Thelbi i metodës aksiomatike
Euklidi
P.Dirac
Nëse një teoremë nuk mund të vërtetohet, ajo bëhet aksiomë.
Matematika bazohet në koncepte. Konceptet mund të jenë të përcaktuara ose të papërcaktuara. Nën përkufizimi kuptojnë formulimin e saktë të një koncepti të caktuar. Të përkufizosh një koncept matematikor do të thotë të tregosh tiparet karakteristike ose vetitë e tij që e dallojnë këtë koncept nga të tjerët. Mënyra e zakonshme për të përcaktuar koncepti matematik konsiston në tregimin: 1) gjininë e përafërt, domethënë një koncept më të përgjithshëm të cilit i përket koncepti që përkufizohet; 2) dallimet e specieve, domethënë ato tipare karakteristike ose vetitë që janë të natyrshme në këtë koncept të veçantë.
Shembulli 1. Përkufizimi: "Një katror është një drejtkëndësh me të gjitha anët e barabarta." Gjinia më e afërt, domethënë një koncept më i përgjithshëm, është koncepti i një drejtkëndëshi, dhe ndryshimi specifik do të jetë treguesi që të gjitha anët e një katrori janë të barabarta. Nga ana tjetër, për një drejtkëndësh koncepti më i përgjithshëm është koncepti i një paralelogrami, për një paralelogram - koncepti i një katërkëndëshi, për një katërkëndësh - koncepti i një shumëkëndëshi, e kështu me radhë. Por ky zinxhir nuk është i pafund.
Ka koncepte që nuk mund të përkufizohen përmes të tjerëve, më shumë konceptet e përgjithshme. Në matematikë quhen konceptet bazë të papërcaktuara . Shembuj të koncepteve bazë janë pika, vija, plani, distanca, grupi, etj.
Lidhjet dhe marrëdhëniet ndërmjet koncepteve bazë formulohen duke përdorur aksioma.
Aksiomëështë një propozim matematik i pranuar në një teori të caktuar pa prova.
Tek sistemi i aksiomave mbi të cilin ndërtohet njëra ose tjetra teoria matematikore, ka kërkesa për qëndrueshmëri, pavarësi dhe plotësi.
Sistemi i aksiomave quhet konsistente , nëse është e pamundur të nxirren njëkohësisht dy fjali reciproke ekskluzive prej saj: A, nr A.
Sistemi i aksiomave quhet të pavarur , nëse asnjë nga aksiomat e këtij sistemi nuk është pasojë e aksiomave të tjera të këtij sistemi.
Sistemi i aksiomave quhet plot , nëse një nga dy gjërat është domosdoshmërisht e provueshme në të: ose deklarata A, ose nr A.
Një propozim që nuk është në listën e aksiomave duhet të vërtetohet. Një propozim i tillë quhet teorema .
Teoremaështë një propozim matematik, e vërteta e të cilit përcaktohet përmes një procesi arsyetimi të quajtur provë.
Aksioma: "Sido që të jetë vija, ka pika që i përkasin kësaj rreshti dhe pika që nuk i përkasin asaj."
Teorema: "Nëse diagonalet e një katërkëndëshi kryqëzohen dhe përgjysmohen nga pika e prerjes, atëherë ky katërkëndësh është një paralelogram."
Një nga metodat kryesore matematikë moderneështë metodë aksiomatike . Thelbi i tij është si më poshtë:
1) renditen konceptet dhe relacionet kryesore të papërcaktuara të teorisë në ndërtim (shembuj të marrëdhënieve: ndjek..., shtrihet ndërmjet...);
2) janë formuluar aksioma, të pranuara në këtë teori pa prova, të cilat shprehin lidhjen ndërmjet koncepteve bazë dhe marrëdhënieve të tyre;
3) fjalitë që nuk janë ndër konceptet themelore dhe marrëdhëniet themelore duhet të përcaktohen;
4) pohimet që nuk janë në listën e aksiomave duhet të vërtetohen në bazë të këtyre aksiomave dhe pohimeve të vërtetuara më parë.
1.2 Gjeometria e Euklidit - teoria e parë shkencore natyrore
Rishikim historik justifikimi i gjeometrisë. Gjeometria, përpara se të bëhej një teori aksiomatike, kaloi një rrugë të gjatë zhvillimi empirik.
