Mbledhja e vektorëve sipas rregullit të paralelogramit të shumëkëndëshit. Si ndodh mbledhja duke përdorur rregullin e trekëndëshit? Produkt me pika dhe kryq

Ka disa mësime me temën "Shtimi i vektorit". Dhe kjo nuk është rastësi. Shtrirja e kësaj teme është e madhe, prandaj ishte e këshillueshme që të ndahej në disa mësime. Në një mësim, i cili është gjithashtu i disponueshëm në bazën tonë të të dhënave, diskutohet koncepti i shumës së dy vektorëve dhe prezantohet "rregulli i trekëndëshit". Ky video mësim përmban ligjet e mbledhjes së vektorëve dhe i njeh studentët me "rregullën e paralelogramit". Por kjo nuk është e gjitha. Në bazën tonë të të dhënave mund të gjeni edhe mësime të tjera që lidhen me vektorët dhe shumën e vektorëve.

Ky video mësim ka një kornizë kohore prej 3:17 minutash. Fillon duke propozuar vërtetimin e një teoreme. Sipas kushteve të teoremës, për çdo tre vektorë plotësohen ligjet komutative dhe kombinuese. Autori propozon të provohet secili ligj veç e veç. Së pari ai provon ligjin komutativ. Mbetet tjetri - shoqërues.

Gjatë provës, autori përshkruan në detaje çdo veprim të tij. Autori vizaton një vizatim gjatë vërtetimit. Ai i kryen të gjitha veprimet ngadalë në mënyrë që nxënësit të kuptojnë kuptimin e asaj që paraqitet dhe të mbajnë shënime në fletoret e tyre. Paralelisht me ndërtimin, shënime të detajuara në gjuha matematikore, e cila ju lejon të formoni shkrim-lexim matematikor nxënës shkollash.

Për të vërtetuar të dy ligjet, kërkohen aftësi për ndërtimin e vektorit. Të rëndësishme janë edhe njohuritë e marra në mësimet e mëparshme, kur nxënësit u njohën me “rregullën e trekëndëshit” të shumës së vektorëve. Ky rregull zbatohet gjatë vërtetimit të ligjeve.

Pasi janë vërtetuar të dy ligjet, autori tërheq vëmendjen e dëgjuesve se gjatë vërtetimit të ligjit të parë u justifikua "rregulli paralelogram" i shumës. vektorët kolinearë. Dhe më pas jepet formulimi i këtij rregulli. Njëkohësisht me shqiptimin e formulimit, autori ndërton shumën e vektorëve sipas këtij rregulli për t'u treguar edhe një herë nxënësve parimin e funksionimit të kësaj rregulle.

Ky video mësim mund të përdoret nga studentët për të vetë-studim tek mësimi. Për më tepër, mësimi mund të transmetohet aq herë sa është e mjaftueshme për të mësuar përmendësh me sukses materialin, si dhe për të praktikuar aftësitë e ndërtimit të një shume vektorësh duke përdorur "rregullin paralelogram".

7. Rregulli i paralelogramit për grimcat elementare dhe për lloje të ndryshme të Forcave

Bota rreth nesh është e thurur nga Forcat, pasi Forca është Eteri, dhe Eteri është kudo në Univers. Forca është diçka që përpiqet të lëvizë diçka.

Një nga ndryshimet midis mekanikës së trupave dhe mekanikës së grimcave elementare të qëndrueshme është se grimcat e qëndrueshme nën ndikimin e Forcave mund të lëvizin vetëm. Ato nuk mund të deformohen apo shkatërrohen. për arsye të dukshme- ato janë të pandashme. Ndërsa një trup (ose edhe një grimcë e paqëndrueshme - një konglomerat), kur një Forcë (ose Forca) vepron mbi të, mund të lëvizë, deformohet dhe shembet.

Në mekanikën e trupave (në mekanika klasike) ekziston një mënyrë e mrekullueshme që ju ndihmon të zbuloni se në cilin drejtim trupi do të priret të lëvizë nën ndikimin e të gjitha Forcave që veprojnë mbi të. Dhe gjithashtu llogarisni madhësinë e forcës rezultante. Kjo metodë është e njohur si Rregulla e paralelogramit të forcave.

E hapi Galileo Galilei, A përcaktim i saktë dha këtë rregull Pierre Varignon në 1687.

Rregulli i paralelogramit të forcave është se vektori i forcës rezultante është diagonalja e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët e dy termave të forcave si në anët.

Ky rregull është çuditërisht i mirë për të ndihmuar në llogaritjen e saktë të drejtimit në të cilin një trup do të lëvizë (ose priret të lëvizë) nëse mbi të veprojnë më shumë se një forcë. Dhe në botën tonë, çdo trup ndikohet gjithmonë në të njëjtën kohë nga një numër i madh i forcat e jashtme(pasi çdo grimcë në përbërjen e çdo elementi kimik është burim i Fuqisë).

