Emri i të cilit është metoda e përjashtimit sekuencial të të panjohurave. Sistemi i shënimeve të matricës

Le të një sistem të lineare ekuacionet algjebrike, e cila duhet të zgjidhet (gjeni vlera të tilla të të panjohurave xi që e kthejnë çdo ekuacion të sistemit në barazi).

Ne e dimë se një sistem ekuacionesh algjebrike lineare mund të:

1) Nuk ka zgjidhje (të jetë jo të përbashkët).
2) Keni pafundësisht shumë zgjidhje.
3) Kanë vetëm vendim.

Siç e kujtojmë, rregulli i Cramer dhe metoda e matricës janë të papërshtatshme në rastet kur sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje ose është jokonsistent. Metoda e Gausit – mjeti më i fuqishëm dhe universal për të gjetur një zgjidhje për çdo sistem ekuacionet lineare , e cila në çdo rast do të na çojë te përgjigjja! Algoritmi i vetë metodës në të gjitha tre raste funksionon njësoj. Nëse metodat Cramer dhe matricë kërkojnë njohuri për përcaktuesit, atëherë për të aplikuar metodën e Gausit ju nevojiten vetëm njohuri veprimet aritmetike, gjë që e bën të aksesueshme edhe për nxënësit e shkollave fillore.

Transformimet e matricës së shtuar ( kjo është matrica e sistemit - një matricë e përbërë vetëm nga koeficientët e të panjohurave, plus një kolonë me terma të lirë) sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare në metodën e Gausit:

1) Me troki matricat Mund rirregulloj në disa vende.

2) nëse ato proporcionale shfaqen (ose ekzistojnë) në matricë (si rast i veçantë– identike) vija, pastaj vijon fshij Të gjitha këto rreshta janë nga matrica, përveç njërit.

3) nëse një rresht zero shfaqet në matricë gjatë transformimeve, atëherë duhet të jetë gjithashtu fshij.

4) një rresht i matricës mund të jetë shumëzoj (pjesto) në çdo numër të ndryshëm nga zero.

5) në një rresht të matricës mundeni shtoni një varg tjetër të shumëzuar me një numër, të ndryshme nga zero.

Në metodën e Gausit, transformimet elementare nuk e ndryshojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve.

Metoda e Gausit përbëhet nga dy faza:

1. "Lëvizja e drejtpërdrejtë" - duke përdorur transformimet elementare, sillni matricën e zgjeruar të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare në një formë hapi "trekëndëshi": elementët e matricës së zgjeruar që ndodhen nën diagonalen kryesore janë të barabarta me zero (lëvizja nga lart-poshtë). Për shembull, për këtë lloj:

Për ta bërë këtë, kryeni hapat e mëposhtëm:

1) Le të shqyrtojmë ekuacionin e parë të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare dhe koeficienti për x 1 është i barabartë me K. E dyta, e treta, etj. ne i transformojmë ekuacionet si më poshtë: ne pjesëtojmë çdo ekuacion (koeficientët e të panjohurave, duke përfshirë termat e lirë) me koeficientin e të panjohurës x 1, që është në secilin ekuacion, dhe shumëzojmë me K. Pas kësaj, i zbresim të parën nga ekuacioni i dytë (koeficientët e të panjohurave dhe termat e lirë). Për x 1 në ekuacionin e dytë marrim koeficientin 0. Nga ekuacioni i tretë i transformuar zbresim ekuacionin e parë derisa të gjitha ekuacionet përveç të parit, për të panjohurën x 1, të kenë një koeficient 0.

2) Le të kalojmë në ekuacionin tjetër. Le të jetë ky ekuacioni i dytë dhe koeficienti për x 2 i barabartë me M. Ne vazhdojmë me të gjitha ekuacionet "më të ulëta" siç përshkruhet më sipër. Kështu, "nën" të panjohurën x 2 do të ketë zero në të gjitha ekuacionet.

3) Kaloni në ekuacionin tjetër dhe kështu me radhë derisa të mbetet një e panjohur e fundit dhe termi i lirë i transformuar.

1. "Lëvizja e kundërt" e metodës Gauss është të merret një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare (lëvizja "nga poshtë-lart"). Nga ekuacioni i fundit "më i ulët" marrim një zgjidhje të parë - të panjohurën x n. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin elementar A * x n = B. Në shembullin e dhënë më sipër, x 3 = 4. Zëvendësoni vlerën e gjetur në "e sipërme" ekuacioni i mëposhtëm dhe zgjidhin atë në lidhje me të panjohurën tjetër. Për shembull, x 2 – 4 = 1, d.m.th. x 2 = 5. Dhe kështu me radhë derisa të gjejmë të gjitha të panjohurat.

Shembull.

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit, siç këshillojnë disa autorë:

Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi:

Ne shikojmë "hapin" e sipërm të majtë. Duhet të kemi një atje. Problemi është se nuk ka fare njësi në kolonën e parë, kështu që riorganizimi i rreshtave nuk do të zgjidhë asgjë. Në raste të tilla, njësia duhet të organizohet duke përdorur një transformim elementar. Kjo zakonisht mund të bëhet në disa mënyra. Le ta bejme kete:
1 hap . Në rreshtin e parë shtojmë rreshtin e dytë, shumëzuar me –1. Kjo do të thotë, ne shumëzuam mendërisht rreshtin e dytë me –1 dhe shtuam rreshtin e parë dhe të dytë, ndërsa rreshti i dytë nuk ndryshoi.

Tani lart majtas është "minus një", që na shkon mjaft mirë. Kushdo që dëshiron të marrë +1 mund të kryejë një veprim shtesë: shumëzoni rreshtin e parë me –1 (ndryshoni shenjën e tij).

Hapi 2 . Rreshti i parë, shumëzuar me 5, u shtua në rreshtin e dytë.

Hapi 3 . Rreshti i parë u shumëzua me -1, në parim, kjo është për bukurinë. U ndryshua edhe shenja e vijës së tretë dhe u zhvendos në vendin e dytë, në mënyrë që në “hapin” e dytë të kishim njësinë e kërkuar.

Hapi 4 . Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me 2.

Hapi 5 . Rreshti i tretë u nda me 3.

Një shenjë që tregon një gabim në llogaritje (më rrallë, një gabim shtypi) është një fund "i keq". Kjo do të thotë, nëse marrim diçka si (0 0 11 |23) më poshtë, dhe, në përputhje me rrethanat, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atëherë me një pjesë të madhe probabiliteti, mund të argumentohet se është bërë një gabim gjatë transformimeve elementare.

Le të bëjmë të kundërtën në hartimin e shembujve, vetë sistemi shpesh nuk rishkruhet, por ekuacionet "merren drejtpërdrejt nga matrica e dhënë". Lëvizja e kundërt, ju kujtoj, funksionon nga poshtë lart. NË në këtë shembull doli të ishte një dhuratë:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, pra x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Përgjigju:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Le të zgjidhim të njëjtin sistem duke përdorur algoritmin e propozuar. marrim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Pjesëtojmë ekuacionin e dytë me 5 dhe të tretën me 3. Marrim:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Duke shumëzuar ekuacionin e dytë dhe të tretë me 4, marrim:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i dytë dhe i tretë, kemi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Pjestojeni ekuacionin e tretë me 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Shumëzoni ekuacionin e tretë me 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Duke zbritur të dytën nga ekuacioni i tretë, marrim një matricë të zgjeruar "të shkallëzuar":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kështu, meqenëse gabimi i grumbulluar gjatë llogaritjeve, marrim x 3 = 0.96 ose afërsisht 1.

x 2 = 3 dhe x 1 = –1.

Duke e zgjidhur në këtë mënyrë, nuk do të ngatërroheni kurrë në llogaritje dhe, pavarësisht gabimeve në llogaritje, do të merrni rezultatin.

Kjo metodë e zgjidhjes së një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare është e lehtë për t'u programuar dhe nuk merr parasysh veçori specifike koeficientët për të panjohurat, sepse në praktikë (në llogaritjet ekonomike dhe teknike) duhet të merret me koeficientët jo të plotë.

Ju uroj suksese! Shihemi në klasë! Tutori Dmitry Aystrakhanov.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Metoda Gaussian, e quajtur edhe metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave, është si më poshtë. Duke përdorur transformimet elementare, një sistem ekuacionesh lineare është sjellë në një formë të tillë që matrica e tij e koeficientëve rezulton të jetë trapezoidale (e njëjtë si trekëndore ose me shkallë) ose afër trapezoidale (goditja e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian, më tej thjesht goditje e drejtë). Një shembull i një sistemi të tillë dhe zgjidhja e tij është në figurën e mësipërme.

Në një sistem të tillë, ekuacioni i fundit përmban vetëm një ndryshore dhe vlera e saj mund të gjendet pa mëdyshje. Vlera e kësaj ndryshore më pas zëvendësohet në ekuacionin e mëparshëm ( inversi i metodës Gaussian , pastaj vetëm anasjelltas), nga e cila gjendet ndryshorja e mëparshme, e kështu me radhë.

Në një sistem trapezoid (trekëndor), siç e shohim, ekuacioni i tretë nuk përmban më ndryshore y Dhe x, dhe ekuacioni i dytë është ndryshorja x .

Pasi matrica e sistemit të ketë marrë një formë trapezoidale, nuk është më e vështirë të kuptohet çështja e përputhshmërisë së sistemit, të përcaktohet numri i zgjidhjeve dhe të gjenden vetë zgjidhjet.

