Në zbatimin praktik të teorisë së probabilitetit, shpesh hasen probleme në të cilat i njëjti eksperiment ose eksperimente të ngjashme përsëriten në mënyrë të përsëritur. Si rezultat i çdo eksperimenti, një ngjarje mund të shfaqet ose nuk mund të shfaqet, dhe ne nuk jemi të interesuar për rezultatin e çdo eksperimenti individual, por për numrin total të dukurive të ngjarjes si rezultat i një sërë eksperimentesh. Për shembull, nëse një grup të shtëna është qëlluar në të njëjtin objektiv, ne zakonisht nuk jemi të interesuar për rezultatin e çdo goditjeje, por për numrin total të goditjeve. NË detyra të ngjashme kërkon aftësinë për të përcaktuar probabilitetin e çdo numri të caktuar të shfaqjeve të një ngjarjeje si rezultat i një sërë eksperimentesh. Detyra të tilla do të shqyrtohen në këtë kapitull. Ato mund të zgjidhen mjaft thjesht në rastin kur eksperimentet janë të pavarura.
Disa eksperimente quhen të pavarura nëse probabiliteti i një ose një tjetër rezultati të secilit eksperiment nuk varet nga rezultatet e eksperimenteve të tjera. Për shembull, disa hedhje të njëpasnjëshme monedhash përbëjnë eksperimente të pavarura. Disa heqje të njëpasnjëshme të një karte nga kuverta përbëjnë eksperimente të pavarura, me kusht që karta e hequr të kthehet në kuvertë çdo herë dhe letrat të përzihen; përndryshe, këto janë përvoja të varura. Disa të shtëna përbëjnë eksperimente të pavarura vetëm nëse synimi bëhet përsëri përpara çdo gjuajtjeje; në rastin kur shënjimi kryhet një herë para të gjithë qitjes ose kryhet vazhdimisht gjatë procesit të qitjes (qëllimi me breshëri, bombardimi në seri), të shtënat paraqesin eksperimente të varura. Eksperimentet e pavarura mund të kryhen në të njëjtën ose kushte të ndryshme. Në rastin e parë, probabiliteti i një ngjarjeje ndryshon nga përvoja në përvojë. Një teoremë e veçantë vlen për rastin e parë, dhe për të dytën - teorema e përgjithshme rreth përsëritjes së eksperimenteve. Do të fillojmë me një teoremë të veçantë, pasi është më elementare. Para së gjithash, le të shohim një shembull specifik.
Shembull. Tre të shtëna të pavarura gjuhen në objektiv, probabiliteti për ta goditur atë me çdo gjuajtje është i barabartë me . Gjeni probabilitetin që me këto tre goditje të marrim saktësisht dy goditje.
Zgjidhje. Le të tregojmë ngjarjen që saktësisht dy predha goditën objektivin. Kjo ngjarje mund të ndodhë në tre mënyra:
1) goditi në goditjen e parë, goditi në të dytën, humbi në të tretën;
2) goditi në goditjen e parë, humbi në të dytën, goditi në të tretën;
3) humbas në goditjen e parë, goditi në të dytën, goditi në të tretën.
Prandaj, një ngjarje mund të përfaqësohet si shuma e produkteve të ngjarjeve:
ku - godet në gjuajtjen e parë, të dytë, të tretë, përkatësisht, - të humbasë në goditjen e parë, të dytë, të tretë.
Duke marrë parasysh se tre variantet e renditura të ngjarjes janë të papajtueshme dhe ngjarjet e përfshira në prodhime janë të pavarura, duke përdorur teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit marrim:
ose, duke treguar,
Po kështu, duke renditur të gjitha opsionet e mundshme, në të cilën mund të shfaqet ngjarja me interes për ne numri i dhënë herë, ne mund të zgjidhim problemin e përgjithshëm të mëposhtëm.
Kryhen eksperimente të pavarura, në secilën prej të cilave një ngjarje mund të shfaqet ose jo; probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në çdo eksperiment është i barabartë me , dhe probabiliteti i mos-ndodhjes është . Ne duhet të gjejmë probabilitetin që një ngjarje të shfaqet saktësisht një herë në këto eksperimente.