Për më tepër, ky rregull paralelogrami është i përsosur për grimcat elementare. Duke e përdorur atë, ne mund të zbulojmë saktësisht se në cilin drejtim do të zhvendoset një grimcë elementare në çdo moment të kohës nëse dy ose më shumë Forca veprojnë në të njëkohësisht. Do të zbulojmë gjithashtu marrëdhënien midis madhësive të Forcave - ato fillestare dhe ato rezultante. Për më tepër, lloji i secilës prej Forcave mund të jetë çdo. Diagonalja e paralelogramit është një tregues i drejtimit, si dhe një tregues i madhësisë së forcës që rezulton. Megjithatë, ju lutem vini re detaj i rëndësishëm– Duhet të ndërtohet një paralelogram i ri i forcave për çdo moment të mëpasshëm të lëvizjes së grimcave.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në thelbin e Rregullit të paralelogramit. Dhe gjatë kësaj analize do t'i japim një emër pak më ndryshe - Rregulli i nënshtrimit ndaj pushtetit dominues. Kjo do të na lejojë të kuptojmë më mirë sjelljen e grimcave elementare (dhe të çdo konglomerati të grimcave), pasi Rregulli i paralelogramit në formën në të cilën ekziston tani nuk zbulon plotësisht kuptimin e asaj që ndodh me një grimcë kur ajo ndikohet nga më shumë se një forcë. Për shembull, nuk thotë asgjë për ekzistencën e llojeve të ndryshme të Forcave.

Forca Dominuese është Forca që është më e madhja në madhësi. Siç thamë më herët, madhësia e Forcës është shpejtësia e rrjedhës eterike që fut grimcën. Për më tepër, roli i një rrjedhe eterike mund të jetë thjesht Eteri që mbush grimcën (si në rastin e Forcës së Presionit të Sipërfaqes së një Grimce).

Rregulli i nënshtrimit ndaj Forcës Dominante (Rregulli i paralelogramit) zbret në faktin se një grimcë që ndikohet nga më shumë se një forcë është më e në një masë më të madhe do t'i bindet më të madhit prej tyre. Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë që vektori i rezultantes së të gjitha Forcave në çdo moment të kohës do të zhvendoset më shumë drejt vektorit të Forcës, më i madhi në madhësi. Domethënë, dominon Forca më e madhe, por edhe Forcat e mbetura ushtrojnë ndikimin e tyre në pozicionin e vektorit të Forcës rezultante. Emri i rregullit mund të sqarohet më tej - Nënshtrimi ndaj Forcës Dominuese, duke marrë parasysh veprimet e Forcave të tjera.

Forca Dominuese e zhvendos vektorin e Forcës rezultante më shumë se të tjerët në drejtimin e saj. Dhe forca të tjera, më të vogla nuk lejojnë që ky vektor t'i nënshtrohet plotësisht kësaj Fuqia më e madhe. Ata, në proporcion me madhësinë e tyre, e tërheqin vektorin në drejtimin e tyre.

Në përgjithësi, kur analizohet çdo situatë ku një grimcë elementare ndikohet nga më shumë se një Forcë, është e nevojshme të merren parasysh një sërë faktorësh. Së pari , ju duhet të zbuloni se sa Forca veprojnë në një grimcë dhe madhësinë e secilës prej tyre. Së dyti, ju duhet të zbuloni se në çfarë këndi ndodhen vektorët e Forcave në raport me njëri-tjetrin. Dhe së treti, është e nevojshme të merret parasysh lloji i secilës prej Forcave. Vetëm duke vlerësuar të gjithë këta faktorë mund të përpiqemi të llogarisim se cili do të jetë drejtimi dhe shpejtësia e grimcave në çdo moment të kohës. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt këtyre faktorëve.

1) Madhësia dhe numri i përgjithshëm Forcat që veprojnë në grimcë duhet të vlerësohen rast pas rasti.

Në rast se numri i Forcave që veprojnë mbi një grimcë i kalon dy, duhet vepruar njësoj si në rastin e trupave. Ne ndërtojmë një paralelogram për dy Forca. Pastaj ndërtojmë paralelogramin tjetër duke përdorur vektorin rezultues të rezultantit dhe të ardhshëm të Forcave. Dhe kështu me radhë derisa të merren parasysh të gjitha Forcat.

2) Këndi ndërmjet vektorëve të Forcave që veprojnë në një grimcë është shumë i rëndësishëm në përcaktimin e madhësisë dhe drejtimit të forcës rezultante.

A) Këndi ndërmjet vektorëve të forcës nga 0? deri në 90?.

Në këtë rast, ndodh një lloj përmbledhje e Forcave që veprojnë në grimcë. Natyrisht, Forca rezultante nuk do të jetë saktësisht e barabartë me shumën e të dy Forcave që veprojnë në grimcë. Por në çdo rast, do të rezultojë të jetë më i madh se çdo nga dy Forcat, nga vektorët e të cilave ndërtojmë një paralelogram. Ju mund ta shihni këtë nga madhësia e diagonales së paralelogramit. Dhe sa më i mprehtë të jetë këndi, aq vlerë më të madhe forcë rezultante.

Rast ekstrem kënd akut– 0?, pra nuk ka kënd. Vektorët e forcës janë në të njëjtën vijë të drejtë dhe drejtimi i tyre përkon. NË në këtë rastËshtë e pamundur të ndërtohet një paralelogram. Në vend të kësaj, ekziston një vijë e drejtë, mbi të vizatojmë dy segmente, secila prej të cilave e barabartë me vlerën një nga forcat aktive. Në 0? ekziston një përmbledhje e plotë e vektorëve të Forcave.

