Përkufizimi i serisë harmonike. Konvergjenca e serive të numrave

Shenja e nevojshme konvergjenca e serive (provoj).

Teorema 1.(kusht i domosdoshëm për konvergjencë seri numrash). Nëse seria e numrave konvergon, Se .

Dëshmi. Seria konvergon, d.m.th. ka një kufi. Vini re se.

Le të shqyrtojmë. Pastaj . Nga këtu, .

Përfundimi 1.Nëse nuk plotësohet kushti, pastaj seria divergjent.

Shënim 1. Kushti nuk është i mjaftueshëm për konvergjencën e një serie numrash. Për shembull, seri harmonike ndryshon, edhe pse ndodh.

Përkufizimi 1. Seritë e numrave a n +1 +a n+2 +…=, e përftuar nga një rresht i caktuar duke hedhur poshtë të parën P anëtarët thirren n- m pjesa e mbetur të kësaj rreshti dhe është caktuar Rn.

Teorema 2.Nëse seria e numrave konvergon, atëherë çdo mbetje konvergjon. Mbrapa:Nëse të paktën një pjesë e mbetur e serisë konvergon, atëherë vetë seria konvergjon. Për më tepër, për çdo n AKTIV barazia S=S n+Rn .

Përfundimi 2. Konvergjenca ose divergjenca e një serie numrash nuk do të ndryshojë nëse hiqni ose shtoni termat e parë.

Përfundimi 3..

32. Kriteret krahasuese dhe shenja për seritë pozitive

Teorema 1(një shenjë e krahasimit të serive me terma pozitivë në pabarazi) . LeDhe - seri me terma jonegativë, dhe për çdo n AKTIV plotësohet kushti a n£ bn. Pastaj:

1) nga konvergjenca e serisëme terma të mëdhenj seria konvergjonme anëtarë më të vegjël;

2) nga divergjenca e serialitme terma më të vegjël seria ndryshonme kara të mëdha.

Shënim 1. Teorema është e vërtetë nëse kushti a n£ b n ekzekutuar nga disa numra NÎ N .

Teorema 2(shenjë e krahasimit të serive me terma pozitivë në formën kufi) .

LeDhe - seri me terma jonegativë dhe ka . Pastaj këto seri konvergojnë ose ndryshojnë në të njëjtën kohë .

33. Testi i D'Alembert për konvergjencën e serive me shenjë pozitive

Teorema 1(Shenja e D'Alembert). Le - ekziston një seri me terma pozitivë .

Atëherë seria konvergjon në q<1 dhe divergjent në q>1 .

Dëshmi. Le q<1. Зафиксируем число R sikurse q<fq< 1. По определению kufiri i sekuencës së numrave, nga një numër NÎ N pabarazia qëndron a n +1 /a n<p, ato. a n +1 <p×a n . Pastaj një N +1 < p×a N, një N +2 <p 2 ×a N .Është e lehtë të tregohet me induksion se për cilindo kÎ N pabarazia e vërtetë , një N + k<p k ×a N. Por seria konvergjon si një seri gjeometrike ( fq<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд gjithashtu konvergon. Rrjedhimisht, seria gjithashtu konvergon (nga Teorema 2.2).

Le q> 1. Pastaj nga një numër NÎ N pabarazia e vërtetë a n +1 /a n>1, d.m.th. a n +1 >a n. Prandaj, nga numri N pasues ( a n) është në rritje dhe gjendja nuk është e kënaqur. Nga këtu, nga Përfundimi 2.1, rrjedh se seria ndryshon në q>1.

Shënim 1. Duke përdorur testin integral, është e lehtë të kontrolloni se seria e numrave konvergon nëse A>1, dhe divergjent nëse a 1 £. Rreshti thirrur seri harmonike , dhe serialin me arbitrare aÎ R thirrur seri harmonike të përgjithësuar.

34. Rreshta alternative. Testi i Leibniz-it për konvergjencën e shenjës së serive alternative

Studimi i serive me terma të shenjave arbitrare është një detyrë më e vështirë, por në dy raste ka shenja të përshtatshme: për seritë e shenjave të alternuara - teorema e Leibniz-it; Për seritë absolutisht konvergjente, ne aplikojmë çdo shenjë të studimit të serive me terma jonegativë.

Përkufizimi 1. Seria e numrave quhet sinjalizues, nëse çdo dy terma ngjitur kanë shenja të kundërta, d.m.th. seria ka formën ose , ku a n>0 për të gjithë nÎ N .

Teorema 1(Leibniz). Një seri alternative konvergjon nëse:

1) (a n) - sekuencë jo në rritje;

2) në.

Në këtë rast, moduli i shumës së serisë alternative nuk e kalon modulin e termit të parë të saj, d.m.th.|S|£ a 1 .