Le të shqyrtojmë ngjarjen që ngjarja do të shfaqet saktësisht një herë në eksperimente. Kjo ngjarje mund të bëhet e vërtetë menyra te ndryshme. Le të zbërthejmë një ngjarje në shumën e produkteve të ngjarjeve që përbëhen nga shfaqja ose mosparaqitja e një ngjarjeje në një përvojë të veçantë. Do të shënojmë ndodhjen e një ngjarjeje në eksperimentin e i-të; - mosndodhja e një ngjarjeje në eksperimentin e i-të.
Natyrisht, çdo variant i ndodhjes së një ngjarjeje (çdo anëtar i shumës) duhet të përbëhet nga m dukuri të ngjarjes dhe mosndodhje, d.m.th. nga ngjarje dhe ngjarje me indekse të ndryshme. Kështu,
Për më tepër, në çdo vepër ngjarja duhet të shfaqet një herë, por duhet të shfaqet një herë.
Numri i të gjitha kombinimeve të këtij lloji është i barabartë, d.m.th. numri i mënyrave në të cilat mund të zgjidhni nga eksperimentet në të cilat ndodhi ngjarja. Probabiliteti i secilit kombinim të tillë, sipas teoremës së shumëzimit për ngjarje të pavarura, është i barabartë me . Meqenëse kombinimet janë të papajtueshme me njëra-tjetrën, atëherë, sipas teoremës së mbledhjes, probabiliteti i një ngjarjeje është i barabartë me
Formula probabilitet të plotë ju lejon të gjeni probabilitetin e një ngjarjeje A, e cila mund të ndodhë vetëm me secilën prej n ngjarje reciproke përjashtuese që formojnë një sistem të plotë, nëse dihen probabilitetet e tyre, dhe probabilitete të kushtëzuara ngjarjet A në lidhje me secilin prej ngjarjeve të sistemit janë të barabarta.
Ngjarjet quhen edhe hipoteza, ato përjashtojnë njëra-tjetrën. Prandaj, në literaturë mund të gjeni edhe përcaktimin e tyre jo me shkronjë B, dhe letrën H(hipotezë).
Për të zgjidhur problemet me kushte të tilla, është e nevojshme të merren parasysh 3, 4, 5 ose rast i përgjithshëm n mundësia e ndodhjes së një ngjarjeje A- me çdo ngjarje.
Duke përdorur teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve, marrim shumën e produkteve të probabilitetit të secilës prej ngjarjeve të sistemit nga probabiliteti i kushtëzuar ngjarjet A në lidhje me secilën prej ngjarjeve të sistemit. Kjo është, probabiliteti i një ngjarjeje A mund të llogaritet duke përdorur formulën
ose në përgjithësi
,
që quhet formula e probabilitetit total .
Formula e probabilitetit total: shembuj të zgjidhjes së problemit
Shembulli 1. Ka tre urna me pamje identike: e para ka 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj, e dyta ka 4 të bardha dhe një të zezë, e treta ka tre topa të bardhë. Dikush i afrohet njërës nga urnat rastësisht dhe nxjerr një top prej saj. Duke përfituar formula e probabilitetit total, gjeni probabilitetin që ky top të jetë i bardhë.
Zgjidhje. Ngjarja A- pamja e një topi të bardhë. Ne parashtrojmë tre hipoteza:
Përzgjidhet urna e parë;
Përzgjidhet urna e dytë;
Përzgjidhet urna e tretë.
Probabilitetet e kushtëzuara të një ngjarjeje A në lidhje me secilën nga hipotezat:
,
,
.
Ne aplikojmë formulën e probabilitetit total, duke rezultuar në probabilitetin e kërkuar:
.
Shembulli 2. Në fabrikën e parë, nga çdo 100 llamba, prodhohen mesatarisht 90 llamba standarde, në të dytën - 95, në të tretin - 85, dhe produktet e këtyre fabrikave përbëjnë përkatësisht 50%, 30% dhe 20% e të gjitha llambave të furnizuara në dyqane në një zonë të caktuar. Gjeni probabilitetin për të blerë një llambë standarde.
Zgjidhje. Le të tregojmë probabilitetin e blerjes së një llambë standarde me A, dhe ngjarjet që llamba e blerë është prodhuar në fabrikën e parë, të dytë dhe të tretë, përkatësisht, përmes . Sipas kushtit, probabilitetet e këtyre ngjarjeve njihen: , , dhe probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A në lidhje me secilën prej tyre: 
,
,
. Këto janë probabilitetet për të blerë një llambë standarde, me kusht që ajo të jetë prodhuar në fabrikën e parë, të dytë dhe të tretë, përkatësisht.
Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një ngjarje K- llamba është prodhuar në fabrikën e parë dhe është standarde, ose një ngjarje L- llamba është prodhuar në një fabrikë të dytë dhe është standarde, ose një ngjarje M- llamba është prodhuar në fabrikën e tretë dhe është standarde. Mundësi të tjera për të ndodhur ngjarja A Nr. Prandaj, ngjarja Aështë shuma e ngjarjeve K, L Dhe M, të cilat janë të papajtueshme. Duke përdorur teoremën e mbledhjes së probabilitetit, ne imagjinojmë probabilitetin e një ngjarjeje A si
dhe nga teorema e shumëzimit të probabilitetit marrim
kjo eshte, rast i veçantë formulat e probabilitetit total.
Zëvendësimi në ana e majte formulat për vlerat e probabilitetit, marrim probabilitetin e një ngjarjeje A :
Shembulli 3. Avioni është duke u ulur në aeroport. Nëse moti e lejon, piloti ul avionin, duke përdorur, përveç instrumenteve, edhe vëzhgimin vizual. Në këtë rast, probabiliteti i një ulje të sigurt është i barabartë me . Nëse fusha ajrore është e mbuluar me re të ulëta, atëherë piloti ul avionin, i udhëhequr vetëm nga instrumentet. Në këtë rast, probabiliteti i një ulje të sigurt është i barabartë me; . Pajisjet që ofrojnë ulje të verbër janë të besueshme (probabiliteti i funksionimit pa dështim) P. Në prani të reve të ulëta dhe instrumenteve të uljes së verbër të dështuar, probabiliteti i një uljeje të suksesshme është i barabartë me; . Statistikat tregojnë se në k% e uljeve fusha ajrore është e mbuluar me re të ulëta. Gjej probabiliteti total i një ngjarjeje A- ulje e sigurt e avionit.
Zgjidhje. Hipotezat:
Nuk ka re të ulëta;
Ka re të ulëta.
Probabilitetet e këtyre hipotezave (ngjarjeve):
;
Probabiliteti i kushtëzuar.
Ne do të gjejmë përsëri probabilitetin e kushtëzuar duke përdorur formulën e probabilitetit total me hipoteza
Pajisjet e uljes së verbër janë funksionale;
Instrumentet e uljes së verbër dështuan.
Probabilitetet e këtyre hipotezave:
Sipas formulës së probabilitetit total
Shembulli 4. Pajisja mund të funksionojë në dy mënyra: normale dhe jonormale. Mënyra normale vërehet në 80% të të gjitha rasteve të funksionimit të pajisjes, dhe mënyra jonormale - në 20% të rasteve. Mundësia e dështimit të pajisjes brenda një kohe të caktuar t e barabartë me 0.1; në jonormale 0.7. Gjej probabilitet të plotë dështimi i pajisjes me kalimin e kohës t.
Zgjidhje. Ne përsëri tregojmë probabilitetin e dështimit të pajisjes përmes A. Pra, në lidhje me funksionimin e pajisjes në çdo modalitet (ngjarje), probabilitetet dihen sipas kushtit: për modalitetin normal kjo është 80% (), për modalitetin jonormal - 20% (). Probabiliteti i ngjarjes A(d.m.th., dështimi i pajisjes) në varësi të ngjarjes së parë (modaliteti normal) është i barabartë me 0.1 (); në varësi të ngjarjes së dytë (modaliteti jonormal) - 0.7 ( 
). Ne i zëvendësojmë këto vlera në formulën e probabilitetit total (d.m.th., shuma e produkteve të probabilitetit të secilës prej ngjarjeve të sistemit nga probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes A në lidhje me secilën nga ngjarjet e sistemit) dhe para nesh është rezultati i kërkuar.
Përcaktimi i probabilitetit të ngjarjes dhe shpërndarjes statistikore
Ushtrimi 1
Llambat e lehta të përziera në kuti të njëjtën madhësi dhe forma: 150 W - 8 copë dhe 100 W - 13. Nga kutia u nxorrën në mënyrë të rastësishme tre llamba. Gjeni probabilitetin që midis tyre:
a) vetëm një llambë 150 W; b) dy llamba 150 W;
c) të paktën dy llamba 150 W secila; d) të paktën një llambë 150 W;
f) të gjitha llambat janë të së njëjtës fuqi.
