Ky publikim përmban një tjetër detyrë planimetrike për ju. Ka të bëjë me detyrat kompleksiteti i shtuar(niveli i profilit). Por, siç do ta shihni, procesi i zgjidhjes në fakt nuk paraqet ndonjë vështirësi të veçantë. Një detyrë e tillë mund të konsiderohet dhuratë në provim. Pra, le të fillojmë!

Një rreth është i gdhendur në një trekëndësh të rregullt me ​​brinjën "a". Në këtë rreth është brendashkruar një trekëndësh i rregullt, në të cilin brendashkruhet një rreth, e kështu me radhë.
a) Vërtetoni se zonat e rrathëve formojnë një progresion gjeometrik.
b) Gjeni shumën e sipërfaqeve të të gjithë rrathëve.

*Referenca! Çfarë është progresion gjeometrik? Kjo është një sekuencë ku çdo anëtar tjetër është i barabartë me atë të mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër. Një shembull i thjeshtë: 3, 6, 12, 24, 48…. Termi i mëparshëm i sekuencës shumëzohet me 2 për të marrë një tjetër. Numri "2" quhet emërues progresion gjeometrik.

a) Le të ndërtojmë një trekëndësh të rregullt, të shkruajmë një rreth, të futim një trekëndësh në të dhe një rreth tjetër në të (do të ndalemi këtu):

Le t'i quajmë rrathët (nga më i madhi tek më i vogli) thjesht "i pari" dhe "i dyti". Vini re se rrezja e rrethit të parë (më të madh) do të jetë dy herë më i madh se rrezja e dyta (në një trekëndësh kënddrejtë këmba shtrihet përballë këndit 30 gradë e barabartë me gjysmën hipotenuzë).

Çfarë ndodh me zonat e rrathëve? Ne kemi:

Kjo do të thotë, zona e rrethit të dytë është katër herë më pak sipërfaqe së pari. Nëse marrim më tej rrathët e brendashkruar në lidhje me njëri-tjetrin, do të marrim të njëjtën marrëdhënie (varësi) të zonave të tyre në lidhje me njëra-tjetrën, domethënë sipërfaqja e secilit rreth pasues do të jetë 4 herë më e vogël se sipërfaqja e i mëparshmi. Le ta shkruajmë më në detaje:

*Formula e përgjithshme për progresionin gjeometrik është:

Pra, ne morëm një progresion gjeometrik. Emëruesi i saj është ¼. E provuar!

b) Formula për një progresion të pafund gjeometrik ka formën:

Kjo do të thotë që shuma e sipërfaqeve të të gjithë rrathëve do të jetë e barabartë me:

Tani le të shprehim rrezen e rrethit të parë përmes anës së trekëndëshit të barabartë me "a". Kemi (nëse ana është e barabartë me "a", atëherë gjysma e anës është 0.5a):

Kështu, marrim:

Qasja e dytë ndaj zgjidhjes.

a) Meqenëse rrezet e rrathëve fqinjë ndryshojnë me një faktor prej dy, rezulton se koeficienti i ngjashmërisë është 0,5 (rrathët janë gjithmonë të ngjashëm). Mund të shkruajmë:

Ky është një progresion gjeometrik.

b) Tani le të llogarisim shumën e sipërfaqeve të rrathëve. Le

Dihet se në një trekëndësh barabrinjës rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me një të tretën e lartësisë së tij, domethënë:

Pra, zona e rrethit do të jetë e barabartë me:

Niveli i parë

Trekëndësh barabrinjës. Udhëzues i ilustruar (2019)

Cilat veti të veçanta janë të natyrshme në një trekëndësh barabrinjës?

Trekëndësh barabrinjës. Vetitë.

Natyrore, apo jo? Tre kënde identike, në total, që do të thotë secili.

