Rrethi është figura kryesore në gjeometri, vetitë e të cilit studiohen në shkollë në klasën e 8-të. Një nga detyra tipike e lidhur me një rreth është gjetja e sipërfaqes së një pjese të tij, e cila quhet sektor rrethor. Artikulli ofron formula për sipërfaqen e një sektori dhe gjatësinë e harkut të tij, si dhe një shembull të përdorimit të tyre për të zgjidhur detyrë specifike.
Koncepti i perimetrit dhe rrethit
Para se të japim formulën për sipërfaqen e një sektori të një rrethi, le të shqyrtojmë se cila është figura e treguar. Sipas përkufizimi matematik, një rreth kuptohet si një figurë në një rrafsh, të gjitha pikat e të cilit janë të barabarta nga një pikë e vetme (qendër).
Kur merret parasysh një rreth, përdoret terminologjia e mëposhtme:
- Rrezja është një segment i tërhequr nga pika qendrore në kurbë të rrethit. Zakonisht shënohet me shkronjën R.
- Diametri është një segment vije që lidh dy pika në një rreth, por gjithashtu kalon nëpër qendër të figurës. Zakonisht shënohet me shkronjën D.
- Një hark është një pjesë e një rrethi të lakuar. Ajo matet ose në njësi të gjatësisë ose duke përdorur kënde.
Rrethi është një figurë tjetër e rëndësishme në gjeometri, ai është një koleksion pikash që kufizohet nga kurba e një rrethi.
Sipërfaqja e një rrethi dhe perimetri
Vlerat e shënuara në titullin e artikullit llogariten duke përdorur dy formula të thjeshta. Ato janë dhënë më poshtë:
- Perimetri: L = 2*pi*R.
- Sipërfaqja e një rrethi: S = pi*R 2.
Në këto formula, pi është një konstante e caktuar e quajtur numri Pi. Është irracionale, domethënë nuk mund të shprehet saktë si thyesë e thjeshtë. Vlera e përafërt e Pi është 3.1416.
Siç shihet nga shprehjet e mësipërme, për të llogaritur sipërfaqen dhe gjatësinë, mjafton të dihet vetëm rrezja e rrethit.
Sipërfaqja e një sektori të një rrethi dhe gjatësia e harkut të tij
Para se të shqyrtojmë formulat përkatëse, le të kujtojmë se këndet në gjeometri zakonisht shprehen në dy mënyra kryesore:
- në shkallë seksi, dhe kthesë e plotë rreth boshtit të tij është e barabartë me 360 o;
- në radianë, të cilët shprehen në thyesa të numrit pi dhe lidhen me gradë me barazinë e mëposhtme: 2*pi = 360 o.
Një sektor i një rrethi është një figurë e kufizuar nga tre rreshta: një hark rrethi dhe dy rreze të vendosura në skajet e këtij harku. Një shembull i një sektori rrethor është paraqitur në foton më poshtë.
Pasi të keni marrë një ide se çfarë është një sektor i një rrethi, është e lehtë të kuptohet se si të llogaritet zona e tij dhe gjatësia e harkut përkatës. Nga figura e mësipërme shihet se harku i sektorit i përgjigjet këndit θ. Ne e dimë atë rrethi i plotë korrespondon me radianët 2*pi, që do të thotë se formula për sipërfaqen e një sektori rrethor do të marrë formën: S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 *θ/(2*pi ) = θ*R 2 /2. Këtu këndi θ shprehet në radianë. Një formulë e ngjashme për zonën e sektorit nëse këndi θ matet në gradë do të duket si: S 1 = pi*θ*R 2 /360.
Gjatësia e harkut që formon sektorin llogaritet me formulën: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Dhe nëse θ njihet në shkallë, atëherë: L 1 = pi*θ*R/180.
Shembull i zgjidhjes së problemit
Duke përdorur një problem të thjeshtë si shembull, ne do të tregojmë se si të përdorim formulat për zonën e një sektori të një rrethi dhe gjatësinë e harkut të tij.