Informacioni i parë për gjeometrinë u mor nga qytetërimet Lindja e lashtë(Egjipt, Kinë, Indi) në lidhje me zhvillimin e bujqësisë, tokat pjellore të kufizuara, etj. Në këto vende gjeometria ishte e natyrës empirike dhe ishte një grup “recetash-rregullash” të veçanta për zgjidhjen. detyra specifike. Tashmë në mijëvjeçarin II para Krishtit. Egjiptianët dinin të llogarisnin me saktësi sipërfaqen e një trekëndëshi, vëllimin e një piramide të cunguar, sipërfaqen e një rrethi, dhe babilonasit dinin teoremën e Pitagorës. Vini re se nuk kishte prova, por rregulla për llogaritjet.
periudha greke Zhvillimi i gjeometrisë filloi në shekujt VII-VI. para Krishtit nën ndikimin e egjiptianëve. Konsiderohet si babai i matematikës greke filozof i famshëm Thales (640-548 p.e.s.). Thales, ose më mirë, ai shkollë matematike bëjnë pjesë në provat e vetive trekëndëshi dykëndësh, kënde vertikale. Më vonë një gjeometër Greqia e lashtë janë marrë rezultate që mbulojnë pothuajse të gjitha përmbajtjet e modernes kursi shkollor gjeometria.
Shkolla filozofike e Pitagorës (570-471 p.e.s.) zbuloi teoremën mbi shumën e këndeve të një trekëndëshi, vërtetoi teoremën e Pitagorës dhe vendosi ekzistencën e pesë llojeve të poliedrave të rregullta dhe segmenteve të pakrahasueshme. Demokriti (470-370 p.e.s.) zbuloi teorema mbi vëllimet e një piramide dhe një koni. Eudoxus (410-356 p.e.s.) krijoi teoria gjeometrike proporcionet (d.m.th. teoria e numrave proporcionalë).
Menaechmus dhe Apollonius studiuan seksionet konike. Arkimedi (289-212 pes) zbuloi rregullat për llogaritjen e sipërfaqes dhe vëllimit të një topi dhe figura të tjera. Ai gjeti gjithashtu vlerën e përafërt të numrit π.
Merita e veçantë Shkencëtarët e lashtë grekë janë se ata ishin të parët që parashtruan problemin e ndërtimit rigoroz të njohurive gjeometrike dhe e zgjidhën atë në një përafrim të parë. Problemi u shtrua nga Platoni (428-348 p.e.s.). Aristoteli (384-322 p.e.s.) - filozofi, themeluesi më i madh logjika formale– i përket formulimit të qartë të idesë së ndërtimit të gjeometrisë në formën e një zinxhiri propozimesh që pasojnë njëra nga tjetra bazuar vetëm në rregullat e logjikës. Shumë shkencëtarë grekë (Hipokrati, Fedi) u përpoqën ta zgjidhnin këtë problem.
Euklidi (330-275 p.e.s.) - gjeometri më i madh i antikitetit, i diplomuar në shkollën e Platonit, jetoi në Egjipt (në Aleksandri). "Parimet" e përpiluara prej tij ofrojnë një paraqitje sistematike të parimeve të gjeometrisë, të kryera në të tilla nivelit shkencor se për shumë shekuj mësimi i gjeometrisë bazohej në punën e tij. "Parimet" përbëhet nga 13 libra (kapituj):
I-VI – planimetria;
VII-IX – aritmetika në paraqitjen gjeometrike;
X – segmente të pakrahasueshme;
ХI-ХII – stereometria.
Jo të gjitha informacionet e njohura në gjeometri u përfshinë në Elemente. Për shembull, këto libra nuk përfshinin: teorinë seksione konike, kthesa të rendit më të lartë.
Çdo libër fillon me një përkufizim të koncepteve që shfaqen në të. Për shembull, në Librin I ka 23 përkufizime. Këtu janë përkufizimet e katër koncepteve të para:
1 Një pikë është diçka që nuk ka pjesë.
2 Një vijë është gjatësi pa gjerësi.
3 Kufijtë e një drejtëze janë pika.
Euklidi jep propozime të pranuara pa prova, duke i ndarë në postulate dhe aksioma. Ai ka pesë postulate dhe shtatë aksioma. Ja disa prej tyre:
IV Dhe në mënyrë që të gjitha këndet e drejta të jenë të barabarta.
V Dhe në mënyrë që sa herë që një drejtëz, kur kryqëzohet me dy drejtëza të tjera, të formojë me to kënde të brendshme të njëanshme, shuma e të cilave është më e vogël se dy drejtëza, këto drejtëza priten në anën në të cilën kjo shumë është më e vogël. se dy vija të drejta.