Përparësitë e metodës:

1. kur zgjidhen sisteme ekuacionesh lineare me më shumë se tre ekuacione dhe të panjohura, metoda e Gausit nuk është aq e rëndë sa metoda Cramer, pasi zgjidhja me metodën e Gausit kërkon më pak llogaritje;
2. Duke përdorur metodën e Gausit, ju mund të zgjidhni sisteme të pacaktuara të ekuacioneve lineare, domethënë të keni vendim të përbashkët(dhe ne do t'i shikojmë ato në këtë mësim), por duke përdorur metodën e Cramer-it, mund të themi vetëm se sistemi është i pasigurt;
3. ju mund të zgjidhni sisteme ekuacionesh lineare në të cilat numri i të panjohurave nuk është i barabartë me numrin e ekuacioneve (ne gjithashtu do t'i analizojmë ato në këtë mësim);
4. Metoda bazohet në metodat elementare (shkollore) - metoda e zëvendësimit të të panjohurave dhe metoda e shtimit të ekuacioneve, të cilat i prekëm në artikullin përkatës.

Në mënyrë që të gjithë të mund të vlerësojnë thjeshtësinë me të cilën zgjidhen sistemet trapezoidale (trekëndore, hapësore) të ekuacioneve lineare, ne paraqesim një zgjidhje për një sistem të tillë duke përdorur lëvizje të kundërt. Vendim i shpejtë Ky sistem u tregua në foto në fillim të mësimit.

Shembulli 1. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur të anasjelltë:

Zgjidhje. Në këtë sistem trapezoidal ndryshorja z mund të gjendet në mënyrë unike nga ekuacioni i tretë. Ne e zëvendësojmë vlerën e tij në ekuacionin e dytë dhe marrim vlerën e ndryshores y:

Tani ne i dimë vlerat e dy variablave - z Dhe y. Ne i zëvendësojmë ato në ekuacionin e parë dhe marrim vlerën e ndryshores x:

Nga hapat e mëparshëm ne shkruajmë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve:

Për të marrë një sistem të tillë trapezoidal të ekuacioneve lineare, të cilin e zgjidhëm shumë thjesht, është e nevojshme të përdoret një goditje përpara e lidhur me transformimet elementare të sistemit të ekuacioneve lineare. Gjithashtu nuk është shumë e vështirë.

Shndërrimet elementare të një sistemi ekuacionesh lineare

Duke përsëritur metodën shkollore të mbledhjes algjebrike të ekuacioneve të një sistemi, zbuluam se njërit prej ekuacioneve të sistemit mund t'i shtojmë një ekuacion tjetër të sistemit dhe secili prej ekuacioneve mund të shumëzohet me disa numra. Si rezultat, marrim një sistem ekuacionesh lineare ekuivalente me këtë. Në të, një ekuacion përmbante tashmë vetëm një ndryshore, duke zëvendësuar vlerën e së cilës me ekuacione të tjera, arrijmë në një zgjidhje. Një shtesë e tillë është një nga llojet e transformimit elementar të sistemit. Kur përdorim metodën Gaussian, mund të përdorim disa lloje transformimesh.

Animacioni i mësipërm tregon se si sistemi i ekuacioneve gradualisht kthehet në një trapezoid. Kjo do të thotë, ai që patë në animacionin e parë dhe e bindi veten se është e lehtë të gjesh vlerat e të gjitha të panjohurave prej tij. Si të kryhet një transformim i tillë dhe, natyrisht, shembujt do të diskutohen më tej.

Kur zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare me çdo numër ekuacionesh dhe të panjohurash në sistemin e ekuacioneve dhe në matricën e zgjeruar të sistemit Mund:

1. riorganizoni linjat (kjo u përmend në fillim të këtij artikulli);
2. nëse transformimet e tjera rezultojnë në rreshta të barabartë ose proporcional, ato mund të fshihen, përveç njërit;
3. hiqni rreshtat "zero" ku të gjithë koeficientët janë të barabartë me zero;
4. shumëzoni ose pjesëtoni çdo varg me një numër të caktuar;
5. çdo rreshti shtoni një rresht tjetër, shumëzuar me një numër të caktuar.

Si rezultat i transformimeve, marrim një sistem ekuacionesh lineare të barazvlefshëm me këtë.

Algoritmi dhe shembuj të zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh lineare me një matricë katrore të sistemit duke përdorur metodën e Gausit

Le të shqyrtojmë fillimisht zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare në të cilat numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve. Matrica e një sistemi të tillë është katror, ​​domethënë, numri i rreshtave në të është i barabartë me numrin e kolonave.

Shembulli 2. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare mënyra shkollore, shumëzuam një nga ekuacionet term për term me një numër të caktuar, në mënyrë që koeficientët e ndryshores së parë në dy ekuacionet ishin numra të kundërt. Kur shtohen ekuacione, kjo ndryshore eliminohet. Metoda e Gausit funksionon në mënyrë të ngjashme.

Për të thjeshtuar pamjen Zgjidhjet le të krijojmë një matricë të zgjeruar të sistemit:

Në këtë matricë, koeficientët e të panjohurave janë të vendosur në të majtë para vijës vertikale, dhe termat e lirë janë të vendosur në të djathtë pas vijës vertikale.

Për lehtësinë e pjesëtimit të koeficientëve për variablat (për të marrë pjesëtimin me njësi) Le të shkëmbejmë rreshtin e parë dhe të dytë të matricës së sistemit. Ne marrim një sistem të barabartë me këtë, pasi në një sistem ekuacionesh lineare ekuacionet mund të ndërrohen:

Duke përdorur ekuacionin e ri të parë eliminoni variablin x nga ekuacionet e dyta dhe të gjitha ekuacionet pasuese. Për ta bërë këtë, në rreshtin e dytë të matricës shtojmë rreshtin e parë, të shumëzuar me (në rastin tonë, me ), në rreshtin e tretë - rreshtin e parë, shumëzuar me (në rastin tonë, me ).

Kjo është e mundur sepse

Nëse do të kishte më shumë se tre ekuacione në sistemin tonë, atëherë do të duhej të shtonim në të gjitha ekuacionet pasuese rreshtin e parë, të shumëzuar me raportin e koeficientëve përkatës, të marrë me shenjën minus.

Si rezultat, marrim një matricë ekuivalente me këtë sistem sistemi i ri ekuacionet në të cilat të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta nuk përmbajnë një ndryshore x :

Për të thjeshtuar rreshtin e dytë të sistemit që rezulton, shumëzojeni atë me dhe përsëri merrni matricën e një sistemi ekuacionesh ekuivalente me këtë sistem:

Tani, duke mbajtur të pandryshuar ekuacionin e parë të sistemit që rezulton, duke përdorur ekuacionin e dytë eliminojmë variablin y nga të gjitha ekuacionet pasuese. Për ta bërë këtë, në rreshtin e tretë të matricës së sistemit shtojmë rreshtin e dytë, të shumëzuar me (në rastin tonë me ).

Nëse do të kishte më shumë se tre ekuacione në sistemin tonë, atëherë do të duhej të shtonim një rresht të dytë në të gjitha ekuacionet pasuese, shumëzuar me raportin e koeficientëve përkatës të marrë me një shenjë minus.

Si rezultat, ne marrim përsëri matricën e një sistemi ekuivalent me këtë sistem ekuacionesh lineare:

Ne kemi marrë një sistem ekuivalent trapezoidal të ekuacioneve lineare:

Nëse numri i ekuacioneve dhe variablave është më i madh se në shembullin tonë, atëherë procesi i eliminimit sekuencial të variablave vazhdon derisa matrica e sistemit të bëhet trapezoidale, si në shembullin tonë demo.

Ne do ta gjejmë zgjidhjen "nga fundi" - lëvizjen e kundërt. Për këtë nga ekuacioni i fundit që përcaktojmë z:
.
Duke e zëvendësuar këtë vlerë në ekuacionin e mëparshëm, do të gjejmë y:

Nga ekuacioni i parë do të gjejmë x:

Përgjigje: zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh është .

: në këtë rast do të jepet e njëjta përgjigje nëse sistemi ka një zgjidhje unike. Nëse sistemi ka grup i pafund zgjidhje, atëherë kjo do të jetë përgjigja, dhe kjo është tashmë tema e pjesës së pestë të këtij mësimi.

Zgjidheni vetë një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Gaussian dhe më pas shikoni zgjidhjen

Këtu përsëri kemi një shembull të një sistemi të qëndrueshëm dhe të caktuar të ekuacioneve lineare, në të cilin numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave. Dallimi nga shembulli ynë demonstrues nga algoritmi është se tashmë ekzistojnë katër ekuacione dhe katër të panjohura.

Shembulli 4. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit:

Tani ju duhet të përdorni ekuacionin e dytë për të eliminuar variablin nga ekuacionet pasuese. Le të kryejmë punë përgatitore. Për ta bërë më të përshtatshëm me raportin e koeficientëve, duhet të merrni një në kolonën e dytë të rreshtit të dytë. Për ta bërë këtë, zbritni të tretën nga rreshti i dytë dhe shumëzoni rreshtin e dytë që rezulton me -1.

Le të bëjmë tani eliminimin aktual të ndryshores nga ekuacioni i tretë dhe i katërt. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e dytë, shumëzuar me , në rreshtin e tretë dhe të dytën, shumëzuar me , në rreshtin e katërt.

