Pamja kanonike e matricës. Llojet e matricave

Çdo formë kuadratike duke përdorur një transformim linear jo të degjeneruar mund të reduktohet në formë kanonike , të përcaktuara nga formula

ku është forma f renditet nga n i panjohur; numrat, , konsiderohen pozitive, por disa nga termat e formulës (VII.5) mund të jenë negative.

Në këtë kusht, duke zëvendësuar , ; dhe , jo i degjeneruar transformim linear e zvogëlon formën kuadratike në normale mendje, dmth

Numri total katrore është e barabartë me gradën e formës kuadratike.

Ka shumë shndërrime lineare që e reduktojnë formën kuadratike në formën normale (VII.6), por deri në vendndodhjen e shenjave, një reduktim i tillë është i vetmi.

Për format reale kuadratike vlen ligji i inercisë . Numri i katrorëve pozitivë dhe negativë në formë normale tek të cilët një formë e caktuar kuadratike me koeficientë realë zvogëlohet me një transformim linear real nuk varet nga zgjedhja e këtij transformimi.

Numri i katrorëve pozitivë (negativë) në formë normale forma f thirrur indeks pozitiv (negativ) i inercisë (në formulën (VII.6) kjo është k), quhet ndryshimi midis indekseve të inercisë pozitive dhe negative nënshkrim forma f(në formulën (VII.6) është e barabartë me r-k).

Le të jepet matricë katrore dimensionet n formë kuadratike f. Të miturit e vendosur përgjatë diagonales kryesore të kësaj matrice janë të rendit 1, 2, ..., n, e fundit prej tyre përkon me përcaktorin e matricës , d.m.th

quhen kryesore forma të vogla f.

Teorema VII.1. Forma kuadratike f nga n të panjohurave me koeficientë realë do të përbëhen nga terma pozitivë nëse dhe vetëm nëse të gjitha minoret kryesore janë pozitive.

Shembulli VII.3. Forma kuadratike

është definitive pozitive, pasi të gjitha minoret kryesore të matricës janë pozitive:

, , .

Është e mundur, siç u përmend tashmë, të sjellësh një formë kuadratike në formën kanonike në shumë mënyra, por pamje normale një. Le ta tregojmë këtë me një shembull.

Shembulli VII.4. Redukto formën kuadratike në formën kanonike.

Zgjidhje. Le të vendosim një transformim linear:

1) atëherë marrim .

Për një tjetër transformim kemi

2) atëherë marrim .

Forma normale e një forme kuadratike, së cilës i përgjigjen të dyja format kanonike, .

Ushtrimi. Kontrolloni vlefshmërinë e formulave që rezultojnë duke zëvendësuar drejtpërdrejt transformimet 1) dhe 2) në formën origjinale kuadratike.

Shtrohet natyrshëm pyetja: "Si të gjejmë matricën e një transformimi linear (operator)?"

Përpara se të shikojmë shembullin e mëposhtëm, le të japim disa shpjegime. Pa thyer thelbin qasje e përbashkët, e kufizojmë veten në ekuacion

Ku pjesa e djathtëështë një formë kuadratike e dhënë në Sistemi kartezian koordinatat Nga ana tjetër, kjo shprehje përcakton një linjë të rendit të dytë. Është e qartë se nëse ana e djathtë e barazisë së fundit përfaqësohet nga shuma e katrorëve të ndryshoreve

,

atëherë kemi trajtën kanonike të trajtës kuadratike.

Të dy ekuacionet do të përshkruajnë të njëjtën linjë të rendit të dytë nëse janë në formë h ruhet e njëjta shkallë. Për të marrë formën kanonike H Zakonisht përdoret ekuacioni karakteristik. Disavantazhi i kësaj qasjeje është se marrëdhënia ndërmjet sistemeve të koordinatave dhe . Në mënyrë figurative, ne nuk e dimë vendndodhjen e linjës L në sistemin e koordinatave, nëse shkruhet në formë kanonike h. Një tranzicion i tillë mund të realizohet duke rrotulluar boshtet e sistemit të koordinatave me një kënd j(Fig. VII.1), pra shkoni nga koordinatat x, y për të x 1 , y 1 sipas formulave

Për konvertim i anasjelltë këndi duhet të zëvendësohet j
në - j.

Për të gjetur vendndodhjen e vijës, duhet të gjejmë një transformim koordinativ që jep barazinë H në mendje h. Vini re se për të ruajtur shkallën, duhet të kalojmë në një sistem koordinativ ortonormal.

Shembulli VII.5. Jepet një formë kuadratike në një sistem koordinativ kartezian

Kërkohet ta sjellë atë në formën kanonike, domethënë, të shkruani formën e tij në sistem dhe të gjeni një transformim linear. Merrni formën normale të një forme kuadratike.

Zgjidhje. Le të krijojmë një matricë simetrike të transformimit linear (operator) A

.

