Shumë shpesh kur vendosni problemet gjeometrike duhet të kryeni veprime me figura ndihmëse. Për shembull, gjetja e rrezes së një rrethi të brendashkruar ose të rrethuar, etj. Ky artikull do t'ju tregojë se si të gjeni rrezen e një rrethi të rrethuar nga një trekëndësh. Ose, me fjalë të tjera, rrezja e rrethit në të cilin është brendashkruar trekëndëshi.

Si të gjeni rrezen e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi - formula e përgjithshme

Formula e përgjithshme është si më poshtë: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), ku R është rrezja e rrethit të rrethuar, p është perimetri i trekëndëshit i ndarë me 2 (gjysmë-perimetri). a, b, c - brinjët e trekëndëshit.

Gjeni rrezen rrethore të trekëndëshit nëse a = 3, b = 6, c = 7.

Kështu, bazuar në formulën e mësipërme, ne llogarisim gjysmëperimetrin:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Ne i zëvendësojmë vlerat në formulë dhe marrim:
R = 3 × 6 × 7/4√8 (8 – 3) (8 – 6) (8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Përgjigje: R = 126/16√5

Si të gjeni rrezen e një rrethi që rrethon një trekëndësh barabrinjës

Për të gjetur rrezen e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi barabrinjës, ka mjaft formulë e thjeshtë: R = a/√3, ku a është madhësia e anës së saj.

Shembull: Brinja e trekëndëshit barabrinjës është 5. Gjeni rrezen e rrethit të rrethuar.

Meqenëse të gjitha anët e një trekëndëshi barabrinjës janë të barabarta, për të zgjidhur problemin ju vetëm duhet të vendosni vlerën e tij në formulë. Marrim: R = 5/√3.

Përgjigje: R = 5/√3.

Si të gjeni rrezen e një rrethi që rrethon një trekëndësh kënddrejtë

Formula është si më poshtë: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, ku a dhe b janë këmbët dhe c është hipotenuza. Nëse shtoni katrorët e këmbëve në një trekëndësh kënddrejtë, ju merrni katrorin e hipotenuzës. Siç shihet nga formula, kjo shprehje është nën rrënjë. Duke llogaritur rrënjën e katrorit të hipotenuzës, marrim vetë gjatësinë. Shumëzimi i shprehjes që rezulton me 1/2 përfundimisht na çon në shprehjen 1/2 × c = c/2.

Shembull: Llogaritni rrezen e rrethit të rrethuar nëse këmbët e trekëndëshit janë 3 dhe 4. Zëvendësoni vlerat në formulë. Marrim: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

NË shprehje e dhënë 5 – gjatësia e hipotenuzës.

Përgjigje: R = 2,5.

Si të gjeni rrezen e një rrethi që rrethon një trekëndësh dykëndësh

Formula është si më poshtë: R = a²/√(4a² – b²), ku a është gjatësia e kofshës së trekëndëshit dhe b është gjatësia e bazës.

Shembull: Llogaritni rrezen e një rrethi nëse ija e tij = 7 dhe baza = 8.

Zgjidhja: Zëvendësoni këto vlera në formulë dhe merrni: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Përgjigja mund të shkruhet drejtpërdrejt si kjo.

Përgjigje: R = 49/√132

Burimet në internet për llogaritjen e rrezes së një rrethi

Mund të jetë shumë e lehtë të ngatërrohesh në të gjitha këto formula. Prandaj, nëse është e nevojshme, mund të përdorni kalkulatorë në internet, e cila do t'ju ndihmojë në zgjidhjen e problemeve të gjetjes së rrezes. Parimi i funksionimit të mini-programeve të tilla është shumë i thjeshtë. Zëvendësoni vlerën anësore në fushën përkatëse dhe merrni një përgjigje të gatshme. Ju mund të zgjidhni disa opsione për rrumbullakimin e përgjigjes suaj: në dhjetore, të qindta, të mijëta, etj.

Niveli i hyrjes

Rrethi i rrethuar. Udhëzues vizual (2019)

Pyetja e parë që mund të lindë është: çfarë përshkruhet - rreth çfarë?