Tani, duke përdorur ekuacionin e tretë, eliminojmë variablin nga ekuacioni i katërt. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e tretë në rreshtin e katërt, shumëzuar me . Ne marrim një matricë trapezoidale të zgjeruar.

Ne kemi marrë një sistem ekuacionesh që është ekuivalent me këtë sistem:

Rrjedhimisht, sistemet që rezultojnë dhe ato të dhëna janë të pajtueshme dhe të përcaktuara. Vendimi përfundimtar gjejmë “nga fundi”. Nga ekuacioni i katërt mund të shprehim drejtpërdrejt vlerën e ndryshores “x-four”:

Ne e zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacionin e tretë të sistemit dhe marrim

,

,

Së fundi, zëvendësimi i vlerës

Ekuacioni i parë jep

,

ku gjejmë "x së pari":

Përgjigje: ky sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike .

Ju gjithashtu mund të kontrolloni zgjidhjen e sistemit në një kalkulator duke përdorur metodën e Cramer: në këtë rast, e njëjta përgjigje do të jepet nëse sistemi ka një zgjidhje unike.

Zgjidhja e problemeve të aplikuara duke përdorur metodën e Gausit duke përdorur shembullin e një problemi në lidhjet

Sistemet e ekuacioneve lineare përdoren për të modeluar objekte reale në botën fizike. Le të zgjidhim një nga këto probleme - lidhjet. Probleme të ngjashme - probleme në përzierje, kosto ose gravitet specifik produkte individuale në një grup produktesh dhe të ngjashme.

Shembulli 5. Tre copa aliazh kanë peshë totale 150 kg. Lidhja e parë përmban 60% bakër, e dyta - 30%, e treta - 10%. Për më tepër, në lidhjen e dytë dhe të tretë të marra së bashku ka 28,4 kg më pak bakër se në lidhjen e parë, dhe në lidhjen e tretë ka 6,2 kg më pak bakër se në të dytën. Gjeni masën e secilës pjesë të aliazhit.

Zgjidhje. Ne hartojmë një sistem ekuacionesh lineare:

Ne shumëzojmë ekuacionet e dyta dhe të treta me 10, marrim një sistem ekuivalent të ekuacioneve lineare:

Ne krijojmë një matricë të zgjeruar të sistemit:

Kujdes, drejt përpara. Duke shtuar (në rastin tonë, duke zbritur) një rresht të shumëzuar me një numër (ne e zbatojmë atë dy herë), transformimet e mëposhtme ndodhin me matricën e zgjeruar të sistemit:

Lëvizja e drejtpërdrejtë ka përfunduar. Ne morëm një matricë trapezoidale të zgjeruar.

Ne aplikojmë lëvizjen e kundërt. Zgjidhjen e gjejmë nga fundi. Ne e shohim atë.

Nga ekuacioni i dytë gjejmë

Nga ekuacioni i tretë -

Ju gjithashtu mund të kontrolloni zgjidhjen e sistemit në një kalkulator duke përdorur metodën e Cramer: në këtë rast, e njëjta përgjigje do të jepet nëse sistemi ka një zgjidhje unike.

Thjeshtësia e metodës së Gausit dëshmohet nga fakti se matematikanit gjerman Carl Friedrich Gauss iu deshën vetëm 15 minuta për ta shpikur atë. Përveç metodës me emrin e tij, thënia "Ne nuk duhet të ngatërrojmë atë që na duket e pabesueshme dhe e panatyrshme me absolutisht të pamundurën" është e njohur nga veprat e Gauss - një lloj udhëzime të shkurtra për të bërë zbulime.

Ne shume problemet e aplikuara mund të mos ketë një kufizim të tretë, domethënë një ekuacion të tretë, atëherë duhet të zgjidhni një sistem prej dy ekuacionesh me tre të panjohura duke përdorur metodën e Gausit, ose, anasjelltas, ka më pak të panjohura se ekuacionet. Tani do të fillojmë të zgjidhim sisteme të tilla ekuacionesh.

Duke përdorur metodën Gaussian, ju mund të përcaktoni nëse ndonjë sistem është i pajtueshëm ose i papajtueshëm n ekuacionet lineare me n variablat.

Metoda e Gausit dhe sistemet e ekuacioneve lineare me një numër të pafund zgjidhjesh

Shembulli tjetër është një sistem konsistent, por i papërcaktuar ekuacionesh lineare, domethënë që ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Pas kryerjes së transformimeve në matricën e zgjeruar të sistemit (rirregullimi i rreshtave, shumëzimi dhe pjesëtimi i rreshtave me një numër të caktuar, shtimi i një tjetri në një rresht), mund të shfaqen rreshtat e formës.

Nëse në të gjitha ekuacionet që kanë formën

Termat e lirë janë të barabartë me zero, kjo do të thotë se sistemi është i pacaktuar, domethënë ka një numër të pafund zgjidhjesh dhe ekuacionet e këtij lloji janë "të tepërta" dhe ne i përjashtojmë ato nga sistemi.

Shembulli 6.

Zgjidhje. Le të krijojmë një matricë të zgjeruar të sistemit. Më pas, duke përdorur ekuacionin e parë, eliminojmë variablin nga ekuacionet pasuese. Për ta bërë këtë, shtoni në rreshtat e dytë, të tretë dhe të katërt të parën, shumëzuar me:

Tani le të shtojmë rreshtin e dytë në të tretën dhe të katërtin.

Si rezultat, arrijmë në sistem

Dy ekuacionet e fundit u kthyen në ekuacione të formës. Këto ekuacione janë të kënaqura për çdo vlerë të të panjohurave dhe mund të hidhen poshtë.

Për të përmbushur ekuacionin e dytë, ne mund të zgjedhim vlera arbitrare për dhe, atëherë vlera për do të përcaktohet në mënyrë unike: . Nga ekuacioni i parë, vlera për gjendet gjithashtu në mënyrë unike: .

Të dyja të dhëna dhe sistemi i fundit janë të qëndrueshme, por të pacaktuara, dhe formulat

për arbitrare dhe na jep të gjitha zgjidhjet e një sistemi të caktuar.

Metoda e Gausit dhe sistemet e ekuacioneve lineare pa zgjidhje

Shembulli tjetër është një sistem jokonsistent ekuacionesh lineare, domethënë ai që nuk ka zgjidhje. Përgjigja për probleme të tilla është formuluar në këtë mënyrë: sistemi nuk ka zgjidhje.

Siç u përmend tashmë në lidhje me shembullin e parë, pas kryerjes së transformimeve, rreshtat e formës mund të shfaqen në matricën e zgjeruar të sistemit

që korrespondon me një ekuacion të formës

Nëse midis tyre ka të paktën një ekuacion me një jozero anëtar i lirë(d.m.th.), atëherë ky sistem ekuacionesh është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje dhe zgjidhja e tij është e plotë.

Shembulli 7. Zgjidheni sistemin e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit:

Zgjidhje. Ne krijojmë një matricë të zgjeruar të sistemit. Duke përdorur ekuacionin e parë, ne përjashtojmë variablin nga ekuacionet pasuese. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e parë të shumëzuar me rreshtin e dytë, rreshtin e parë të shumëzuar me rreshtin e tretë dhe rreshtin e parë të shumëzuar me rreshtin e katërt.

Tani ju duhet të përdorni ekuacionin e dytë për të eliminuar variablin nga ekuacionet pasuese. Për të marrë raportet e numrave të plotë të koeficientëve, ne ndërrojmë rreshtin e dytë dhe të tretë të matricës së zgjeruar të sistemit.

Për të përjashtuar ekuacionin e tretë dhe të katërt, shtoni të dytin shumëzuar me , në rreshtin e tretë dhe të dytën shumëzuar me , në rreshtin e katërt.

Tani, duke përdorur ekuacionin e tretë, ne eliminojmë variablin nga ekuacioni i katërt. Për ta bërë këtë, shtoni rreshtin e tretë në rreshtin e katërt, shumëzuar me .

Sistemi i specifikuar prandaj është e barabartë me sa vijon:

Sistemi që rezulton është i paqëndrueshëm, pasi ekuacioni i tij i fundit nuk mund të plotësohet me asnjë vlerë të të panjohurës. Prandaj, ky sistem nuk ka zgjidhje.

Thelbi i metodës Gauss është shndërrimi i (1) në një sistem me një matricë trekëndore, nga e cila më pas merren vlerat e të gjitha të panjohurave në mënyrë sekuenciale (në të kundërt). Le të shqyrtojmë një nga skemat llogaritëse. Ky qark quhet qark një ndarje. Pra, le të shohim këtë diagram. Le të ndajë një 11 ≠0 (element kryesor) ekuacionin e parë me një 11. marrim
(2)
Duke përdorur ekuacionin (2), është e lehtë të eliminohen të panjohurat x 1 nga ekuacionet e mbetura të sistemit (për ta bërë këtë, mjafton të zbritet ekuacioni (2) nga secili ekuacion, i shumëzuar më parë me koeficientin përkatës për x 1) , domethënë në hapin e parë marrim
.
Me fjalë të tjera, në hapin 1, çdo element i rreshtave pasues, duke filluar nga i dyti, e barabartë me diferencën ndërmjet elementit origjinal dhe produktit të "projeksionit" të tij në kolonën e parë dhe rreshtin e parë (të transformuar).
Pas kësaj, duke lënë vetëm ekuacionin e parë, kryejmë një transformim të ngjashëm mbi ekuacionet e mbetura të sistemit të marra në hapin e parë: zgjedhim prej tyre ekuacionin me elementin kryesor dhe, me ndihmën e tij, përjashtojmë x 2 nga pjesa e mbetur. ekuacionet (hapi 2).
Pas n hapash, në vend të (1), marrim një sistem ekuivalent
(3)
Kështu, në fazën e parë marrim sistem trekëndor(3). Kjo fazë quhet goditje përpara.
Në fazën e dytë (e kundërta), gjejmë në mënyrë sekuenciale nga (3) vlerat x n, x n -1, ..., x 1.
Zgjidhjen që rezulton ta shënojmë si x 0. Atëherë diferenca ε=b-A x 0 quhet mbetje.
Nëse ε=0, atëherë zgjidhja e gjetur x 0 është e saktë.

