përgjigje: 4.

2. Ekuacione të zgjidhura duke nxjerrë nga kllapat faktorin e përbashkët.

Zgjidhja:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Përgjigje: 3.

3. Ekuacionet e zgjidhura duke përdorur një ndryshim të ndryshores.

Zgjidhja:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Shënojmë 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ekuacioni nuk ka zgjidhje, sepse 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Përgjigje: regjistri 2 3.

4. Ekuacione që përmbajnë fuqi me dy baza të ndryshme (jo të reduktueshme me njëra-tjetrën).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
× 23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Përgjigje: 2.

5. Ekuacione që janë homogjene në lidhje me a x dhe b x.

Pamje e përgjithshme: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Zgjidhja:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Le të shënojmë (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Përgjigje: log 3/2 2; - regjistri 3/2 2.

1º. Ekuacionet eksponenciale quhen ekuacione që përmbajnë një ndryshore në një eksponent.

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale bazohet në vetinë e fuqive: dy fuqi me të njëjtën bazë janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse eksponentët e tyre janë të barabartë.

2º. Metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale:

1) ekuacioni më i thjeshtë ka një zgjidhje;

2) një ekuacion i formës logaritmike me bazën a zvogëlohet në formë;

3) një ekuacion i formës është i barabartë me ekuacionin ;

4) ekuacioni i formës është ekuivalente me ekuacionin.

5) një ekuacion i formës zvogëlohet përmes zëvendësimit në një ekuacion, dhe më pas zgjidhet një grup ekuacionesh të thjeshta eksponenciale;

6) ekuacioni me reciproke reciproke me zëvendësim ato reduktohen në një ekuacion dhe më pas zgjidhin një grup ekuacionesh;

7) ekuacionet homogjene në lidhje me a g(x) Dhe b g(x) duke pasur parasysh se lloj përmes zëvendësimit ato reduktohen në një ekuacion, dhe më pas zgjidhet një grup ekuacionesh.

Klasifikimi i ekuacioneve eksponenciale.

1. Ekuacionet zgjidhen duke shkuar në një bazë.

Shembulli 18. Zgjidheni ekuacionin .

Zgjidhja: Le të përfitojmë nga fakti se të gjitha bazat e fuqive janë fuqi të numrit 5: .

2. Ekuacionet e zgjidhura duke kaluar në një eksponent.

Këto ekuacione zgjidhen duke e shndërruar ekuacionin origjinal në formë , i cili reduktohet në më të thjeshtën duke përdorur vetinë e proporcionit.

Shembulli 19. Zgjidhe ekuacionin:

3. Ekuacionet zgjidhen duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat.

Nëse në një ekuacion secili eksponent ndryshon nga tjetri me një numër të caktuar, atëherë ekuacionet zgjidhen duke e vendosur eksponentin c jashtë kllapave. norma më e ulët.

Shembulli 20. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje: Le të marrim shkallën me eksponentin më të vogël nga kllapat në anën e majtë të ekuacionit:

Shembulli 21. Zgjidheni ekuacionin

Zgjidhje: Le të grupojmë veçmas në anën e majtë të ekuacionit termat që përmbajnë fuqi me bazën 4, në anën e djathtë - me bazën 3, pastaj vendosim fuqitë me eksponentin më të vogël jashtë kllapave:

4. Ekuacione që reduktohen në ekuacione kuadratike (ose kubike)..

Ekuacionet e mëposhtme reduktohen në një ekuacion kuadratik për ndryshoren e re y:

a) llojin e zëvendësimit, në këtë rast;

b) llojin e zëvendësimit dhe .

Shembulli 22. Zgjidheni ekuacionin .

Zgjidhje: Le të bëjmë një ndryshim të ndryshores dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

Përgjigje: 0; 1.

5. Ekuacione që janë homogjene në lidhje me funksionet eksponenciale.

Një ekuacion i formës është ekuacioni homogjen shkallë e dytë në raport me të panjohurat një x Dhe b x. Ekuacione të tilla reduktohen duke i ndarë fillimisht të dyja anët dhe më pas duke i zëvendësuar në ekuacione kuadratike.