Dihet që rrota ka 12 fole. Kur rrota bën një rrotullim të plotë, ajo mbulon një distancë prej 1.5 metrash. Sa është zona e mbyllur midis dy foleve ngjitur të rrotës dhe sa është gjatësia e harkut midis tyre?
Siç shihet nga formulat përkatëse Për t'i përdorur ato, duhet të dini dy sasi: rrezen e rrethit dhe këndin e harkut. Rrezja mund të llogaritet në bazë të njohurive për perimetrin e rrotës, pasi distanca që përshkon në një rrotullim korrespondon saktësisht me të. Kemi: 2*R*pi = 1,5, prej nga: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 metra. Këndi midis foleve më të afërta mund të përcaktohet duke ditur numrin e tyre. Duke supozuar se të 12 foletë e ndajnë në mënyrë të barabartë rrethin në sektorë të barabartë, marrim 12 sektorë identikë. Në përputhje me rrethanat, masa këndore e harkut midis dy foleve është e barabartë me: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 radianë.
Ne kemi gjetur të gjitha sasitë e nevojshme, tani mund t'i zëvendësojmë ato në formula dhe të llogarisim vlerat e kërkuara nga gjendja e problemit. Ne marrim: S 1 = 0,5236 * (0,2387) 2 / 2 = 0,0149 m 2, ose 149 cm 2; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 m, ose 12,5 cm.
Rrethi, pjesët e tij, përmasat dhe marrëdhëniet e tyre janë gjëra që has vazhdimisht një argjendari. Unaza, byzylykë, kasta, tuba, topa, spirale - duhet të bëhen shumë gjëra të rrumbullakëta. Si mund t'i llogaritni të gjitha këto, veçanërisht nëse keni pasur fatin të kapërceni orët e gjeometrisë në shkollë?..
Le të shohim fillimisht se cilat pjesë ka një rreth dhe si quhen ato.
- Një rreth është një vijë që mbyll një rreth.
- Një hark është një pjesë e një rrethi.
- Rrezja është një segment që lidh qendrën e një rrethi me çdo pikë të rrethit.
- Një akord është një segment që lidh dy pika në një rreth.
- Një segment është një pjesë e një rrethi të kufizuar nga një akord dhe një hark.
- Një sektor është një pjesë e një rrethi të kufizuar nga dy rreze dhe një hark.
Sasitë që na interesojnë dhe emërtimet e tyre:
Tani le të shohim se cilat probleme që lidhen me pjesët e një rrethi duhet të zgjidhen.
- Gjeni gjatësinë e zhvillimit të çdo pjese të unazës (byzylykut). Diametri dhe korda janë të specifikuara (opsioni: diametri dhe kënd qendror), gjeni gjatësinë e harkut.
- Ekziston një vizatim në një aeroplan, ju duhet të zbuloni madhësinë e tij në projeksion pasi ta përkulni atë në një hark. Duke pasur parasysh gjatësinë dhe diametrin e harkut, gjeni gjatësinë e kordës.
- Gjeni lartësinë e pjesës së marrë duke përkulur një pjesë të sheshtë të punës në një hark. Opsionet e të dhënave burimore: gjatësia dhe diametri i harkut, gjatësia e harkut dhe korda; gjeni lartësinë e segmentit.
Jeta do t'ju japë shembuj të tjerë, por unë i dhashë këto vetëm për të treguar nevojën për të vendosur disa dy parametra për të gjetur të gjithë të tjerët. Kjo është ajo që ne do të bëjmë. Domethënë, marrim pesë parametra të segmentit: D, L, X, φ dhe H. Më pas, duke zgjedhur të gjitha çiftet e mundshme prej tyre, do t'i konsiderojmë si të dhëna fillestare dhe me stuhi mendimesh gjeni të gjithë të tjerët.
Për të mos e ngarkuar kot lexuesin, zgjidhje të detajuara Unë nuk do të jap, por do të jap rezultate vetëm në formën e formulave (ato raste kur nuk ka vendim formal, do të flas për të ndërsa vazhdojmë).