B) Këndi ndërmjet vektorëve të Forcës është më shumë se 90?.

Në këtë rast, nëse mund të shihni nga fotografia, ka një lloj zbritjeje të Forcave. Forca rezultante gjithmonë rezulton të jetë më e madhe se më e vogla nga dy Forcat dhe më e vogël se më e madhja. Kjo konfirmohet nga madhësia e diagonales. Dhe çfarë kënd më të madh, aq më e vogël është madhësia e Forcës rezultante.

Rast ekstrem kënd i mpirë– këndi 180?. Vektorët e forcës shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Megjithatë, ndryshe nga këndi i barabartë me 0?, vektorët janë drejtime të kundërta. Në këtë si mjet i fundit Forca e vektorit më të vogël thjesht zbritet nga vektori më i madh. Dallimi që rezulton saktësisht korrespondon me madhësinë e Forcës rezultante.

Në çdo rast, për çdo kënd, vektori i Forcës rezultante është gjithmonë i zhvendosur në një masë më të madhe drejt vektorit të më të madhit nga dy Forcat. Kjo do të thotë, një forcë më e madhe bën që grimca të lëvizë më shumë në drejtimin e saj.

3) Dhe së fundi, ne ofrojmë informacion rreth Sa varet rregulla e paralelogramit nga lloji i forcave që veprojnë në grimcë.

A) Edhe pse burimet e të gjitha llojeve të Forcave janë të ndryshme, ndikimi i tyre në një grimcë mund të krahasohet, pasi secila prej Forcave tenton ta vërë grimcën në lëvizje. Dhe prandaj, edhe nëse grimca veprohet nga Forcat lloje të ndryshme, ju mund të ndërtoni një paralelogram të forcave në vektorë dhe diagonalja e tij do të tregojë drejtimin në të cilin grimca do të lëvizë.

Madhësia e vektorit të Forcës është më e madhe, më shumë Forca. Dhe Forca është më e madhe, aq më e madhe është shpejtësia me të cilën grimca do të lëvizte brenda në këtë drejtim, mos lejoni një Forcë tjetër (ose Forca të tjera) të veprojnë mbi të.

Gjatësia e vektorit të forcës rezultante (rezultante) - diagonale - korrespondon me shpejtësinë me të cilën grimca do të lëvizë nën ndikimin e të dy Forcave të aplikuara në të.

B) Ne kemi përcaktuar më herët se ekzistojnë vetëm katër lloje kryesore të Forcave. Kur Galileo nxori rregullin e paralelogramit, është e qartë se ai e bëri këtë në lidhje me ato Forca me të cilat disa trupa shtypin të tjerët ose i tërheqin ato, duke i detyruar ata të lëvizin në këtë mënyrë. Kjo lloj force quhet në këtë libër Forca e presionit të sipërfaqes së grimcave. Ne kemi dëgjuar pak për Rregullin e paralelogramit që përdoret edhe për Forcën e Tërheqjes. Për më tepër, ky kufizim vlen për Forcën e Repulsionit dhe Forcën e Inercisë, nga të cilat e para pothuajse nuk njihet nga shkenca, dhe e dyta nuk është fare e njohur për të.

Por në një mënyrë apo tjetër, këtë Rregullështë universale në natyrë dhe mund të përdoret për cilindo nga katër llojet e Forcave - Sipërfaqja e Grimcave, Tërheqja, Zmbrapsja dhe Inercia. Megjithatë, në formën e tij të pandryshuar, ajo mund të zbatohet vetëm për forcën e presionit në sipërfaqen e një grimce, d.m.th., për të njëjtin rast të përshkruar nga Galileo për trupat.

Dy trupa veprojnë në trup nga të dyja anët - ata ose e shtypin atë ose e tërheqin atë. Në rastin tonë, dy grimca do të shtypin grimcën (ato nuk mund ta tërheqin grimcën mekanikisht).

Një grimcë individuale, e lirë nuk do të ushtrojë kurrë presion afatgjatë mbi një grimcë tjetër, përveç nëse vepron mbi të nga Forca e Tërheqjes nga ana e kësaj grimce. Ose nëse grimcat janë pjesë e trupave, dhe trupat, duke shtrydhur njëri-tjetrin, bëjnë presion mbi çdo grimcë midis tyre. Prandaj, në rastin tonë bëhet fjalë për presionin e njëkohshëm mbi një grimcë të dy grimcave si rezultat i përplasjes së tyre me të. Pasi dy grimca të tjera përplasen me një grimcë, ajo fillon të lëvizë me inerci, pikërisht në përputhje me Rregullin e paralelogramit. Diagonalja (vektori i Forcës rezultante) tregon drejtimin në të cilin do të lëvizë grimca. Sa do të zgjasë lëvizja inerciale varet nga shpejtësia me të cilën grimcat lëviznin në momentin e goditjes me të, nga këndi midis vektorëve të Forcës dhe gjithashtu nga cilësia e vetë grimcës.