Shembulli 23. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje: Ndani të dyja anët e ekuacionit me:

Duke vënë , marrim një ekuacion kuadratik me rrënjë .

Tani problemi zbret në zgjidhjen e një grupi ekuacionesh . Nga ekuacioni i parë gjejmë se . Ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë, pasi për asnjë vlerë x.

Përgjigje: -1/2.

6. Ekuacionet racionale në lidhje me funksionet eksponenciale.

Shembulli 24. Zgjidheni ekuacionin.

Zgjidhje: Pjesëtoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 3 x dhe në vend të dy marrim një funksion eksponencial:

7. Ekuacionet e formës .

Ekuacione të tilla me një bashkësi vlerat e pranueshme(ODZ), e përcaktuar nga kushti, duke marrë logaritmin e të dy anëve të ekuacionit reduktohen në një ekuacion ekuivalent, i cili nga ana e tij është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh ose.

Shembulli 25. Zgjidh barazimin: .

Material didaktik.

Zgjidh ekuacionet:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Gjeni prodhimin e rrënjëve të ekuacionit .

27. Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit .

Gjeni kuptimin e shprehjes:

28. , ku x 0– rrënja e ekuacionit;

29. , ku x 0 – rrënjë e tërë ekuacionet .

Zgjidhe ekuacionin:

31. ; 32. .

Përgjigjet: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5.0; 6.0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11.5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27.3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Tema nr 8.

Pabarazitë eksponenciale.

1º. Një pabarazi që përmban një ndryshore në eksponent quhet pabarazia eksponenciale.

2º. Zgjidhje pabarazitë eksponenciale lloji i bazuar në deklaratat e mëposhtme:

nëse , atëherë pabarazia është ekuivalente me ;

nëse , atëherë pabarazia është ekuivalente me .

Kur zgjidhen pabarazitë eksponenciale, përdoren të njëjtat teknika si kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale.

Shembulli 26. Zgjidh inekuacionin (Metoda e kalimit në një bazë).

Zgjidhja: Meqenëse , pastaj për kjo pabarazi mund të shkruhet si: . Meqenëse , atëherë kjo pabarazi është e barabartë me pabarazinë .

Duke zgjidhur pabarazinë e fundit, marrim .

Shembulli 27. Zgjidh pabarazinë: ( duke nxjerrë nga kllapa faktorin e përbashkët).

Zgjidhje: Le të nxjerrim kllapa në anën e majtë të pabarazisë, në anën e djathtë të pabarazisë dhe të ndajmë të dy anët e pabarazisë me (-2), duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në të kundërtën:

Meqenëse, atëherë kur kaloni në pabarazinë e treguesve, shenja e pabarazisë ndryshon përsëri në të kundërtën. marrim. Kështu, grupi i të gjitha zgjidhjeve për këtë pabarazi është intervali.

Shembulli 28. Zgjidhja e pabarazisë ( duke futur një ndryshore të re).

Zgjidhja: Le të . Atëherë kjo pabarazi do të marrë formën: ose , zgjidhja e të cilit është intervali .

Nga këtu. Meqenëse funksioni rritet, atëherë .

Material didaktik.

Specifikoni grupin e zgjidhjeve të pabarazisë:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Në çfarë vlerash x A janë pikat në grafikun e funksionit nën vijën e drejtë?

7. Në çfarë vlerash x A shtrihen pikat në grafikun e funksionit të paktën deri në vijën e drejtë?

Zgjidh pabarazinë:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Përcaktoni zgjidhjen më të madhe të numrit të plotë të pabarazisë .

14. Gjeni produktin e numrit të plotë më të madh dhe të numrit të plotë më të vogël zgjidhjet e pabarazisë .

Zgjidh pabarazinë:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Gjeni domenin e funksionit:

27. ; 28. .

29. Gjeni grupin e vlerave të argumenteve për të cilat vlerat e secilit prej funksioneve janë më të mëdha se 3:

Dhe .