1.1. Seritë e numrave dhe shuma e tyre

Përkufizimi 1. Le të jepet një sekuencë numrash. Le të formojmë një shprehje

(1)

që quhet seri numrash. Numrat quhen anëtarët e një numri, dhe shprehja
 anëtar i përbashkët rresht .

Shembulli 1. Gjeni termin e përbashkët të serisë
.

në
,

në

Është e lehtë të shihet se termi i zakonshëm i serisë .

Prandaj, seria e kërkuar mund të shkruhet si më poshtë

Le të ndërtojmë një sekuencë nga termat e serisë (1) në këtë mënyrë :

;

Çdo anëtar i kësaj sekuence përfaqëson shumën e numrit përkatës të anëtarëve të parë të serisë së numrave.

Përkufizimi 2. Shuma e të parës P anëtarët e serisë (1) quhet n - shuma e pjesshme seri numrash .

Përkufizimi 3. Seritë e numrave thirrur konvergjente, Nëse
, ku numri thirrur shuma e serisë, dhe shkruani
. Nëse

kufiri i shumave të pjesshme është i pafund ose nuk ekziston, atëherë thirret seria divergjent.

Shembulli 2. Kontrolloni seritë për konvergjencë
.

Për të llogaritur n-th shuma e pjesshme le të imagjinojmë një term të përbashkët
seri në formën e shumës së thyesave të thjeshta

Krahasimi i koeficientëve në të njëjtat shkallë n, marrim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare për koeficientë të panjohur A Dhe NË

Nga këtu e gjejmë atë
, A
.

Prandaj, termi i përgjithshëm i serisë ka formën

Pastaj shuma e pjesshme mund të paraqitet në formë

Pas hapjes së kllapave dhe sjelljes së termave të ngjashëm, ajo do të marrë formën

Le të llogarisim shumën e serisë

Meqenëse kufiri është i barabartë me një numër të fundëm, kjo seri konvergon .

Shembulli 2. Kontrolloni seritë për konvergjencë

- progresion i pafund gjeometrik.

Siç dihet, shuma e të parës P anëtarët e progresionit gjeometrik në q 1 është e barabartë
.

Pastaj kemi rastet e mëposhtme :

1. Nëse
, Kjo

2. Nëse
, Kjo
, d.m.th. rreshti ndryshon.

3. Nëse
, atëherë seriali duhet parë atëherë
, d.m.th. rreshti ndryshon.

4. Nëse
, atëherë seriali duhet parë atëherë
, nëse shuma e pjesshme ka një numër çift termash dhe
, nëse numri është tek, d.m.th.
nuk ekziston, prandaj seria ndryshon.

Përkufizimi 4. Dallimi midis shumës së serisë S dhe shuma e pjesshme thirrur pjesa tjetër e serisë dhe është caktuar
, d.m.th.
.

Që për seritë konvergjente
, Kjo
,

ato. do të jetë b.m.v. në
. Pra vlera është një vlerë e përafërt e shumës së serisë.

Nga përkufizimi i shumës së një serie, vijojnë vetitë e serive konvergjente:

1. Nëse rreshtat Dhe konvergojnë, d.m.th. kanë shumat përkatëse S Dhe P, pastaj seria konvergon, ku
, dhe shuma e tij është e barabartë A S + B P.

2. Nëse seria konvergjon , atëherë seria e përftuar nga kjo konvergon

seri duke hedhur ose shtuar një numër të kufizuar termash. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.

1.2. Një shenjë e domosdoshme e konvergjencës. Seri harmonike

Teorema. Nëse rreshti konvergon, atëherë termi i përbashkët i serisë tenton në zero si
, d.m.th.
.

Në të vërtetë, ne kemi

Pastaj , që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Pasoja. Nëse
, atëherë seria ndryshon . E kundërta, në përgjithësi, nuk është e vërtetë, siç do të tregohet më poshtë.

Përkufizimi 5. Shiko seritë thirrur harmonike.

Për këtë seri plotësohet karakteristika e nevojshme, pasi
.

Në të njëjtën kohë, është divergjente. Le ta tregojmë

Kështu, seria harmonike ndryshon.

Tema 2 : Shenja të mjaftueshme të konvergjencës së serive

me kushte pozitive

2.1. Shenjat e krahasimit

Le të jepen dy seri me terma pozitivë:

Shenja e krahasimit. Nëse për të gjithë anëtarët e serive (1) dhe (2), duke filluar nga një numër i caktuar, pabarazia
dhe seria (2) konvergon, pastaj seria (1) konvergjon. Po kështu, nëse
dhe seria (2) divergon, pastaj seria (1) gjithashtu divergon.