Epo, në fakt, ndonjëherë ndodh rreth çdo gjëje, por ne do të flasim për një rreth të rrethuar rreth (nganjëherë ata thonë gjithashtu "rreth") një trekëndësh. Çfarë është kjo?

Dhe vetëm imagjinoni, ndodh një fakt i mahnitshëm:

Pse është befasues ky fakt?

Por trekëndëshat janë të ndryshëm!

Dhe për të gjithë ka një rreth që do të kalojë nëpër të tri majat, pra rrethi i rrethuar.

Dëshmi për këtë fakt mahnitës mund të gjeni në nivelet e mëposhtme të teorisë, por këtu vërejmë vetëm se nëse marrim, për shembull, një katërkëndësh, atëherë jo për të gjithë do të ketë një rreth që kalon nëpër katër kulmet. Për shembull, një paralelogram është një katërkëndësh i shkëlqyer, por nuk ka rreth që kalon nëpër të katër kulmet e tij!

Dhe ka vetëm për një drejtkëndësh:

Ja ku shkoni, dhe çdo trekëndësh ka gjithmonë rrethin e tij të rrethuar! Dhe madje është gjithmonë mjaft e lehtë të gjesh qendrën e këtij rrethi.

A e dini se çfarë është përgjysmues pingul?

Tani le të shohim se çfarë ndodh nëse marrim deri në tre përgjysmues pingul me brinjët e trekëndëshit.

Rezulton (dhe kjo është pikërisht ajo që duhet të vërtetohet, megjithëse nuk do ta bëjmë). të tre pingulët priten në një pikë. Shikoni figurën - të tre përgjysmuesit pingul kryqëzohen në një pikë.

A mendoni se qendra e rrethit të rrethuar qëndron gjithmonë brenda trekëndëshit? Imagjinoni - jo gjithmonë!

Por nëse me kënd akute, pastaj - brenda:

Çfarë duhet të bëni me një trekëndësh kënddrejtë?

Dhe me një bonus shtesë:

Meqenëse po flasim për rrezen e rrethit të rrethuar: me çfarë është e barabartë trekëndësh arbitrar? Dhe ka një përgjigje për këtë pyetje: e ashtuquajtura .

Gjegjësisht:

Dhe, sigurisht,

1. Ekzistenca dhe qendra rrethore

Këtu lind pyetja: a ekziston një rreth i tillë për çdo trekëndësh? Rezulton se po, për të gjithë. Dhe për më tepër, tani do të formulojmë një teoremë që i përgjigjet gjithashtu pyetjes se ku ndodhet qendra e rrethit të rrethuar.

Shikoni kështu:

Le të jemi të guximshëm dhe ta vërtetojmë këtë teoremë. Nëse e keni lexuar tashmë temën "" dhe keni kuptuar pse tre përgjysmues kryqëzohen në një pikë, atëherë do të jetë më e lehtë për ju, por nëse nuk e keni lexuar, mos u shqetësoni: tani do ta kuptojmë.

Ne do të kryejmë vërtetimin duke përdorur konceptin e vendndodhjes së pikave (GLP).

Epo, për shembull, është grupi i topave - " vendndodhja» objekte të rrumbullakëta? Jo, sigurisht, sepse ka shalqinj të rrumbullakët... A është një grup njerëzish, një “vend gjeometrik”, që mund të flasë? Jo, gjithashtu, sepse ka foshnja që nuk mund të flasin. Në jetë, përgjithësisht është e vështirë të gjesh një shembull të një "vendndodhja gjeometrike të pikave". Është më e lehtë në gjeometri. Këtu, për shembull, është pikërisht ajo që na nevojitet:

Këtu grupi është përgjysmues pingul dhe vetia " " është "të jetë e barabartë (një pikë) nga skajet e segmentit."

Të kontrollojmë? Pra, duhet të siguroheni për dy gjëra:

Çdo pikë që është e barabartë nga skajet e një segmenti ndodhet në përgjysmuesin pingul me të.