Dhe një shënim tjetër: për njësitë matëse. Të gjitha sasitë, përveç këndit qendror, maten në të njëjtat njësi abstrakte. Kjo do të thotë që nëse, për shembull, specifikoni një vlerë në milimetra, atëherë tjetra nuk ka nevojë të specifikohet në centimetra, dhe vlerat që rezultojnë do të maten në të njëjtat milimetra (dhe zonat në milimetra katrorë). E njëjta gjë mund të thuhet për inç, këmbë dhe milje detare.
Dhe vetëm këndi qendror në të gjitha rastet matet në gradë dhe asgjë tjetër. Sepse, si rregull i madh, njerëzit që projektojnë diçka të rrumbullakët nuk priren të matin këndet në radianë. Shprehja "këndi pi me katër" ngatërron shumë, ndërsa "këndi dyzet e pesë gradë" është i kuptueshëm për të gjithë, pasi është vetëm pesë gradë më i lartë se normalja. Megjithatë, në të gjitha formulat do të ketë një kënd më shumë - α - i pranishëm si vlerë e ndërmjetme. Në kuptim, kjo është gjysma e këndit qendror, e matur në radianë, por nuk mund të gërmoni me siguri në këtë kuptim.
1. Jepet diametri D dhe gjatësia e harkut L
; gjatësia e kordës 
;
lartësia e segmentit 
; kënd qendror 
.
2. Jepet diametri D dhe gjatësia e kordës X
; gjatësia e harkut;
lartësia e segmentit ; kënd qendror 
.
Meqenëse korda e ndan rrethin në dy segmente, ky problem nuk ka një, por dy zgjidhje. Për të marrë të dytën, duhet të zëvendësoni këndin α në formulat e mësipërme me këndin .
3. Jepet diametri D dhe këndi qendror φ
; gjatësia e harkut;
gjatësia e kordës ; lartësia e segmentit .
4. Jepet diametri D dhe lartësia e segmentit H
; gjatësia e harkut;
gjatësia e kordës ; kënd qendror .
6. Është dhënë gjatësia e harkut L dhe këndi qendror φ
; diametri ;
gjatësia e kordës ; lartësia e segmentit .
8. Jepet gjatësia e kordës X dhe këndi qendror φ
; gjatësia e harkut 
;
diametri ; lartësia e segmentit .
9. Jepet gjatësia e kordës X dhe lartësia e segmentit H
; gjatësia e harkut ;
diametri ; kënd qendror .
10. Jepet këndi qendror φ dhe lartësia e segmentit H
; diametri 
;
gjatësia e harkut; gjatësia e kordës .
Lexuesi i vëmendshëm nuk mund të mos vinte re se më humbën dy opsione:
5. Jepet gjatësia e harkut L dhe gjatësia e kordës X
7. Jepet gjatësia e harkut L dhe lartësia e segmentit H
Këto janë vetëm ato dy incident i pakëndshëm, kur problemi nuk ka një zgjidhje që mund të shkruhet në formën e një formule. Dhe detyra nuk është aq e rrallë. Për shembull, ju keni një copë të sheshtë me gjatësi L dhe dëshironi ta përkulni në mënyrë që gjatësia e saj të bëhet X (ose lartësia e saj të bëhet H). Çfarë diametri duhet të marr mandrelin (shiritin)?
Ky problem zbret në zgjidhjen e ekuacioneve: 
; - në opsionin 5
; - në opsionin 7
dhe megjithëse nuk mund të zgjidhen në mënyrë analitike, ato mund të zgjidhen lehtësisht në mënyrë programore. Dhe unë madje e di se ku mund të marr një program të tillë: pikërisht në këtë faqe, nën emrin . Ajo bën gjithçka që po ju them gjatë këtu në mikrosekonda.