Le Dhe respektivisht, shumat e pjesshme të rreshtave (1-2), dhe P shuma e serive (2). Pastaj për mjaftueshëm P ne kemi

Sepse
dhe të kufizuar, atëherë
, d.m.th. seria (1) konvergon.

Pjesa e dytë e shenjës vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Shembulli 3. Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Krahasoni me anëtarët e serisë
.

Duke filluar me
, ne kemi
.

Që nga seriali konvergon
, atëherë edhe kjo seri konvergon.

Në praktikë, shpesh është më i përshtatshëm të përdoret i ashtuquajturi kriter kufizues për krahasim, i cili rrjedh nga ai i mëparshmi.

Kufiri i krahasimit. Nëse për dy seri (1-2) me terma pozitivë plotësohet kushti

, Kjo

nga konvergjenca e serisë (1) pason konvergjenca e serisë (2), dhe nga divergjenca e serisë (1) pason divergjenca e serisë (2) , ato.

rreshtat sillen njësoj. Shembulli 4.
.

Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Si një seri për krahasim, le të marrim serinë harmonike,

e cila është divergjente.

dhe, për rrjedhojë, seritë tona ndryshojnë. Shpesh është i përshtatshëm për të përdorur të ashtuquajturat harmonike e përgjithësuar rresht , e cila, siç do të tregohet më poshtë, konvergjon në
dhe ndryshon në
.

ku funksioni i sublimit rritet në mënyrë monotone, atëherë
ose

ose

Nga ajo e mëparshme është e qartë se seria harmonike është një seri divergjente, d.m.th. shuma e n termave të tij të parë rritet pa kufi me numrin e termave të marrë. Megjithatë, ndryshe nga seritë e tjera divergjente, ritmi i rritjes së shumës ngadalësohet me rritjen e numrit të termave. Seria harmonike thuhet se është pak divergjente në krahasim me rritjen e n. Le të vërtetojmë teoremën e mëposhtme që karakterizon serinë harmonike në këtë drejtim.

Teorema. Për çdo n ka një barazi të përafërt
ku 0< g n < 1. Dëshmi. Le të jepet sipërfaqja e një trapezi lakor aABb, e kufizuar nga një hiperbolë barabrinjës e lidhur me asimptotat, ekuacioni i së cilës është y = 1/x nga dy ordinatat e tij aA dhe bB, ekuacionet e së cilës janë x = 1 dhe x = n, dhe boshti i abshisave. Duke përdorur "formulat e drejtkëndëshave", ne e llogarisim këtë zonë me një mangësi (Fig. 2) dhe me një tepricë (Fig. 1). Duke e ndarë bazën në n pjesë të barabarta, gjejmë se sipërfaqja aABb është e barabartë me
ose

g n =

dhe
Dhe

1 +

1 2

1 3

1 4

+ ... +

1 n- 1

ts
w

- ln(n) > 0.

Nëse marrim ordinatat e duhura (që korrespondojnë me pikat e ndarjes 2, 3, ... n) si lartësitë e drejtkëndëshave, marrim sipërfaqen e vijës së shkallëzuar, e cila është më e vogël se sipërfaqja e lakoreve. trapezoid aABb (Fig. 2). Poeti mund ta thotë këtë

1 2

1 3

1 4

+ ... +

1 n

< ln(n).

Le t'i shtojmë të dy anët e pabarazisë 1- 1/n

1 2

1 3

1 4

+ ... +

1 n- 1

< ln(n) + 1 -

1 n

ose

g n =

dhe
Dhe

1 +

1 2

1 3

1 4

+ ... +

1 n- 1

ts
w

-ln(n)< 1-

1 n

Kështu, shuma e n-1 termave të parë të serisë harmonike mund të shprehet përafërsisht në terma ln(n) me barazinë e mëposhtme
Ndërsa numri i termave të serisë harmonike rritet, vlera e g n rritet. Por 0< g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Ky kufi quhet "konstanta Eulerian". Duke përdorur llogaritjet H n- 1 dhe ln(n), u bë e mundur të gjejmë vlerën e këtij numri me saktësi të madhe dhe të fitojmë C = 0,57721566490...

Seri harmonike- shuma e përbërë nga numër i pafund termat e anasjellta të numrave të njëpasnjëshëm të serisë natyrore:

tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots .

Shuma e n termave të parë të serisë

Anëtarët individualë të serisë priren në zero, por shuma e tyre ndryshon. Shuma e n-të e pjesshme s n e një serie harmonike është numri i n-të harmonik:

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)

Disa vlera të shumës së pjesshme

formula e Euler-it

Në Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc kuptimi Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \varepsilon _n \djathtas shigjetë 0, pra, për të mëdha Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc :

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): s_n\approx \ln(n) + \gamma- Formula e Euler-it për shumën e të parit Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): n anëtarët e serisë harmonike.