Le të lidhim c dhe c. Atëherë vija është mediana dhe lartësia b. Kjo do të thotë - izosceles - ne u siguruam që çdo pikë e shtrirë në përgjysmuesin pingul të jetë po aq e largët nga pikat dhe.

Le të marrim mesin dhe të lidhim dhe. Rezultati është mesatarja. Por sipas kushtit, jo vetëm mediana është barazcelular, por edhe lartësia, pra përgjysmuesja pingul. Kjo do të thotë që pika shtrihet saktësisht në përgjysmuesin pingul.

Të gjitha! Ne e kemi verifikuar plotësisht faktin që Përgjysmues pingul i një segmenti është vendndodhja e pikave të barabarta nga skajet e segmentit.

E gjithë kjo është mirë dhe mirë, por a kemi harruar rrethin e kufizuar? Aspak, ne thjesht e kemi përgatitur veten një "tropolë për sulm".

Konsideroni një trekëndësh. Le të vizatojmë dy pingule dysektoriale dhe, le të themi, në segmentet dhe. Ata do të kryqëzohen në një moment, të cilin do ta emërtojmë.

Tani, kushtojini vëmendje!

Pika qëndron në përgjysmuesin pingul;
pika shtrihet në përgjysmuesin pingul.
Dhe kjo do të thotë, dhe.

Nga kjo rrjedhin disa gjëra:

Së pari, pika duhet të shtrihet në përgjysmuesin e tretë pingul me segmentin.

Domethënë, përgjysmuesi pingul duhet të kalojë gjithashtu nëpër pikë, dhe të tre përgjysmuesit pingul kryqëzohen në një pikë.

Së dyti: nëse vizatojmë një rreth me qendër në një pikë dhe një rreze, atëherë edhe ky rreth do të kalojë edhe në pikën edhe në pikën, domethënë do të jetë një rreth. Kjo do të thotë që tashmë ekziston që kryqëzimi i tre përgjysmuesve pingul është qendra e rrethit të rrethuar për çdo trekëndësh.

Dhe gjëja e fundit: për veçantinë. Është e qartë (pothuajse) se pika mund të merret në një mënyrë unike, prandaj rrethi është unik. Epo, ne do të lëmë "pothuajse" për reflektimin tuaj. Pra, ne vërtetuam teoremën. Mund të bërtisni "Hurray!"

Po nëse problemi kërkon "gjeni rrezen e rrethit të kufizuar"? Ose, përkundrazi, rrezja është dhënë, por ju duhet të gjeni diçka tjetër? A ka ndonjë formulë që lidh rrezen e rrethit me elementët e tjerë të trekëndëshit?

Ju lutemi vini re: teorema e sinusit thotë se për të gjetur rrezen e rrethit të rrethuar, ju duhet njëra anë (ndonjë!) dhe këndi i kundërt me të. Kjo është e gjitha!

3. Qendra e rrethit - brenda ose jashtë

Tani shtrohet pyetja: a mund të jetë qendra e rrethit të rrethuar jashtë trekëndëshit?
Përgjigje: sa më shumë që të jetë e mundur. Për më tepër, kjo ndodh gjithmonë në një trekëndësh të mpirë.

Dhe në përgjithësi:

RRETH RRETHOR. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

1. Rreth i rrethuar rreth një trekëndëshi

Ky është rrethi që kalon nëpër të tre kulmet e këtij trekëndëshi.

2. Ekzistenca dhe qendra rrethore

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit, për pranim në kolegj me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 999 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për secilën temë, në të gjitha nivelet e kompleksitetit." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë duart për zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet për TË GJITHË periudhën e ekzistencës së sajtit.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Do t'ju duhet

Trekëndësh me parametra të dhënë
Kompas
Sundimtar
Sheshi
Tabela e sinuseve dhe kosinuseve
Konceptet matematikore
Përcaktimi i lartësisë së një trekëndëshi
Formulat e sinusit dhe kosinusit
Formula e sipërfaqes së trekëndëshit

Udhëzimet

Vizatoni një trekëndësh me parametrat e kërkuar. Një trekëndësh ka ose tre brinjë, ose dy brinjë dhe një kënd midis tyre, ose një anë dhe dy kënde ngjitur. Emërtoni kulmet e trekëndëshit si A, B dhe C, këndet si α, β dhe γ, dhe brinjët përballë kulmeve si a, b dhe c.