Le të ndërtojmë polinom karakteristik dhe gjeni eigenvlerat dhe eigenvektorët. Pastaj ne do të kryejmë në mënyrë sekuenciale detyrat e shembullit. Ne kemi

Ekuacioni karakteristik duket se është barazi

.

Pasi kemi llogaritur përcaktorin e matricës, marrim një polinom, rrënjët e të cilit janë eigenvlerat. Le të shkruajmë formën kanonike të formës (VII.7):

Le të gjejmë një transformim linear, domethënë do të vendosim një lidhje midis sistemeve dhe . Meqenëse rrënjët janë reale dhe të dallueshme dhe nuk ka zero, transformimi nuk është i degjeneruar. Le të gjejmë eigenvektorët në bazë (do t'i paraqesim vektorët në kolona). Për ta bërë këtë, ne zgjidhim sistemin e ekuacioneve

të përcaktuara për secilën nga vlerat vetjake.

Për , nga (VII.8) kemi ekuacioni i matricës

.

Duke supozuar, domosdoshmërisht, , ne marrim

në , ne kemi . Eigenvektori i parë u gjet , gjatësia e saj.

Kur kemi

ose

Shtimi i të dytës në ekuacionin e parë dhe duke vënë në dukje se nëse ekuacioni që rezulton zgjidhet si një sistem me një të tretë, atëherë do të kalojmë domosdoshmërisht tek i pari. vetvektor. Mbetet të krijojmë një sistem ekuacionesh nga shuma e dy të parëve dhe ekuacionit të dytë, pastaj marrim

Duke supozuar, pas thjeshtësimeve marrim sistemin

1. Së pari, le të zbulojmë se cila është në mënyrë krahasuese pamje e thjeshtëështë e mundur të zvogëlohet një matricë polinomi drejtkëndëshe duke aplikuar vetëm veprime elementare të majta.

Le të supozojmë se kolona e parë e matricës përmban elementë që nuk janë identikisht zero. Le të marrim një polinom të shkallës më të vogël mes tyre dhe, duke riorganizuar rreshtat, ta bëjmë atë një element. Pas kësaj, pjesëtojeni polinomin me ; shënojmë herësin dhe mbetjen me dhe

Tani le të zbresim nga rreshti i parë rreshtin e parë, të shumëzuar më parë me . Nëse jo të gjitha mbetjet janë identike zero, atëherë ajo që nuk është e barabartë me zero dhe ka shkallën më të vogël mund të vendoset duke riorganizuar rreshtat. Si rezultat i të gjitha këtyre veprimeve, shkalla e polinomit do të ulet.

Tani do ta përsërisim këtë proces, etj. Meqenëse shkalla e polinomit është e fundme, në një fazë ky proces nuk mund të vazhdohet më, pra në këtë fazë të gjithë elementët do të jenë identikisht zero.

Pas kësaj, merrni elementin dhe zbatoni të njëjtën procedurë në rreshtat me numra. Atëherë do të arrijmë çfarë dhe . Duke vazhduar kështu, ne përfundimisht do ta reduktojmë matricën në formën e mëposhtme:

(5)

Nëse polinomi nuk është identikisht zero, atëherë, duke përdorur veprimin elementar të majtë të tipit të dytë, do ta bëjmë shkallën e elementit më të vogël se shkalla (nëse ka shkallë zero, atëherë do të bëhet identikisht e barabartë me zero). Në të njëjtën mënyrë, nëse, atëherë duke përdorur operacionet elementare të majta të tipit të dytë do t'i bëjmë shkallët e elementeve më të vogla se shkalla, pa ndryshuar elementin, etj.

Ne kemi krijuar teoremën e mëposhtme:

Teorema 1. Drejtkëndëshe arbitrare matricë polinomiale me dimensione duke përdorur operacionet elementare të majta mund të reduktohen gjithmonë në formën (5), ku polinomet kanë një shkallë më të ulët se , nëse vetëm , dhe janë të gjithë identikisht zero, nëse .

Është vërtetuar pikërisht në të njëjtën mënyrë

Teorema 2. Një matricë arbitrare drejtkëndore me shumë vlera me dimensione mund të reduktohet gjithmonë në formën duke përdorur operacionet elementare në të djathtë

(6)

ku polinomet kanë një shkallë më të ulët se , nëse vetëm , dhe të gjithë janë identikisht të barabartë me zero, nëse .

2. Nga teorema 1 dhe 2 rrjedh sa vijon

Pasoja. Nëse përcaktori i një matrice katrore me shumë vlera nuk varet dhe është jozero, atëherë kjo matricë mund të përfaqësohet si produkt numër i kufizuar matricat elementare.

Në të vërtetë, sipas teoremës 1, duke përdorur operacionet elementare të majta, matrica mund të reduktohet në formën

(7)

ku është rendi i matricës. Meqenëse kur aplikoni operacione elementare në një matricë polinomi katror, ​​përcaktori i kësaj matrice shumëzohet vetëm me një faktor konstant jozero, atëherë përcaktori i matricës (7), si përcaktori, nuk varet dhe është jozero, d.m.th.