IN) Vështirësia e vetme që do të hasim gjatë ndërtimit të një paralelogrami të forcave lidhet me forcat e tërheqjes dhe zmbrapsjes. Këtu ne po flasim për Nuk ka të bëjë edhe më shumë me kompleksitetin, por me pazakontësinë. Burimet e Forcave Atraktive ose Repulsive ndodhen në një distancë të caktuar nga grimca. Sidoqoftë, efekti i këtyre Forcave ndihet drejtpërdrejt nga grimca. Kjo nuk është për t'u habitur, sepse ndërveprimi gravitacional ose anti-gravitacional përhapet në çast. Kjo shpërndarje e menjëhershme shpjegohet me faktin se "kanavacë" eterike është një lloj monoliti që mbush në mënyrë uniforme të gjithë Universin. Dhe shfaqja e çdo teprice ose mangësie të Eterit në këtë kanavacë ndihet menjëherë në çdo distancë.

Në këtë rast, kur llojet e forcës që vepron në grimcë janë të ndryshme, vektori i Forcës duhet të tregojë drejtimin në të cilin Forca tenton të zhvendosë grimcën. Kështu, për shembull, nëse Forca e Tërheqjes vepron mbi një grimcë, atëherë vektori do të drejtohet drejt objektit, burimit të kësaj force, dhe jo larg tij. Por në rastin e Forcës së Repulsionit, e kundërta është e vërtetë. Vektori do të drejtohet nga burimi i kësaj force.

Sa i përket forcës së presionit në sipërfaqen e një grimce, gjithçka këtu është e njëjtë si në mekanikën e trupave. Në këtë rast, burimi i Forcës është në kontakt të drejtpërdrejtë me grimcën - përplaset me të. Dhe vektori i kësaj force drejtohet në të njëjtin drejtim si vektori i lëvizjes së grimcës sipërfaqja e së cilës ushtron presion.

Dhe së fundi, i fundit i Forcave është Inercia. Ne mund të flasim për praninë e kësaj force vetëm nëse grimca lëviz në mënyrë inerciale. Nëse grimca nuk lëviz me inerci, atëherë nuk ka forcë inerciale. Vektori i forcës së inercisë gjithmonë përkon me vektorin e lëvizjes së grimcave në për momentin. Burimi i Forcës së Inercisë është Eteri i emetuar nga hemisfera e pasme e grimcës.

G) Nuk do të ndodhë kurrë që të dyja Forcat që veprojnë në një grimcë të jenë inerciale, pasi një grimcë mund të lëvizë me inerci në çdo kohë të caktuar vetëm në një drejtim.

D) Nëse njëra ose të dyja Forcat që veprojnë në një grimcë janë të llojit të tërheqjes ose zmbrapsjes, grimca do të lëvizë përgjatë një parabole, duke u zhvendosur gradualisht nën ndikimin e më të mëdhenjve të Forcave.

Nëse njëra nga Forcat që veprojnë në një grimcë është e tipit Tërheqje ose Zmbrapsje, dhe e dyta është Forca e Inercisë, atëherë trajektorja e grimcës është gjithashtu parabolike.

E) Nuk ndodh kurrë që një grimcë të veprojë njëkohësisht nga Forca e Tërheqjes dhe Forca e Zmbrapsjes, dhe në të njëjtën kohë vektorët e tyre shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë dhe janë të drejtuar në të kundërt. Kjo shpjegohet me faktin se Forca e Tërheqjes dhe Forca e Zmbrapsjes janë forca antipodale. Vektori i Forcës së Tërheqjes drejtohet drejt burimit të Forcës. Dhe vektori i Forcës Repulsuese është prej tij. Prandaj, nëse burimet e Forcave të tërheqjes dhe zmbrapsjes ndodhen përgjatë anët e ndryshme nga një grimcë do të përmblidhen vektorët e Forcave të tyre. Nëse burimet e Forcave janë të vendosura në njërën anë të grimcës, atëherë grimca do të ndjejë vetëm një nga Forcat - ose Tërheqjen ose Zmbrapsjen. Dhe të gjitha sepse Fushat e Tërheqjes dhe Fushat e Repulsionit shfaqin dhe ndikojnë në madhësinë e njëra-tjetrës.

Por në çdo rast, ju mund të aplikoni rregullin e paralelogramit për çdo grimcë dhe ta përdorni atë për të përcaktuar drejtimin dhe madhësinë e vektorit të Forcës rezultante. Në përputhje me madhësinë dhe drejtimin e këtij vektori, grimca do të lëvizë në një moment të caktuar në kohë.

Gjithçka që sapo u tha në lidhje me Rregullin e paralelogramit për grimcat mund të përdoret plotësisht për trupat.

Kapitulli XXI. RRETH MAGJIKËS SË ZEZE; PËR LLOJET KRYESORE TË OPERACIONIT TË ARTIT MAGJIK; DHE RRETH FUQEVE TË SFINKSIT? Siç u tha tashmë në fillim të kapitullit të parë, rituali i vetëm dhe suprem është arritja e Dijes dhe Biseda me Engjëllin e Shenjtë të Kujdestarit. “Kjo është një ngritje e drejtpërdrejtë vertikale

02. Temperatura e grimcave elementare Në fizikë, koncepti i "temperaturës" i referohet materies (trupit, mjedisit - këto janë sinonime) në tërësi. Në fakt, "temperatura" karakterizon, para së gjithash, individin grimcat elementare, si dhe komplekset e grimcave elementare -