Për të përfunduar figurën, le t'i shtojmë rezultateve të llogaritjeve tona perimetrin dhe tre vlerat e zonës - rrethi, sektori dhe segmenti. (Zonat do të na ndihmojnë shumë gjatë llogaritjes së masës së të gjitha pjesëve të rrumbullakëta dhe gjysmërrethore, por më shumë për këtë në një artikull të veçantë.) Të gjitha këto sasi llogariten duke përdorur të njëjtat formula:
perimetri;
zona e një rrethi 
;
zona e sektorit 
;
zona e segmentit 
;
Dhe në përfundim, më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë për ekzistencën e absolutisht program falas, i cili kryen të gjitha llogaritjet e mësipërme, duke ju çliruar nga detyrimi për të kujtuar se çfarë është një arktangjent dhe ku ta kërkoni atë.
Nuk ka nevojë të mësoni zonën e një sektori të një rrethi dhe zonën e një segmenti! Të dashur miq!Ju ndoshta keni shikuar nëpër drejtori më shumë se një herë. formulat matematikore, dhe, me siguri, lindi mendimi: "A është vërtet e mundur t'i mësosh të gjitha?" Unë do t'ju them se çfarë është e mundur, por pse? Pse ta mbushni kokën me shumë formula, t'i përsërisni vazhdimisht, të tmerroheni se i keni harruar disa dhe t'i përsërisni përsëri? Nuk ka nevojë!
Në fakt, mjafton të mbani mend një të tretën e të gjitha formulave, formulave bazë apo edhe më pak. Më pas do të kuptoni se për çfarë po flasim. Të gjitha formulat e tjera mund të nxirren shpejt duke ditur bazat, duke aplikuar logjikën dhe duke kujtuar parimet që duhen ndjekur.
Më lejoni t'ju jap një shembull: ka 32 formula për reduktimin e tyre është një ushtrim i kotë. Si të mbani mend shpejt ndonjë prej tyre është përshkruar në artikullin "", hidhini një sy.
Në këtë artikull do të shikojmë se si të rivendosim shpejt në kujtesë formulat për zonën e një sektori të një rrethi, zonën e segmentit të tij dhe gjatësinë e harkut të një rrethi. Janë këto formula që do të nevojiten për zgjidhjen e serive në planimetri, të cilat do t'i analizojmë në artikullin vijues.Pra, formulat "bazë", ju duhet t'i mësoni dhe t'i njihni ato!
Sipërfaqja e një rrethi (formula):
Formula e rrethit:
Le të përshkruajmë një sektor që korrespondon me një kënd të caktuar qendror n:
Ne arsyetojmë logjikisht: nëse sipërfaqja e një rrethi është S= PR 2 , atëherë zona që i korrespondon një sektori prej një shkalle do të jetë e barabartë me 1/360 e sipërfaqes së rrethit (ne e dimë se i gjithë rrethi është një kënd prej 360 gradë), d.m.th.
Është më tej e qartë se zona e sektorit që korrespondon me këndin qendror prej n gradësh është e barabartë me produktin e një të treqind e gjashtëdhjetës së sipërfaqes së rrethit dhe këndit qendror n (që korrespondon me sektorin) dmth
Këtu është formula për zonën e sektorit.
Ose mund ta strukturoni arsyetimin tuaj si kjo:
Një sektor prej 1 shkallë është 1/360 e një rrethi, përkatësisht, një sektor prej n gradë është n/360 e një rrethi. Kjo do të thotë, zona e sektorit do të jetë e barabartë me produktin e sipërfaqes së rrethit dhe kësaj pjese:
Është e thjeshtë. Është e nevojshme të zbritet sipërfaqja e trekëndëshit nga zona e sektorit (është caktuar të verdhë). Sipërfaqja e një trekëndëshi, siç e dimë, është e barabartë me gjysmën e produktit të anëve ngjitur dhe sinusit të këndit midis tyre (ju duhet ta dini këtë formulë, nuk ështëkomplekse). NË në këtë rast Kjo:
Mjetet,
Kaq shumë për zonën e segmentit!
Zona e segmentit ku këndi qendror është më i madh se 180 gradë është thjesht:
Nga zona e rrethit, zbritni zonën e segmentit që rezulton:
Këndi 360 - n gradë është këndi që korrespondon me sektorin e paraqitur (e verdhë):
Kjo do të thotë, me fjalë të tjera, ne shtojmë zonën e trekëndëshit në zonën e tij dhe marrim zonën e segmentit të specifikuar.