Vizatoni në të gjitha anët e trekëndëshit dhe gjeni pikën e tyre të kryqëzimit. Shënoni lartësitë si h me indekset përkatëse për anët. Gjeni pikën e kryqëzimit të tyre dhe emërtojeni atë O. Do të jetë qendra e rrethit. Kështu, rrezet e këtij rrethi do të jenë segmentet OA, OB dhe OS.

Gjeni rrezen duke përdorur dy formula. Për një, së pari duhet të llogarisni. Është e barabartë me të gjitha brinjët e trekëndëshit me sinusin e cilitdo kënd të ndarë me 2.

Në këtë rast, rrezja e rrethit të rrethuar llogaritet me formulë

Për tjetrin, gjatësia e njërës anë dhe sinusi i këndit të kundërt janë të mjaftueshme.

Llogaritni rrezen dhe përshkruani perimetrin e trekëndëshit.

Këshilla të dobishme

Mos harroni sa është lartësia e një trekëndëshi. Kjo është një pingul i tërhequr nga një kënd në anën e kundërt.

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të përfaqësohet gjithashtu si produkt i katrorit të njërës prej brinjëve dhe sinuseve të dy kënde ngjitur, pjesëtuar me dyfishin e sinusit të shumës së këtyre këndeve.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Burimet:

tabelë me rreze rrethore të rrethuara
Rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një barabrinjës

Ai konsiderohet i rrethuar rreth një shumëkëndëshi nëse prek të gjitha kulmet e tij. Ajo që bie në sy është se qendra e tillë rrethi përkon me pikën e kryqëzimit të pingulëve të tërhequr nga mesi i brinjëve të shumëkëndëshit. Rrezja përshkruar rrethi plotësisht varet nga shumëkëndëshi rreth të cilit përshkruhet.

Do t'ju duhet

Njihni brinjët e një shumëkëndëshi dhe sipërfaqen/perimetrin e tij.

Udhëzimet

Ju lutemi vini re

Rreth një shumëkëndëshi mund të vizatohet vetëm nëse ai është i rregullt, d.m.th. të gjitha brinjët e tij janë të barabarta dhe të gjitha këndet janë të barabarta.
Teza se qendra e një rrethi të rrethuar rreth një shumëkëndëshi është kryqëzimi i përgjysmuesve të tij pingul është e vlefshme për të gjithë shumëkëndëshat e rregullt.

Burimet:

Si të gjeni rrezen e një shumëkëndëshi

Nëse është e mundur të ndërtohet një rreth rrethor për një shumëkëndësh, atëherë sipërfaqja e këtij shumëkëndëshi është më pak sipërfaqe rrethi i rrethuar, por më shumë zonë rrethi i brendashkruar. Për disa poligone, dihet se formula mund të gjenden rreze rrathë të brendashkruar dhe të rrethuar.

Udhëzimet

Një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh që prek të gjitha anët e shumëkëndëshit. Për një trekëndësh rreze rrathët: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, ku p është gjysmëperimetri; a, b, c - anët e trekëndëshit. Sepse formula është thjeshtuar: r = a/(2*3^1/2), a është ana e trekëndëshit.

Një rreth i rrethuar rreth një shumëkëndëshi është një rreth mbi të cilin shtrihen të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Për një trekëndësh, rrezja gjendet me formulën: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), ku p është gjysmëperimetri; a, b, c - anët e trekëndëshit. Për atë të saktë është më e lehtë: R = a/3^1/2.