13. Shpërndarja në materie e përbërësit të dytë të nxehtësisë - grimcat elementare Pra, jo çdo element kimik gjatë procesit të ngrohjes, ai fiton një fushë zmbrapsjeje (me përjashtim të atyre elementëve që kishin tashmë një fushë zmbrapsjeje). Dhe, në përputhje me rrethanat, jo çdo të nxehtë

07. Elementet kimike në ADN bërthamat e qelizave– bartës të grimcave të rrafshit astral Një element kimik është një konglomerat grimcash me cilësi të ndryshme. Në varësi të cilit element kimik përfshihet në trupin e një përfaqësuesi të cilës mbretëri, ai ka një ose një tjetër

8. Proceset mekanike dhe dukuritë zbulohen vetitë mekanike grimcat elementare Procesi mekanik dhe fenomen mekanik- këto janë raste të veçanta procesi fizik dhe dukuri fizike Një proces është çdo ngjarje që ndodh në kohë

26. Inercia e grimcave në kushte reale Karakteristikat kryesore të lëvizjes inerciale të grimcave elementare që i kemi shqyrtuar pak më parë pa asnjë kushte shtesë Zbatohet vetëm në kushte ideale. Po, vetëm në kushte ideale trajektorja

autor Livraga Jorge Angel

28. Informacione të përgjithshme Në lidhje me përplasjen e grimcave Le të analizojmë se pse ekziston një fenomen i tillë mekanik si "përplasja" e grimcave elementare Së pari, le të zbulojmë se çfarë do të quajmë "përplasje".

Nga libri i autorit

30. Përplasja e grimcave të lira që lëvizin nga inercia Tani le të shqyrtojmë rastin e përplasjes grimca të lira, që të dyja ishin në procesin e lëvizjes inerciale deri në momentin e kontaktit Çfarë do të ndodhë me secilën prej grimcave pasi ato të përplasen? Shumë

Nga libri i autorit

09. Struktura dhe cilësia e grimcave elementare (Souls). Yin dhe Yang Ndër të gjitha sinonimet e listuara më parë të termit okult "Shpirti", koncepti i "grimcës elementare" duhet të konsiderohet më shkencori në hapësirë, një herë e një kohë, shumë, shumë kohë më parë, u ngritën grimcat elementare dhe ekzistojnë

Nga libri i autorit

11. Fushat e tërheqjes dhe zmbrapsjes – manifestim i jashtëm cilësitë e grimcave elementare Nëse Eteri në grimca vetëm do të shkatërrohej dhe nuk do të lindte, atëherë saktësisht aq sa duhet të shkatërrohej do të arrinte tek ata për njësi të kohës nga hapësira përreth.

Nga libri i autorit

15. Shtatë rrafshet janë agregate të grimcave elementare B letërsi ezoterike, veçanërisht në librat e E. Blavatsky dhe A. Bailey, shpesh përmendet një koncept i tillë si "Planet". Çfarë është, çfarë janë ato dhe sa janë në total Plani është i gjithë koleksioni i shpirtrave?

Nga libri i autorit

16. Seven Rays, Seven Brothers, Seven Sephiroth, Seven Rishis, Seven Sons, Seven Spirits, Seven Principles - të gjitha këto janë shtatë lloje shpirtrash (grimca elementare) Seven Rays, Seven Brothers, Seven Sephiroth, Seven Rishis, Seven Sons, Seven Spirits, Seven Principles... Kjo listë është edhe më e gjatë, dhe në të ardhmen ne

Nga libri i autorit

19. Klasifikimi i grimcave sipas "elementeve" ("elementeve") "Filozofët e lashtë grekë besonin se Toka ishte ndërtuar nga vetëm disa "elemente parësore". Empedokli i Acraganthus, i cili jetoi rreth vitit 430 para Krishtit, identifikoi katër elementë të tillë: tokën, ajrin, ujin dhe

Nga libri i autorit

31. Eteri është arsyeja e ngurtësisë së grimcave elementare Vetë grimcat elementare, pa cilësi - domethënë që nuk thithin dhe nuk krijojnë Eterin - janë "efemere" në raport me njëra-tjetrën - sikur të mos ekzistojnë për njëra-tjetrën. Kjo do të thotë se çdo gjë grimca elementare

Nga libri i autorit

Sekretet e numrave elementar Numri "0" "O" përfaqëson pafundësinë, ekzistencën e pafund të pakufishme, shkakun rrënjësor të të gjitha gjërave, Brahmanda ose veza e Universit, sistemi diellor në tërësinë e saj. Kështu, zero përcakton universalitetin, kozmopolitizmin. Ai

Nga libri i autorit

X. A. Livraga. RRETH lloje të ndryshme njerëzit Jorge A. Livraga: Ju më pyetët për lloje të ndryshme njerëzish, për natyrën e tyre të brendshme Siç e dini, ajo që ne e quajmë një person nuk është as fillimi, as fundi, por vetëm një moment në evolucionin e Monadës (Zonës). , që vjen nga thellësia

Sasia skalare - Kjo sasi fizike, e cila ka vetëm një karakteristikë - një vlerë numerike.

Një sasi skalare mund të jetë pozitive ose negative.

Shembuj sasitë skalare: temperatura, masa, vëllimi, koha, dendësia. Veprimet matematikore me madhësi skalare janë veprime algjebrike.