.

Por më pas, në bazë të së njëjtës Teoremë 1, matrica (7) ka një formë diagonale dhe për këtë arsye mund të reduktohet duke përdorur operacionet elementare të majta të tipit 1 në matricën e identitetit. Pastaj dhe anasjelltas, matrica e identitetit mund të reduktohet në përdorimin e operacioneve elementare të majta me matrica. Prandaj,

Nga përfundimi i provuar marrim (shih fq. 137 – 138) ekuivalencën e dy përkufizimeve 2 dhe 2" të ekuivalencës së matricave polinomiale.

3. Le të kthehemi te shembulli ynë i një sistemi ekuacionesh diferenciale (4). Le të zbatojmë teoremën 1 në matricën e koeficientëve të operatorit. Më pas, siç tregohet në faqen 138, sistemi (4) do të zëvendësohet nga një sistem ekuivalent

(4")

Ku . Në këtë sistem, ne mund të zgjedhim funksionet në mënyrë arbitrare, pas së cilës funksionet përcaktohen në mënyrë sekuenciale, dhe në secilën fazë të këtij përkufizimi duhet të integrojmë një ekuacioni diferencial me një funksion të panjohur.

4. Le të kalojmë tani në vendosjen e formës "kanonike" në të cilën një matricë polinomi drejtkëndëshe mund të reduktohet duke aplikuar në të operacionet elementare majtas dhe djathtas.

Ndër të gjithë elementët e matricës që nuk janë identikisht zero, marrim elementin që ka shkallën më të vogël në raport me , dhe me rirregullimin e duhur të rreshtave dhe kolonave ne e bëjmë atë një element. Pas kësaj, ne do të gjejmë herësit dhe mbetjet kur pjesëtojmë polinomet dhe me:

Nëse të paktën një nga mbetjet , për shembull, nuk është identikisht i barabartë me zero, atëherë duke zbritur nga kolona e th kolonën e parë, të shumëzuar më parë me , ne zëvendësojmë elementin me pjesën e mbetur, e cila ka një shkallë më të ulët se . Pastaj kemi mundësinë që përsëri të zvogëlojmë shkallën e elementit në të majtë këndi i sipërm matricë, duke vendosur në këtë vend elementin me shkallën më të vogël në raport me .

Nëse të gjitha mbeten ; janë identike zero, atëherë duke zbritur nga rreshti i parë të parën, të shumëzuar më parë me , dhe nga kolona e - e para, e shumëzuar më parë me , ne do ta reduktojmë matricën tonë polinomiale në formën

Nëse të paktën një nga elementet nuk është i pjesëtueshëm me , atëherë duke shtuar në kolonën e parë kolonën që përmban këtë element, do të vijmë në rastin e mëparshëm dhe, për rrjedhojë, do të mund të zëvendësojmë përsëri elementin me një polinom të një shkalle më të ulët matrica (8) në formën e rreshtave në faktorët numerikë përkatës të dallueshëm nga zero, ne do të jemi në gjendje të sigurojmë që koeficientët kryesorë të polinomeve, dhe të vendosim formula që lidhin këto polinome me elementët e matricës.

Matricat janë një mjet i përshtatshëm për zgjidhjen e një shumëllojshmërie të gjerë të probleme algjebrike. Duke ditur disa rregulla të thjeshta për të punuar me ta ju lejon të reduktoni matricat në çdo të përshtatshme dhe të nevojshme ky moment forma. Shpesh është e dobishme të përdoret forma kanonike e matricës.

Udhëzimet

Mos harroni se forma kanonike e matricës nuk kërkon që të ketë të tilla përgjatë gjithë diagonales kryesore. Thelbi i përkufizimit është se të vetmit elementë jozero të matricës në formën e saj kanonike janë njësh. Nëse ato janë të pranishme, ato janë të vendosura në diagonalen kryesore. Për më tepër, numri i tyre mund të ndryshojë nga zero në numrin e linjave në matricë.

Mos harroni se transformimet elementare lejojnë çdo matricëçojnë në kanonike mendjen. Vështirësia më e madhe është të gjesh intuitivisht sekuencën më të thjeshtë të zinxhirëve të veprimeve dhe të mos bësh gabime në llogaritjet.

Mësoni vetitë themelore të veprimeve me rreshta dhe kolona në një matricë. Transformimet elementare përfshijnë tre transformime standarde. Ky është shumëzimi i një rreshti matricë me çdo numër jozero, përmbledhja e rreshtave (duke përfshirë mbledhjen me njëri-tjetrin, shumëzuar me një numër) dhe rirregullimin e tyre. Veprime të tilla ju lejojnë të merrni matricë ekuivalente me këtë. Prandaj, ju mund të kryeni operacione të tilla në kolona pa humbur ekuivalencën.