Pse eshte ajo? Le të shohim trekëndësh barabrinjës:

Kjo do të thotë se çdo lartësi në një trekëndësh barabrinjës është gjithashtu një përgjysmues, një mesatare dhe përgjysmues pingul! Në trekëndëshin barabrinjës nuk kishte vija të veçanta, si në çdo trekëndësh të zakonshëm, por vetëm tre!

Pra, edhe një herë:

Tashmë duhet të jetë e qartë pse është kështu.

Shikoni foton: pika është qendra e trekëndëshit. Kjo do të thotë se është rrezja e rrethit të rrethuar (ne e shënojmë atë), dhe është rrezja e rrethit të brendashkruar (e shënojmë atë).

Por një pikë është gjithashtu një pikë kryqëzimi i medianave! Kujtojmë se medianat ndahen me pikën e kryqëzimit në një raport, duke llogaritur nga kulmi.

Prandaj, kjo është.

Le të sigurohemi për këtë.

Trekëndësh barabrinjës. Lartësia

Le ta shohim - është drejtkëndëshe.

Trekëndësh barabrinjës. Rrethi

Pse eshte kjo?

Ne kemi zbuluar tashmë se një pikë nuk është vetëm qendra e rrethit të rrethuar, por edhe pika e kryqëzimit të ndërmjetësve. Do të thotë, .

Tashmë e kemi gjetur vlerën. Tani ne zëvendësojmë:

Trekëndësh barabrinjës. Rrezja e rrethit të brendashkruar

Kjo duhet të jetë mjaft e qartë deri tani

Epo, të gjitha informacionet bazë janë diskutuar. Sigurisht, ju mund të bëni qindra pyetje për të gjitha llojet e gjatësive të të gjitha llojeve të segmenteve në një trekëndësh barabrinjës.

Por gjëja kryesore që duhet mbajtur parasysh kur zgjidhni probleme për një trekëndësh barabrinjës është: është se njihen të gjitha këndet e tij- janë të barabartë dhe të gjitha lartësitë janë përgjysmues, mediana dhe përgjysmues pingul.

TREKËNDËSH BARABARËNËS. PËRMBLEDHJE DHE FORMULA BAZË

trekëndësh barabrinjës - një trekëndësh me të gjitha brinjët të barabarta: .

Në një trekëndësh barabrinjës, gjatësitë e të gjithë elementëve "pus" shprehen në terma të gjatësisë së anës:

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për të suksesshme dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit, për pranim në kolegj me një buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën një edukim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 999 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për secilën temë, në të gjitha nivelet e kompleksitetit." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë në dorë zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet për TË GJITHË periudhën e ekzistencës së sajtit.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Kursi i videos "Merrni një A" përfshin të gjitha temat që ju nevojiten përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë për 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha problemet 1-13 Profili Provimi i Unifikuar i Shtetit matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse dëshironi të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe problemin 13 (trigonometri). Dhe këto janë më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student 100 pikësh dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.

Të gjitha teori e nevojshme. Mënyra të shpejta zgjidhjet, grackat dhe sekretet e Provimit të Bashkuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.

Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Probleme me fjalë dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Kuptimi në vend të grumbullimit. Shpjegimi vizual koncepte komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Baza për zgjidhje detyra komplekse 2 pjesë të Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Udhëzimet

Nëse keni mundësinë të përdorni një raportor gjatë ndërtimit, filloni duke zgjedhur pikë arbitrare në një rreth, i cili duhet të bëhet një nga kulmet e atij të saktë. Etiketojeni, për shembull, me shkronjën A.

Vizatoni një segment ndihmës që lidh A me qendrën e rrethit. Ngjitni një raportor në këtë segment në mënyrë që ndarja zero të përkojë me qendrën e rrethit dhe vendosni një pikë ndihmëse në shenjën 120°. Nëpërmjet kësaj pike, vizatoni një segment tjetër ndihmës me fillimin në qendër të rrethit në kryqëzimin me perimetri. Shënoni pikën e kryqëzimit me shkronjën B - kjo është kulmi i dytë i të mbishkruarit trekëndëshi.