Aksiomat
Unë individualisht të barabartë me të tretën janë të barabartë me njëri-tjetrin.
II Dhe po të shtojmë të barabarta me të barabarta, fitojmë të barabarta.
VII Dhe ato që kombinohen janë të barabarta.
Euklidi nuk tregoi ndryshimin midis postulateve dhe aksiomave. Ende jo vendim përfundimtar kjo pyetje.
Euklidi parashtron teorinë e gjeometrisë siç kërkohet nga shkencëtarët grekë, veçanërisht Aristoteli, d.m.th. Teoremat janë të renditura në atë mënyrë që secila e mëpasshme të vërtetohet vetëm në bazë të atyre të mëparshme. Me fjalë të tjera, Euklidi zhvillon një teori gjeometrike në mënyrë rigoroze logjikisht. Kjo është meritë historike e Euklidit për shkencën.
"Elementet" e Euklidit luajtën një rol të madh në historinë e matematikës dhe të gjithë kulturës njerëzore. Këta libra janë përkthyer në të gjitha gjuhët kryesore të botës pas vitit 1482 kanë kaluar rreth 500 botime.
Disavantazhet e sistemit Euklidi. Nga pikëpamja e matematikës moderne, prezantimi i Elementeve duhet të konsiderohet i papërsosur. Le të përmendim disavantazhet kryesore të këtij sistemi:
1) shumë koncepte përfshijnë ato që nga ana tjetër duhet të përcaktohen (për shembull, në përkufizimet 1-4 të Kapitullit 1 përdoren konceptet e gjerësisë, gjatësisë, kufirit, të cilat gjithashtu duhet të përcaktohen);
2) lista e aksiomave dhe postulateve është e pamjaftueshme për të ndërtuar gjeometrinë në një mënyrë strikte logjike. Për shembull, kjo listë nuk përmban aksioma të rendit, pa të cilat nuk mund të vërtetohen shumë teorema në gjeometri; Le të theksojmë se Gauss tërhoqi vëmendjen për këtë rrethanë. Në këtë listë mungojnë edhe përkufizimet e konceptit të lëvizjes (kombinimit) dhe vetitë e lëvizjes, d.m.th. aksiomat e lëvizjes. Gjithashtu në listë mungon aksioma e Arkimedit (një nga dy aksiomat e vazhdimësisë), e cila luan rol të rëndësishëm në teorinë e matjes së gjatësive të segmenteve, sipërfaqeve të figurave dhe objekteve të trupave. Vini re se kjo u vu re nga Arkimedi bashkëkohor i Euklidit;
3) Postulati IV është qartësisht i tepërt, ai mund të vërtetohet si teoremë. Le të vërejmë veçanërisht postulatin e pestë. Në Librin I të Elementeve, 28 propozimet e para vërtetohen pa iu referuar postulatit të pestë. Një përpjekje për të minimizuar listën e aksiomave dhe postulateve, në veçanti për të vërtetuar postulatin V si teoremë, është kryer që nga koha e vetë Euklidit. Proclus (shek. V pas Krishtit), Omar Khayyam (1048-1123), Wallis (shek. 17), Saccheri dhe Lambert (shekulli XVIII), Lezhandri (1752-1833) gjithashtu u përpoqën të provonin postulatin V si teoremë. Provat e tyre ishin me të meta, por kjo çoi në rezultate pozitive– deri në lindjen e dy gjeometrive të tjera (Riemann dhe Lobachevsky).
Sistemet gjeometrike jo-Euklidiane. N. Lobachevsky (1792-1856), i cili zbuloi gjeometri e re- Gjeometria e Lobachevsky, gjithashtu filloi me një përpjekje për të provuar postulatin V.
Nikolai Ivanovich e zhvilloi sistemin e tij në vëllimin e "Parimeve" me shpresën për të marrë një kontradiktë. Ai nuk e mori atë, por në 1826 ai bëri përfundimin e saktë: ka një gjeometri të ndryshme nga gjeometria e Euklidit.
Në pamje të parë, ky përfundim duket i pamjaftueshëm i vërtetuar: ndoshta, duke e zhvilluar më tej, mund të arrihet në një kontradiktë. Por e njëjta pyetje vlen edhe për gjeometrinë Euklidiane. Me fjalë të tjera, të dyja gjeometritë janë të barabarta kur përballemi me çështjen e konsistencës logjike. Hulumtimet e mëtejshme treguan se nga konsistenca e njërës gjeometri rrjedh konsistenca e gjeometrisë tjetër, d.m.th. ekziston barazia e sistemeve logjike.