Mundohuni të mos bëni disa gjëra në të njëjtën kohë transformimet elementare: Lëvizni nga skena në skenë për të parandaluar gabim i rastësishëm.

Gjeni gradën e matricës për të përcaktuar numrin e njësheve në diagonalen kryesore: kjo do t'ju tregojë se cila do të jetë forma përfundimtare e formës kanonike që kërkoni dhe do të eliminoni nevojën për të kryer transformime nëse thjesht dëshironi ta përdorni. për zgjidhjen.

Përdorni metodën e kufirit të të miturve për të ndjekur rekomandimin e mëparshëm. Llogaritni minorin e rendit kth, si dhe të gjitha minoret përreth të shkallës (k+1). Nëse ato janë të barabarta me zero, atëherë renditja e matricës është numri k. Mos harroni se minorja Mij është përcaktuesi i matricës së marrë duke fshirë rreshtin i dhe kolonën j nga ajo origjinale.

Gjithçka interesante

Matricat, të cilat janë një formë tabelare e regjistrimit të të dhënave, përdoren gjerësisht gjatë punës me sisteme ekuacionet lineare. Për më tepër, numri i ekuacioneve përcakton numrin e rreshtave të matricës, dhe numri i variablave përcakton rendin e kolonave të saj. Si rezultat...

Renditja e një matrice S është më e madhja nga rendet e minoreve të saj që janë të ndryshme nga zero. Të miturit janë përcaktuesit e një matrice katrore, e cila merret nga ajo origjinale duke zgjedhur rreshta dhe kolona arbitrare. Rangu shënohet me Rg S, dhe llogaritja e tij...

Një matricë është një objekt matematikor që është një tabelë drejtkëndëshe. Në kryqëzimin e kolonave dhe rreshtave të kësaj tabele, janë vendosur elementët e matricës - numër i plotë, real ose numra komplekse. Madhësia e matricës përcaktohet nga numri i saj...

Komplementi algjebrik është një element i një matrice ose algjebër lineare, një nga konceptet matematikë e lartë së bashku me matricën përcaktor, të vogël dhe të anasjelltë. Megjithatë, përkundër kompleksitetit të dukshëm, gjetja e komplementeve algjebrike nuk është e vështirë. Udhëzimet...

Një matricë është një koleksion i renditur i numrave në tavolinë drejtkëndëshe, me dimensione m rreshta nga n kolona. Zgjidhje sisteme komplekse Ekuacionet lineare bazohen në llogaritjen e matricave të përbëra nga koeficientë të dhënë. NË rast i përgjithshëm në…

Algjebra e matricës është një degë e matematikës që i kushtohet studimit të vetive të matricave, aplikimit të tyre për zgjidhjen e sistemeve komplekse të ekuacioneve, si dhe rregullave për funksionimin e matricave, përfshirë ndarjen. Udhëzimet 1 Ekzistojnë tre operacione në matricat: mbledhja,...

Komplementet algjebrike janë një nga konceptet algjebër matricore, aplikuar në elementet e matricës. Gjetja shtesat algjebrikeështë një nga veprimet e algoritmit për përcaktimin e matricës së kundërt, si dhe veprimin e ndarjes së matricës. ...

Matrica B konsiderohet të jetë inversi i matricës A nëse shumëzimi i tyre prodhon një matricë identitare E. Koncepti i një "matrice inverse" ekziston vetëm për një matricë katrore, d.m.th. matricat “dy nga dy”, “tre nga tre”, etj....

Për çdo matricë katrore A jo njëjës (me përcaktor |A| jo e barabartë me zero) ka një matricë unike matricë e anasjelltë, shënohet A^(-1), e tillë që (A^(-1))A=A, A^(-1)=E. Instruksioni 1E quhet matrica e identitetit. Ai përbëhet nga…

Një matricë matematikore është një tabelë e renditur e elementeve me një numër të caktuar rreshtash dhe kolonash. Për të gjetur një zgjidhje për një matricë, duhet të përcaktoni se çfarë veprimi duhet të kryhet në të. Pas kësaj, veproni sipas disponueshmërisë...

Matematika është, natyrisht, "mbretëresha" e shkencave. Jo çdo person është në gjendje të kuptojë thellësinë e plotë të thelbit të tij. Matematika kombinon shumë seksione dhe secila është një lidhje unike në zinxhirin matematikor. E njëjta bazë ...

Nëse në ndonjë matricë A marrim k rreshta dhe kolona arbitrare dhe krijojmë një nënmatricë me madhësi k me k nga elementët e këtyre rreshtave dhe kolonave, atëherë një nënmatricë e tillë quhet minor i matricës A. Numri i rreshtave dhe kolonave në minorin më të madh, të ndryshëm...

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(j) .

Si rezultat i aplikimit të veprimit të duhur elementar, matrica A(λ) shumëzohet në të djathtë me matricën përkatëse T.