Përgjigjet: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0.5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

Disa prej tyre mund t'ju duken më komplekse, ndërsa të tjerët, përkundrazi, janë shumë të thjeshta. Por të gjithë kanë një veçori të përbashkët të rëndësishme: shënimi i tyre përmban funksionin eksponencial $f\left(x \right)=(a)^(x))$. Pra, le të prezantojmë përkufizimin:

Një ekuacion eksponencial është çdo ekuacion që përmban një funksion eksponencial, d.m.th. shprehja e formës $((a)^(x))$. Përveç funksionit të treguar, ekuacione të tilla mund të përmbajnë çdo ndërtim tjetër algjebrik - polinome, rrënjë, trigonometri, logaritme, etj.

OK atëherë. Ne e kemi rregulluar përkufizimin. Tani pyetja është: si të zgjidhet gjithë kjo katrahurë? Përgjigja është e thjeshtë dhe komplekse.

Le të fillojmë me lajmin e mirë: nga përvoja ime në mësimdhënien e shumë studentëve, mund të them se shumica prej tyre i gjejnë ekuacionet eksponenciale shumë më të lehta se të njëjtat logaritme, dhe aq më tepër trigonometrinë.

Por ka një lajm të keq: ndonjëherë shkrimtarët e problemeve për të gjitha llojet e teksteve dhe provimeve goditen nga "frymëzimi" dhe truri i tyre i ndezur nga droga fillon të prodhojë ekuacione aq brutale, saqë zgjidhja e tyre bëhet problematike jo vetëm për studentët - madje edhe shumë mësues. ngecni në probleme të tilla.

Megjithatë, le të mos flasim për gjëra të trishtueshme. Dhe le të kthehemi te ato tre ekuacione që u dhanë në fillim të tregimit. Le të përpiqemi të zgjidhim secilën prej tyre.

Ekuacioni i parë: $((2)^(x))=4$. Epo, në çfarë fuqie ju nevojitet për të ngritur numrin 2 për të marrë numrin 4? Ndoshta e dyta? Në fund të fundit, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - dhe morëm barazinë e saktë numerike, d.m.th. me të vërtetë $x=2$. Epo, faleminderit, Cap, por ky ekuacion ishte aq i thjeshtë sa edhe macja ime mund ta zgjidhte atë.

Le të shohim ekuacionin e mëposhtëm:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Por këtu është pak më e ndërlikuar. Shumë studentë e dinë se $((5)^(2))=25$ është tabela e shumëzimit. Disa gjithashtu dyshojnë se $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ është në thelb përkufizimi i fuqive negative (i ngjashëm me formulën $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Së fundi, vetëm disa të zgjedhur e kuptojnë se këto fakte mund të kombinohen dhe të japin rezultatin e mëposhtëm:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Kështu tonë ekuacioni origjinal do të rishkruhet si më poshtë:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Djathtas ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Por kjo tashmë është plotësisht e zgjidhshme! Në të majtë në ekuacion ka një funksion eksponencial, në të djathtë në ekuacion ka një funksion eksponencial, nuk ka asgjë tjetër askund përveç tyre. Prandaj, ne mund të "heqim" bazat dhe të barazojmë budallallëk treguesit:

Ne kemi marrë ekuacionin linear më të thjeshtë që çdo student mund të zgjidhë në vetëm disa rreshta. Mirë, në katër rreshta:

\[\filloj(rreshtoj)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\fund (rreshtoj)\]

Nëse nuk e kuptoni se çfarë ndodhi në katër rreshtat e fundit, sigurohuni që t'i ktheheni temës "ekuacionet lineare" dhe ta përsërisni atë. Sepse pa një kuptim të qartë të kësaj teme, është shumë herët për ju të merrni ekuacione eksponenciale.

\[((9)^(x))=-3\]

Pra, si mund ta zgjidhim këtë? Mendimi i parë: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, kështu që ekuacioni origjinal mund të rishkruhet si më poshtë:

\[((\majtas(((3)^(2)) \djathtas))^(x))=-3\]

Pastaj kujtojmë se kur ngremë një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

\[((\majtas(((3)^(2)) \djathtas))^(x))=((3)^(2x))\Djathtas ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\fillim(radhis)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\fund (rreshtoj)\]