Llogaritjet duke përdorur metodën Gaussian kryhen në dy faza:

1. Faza e parë quhet metoda përpara. Në fazën e parë, sistemi origjinal shndërrohet në një formë trekëndore.
2. Faza e dytë quhet goditje e kundërt. Në fazën e dytë, zgjidhet një sistem trekëndor ekuivalent me atë origjinal.

Qëllimi i metodës së Gausit

Llojet e metodës Gaussian

1. Metoda klasike Gaussian;
2. Modifikimet e metodës së Gausit. Një nga modifikimet e metodës Gaussian është një skemë me zgjedhjen e elementit kryesor. Një tipar i metodës Gauss me zgjedhjen e elementit kryesor është një rirregullim i tillë i ekuacioneve në mënyrë që në hapin k-të elementi kryesor të jetë elementi më i madh në kolonën k-të.
3. Metoda Jordano-Gauss;

Shembull i një zgjidhjeje duke përdorur metodën Gaussian
Le të zgjidhim sistemin:

Për lehtësinë e llogaritjes, le të ndërrojmë rreshtat:

Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (2). Shtoni rreshtin e 3-të në rreshtin e dytë

Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-1). Shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e parë

Nga rreshti i parë shprehim x 3:
Nga rreshti i dytë shprehim x 2:
Nga rreshti i tretë shprehim x 1:

Një shembull i një zgjidhjeje duke përdorur metodën Jordano-Gauss
Le të zgjidhim të njëjtën SLAE duke përdorur metodën Jordano-Gauss.

Ne do të zgjedhim në mënyrë sekuenciale elementin zgjidhës RE, i cili shtrihet në diagonalen kryesore të matricës.
Elementi i rezolucionit është i barabartë me (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - elementi zgjidhës (1), A dhe B - elementë matricë që formojnë një drejtkëndësh me elementët STE dhe RE.
Le të paraqesim llogaritjen e secilit element në formën e një tabele:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Zbatimi i metodës Gaussian

Duke përdorur metodën Gaussian

Zbatimi i metodës së Gausit në teorinë e lojës

Zbatimi i metodës së Gausit në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale

Zbatimi i metodës Jordano-Gauss në programimin linear

Metoda e Gausit perfekte për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE). Ka një numër avantazhesh në krahasim me metodat e tjera:

• së pari, nuk ka nevojë që fillimisht të ekzaminohet sistemi i ekuacioneve për konsistencë;
• së dyti, metoda e Gausit mund të zgjidhë jo vetëm SLAE në të cilat numri i ekuacioneve përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe matrica kryesore e sistemit është jo njëjës, por edhe sisteme ekuacionesh në të cilat numri i ekuacioneve nuk përkon me numri i variablave të panjohur ose përcaktuesi i matricës kryesore e barabartë me zero;
• së treti, metoda Gaussian çon në rezultate me relativisht sasi e vogël operacionet kompjuterike.

Pasqyrë e shkurtër e artikullit.

Së pari le të japim përkufizimet e nevojshme dhe prezantoni shënimin.

Më pas, do të përshkruajmë algoritmin e metodës së Gausit për rastin më të thjeshtë, domethënë për sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare, numri i ekuacioneve në të cilat përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktuesin e matricës kryesore të sistemit është jo e barabartë me zero. Kur zgjidhen sisteme të tilla ekuacionesh, thelbi i metodës Gauss është më qartë i dukshëm, që është eliminimi vijues i variablave të panjohur. Prandaj, metoda Gaussian quhet edhe metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave. Ne do t'ju tregojmë zgjidhje të detajuara disa shembuj.

Si përfundim, ne do të shqyrtojmë zgjidhjen me metodën e Gausit të sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare, matrica kryesore e së cilës është ose drejtkëndëshe ose njëjës. Zgjidhja për sisteme të tilla ka disa veçori, të cilat do t'i shqyrtojmë në detaje duke përdorur shembuj.

Navigimi i faqes.

Përkufizimet dhe shënimet bazë.

Konsideroni një sistem p ekuacionesh lineare me n të panjohura (p mund të jetë e barabartë me n):

Ku janë ndryshoret e panjohura, janë numrat (realë ose kompleksë) dhe janë terma të lirë.

Nëse , atëherë quhet sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare homogjene, ndryshe - heterogjene.

Quhet grupi i vlerave të ndryshoreve të panjohura për të cilat të gjitha ekuacionet e sistemit bëhen identitete vendimi i SLAU.

Nëse ka të paktën një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare, atëherë quhet të përbashkët, ndryshe - jo të përbashkët.

Nëse një SLAE ka një zgjidhje unike, atëherë ajo quhet të caktuara. Nëse ka më shumë se një zgjidhje, atëherë thirret sistemi i pasigurt.

Ata thonë se sistemi është i shkruar në formë koordinative , nëse ka formën
.

Ky sistem në forma matrice rekord ka formën , ku - matrica kryesore e SLAE, - matrica e kolonës së ndryshoreve të panjohura, - matrica e termave të lirë.

Nëse matricës A i shtojmë një kolonë-matricë me terma të lirë si kolonën (n+1), marrim të ashtuquajturën matricë e zgjeruar sistemet e ekuacioneve lineare. Zakonisht matrica e zgjeruar shënohet me shkronjën T, dhe kolona e termave të lirë ndahet vijë vertikale nga kolonat e mbetura, domethënë,

Matrica katrore A quhet i degjeneruar, nëse përcaktorja e saj është zero. Nëse , atëherë thirret matrica A jo i degjeneruar.

Duhet të theksohet pika e mëposhtme.

Nëse kryeni veprimet e mëposhtme me një sistem ekuacionesh algjebrike lineare

• këmbejnë dy ekuacione,
• shumëzojini të dyja anët e çdo ekuacioni me një numër real (ose kompleks) arbitrar dhe jozero,
• në të dyja anët e çdo ekuacioni shtoni pjesët përkatëse të një ekuacioni tjetër, shumëzuar me numër arbitrar k,

do të funksionojë sistem ekuivalent, e cila ka të njëjtat zgjidhje (ose, ashtu si ajo origjinale, nuk ka zgjidhje).

Për një matricë të zgjeruar të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare, këto veprime do të nënkuptojnë kryerjen e transformimeve elementare me rreshtat:

• duke ndërruar dy rreshta,
• duke shumëzuar të gjithë elementët e çdo rreshti të matricës T me një numër jozero k,
• duke u shtuar elementeve të çdo rreshti të një matrice elementet përkatëse të një rreshti tjetër, të shumëzuar me një numër arbitrar k.

Tani mund të vazhdojmë me përshkrimin e metodës Gauss.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare, në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave dhe matrica kryesore e sistemit është jo njëjës, duke përdorur metodën e Gausit.

Çfarë do të bënim në shkollë nëse do të na jepej detyra për të gjetur një zgjidhje për një sistem ekuacionesh? .

Disa do ta bënin këtë.

Vini re se duke shtuar në anën e majtë të ekuacionit të dytë ana e majte së pari, dhe në anën e djathtë - atë të duhurin, mund të heqësh qafe variablat e panjohur x 2 dhe x 3 dhe menjëherë të gjesh x 1:

Vlerën e gjetur x 1 =1 e zëvendësojmë në ekuacionin e parë dhe të tretë të sistemit:

Nëse i shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të tretë të sistemit me -1 dhe i shtojmë ato në pjesët përkatëse të ekuacionit të parë, shpëtojmë nga ndryshorja e panjohur x 3 dhe mund të gjejmë x 2:

Ne zëvendësojmë vlerën që rezulton x 2 = 2 në ekuacionin e tretë dhe gjejmë variablin e mbetur të panjohur x 3:

Të tjerët do të kishin vepruar ndryshe.

Le të zgjidhim ekuacionin e parë të sistemit në lidhje me ndryshoren e panjohur x 1 dhe të zëvendësojmë shprehjen që rezulton në ekuacionet e dyta dhe të treta të sistemit në mënyrë që të përjashtojmë këtë variabël prej tyre:

Tani le të zgjidhim ekuacionin e dytë të sistemit për x 2 dhe rezultatin e marrë e zëvendësojmë në ekuacionin e tretë për të eliminuar variablin e panjohur x 2 prej tij:

Nga ekuacioni i tretë i sistemit del qartë se x 3 =3. Nga ekuacioni i dytë gjejmë , dhe nga ekuacioni i parë marrim .

Zgjidhje të njohura, apo jo?

