A është i rastësishëm funksioni f? Funksionet çift dhe tek

Edhe funksionin.

Madjeështë një funksion, shenja e të cilit nuk ndryshon kur shenja ndryshon x.

x barazia vlen f(–x) = f(x). Nënshkruani x nuk ndikon në shenjë y.

Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin koordinativ (Fig. 1).

Shembuj të një funksioni çift:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Shpjegim:
Le të marrim funksionin y = x 2 ose y = –x 2 .
Për çdo vlerë x funksioni është pozitiv. Nënshkruani x nuk ndikon në shenjë y. Grafiku është simetrik në lidhje me boshtin koordinativ. Ky është një funksion i barabartë.

Funksioni tek.

E çuditshmeështë një funksion, shenja e të cilit ndryshon kur shenja ndryshon x.

Me fjalë të tjera, për çdo vlerë x barazia vlen f(–x) = –f(x).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën (Fig. 2).

Shembuj të funksionit tek:

y= mëkat x

y = x 3

y = –x 3

Shpjegim:

Le të marrim funksionin y = – x 3 .
Të gjitha kuptimet në do të ketë një shenjë minus. Kjo është një shenjë x ndikon në shenjë y. Nëse ndryshorja e pavarur është numër pozitiv, atëherë funksioni është pozitiv, nëse ndryshorja e pavarur është numër negativ, atëherë funksioni është negativ: f(–x) = –f(x).
Grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën. Ky është një funksion i rastësishëm.

Vetitë e funksioneve çift dhe tek:

SHËNIM:

Jo të gjitha funksionet janë çift ose tek. Ka funksione që nuk i binden një gradimi të tillë. Për shembull, funksioni rrënjë në = √X nuk zbatohet as për funksionet çift ose tek (Fig. 3). Kur renditni vetitë e funksioneve të tilla, duhet të jepet një përshkrim i duhur: as çift, as tek.

Funksionet periodike.

Siç e dini, periodiciteti është përsëritja e proceseve të caktuara në një interval të caktuar. Funksionet që përshkruajnë këto procese quhen funksionet periodike. Domethënë, këto janë funksione në grafikët e të cilëve ka elementë që përsëriten në intervale të caktuara numerike.

Barazia dhe çuditshmëria e një funksioni janë një nga vetitë kryesore të tij, dhe barazia zë një pjesë mbresëlënëse kursi shkollor në matematikë. Ai përcakton në masë të madhe sjelljen e funksionit dhe lehtëson shumë ndërtimin e grafikut përkatës.

Le të përcaktojmë paritetin e funksionit. Në përgjithësi, funksioni në studim konsiderohet edhe nëse për vlerat e kundërta të ndryshores së pavarur (x) të vendosura në domenin e tij të përkufizimit, vlerat përkatëse të y (funksionit) rezultojnë të jenë të barabarta.

Le të japim një përkufizim më të rreptë. Konsideroni një funksion f (x), i cili është përcaktuar në domenin D. Do të jetë edhe nëse për çdo pikë x të vendosur në domenin e përkufizimit:

• -x (pika e kundërt) gjithashtu qëndron në këtë fushë,

• f(-x) = f(x).

Nga përkufizimi i mësipërm rrjedh kushti i nevojshëm për domenin e përcaktimit të një funksioni të tillë, përkatësisht, simetria në lidhje me pikën O, e cila është origjina e koordinatave, pasi nëse një pikë b përmbahet në domenin e përkufizimit të një funksioni çift. funksion, atëherë në këtë fushë qëndron edhe pika përkatëse b. Nga sa më sipër, pra, rrjedh përfundimi: funksioni çift ka një formë simetrike në lidhje me boshtin e ordinatës (Oy).

Si të përcaktohet barazia e një funksioni në praktikë?

Le të specifikohet duke përdorur formulën h(x)=11^x+11^(-x). Duke ndjekur algoritmin që rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi, së pari shqyrtojmë fushën e tij të përkufizimit. Natyrisht, është përcaktuar për të gjitha vlerat e argumentit, domethënë plotësohet kushti i parë.