Dhe për një vendim të tillë do të marrim një dy sinqerisht të merituar. Sepse, me barazinë e një Pokemon, ne dërguam shenjën minus përpara të treve në fuqinë e kësaj treve. Por ju nuk mund ta bëni këtë. Dhe ja pse. Hidhini një sy shkallë të ndryshme trenjake:

\[\fillimi(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\fund(matricë)\]

Kur përpilova këtë tabletë, unë nuk shtrembërova asgjë: shikova fuqitë pozitive, ato negative, madje edhe ato thyesore... mirë, ku është të paktën një numër negativ këtu? Ai ka ikur! Dhe nuk mund të jetë, sepse funksioni eksponencial $y=((a)^(x))$, së pari, merr gjithmonë vetëm vlera pozitive (pavarësisht se sa shumëzohet ose pjesëtohet me dy, do të jetë përsëri një numër pozitiv), dhe së dyti, baza e një funksioni të tillë - numri $a$ - është me përkufizim një numër pozitiv!

Epo, si të zgjidhet atëherë ekuacioni $((9)^(x))=-3$? Por në asnjë mënyrë: nuk ka rrënjë. Dhe në këtë kuptim, ekuacionet eksponenciale janë shumë të ngjashme me ekuacionet kuadratike - gjithashtu mund të mos ketë rrënjë. Por nëse në ekuacionet kuadratike numri i rrënjëve përcaktohet nga diskriminuesi (diskriminues pozitiv - 2 rrënjë, negativ - pa rrënjë), atëherë në ekuacionet eksponenciale gjithçka varet nga ajo që është në të djathtë të shenjës së barabartë.

Kështu, le të formulojmë përfundimin kryesor: ekuacioni më i thjeshtë eksponencial i formës $((a)^(x))=b$ ka një rrënjë nëse dhe vetëm nëse $b>0$. Duke ditur këtë fakt të thjeshtë, mund të përcaktoni lehtësisht nëse ekuacioni që ju propozohet ka rrënjë apo jo. ato. A ia vlen ta zgjidhësh fare apo të shkruash menjëherë se nuk ka rrënjë.

Kjo njohuri do të na ndihmojë shumë herë kur duhet të vendosim më shumë detyra komplekse. Tani për tani, mjaft nga tekstet - është koha për të studiuar algoritmin bazë për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale.

Si të zgjidhim ekuacionet eksponenciale

Pra, le të formulojmë problemin. Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni eksponencial:

\[((a)^(x))=b,\katër a,b>0\]

Sipas algoritmit "naiv" që kemi përdorur më parë, është e nevojshme të përfaqësohet numri $b$ si fuqi e numrit $a$:

Përveç kësaj, nëse në vend të ndryshores $x$ ka ndonjë shprehje, do të marrim një ekuacion të ri që tashmë mund të zgjidhet. Për shembull:

\[\filloj(rreshtoj)& ((2)^(x))=8\Shigjeta djathtas ((2)^(x))=((2)^(3))\Shigjeta djathtas x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Shigjeta djathtas ((3)^(-x))=((3)^(4))\Djathtas -x=4\Djathtas x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Djathtas ((5)^(2x))=((5)^(3))\Djathtas 2x=3\Djathtas x=\frac(3)( 2). \\\fund (radhis)\]

Dhe çuditërisht, kjo skemë funksionon në rreth 90% të rasteve. Po atëherë për 10% të mbetur? 10% e mbetur janë ekuacione eksponenciale pak "skizofrenike" të formës:

\[((2)^(x))=3;\katër ((5)^(x))=15;\katër ((4)^(2x))=11\]

Epo, në çfarë fuqie ju nevojitet për të ngritur 2 për të marrë 3? E para? Por jo: $((2)^(1))=2$ nuk mjafton. E dyta? As jo: $((2)^(2))=4$ është shumë. Cilin pastaj?