Lobachevsky ishte i pari, por jo i vetmi, që arriti në përfundimin se ekzistonte një gjeometri tjetër. Gauss (1777-1855) e shprehu këtë ide që në vitin 1816 me letra private, por nuk bëri një deklaratë në botimet zyrtare.
Tre vjet pas publikimit të rezultateve të Lobachevsky (në 1829), d.m.th. në vitin 1832 u botua vepra e hungarezit J. Bolyai (1802-1860), i cili më 1823 arriti në përfundimin për ekzistencën e një gjeometrie të ndryshme, por e botoi më vonë dhe në një formë më pak të zhvilluar se Lobachevsky. Prandaj, është e drejtë që kjo gjeometri të mbajë emrin e Lobachevsky.
Pranimi i përgjithshëm i gjeometrisë së Lobachevsky u lehtësua shumë nga puna e gjeometrave pas Lobachevsky. Në vitin 1868, matematikani italian E. Beltrami (1825-1900) vërtetoi se gjeometria e Lobachevsky qëndron në një sipërfaqe me lakim negativ konstant (e ashtuquajtura pseudosferë). Pika e dobët e vërtetimit të konsistencës së gjeometrisë së Lobachevskit, bazuar në interpretimin e Beltramit, ishte se, siç tregoi D. Hilbert (1862-1943), nuk ka sipërfaqe të plotë lakim negativ konstant pa veçori. Prandaj, në një sipërfaqe me lakim konstante negative, mund të interpretohet vetëm një pjesë e gjeometrisë së sheshtë Lobachevsky. Kjo mangësi u eliminua nga A. Poincare (1854-1912) dhe F. Klein (1849-1925).
Dëshmia e konsistencës së gjeometrisë së Lobachevsky ishte në të njëjtën kohë një provë e pavarësisë së postulatit të pestë nga të tjerët. Në të vërtetë, në rastin e varësisë, gjeometria e Lobachevskit do të ishte kontradiktore, pasi do të përmbante dy pohime ekskluzive reciproke.
Studimet e mëtejshme të gjeometrisë Euklidiane treguan paplotësinë e sistemit të aksiomave dhe postulateve të Euklidit. Studimi i aksiomatikës së Euklidit u përfundua në 1899 nga Hilberti.
Aksiomatika e Hilbertit përbëhet nga pesë grupe:
Aksiomat e lidhjes (përkatësisë);
Aksiomat e rendit;
Aksiomat e kongruencës (barazia, rastësia);
Aksiomat e vazhdimësisë;
Aksioma e paralelizmit.
Këto aksioma (gjithsej janë 20) u referohen objekteve të tre llojeve: pika, vija, rrafshe, si dhe tre marrëdhënie midis tyre: "përkasin", "shtrihet midis", "kongruent". Kuptimi specifik pikat, vijat, rrafshet dhe relacionet nuk janë të specifikuara. Ato përcaktohen në mënyrë indirekte përmes aksiomave. Falë kësaj, gjeometria e ndërtuar mbi bazën e aksiomave të Hilbertit lejon zbatime të ndryshme specifike.
Një sistem gjeometrik i ndërtuar mbi aksiomat e listuara quhet Gjeometria Euklidiane, meqenëse përkon me gjeometrinë e shpjeguar nga Euklidi në Elementet.
Sistemet gjeometrike të ndryshme nga Euklidiane quhen gjeometritë jo-Euklidiane. Sipas teori e përgjithshme relativiteti, në hapësirë as njëra as tjetra nuk është absolutisht e saktë, por në shkallë të vogla (peshat tokësore janë gjithashtu mjaft "të vogla") ato janë mjaft të përshtatshme për të përshkruar hapësirën. Arsyeja që formulat Euklidiane përdoren në praktikë është thjeshtësia e tyre.
Hilberti ekzaminoi në mënyrë gjithëpërfshirëse sistemin e tij të aksiomave dhe tregoi se ai është i qëndrueshëm nëse aritmetika nuk është e papajtueshme (d.m.th., në fakt, vërtetohet konsistenca thelbësore ose e ashtuquajtura e jashtme). Ai përfundoi kërkime shekullore nga gjeometritë për të vërtetuar gjeometrinë. Kjo vepër u vlerësua shumë dhe u nderua me çmimin Lobachevsky në 1903.