Hapi tjetër është zëvendësimi i argumentit (x) me të kuptimi i kundërt(-x).
Ne marrim:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Meqenëse mbledhja plotëson ligjin komutativ (komutativ), është e qartë se h(-x) = h(x) dhe varësia funksionale e dhënë është çift.

Le të kontrollojmë paritetin e funksionit h(x)=11^x-11^(-x). Duke ndjekur të njëjtin algoritëm, marrim se h(-x) = 11^(-x) -11^x. Duke nxjerrë minusin, në fund kemi
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Prandaj, h(x) është tek.

Meqë ra fjala, duhet kujtuar se ka funksione që nuk mund të klasifikohen sipas këtyre kritereve, ato nuk quhen as çift e as tek.

Edhe funksionet kanë një numër karakteristikash interesante:

• si rezultat i shtimit të funksioneve të ngjashme, ata marrin një të barabartë;
• si rezultat i zbritjes së funksioneve të tilla, fitohet një çift;
• madje, edhe madje;
• si rezultat i shumëzimit të dy funksioneve të tilla, fitohet një çift;
• si rezultat i shumëzimit të funksioneve tek dhe çift, fitohet një tek;
• si rezultat i ndarjes së funksioneve tek dhe çift, fitohet tek;
• derivati ​​i një funksioni të tillë është tek;
• Nëse vendosni një funksion tek, merrni një çift.

Pariteti i një funksioni mund të përdoret për të zgjidhur ekuacionet.

Për të zgjidhur një ekuacion si g(x) = 0, ku anën e majtë ekuacioni është një funksion çift, do të jetë mjaft e mjaftueshme për të gjetur zgjidhjet e tij për vlerat jo negative të ndryshores. Rrënjët rezultuese të ekuacionit duhet të kombinohen me numrat e kundërt. Njëri prej tyre i nënshtrohet verifikimit.

Kjo përdoret gjithashtu me sukses për të zgjidhur detyra jo standarde me parametër.

Për shembull, a ka ndonjë vlerë të parametrit a për të cilin ekuacioni 2x^6-x^4-ax^2=1 do të ketë tre rrënjë?

Nëse marrim parasysh se ndryshorja hyn në ekuacion në fuqi çift, atëherë është e qartë se zëvendësimi i x me - x ekuacioni i dhënë nuk do të ndryshojë. Nga kjo rrjedh se nëse një numër i caktuar është rrënja e tij, atëherë është gjithashtu numër i kundërt. Përfundimi është i qartë: rrënjët e një ekuacioni që janë të ndryshme nga zero përfshihen në grupin e zgjidhjeve të tij "në çifte".

Është e qartë se vetë numri nuk është 0, domethënë, numri i rrënjëve të një ekuacioni të tillë mund të jetë vetëm çift dhe, natyrisht, për çdo vlerë të parametrit nuk mund të ketë tre rrënjë.

Por numri i rrënjëve të ekuacionit 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 mund të jetë tek, dhe për çdo vlerë të parametrit. Në të vërtetë, është e lehtë të kontrollohet se grupi i rrënjëve ekuacioni i dhënë përmban zgjidhje në dyshe. Le të kontrollojmë nëse 0 është një rrënjë. Kur e zëvendësojmë në ekuacion, marrim 2=2. Kështu, përveç atyre “të çiftëzuara”, 0 është edhe një rrënjë, e cila vërteton numrin e tyre tek.

Varësia e një ndryshoreje y nga një ndryshore x, në të cilën çdo vlerë e x korrespondon me një vlerë të vetme të y quhet funksion. Për emërtim përdorni shënimin y=f(x). Secili funksion ka një sërë veçorish themelore, si monotoniteti, barazia, periodiciteti dhe të tjera.

Merrni parasysh më shumë detaje pronë barazi.

Një funksion y=f(x) thirret edhe nëse i plotëson dy kushtet e mëposhtme:

2. Vlera e funksionit në pikën x, që i përket fushës së përcaktimit të funksionit, duhet të jetë e barabartë me vlerën e funksionit në pikën -x. Domethënë, për çdo pikë x, barazia e mëposhtme duhet të plotësohet nga fusha e përkufizimit të funksionit: f(x) = f(-x).