Studentët e ditur ndoshta tashmë e kanë hamendësuar: në raste të tilla, kur nuk është e mundur të zgjidhet "bukur", hyn në lojë "artileria e rëndë" - logaritmet. Më lejoni t'ju kujtoj se duke përdorur logaritmet, çdo numër pozitiv mund të përfaqësohet si fuqi e çdo numri tjetër pozitiv (përveç njërit):

E mbani mend këtë formulë? Kur u tregoj studentëve të mi për logaritmet, gjithmonë paralajmëroj: kjo formulë (është gjithashtu identiteti kryesor logaritmik ose, nëse dëshironi, përkufizimi i një logaritmi) do t'ju ndjekë për një kohë shumë të gjatë dhe do t'ju "shfaqet" më së shumti. vende të papritura. Epo, ajo doli në sipërfaqe. Le të shohim ekuacionin tonë dhe këtë formulë:

\[\fillim(rreshtoj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\fund (rreshtoj) \]

Nëse supozojmë se $a=3$ është numri ynë origjinal në të djathtë, dhe $b=2$ është vetë baza e funksionit eksponencial në të cilin duam të çojmë anën e djathtë, atëherë marrim sa vijon:

\[\filloj(rreshtoj)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Djathtas shigjeta 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Shigjeta djathtas ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3)\Shigjeta djathtas x=( (\log )_(2))3. \\\fund (radhis)\]

Morëm një përgjigje paksa të çuditshme: $x=((\log )_(2))3$. Në një detyrë tjetër, shumë do të kishin dyshime me një përgjigje të tillë dhe do të fillonin të kontrollonin dyfish zgjidhjen e tyre: po sikur të kishte hyrë diku një gabim? Unë nxitoj t'ju kënaq: nuk ka asnjë gabim këtu, dhe logaritmet në rrënjët e ekuacioneve eksponenciale janë mjaft situatë tipike. Kështu që mësohu me të.

Tani le të zgjidhim dy ekuacionet e mbetura me analogji:

\[\fillim(rreshtoj)& ((5)^(x))=15\Djathtas ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Shigjeta djathtas x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Shigjeta djathtas ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Shigjeta djathtas 2x=( (\log )_(4))11\Shigjeta djathtas x=\frac(1)(2)((\log)_(4))11. \\\fund (radhis)\]

Kjo është ajo! Nga rruga, përgjigja e fundit mund të shkruhet ndryshe:

Ne prezantuam një shumëzues në argumentin e logaritmit. Por askush nuk po na ndalon të shtojmë këtë faktor në bazë:

Për më tepër, të tre opsionet janë të sakta - është e thjeshtë forma të ndryshme regjistrime të të njëjtit numër. Cilin të zgjidhni dhe të shkruani në këtë zgjidhje varet nga ju që të vendosni.

Kështu, ne kemi mësuar të zgjidhim çdo ekuacion eksponencial të formës $((a)^(x))=b$, ku numrat $a$ dhe $b$ janë rreptësisht pozitiv. Megjithatë realitet i ashpër bota jonë është e tillë detyra të thjeshta do të takohesh shumë, shumë rrallë. Më shpesh do të hasni diçka të tillë:

\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\fund (radhis)\]

Pra, si mund ta zgjidhim këtë? A mund të zgjidhet fare kjo? Dhe nëse po, si?

Mos u trembni. Të gjitha këto ekuacione mund të reduktohen shpejt dhe lehtë në formula të thjeshta të cilat i kemi shqyrtuar tashmë. Thjesht duhet të mbani mend disa truke nga kursi i algjebrës. Dhe sigurisht, nuk ka rregulla për të punuar me diploma. Unë do t'ju tregoj për të gjitha këto tani :)

Konvertimi i ekuacioneve eksponenciale

Gjëja e parë që duhet mbajtur mend: çdo ekuacion eksponencial, pavarësisht sa i ndërlikuar mund të jetë, në një mënyrë ose në një tjetër duhet të reduktohet në ekuacionet më të thjeshta - ato që kemi shqyrtuar tashmë dhe që dimë t'i zgjidhim. Me fjalë të tjera, skema për zgjidhjen e çdo ekuacioni eksponencial duket si kjo:

Shkruani ekuacionin origjinal. Për shembull: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Bëj një mut të çuditshëm. Ose edhe ndonjë katrahurë të quajtur "konverto një ekuacion";
Në dalje, merrni shprehjet më të thjeshta të formës $((4)^(x))=4$ ose diçka tjetër si kjo. Për më tepër, një ekuacion fillestar mund të japë disa shprehje të tilla njëherësh.