Sasia vektoriale është një sasi fizike që ka dy karakteristika:

1) një vlerë numerike që është gjithmonë pozitive (moduli vektorial);

Shembuj të madhësive fizike vektoriale: shpejtësia, nxitimi, forca.

Shënohet një sasi vektoriale shkronja latine dhe një shigjetë mbi këtë shkronjë. Për shembull:

Moduli i vektorit shënohet si më poshtë:

ose - moduli vektorial ,

ose - moduli vektorial ,

ose - moduli vektorial ,

Në figurë (grafikisht), vektori përfaqësohet nga një segment i drejtuar i një vije të drejtë. Moduli vektorial e barabartë me gjatësinë një segment i drejtuar në një shkallë të caktuar.

2.2. Veprimet me vektorë

Veprimet matematikore me sasive vektoriale Këto janë veprime gjeometrike.

2.2.1 Krahasimi i vektorëve

Vektorë të barabartë. Dy vektorë janë të barabartë nëse kanë:

module të barabarta,

drejtime të njëjta.

Vektorë të kundërt. Dy vektorë janë të kundërt nëse kanë:

module të barabarta,

drejtime të kundërta.

2.2.2 Shtimi i vektorit

Mund të shtojmë dy vektorë gjeometrikisht duke përdorur rregullën e paralelogramit dhe rregullën e trekëndëshit.

Le të jepen dy vektorë Dhe (shih foton). Le të gjejmë shumën e këtyre vektorëve +=. Sasitë Dhe janë vektorët përbërës, vektor është vektori që rezulton.

Rregulla paralelogrami për mbledhjen e dy vektorëve:

1. Le të vizatojmë një vektor .

2. Le të vizatojmë një vektor në mënyrë që fillimi i tij të përputhet me fillimin e vektorit ; këndi ndërmjet vektorëve është i barabartë me (shih foton).

3. Përmes fundit të vektorit .

4. Përmes fundit të vektorit vizatoni një vijë të drejtë paralele me vektorin .

Ne kemi ndërtuar një paralelogram. Brinjët e këtij paralelogrami janë vektorët përbërës Dhe .

5. Vizatoni diagonalen e paralelogramit nga pika e përbashkët e origjinës së vektorit dhe fillimi i vektorit .

6. Moduli i vektorit që rezulton është e barabartë me gjatësinë e diagonales së paralelogramit dhe përcaktohet me formulën:

fillimi i vektorit përkon me fillimin e vektorit dhe fillimi i vektorit (drejtimi i vektorit treguar në figurë).

Rregulli i trekëndëshit për mbledhjen e dy vektorëve:

1. Le të vizatojmë vektorët përbërës Dhe në mënyrë që fillimi i vektorit përkon me fundin e vektorit . Në këtë rast, këndi midis vektorëve është i barabartë me .

2. Vektori rezultues drejtohet në mënyrë që origjina e tij të përputhet me origjinën e vektorit , dhe fundi përkon me fundin e vektorit .

3. Moduli i vektorit që rezulton gjendet me formulën:

2.2.3 Zbritja vektoriale

Zbritja e vektorëve është anasjellta e mbledhjes:

Gjeni ndryshimin e vektorit dhe vektor - kjo është njësoj si gjetja e shumës së një vektori dhe vektor
, përballë vektorit . Ne mund ta gjejmë vektorin e ndryshimit gjeometrikisht duke përdorur rregullën e paralelogramit ose rregullin e trekëndëshit (shih figurën).

Rregulli i paralelogramit.

Brinjët e një paralelogrami - vektor dhe vektor - ; paralelogram diagonale - vektor diferencë
.

Rregulli i trekëndëshit.

Vektori i diferencës lidh fundin e vektorit dhe fundi i vektorit (fillimi i vektorit përkon me fundin e vektorit ).

2.2.4 Shumëzimi i një vektori me një skalar

Lëreni vektorin e dhënë dhe skalar. Le të gjejmë prodhimin e vektorit dhe vektori skalar.

Si rezultat i shumëzimit të një vektori me një skalar, marrim një vektor të ri :

Drejtimi i vektorit njëjtë si drejtimi i vektorit në
.

Drejtimi i vektorit e kundërt me drejtimin e vektorit në
.

Moduli vektorial n herë më i madh se moduli i vektorit , Nëse
.

2.3. Produkt me pika dhe kryq

2.3.1 Produkti me pika

Nga dy vektorë Dhe ju mund të formoni një skalar sipas rregullit:

Kjo shprehje quhet prodhim skalar i vektorëve Dhe
, ose
.

Prandaj, . =
.

Sipas përkufizimit, një produkt skalar ka këto veti:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2 Produkt i kryqëzuar

Nga dy vektorë
Dhe
ju mund të formoni një vektor të ri:

, Ku

Moduli i vektorit të ri që rezulton gjendet me formulën:

.

Ky veprim quhet prodhim i kryqëzuar i vektorëve Dhe dhe tregohet me një nga simbolet
ose
.

Formula është gjithashtu e njohur

,

Ku - këndi ndërmjet vektorëve Dhe .