Grafiku i një funksioni çift

Nëse vizatoni një grafik të një funksioni çift, ai do të jetë simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Për shembull, funksioni y=x^2 është çift. Le ta kontrollojmë. E gjithë fusha e përkufizimit boshti numerik, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën O.

Le të marrim një x=3 arbitrare. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prandaj f(x) = f(-x). Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është i barabartë. Më poshtë është një grafik i funksionit y=x^2.

Figura tregon se grafiku është simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Grafiku i një funksioni tek

Një funksion y=f(x) quhet tek nëse plotëson dy kushtet e mëposhtme:

1. Fusha e përkufizimit të një funksioni të caktuar duhet të jetë simetrike në lidhje me pikën O. Kjo do të thotë, nëse një pikë a i përket fushës së përkufizimit të funksionit, atëherë edhe pika përkatëse -a duhet t'i përkasë domenit të përkufizimit. të funksionit të dhënë.

2. Për çdo pikë x, nga fusha e përcaktimit të funksionit duhet të plotësohet barazia e mëposhtme: f(x) = -f(x).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me pikën O - origjina e koordinatave. Për shembull, funksioni y=x^3 është tek. Le ta kontrollojmë. Fusha e përkufizimit është i gjithë boshti numerik, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën O.

Le të marrim një x=2 arbitrare. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prandaj f(x) = -f(x). Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është tek. Më poshtë është një grafik i funksionit y=x^3.

Figura tregon qartë se funksioni tek y=x^3 është simetrik në lidhje me origjinën.

Prapa Përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha veçoritë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Qëllimet:

• formojnë konceptin e barazisë dhe rastësisë së një funksioni, mësojnë aftësinë për të përcaktuar dhe përdorur këto veti kur hulumtimi i funksionit, komplot;
• zhvillojnë krijues veprimtaria e nxënësve, të menduarit logjik, aftësia për të krahasuar, përgjithësuar;
• kultivojnë punën e palodhur dhe kulturën matematikore; zhvillojnë aftësitë e komunikimit .

Pajisjet: instalimi multimedial, tabela e bardhë interaktive, fletëpalosje.

Format e punës: frontale dhe grupore me elemente të veprimtarive të kërkimit dhe kërkimit.

Burimet e informacionit:

1. Algjebra klasa e 9-të A.G. Mordkovich. Libër mësuesi.
2. Algjebra klasa e 9-të A.G. Mordkovich. Libri i problemeve.
3. Algjebër klasa e 9-të. Detyrat për mësimin dhe zhvillimin e nxënësve. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PËRPARIMI I MËSIMIT

1. Momenti organizativ

Përcaktimi i qëllimeve dhe objektivave për mësimin.

2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

Nr. 10.17 (libër me problematika të klasës së 9-të. A.G. Mordkovich).

A) në = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 në X ~ 0,4
4. f(X) > 0 në X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funksioni rritet me X € [– 2; + ∞)
6. Funksioni është i kufizuar nga poshtë.
7. në naim = – 3, në naib nuk ekziston
8. Funksioni është i vazhdueshëm.

(A keni përdorur një algoritëm të eksplorimit të funksionit?) Rrëshqitje.

2. Le të kontrollojmë tabelën që ju është kërkuar nga rrëshqitja.

Plotësoni tabelën
	Domeni i përkufizimit	Funksioni zero	Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave		Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut me Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Përditësimi i njohurive

– Janë dhënë funksionet.
– Përcaktoni fushën e përkufizimit për secilin funksion.
– Krahasoni vlerën e secilit funksion për çdo çift vlerash argumentesh: 1 dhe – 1; 2 dhe – 2.
– Për cilin nga këto funksione në fushën e përkufizimit vlejnë barazitë f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (futni të dhënat e marra në tabelë) Rrëshqitje

4. Material i ri

– Kryerja këtë punë, djema, ne kemi identifikuar një veçori më shumë të funksionit, të panjohur për ju, por jo më pak të rëndësishme se të tjerët - kjo është njëtrajtshmëria dhe çuditshmëria e funksionit. Shkruani temën e mësimit: "Funksionet çift dhe tek", detyra jonë është të mësojmë të përcaktojmë barazinë dhe çuditshmërinë e një funksioni, të zbulojmë rëndësinë e kësaj vetie në studimin e funksioneve dhe vizatimin e grafikëve.
Pra, le të gjejmë përkufizimet në tekstin shkollor dhe të lexojmë (f. 110) . Rrëshqitje

Def. 1 Funksioni në = f (X), i përcaktuar në bashkësinë X quhet madje, nëse për ndonjë vlerë XЄ X ekzekutohet barazi f(–x)= f(x). Jepni shembuj.