a) ngjarja F1 - nga tre llambat e marra rastësisht, vetëm një do të jetë 150 W:
b) ngjarja F2 - nga tre llambat e marra rastësisht, dy llamba do të jenë 150 W secila:
c) ngjarja F3 - nga tre llambat e marra rastësisht, të paktën 2 do të jenë 150 W secila:
d) ngjarja F4 - nga tre pjesë të marra rastësisht do të ketë të paktën një llambë 150 W:
e) ngjarja F5 - nga tre llambat e marra rastësisht, të tria do të jenë të së njëjtës fuqi
Detyra 2
Tre të shtëna të pavarura janë qëlluar në drejtim të avionit. Probabiliteti i një goditjeje në goditjen e parë është 0.4, në të dytën - 0.5, në të tretën - 0.6. Tre goditje janë të mjaftueshme për të çaktivizuar një avion. Me dy goditje dështon me një probabilitet prej 0.7, me një goditje - me një probabilitet prej 0.4.
1. Gjeni probabilitetin që avioni të çaktivizohet si rezultat i tre të shtënave.
2. Si pasojë e tre të shtënave, avioni nuk u çaktivizua. Sa goditje kishte më shumë gjasa në aeroplan?
1) Konsideroni hipotezat:
H1 - nga tre të shtëna nuk do të ketë goditje
H2 - nga tre të shtëna do të ketë saktësisht një goditje
H3 - nga tre goditje do të ketë dy goditje
H4 - nga tre goditje do të ketë tre goditje
dhe ngjarje
F - avioni do të çaktivizohet.
Sepse avioni nuk ishte invalid, d.m.th. ngjarja F ka ndodhur, atëherë probabilitetet e hipotezave përcaktohen duke përdorur formulën Bayes
0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462
Kështu, me shumë mundësi avioni është goditur një herë.
Detyra 3
Sipas statistikave në qytetin e N, mesatarisht 18% e bizneseve të reja që hapen e ndërpresin aktivitetin brenda një viti.
1. Sa është probabiliteti që nga 6 sipërmarrje të reja të zgjedhura rastësisht në qytetin N, deri në fund të vitit të aktivitetit të mbeten:
a) saktësisht 4; b) 4; c) më pak se 4; d) të paktën një ndërmarrje?
2. Llogaritni probabilitetin që nga njëqind ndërmarrjet e sapohapura në qytetin N të pushojnë së funksionuari deri në fund të vitit:
a) 15; b) të paktën 15; c) jo më shumë se 21; d) të paktën 13, por jo më shumë se 23 ndërmarrje.
n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82
n vlerë<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:
a) do të mbeten saktësisht 4 ndërmarrje:
b) do të mbeten më shumë se 4 ndërmarrje:
P(më shumë se 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)
P(më shumë se 4)=0,4004+0,304=0,7044
c) do të mbeten më pak se 4 ndërmarrje:
P(më pak se 4)=1-P(të paktën 4)=1-P6(4;6)=1-(0.2197+0.4004+0.304)=0.0759
d) të paktën një ndërmarrje do të mbetet
P (të paktën 1) = 1-P (asnjë) = 1-P6 (0) = 1-0,186 = 0,999966
n=100p=0.18q=0.82
Vlera n=100 është mjaft e madhe, kështu që për llogaritjet do të përdorim formulat lokale dhe integrale të Laplace:
a) saktësisht 15 ndërmarrje do të ndërpresin veprimtarinë e tyre:
ku, dhe (x) është funksioni lokal Laplace
Nga tabela gjejmë se
(-0,78)=(0,78)=0,2943,
b) të paktën 15 ndërmarrje do të pushojnë veprimtarinë e tyre, d.m.th. nga 15 në 100:
Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1),
ku dhe, dhe Ф(x) është funksioni integral i Laplasit
Nga tabela e vlerave të funksionit Ф(x) gjejmë se Ф(-0.78)=-Ф(0.78)=-0.2823, dhe Ф(21.34)=0.5, P100(15;100) 0.5+0.2823=0.7823
c) jo më shumë se 21 ndërmarrje do të pushojnë veprimtarinë e tyre: d.m.th. nga 0 në 21:
Nga tabela e vlerave të funksionit Ф(x) gjejmë se Ф(-4.69)=-Ф(4.69)=-0.499999, dhe Ф(0.78)=0.2823, P100(0;21) 0.2823+0.499999=0.782299
d) të paktën 13, por jo më shumë se 23 ndërmarrje do të ndërpresin veprimtarinë e tyre:
Nga tabela e vlerave të funksionit Ф(x) gjejmë se Ф(1,3)=0.4032,
P100(13;23)0.4032+0.4032=0.8064
Detyra 4
Dy kontabilistë plotësojnë në mënyrë të pavarur deklarata identike. Kontabilisti i parë bën gabime mesatarisht në 8%, i dyti - në 12% të të gjitha dokumenteve. Numri i deklaratave të plotësuara nga llogaritari i parë është 1, i dyti - 2. Konsiderohet një variabël i rastësishëm (r.v.) - numri i deklaratave të plotësuara nga dy kontabilistë pa gabime.