Drejtimi i vektorit mund të gjendet duke përdorur teknikën e mëposhtme. Ne kombinojmë mendërisht boshtin gjatësor të gjilpërës (vidhos së djathtë, tapash) me pingul me rrafshin në të cilin shtrihen vektorët e shumëzuar (në këtë shembull, vektorët Dhe ). Pastaj fillojmë të rrotullojmë kokën e vidhos (dorezën e tapës) në drejtim të rrotullimit më të shkurtër nga faktori i parë në të dytin, domethënë nga vektori te vektori . Drejtimi i lëvizjes së trupit të helikës do të jetë drejtimi i vektorit . Kjo teknikë quhet rregulli i vidhos së djathtë ose rregulli i gjilpërës (shih foton).

Momenti i forcës, momenti këndor, etj., shprehen me produktin vektorial Kur flasim për një vektor, gjithmonë nënkuptojmë përbërësit e tij. Një vektor, ndryshe nga një skalar, përcaktohet nga tre numra. Prandaj, operacione të tilla si mbledhja, zbritja, produktet skalare dhe vektoriale reduktohen në operacione të njohura me komponentë.

Shtimi i forcave kryhet duke përdorur rregullin e mbledhjes së vektorit. Ose e ashtuquajtura rregulla e paralelogramit. Meqenëse forca përshkruhet si një vektor, domethënë është një segment, gjatësia e të cilit tregon vlerën numerike të forcës, dhe drejtimi tregon drejtimin e veprimit të forcës. Pastaj ata shtojnë forcat, domethënë vektorët, duke përdorur përmbledhjen gjeometrike të vektorëve.

Nga ana tjetër, shtimi i forcave është gjetja e rezultateve të disa forcave. Kjo është, kur trupi ndikohet nga disa forca të ndryshme. Të ndryshme si në madhësi ashtu edhe në drejtim. Është e nevojshme të gjendet forca që rezulton që do të veprojë në trup në tërësi. Në këtë rast, ju mund të shtoni forcat në çifte duke përdorur rregullin e paralelogramit. Fillimisht shtojmë dy forca. Rezultatit të tyre i shtojmë edhe një. Dhe kështu me radhë derisa të gjitha forcat të kombinohen.

Figura 1 - Rregulli i paralelogramit.

Rregulli i paralelogramit mund të përshkruhet si më poshtë. Për dy forca që burojnë nga një pikë dhe kanë një kënd midis tyre të ndryshëm nga zero ose 180 gradë. Mund të ndërtoni një paralelogram. Duke lëvizur fillimin e një vektori në fund të një tjetri. Diagonalja e këtij paralelogrami do të jetë rezultati i këtyre forcave.

Por mund të përdorni edhe rregullin e poligonit të forcës. Në këtë rast, zgjidhet pika e fillimit. Vektori i parë i forcës që vepron në trup del nga kjo pikë, pastaj vektori tjetër i shtohet fundit duke përdorur metodën e transferimit paralel. Dhe kështu me radhë derisa të merret një shumëkëndësh i forcës. Në fund, rezultanta e të gjitha forcave në një sistem të tillë do të jetë një vektor i nxjerrë nga pikënisje deri në fund të vektorit të fundit.

Figura 2 - Shumëkëndëshi i forcës.

Nëse një trup lëviz nën ndikimin e disa forcave të aplikuara pika të ndryshme trupat. Mund të supozojmë se ai lëviz nën veprimin e një force rezultante të aplikuar në qendrën e masës së një trupi të caktuar.

Së bashku me shtimin e forcave, për të thjeshtuar llogaritjet e lëvizjes, përdoret edhe metoda e zbërthimit të forcës. Siç sugjeron emri, thelbi i metodës është që një forcë që vepron në një trup ndahet në forca përbërëse. Në këtë rast, përbërësit e forcës kanë të njëjtin efekt në trup si forca origjinale.

Zbërthimi i forcave kryhet edhe sipas rregullit të paralelogramit. Ata duhet të dalin nga një pikë. Nga e njëjta pikë nga e cila del forca dekompozuese. Si rregull, forca e zbërthyer përfaqësohet në formën e projeksioneve në akset pingul. Për shembull, si forca e gravitetit dhe forca e fërkimit që vepron në një bllok të shtrirë në një plan të pjerrët.

Figura 3 - Një bllok në një plan të pjerrët.

Për të shfaqur saktë ligjet e natyrës në fizikë, nevojiten mjete të përshtatshme matematikore.

Në gjeometri dhe fizikë ka sasi të karakterizuara nga vlerë numerike, dhe drejtimin.

Këshillohet që t'i përshkruani ato si segmente të drejtuara ose vektorët.

Sasi të tilla kanë një fillim (të shfaqur me një pikë) dhe një fund, të treguar me një shigjetë. Gjatësia e një segmenti quhet (gjatësi).

• shpejtësia;
• nxitimi;
• pulsi;
• forca;
• moment;
• forca;
• duke lëvizur;
• forca e fushës etj.

Koordinatat e planit

Le të përcaktojmë një segment në planin e drejtuar nga pika A (x1,y1) në pikën B (x2,y2). Koordinatat e tij a (a1, a2) janë numrat a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Moduli llogaritet duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Fillimi i vektorit zero përkon me fundin. Koordinatat dhe gjatësia janë 0.

Shuma vektoriale

Ka disa rregulla për llogaritjen e shumës

• rregulli i trekëndëshit;
• rregulli i shumëkëndëshit;
• rregulli i paralelogramit.