Një formulë asimptotike më e saktë për shumën e pjesshme të serisë harmonike:

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \pika = \ln(n) + \gama + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Ku Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): B_(2k)- Numrat Bernoulli.

Ky serial ndryshon, por gabimi në llogaritjet e tij nuk e kalon kurrë gjysmën e termit të parë të hedhur poshtë.

Vetitë numerore-teorike të shumave të pjesshme

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)

Divergjenca e serive

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): s_n\djathtas shigjetë \infty në Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): n\arrow djathtas \infty

Seria harmonike ndryshon shumë ngadalë (që shuma e pjesshme të kalojë 100, nevojiten rreth 10 43 elementë të serisë).

Divergjenca e serisë harmonike mund të demonstrohet duke e krahasuar atë me serinë teleskopike:

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\djathtas)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1)(n) ,

shuma e pjesshme e së cilës është padyshim e barabartë me:

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n .

Dëshmia e Oresmes

Prova e divergjencës mund të ndërtohet duke grupuar termat si më poshtë:

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): \begin(lidh) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \majtas[\frac(1)( 2) \djathtas] + \majtas[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\djathtas] + \majtas[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\djathtas] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\djathtas] +\cdots \\ & () > 1 + \majtas [\frac(1)(2)\djathtas] + \majtas[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\djathtas] + \left[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\djathtas] + \majtas[\frac(1)(16)+\cdots\djathtas] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \fund (radhis)

Rreshti i fundit padyshim ndryshon. Kjo provë vjen nga shkencëtari mesjetar Nicholas Orem (rreth 1350).

Dëshmi alternative e divergjencës

Dallimi midis Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): n numri th harmonik dhe logaritmi natyror Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): n konvergon në konstantën Euler-Mascheroni.

Dallimi midis numrave të ndryshëm harmonikë nuk është kurrë i barabartë me një numër të plotë dhe asnjë numër harmonik përveç Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): H_1=1, nuk është një numër i plotë.

Seri të ngjashme

Seria Dirichlet

Një seri harmonike e përgjithësuar (ose seri Dirichlet) është një seri

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alfa) + \frac(1)(4^\alfa) + \cdots +\frac(1)(k^\alfa) + \cdots .

Seria harmonike e përgjithësuar ndryshon në Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): \alpha \leqslant 1 dhe konvergon në Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): \alpha > 1 .

Shuma e serive harmonike të përgjithësuara të rendit Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): \alpha e barabartë me vlerën e funksionit zeta të Riemann:

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)

Për numrat çift, kjo vlerë shprehet shprehimisht në terma pi, për shembull, Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), dhe tashmë për α=3 vlera e tij është analitike e panjohur.

Një tjetër ilustrim i divergjencës së serisë harmonike mund të jetë relacioni Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n .

Seri alternative

Ndryshe nga seria harmonike, në të cilën të gjithë termat merren me shenjën "+", seria

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.: 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \n 2.

Kjo formulë është rast i veçantë Seria Mercator ( anglisht), Seria Taylor për logaritmin natyror.

Një seri e ngjashme mund të nxirret nga seria Taylor për arktangjenten:

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).

Kjo marrëdhënie njihet si seria Leibniz.

Seri harmonike të rastësishme

Në vitin 2003 janë studiuar pronat seri të rastësishme

Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),

Ku Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shih matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): s_n- variabla të rastësishme të pavarura, të shpërndara identike që marrin vlerat +1 dhe −1 me të njëjtën probabilitet prej ½. Tregohet se kjo seri konvergon me probabilitetin 1, dhe shuma e serisë është një ndryshore e rastësishme me veti interesante. Për shembull, funksioni i densitetit të probabilitetit i llogaritur në pikat +2 ose −2 ka vlerën:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

duke ndryshuar nga ⅛ me më pak se 10 −42.

Seritë harmonike "të holluara".

Seria Kempner ( anglisht)

Nëse marrim parasysh një seri harmonike në të cilën kanë mbetur vetëm termat, emëruesit e të cilëve nuk përmbajnë numrin 9, atëherë rezulton se shuma e mbetur konvergon me numrin<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm tekstvc nuk u gjet; Shikoni matematikën/README për ndihmën e konfigurimit.): n, gjithnjë e më pak terma merren për shumën e serisë së "holluar". Kjo do të thotë, në fund të fundit, shumica dërrmuese e termave që formojnë shumën e serisë harmonike janë hedhur poshtë në mënyrë që të mos kalojnë progresionin gjeometrik që kufizon nga lart.