Gjëja më interesante këtu është se metoda e dytë e zgjidhjes është në thelb metoda e eliminimit sekuencial të të panjohurave, domethënë metoda Gaussian. Kur shprehëm variablat e panjohur (së pari x 1, në fazën tjetër x 2) dhe i zëvendësuam në ekuacionet e mbetura të sistemit, në këtë mënyrë i përjashtuam ato. Ne kryem eliminimin derisa mbeti vetëm një ndryshore e panjohur në ekuacionin e fundit. Procesi i eliminimit sekuencial të të panjohurave quhet Metoda e drejtpërdrejtë Gaussian. Pas përfundimit të lëvizjes përpara, kemi mundësinë të llogarisim variablin e panjohur që gjendet në ekuacionin e fundit. Me ndihmën e tij, gjejmë variablin tjetër të panjohur nga ekuacioni i parafundit, e kështu me radhë. Procesi gjetje sekuenciale ndryshore të panjohura kur kalohet nga ekuacioni i fundit tek i pari quhet inversi i metodës Gaussian.

Duhet të theksohet se kur shprehim x 1 në termat x 2 dhe x 3 në ekuacionin e parë, dhe më pas zëvendësojmë shprehjen që rezulton në ekuacionin e dytë dhe të tretë, veprimet e mëposhtme çojnë në të njëjtin rezultat:

Në të vërtetë, një procedurë e tillë gjithashtu bën të mundur eliminimin e ndryshores së panjohur x 1 nga ekuacionet e dyta dhe të treta të sistemit:

Nuancat me eliminimin e ndryshoreve të panjohura duke përdorur metodën Gaussian lindin kur ekuacionet e sistemit nuk përmbajnë disa ndryshore.

Për shembull, në SLAU në ekuacionin e parë nuk ka ndryshore të panjohur x 1 (me fjalë të tjera, koeficienti përballë tij është zero). Prandaj, ne nuk mund ta zgjidhim ekuacionin e parë të sistemit për x 1 në mënyrë që të eliminojmë këtë ndryshore të panjohur nga ekuacionet e mbetura. Rruga për të dalë nga kjo situatë është shkëmbimi i ekuacioneve të sistemit. Meqenëse po shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve lineare, përcaktuesit e matricave kryesore të të cilave janë të ndryshëm nga zero, ekziston gjithmonë një ekuacion në të cilin ndryshorja që na nevojitet është e pranishme dhe ne mund ta riorganizojmë këtë ekuacion në pozicionin që na nevojitet. Për shembullin tonë, mjafton të ndërrojmë ekuacionin e parë dhe të dytë të sistemit , atëherë mund të zgjidhni ekuacionin e parë për x 1 dhe ta përjashtoni atë nga ekuacionet e mbetura të sistemit (edhe pse x 1 nuk është më i pranishëm në ekuacionin e dytë).

Shpresojmë ta kuptoni thelbin.

Le të përshkruajmë Algoritmi i metodës Gaussian.

Supozoni se duhet të zgjidhim një sistem prej n ekuacionesh algjebrike lineare me n të panjohura variablat e formës , dhe le të jetë përcaktori i matricës së tij kryesore të ndryshme nga zero.

Ne do të supozojmë se , pasi ne gjithmonë mund ta arrijmë këtë duke riorganizuar ekuacionet e sistemit. Le të eliminojmë variablin e panjohur x 1 nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta. Për ta bërë këtë, në ekuacionin e dytë të sistemit shtojmë të parën, shumëzuar me , ekuacionin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të parën, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku dhe .

Do të kishim arritur në të njëjtin rezultat nëse do të kishim shprehur x 1 në terma të ndryshoreve të tjera të panjohura në ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësonim shprehjen që rezulton në të gjitha ekuacionet e tjera. Kështu, ndryshorja x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta.

Më tej, ne vazhdojmë në një mënyrë të ngjashme, por vetëm me një pjesë të sistemit që rezulton, i cili është shënuar në figurë

Për ta bërë këtë, në ekuacionin e tretë të sistemit shtojmë të dytin, shumëzuar me , ekuacionin e katërt i shtojmë të dytin, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të dytin, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku dhe . Kështu, ndryshorja x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.

Më pas, vazhdojmë me eliminimin e të panjohurës x 3, ndërkohë që veprojmë në mënyrë të ngjashme me pjesën e sistemit të shënuar në figurë.

Pra, ne vazhdojmë progresionin e drejtpërdrejtë të metodës Gaussian derisa sistemi të marrë formën

Nga ky moment fillojmë të kundërtën e metodës Gaussian: ne llogarisim x n nga ekuacioni i fundit si , duke përdorur vlerën e fituar të x n gjejmë x n-1 nga ekuacioni i parafundit, dhe kështu me radhë, gjejmë x 1 nga ekuacioni i parë .

Le të shohim algoritmin duke përdorur një shembull.

Shembull.

Metoda e Gausit.

Zgjidhje.

Koeficienti a 11 është jo zero, kështu që le të vazhdojmë me përparimin e drejtpërdrejtë të metodës Gaussian, domethënë me përjashtimin e ndryshores së panjohur x 1 nga të gjitha ekuacionet e sistemit përveç të parës. Për ta bërë këtë, në pjesën e majtë dhe të djathtë të pjesës së dytë, të tretë dhe ekuacioni i katërt le të shtojmë anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të parë, të shumëzuar me, respektivisht, Dhe:

Ndryshorja e panjohur x 1 është eliminuar, le të kalojmë në eliminimin e x 2 . Në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të tretë dhe të katërt të sistemit shtojmë anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të dytë, shumëzuar përkatësisht me Dhe :

Për të përfunduar progresionin përpara të metodës Gaussian, duhet të eliminojmë variablin e panjohur x 3 nga ekuacioni i fundit i sistemit. Le të shtojmë në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të katërt, përkatësisht, majtas dhe anën e djathtë ekuacioni i tretë shumëzuar me :

Ju mund të filloni të kundërtën e metodës Gaussian.

Nga ekuacioni i fundit që kemi ,
nga ekuacioni i tretë marrim,
nga e dyta,
nga e para.

Për të kontrolluar, mund të zëvendësoni vlerat e marra të ndryshoreve të panjohura në sistemin origjinal të ekuacioneve. Të gjitha ekuacionet kthehen në identitete, gjë që tregon se zgjidhja duke përdorur metodën e Gausit është gjetur saktë.

Përgjigje:

Tani le të japim një zgjidhje për të njëjtin shembull duke përdorur metodën Gaussian në shënimin e matricës.

Shembull.

Gjeni zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve Metoda e Gausit.

Zgjidhje.

Matrica e zgjeruar e sistemit ka formën . Në krye të çdo kolone janë variablat e panjohura që korrespondojnë me elementët e matricës.

Qasja e drejtpërdrejtë e metodës Gaussian këtu përfshin reduktimin e matricës së zgjeruar të sistemit në një formë trapezoidale duke përdorur transformime elementare. Ky proces është i ngjashëm me eliminimin e variablave të panjohur që kemi bërë me sistemin në formë koordinative. Tani do ta shihni këtë.

Le ta transformojmë matricën në mënyrë që të gjithë elementët në kolonën e parë, duke filluar nga e dyta, të bëhen zero. Për ta bërë këtë, elementeve të rreshtit të dytë, të tretë dhe të katërt shtojmë elementet përkatëse të rreshtit të parë të shumëzuar me, dhe në përputhje me rrethanat:

Më pas, ne transformojmë matricën që rezulton në mënyrë që në kolonën e dytë të gjithë elementët, duke filluar nga e treta, të bëhen zero. Kjo do të korrespondonte me eliminimin e ndryshores së panjohur x 2 . Për ta bërë këtë, elementeve të rreshtit të tretë dhe të katërt shtojmë elementët përkatës të rreshtit të parë të matricës, të shumëzuar përkatësisht me Dhe :

Mbetet për të përjashtuar variablin e panjohur x 3 nga ekuacioni i fundit i sistemit. Për ta bërë këtë, elementeve të rreshtit të fundit të matricës që rezulton shtojmë elementët përkatës të rreshtit të parafundit, shumëzuar me :

Duhet të theksohet se kjo matricë korrespondon me një sistem ekuacionesh lineare

e cila u përftua më herët pas një lëvizjeje përpara.

Është koha për t'u kthyer prapa. Në shënimin e matricës, anasjellta e metodës Gaussian përfshin transformimin e matricës që rezulton në mënyrë që matrica e shënuar në figurë

u bë diagonale, domethënë mori formën

ku janë disa numra.

Këto transformime janë të ngjashme me transformimet e përparme të metodës Gaussian, por nuk kryhen nga rreshti i parë tek i fundit, por nga i fundit tek i pari.

Shtojini elementeve të rreshtit të tretë, të dytë dhe të parë elementët përkatës të rreshtit të fundit, shumëzuar me , pa pushim përkatësisht:

Tani shtoni elementeve të rreshtit të dytë dhe të parë elementët përkatës të rreshtit të tretë, të shumëzuar me dhe me, përkatësisht:

Në hapin e fundit të metodës Gaussian të kundërt, elementeve të rreshtit të parë shtojmë elementët përkatës të rreshtit të dytë, shumëzuar me:

Matrica që rezulton korrespondon me sistemin e ekuacioneve , nga ku gjejmë ndryshoret e panjohura.

Përgjigje:

SHËNIM.

Kur përdorni metodën e Gausit për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare, duhet të shmangen llogaritjet e përafërta, pasi kjo mund të çojë në rezultate krejtësisht të pasakta. Ne rekomandojmë të mos rrumbullakosni numrat dhjetorë. Më mirë nga dhjetore kalohet në thyesat e zakonshme.

Shembull.

Zgjidh një sistem prej tre ekuacionesh duke përdorur metodën e Gausit .

Zgjidhje.