1. Hartoni një seri shpërndarjeje të r.v. dhe e paraqesin në mënyrë grafike.
3. Llogaritni vlera e pritur(mesatare) M, variancë
D dhe devijimi mesatar katror (standard) ().
4. Përcaktoni probabilitetet: a) P; b) P; c) P
1) Le të përcaktojmë vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X dhe probabilitetet e tyre:
X=0: 0.920.882=0.712448
X=1: 0,080,882+0,92(0,120,88+0,880,12)=0,256256
X=2: 0.920.122+0.08(0.120.88+0.880.12)=0.030144
X=3: 0.080.122=0.001152
Ekzaminimi:
0,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1
Le të shkruajmë serinë e shpërndarjes
Le ta përshkruajmë serinë e shpërndarjes grafikisht në formën e një shumëkëndëshi
2) Le të krijojmë një funksion shpërndarjeje:
Le të paraqesim funksionin e shpërndarjes
3) Pritja dhe varianca matematikore gjenden me formulën:
D(X)=0,3872-0,322=0,2848
4) Gjeni probabilitetet e kërkuara:
P(X Р(XMX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296 P (-0,2137 Detyra 5 Midis dy vendbanimeve të vendosura në një distancë prej L = 9 km nga njëri-tjetri, një autobus qarkullon me ndalesa sipas kërkesës kudo. Distanca (në km) e përshkuar nga një pasagjer i caktuar që hip në autobus në fillim të itinerarit është e rastësishme me dendësinë e shpërndarjes 1. Vendosni konstanten e panjohur C dhe vizatoni funksionin p(x). 2. Gjeni funksionin e shpërndarjes së r.v. dhe ndërtoni grafikun e tij. 3. Llogaritni pritshmërinë matematikore (vlera mesatare) M, variancën D dhe devijimin standard (). 4. Sa herë është numri i zbarkimeve nga fillimi i itinerarit deri në vendin e mesëm të udhëtimit të pasagjerit më i madh se numri i zbarkimeve nga ky vend deri në fund të itinerarit të autobusit? 1) Për të gjetur konstanten C, ne përdorim vetinë e densitetit të shpërndarjes: Le të paraqesim densitetin e shpërndarjes 2) Gjeni funksionin e shpërndarjes a) nëse x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает. b) nëse 0x<9, то c) nëse x>3, atëherë për shkak të vetive të densitetit të shpërndarjes Më në fund marrim: Le të grafikojmë F(x): 3) pritshmëria matematikore llogaritet duke përdorur formulën Varianca llogaritet duke përdorur formulën: DX=24,3-4,52=4,05 Mesatare devijimi standard barazohet me: P(X P(XMX)=1-P(X Ato. numri i zbarkimeve nga fillimi i itinerarit deri në vendin e mesëm të udhëtimit të pasagjerit dhe numri i zbarkimeve nga ky vend deri në fund të itinerarit të autobusit janë të barabartë. Detyra 6 Gjatë transportit të ngarkesave me helikopterë, përdoren kabllo që janë bërë nga materiale sintetike të bazuara në teknologji të reja kimike. Si rezultat i 25 provave në tërheqje të kabllit, u morën të dhënat e mëposhtme (në tonë): 2.948 , 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591 E nevojshme: 1. Përcaktoni karakteristikën që studiohet dhe llojin e saj (diskrete ose e vazhdueshme). 2. Në varësi të llojit të atributit, ndërtoni një shumëkëndësh ose një histogram të frekuencave relative. 3. Bazuar në një analizë vizuale të shumëkëndëshit (histogram), formuloni një hipotezë për ligjin e shpërndarjes së karakteristikës që studiohet. 4. Llogaritni karakteristikat e mostrës së karakteristikës: mesatarja, dispersioni dhe devijimi standard. 5. Duke përdorur testin chi-katror të mirësisë së përshtatjes së Pearson, kontrolloni përputhshmërinë e të dhënave të mostrës me ligjin e shpërndarjes të paraqitur në paragrafin 3 në një nivel rëndësie prej 0,01. 6. Për mesataren e përgjithshme dhe variancën, ndërtoni intervale besimi që korrespondojnë me një probabilitet besimi prej 0,99. 