Për shumëkëndëshat, nuk është gjithmonë e mundur të zbulohet raporti i rrezeve të gdhendura dhe gjatësisë së anëve të tij. Më shpesh ato kufizohen në ndërtimin e rrathëve të tillë rreth poligonit, dhe më pas fizik rreze rrathë duke përdorur instrumente matëse ose hapësirë vektoriale.
Për të ndërtuar rrethin e një shumëkëndëshi konveks, përgjysmuesit e dy qosheve të tij janë ndërtuar në kryqëzimin e tyre, qendra e rrethit të rrethuar. Rrezja do të jetë distanca nga pika e kryqëzimit të përgjysmuesve deri në kulmin e çdo cepi të shumëkëndëshit. Qendra e të brendashkruarit në kryqëzimin e pingulëve të ndërtuar brenda shumëkëndëshit nga qendrat e brinjëve (këto pingule janë mesatare). Mjafton të ndërtohen dy pingulë të tillë. Rrezja e rrethit të brendashkruar e barabartë me distancën nga pika e prerjes së pinguleve mediane në faqen e shumëkëndëshit.

Video mbi temën

Ju lutemi vini re

B në mënyrë arbitrare shumëkëndëshi i dhënë Ju nuk mund të futni një rreth dhe të përshkruani rrethin rreth tij.

Këshilla të dobishme

Një rreth mund të futet në një katërkëndësh nëse a+c = b+d, ku a, b, c, d janë brinjët e katërkëndëshit sipas renditjes. Një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi nëse këndet e kundërta të tij shtohen deri në 180 gradë;

Për një trekëndësh, rrathë të tillë ekzistojnë gjithmonë.

Këshillë 4: Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në tre anët

Gjetja e sipërfaqes së një trekëndëshi është një nga problemet më të zakonshme planimetria e shkollës. Njohja e tre brinjëve të një trekëndëshi është e mjaftueshme për të përcaktuar sipërfaqen e çdo trekëndëshi. Në raste të veçanta dhe trekëndëshat barabrinjës mjafton të dihen përkatësisht gjatësitë e dy dhe të njërës anë.

Do t'ju duhet

gjatësitë e brinjëve të trekëndëshave, formula e Heronit, teorema e kosinusit

Udhëzimet

Formula e Heronit për sipërfaqen e një trekëndëshi është si më poshtë: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Nëse shkruajmë gjysmëperimetrin p, marrim: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)(a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Ju mund të nxirrni një formulë për sipërfaqen e një trekëndëshi nga konsideratat, për shembull, duke zbatuar teoremën e kosinusit.

Nga teorema e kosinusit, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Duke përdorur shënimet e paraqitura, këto mund të shkruhen edhe në formën: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Prandaj, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Sipërfaqja e një trekëndëshi gjendet gjithashtu me formulën S = a*c*sin(ABC)/2 duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre. Sinusi i këndit ABC mund të shprehet në terma të tij duke përdorur bazën identiteti trigonometrik: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Duke zëvendësuar sinusin në formulën për zonën dhe duke e shkruar atë jashtë, mund të arrini në formulën për zonën trekëndëshi ABC.

Video mbi temën

Tre pika që përcaktojnë në mënyrë unike një trekëndësh në Sistemi kartezian koordinatat janë kulmet e saj. Duke ditur pozicionin e tyre në lidhje me secilin prej boshteve të koordinatave, mund të llogaritni çdo parametër të kësaj figurë e sheshtë, duke përfshirë dhe kufizuar nga perimetri i tij katrore. Kjo mund të bëhet në disa mënyra.

Udhëzimet

Përdorni formulën e Heronit për të llogaritur sipërfaqen trekëndëshi. Ai përfshin dimensionet e tre anëve të figurës, kështu që filloni llogaritjet tuaja me . Gjatësia e secilës anë duhet të jetë e barabartë me rrënjën e shumës së katrorëve të gjatësive të projeksioneve të saj mbi boshtet koordinative. Nëse shënojmë koordinatat A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) dhe C(X3,Y3,Z3), gjatësitë e brinjëve të tyre mund të shprehen si më poshtë: AB = √((X1- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)²).