Vini re se në këtë shembull ndryshoret e panjohura kanë një emërtim të ndryshëm (jo x 1, x 2, x 3, por x, y, z). Le të kalojmë te thyesat e zakonshme:

Le të përjashtojmë të panjohurën x nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit:

Në sistemin që rezulton, ndryshorja e panjohur y mungon në ekuacionin e dytë, por y është i pranishëm në ekuacionin e tretë, prandaj, le të shkëmbejmë ekuacionin e dytë dhe të tretë:

Kjo plotëson progresionin e drejtpërdrejtë të metodës Gauss (nuk ka nevojë të përjashtohet y nga ekuacioni i tretë, pasi kjo ndryshore e panjohur nuk ekziston më).

Le të fillojmë lëvizjen e kundërt.

Nga ekuacioni i fundit gjejmë ,
nga e parafundit


nga ekuacioni i parë që kemi

Përgjigje:

X = 10, y = 5, z = -20.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare në të cilat numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e të panjohurave ose matrica kryesore e sistemit është njëjës, duke përdorur metodën e Gausit.

Sistemet e ekuacioneve, matrica kryesore e të cilave është njëjës drejtkëndëshe ose katrore, mund të mos kenë zgjidhje, mund të kenë një zgjidhje të vetme ose mund të kenë një numër të pafund zgjidhjesh.

Tani do të kuptojmë se si metoda e Gausit na lejon të vendosim përputhshmërinë ose papajtueshmërinë e një sistemi ekuacionesh lineare, dhe në rastin e përputhshmërisë së tij, të përcaktojmë të gjitha zgjidhjet (ose një zgjidhje të vetme).

Në parim, procesi i eliminimit të variablave të panjohur në rastin e SLAE të tilla mbetet i njëjtë. Megjithatë, ia vlen të detajoni disa situata që mund të lindin.

Le të kalojmë në fazën më të rëndësishme.

Pra, le të supozojmë se sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare, pasi të ketë përfunduar progresionin përpara të metodës së Gausit, merr formën dhe asnjë ekuacion i vetëm nuk u reduktua në (në këtë rast do të konkludojmë se sistemi është i papajtueshëm). Lind një pyetje logjike: "Çfarë të bëjmë më pas"?

Le të shkruajmë variablat e panjohura që janë të parat në të gjitha ekuacionet e sistemit që rezulton:

Në shembullin tonë këto janë x 1, x 4 dhe x 5. Në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit lëmë vetëm ato terma që përmbajnë ndryshoret e panjohura të shkruara x 1, x 4 dhe x 5, termat e mbetur transferohen në anën e djathtë të ekuacioneve me shenjën e kundërt:

Le t'u japim variablave të panjohura që janë në anën e djathtë të ekuacioneve vlera arbitrare, ku - numra arbitrar:

Pas kësaj, anët e djathta të të gjitha ekuacioneve të SLAE-së sonë përmbajnë numra dhe ne mund të vazhdojmë në anën e kundërt të metodës Gaussian.

Nga ekuacioni i fundit i sistemit që kemi, nga ekuacioni i parafundit gjejmë, nga ekuacioni i parë marrim

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një grup vlerash të ndryshoreve të panjohura

Dhënia e numrave kuptime të ndryshme, do të marrim zgjidhje të ndryshme sistemet e ekuacioneve. Kjo do të thotë, sistemi ynë i ekuacioneve ka pafundësisht shumë zgjidhje.

Përgjigje:

Ku - numra arbitrar.

Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë në detaje zgjidhjet e disa shembujve të tjerë.

Shembull.

Vendosni sistem homogjen ekuacionet algjebrike lineare Metoda e Gausit.

Zgjidhje.

Le të përjashtojmë variablin e panjohur x nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit. Për ta bërë këtë, në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të dytë, ne shtojmë, përkatësisht, anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të parë, shumëzuar me , dhe në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të tretë, shtojmë anën e majtë dhe të tretë. anët e djathta të ekuacionit të parë, shumëzuar me:

Tani le të përjashtojmë y nga ekuacioni i tretë i sistemit rezultues të ekuacioneve:

SLAE që rezulton është ekuivalente me sistemin .

Ne lëmë në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit vetëm termat që përmbajnë ndryshoret e panjohura x dhe y, dhe i zhvendosim termat me ndryshoren e panjohur z në anën e djathtë:

Në këtë artikull, metoda konsiderohet si një metodë për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare (SLAE). Metoda është analitike, domethënë ju lejon të shkruani një algoritëm zgjidhjeje pamje e përgjithshme, dhe më pas zëvendësoni vlerat nga shembuj specifikë atje. Ndryshe nga metoda e matricës ose formula e Cramer-it, kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e Gausit, mund të punoni edhe me ato që kanë një numër të pafund zgjidhjesh. Ose nuk e kanë fare.

Çfarë do të thotë të zgjidhësh duke përdorur metodën Gaussian?

Së pari, ne duhet të shkruajmë sistemin tonë të ekuacioneve. Duket kështu. Merrni sistemin:

Koeficientët shkruhen në formën e një tabele, dhe termat e lirë shkruhen në një kolonë të veçantë në të djathtë. Kolona me terma të lirë ndahet për lehtësi Matrica që përfshin këtë kolonë quhet e zgjeruar.

Tjetra, matrica kryesore me koeficientë duhet të sillet në krye formë trekëndore. Kjo është pika kryesore e zgjidhjes së sistemit duke përdorur metodën Gaussian. E thënë thjesht, pas disa manipulimeve, matrica duhet të duket në mënyrë që pjesa e poshtme e saj e majtë të përmbajë vetëm zero:

Atëherë, nëse shkruajmë matricë e re përsëri si sistem ekuacionesh mund të vërehet se në rreshti i fundit tashmë përmban vlerën e njërës prej rrënjëve, e cila më pas zëvendësohet në ekuacionin e mësipërm, gjendet një rrënjë tjetër, e kështu me radhë.

Ky është një përshkrim i zgjidhjes më së shumti me metodën Gaussian skicë e përgjithshme. Çfarë ndodh nëse papritmas sistemi nuk ka zgjidhje? Apo ka pafundësisht shumë prej tyre? Për t'iu përgjigjur këtyre dhe shumë pyetjeve të tjera, është e nevojshme të merren parasysh veçmas të gjithë elementët e përdorur në zgjidhjen e metodës Gaussian.

Matricat, vetitë e tyre

Asnje kuptim i fshehur jo në matricë. Është e thjeshtë mënyrë e përshtatshme regjistrimin e të dhënave për operacionet e mëvonshme me ta. Edhe nxënësit e shkollës nuk kanë nevojë të kenë frikë prej tyre.

Matrica është gjithmonë drejtkëndore, sepse është më e përshtatshme. Edhe në metodën e Gausit, ku gjithçka zbret në ndërtimin e një matrice të një forme trekëndore, një drejtkëndësh shfaqet në hyrje, vetëm me zero në vendin ku nuk ka numra. Zerot mund të mos shkruhen, por nënkuptohen.

Matrica ka një madhësi. "Gjerësia" e tij është numri i rreshtave (m), "gjatësia" është numri i kolonave (n). Pastaj madhësia e matricës A (shkronjat e mëdha zakonisht përdoren për t'i treguar ato) letra) do të shënohet si A m×n. Nëse m=n, atëherë kjo matricë është katrore, dhe m=n është rendi i saj. Prandaj, çdo element i matricës A mund të shënohet me numrat e rreshtave dhe kolonave të saj: a xy ; x - numri i rreshtit, ndryshimet, y - numri i kolonës, ndryshimet.

B nuk është pika kryesore e vendimit. Në parim, të gjitha operacionet mund të kryhen drejtpërdrejt me vetë ekuacionet, por shënimi do të jetë shumë më i rëndë dhe do të jetë shumë më e lehtë të ngatërrohesh në të.

Përcaktues

Matrica ka gjithashtu një përcaktues. Kjo është shumë karakteristikë e rëndësishme. Nuk ka nevojë të zbuloni tani kuptimin e tij, thjesht mund të tregoni se si llogaritet dhe më pas të tregoni se cilat veçori të matricës përcakton. Mënyra më e lehtë për të gjetur përcaktorin është përmes diagonaleve. Në matricë vizatohen diagonalet imagjinare; elementët e vendosur në secilën prej tyre shumëzohen, dhe më pas shtohen produktet që rezultojnë: diagonalet me një pjerrësi në të djathtë - me një shenjë plus, me një pjerrësi në të majtë - me një shenjë minus.

Është jashtëzakonisht e rëndësishme të theksohet se përcaktori mund të llogaritet vetëm për një matricë katrore. Për matricë drejtkëndëshe mund të bëni sa më poshtë: nga numri i rreshtave dhe numri i kolonave, zgjidhni më të voglin (le të jetë k), dhe më pas shënoni në mënyrë të rastësishme k kolona dhe k rreshta në matricë. Elementët e vendosur në kryqëzimin e kolonave dhe rreshtave të zgjedhur do të formojnë një të re matricë katrore. Nëse përcaktori i një matrice të tillë është një numër jo zero, ai quhet minor bazë i matricës origjinale drejtkëndore.

Para se të filloni të zgjidhni një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën Gaussian, nuk është e dëmshme të llogaritni përcaktorin. Nëse rezulton të jetë zero, atëherë mund të themi menjëherë se matrica ka ose një numër të pafund zgjidhjesh ose nuk ka fare. Në një rast kaq të trishtuar, duhet të shkoni më tej dhe të mësoni për gradën e matricës.