Rregulli për shtimin e vektorëve mund të shpjegohet duke përdorur probleme nga dinamika dhe mekanika. Le të shqyrtojmë mbledhjen e vektorëve sipas rregullit të trekëndëshit duke përdorur shembullin e forcave që veprojnë në një trup pikësor dhe lëvizjet e njëpasnjëshme të trupit në hapësirë.

Le të themi se një trup lëviz fillimisht nga pika A në pikën B dhe më pas nga pika B në pikën C. Zhvendosja përfundimtare është një segment i drejtuar nga pika e fillimit A në pikën përfundimtare C.

Rezultati i dy lëvizjeve ose shuma e tyre s = s1+ s2. Kjo metodë quhet rregulli i trekëndëshit.

Shigjetat rreshtohen në një zinxhir njëra pas tjetrës, nëse është e nevojshme, kryejini transferim paralel. Segmenti total mbyll sekuencën. Fillimi i tij përkon me fillimin e të parit, fundi me fundin e të fundit. NË tekste të huaja këtë metodë thirrur "bisht për kokë".

Koordinatat e rezultatit c = a + b janë të barabarta me shumën e koordinatave përkatëse të termave c (a1+ b1, a2+ b2).

Shuma e vektorëve paralelë (kolinearë) përcaktohet edhe me rregullën e trekëndëshit.

Nëse dy segmente origjinale janë pingul me njëri-tjetrin, atëherë rezultati i mbledhjes së tyre është hipotenuza e vijës së ndërtuar mbi to. trekëndësh kënddrejtë. Gjatësia e shumës llogaritet duke përdorur teoremën e Pitagorës.

Shembuj:

• Shpejtësia e një trupi të hedhur horizontalisht është pingul nxitimi rënia e lirë.
• Me uniformë lëvizje rrotulluese shpejtësi lineare trupi është pingul me nxitimin centripetal.

Mbledhja e tre ose më shumë vektorëve prodhojnë sipas rregulli i shumëkëndëshit, "bisht për kokë"

Le të supozojmë se për të trup me pikë zbatohen forcat F1 dhe F2.

Përvoja vërteton se efekti i kombinuar i këtyre forcave është i barabartë me veprimin e një force të drejtuar përgjatë diagonales së paralelogramit të ndërtuar mbi to. Kjo forcë rezultante është e barabartë me shumën e tyre F = F1 + F 2. Metoda e mësipërme e mbledhjes quhet rregulli i paralelogramit.

Gjatësia në këtë rast llogaritet me formulë

Ku θ është këndi ndërmjet brinjëve.

Rregullat e trekëndëshit dhe paralelogramit janë të këmbyeshme. Në fizikë, rregulli i paralelogramit përdoret më shpesh, pasi madhësitë e drejtimit të forcave, shpejtësive dhe nxitimeve zakonisht aplikohen në një trup me një pikë. NË sistemi tredimensional koordinatat, zbatohet rregulli paralelipiped.

Elementet e algjebrës

1. Shtimi është një operacion binar: vetëm një çift mund të shtohet në të njëjtën kohë.
2. Komutativiteti: shuma nga rirregullimi i termave nuk ndryshon a + b = b + a. Kjo është e qartë nga rregulli i paralelogramit: diagonalja është gjithmonë e njëjtë.
3. Asociativiteti: shuma çdo numër vektorët nuk varet nga radha e mbledhjes së tyre (a + b) + c = a + (b + c).
4. Përmbledhja me vektor zero nuk ndryshon as drejtim as gjatësi: a +0= a .
5. Për çdo vektor ka përballë. Shuma e tyre është e barabartë me zero a +(-a)=0, dhe gjatësitë janë të njëjta.

Zbritja e një segmenti të drejtuar është e barabartë me shtimin e të kundërtës së tij. Koordinatat janë të barabarta me ndryshimin e koordinatave përkatëse. Gjatësia është:

Për zbritje, mund të përdorni një rregull të modifikuar të trekëndëshit.

Shumëzimi me një skalar

Rezultati i shumëzimit me një skalar është një vektor.

Koordinatat e prodhimit fitohen duke shumëzuar me një skalar koordinatat përkatëse të origjinalit.

Skalare - vlerë numerike me një shenjë plus ose minus, më e madhe ose më e vogël se një.

Shembuj të sasive skalare në fizikë:

• pesha;
• koha;
• tarifë;
• gjatësia;
• katror;
• vëllimi;
• dendësia;
• temperatura;
• energji.

Shembuj:

• Zhvendosja e një trupi në lëvizje uniforme është e barabartë me produktin e kohës dhe shpejtësisë s = vt.
• Momenti i një trupi është masa e shumëzuar me shpejtësinë p = mv.
• Ligji i dytë i Njutonit. Produkti i masës trupore dhe i nxitimit është i barabartë me bashkangjitur forca rezultante ma=F.
• Forca që vepron në një grimcë të ngarkuar në një fushë elektrike është proporcionale me ngarkesën F = qE.

Prodhimi skalar i segmenteve të drejtuara a dhe b është i barabartë me prodhimin e moduleve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre. Produkti me pika është i ndërsjellë segmente pingule barazohet me zero.

Shembull:

Puna është produkt skalar forcat dhe zhvendosjet A = Fs.