Për të thjeshtuar llogaritjet, futni një variabël ndihmës - gjysmëperimetër (P). Nga fakti se kjo është gjysma e shumës së gjatësive të të gjitha anëve: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Llogaritni katrore(S) duke përdorur formulën e Heronit - merrni rrënjën e produktit të gjysmëperimetrit dhe ndryshimin midis tij dhe gjatësisë së secilës anë. NË pamje e përgjithshme mund të shkruhet si më poshtë: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X1-X2)² + (Y1 -Y2 )² + (Z1-Z2)²))*(P-√((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²))*(P-√((X1- X3) ² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²)).

Për llogaritjet praktike, është e përshtatshme të përdorni kalkulatorë të specializuar. Këto janë skriptet e vendosura në serverët e disa faqeve që do të bëjnë gjithçka llogaritjet e nevojshme në bazë të koordinatave që keni futur në formularin përkatës. I vetmi shërbim i tillë është se nuk jep shpjegime dhe arsyetime për çdo hap të llogaritjeve. Prandaj, nëse jeni vetëm të interesuar rezultati përfundimtar, dhe jo llogaritjet e përgjithshme, shkoni, për shembull, në faqen http://planetcalc.ru/218/.

Në fushat e formës, vendosni secilën koordinatë të çdo kulmi trekëndëshi- ata janë këtu si Ax, Ay, Az, etj. Nëse trekëndëshi specifikohet me koordinata dydimensionale, shkruani zero në fushat Az, Bz dhe Cz. Në fushën "Saktësia e llogaritjes", vendosni numrin e kërkuar të numrave dhjetorë duke klikuar miun plus ose minus. Nuk është e nevojshme të shtypni butonin portokalli "Llogaritni" që ndodhet nën formular, llogaritjet do të bëhen pa të. Përgjigjen do ta gjeni pranë mbishkrimit “Zonë trekëndëshi" - ndodhet menjëherë poshtë butonit portokalli.

Burimet:

gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi me kulme në pika

Ndonjëherë rreth një shumëkëndëshi konveks mund ta vizatoni në atë mënyrë që kulmet e të gjitha qosheve të shtrihen mbi të. Një rreth i tillë në raport me shumëkëndëshin duhet të quhet i rrethuar. Ajo qendër nuk duhet të jetë brenda perimetrit të figurës së mbishkruar, por duke përdorur vetitë e përshkruara rrethi, gjetja e kësaj pike zakonisht nuk është shumë e vështirë.

Do t'ju duhet

Sundimtar, laps, raportor ose katror, busull.

Udhëzimet

Nëse shumëkëndëshi rreth të cilit duhet të përshkruani një rreth është vizatuar në letër, për të gjetur qendër dhe mjafton një rreth me vizore, laps dhe raportues ose katror. Matni gjatësinë e çdo ane të figurës, përcaktoni mesin e saj dhe vendosni një pikë ndihmëse në këtë vend në vizatim. Duke përdorur një katror ose raportor, vizatoni një segment brenda poligonit pingul me këtë anë derisa të kryqëzohet me anën e kundërt.

Bëni të njëjtin veprim me çdo anë tjetër të shumëkëndëshit. Kryqëzimi i dy segmenteve të ndërtuara do të jetë pika e dëshiruar. Kjo rrjedh nga vetia kryesore e përshkruar rrethi- ajo qendër V shumëkëndëshi konveks në çdo anë qëndron gjithmonë në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve të tërhequr nga këto

Vërtetimet e teoremave mbi vetitë e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi

Përgjysmues pingul me një segment të drejtëzës

Përkufizimi 1. Përgjysmues pingul me një segment quhet një drejtëz pingul me këtë segment dhe që kalon nga mesi i tij (Fig. 1).

Teorema 1. Çdo pikë e përgjysmuesit pingul me një segment ndodhet në të njëjtën distancë nga skajet këtë segment.

Dëshmi . Le të shqyrtojmë pikë arbitrare D, shtrirë në përgjysmuesin pingul me segmentin AB (Fig. 2), dhe provoni se trekëndëshat ADC dhe BDC janë të barabartë.