Shkruani një koment për artikullin "Seria Harmonike"

Shënime

Shikoni këtë shabllon

Sekuencat dhe seritë

Sekuencat

Rreshtat, kryesore

Seritë e numrave
(veprimet me seri numrash)

Seri funksionale

Lloje të tjera rreshtash

Shenjat e konvergjencës

Shikoni këtë shabllon Shenjat e konvergjencës së serive

Për të gjitha rreshtat		Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm `tekstvc` nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum^\infty_(n=1)a_n

Për shenja pozitive rreshtave

Për ata që marrin radhën rreshtave

Për rreshtat e formularit Nuk mund të analizohet shprehja (skedar i ekzekutueshëm `tekstvc` nuk u gjet; Shiko matematikën/README - ndihmë me konfigurimin.): \sum^\infty_(n=1)a_n b_n

Për rreshtat e funksioneve

Për seritë Fourier

Një fragment që karakterizon serialin Harmonic

Dita e tmerrshme po merrte fund. U ula pranë dritares së hapur, duke ndier dhe dëgjuar asgjë. Bota u bë e ngrirë dhe pa gëzim për mua. Më dukej se ekzistonte veçmas, duke mos hyrë në trurin tim të lodhur dhe duke mos më prekur në asnjë mënyrë... Në prag të dritares, duke luajtur, ende gërryanin harabela “romake” të shqetësuara. Më poshtë kishte zëra njerëzish dhe zhurma e zakonshme e një qyteti të zhurmshëm gjatë ditës. Por e gjithë kjo më erdhi përmes një “muri” shumë të dendur, i cili thuajse nuk lejonte të kalonin tingujt... Bota ime e brendshme e zakonshme ishte e zbrazët dhe e shurdhër. Ai u bë krejtësisht i huaj dhe i errët... Babai i ëmbël, i dashur nuk ekzistonte më. Ai ndoqi Girolamon...
Por unë ende e kisha Anën. Dhe e dija se duhej të jetoja që të paktën ta shpëtoja nga një vrasës i sofistikuar që e quante veten "vikari i Zotit", Papa i Shenjtë... Ishte e vështirë edhe ta imagjinoja, nëse Caraffa ishte thjesht "mëkëmbësi i tij, ” atëherë çfarë lloj bishe duhet të jetë ky Zoti i tij i dashur?!. U përpoqa të dilja nga gjendja ime "e ngrirë", por siç doli, nuk ishte aq e lehtë - trupi nuk iu bind fare, duke mos dashur të vinte në jetë, dhe shpirti i lodhur kërkonte vetëm paqen.. Më pas, duke parë që asgjë e mirë nuk po funksiononte, vendosa të lija vetëm veten, duke lënë gjithçka të merrte rrugën e vet.
Pa menduar gjë tjetër dhe pa vendosur asgjë, thjesht “fluturova” atje ku po përpiqej shpirti im i plagosur, për t’u shpëtuar... Për të pushuar e harruar të paktën pak, duke shkuar larg botës së keqe “tokësore”. atje ku mbretëronte vetëm drita...
E dija që Caraffa nuk do të më linte vetëm për një kohë të gjatë, pavarësisht asaj që sapo kisha kaluar, përkundrazi - ai do të konsideronte se dhimbja më kishte dobësuar dhe çarmatosur dhe ndoshta në këtë moment do të përpiqej të më detyronte të dorëzohesha duke duke shkaktuar një lloj - një goditje tjetër të tmerrshme ...
Ditët kalonin. Por, për habinë time më të madhe, Caraffa nuk u shfaq... Ky ishte një lehtësim i madh, por, për fat të keq, nuk më la të pushoja. Sepse çdo çast prisja se çfarë poshtërsie të re do të dilte për mua shpirti i tij i errët dhe i lig...
Dhimbja shuhej gradualisht çdo ditë, kryesisht falë një ngjarjeje të papritur dhe të gëzueshme që ndodhi disa javë më parë dhe më tronditi plotësisht - pata rastin të dëgjoj babain tim të ndjerë!..
Nuk mund ta shihja, por çdo fjalë e dëgjoja dhe e kuptoja shumë qartë, sikur babai im të ishte pranë meje. Në fillim nuk e besova, duke menduar se isha thjesht në delir nga lodhja e plotë. Por thirrja u përsërit... Ishte vërtet babai.