Në paraqitjen moderne aksiomatike të gjeometrisë së Euklidit, aksiomat e Hilbertit nuk përdoren gjithmonë: tekstet e gjeometrisë janë ndërtuar mbi modifikime të ndryshme të këtij sistemi aksiomash.
Në shekullin e 20-të u zbulua se gjeometria Lobachevsky jo vetëm që ka e rëndësishme për matematikën abstrakte si një nga gjeometritë e mundshme, por edhe e lidhur drejtpërdrejt me aplikimet e matematikës. Doli se marrëdhënia midis hapësirës dhe kohës, e zbuluar nga A. Einstein dhe shkencëtarë të tjerë brenda teori e veçantë relativiteti, lidhet drejtpërdrejt me gjeometrinë e Lobachevsky.
Çfarë ka pas një fjalë misterioze"aksioma", nga ka ardhur dhe çfarë do të thotë? Një nxënës i klasës 7-8 mund t'i përgjigjet lehtësisht kësaj pyetjeje, që kohët e fundit, kur zotëron kursi bazë planimetria, ai kishte hasur tashmë detyrën: "Cilat pohime quhen aksioma, jepni shembuj". Një pyetje e ngjashme nga një i rritur ka shumë të ngjarë të çojë në vështirësi. Sa më shumë të kalojë kohë nga studimi, aq më e vështirë është të kujtosh bazat e shkencës. Në të njëjtën kohë, fjala "aksiomë" përdoret shpesh në jetën e përditshme.
Përkufizimi i termit
Pra, cilat pohime quhen aksioma? Shembujt e aksiomave janë shumë të ndryshëm dhe nuk kufizohen në asnjë fushë të shkencës. Termi i përmendur vjen nga gjuha e lashte greke dhe në përkthim fjalë për fjalë nënkupton "pozicion të pranuar".
Përkufizimi i rreptë i këtij termi thotë se një aksiomë është teza kryesore e një teorie që nuk ka nevojë për prova. Ky koncept është i përhapur në matematikë (dhe veçanërisht në gjeometri), logjikë dhe filozofi.
Më shumë greqishtja e vjetër Aristoteli tha se fakte të dukshme nuk nevojiten prova. Për shembull, askush nuk dyshon për këtë rrezet e diellit të dukshme vetëm gjatë ditës. Kjo teori u zhvillua nga një matematikan tjetër - Euklidi. Një shembull aksiomash që nuk kryqëzohen kurrë i takon atij.
Me kalimin e kohës, përkufizimi i termit ka ndryshuar. Tani aksioma perceptohet jo vetëm si fillimi i shkencës, por edhe si diçka e përftuar që shërben si pikënisje për teorinë e mëtejshme.
Deklarata nga kursi i shkollës
Nxënësit e shkollës njihen me postulatet që nuk kërkojnë konfirmim në mësimet e matematikës. Prandaj, kur maturantëve u jepet detyra: "Jepni shembuj të aksiomave", ata më së shpeshti kujtojnë kurset e gjeometrisë dhe algjebrës. Këtu janë shembuj të përgjigjeve të zakonshme:
- për një vijë ka pika që lidhen me të (d.m.th., shtrihen në vijë) dhe nuk lidhen me të (mos shtrihuni në vijë);
- një vijë e drejtë mund të vizatohet nëpër çdo dy pika;
- për të ndarë një aeroplan në dy gjysmë plane, duhet të vizatoni një vijë të drejtë.
Algjebra dhe aritmetika nuk paraqesin shprehimisht deklarata të tilla, por një shembull i një aksiome mund të gjendet në këto shkenca:
- çdo numër është i barabartë me vetveten;
- njëri u paraprin të gjithë numrave natyrorë;
- nëse k=l, atëherë l=k.
Kështu, përmes tezave të thjeshta më shumë koncepte komplekse, bëhen përfundime dhe nxirren teorema.
Ndërtimi i një teorie shkencore të bazuar në aksioma
Për të ndërtuar teori shkencore(pa marrë parasysh se për cilën fushë të kërkimit po flasim), na duhet një themel - tulla nga të cilat do të ndërtohet. Thelbi është se krijohet një fjalor termash, formulohet një shembull i një aksiome, mbi bazën e të cilit rrjedhin postulatet e mbetura.
Një fjalor shkencor duhet të përmbajë konceptet elementare, domethënë ato që nuk mund të përcaktohen përmes të tjerëve:
- Duke shpjeguar vazhdimisht çdo term dhe duke përcaktuar kuptimet e tij, njeriu arrin në themelet e çdo shkence.