Vini re se matrica T" përkon me matricën S", dhe matricat T", T"" përputhen me matricat S", S"", nëse indekset i dhe j ndërrohen në këtë të fundit. Matricat e tipit S", S", S"" (ose, çfarë është e njëjta, tipi T", T", T"") quhen elementare.

Dy λ-matrica A(λ) dhe B(λ) të njëjtat madhësi m x n quhen ekuivalente, A(λ) ~ B(λ), nëse mund të shkohet nga matrica A(λ) në B(λ) duke përdorur një zinxhir me një numër të kufizuar transformimesh elementare. Lidhja e ekuivalencës ka tre veti kryesore:

1) refleksiviteti: secila matricë është ekuivalente me vetveten A(λ) ~ B(λ);

2) simetria: nëse A(λ) ~ B(λ), atëherë B(λ) ~ A(λ);

3) kalueshmëria: nëse A(λ) ~ B(λ), dhe B(λ) ~ C(λ), atëherë A(λ) ~ C(λ).

§2. Forma kanonike e matricës λ

Më sipër u tregua se lidhja e ekuivalencës është kalimtare, simetrike dhe refleksive. Nga kjo rrjedh se bashkësia e të gjitha matricave λ të madhësive të dhëna m x n ndahet në klasa të shkëputura matricat ekuivalente, d.m.th. në klasa të tilla që çdo dy matrica nga e njëjta klasë janë ekuivalente, dhe nga klasa të ndryshme- nuk janë ekuivalente me njëra-tjetrën. Lind pyetja rreth formë kanonikeλ-matricë karakterizuese këtë klasëλ-matrica ekuivalente.

Një matricë diagonale λ kanonike me dimensione m x n është një matricë λ, diagonalja kryesore e së cilës përmban polinomet E1(λ), ​​E2(λ), ..., Ep(λ), ku p është më i vogli i numrave m. dhe n, dhe jo e barabartë me zero midis këtyre polinomeve kanë koeficientët kryesorë të barabartë me një, dhe çdo polinom i mëpasshëm ndahet me atë të mëparshëm, por elementët jashtë diagonales kryesore janë të barabartë me zero.

Teorema 1. Çdo matricë λ mund të reduktohet në një formë diagonale kanonike nga një numër i kufizuar transformimesh elementare.

Dëshmi. Le të jetë A(λ) një matricë polinomi drejtkëndëshe. Duke aplikuar si veprimet elementare majtas ashtu edhe djathtas në A(λ) ne çojmë në formën diagonale kanonike.

Ndër të gjithë elementët jozero, аιј(λ) të matricës A(λ), marrim elementin që ka shkallën më të vogël në lidhje me λ, dhe me rirregullimin e duhur të rreshtave dhe kolonave e bëjmë atë një element a11(λ). Pas kësaj, do të gjejmë herësit dhe mbetjet nga pjesëtimi i polinomeve аі1(λ) dhe а1ј(λ) me а11(λ):

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Nëse të paktën një nga mbetjet rі1(λ), ​​ r1j(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), për shembull r1j (λ), nuk është identikisht zero, atëherë, duke i zbritur j- të kolonës së parë, të shumëzuar më parë me q1ј(λ), elementin a1ј(λ) e zëvendësojmë me mbetjen r1ј(λ), e cila ka shkallë më të ulët se a11(λ). Pastaj kemi mundësinë që përsëri të zvogëlojmë shkallën e elementit në këndin e sipërm të majtë të matricës duke vendosur në këtë vend elementin me shkallën më të ulët në raport me λ.

Nëse të gjitha mbetjet janë r21 (λ), … rm1 (λ); r12 (λ), …, r1n (λ) janë identike zero, pastaj, duke zbritur nga rreshti i-të i pari, shumëzuar më parë me qі1 (λ) (i = 2, …, m), dhe nga j-ti kolona - e para , e shumëzuar më parë me q1ј(λ) (j = 2, …, n), ne e zvogëlojmë matricën tonë në formën

а11 (λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … amn(λ)

Nëse në të njëjtën kohë të paktën një nga elementët аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) nuk pjesëtohet me а11(λ) pa mbetje, atëherë duke i shtuar të parës kolona e kolonës që përmban këtë element, do të vijmë te rasti i mëparshëm dhe, për rrjedhojë, do të mund të zëvendësojmë përsëri elementin a11(λ) me një polinom të shkallës më të ulët.

Meqenëse elementi origjinal a11(λ) kishte një shkallë të caktuar dhe procesi i zvogëlimit të kësaj shkalle nuk mund të vazhdojë pafundësisht, atëherë pas një numri të kufizuar veprimesh elementare duhet të marrim një matricë të formës

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

në të cilin të gjithë elementët bіј(λ) pjesëtohen me α1(λ) pa mbetje. Nëse midis këtyre elementeve bіј(λ) nuk ka zero identike, atëherë duke vazhduar të njëjtin proces reduktimi për rreshtat me numrat 2, …, m dhe kolonat me numrat 2, …, n, ne do ta reduktojmë matricën (*) në ​​formën

Kështu, ne kemi vërtetuar se një matricë arbitrare polinomale drejtkëndore A(λ) është ekuivalente me disa diagonale kanonike.