Nga gëzimi nuk munda të vija në vete dhe kisha ende frikë se ai befas, pikërisht tani, do të ngrihej dhe do të zhdukej!.. Por babai im nuk u zhduk. Dhe pasi u qetësova pak, më në fund arrita t'i përgjigjem ...
– Vërtet ti je!? Ku je tani?.. Pse nuk të shoh?
– Bija ime... Nuk sheh se je rraskapitur fare, e dashur. Anna sheh që isha me të. Dhe do ta shihni, i dashur. Ju duhet vetëm kohë për t'u qetësuar.
Ngrohtësia e pastër, e njohur u përhap në të gjithë trupin tim, duke më mbështjellë me gëzim dhe dritë...
– Si je baba!? Më thuaj si të duket kjo jetë tjetër?.. Si është?
– Është e mrekullueshme, e dashur!.. Vetëm ajo është ende e pazakontë. Dhe kaq ndryshe nga toka jonë e dikurshme!.. Këtu njerëzit jetojnë në botët e tyre. Dhe janë kaq të bukura, këto "botë"!.. Por unë ende nuk mund ta bëj. Me sa duket, është ende herët për mua... – zëri heshti për një sekondë, sikur të vendoste nëse do të fliste më tej.
- Më takoi Girolamo yt, bijë... Ai është i gjallë dhe i dashur sa ishte në tokë... I mungon shumë dhe ka mall. Dhe ai më kërkoi t'ju them se ai ju do po aq shumë atje ... Dhe ju pret sa herë që të vini ... Dhe nëna juaj është gjithashtu me ne. Të gjithë të duam dhe po presim për ty, e dashur. Na mungon shumë... Kujdesu për veten, bijë. Mos lejoni që Karaffa të ketë gëzimin e talljes me ju.
– A do të vish sërish tek unë baba? A do të të dëgjoj përsëri? – nga frika se mos zhdukej befas, u luta.
- Qetësohu, bijë. Tani kjo është bota ime. Dhe fuqia e Caraffa-s nuk shtrihet tek ai. Nuk do të lë kurrë ty apo Anën. Unë do të vij tek ju sa herë që të telefononi. Qetësohu i dashur.
- Si ndihesh baba? A ndjen gjë?.. – i turpëruar pak nga pyetja ime naive, prapë e pyeta.
- Ndjej gjithçka që ndjeva në Tokë, vetëm shumë më e ndritshme. Imagjinoni një vizatim me laps që papritmas mbushet me ngjyra - të gjitha ndjenjat e mia, të gjitha mendimet e mia janë shumë më të forta dhe më shumëngjyrëshe. Dhe dicka tjeter... Ndjenja e lirise eshte e mahnitshme!.. Me duket se jam i njejti sic kam qene gjithmone, por njekohesisht krejt ndryshe... nuk di si t'jua shpjegoj. më saktë, e dashur... Sikur mund të përqafoj menjëherë gjithçka në botë, ose thjesht të fluturoj larg, larg, te yjet... Gjithçka më duket e mundur, sikur mund të bëj gjithçka që dua! Është shumë e vështirë për ta thënë, për ta shprehur me fjalë... Por më beso, bijë, është e mrekullueshme! Dhe një gjë tjetër... tani e mbaj mend gjithë jetën! Mbaj mend gjithçka që më ka ndodhur dikur... Është e gjitha e mahnitshme. Kjo jetë “tjetër”, siç doli, nuk është aq e keqe... Prandaj, mos ki frikë, bijë, nëse duhet të vish këtu, të gjithë do të presim.
– Më thuaj, baba... Vërtet edhe atje po pret një jetë e mrekullueshme njerëz si Caraffa?.. Por, në atë rast, kjo është përsëri një padrejtësi e tmerrshme!.. A do të jetë vërtet gjithçka përsëri si në Tokë?!. Vërtet ai nuk do të marrë kurrë ndëshkim?!!
- O jo, gëzimi im, këtu nuk ka vend për Karaffën. Kam dëgjuar njerëz si ai të shkojnë në një botë të tmerrshme, por unë nuk kam qenë ende atje. Thonë se kjo është ajo që meritojnë!.. Doja ta shihja, por nuk kam pasur ende kohë. Mos u shqetëso, bijë, ai do të marrë atë që meriton kur të arrijë këtu.
“A mund të më ndihmosh prej andej, baba?” e pyeta me shpresë të fshehur.