Def. 2 Funksioni y = f(x), i përcaktuar në bashkësinë X quhet i çuditshëm, nëse për ndonjë vlerë XЄ X vlen barazia f(–х)= –f(х). Jepni shembuj.

Ku i takuam termat “çift” dhe “tek”?
Cili nga këto funksione do të jetë çift, mendoni ju? Pse? Cilat janë të çuditshme? Pse?
Për çdo funksion të formës në= x n, Ku n– një numër i plotë, mund të argumentohet se funksioni është tek kur n– tek dhe funksioni është çift kur n- madje.
– Shikoni funksionet në= dhe në = 2X– 3 nuk janë as çift e as tek, sepse barazitë nuk janë të kënaqura f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studimi nëse një funksion është çift apo tek quhet studimi i një funksioni për barazi. Rrëshqitje

Në përkufizimet 1 dhe 2 ne po flisnim për vlerat e funksionit në x dhe - x, kështu supozohet se funksioni është përcaktuar edhe në vlerë X, dhe në - X.

Def 3. Nëse grup numrash së bashku me secilin element të tij x përmban edhe elementin e kundërt –x, pastaj bashkësinë X quhet bashkësi simetrike.

Shembuj:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) janë bashkësi simetrike dhe , [–5;4] janë asimetrike.

– A kanë edhe funksionet një fushë përkufizimi që është një bashkësi simetrike? Të çuditshmet?
- Nëse D( f) është një bashkësi asimetrike, atëherë cili është funksioni?
– Kështu, nëse funksioni në = f(X) – çift ose tek, atëherë domeni i përkufizimit të tij është D( f) është një grup simetrik. A është i vërtetë pohimi i kundërt: nëse fusha e përkufizimit të një funksioni është një bashkësi simetrike, atëherë është çift apo tek?
– Kjo do të thotë se prania e një grupi simetrik të fushës së përkufizimit është një kusht i domosdoshëm, por jo i mjaftueshëm.
– Pra, si e shqyrtoni një funksion për barazi? Le të përpiqemi të krijojmë një algoritëm.

Rrëshqitje

Algoritmi për studimin e një funksioni për barazi

1. Përcaktoni nëse fusha e përcaktimit të funksionit është simetrike. Nëse jo, atëherë funksioni nuk është as çift dhe as tek. Nëse po, atëherë shkoni në hapin 2 të algoritmit.

2. Shkruani një shprehje për f(–X).

3. Krahasoni f(–X).Dhe f(X):

• Nëse f(–X).= f(X), atëherë funksioni është çift;
• Nëse f(–X).= – f(X), atëherë funksioni është tek;
• Nëse f(–X) ≠ f(X) Dhe f(–X) ≠ –f(X), atëherë funksioni nuk është as çift dhe as tek.

Shembuj:

Shqyrtoni funksionin a) për paritetin në= x 5 +; b) në= ; V) në= .

Zgjidhje.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), bashkësi simetrike.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funksion h(x)= x 5 + tek.

b) y =,

në = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), një bashkësi asimetrike, që do të thotë se funksioni nuk është as çift dhe as tek.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opsioni 2

1. A është simetrike bashkësia e dhënë: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Kontroll i ndërsjellë rrëshqitje.

6. Detyrë shtëpie: №11.11, 11.21,11.22;

Vërtetim i kuptimit gjeometrik të vetive të barazisë.

***(Caktimi i opsionit të Provimit të Unifikuar të Shtetit).

1. Funksioni tek y = f(x) përcaktohet në të gjithë vijën numerike. Për çdo vlerë jo negative të ndryshores x, vlera e këtij funksioni përkon me vlerën e funksionit g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Gjeni vlerën e funksionit h( X) = në X = 3.

7. Përmbledhje