Në mënyrë të ngjashme, ne përcaktojmë gjatësinë e harkut të një rrethi. Siç u tha tashmë, perimetri është i barabartë me:
Kjo do të thotë se gjatësia e harkut të një rrethi që korrespondon me një shkallë do të jetë e barabartë me një e treqind e gjashtëdhjetën e 2πR, d.m.th.
Marrim gjatësinë e harkut të një rrethi. Sigurisht, ky informacion mësuesit u japin nxënësve dhe ju nuk keni mësuar asgjë kaq të fshehtë. Por jam i sigurt se artikulli do të jetë i dobishëm për ju.
E përsëris se gjëja më e rëndësishme është të njihni formulat për zonën e një rrethi dhe perimetrin, dhe pastaj funksionon vetëm logjika.
Unë sugjeroj të shikoni një mësim shtesë nga Dmiry Tarasov për këtë temë. Janë marrë në konsideratë formulat për gjatësinë e një harku rrethor dhe sipërfaqen e një sektori, ku këndi qendror është dhënë në masë radian.
Kjo është e gjitha. Ju uroj fat!!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
"Shenjat e barazisë së trekëndëshave" - Llojet e trekëndëshave. Lartësia e një trekëndëshi Shenjat e barazisë së trekëndëshave. Trisektorët e një këndi. Çdo trekëndësh ka tre mediana. Përmendjen e parë të trekëndëshit dhe vetive të tij e gjejmë në papiruset egjiptiane. Vetitë e medianave, përgjysmuesit dhe lartësitë e trekëndëshave. Trekëndësh barabrinjës dhe dykëndësh.
“Fletë letre” - Në gjeometri, letra përdoret për të: shkruar, vizatuar; prerë; përkulem. Të gjithë fakt i njohur Letra e djegur nuk përdoret në gjeometri. Gjeometria dhe fleta e letrës. Paskalin. Një trekëndësh është prerë nga letra. Fletë nga një fletore. Ndër të shumtët veprimet e mundshme Me letër, një gjë e rëndësishme është që ajo mund të pritet.
"Historia e Gjeometrisë" - Egjipti i lashtë. Mesjeta. "Parimet" përbëhet nga 13 libra. Shfaqja dhe zhvillimi i gjeometrisë. Në gjeometrinë Lyubachevsky ka trekëndësha me çifte anët paralele. Greqia e lashtë. Gjeometria përmban shumë formula, figura, teorema, probleme dhe aksioma. Thales prezantoi konceptin e lëvizjes, në veçanti kthesën.
"Prova e Teoremës së Pitagorës" - Rëndësia e teoremës është se shumica e teoremave të gjeometrisë mund të nxirren prej saj ose me ndihmën e saj. Prova algjebrike. Kuptimi i teoremës së Pitagorës. Dhe tani teorema e Pitagorës është e vërtetë, si në epokën e tij të largët. Teorema e Pitagorës është një nga teoremat më të rëndësishme në gjeometri. Teorema e Pitagorës. Prova e Euklidit.
"Talesi i Miletit" - THALES - mendimtar i lashtë grek, paraardhës filozofia e lashtë dhe shkencës. Ndonjëherë është e nevojshme të matni distancën nga një objekt i paarritshëm. Përcaktimi i distancës duke përdorur një ndeshje. Thales zbuloi gjatësinë e vitit dhe e ndau atë në 365 ditë. Tales i Miletit. Thales parashikoi eklipsi diellor 28 maj 585 p.e.s
"Polyedra e rregullt" - Ikozaedri është më i efektshmi. Model sistemi diellor I.Kepler. Polyedra të rregullta gjendet në natyrën e gjallë. "Kupa kozmike" e Keplerit. Dodekahedron i rregullt mbetur nga dymbëdhjetë pesëkëndësha të rregullt. Shuma e këndeve të rrafshët të ikozaedrit në çdo kulm është 300?. Ikozaedron i rregullt.
Janë 41 prezantime gjithsej