Gjithçka është e qartë me pikën e parë - edhe macja ime mund ta shkruajë ekuacionin në një copë letër. Pika e tretë gjithashtu duket të jetë pak a shumë e qartë - ne kemi zgjidhur tashmë një grup të tërë ekuacionesh të tilla më lart.

Por ç'të themi për pikën e dytë? Çfarë lloj transformimesh? Konvertoni çfarë në çfarë? Dhe si?

Epo, le ta zbulojmë. Para së gjithash, do të doja të shënoja sa vijon. Të gjitha ekuacionet eksponenciale ndahen në dy lloje:

Ekuacioni është i përbërë nga funksione eksponenciale me të njëjtën bazë. Shembull: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Formula përmban funksione eksponenciale me baza të ndryshme. Shembuj: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dhe $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Le të fillojmë me ekuacionet e llojit të parë - ato janë më të lehta për t'u zgjidhur. Dhe në zgjidhjen e tyre, ne do të ndihmohemi nga një teknikë e tillë si theksimi i shprehjeve të qëndrueshme.

Izolimi i një shprehjeje të qëndrueshme

Le të shohim përsëri këtë ekuacion:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Çfarë shohim? Të katër janë ngritur në shkallë të ndryshme. Por të gjitha këto gradë - shuma të thjeshta ndryshorja $x$ me numra të tjerë. Prandaj, është e nevojshme të mbani mend rregullat për të punuar me gradë:

\[\fillim(liroj)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\fund (radhis)\]

E thënë thjesht, mbledhja mund të shndërrohet në një produkt të fuqive dhe zbritja mund të shndërrohet lehtësisht në pjesëtim. Le të përpiqemi t'i zbatojmë këto formula në shkallët nga ekuacioni ynë:

\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\ fund (rreshtoj)\]

Le të rishkruajmë ekuacionin origjinal duke marrë parasysh këtë fakt, dhe më pas të mbledhim të gjithë termat në të majtë:

\[\filloj(rreshtoj)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fund (radhis)\]

Katër termat e parë përmbajnë elementin $((4)^(x))$ - le ta heqim atë nga kllapa:

\[\fillim(rreshtoj)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \djathtas)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \djathtas)=-11. \\\fund (radhis)\]

Mbetet të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me thyesën $-\frac(11)(4)$, d.m.th. në thelb shumëzohet me thyesën e përmbysur - $-\frac(4)(11)$. Ne marrim:

\[\fillim(rreshtoj)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \djathtas)\cdot \left(-\frac(4)(11) \djathtas )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \djathtas); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=(4)^(1)); \\& x=1. \\\fund (radhis)\]

Kjo është ajo! Ne e kemi reduktuar ekuacionin origjinal në formën e tij më të thjeshtë dhe kemi marrë përgjigjen përfundimtare.

Në të njëjtën kohë, në procesin e zgjidhjes ne zbuluam (dhe madje e hoqëm atë nga kllapa) faktorin e përbashkët $((4)^(x))$ - kjo është një shprehje e qëndrueshme. Mund të përcaktohet si një ndryshore e re, ose thjesht mund ta shprehni me kujdes dhe të merrni përgjigjen. Në çdo rast, parimi kryesor i zgjidhjes është si më poshtë:

Gjeni në ekuacionin origjinal një shprehje të qëndrueshme që përmban një ndryshore që dallohet lehtësisht nga të gjithë funksionet eksponenciale.

Lajmi i mirë është se pothuajse çdo ekuacion eksponencial ju lejon të izoloni një shprehje kaq të qëndrueshme.