Një matricë është një objekt i veçantë në matematikë. Paraqitet në formë drejtkëndëshe ose tavolinë katrore, e përbërë nga një numër të caktuar rreshtave dhe kolonave. Në matematikë ka një shumëllojshmëri të gjerë të llojeve të matricave, të ndryshme në madhësi ose përmbajtje. Numrat e rreshtave dhe kolonave të tij quhen rend. Këto objekte përdoren në matematikë për të organizuar regjistrimin e sistemeve të ekuacioneve lineare dhe për të kërkuar me lehtësi rezultatet e tyre. Ekuacionet duke përdorur një matricë zgjidhen duke përdorur metodën e Carl Gauss, Gabriel Cramer, minoret dhe shtesat algjebrike, si dhe shumë metoda të tjera. Aftësia themelore gjatë punës me matrica është reduktimi në pamje standarde. Sidoqoftë, së pari, le të kuptojmë se cilat lloje të matricave dallohen nga matematikanët.

Lloji null

Të gjithë përbërësit e këtij lloji të matricës janë zero. Ndërkohë, numri i rreshtave dhe kolonave të tij është krejtësisht i ndryshëm.

Lloji katror

Numri i kolonave dhe rreshtave të këtij lloji të matricës është i njëjtë. Me fjalë të tjera, është një tabelë në formë "katrore". Numri i kolonave (ose rreshtave) të tij quhet rend. Rastet e veçanta përfshijnë ekzistencën e një matrice të rendit të dytë (matricë 2x2), rendit i katërt(4x4), e dhjeta (10x10), e shtatëmbëdhjetë (17x17) e kështu me radhë.

Vektori i kolonës

Ky është një nga llojet më të thjeshta të matricave, që përmban vetëm një kolonë, e cila përfshin tre vlerat numerike. Ajo përfaqëson një seri anëtarë të lirë(numra të pavarur nga ndryshoret) në sistemet e ekuacioneve lineare.

Pamje e ngjashme me atë të mëparshme. Përbëhet nga tre elementë numerikë, të organizuar nga ana tjetër në një rresht.

Lloji diagonal

Vlerat numerike në formën diagonale të matricës marrin vetëm përbërësit e diagonales kryesore (të theksuara jeshile). Diagonalja kryesore fillon me elementin në këndin e sipërm të djathtë dhe përfundon me numrin në kolonën e tretë të rreshtit të tretë. Komponentët e mbetur janë të barabartë me zero. Lloji diagonal është vetëm një matricë katrore e një radhe. Ndër matricat diagonale dallohet ajo skalare. Të gjithë përbërësit e tij marrin të njëjtat vlera.

Një nënlloj i matricës diagonale. E gjithë ajo vlerat numerike janë njësi. Duke përdorur një lloj të vetëm të tabelës matricë, njeriu kryen transformimet e tij bazë ose gjen një matricë të kundërt me atë origjinale.

Lloji kanonik

Forma kanonike e matricës konsiderohet si një nga ato kryesore; Reduktimi në të shpesh është i nevojshëm për punë. Numri i rreshtave dhe kolonave në një matricë kanonike nuk i përket domosdoshmërisht lloji katror. Është disi e ngjashme me matricën e identitetit, por në rastin e saj jo të gjithë komponentët e diagonales kryesore marrin vlerën e barabartë me një. Mund të ketë dy ose katër njësi kryesore diagonale (të gjitha varen nga gjatësia dhe gjerësia e matricës). Ose mund të mos ketë fare njësi (atëherë konsiderohet zero). Përbërësit e mbetur të tipit kanonik, si dhe elementët diagonale dhe njësi, janë të barabartë me zero.

Lloji trekëndor

Një nga llojet më të rëndësishme të matricës, që përdoret gjatë kërkimit të përcaktuesit të saj dhe gjatë kryerjes së operacioneve të thjeshta. Lloji trekëndor vjen nga lloji diagonal, kështu që matrica është gjithashtu katrore. Lloji trekëndor i matricës ndahet në trekëndëshin e sipërm dhe trekëndëshin e poshtëm.

Në një matricë trekëndore të sipërme (Fig. 1), vetëm elementët që janë mbi diagonalen kryesore marrin një vlerë të barabartë me zero. Përbërësit e vetë diagonales dhe pjesa e matricës që ndodhet nën të përmbajnë vlera numerike.

Në matricën e poshtme trekëndore (Fig. 2), përkundrazi, elementët e vendosur në pjesën e poshtme të matricës janë të barabartë me zero.