7. Me një besueshmëri prej 0.99, provoni hipotezën e barazisë: a) vlera mesatare e përgjithshme 5C; b) vlera e përgjithshme e dispersionit C 2, ku C = 1.09. Mostra e vlerave sipas opsionit të punës 1. Lloji i atributit është i vazhdueshëm, sepse një ndryshore e rastësishme mund të marrë çdo vlerë nga një interval i caktuar. 2. Le të ndërtojmë një histogram të frekuencave relative. Le të përcaktojmë numrin e intervaleve: ku n është numri i vlerave dhe k është numri i intervaleve. NË në këtë rast ka 25 vlera, kështu që numri i intervaleve është: k=1+1,44ln 25 5,6. Le të marrim numrin e intervaleve 5. Le të përcaktojmë madhësinë e një intervali: Le të përcaktojmë frekuencat relative për çdo interval. Është i përshtatshëm për të kryer llogaritjet në tabelë Le të ndërtojmë një histogram 3. Bazuar në analizën vizuale, mund të parashtrojmë një hipotezë për shpërndarjen e karakteristikës sipas ligjit normal. 4. Le të përcaktojmë karakteristikat e mostrës së tiparit që studiohet. a) Mesatarja e mostrës: b) varianca e mostrës: c) devijimi standard i mostrës 5. Le të kontrollojmë hipotezën se të dhënat e mostrës korrespondojnë me një shpërndarje normale Le të përcaktojmë skajet e intervaleve duke përdorur formulën, për të cilën do të krijojmë një tabelë Le të gjejmë probabilitetet teorike pi dhe frekuencat teorike. Rezultatet e llogaritjes do t'i shkruajmë në tabelë Le të llogarisim vlerën e vëzhguar të kriterit Pearson. Për ta bërë këtë, le të krijojmë një tabelë: Bazuar në nivelin e rëndësisë =0.01 dhe numrin e shkallëve të lirisë k=n-3=5-3=2, gjejmë nga tabela e pikave kritike: =9.2 Sepse , atëherë nuk ka arsye për të hedhur poshtë hipotezën për shpërndarjen normale të masës kritike për këputje. 6. Ndërtoni një interval besimi për mesataren e përgjithshme dhe variancën e përgjithshme Gabimi maksimal i kampionimit për mesataren llogaritet duke përdorur formulën: ku t është koeficienti i besimit, i cili varet nga probabiliteti me të cilin bëhet deklarata. Koeficienti i besimit gjendet nga relacioni 2Ф(t)=p, ku Ф(х) është funksioni integral i Laplasit. Sipas kushtit p=0.99, Kufijtë brenda të cilëve bie mesatarja e përgjithshme jepen nga pabarazitë: 5,1225 - 0,7034 a 5,1225 + 0,7034 Le të gjejmë vlerësimin e intervalit të variancës: Sipas tabelës së pikave kritike të shpërndarjes, gjejmë se =42.98, a =10.86, atëherë intervali i besimit për variancën do të jetë: a) le të kontrollojmë hipotezën se mesatarja e përgjithshme është e barabartë me 5.45. Ne parashtrojmë hipoteza: Sepse varianca e popullatës është e panjohur, atëherë llogarisim shprehjen Duke përdorur tabelën e vlerave të pikave kritike të Studentit, gjejmë vlerën kritike tcr(;n-1)=tcr(0.01;24)=2.8 Sepse 1.201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45. b) Le të kontrollojmë hipotezën se varianca e përgjithshme është e barabartë me 1,1881. Ne parashtrojmë hipoteza: Llogaritni shprehjen Duke përdorur tabelën e vlerave të pikave kritike të shpërndarjes Chi-square, gjejmë vlerën kritike (;n-1)=(0.01;24)=43 Sepse 37.5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881. Bibliografi probabiliteti variancë statistikore matematikore 1. Gmurman V.E. Një udhëzues për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore: Një libër shkollor për studentët e universitetit. - M.: Shkolla e Lartë, 2002. 2. Semenov A.T. Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore: Kompleksi arsimor dhe metodologjik. - Novosibirsk: NGAEiU, 2003.