Përsëriteni hapin e mëparshëm, por aplikoni raportorin në segmentin e dytë ndihmës dhe pikën e kryqëzimit me perimetri caktoni atë me shkronjën C. Nuk do t'ju duhet më një raportues.

Nëse nuk ka raportues, por ka një busull dhe , atëherë filloni duke llogaritur gjatësinë e anës trekëndëshi. Ju ndoshta e dini se mund të shprehet në termat e rrezes së rrethit të rrethuar, duke e shumëzuar atë me trefish në rrenja katrore nga tre, domethënë me afërsisht 1.732050807568877. Rrumbullakosni këtë në saktësinë tuaj të dëshiruar dhe shumëzoni me rrezen e rrethit.

Lini mënjanë gjatësinë anësore të gjetur në hapin e pestë në busull. trekëndëshi dhe një rreth ndihmës me qendër në pikën A. Përcaktoni pikat e kryqëzimit të dy rrathëve me shkronjat B dhe C - këto janë dy kulmet e tjera të rrethit të rregullt të gdhendura në rreth trekëndëshi.

Lidhni pikat A dhe B, B dhe C, C dhe A dhe ndërtimi do të përfundojë.

Nëse një rreth prek të tre anët trekëndëshi i dhënë, dhe qendra e tij është brenda trekëndëshit, atëherë ai quhet i brendashkruar në trekëndësh.

Do t'ju duhet

• vizore, busull

Udhëzimet

Pika e kryqëzimit të harqeve përgjatë vizores lidhet me kulmin e këndit të ndashëm;

E njëjta gjë bëhet me çdo kënd tjetër;

Burimet:

• http://www.aleng.ru/d/math/math42.htm

E sakte trekëndëshi- një në të cilën të gjitha anët kanë të njëjtën gjatësi. Bazuar në këtë përkufizim, ndërtimi i një varieteti të tillë trekëndëshi por nuk është një detyrë e vështirë.

Do t'ju duhet

• Vizitor, fletë letre me rreshtim, laps

Udhëzimet

shënim

Në një trekëndësh të rregullt (barabrinjës), të gjitha këndet janë të barabarta me 60 gradë.

Këshilla të dobishme

Një trekëndësh barabrinjës është gjithashtu një trekëndësh dykëndësh. Nëse një trekëndësh është dykëndësh, kjo do të thotë se 2 nga 3 brinjët e tij janë të barabarta, dhe ana e tretë konsiderohet bazë. Çdo trekëndësh i rregullt është dykëndësh, ndërsa e kundërta nuk është e vërtetë.

Këshillë 4: Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi të gdhendur në një rreth

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të llogaritet në disa mënyra, në varësi të vlerës së njohur nga kushtet e problemit. Duke pasur parasysh bazën dhe lartësinë e një trekëndëshi, sipërfaqja mund të gjendet duke llogaritur produktin e gjysmës së bazës dhe lartësisë. Në metodën e dytë, sipërfaqja llogaritet përmes rrethit rrethor të trekëndëshit.

Udhëzimet

Në problemet e planimetrisë, duhet të gjeni sipërfaqen e një shumëkëndëshi të gdhendur në një rreth ose të rrethuar rreth tij. Një shumëkëndësh konsiderohet i rrethuar rreth një rrethi nëse është jashtë dhe anët e tij prekin rrethin. Një shumëkëndësh i vendosur brenda një rrethi konsiderohet i gdhendur në të nëse rrathët e tij shtrihen mbi të. Nëse problemi është dhënë , i cili është i brendashkruar, të tre kulmet e tij prekin rrethin. Në varësi të llojit të trekëndëshit që merret në konsideratë, zgjidhet metoda e detyrës.