– Nuk e di, e dashur... nuk e kam kuptuar akoma këtë botë. Unë jam si një fëmijë që hedh hapat e tij të parë... Së pari duhet të "mësoj të eci" përpara se të mund t'ju përgjigjem... Dhe tani më duhet të iki. Me fal zemer. Së pari duhet të mësoj të jetoj mes dy botëve tona. Dhe pastaj do të vij tek ju më shpesh. Merr guxim Isidora dhe mos u dorëzo kurrë pas Karaffës. Ai patjetër do të marrë atë që meriton, më besoni.
Zëri i babait u bë më i qetë derisa u holl plotësisht dhe u zhduk... Shpirti im u qetësua. Ishte me të vërtetë AI!.. Dhe ai jetoi përsëri, vetëm tani në botën e tij, ende të panjohur për mua, pas vdekjes... Por ai ende mendonte dhe ndjente, siç sapo kishte thënë vetë - edhe shumë më i ndritur se kur jetonte më tej. Toka. Nuk mund të kisha më frikë se nuk do ta dija kurrë për të... Se ai më kishte lënë përgjithmonë.
Por shpirti im femëror, pavarësisht gjithçkaje, përsëri ishte i pikëlluar për të... Për faktin se nuk mund ta përqafoja si njeri kur ndihesha e vetmuar... Që nuk mund të fshihja melankolinë dhe frikën time. gjoksin e tij të gjerë, duke dashur paqen... Se pëllëmba e tij e fortë, e butë nuk mund të më përkëdhelte më kokën e lodhur, sikur të thoshte se gjithçka do të shkonte dhe gjithçka do të ishte padyshim mirë... Më mungonin dëshpërimisht këto të vogla dhe në dukje të parëndësishme, por gëzime të tilla të dashura, thjesht "njerëzore", dhe shpirti ishte i uritur për to, pa mundur të gjente paqe. Po, kam qenë luftëtare... Por kam qenë edhe grua. Vajza e tij e vetme, e cila e dinte gjithmonë se edhe nëse më e keqja do të ndodhte, babai im do të ishte gjithmonë aty, do të ishte gjithmonë me mua... Dhe e gjithë kjo më mungonte me dhimbje...
Duke shkundur disi trishtimin në rritje, e detyrova veten të mendoj për Karaffën. Mendime të tilla më kthjelluan menjëherë dhe më detyruan të mblidhesha nga brenda, pasi e kuptova në mënyrë të përsosur se kjo "paqe" ishte thjesht një pushim i përkohshëm...
Por për habinë time më të madhe, Caraffa ende nuk u shfaq...
Ditët kalonin dhe ankthi u rrit. U përpoqa të bëja ndonjë shpjegim për mungesën e tij, por, për fat të keq, asgjë serioze nuk më erdhi në mendje... E ndjeva se ai po përgatitte diçka, por nuk mund ta merrja me mend se çfarë. Nervat e rraskapitura i dhanë rrugë. Dhe për të mos u çmendur plotësisht nga pritja, fillova të eci nëpër pallat çdo ditë. Nuk më ndaluan të dilja, por as nuk u miratua, prandaj, duke mos dashur të vazhdoja të isha i mbyllur, vendosa vetë që të shëtisja... pavarësisht se ndoshta dikujt nuk do t'i pëlqente. Pallati doli të ishte i madh dhe jashtëzakonisht i pasur. Bukuria e dhomave mahniti imagjinatën, por personalisht nuk mund të jetoja kurrë në një luks kaq tërheqës... Prarimi i mureve dhe tavaneve ishte shtypës, cenonte mjeshtërinë e afreskeve të mahnitshme, mbytëse në mjedisin vezullues të artë. tonet. I kam nderuar me kënaqësi talentin e artistëve që pikturuan këtë shtëpi të mrekullueshme, duke admiruar krijimet e tyre për orë të tëra dhe duke admiruar sinqerisht mjeshtërinë më të mirë. Deri tani askush nuk më ka shqetësuar, askush nuk më ka ndaluar. Megjithëse kishte gjithmonë disa njerëz që, pasi u takuan, u përkulën me respekt dhe vazhduan, secili duke nxituar për biznesin e tij. Pavarësisht nga një "liri" e tillë e rreme, e gjithë kjo ishte alarmante dhe çdo ditë e re sillte gjithnjë e më shumë ankth. Kjo "qetësi" nuk mund të zgjaste përgjithmonë. Dhe isha pothuajse i sigurt se do të "lindte" patjetër një fatkeqësi të tmerrshme dhe të dhimbshme për mua ...