Por ka edhe një lajm të keq: shprehje të ngjashme mund të jetë mjaft e ndërlikuar dhe mund të jetë mjaft e vështirë për t'u identifikuar. Pra, le të shohim një problem tjetër:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ndoshta dikush tani ka një pyetje: “Pasha, je të vrarë me gurë? Këtu ka baza të ndryshme - 5 dhe 0.2. Por le të provojmë ta konvertojmë fuqinë në bazën 0.2. Për shembull, le të heqim qafe thyesën dhjetore duke e reduktuar atë në një të rregullt:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(2)(10 ) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)) )\]

Siç mund ta shihni, numri 5 u shfaq akoma, megjithëse në emërues. Në të njëjtën kohë, treguesi u rishkrua si negativ. Dhe tani le të kujtojmë një nga rregullat më të rëndësishme punë me diploma:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Djathtas ((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^( -\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(5)(1) \djathtas))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Këtu, natyrisht, u gënjeva pak. Sepse për të kuptuar plotësisht formulën për të hequr qafe tregues negativ duhej të ishte shkruar kështu:

\[((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))=((\majtas(\frac(1)(a) \djathtas))^(n ))\Djathtas ((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(5)(1) \ djathtas))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Nga ana tjetër, asgjë nuk na pengoi të punonim vetëm me thyesa:

\[((\majtas(\frac(1)(5) \djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((\majtas((5)^(-1)) \ djathtas))^(-\majtas(x+1 \djathtas)))=((5)^(\majtas(-1 \djathtas)\cdot \majtas(-\majtas(x+1 \djathtas) \djathtas) ))=((5)^(x+1))\]

Por në këtë rast, ju duhet të jeni në gjendje të ngrini një fuqi në një fuqi tjetër (më lejoni t'ju kujtoj: në këtë rast, treguesit mblidhen së bashku). Por nuk më duhej të "ktheja" fraksionet - mbase kjo do të jetë më e lehtë për disa.

Në çdo rast, ekuacioni origjinal eksponencial do të rishkruhet si:

\[\filloj(rreshtoj)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fund (radhis)\]

Pra, rezulton se ekuacioni origjinal mund të zgjidhet edhe më thjesht se ai i konsideruar më parë: këtu nuk keni nevojë as të zgjidhni një shprehje të qëndrueshme - gjithçka është zvogëluar vetvetiu. Mbetet vetëm të kujtojmë se $1=((5)^(0))$, nga e cila marrim:

\[\fillim(rreshtoj)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\fund (radhis)\]

Kjo është zgjidhja! Ne morëm përgjigjen përfundimtare: $x=-2$. Në të njëjtën kohë, unë do të doja të shënoja një teknikë që thjeshtoi shumë të gjitha llogaritjet për ne:

Në ekuacionet eksponenciale, sigurohuni që të hiqni qafe dhjetore, konvertojini në ato të rregullta. Kjo do t'ju lejojë të shihni të njëjtat baza të shkallëve dhe të thjeshtoni shumë zgjidhjen.

Le të kalojmë tani në më shumë ekuacionet komplekse, në të cilat ka baza të ndryshme që nuk janë aspak të reduktueshme me njëra-tjetrën duke përdorur shkallë.

Përdorimi i vetive të diplomave

Më lejoni t'ju kujtoj se kemi dy ekuacione veçanërisht të ashpra:

\[\fillim(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\fund (radhis)\]

Vështirësia kryesore këtu është se nuk është e qartë se çfarë duhet dhënë dhe mbi çfarë baze. Ku vendos shprehje? Ku janë të njëjtat baza? Nuk ka asnjë nga këto.

Por le të përpiqemi të shkojmë në një mënyrë tjetër. Nëse nuk ka gati baza identike, mund të provoni t'i gjeni duke faktorizuar bazat ekzistuese.

Le të fillojmë me ekuacionin e parë:

\[\fillim(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Djathtas ((21)^(3x))=((\majtas(7\cdot 3 \djathtas))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\fund (radhis)\]

Por ju mund të bëni të kundërtën - bëni numrin 21 nga numrat 7 dhe 3. Kjo është veçanërisht e lehtë për t'u bërë në të majtë, pasi treguesit e të dy shkallëve janë të njëjtë:

\[\filloj(rreshtoj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\majtas(7\cdot 3 \djathtas))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\fund (radhis)\]

Kjo është ajo! E morët eksponentin jashtë produktit dhe menjëherë morët një ekuacion të bukur që mund të zgjidhet në disa rreshta.