Rasti më i thjeshtë është kur brendashkrohet një trekëndësh i rregullt. Meqenëse një trekëndësh i tillë ka gjithçka, rrezja e rrethit është e barabartë me gjysmën e lartësisë së tij. Prandaj, të një trekëndëshi, ju mund të gjeni zonën e tij. Llogaritni këtë zonë në në këtë rast mund të bëhet në cilëndo nga mënyrat e mëposhtme, për shembull:
R=abc/4S, ku S është sipërfaqja e trekëndëshit, a, b, c janë brinjët e trekëndëshit

Një situatë tjetër lind kur trekëndëshi është dykëndësh. Nëse baza e trekëndëshit përkon me vijën e diametrit të rrethit ose diametri është gjithashtu lartësia e trekëndëshit, sipërfaqja mund të llogaritet si më poshtë:
S=1/2h*AC, ku AC është baza e trekëndëshit
Nëse dihet rrezja e një rrethi, këndet e tij, si dhe baza që përkon me diametrin e rrethit, mund të gjenden duke përdorur teoremën e Pitagorës. lartësi e panjohur. Sipërfaqja e një trekëndëshi baza e të cilit përkon me diametrin e rrethit është:
S=R*h
Në një rast tjetër, kur lartësia është e barabartë me diametrin e rrethit të rrethuar përreth trekëndëshi dykëndësh, sipërfaqja e saj është e barabartë me:
S=R*AC

Në një numër problemesh, brendashkrohet një rreth trekëndësh kënddrejtë. Në këtë rast, qendra e rrethit shtrihet në mes të hipotenuzës. Duke ditur këndet dhe bazën e një trekëndëshi, mund të llogarisni zonën duke përdorur ndonjë nga metodat e përshkruara më sipër.
Në raste të tjera, veçanërisht kur trekëndëshi është i mprehtë ose i mpirë, zbatohet vetëm e para nga formulat e mësipërme.

Detyra është të përshtateni rrethi shumëkëndëshi shpesh mund të ngatërrojë një të rritur. Nxënësja duhet të shpjegojë vendimin e saj, në mënyrë që prindërit të shkojnë në surfing rrjet i gjere boteror duke kërkuar një zgjidhje.

Udhëzimet

Vizatoni rrethi. Vendosni gjilpërën e busullës në anën e rrethit, por mos e ndryshoni rrezen. Vizatoni kryqëzimin e dy harqeve rrethi, duke e kthyer busullën djathtas dhe majtas.

Lëvizni gjilpërën e busullës përgjatë rrethit në pikën ku harku e kryqëzon atë. Kthejeni përsëri busullën dhe vizatoni dy harqe të tjera, duke kaluar konturin e rrethit. Përsëriteni këtë procedurë derisa të kryqëzohet me pikën e parë.

Vizatoni rrethi. Vizatoni diametrin përmes qendrës së tij, vija duhet të jetë horizontale. Ndërtoni një pingul me përmes qendrës së rrethit, ju merrni vijë vertikale(SV, për shembull).

Ndani rrezen në gjysmë. Shënoni këtë pikë në vijën e diametrit (etiketoni atë A). Ndërtoni rrethi me qendër në pikën A dhe rreze AC. Kur kaloni me vije horizontale do të merrni një pikë tjetër (D, për shembull). Si rezultat, segmenti CD do të jetë ana e pesëkëndëshit që duhet të mbishkruhet.

Vendosni gjysmërrethe, rrezja e të cilave është e barabartë me CD, përgjatë konturit të rrethit. Kështu, origjinali rrethi do të ndahet në pesë pjesë të barabarta. Lidhni pikat me një vizore. Problemi i mbishkrimit të një pesëkëndëshi në rrethi e përfunduar gjithashtu.

Më poshtë përshkruhet duke u përshtatur në rrethi katrore. Vizatoni një vijë me diametër. Merrni një raportor. Vendoseni atë në pikën ku diametri kryqëzon anën e rrethit. Hapni busullën në gjatësinë e rrezes.

Vizatoni dy harqe derisa të kryqëzohen me rrethi yu, duke e kthyer busullën në një drejtim ose në tjetrin. Lëvizni këmbën e busullës në pikën e kundërt dhe vizatoni dy harqe të tjera me të njëjtën zgjidhje. Lidhni pikat që rezultojnë.