Plani:

1 Shuma e n termave të parë të serisë
- 1.1 Disa vlera të shumës së pjesshme
- 1.2 Formula e Euler-it
- 1.3 Vetitë numerore-teorike të shumave të pjesshme
2 Konvergjenca e serive
- 2.1 Dëshmia e Oresmes
- 2.2 Dëshmi alternative e divergjencës
3 Shuma të pjesshme
4 rreshta të lidhur
- 4.1 Seria Dirichlet
- 4.2 Seri alternative
- 4.3 Seri harmonike të rastësishme
- 4.4 Seritë harmonike "të holluara".

Prezantimi

Në matematikë, një seri harmonike është një shumë e përbërë nga një numër i pafund termash, reciproke të numrave të njëpasnjëshëm të serisë natyrore:

Seriali është emërtuar harmonike, meqenëse çdo term i tij, duke filluar nga i dyti, është mesatarja harmonike e dy fqinjëve.

1. Shuma e n termave të parë të serisë

Anëtarët individualë të serisë priren në zero, por shuma e tyre ndryshon. Shuma e n-të e pjesshme s n e një serie harmonike është numri i n-të harmonik:

1.1. Disa vlera të shumës së pjesshme

1.2. formula e Euler-it

Në 1740, L. Euler mori një shprehje asimptotike për shumën e n termave të parë të serisë:

ku është konstanta Euler-Mascheroni, dhe ln është logaritmi natyror.

Kur vlera është, pra, për n të madh:

- Formula e Euler-it për shumën e n termave të parë të serisë harmonike.

1.3. Vetitë numerore-teorike të shumave të pjesshme

2. Konvergjenca e serisë

në

Seria harmonike ndryshon shumë ngadalë (në mënyrë që shuma e pjesshme të kalojë 100, nevojiten rreth 10 43 elementë të serisë).

Divergjenca e serisë harmonike mund të demonstrohet duke e krahasuar atë me serinë teleskopike:

shuma e pjesshme e së cilës është padyshim e barabartë me:

2.1. Dëshmia e Oresmes

Prova e divergjencës mund të ndërtohet duke grupuar termat si më poshtë:

Rreshti i fundit padyshim ndryshon. Kjo provë vjen nga shkencëtari mesjetar Nicholas Orem (rreth 1350).

2.2. Dëshmi alternative e divergjencës

Supozoni se seria harmonike konvergjon në shumën:

Pastaj, duke riorganizuar thyesat, marrim:

Le ta heqim atë nga kllapa e dytë:

Zëvendësoni kllapin e dytë me:

Le ta zhvendosim në anën e majtë:

Le të zëvendësojmë shumën e serisë:

Ky ekuacion është padyshim i gabuar, pasi një është më i madh se gjysma, një e treta është më e madhe se një e katërta, e kështu me radhë. Kështu, supozimi ynë për konvergjencën e serisë është i gabuar dhe seritë divergjenca.

jo e barabartë me 0, sepse secila nga kllapat është pozitive.

Kjo do të thotë se S është pafundësi dhe veprimet tona të mbledhjes ose zbritjes së tij nga të dyja anët e barazisë janë të papranueshme.

3. Shuma të pjesshme

n shuma e pjesshme e serisë harmonike,

thirrur n-th numër harmonik.

Dallimi midis n numri th harmonik dhe logaritmi natyror n konvergon në konstanten Euler-Mascheroni.

Dallimi midis numrave të ndryshëm harmonikë nuk është kurrë i barabartë me një numër të plotë dhe asnjë numër harmonik përveç H 1 = 1 nuk është një numër i plotë.

4. Rreshtat e lidhur

4.1. Seria Dirichlet

Një seri harmonike e përgjithësuar (ose seri Dirichlet) është një seri

Seria harmonike e përgjithësuar divergon për α≤1 dhe konvergjon për α>1.

Shuma e serisë harmonike të përgjithësuar të rendit α është e barabartë me vlerën e funksionit zeta të Riemann-it:

Për numrat çift, kjo vlerë shprehet qartë përmes numrit pi, për shembull, , dhe tashmë për α=3 vlera e tij është e panjohur analitikisht.

4.2. Seri alternative

14 shumat e para të pjesshme të serisë harmonike alternative (segmente të zeza), që tregojnë konvergjencën me logaritmi natyror nga 2 (vija e kuqe).

Ndryshe nga seria harmonike, në të cilën të gjithë termat merren me shenjën "+", seria

konvergon sipas kriterit të Leibniz-it. Prandaj thonë se një serial i tillë ka konvergjencë e kushtëzuar . Shuma e tij është e barabartë me logaritmin natyror prej 2:

Kjo formulë është një rast i veçantë i serisë Mercator ( anglisht), Seria Taylor për logaritmin natyror.

Një seri e ngjashme mund të merret nga seria Taylor për arktangjentin:

Kjo njihet si seria Leibniz.

4.3. Seri harmonike të rastësishme

Biron Shmuland nga Universiteti i Albertës ekzaminoi vetitë e një serie të rastësishme

Ku s n variabla të rastësishme të pavarura, të shpërndara identike që marrin vlerat +1 dhe −1 me të njëjtin probabilitet ½. Tregohet se kjo shumë ka probabilitet 1, dhe shuma e serisë është vlerë e rastësishme me veti interesante. Për shembull, funksioni i densitetit të probabilitetit i llogaritur në pikat +2 ose −2 ka një vlerë prej 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ..., që ndryshon nga 2 − më pak se 2. Punimi i Shmuland shpjegon pse kjo vlerë është afër, por jo e barabartë me 1/8.

4.4. Seritë harmonike "të holluara".

Seria Kempner ( anglisht)

Nëse marrim parasysh një seri harmonike në të cilën kanë mbetur vetëm termat, emëruesit e të cilëve nuk përmbajnë numrin 9, atëherë rezulton se shuma e mbetur konvergon me numrin<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.