Në të vërtetë, këta trekëndësha janë trekëndësha kënddrejtë në të cilët këmbët AC dhe BC janë të barabarta, dhe këmbët DC janë të zakonshme. Barazia e trekëndëshave ADC dhe BDC nënkupton barazinë e segmenteve AD dhe DB. Teorema 1 është vërtetuar.

Teorema 2 (Konversi me Teoremën 1). Nëse një pikë është në të njëjtën distancë nga skajet e një segmenti, atëherë ajo shtrihet në përgjysmuesin pingul me këtë segment.

Dëshmi . Le të vërtetojmë teoremën 2 me kontradiktë. Për këtë qëllim, supozojmë se një pikë E është në të njëjtën distancë nga skajet e segmentit, por nuk shtrihet në përgjysmuesin pingul me këtë segment. Le ta sjellim këtë supozim në një kontradiktë. Le të shqyrtojmë fillimisht rastin kur pikat E dhe A shtrihen së bashku anët e ndryshme nga pingulja e mesme (Fig. 3). Në këtë rast, segmenti EA pret përgjysmuesin pingul në një pikë, të cilën e shënojmë me shkronjën D.

Le të vërtetojmë se segmenti AE është më i gjatë se segmenti EB. Vërtet,

Kështu, në rastin kur pikat E dhe A shtrihen në anët e kundërta të përgjysmuesit pingul, kemi një kontradiktë.

Tani merrni parasysh rastin kur pikat E dhe A shtrihen në të njëjtën anë të përgjysmuesit pingul (Fig. 4). Le të vërtetojmë se segmenti EB është më i gjatë se segmenti AE. Vërtet,

Kontradikta që rezulton plotëson vërtetimin e Teoremës 2

Rrethi i rrethuar rreth një trekëndëshi

Përkufizimi 2. Një rreth i rrethuar rreth një trekëndëshi, quhet rrethi që kalon nëpër të tre kulmet e trekëndëshit (Fig. 5). Në këtë rast quhet trekëndëshi trekëndësh i gdhendur në një rreth ose trekëndëshi i brendashkruar.

Vetitë e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi. Teorema e sinuseve

Figura	Vizatim	Prona
Përgjysmues pingul në brinjët e trekëndëshit		kryqëzohen në një pikë .

Qendra përshkruar rreth trekëndëshi akut rrethi		Qendra e përshkruar rreth me kënd akute brenda trekëndëshi.
Qendra përshkruar rreth trekëndësh kënddrejtë rrethi		Qendra përshkroi rreth drejtkëndëshe mesi i hipotenuzës .
Qendra përshkruar rreth trekëndësh i mpirë rrethi		Qendra e përshkruar rreth me kënd të mpirë rrethi trekëndësh shtrihet jashtë trekëndëshi.
		,
Sheshi trekëndëshi		S= 2R 2 mëkat A mëkat B mëkat C ,
Rrethi		Për çdo trekëndësh barazia është e vërtetë:

Përgjysmues pingul me brinjët e një trekëndëshi

Të gjithë përgjysmuesit pingul , i tërhequr në anët e një trekëndëshi arbitrar, kryqëzohen në një pikë .

Rrethi i rrethuar rreth një trekëndëshi

Çdo trekëndësh mund të rrethohet nga një rreth . Qendra e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi është pika në të cilën kryqëzohen të gjithë përgjysmuesit pingul të tërhequr në anët e trekëndëshit.

Qendra e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi akut

Qendra e përshkruar rreth me kënd akute rrethi trekëndësh shtrihet brenda trekëndëshi.

Qendra e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi kënddrejtë

Qendra përshkroi rreth drejtkëndëshe rrethi trekëndësh është mesi i hipotenuzës .

Qendra e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi të mpirë

Qendra e përshkruar rreth me kënd të mpirë rrethi trekëndësh shtrihet jashtë trekëndëshi.