Tani le të shohim ekuacionin e dytë. Gjithçka është shumë më e ndërlikuar këtu:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\majtas(\frac(27)(10) \djathtas))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

NË në këtë rast fraksionet rezultuan të jenë të pakalueshme, por nëse diçka mund të reduktohet, sigurohuni që ta zvogëloni atë. Shpesh do të ketë arsye interesante, me të cilin tashmë mund të punoni.

Fatkeqësisht, asgjë e veçantë nuk u shfaq për ne. Por ne shohim se eksponentët në të majtë në produkt janë të kundërt:

Më lejoni t'ju kujtoj: për të hequr qafe shenjën minus në tregues, thjesht duhet të "rrokullisni" fraksionin. Epo, le të rishkruajmë ekuacionin origjinal:

\[\fillo(rreshtoj)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9 ) (100); \\& ((\majtas(100\cdot \frac(10)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\majtas(\frac(1000)(27) \djathtas))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fund (radhis)\]

Në rreshtin e dytë ne thjesht kemi kryer tregues i përgjithshëm nga produkti jashtë kllapave sipas rregullit $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \djathtas))^(x)) $, dhe në këtë të fundit thjesht shumëzoi numrin 100 me një fraksion.

Tani vini re se numrat në të majtë (në bazë) dhe në të djathtë janë disi të ngjashëm. Si? Po, është e qartë: ato janë fuqi të të njëjtit numër! Ne kemi:

\[\filloj(rreshtoj)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\majtas(\frac( 10)(3) \djathtas))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\majtas(\frac(3)(10) \djathtas))^(2)). \\\fund (radhis)\]

Kështu, ekuacioni ynë do të rishkruhet si më poshtë:

\[((\majtas((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3)) \djathtas))^(x-1))=((\majtas(\frac(3 )(10)\djathtas))^(2))\]

\[((\majtas((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3)) \djathtas))^(x-1))=((\majtas(\frac(10 )(3) \djathtas))^(3\majtas(x-1 \djathtas)))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3x-3))\]

Në këtë rast, në të djathtë mund të merrni gjithashtu një diplomë me të njëjtën bazë, për të cilën mjafton thjesht të "ktheni" fraksionin:

\[((\majtas(\frac(3)(10) \djathtas))^(2))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(-2))\]

Ekuacioni ynë më në fund do të marrë formën:

\[\fillo(rreshtoj)& ((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas))^(3x-3))=((\majtas(\frac(10)(3) \djathtas)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac (1) (3). \\\fund (radhis)\]

Kjo është zgjidhja. Ideja e saj kryesore zbret në faktin se edhe me mbi baza të ndryshme ne po mundohemi, me grep apo me grep, t'i reduktojmë këto baza në të njëjtën gjë. Ata na ndihmojnë me këtë transformimet elementare ekuacionet dhe rregullat për punën me gradë.

Por cilat rregulla dhe kur duhet të përdoren? Si e kuptoni që në një ekuacion duhet të ndani të dyja anët me diçka, dhe në një tjetër duhet të faktorizoni bazën e funksionit eksponencial?

Përgjigja për këtë pyetje do të vijë me përvojë. Provoni dorën tuaj në ekuacione të thjeshta fillimisht dhe më pas ndërlikoni gradualisht problemet - dhe shumë shpejt aftësitë tuaja do të jenë të mjaftueshme për të zgjidhur çdo ekuacion eksponencial nga i njëjti Provim i Unifikuar i Shtetit ose ndonjë punë e pavarur/testuese.

Dhe për t'ju ndihmuar në këtë detyrë të vështirë, unë sugjeroj të shkarkoni një grup ekuacionesh nga faqja ime e internetit për ta zgjidhur vetë. Të gjitha ekuacionet kanë përgjigje, kështu që gjithmonë mund ta testoni veten.