Diametrin në katror, ​​ndajeni me dy dhe merrni rrënjën. Si rezultat, ju do të merrni një anë të një sheshi që do të përshtatet lehtësisht rrethi. Hapni busullën në këtë gjatësi. Vendos gjilpërën e tij rrethi dhe vizatoni një hark që kryqëzon njërën anë të rrethit. Lëvizni këmbën e busullës në pikën që rezulton. Vizatoni përsëri harkun.

Përsëriteni procedurën dhe vizatoni dy pika të tjera. Lidhni të katër pikat. Kjo është një mënyrë më e lehtë për të vendosur një katror në të rrethi.

Merrni parasysh detyrën e përshtatjes rrethi. Vizatoni rrethi. Merrni një pikë në mënyrë arbitrare në rreth - do të jetë kulmi i trekëndëshit. Nga kjo pikë, duke mbajtur busullën, vizatoni një hark derisa të kryqëzohet me rrethi Ju. Ky do të jetë kulmi i dytë. Ndërtoni një kulm të tretë prej tij në një mënyrë të ngjashme. Lidhni pikat me një vizore. Zgjidhja është gjetur.

Video mbi temën

Duke qenë një nga pjesët përbërëse kurrikula shkollore, problemet gjeometrike për të ndërtuar shumëkëndëshat e rregullt janë mjaft të parëndësishme. Si rregull, ndërtimi kryhet duke futur një poligon në rrethi, e cila vizatohet së pari. Por çfarë nëse rrethi dhënë, por shifra është shumë komplekse?

Do t'ju duhet

• - sundimtar;
• - busull;
• - laps;
• - letër.

Udhëzimet

Ndërtoni një segment drejtëz pingul me AB dhe duke e ndarë atë në dy pjesë të barabarta në pikën e kryqëzimit. Vendosni gjilpërën e busullës në pikën A. Vendoseni këmbën me plumbin në pikën B, ose në çdo pikë të segmentit që është më afër B sesa A. Vizatoni rrethi. Pa ndryshuar këndin e këmbëve të busullës, vendoseni gjilpërën e saj në pikën B. Vizatoni një tjetër rrethi.Rrathët e vizatuar do të priten në dysh. Vizatoni një vijë të drejtë përmes tyre. Shënoni pikën e kryqëzimit të këtij segmenti me segmentin AB si C. Shënoni pikat e prerjes së këtij segmenti me origjinalin rrethi ju pëlqen D dhe E.

Ndërtoni një segment të vijës DE duke e ndarë atë në gjysmë. Kryeni veprime të ngjashme me ato të përshkruara në hapin e mëparshëm në lidhje me segmentin DE. Lëreni segmentin e vizatuar të presë DE në pikën O. Kjo pikë do të jetë qendra e rrethit. Shënoni edhe pikat e prerjes së pingules së ndërtuar me atë origjinale rrethi ju pëlqen F dhe G.

Vendosni hapjen e këmbëve të busullës në mënyrë që distanca midis skajeve të tyre të jetë rrezja e rrethit origjinal. Për ta bërë këtë, vendosni gjilpërën e busullës në një nga pikat A, B, D, E, F ose G. Vendosni fundin e këmbës me plumbin në pikën O.

Ndërtoni një gjashtëkëndësh të rregullt. Vendosni gjilpërën e busullës në çdo pikë të vijës së rrethit. Etiketoni këtë pikë H. Në drejtim të akrepave të orës, bëni një hapje harkore me një busull në mënyrë që ajo të presë vijën e rrethit. Etiketoni këtë pikë I. Lëvizni gjilpërën e busullës në pikën I. Bëni përsëri një prerje në rreth dhe etiketoni pikën që rezulton J. Në mënyrë të ngjashme, ndërtoni pikat K, L, M. Lidhni vazhdimisht pikat H, I, J, K, L, M, H në dyshe .Marrë