Pamja është e nevojshme për të gjetur gradën e një matrice, si dhe për operacionet elementare mbi to (së bashku me tip trekëndor). Matrica e hapave është quajtur kështu sepse përmban "hapa" karakteristikë të zerave (siç tregohet në figurë). Në llojin e hapit, formohet një diagonale me zero (jo domosdoshmërisht ajo kryesore), dhe të gjithë elementët nën këtë diagonale kanë gjithashtu vlera të barabarta me zero. Një parakusht është si vijon: nëse ka një rresht zero në matricën e hapit, atëherë rreshtat e mbetur poshtë tij gjithashtu nuk përmbajnë vlera numerike.

Kështu që ne shikuam llojet më të rëndësishme matricat e nevojshme për të punuar me to. Tani le të shohim problemin e konvertimit të matricës në formën e kërkuar.

Reduktimi në formë trekëndore

Si të reduktohet matrica në pamje trekëndore? Më shpesh në detyra ju duhet të shndërroni një matricë në një formë trekëndore në mënyrë që të gjeni përcaktuesin e saj, i quajtur ndryshe përcaktues. Gjatë kryerjes së kësaj procedure, është jashtëzakonisht e rëndësishme të "ruani" diagonalen kryesore të matricës, sepse përcaktori i një matrice trekëndore është i barabartë me produktin e përbërësve të diagonales së saj kryesore. Më lejoni të kujtoj gjithashtu metoda alternative për gjetjen e përcaktorit. Përcaktori i llojit katror gjendet duke përdorur formula të veçanta. Për shembull, mund të përdorni metodën e trekëndëshit. Për matricat e tjera përdoret metoda e zbërthimit sipas rreshtit, kolonës ose elementeve të tyre. Ju gjithashtu mund të përdorni metodën e të voglave dhe shtesat e matricës algjebrike.

Le të analizojmë në detaje procesin e zvogëlimit të një matrice në një formë trekëndore duke përdorur shembuj të disa detyrave.

Ushtrimi 1

Është e nevojshme të gjendet përcaktori i matricës së paraqitur duke përdorur metodën e reduktimit të saj në formë trekëndore.

Matrica që na është dhënë është një matricë katrore e rendit të tretë. Prandaj, për ta kthyer atë në formë trekëndore duhet t'i kthejmë në zero dy komponentë të kolonës së parë dhe një komponent të së dytës.

Për ta sjellë atë në formë trekëndore, ne e fillojmë transformimin nga këndi i poshtëm i majtë i matricës - nga numri 6. Për ta kthyer atë në zero, shumëzoni rreshtin e parë me tre dhe zbrisni atë nga rreshti i fundit.

E rëndësishme! Rreshti i sipërm nuk ndryshon, por mbetet i njëjtë si në matricën origjinale. Nuk ka nevojë të shkruhet një varg katër herë më i madh se ai origjinal. Por vlerat e vargjeve, përbërësit e të cilëve duhet të vendosen në zero, ndryshojnë vazhdimisht.

Mbetet vetëm vlera e fundit- elementi i rreshtit të tretë të kolonës së dytë. Ky është numri (-1). Për ta kthyer atë në zero, zbritni të dytën nga rreshti i parë.

Le të kontrollojmë:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Kjo do të thotë që përgjigja e detyrës është -22.

Detyra 2

Është e nevojshme të gjendet përcaktori i matricës duke e reduktuar atë në formë trekëndore.

Matrica e paraqitur i përket tipit katror dhe është matricë e rendit të katërt. Kjo do të thotë se është e nevojshme të ktheni në zero tre komponentë të kolonës së parë, dy përbërës të kolonës së dytë dhe një përbërës të kolonës së tretë.

Le të fillojmë ta konvertojmë atë nga elementi i vendosur në këndin e poshtëm të majtë - nga numri 4. Duhet të kthehemi numri i dhënë në zero. Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është të shumëzoni vijën e sipërme me katër dhe pastaj ta zbrisni atë nga e katërta. Le të shkruajmë rezultatin e fazës së parë të transformimit.

Pra, komponenti i rreshtit të katërt është vendosur në zero. Le të kalojmë në elementin e parë të rreshtit të tretë, në numrin 3. Ne kryejmë një operacion të ngjashëm. Rreshtin e parë e shumëzojmë me tre, e zbresim nga rreshti i tretë dhe shkruajmë rezultatin.

Ne arritëm të kthejmë në zero të gjithë përbërësit e kolonës së parë të kësaj matrice katrore, me përjashtim të numrit 1 - një element i diagonales kryesore që nuk kërkon transformim. Tani është e rëndësishme të ruhen zerot që rezultojnë, kështu që transformimet do t'i kryejmë me rreshta, jo me kolona. Le të kalojmë në kolonën e dytë të matricës së paraqitur.

Le të fillojmë përsëri në fund - me elementin e kolonës së dytë të rreshtit të fundit. Ky numër është (-7). Megjithatë, në në këtë rastËshtë më e përshtatshme të filloni me numrin (-1) - elementi i kolonës së dytë të rreshtit të tretë. Për ta kthyer atë në zero, zbritni të dytën nga rreshti i tretë. Pastaj shumëzojmë rreshtin e dytë me shtatë dhe e zbresim atë nga e katërta. Ne morëm zero në vend të elementit të vendosur në rreshtin e katërt të kolonës së dytë. Tani le të kalojmë në kolonën e tretë.

Në këtë kolonë duhet të kthejmë vetëm një numër në zero - 4. Kjo nuk është e vështirë për t'u bërë: thjesht shtoni në rreshti i fundit e treta dhe ne shohim zeron që na nevojitet.

Pas të gjitha transformimeve të bëra, ne e sollëm matricën e propozuar në një formë trekëndore. Tani, për të gjetur përcaktuesin e tij, ju vetëm duhet të shumëzoni elementët që rezultojnë të diagonales kryesore. Ne marrim: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Prandaj, zgjidhja është 160.

Pra, tani çështja e zvogëlimit të matricës në formë trekëndore nuk do t'ju shqetësojë.

Reduktimi në një formë të shkallëzuar

Për operacionet elementare në matrica, forma e shkallëzuar është më pak "në kërkesë" sesa ajo trekëndore. Më shpesh përdoret për të gjetur rangun e një matrice (d.m.th., numrin e rreshtave të saj jo zero) ose për të përcaktuar rreshtat e varur dhe të pavarur në mënyrë lineare. Sidoqoftë, lloji i shkallëzuar i matricës është më universal, pasi është i përshtatshëm jo vetëm për llojin katror, ​​por edhe për të gjithë të tjerët.

Për të reduktuar matricën në pamje me shkallë, fillimisht duhet të gjesh përcaktuesin e saj. Metodat e mësipërme janë të përshtatshme për këtë. Qëllimi i gjetjes së përcaktorit është të zbulohet nëse ai mund të shndërrohet në një matricë hapash. Nëse përcaktorja është më e madhe ose më pak se zero, atëherë mund të filloni me qetësi detyrën. Nëse është e barabartë me zero, nuk do të jetë e mundur të reduktohet matrica në një formë hap pas hapi. Në këtë rast, duhet të kontrolloni nëse ka ndonjë gabim në regjistrim ose në transformimet e matricës. Nëse nuk ka pasaktësi të tilla, detyra nuk mund të zgjidhet.

Le të shohim se si të zvogëlojmë një matricë në një formë hap pas hapi duke përdorur shembuj të disa detyrave.

Ushtrimi 1. Gjeni renditjen e tabelës së dhënë të matricës.

Para nesh është një matricë katrore e rendit të tretë (3x3). Ne e dimë se për të gjetur gradën është e nevojshme ta reduktojmë atë në një formë hap pas hapi. Prandaj, së pari duhet të gjejmë përcaktuesin e matricës. Le të përdorim metodën e trekëndëshit: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Përcaktor = 12. Ai Mbi zero, që do të thotë se matrica mund të reduktohet në një formë hap pas hapi. Le të fillojmë ta transformojmë atë.

Le ta fillojmë me elementin e kolonës së majtë të rreshtit të tretë - numrin 2. Shumëzoni vijën e sipërme me dy dhe zbrisni atë nga e treta. Falë këtij operacioni, si elementi që na nevojitet ashtu edhe numri 4 - elementi i kolonës së dytë të rreshtit të tretë - u kthyen në zero.

Ne shohim se si rezultat i reduktimit, matricë trekëndore. Në rastin tonë, ne nuk mund të vazhdojmë transformimin, pasi përbërësit e mbetur nuk mund të reduktohen në zero.

Kjo do të thotë që ne konkludojmë se numri i rreshtave që përmbajnë vlera numerike në këtë matricë (ose renditja e saj) është 3. Përgjigja e detyrës: 3.

Detyra 2. Përcaktoni numrin e rreshtave linearisht të pavarur të kësaj matrice.

Ne duhet të gjejmë vargje që nuk mund të konvertohen në zero nga asnjë transformim. Në fakt, ne duhet të gjejmë numrin e rreshtave jo zero, ose renditjen e matricës së paraqitur. Për ta bërë këtë, le ta thjeshtojmë.

Ne shohim një matricë që nuk i përket llojit katror. Ka përmasa 3x4. Le të fillojmë gjithashtu reduktimin me elementin e këndit të poshtëm të majtë - numrin (-1).

Transformimet e tij të mëtejshme janë të pamundura. Kjo do të thotë që ne konkludojmë se numri i linjave të pavarura lineare në të dhe përgjigja e detyrës është 3.

Tani reduktimi i matricës në një formë të shkallëzuar nuk është një detyrë e pamundur për ju.

Duke përdorur shembuj të këtyre detyrave, ne shqyrtuam reduktimin e një matrice në një formë trekëndore dhe në një formë të shkallëzuar. Për ta bërë atë zero vlerat e kërkuara tabelat e matricës, në në disa raste ju duhet të përdorni imagjinatën tuaj dhe të konvertoni saktë kolonat ose rreshtat e tyre. Suksese në matematikë dhe në punën me matricat!