Klasifikimi i sistemit

Ekziston një gjë e tillë si rangu i një matrice. Kjo porosinë maksimale përcaktuesi i tij, i ndryshëm nga zero (nëse kujtojmë bazën minore, mund të themi se renditja e matricës është rendi i bazës minore).

Në bazë të situatës me gradë, SLAE mund të ndahet në:

• E përbashkët. U Në sistemet e përbashkëta, rangu i matricës kryesore (i përbërë vetëm nga koeficientët) përkon me gradën e matricës së zgjeruar (me një kolonë termash të lirë). Sisteme të tilla kanë një zgjidhje, por jo domosdoshmërisht një, pra shtesë sistemet e përbashkëta ndarë në:
• - të caktuara- duke pasur një zgjidhje të vetme. Në sisteme të caktuara, rangu i matricës dhe numri i të panjohurave (ose numri i kolonave, që është e njëjta gjë) janë të barabarta;
• - e pacaktuar - me një numër të pafund zgjidhjesh. Rangu i matricave në sisteme të tilla është më i vogël se numri i të panjohurave.
• E papajtueshme. U Në sisteme të tilla, radhët e matricave kryesore dhe të zgjeruara nuk përkojnë. Sistemet e papajtueshme nuk kanë zgjidhje.

Metoda e Gausit është e mirë sepse gjatë zgjidhjes lejon që dikush të marrë ose një provë të paqartë të mospërputhjes së sistemit (pa llogaritur përcaktuesit e matricave të mëdha), ose një zgjidhje në formë të përgjithshme për një sistem me një numër të pafund zgjidhjesh.

Transformimet elementare

Para se të vazhdoni drejtpërdrejt me zgjidhjen e sistemit, mund ta bëni atë më pak të rëndë dhe më të përshtatshëm për llogaritjet. Kjo arrihet përmes transformimeve elementare – të tilla që zbatimi i tyre nuk e ndryshon në asnjë mënyrë përgjigjen përfundimtare. Duhet të theksohet se disa nga transformimet elementare të dhëna janë të vlefshme vetëm për matricat, burimi i të cilave ishte SLAE. Këtu është një listë e këtyre transformimeve:

1. Riorganizimi i linjave. Natyrisht, nëse ndryshoni rendin e ekuacioneve në rekordin e sistemit, kjo nuk do të ndikojë në zgjidhjen në asnjë mënyrë. Rrjedhimisht, rreshtat në matricën e këtij sistemi mund të ndërrohen gjithashtu, duke mos harruar, natyrisht, kolonën e termave të lirë.
2. Shumëzimi i të gjithë elementëve të një vargu me një koeficient të caktuar. Shume e dobishme! Mund të përdoret për të shkurtuar numra të mëdhenj në matricë ose hiqni zero. Shumë vendime, si zakonisht, nuk do të ndryshojnë, por operacionet e mëtejshme do të bëhen më të përshtatshme. Gjëja kryesore është që koeficienti të mos jetë i barabartë me zero.
3. Heqja e rreshtave me faktorë proporcionalë. Kjo rrjedh pjesërisht nga paragrafi i mëparshëm. Nëse dy ose më shumë rreshta në një matricë kanë koeficientë proporcionalë, atëherë kur një nga rreshtat shumëzohet/pjestohet me koeficientin e proporcionalitetit, fitohen dy (ose, përsëri, më shumë) rreshta absolutisht identikë dhe ato shtesë mund të hiqen, duke lënë vetem nje.
4. Heqja e një linje null. Nëse, gjatë transformimit, diku fitohet një rresht në të cilin të gjithë elementët, përfshirë termin e lirë, janë zero, atëherë një rresht i tillë mund të quhet zero dhe të hidhet jashtë matricës.
5. Shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve të një tjetri (në kolonat përkatëse), të shumëzuar me një koeficient të caktuar. Transformimi më i padukshëm dhe më i rëndësishëm nga të gjithë. Vlen të ndalemi në të në më shumë detaje.

Shtimi i një vargu të shumëzuar me një faktor

Për lehtësinë e të kuptuarit, ia vlen ta zbërthejmë këtë proces hap pas hapi. Nga matrica merren dy rreshta:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Le të themi se duhet të shtoni të parën tek e dyta, shumëzuar me koeficientin "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Pastaj rreshti i dytë në matricë zëvendësohet me një të ri, dhe i pari mbetet i pandryshuar.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Duhet të theksohet se koeficienti i shumëzimit mund të zgjidhet në atë mënyrë që, si rezultat i shtimit të dy rreshtave, një nga elementët e rreshtit të ri të jetë i barabartë me zero. Prandaj, është e mundur të merret një ekuacion në një sistem ku do të ketë një të panjohur më pak. Dhe nëse merrni dy ekuacione të tilla, atëherë operacioni mund të bëhet përsëri dhe të merrni një ekuacion që do të përmbajë dy më pak të panjohura. Dhe nëse çdo herë që ktheni një koeficient të të gjitha rreshtave që janë nën origjinalin në zero, atëherë mundeni, si shkallët, të zbrisni në fund të matricës dhe të merrni një ekuacion me një të panjohur. Kjo quhet zgjidhja e sistemit duke përdorur metodën Gaussian.

Në përgjithësi

Le të ketë një sistem. Ka m ekuacione dhe n rrënjë të panjohura. Mund ta shkruani si më poshtë:

Matrica kryesore është përpiluar nga koeficientët e sistemit. Një kolonë me terma falas i shtohet matricës së zgjeruar dhe, për lehtësi, ndahet me një rresht.

• rreshti i parë i matricës shumëzohet me koeficientin k = (-a 21 /a 11);
• shtohen rreshti i parë i modifikuar dhe rreshti i dytë i matricës;
• në vend të rreshtit të dytë, rezultati i shtimit nga paragrafi i mëparshëm futet në matricë;
• tani koeficienti i parë në e dyta e re rreshti është një 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Tani kryhet e njëjta seri transformimesh, përfshihen vetëm rreshtat e parë dhe të tretë. Prandaj, në çdo hap të algoritmit, elementi a 21 zëvendësohet me një 31. Pastaj gjithçka përsëritet për një 41, ... a m1. Rezultati është një matricë ku elementi i parë në rreshta është zero. Tani duhet të harroni linjën numër një dhe të kryeni të njëjtin algoritëm, duke filluar nga rreshti dy:

• koeficienti k = (-a 32 /a 22);
• rreshti i dytë i modifikuar i shtohet rreshtit "aktual";
• rezultati i shtimit zëvendësohet në rreshtat e tretë, të katërt e kështu me radhë, ndërsa e para dhe e dyta mbeten të pandryshuara;
• në rreshtat e matricës dy elementët e parë tashmë janë të barabartë me zero.

Algoritmi duhet të përsëritet derisa të shfaqet koeficienti k = (-a m,m-1 /a mm). Kjo do të thotë se në Herën e fundit algoritmi u krye vetëm për ekuacionin më të ulët. Tani matrica duket si një trekëndësh, ose ka një formë të shkallëzuar. Në vijën fundore është barazia a mn × x n = b m. Koeficienti dhe termi i lirë janë të njohur dhe rrënja shprehet përmes tyre: x n = b m /a mn. Rrënja që rezulton zëvendësohet në vijën e sipërme për të gjetur x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Dhe kështu me radhë për analogji: në çdo rresht tjetër ka rrënjë e re, dhe, pasi të keni arritur "majën" e sistemit, mund të gjeni shumë zgjidhje. Do të jetë e vetmja.

Kur nuk ka zgjidhje

Nëse në një nga rreshtat e matricës të gjithë elementët përveç termit të lirë janë të barabartë me zero, atëherë ekuacioni që i korrespondon kësaj rreshti duket si 0 = b. Nuk ka zgjidhje. Dhe meqenëse një ekuacion i tillë përfshihet në sistem, atëherë grupi i zgjidhjeve të të gjithë sistemit është bosh, domethënë është i degjeneruar.

Kur ka një numër të pafund zgjidhjesh

Mund të ndodhë që në matricën e dhënë trekëndore të mos ketë rreshta me një element koeficient të ekuacionit dhe një term të lirë. Ka vetëm rreshta që, kur rishkruhen, do të duken si një ekuacion me dy ose më shumë ndryshore. Kjo do të thotë se sistemi ka numër i pafund vendimet. Në këtë rast, përgjigja mund të jepet në formën e një zgjidhjeje të përgjithshme. Si ta bëjmë atë?

Të gjitha variablat në matricë ndahen në bazë dhe të lirë. Ato themelore janë ato që qëndrojnë "në skaj" të rreshtave në matricën e hapave. Pjesa tjetër janë falas. Në zgjidhjen e përgjithshme, variablat bazë shkruhen përmes atyre të lira.

Për lehtësi, matrica fillimisht rishkruhet përsëri në një sistem ekuacionesh. Pastaj në të fundit prej tyre, ku saktësisht ka mbetur vetëm një ndryshore bazë, ajo mbetet në njërën anë, dhe gjithçka tjetër transferohet në tjetrën. Kjo bëhet për çdo ekuacion me një ndryshore bazë. Më pas, në ekuacionet e mbetura, ku është e mundur, shprehja e marrë për të zëvendësohet në vend të ndryshores bazë. Nëse rezultati është përsëri një shprehje që përmban vetëm një variabël bazë, ai përsëri shprehet prej andej, e kështu me radhë, derisa çdo variabël bazë të shkruhet si një shprehje me ndryshore të lira. Kjo është zgjidhja e përgjithshme e SLAE.