Për çdo trekëndësh barazitë e mëposhtme janë të vërteta (teorema e sinusit):

ku a, b, c janë brinjët e trekëndëshit, A, B, C janë këndet e trekëndëshit, R është rrezja e rrethit të rrethuar.

Sipërfaqja e një trekëndëshi

Për çdo trekëndësh barazia është e vërtetë:

S= 2R 2 mëkat A mëkat B mëkat C ,

ku A, B, C janë këndet e trekëndëshit, S është zona e trekëndëshit, R është rrezja e rrethit të rrethuar.

Rrethi

Për çdo trekëndësh barazia është e vërtetë:

ku a, b, c janë brinjët e trekëndëshit, S është sipërfaqja e trekëndëshit, R është rrezja e rrethit të rrethuar.

Vërtetimet e teoremave mbi vetitë e rrethit të rrethuar të një trekëndëshi

Teorema 3. Të gjithë përgjysmuesit pingul të tërhequr në anët e një trekëndëshi arbitrar kryqëzohen në një pikë.

Dëshmi . Le të shqyrtojmë dy përgjysmues pingul të tërhequr në brinjët AC dhe AB të trekëndëshit ABC, dhe të shënojmë pikën e tyre të kryqëzimit me shkronjën O (Fig. 6).

Meqenëse pika O shtrihet në përgjysmuesin pingul me segmentin AC, atëherë në bazë të teoremës 1 vlen barazia e mëposhtme:

Meqenëse pika O shtrihet në përgjysmuesin pingul me segmentin AB, atëherë në bazë të Teoremës 1 vlen barazia e mëposhtme:

Prandaj, barazia është e vërtetë:

prej nga, duke përdorur teoremën 2, arrijmë në përfundimin se pika O shtrihet në përgjysmuesin pingul me segmentin BC.

Kështu, të tre përgjysmuesit pingul kalojnë në të njëjtën pikë, siç kërkohet të vërtetohet. Çdo trekëndësh mund të rrethohet nga një rreth . Qendra e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi është pika në të cilën kryqëzohen të gjithë përgjysmuesit pingul të tërhequr në anët e trekëndëshit.

Pasoja.

Dëshmi . Le të shqyrtojmë pikën O, në të cilën kryqëzohen të gjithë përgjysmorët e tërhequr në brinjët e trekëndëshit ABC (Fig. 6).

Kur vërtetohet teorema 3, është marrë barazia e mëposhtme:

nga ku rezulton se një rreth me qendër në pikën O dhe rreze OA, OB, OC kalon nëpër të tre kulmet e trekëndëshit ABC, gjë që kërkohej të vërtetohej.

Tema “Rrathët e brendashkruar dhe të rrethuar në trekëndësha” është një nga më të vështirat në lëndën e gjeometrisë. Ajo kalon shumë pak kohë në klasë. Problemet gjeometrike të kësaj teme përfshihen në pjesën e dytë të provimit Puna e Provimit të Unifikuar të Shtetit për kurs shkolla e mesme . Për të përfunduar me sukses këto detyra ju nevojiten njohuri solide
Për çdo trekëndësh ka vetëm një rreth. Ky është një rreth në të cilin shtrihen të tre kulmet e një trekëndëshi me parametra të dhënë. Gjetja e rrezes së saj mund të jetë e nevojshme jo vetëm në një mësim gjeometrie. Projektuesit, prerësit, mekanikët dhe përfaqësuesit e shumë profesioneve të tjera duhet të merren vazhdimisht me këtë. Për të gjetur rrezen e tij, duhet të dini parametrat e trekëndëshit dhe vetitë e tij. Qendra e rrethit është në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të trekëndëshit.
Unë sjell në vëmendjen tuaj të gjitha formulat për gjetjen e rrezes së një rrethi të rrethuar dhe jo vetëm të një trekëndëshi. Formulat për rrethin e brendashkruar mund të shihen.

a, b. Me - brinjët e trekëndëshit

α - këndi i kundërta,
S-zona e një trekëndëshi,

p- gjysmëperimetri

Pastaj për të gjetur rrezen ( R) të rrethit duke përdorur formulat: