Një transformim afinik b është një transformim i rrafshit që shndërron çdo drejtëz në një drejtëz dhe ruan marrëdhënien në të cilën një pikë ndan një segment.
Në figurën 1: L"= b(L), A"=b(A), B"=b(B), C"=b(C), |
Shndërrimet - lëvizja dhe ngjashmëria - janë raste të veçanta të atyre afine, pasi, për shkak të vetive të lëvizjes dhe ngjashmërisë, për to plotësohen të gjitha kërkesat për përcaktimin e shndërrimeve afine.
Le të japim një shembull të një transformimi afinal që nuk është i reduktueshëm me ato të konsideruara më parë. Për këtë qëllim, së pari shqyrtojmë projeksionin paralel të një rrafshi në një plan.
Le të jepen rrafshet: w dhe w1 drejtëz l (drejtimi i projektimit), jo paralel me asnjë nga këto rrafshe (Fig. 2). Pika Aєw quhet projeksion i pikës A1єw1, nëse AA1||l, atëherë drejtëza AA1 quhet vijë projeksionuese. Dizajni paralel është një hartë e rrafshit w1 në w.
Le të vëmë re vetitë e mëposhtme dizajn paralel.
1) Imazhi i çdo linje a1 është një vijë e drejtë.
Në fakt, vijat që projektojnë pikat e drejtëzës a1 formojnë një rrafsh (ai kalon përmes a1 paralel me l), i cili kur kryqëzohet me w, jep imazhin e drejtëzës a1 - drejtëzës a (Fig. 2).
2) Ruhet marrëdhënia në të cilën pika ndan segmentin, d.m.th.
Menjëherë rrjedh nga teorema për kryqëzimin e brinjëve të një këndi me drejtëza paralele.
Le të vazhdojmë drejtpërdrejt në ndërtimin e një shembulli të një transformimi afin.
Le të marrim dy kopje të planit w dhe të zhvendosim njërën prej tyre në një pozicion tjetër w1 (Fig. 3). Le të shënojmë pozicionin e ri të çdo pike Aєw si A1єw1. Tani ne projektojmë rrafshin w1 në një pozicion mbi w dhe shënojmë projeksionin e pikës A1 me A."
Rezultati është një transformim i rrafshit w në vetvete, në të cilin. Për shkak të vetive simetrike të projeksionit paralel, për këtë transformim plotësohen të dyja kërkesat e një transformimi të caktuar afine, prandaj, transformimi i ndërtuar tani është perspektivë-afin.
3) Teorema kryesore. Sido që të jenë dy kornizat afinale dhe, ekziston një transformim unik afinal që e shndërron të parën në të dytën.
Ekzistenca. Le të shqyrtojmë transformimin a, i cili transformon një pikë arbitrare A, e cila ka koordinata (x, y) në kornizën R, në pikën A, e cila ka të njëjtat koordinata në kornizën R (Fig. 4). Natyrisht, a(R) = R". Le të tregojmë se a është një transformim afin.
Imazhi i drejtëzës l, e cila ka ekuacionin ax+vy+c=0 në kornizën R, do të jetë drejtëza l”, e cila në R” ka të njëjtin ekuacion. Kjo do të thotë se l" është një vijë e drejtë (Fig. 5). Për rrjedhojë, imazhi i një vije të drejtë arbitrare është një vijë e drejtë.
Tani pika C(x,y) të ndajë segmentin që lidh pikat A(x1,y1), B(x2,y2) në relacion.
Dhe meqenëse imazhet e këtyre pikave - A", B", C" kanë të njëjtat koordinata (në një sistem tjetër), atëherë, prandaj,
Pra, për transformimin b, të dyja kërkesat e përkufizimit janë të kënaqur, që do të thotë se b është një transformim afin.
Dëshmi unike nga kontradikta. Le të ketë dy shndërrime afine b1 dhe b2, nën të cilat. Pastaj ka një pikë A të tillë që, ku (Fig. 6). Le të shënojmë me K pikën e kryqëzimit të drejtëzave OA dhe E1E2 (nëse këto drejtëza janë paralele, atëherë duhet të marrim E1A, OE2, nëse këto drejtëza janë paralele, duhet të marrim E2A dhe OE1). Meqenëse, imazhi i pikës K do të jetë pika K"1 - pika e prerjes së drejtëzave. Në bazë të përkufizimit të transformimit afin:
Në mënyrë të ngjashme për transformimin b2.
Kështu
E para prej këtyre barazive tregon se pikat K"1 dhe K"2 përputhen, dhe më pas nga e dyta pason A"1=A"2, që bie ndesh me A. Kontradikta që rezulton vërteton teoremën.
Teorema kryesore mund të formulohet ndryshe: pa marrë parasysh se cilët janë dy trekëndëshat, ekziston një transformim afinal unik që shndërron njërin në tjetrin.
Teorema kryesore e vërtetuar e bën konceptin e një transformimi afin konstruktiv. Një transformim afinal specifikohet nga një palë kornizash afinale arbitrare.
4)Ekuacionet e transformimit afin janë marrë nga teorema kryesore dhe formulat e transformimit koordinatat afine ashtu si ekuacionet e lëvizjes dhe ngjashmërisë. Le të jepen dy pika referimi (Fig. 7).
fitohen ekuacionet e mëposhtme:
Këto ekuacione janë shkruar në sistemi afin koordinatat Në veçanti, ato veprojnë edhe në koordinatat karteziane drejtkëndore.
Formimi i një imazhi dhe veprime të ndryshme me të kërkojnë që përdoruesi të dijë shkrim-lexim matematikor. Konceptet gjeometrike, formulat dhe faktet që lidhen me rastet plane dhe tredimensionale luajnë në problemet e grafikës kompjuterike rol të veçantë. Parimet gjeometria analitike shoqëruar me mundësi gjithnjë në zgjerim teknologji kompjuterike janë një burim i pashtershëm përparime të rëndësishme në zhvillimin e grafikës kompjuterike, e saj përdorim efektiv në CAD.
Raster dhe imazhe vektoriale
Ekzistojnë dy lloje imazhesh: raster dhe vektor.
Një imazh raster përbëhet nga shumë pika - pikselë (nga piksel anglez - ELEment PICTURE), çdo piksel ka një ngjyrë specifike. Sa më të dendura të jenë pikselat, aq më të vogla janë madhësitë e tyre dhe sasi e madhe ngjyrat, aq më e lartë është cilësia e figurës. Shembuj imazhe raster: printim offset (gazetë), imazh në ekranin e kompjuterit, vizatim i skanuar. Me rezolucion të mirë të pajisjeve dalëse grafike, shumë cilesi e larte imazhet raster, por, për fat të keq, puna me to është jashtëzakonisht e papërshtatshme, dhe kur shkallëzohet, cilësia humbet.
Në rastin më të thjeshtë, një imazh vektori nuk përbëhet nga pika, por nga shumë segmente të drejta, dhënë me koordinata skajet e tyre. Një imazh i tillë shkallëzohet lehtësisht pa humbje të cilësisë dhe është i lehtë për t'u përpunuar. Pothuajse në të gjitha paketat grafike të përdorura në CAD, informacioni paraqitet në formë vektoriale.
Transformimet afine në aeroplan
Supozoni se një sistem koordinativ drejtvizor është futur në plan. Atëherë çdo pikë M shoqërohet me një çift numrash të renditur (x, y) koordinatat e saj (Fig. 1). Duke prezantuar një sistem tjetër koordinativ drejtvizor në aeroplan, le të caktojmë një çift tjetër numrash në të njëjtën pikë M - (x*, y*).
Kalimi nga një sistem koordinativ drejtvizor në një plan në tjetrin përshkruhet nga relacionet e mëposhtme:
(*)
ku - numra arbitrar lidhur me pabarazi:
Në vijim do të shqyrtojmë formulat (*) si rregull sipas të cilave në sistemi i dhënë koordinatat, pikat e rrafshit transformohen.
Në transformimet afinike, një rol të veçantë luajnë disa raste të veçanta të rëndësishme që kanë karakteristika gjeometrike të gjurmueshme mirë.
A. Kthehuni pikënisje nga këndi j (Fig. 2a) përshkruhet me formula
B. Tensioni (ngjeshja) përgjatë boshtet koordinative(Fig. 2b) mund të vendoset si kjo:
B. Reflektimi në lidhje me boshtin x (Fig. 2c) specifikohet duke përdorur formulat
D. Transferimi (Fig. 2d) sigurohet nga raportet
Siç vërtetohet në rrjedhën e gjeometrisë analitike, çdo transformim i formës (*) mund të përfaqësohet gjithmonë si një ekzekutim (mbivendosje) vijues i transformimeve më të thjeshta të formës A, B, C dhe D.
Për t'i përdorur këto në mënyrë efektive formulat e njohura Në problemet e grafikës kompjuterike, shënimi i matricës së tyre është më i përshtatshëm. Matricat për rastet A, B dhe C ndërtohen lehtësisht dhe kanë përkatësisht formën e mëposhtme:
Për të zgjidhur problemet, është shumë e dëshirueshme që të mbulohen të katër transformimet më të thjeshta (përfshirë transferimin) me një qasje matrice, dhe, rrjedhimisht, transformimi i përgjithshëm afin. Kjo mund të arrihet duke përshkruar një pikë arbitrare në aeroplan jo me dy koordinata, siç u bë më lart, por me një treshe të renditur numrash.
Koordinatat e pikës homogjene
Le M- pika arbitrare e rrafshit me koordinata x Dhe y, llogaritur në lidhje me një sistem të caktuar koordinativ drejtvizor. Koordinatat homogjene të kësaj pike janë çdo treshe numrash që janë njëkohësisht të pabarabartë me zero x1, x2, x3, e lidhur me numrat e dhënë x Dhe y marrëdhëniet e mëposhtme:
Gjatë zgjidhjes së problemeve të grafikës kompjuterike, koordinatat homogjene zakonisht futen si më poshtë: pikë arbitrare M(x, y) aeroplanit i caktohet një pikë M*(x, y, 1) në hapësirë (Fig. 3).
Përdorimi i trenjakëve koordinata homogjene dhe matricat e rendit të tretë, çdo transformim afinal në plan mund të përshkruhet. Krahasimi i ekuacionit (*) dhe matricës së mëposhtme:
,
shihet lehtë se pas shumëzimit të shprehjeve në anën e djathtë të relacionit të fundit, fitohen të dyja formulat (*) dhe identiteti 1=1. Kështu, të dhënat e krahasuara janë ekuivalente.
Transformimet afinale në hapësirë
Për ekzekutim ndërtimet hapësinore, ngjashëm me problemin dydimensional, koordinatat me tre pika (x, y, z) zëvendësohen me katër numra (x, y, z, 1). Kjo bën të mundur përfitimin shënimi i matricës dhe në problemet më komplekse tredimensionale.
Çdo transformim afinik në hapësirën tredimensionale mund të përfaqësohet si një mbivendosje e rrotullimeve, shtrirjeve, reflektimeve dhe përkthimeve. Matematikisht, të gjitha transformimet reduktohen në shumëzim matricë rendit i katërt. Për shembull, matrica e rrotullimit rreth boshtit x sipas këndit j ka formën:
.
Llojet e projeksionit
Imazhi i objekteve tre-dimensionale në rrafshin e figurës shoqërohet me një operacion tjetër gjeometrik - projeksion duke përdorur një tufë vijash të drejta.
NË grafika kompjuterike aplikohen disa lloje të ndryshme projeksioni. Më të përdorurat janë projeksioni paralel dhe qendror.
Për të marrë projeksione të një objekti në rrafshin e figurës, është e nevojshme të vizatoni një vijë të drejtë nga një rreze e caktuar projeksioni përmes secilës prej pikave të saj dhe më pas të gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të kësaj linje me rrafshin e figurës. Kur projeksion qendror të gjitha linjat e drejta vijnë nga një pikë - qendra e rrezes. Në projeksion paralel besohet se qendra e traut ndodhet në pafundësi (Fig. 4). Matematikisht, operacioni i projeksionit gjithashtu zvogëlohet në shumëzimin e matricave përkatëse.
Le të marrim një vektor në rrafsh (ose në hapësirë) (Fig. 142). Në transformimi afin pikat lëvizin, përkatësisht, në pika që kanë të njëjtat koordinata në raport me pikën e re të referencës që kishin pikat në raport me atë të vjetër. Meqenëse koordinatat e një vektori përftohen duke zbritur koordinatat e pikës së tij fillestare nga koordinatat e fundit të tij, koordinatat e vektorit në lidhje me pikën e re të referencës janë të njëjta me koordinatat e vektorit në lidhje me standardin e vjetër. Kështu që:
Me një transformim afin, një vektor shoqërohet me një vektor që ka, në lidhje me kornizën e re, të njëjtat koordinata që kishte vektori në lidhje me atë të vjetër.
Menjëherë rrjedh se nën transformimin afin vektorë të barabartë përputhen të barabartë, pra:
2° Një transformim afin i një rrafshi (hapësirë) gjeneron një hartë një-me-një në vetvete (transformim) të varietetit V të të gjithë vektorëve të lirë të rrafshit (përkatësisht hapësirës).
Ky transformim ka pronën e mëposhtme lineariteti: nëse, me një transformim të dhënë, vektorët u, v korrespondojnë me vektorët u, v, atëherë vektori do t'i korrespondojë vektorit dhe vektori do t'i korrespondojë vektorit Lie (kjo mund të vërtetohet menjëherë duke shkuar në koordinatat). Nga vetia e linearitetit rezulton:
Nëse për një transformim të caktuar afine vektorët korrespondojnë me vektorët , atëherë çdo kombinim linear
vektorët korrespondojnë me një kombinim linear
vektorë (me koeficientë të njëjtë).
Që nën transformimin afin vektor zero padyshim që korrespondon me zero, atëherë nga ajo që u vërtetua rrjedh:
4° Me transformim afine varësia lineare vektorët ruhen, që do të thotë se çdo dy vektorë kolinearë kthehen në kolinear, çdo tre vektor koplanar bëhen koplanare).
5° Konvertimi i kundërt te një transformim afinik ka një transformim afin.
Në fakt, nëse një transformim afinal i dhënë A i rrafshit jepet nga një kalim nga një kornizë në një kornizë, atëherë transformimi afin i dhënë nga një kalim nga një kornizë në një kornizë është, siç mund të shihet lehtë, një transformim i anasjelltë në transformimi A.
E njëjta gjë vlen edhe për hapësirën.
Kemi parë se nën një transformim afinal është ruajtur varësia lineare e vektorëve. Të ruajtura dhe pavarësia lineare vektorët:
6° Nën një transformim afinal A, çdo linear sistemi i varur vektorët e tyre,. kaloi në një të pavarur linearisht - përndryshe, me një transformim afinal të anasjelltë në A, një sistem linear i varur dhe, . do të bëhej linearisht i pavarur, gjë që, siç e dimë, është e pamundur.
Meqenëse korniza është një sistem linear vektorë të pavarur(dy në rrafsh, tre në hapësirë) aplikuar në një pikë të caktuar O, më pas nën një transformim afine çdo kornizë bëhet kornizë. Për më tepër, ekziston një propozim
7° Me një hartë afine (e dhënë nga kalimi nga korniza I në kornizë ) çdo kornizë II shkon në kornizë [ dhe çdo pikë M (çdo vektor u) shkon në pikën M (në vektor ) me të njëjtat koordinata në lidhje me kornizën si pika M dhe vektori dhe kishte në lidhje me pikën referuese II.
Prova në rastin e një avioni dhe në rastin e hapësirës është e njëjtë. Le të kufizohemi në rastin e një avioni. Le të jetë II korniza (Fig. 143), dhe korniza fillimisht le të jetë një deklaratë në lidhje me vektorët. Nëse vektori ka koordinata në lidhje me kornizën e referencës, atëherë . Por atëherë imazhi i vektorit është, nga vetia 3°, një vektor
që ka koordinata në lidhje me pikën referuese. Le të ketë pika M koordinata në lidhje me pikën e referencës.
Pastaj, në mënyrë që, sipas asaj të mëparshme, në lidhje me pikën e referencës, sektori OM, dhe rrjedhimisht pika M, të kenë koordinata. Deklarata është vërtetuar.
Deklarata e vërtetuar është domethënëse: prej saj rrjedh se, pasi të kemi përcaktuar një transformim afine nga një kalim nga një kornizë në një kornizë, ne mund ta përcaktojmë atë duke marrë çdo kornizë si fillestare dhe duke treguar kornizën në të cilën duhet të shkojë.
Si zbatim i vërejtjes së sapo bërë, vërtetojmë se produkti i dy transformimeve afine është një transformim afin.
Në të vërtetë, le të jepet transformimi afinal me kalimin nga korniza I në kornizën II. Sipas asaj që sapo është vërtetuar, ne mund të përcaktojmë një transformim afine duke lëvizur nga korniza II në një kornizë III. Pastaj transformimi afin i dhënë nga kalimi nga korniza I në kornizën III është padyshim produkt i transformimit dhe transformimit.
Vërejtje 1. Vetitë e sapo provuara të transformimeve afinike 1° - 7°, padyshim që vlejnë edhe për hartëzimin afinal të një rrafshi në tjetrin (një shembull hapësirë tredimensionale një tjetër).
Transformimi identik i një rrafshi, ose hapësire, është padyshim një transformim afin. Kujtoni se një transformim i anasjelltë me një afin është afin. Më në fund, siç sapo vërtetuam, produkti i dy transformimeve afine është një transformim afin. Nga këtu - bazuar në kushtin e dhënë në § 6, paragrafi 6, Shtojca - parimi kryesor vijon menjëherë:
Teorema 1. Në grupin e të gjitha shndërrimeve në rrafsh (hapësirë), shndërrimet afine formojnë një nëngrup.
Ndër transformimet afinale, lëvizjet dallohen në atë që ato mund të specifikohen nga një kalim nga një sistem drejtkëndor koordinatat me një tjetër, gjithashtu drejtkëndëshe dhe me të njëjtën shkallë. Shndërrimi i kundërt në lëvizje është lëvizja, dhe produkti i dy lëvizjeve është lëvizja. Sepse transformimi i identitetit ka rast i veçantë lëvizje, atëherë (në analogji të plotë me Teoremën 1) kemi gjithashtu
Teorema 1. Në grupin e të gjitha shndërrimeve afine, lëvizjet formojnë një nëngrup.
Ne vazhdojmë të rendisim veçoritë më të thjeshta të transformimeve afine dhe pasqyrimeve.
Tri pika janë kolineare nëse dhe vetëm nëse vektorët janë kolinear. Dhe meqenëse kolineariteti i vektorëve ruhet gjatë një transformimi afin, ruhet edhe kolineariteti i pikave. Nga kjo rrjedh:
Me një hartë afinale (të një rrafshi ose hapësire), një vijë e drejtë bëhet një vijë e drejtë.
Tani do të japim një provë të dytë të këtij fakti.
Le të jepet një hartë afinale. Ai konsiston në faktin se çdo pikë M me koordinata (në sistemi i koordinatave) shkon në pikën M, e cila ka të njëjtat koordinata në sistemin e dytë. Kjo nënkupton:
9° Me një hartë të caktuar afine (të përcaktuar nga kalimi nga korniza në kornizë) bashkësia e të gjitha pikave, koordinatat e të cilave (në sistemin e koordinatave) plotësojnë disa Ekuacione hyn në bashkësinë e pikave, koordinatat e të cilave në sistem plotësojnë të njëjtin ekuacion. .
Në veçanti, vija e drejtë me ekuacionin
(në sistem) do të shkojë në një vijë të drejtë që ka të njëjtin ekuacion, por vetëm në sistemin koordinativ.
Në të njëjtën mënyrë, me një transformim afinal të hapësirës (të përcaktuar nga kalimi nga korniza në kornizë), një plan që ka në sistem ekuacionin
shkon në një plan që ka të njëjtin ekuacion (2), por vetëm në sistemin koordinativ .
Një vijë e drejtë e përcaktuar në hapësirë nga "ekuacioni i saj i përgjithshëm"
ose një ose një version tjetër të veçantë të tij, për shembull, ekuacioni kanonik
me një transformim të dhënë afine, ai do të shndërrohet në një vijë të drejtë që ka të njëjtat ekuacione, por vetëm në sistemin koordinativ . Pra është e provuar
Teorema 2. Me një transformim afinal të një rrafshi, përkatësisht të hapësirës, drejtëzat kalojnë në drejtëza, rrafshet në rrafshe.
Në të njëjtën kohë, paralelizmi ruhet.
Në fakt, nëse dy drejtëza (ose dy rrafshe, ose një drejtëz dhe një rrafsh) janë paralele, atëherë ekuacionet e tyre në lidhje me kornizën plotësojnë kushtet e njohura të paralelizmit; por imazhet e këtyre vijave (rrafsheve) kanë të njëjtat ekuacione në lidhje me kornizën, dhe, për rrjedhojë, plotësojnë të njëjtat kushte paralelizmi.
Vërejtje 2. Ruajtja e paralelizmit nën një transformim afine mund të konkludohet gjithashtu duke përdorur faktin se transformimi afinik është një me një.
Në të vërtetë, për çdo hartë një-për-një (për shembull, një hapësirë në vetvete), imazhi i kryqëzimit të dy (çdo) grupesh është kryqëzimi i imazheve të këtyre grupeve.
Kjo do të thotë që dy grupe kryqëzuese bëhen grupe kryqëzuese nën çdo hartë një-me-një.
Nga kjo rrjedh se me një transformim afinal të një rrafshi ka dy drejtëza paralele, dhe me një hartë afine të hapësirës janë dy plane paralele shkojnë në paralele; ruhet edhe vetia e paralelizmit ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit.
Le të jepen dy drejtëza paralele në hapësirë; ato shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kryqëzohen. Me një transformim afinal të hapësirës, këto dy drejtëza do të kthehen në dy drejtëza që gjithashtu shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kryqëzohen, pra në dy drejtëza paralele.
Teorema 3. Kur një transformim afin i një plani (hapësire) e shndërron drejtëzën d në drejtëz, një segment i drejtëzës d shkon në një segment të drejtëzës dhe pika M e drejtëzës d duke e ndarë segmentin në ne kete aspekt K, shkon në pikën
M është një vijë e drejtë d që ndan segmentin në të njëjtin raport (Fig. 144).
Dëshmi. Meqenëse për A pozitive marrim pika që shtrihen brenda segmentit (përkatësisht, dhe për negative - jashtë këtij segmenti), atëherë e para rrjedh nga pohimi i dytë i Teoremës 3. Ne vërtetojmë pohimin e dytë të Teoremës 3, duke u kufizuar në rastin e një rrafsh Le të (në sistemin koordinativ) kemi
Meqenëse pika M ndan segmentin në lidhje me , atëherë
në hapësirë këto barazi do të plotësohen nga barazia . Me këtë transformim afinal, pikat do të kthehen në pika me të njëjtat koordinata si pikat, por vetëm në sistemin koordinativ. Këto koordinata janë ende të lidhura me relacione (3), nga të cilat rezulton se segmenti MM ndahet në raport. Kjo vërteton teoremën 3.
Le të, nën një transformim afinal A të hapësirës, një plan të hartohet në një plan. Le të marrim një pikë referimi në rrafsh, d.m.th., një palë vektorësh jokoliarësh të aplikuar në një pikë o (Fig. 145). Kur transformohet A, pika rreth rrafshit do të shkojë në pikën rreth rrafshit, vektorët jokolinearë do të kalojnë në vektorë jokolinearë, d.m.th., pika e referencës nga rrafshi do të kalojë në pikën e referencës së planit.
Çdo vektor i shtrirë në rrafsh do të shndërrohet në një vektor që shtrihet në rrafsh me të njëjtat koordinata në lidhje me pikën e referencës që kishte vektori në lidhje me pikën e referencës. Nga kjo rezulton se çdo pikë M e rrafshit do të shkojë në një pikë M të rrafshit, e cila ka, në lidhje me pikën e referencës, të njëjtat koordinata që pika M kishte në plan në lidhje me pikën e referencës. Me fjalë të tjera, Teorema 4. Le të, nën një transformim afinal të hapësirës, rrafshi i shkon në rrafsh. Më pas, transformimi A harton një plan referimi arbitrar në një plan referencë të caktuar dhe i cakton secilës pikë M të rrafshit një pikë M të planit, e cila ka, në lidhje me pikën e referencës, të njëjtat koordinata që pika M kishte në lidhje me referencën. pikë. Me fjalë të tjera: transformimi A gjeneron një hartë afinale të planit në plan.