Ju gjithashtu mund të gjeni zgjidhjen bazë të sistemit - jepni variablave të lirë çdo vlerë, dhe më pas për këtë rast të veçantë llogaritni vlerat e variablave bazë. Ka një numër të pafund zgjidhjesh të veçanta që mund të jepen.

Zgjidhje me shembuj specifik

Këtu është një sistem ekuacionesh.

Për lehtësi, është më mirë të krijoni menjëherë matricën e saj

Dihet se kur zgjidhet me metodën Gaussian, ekuacioni që korrespondon me rreshtin e parë do të mbetet i pandryshuar në fund të transformimeve. Prandaj, do të jetë më fitimprurëse nëse elementi i sipërm i majtë i matricës është më i vogli - atëherë elementët e parë të rreshtave të mbetur pas operacioneve do të kthehen në zero. Kjo do të thotë që në matricën e përpiluar do të jetë e dobishme të vendosni rreshtin e dytë në vend të të parës.

rreshti i dytë: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

rreshti i tretë: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Tani, për të mos u ngatërruar, duhet të shkruani matricën me rezultate të ndërmjetme transformimet.

Natyrisht, një matricë e tillë mund të bëhet më e përshtatshme për perceptim duke përdorur operacione të caktuara. Për shembull, mund të hiqni të gjitha "minuset" nga rreshti i dytë duke shumëzuar çdo element me "-1".

Vlen gjithashtu të theksohet se në rreshtin e tretë të gjithë elementët janë shumëfish të tre. Pastaj mund ta shkurtoni vargun me këtë numër, duke shumëzuar çdo element me "-1/3" (minus - në të njëjtën kohë, për të hequr vlerat negative).

Duket shumë më bukur. Tani duhet të lëmë të qetë rreshtin e parë dhe të punojmë me të dytën dhe të tretën. Detyra është të shtoni rreshtin e dytë në rreshtin e tretë, të shumëzuar me një koeficient të tillë që elementi a 32 të bëhet i barabartë me zero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (nëse gjatë disa transformimeve përgjigja nuk rezulton të jetë një numër i plotë, rekomandohet të ruhet saktësia e llogaritjeve për t'u larguar ajo “siç është”, në formë thyesë e zakonshme, dhe vetëm atëherë, kur të merren përgjigjet, vendosni nëse do të rrumbullakoheni dhe të konvertoheni në një formë tjetër regjistrimi)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrica shkruhet sërish me vlera të reja.

Siç mund ta shihni, matrica që rezulton tashmë ka një formë të shkallëzuar. Prandaj, nuk kërkohen transformime të mëtejshme të sistemit duke përdorur metodën Gaussian. Ajo që mund të bëhet këtu është të hiqet nga rreshti i tretë koeficienti i përgjithshëm "-1/7".

Tani gjithçka është e bukur. Gjithçka që mbetet për të bërë është të shkruani përsëri matricën në formën e një sistemi ekuacionesh dhe të llogarisni rrënjët

x + 2y + 4z = 12 (1)

7v + 11z = 24 (2)

Algoritmi me të cilin do të gjenden rrënjët tani quhet lëvizja e kundërt në metodën Gaussian. Ekuacioni (3) përmban vlerën z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dhe ekuacioni i parë na lejon të gjejmë x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ne kemi të drejtë ta quajmë një sistem të tillë të përbashkët, madje edhe të përcaktuar, domethënë të kesh një zgjidhje unike. Përgjigja shkruhet në formën e mëposhtme:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Një shembull i një sistemi të pasigurt

Varianti i zgjidhjes së një sistemi të caktuar duke përdorur metodën e Gausit është analizuar tani është e nevojshme të merret parasysh rasti nëse sistemi është i pasigurt, domethënë mund të gjenden pafundësisht shumë zgjidhje për të.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Vetë pamja e sistemit është tashmë alarmante, sepse numri i të panjohurave është n = 5, dhe rangu i matricës së sistemit është tashmë saktësisht më i vogël se ky numër, sepse numri i rreshtave është m = 4, domethënë, rendi më i lartë i katrorit përcaktor është 4. Kjo do të thotë se ka një numër të pafund zgjidhjesh dhe duhet të kërkoni pamjen e përgjithshme të saj. Metoda e Gausit për ekuacionet lineare ju lejon ta bëni këtë.

Së pari, si zakonisht, përpilohet një matricë e zgjeruar.

Rreshti i dytë: koeficienti k = (-a 21 /a 11) = -3. Në rreshtin e tretë, elementi i parë është para transformimeve, kështu që nuk keni nevojë të prekni asgjë, duhet ta lini ashtu siç është. Rreshti i katërt: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Duke shumëzuar elementët e rreshtit të parë me secilin nga koeficientët e tyre me radhë dhe duke i shtuar ato në rreshtat e kërkuar, marrim një matricë të formës së mëposhtme:

Siç mund ta shihni, rreshtat e dytë, të tretë dhe të katërt përbëhen nga elementë proporcionalë me njëri-tjetrin. E dyta dhe e katërta janë përgjithësisht identike, kështu që njëra prej tyre mund të hiqet menjëherë, dhe ajo e mbetura mund të shumëzohet me koeficientin "-1" dhe të marrë rreshtin numër 3. Dhe përsëri, nga dy rreshta identike, lini një.

Rezultati është një matricë si kjo. Ndërsa sistemi ende nuk është shkruar, është e nevojshme të përcaktohen variablat bazë këtu - ato që qëndrojnë në koeficientët a 11 = 1 dhe a 22 = 1, dhe ato të lira - të gjitha të tjerat.

Në ekuacionin e dytë ka vetëm një ndryshore bazë - x 2. Kjo do të thotë se mund të shprehet prej andej duke e shkruar përmes variablave x 3 , x 4 , x 5 , të cilat janë të lira.

Shprehjen që rezulton e zëvendësojmë në ekuacionin e parë.

Rezultati është një ekuacion në të cilin e vetmja variabël bazë është x 1 . Le të bëjmë të njëjtën gjë me të si me x 2.

Të gjitha variablat bazë, nga të cilat janë dy, janë shprehur në terma të tre variablave të lirë, tani mund ta shkruajmë përgjigjen në formë të përgjithshme.

Ju gjithashtu mund të specifikoni një nga zgjidhjet e veçanta të sistemit. Për raste të tilla, zerat zakonisht zgjidhen si vlera për variablat e lirë. Atëherë përgjigja do të jetë:

16, 23, 0, 0, 0.

Një shembull i një sistemi jobashkëpunues

Zgjidhje sisteme të papajtueshme ekuacionet me metodën Gaussian - më të shpejtat. Përfundon menjëherë sapo në njërën nga fazat fitohet një ekuacion që nuk ka zgjidhje. Kjo do të thotë, eliminohet faza e llogaritjes së rrënjëve, e cila është mjaft e gjatë dhe e lodhshme. Sistemi i mëposhtëm konsiderohet:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Si zakonisht, matrica është përpiluar:

Dhe reduktohet në një formë hap pas hapi:

k 1 = -2k 2 = -4

Pas transformimit të parë, rreshti i tretë përmban një ekuacion të formës

pa zgjidhje. Rrjedhimisht, sistemi është i paqëndrueshëm dhe përgjigja do të jetë grupi bosh.

Avantazhet dhe disavantazhet e metodës

Nëse zgjidhni cilën metodë për të zgjidhur SLAE në letër me një stilolaps, atëherë metoda që u diskutua në këtë artikull duket më tërheqëse. NË transformimet elementareështë shumë më e vështirë të ngatërrohesh sesa nëse duhet të kërkosh manualisht për një matricë të kundërt përcaktuese ose të ndërlikuar. Megjithatë, nëse përdorni programe për të punuar me këtë lloj të dhënash, për shembull, spreadsheets, atëherë rezulton se programe të tilla tashmë përmbajnë algoritme për llogaritjen e parametrave kryesorë të matricave - përcaktues, minor, invers, etj. Dhe nëse jeni të sigurt që makina do t'i llogarisë vetë këto vlera dhe nuk do të bëjë gabime, është më e këshillueshme të përdorni metodën e matricës ose formulat e Cramer-it, sepse aplikimi i tyre fillon dhe përfundon me llogaritjen e përcaktuesve dhe matricat e anasjellta.

Aplikacion

Meqenëse zgjidhja Gaussian është një algoritëm, dhe matrica është në të vërtetë një grup dy-dimensionale, mund të përdoret në programim. Por meqenëse artikulli e pozicionon veten si një udhëzues "për dummies", duhet thënë se vendi më i lehtë për të vendosur metodën janë spreadsheets, për shembull, Excel. Përsëri, çdo SLAE e futur në një tabelë në formën e një matrice do të konsiderohet nga Excel si një grup dy-dimensionale. Dhe për operacionet me ta ka shumë komanda të këndshme: shtim (mund të shtoni vetëm matrica të njëjtat madhësi!), shumëzim me një numër, shumëzim matricë (gjithashtu me kufizime të caktuara), gjetja e matricave të anasjellta dhe të transpozuara dhe, më e rëndësishmja, llogaritja e përcaktorit. Nëse kjo detyrë që kërkon shumë kohë zëvendësohet nga një komandë e vetme, është e mundur të përcaktohet rangu i matricës shumë më shpejt dhe, për rrjedhojë, të përcaktohet përputhshmëria ose papajtueshmëria e saj.