- Hapi tjetër është identifikimi i një grupi bazë deklaratash që duhet të jenë të mjaftueshme për të vërtetuar pohimet e mbetura të teorisë. Vetë postulatet bazë pranohen pa arsyetim.
- Hapi i fundit është ndërtimi dhe derivimi logjik i teoremave.
Postulate nga shkenca të ndryshme
Shprehjet pa prova ekzistojnë jo vetëm në shkencat ekzakte, por edhe në ato që zakonisht klasifikohen si humanitare. Një shembull i mrekullueshëm- një filozofi që përcakton një aksiomë si një pohim që mund të njihet pa njohuri praktike.
Ekziston një shembull i aksiomës në shkencat juridike: "Ju nuk mund të gjykoni veprimet tuaja." Bazuar në këtë pohim nxirren normat e drejta civile- paanshmëria e procedurës gjyqësore, pra gjyqtari nuk mund të shqyrtojë një çështje nëse është i interesuar drejtpërdrejt ose tërthorazi për të.
Jo çdo gjë merret si e mirëqenë
Për të kuptuar ndryshimin midis aksiomave të vërteta dhe shprehje të thjeshta, të cilat deklarohen si të vërteta, është e nevojshme të analizohet qëndrimi ndaj tyre. Për shembull, nëse flasim për fenë, ku çdo gjë merret mbi besim, parimi është i përhapur atje bindje të plotë se diçka është e vërtetë sepse nuk mund të vërtetohet. Dhe në komunitetin shkencor flasin për pamundësinë e verifikimit të ndonjë pozicioni në përputhje me rrethanat, do të jetë një aksiomë. Gatishmëria për të dyshuar dhe kontrolluar dyfish është ajo që e dallon një shkencëtar të vërtetë.
Si shembull i aksiomatikës, le të marrim gjeometrinë e një rrafshi. Për hir të thjeshtësisë, do të shqyrtojmë vetëm aksiomat e gjeometrisë së pozicionit (të cilat në "Themelet e gjeometrisë" të Hilbertit janë dhënë me emrin aksiomat e lidhjes dhe aksiomat e rendit) dhe aksiomën e paraleleve. Në të njëjtën kohë, për qëllimet tona do të jetë e përshtatshme të devijojmë disi nga sistemi i aksiomave të Hilbertit: nuk do të fillojmë nga pikat dhe vijat si objekte që formojnë dy sisteme të ndryshme, por le të marrim vetëm pikë si individë. Në vend të relacionit "pikat dhe y përcaktojnë një vijë të drejtë", do të kemi një lidhje të trefishtë: pikat shtrihen në të njëjtën drejtëz", për të cilën do të përdorim shënimin . Së bashku me këtë relacion, si relacion të dytë kryesor, do të marrim relacionin e rendit: gënjeshtra ndërmjet të cilave do të kalojmë me Next, në aksiomat tona, si koncept që lidhet me logjikën, do të ndeshemi me relacionin e barazisë relacion, ne do të përdorim shenjën e zakonshme të barabartë:
Për regjistrimin simbolik të aksiomave do të na duhen edhe shenja logjike dhe mbi të gjitha shenja për të shprehur universalitetin dhe ekzistencën; nëse ka një kallëzues që lidhet me një individ x, do të thotë "të gjithë x kanë vetinë , dhe - "ka një x që ka vetinë . Shenja quhet "kuantifikues i universalitetit" dhe "sasi i ekzistencës". Kuantifikues universal dhe
ekzistencës në mënyrë të barabartë mund t'i referohet si ndryshores x ashtu edhe disa variablave të tjerë variabli i integrimitështë e lidhur me një shenjë integrale, kështu që i gjithë pohimi në tërësi nuk varet më nga asnjë vlerë e kësaj ndryshore.
Si shenja logjike të radhës, do të shtojmë një shenjë për mohimin dhe shenja për kombinimin e pohimeve. Për të mohuar një deklaratë, ne do të përdorim shenjën që i paraprin kësaj deklarate. Në vend të 1 (x = y), për shkurtësi do të shkruajmë shenjën & ("dhe"), duke qëndruar midis dy pohimeve, do të thotë që të dyja këto pohime janë të vërteta (lidhëz). Shenja ("ose" në kuptimin "vel") që qëndron midis dy pohimeve do të nënkuptojë që të paktën një nga këto pohime është e vërtetë (ndarje).
Shenja që qëndron midis dy pohimeve do të nënkuptojë se e vërteta e të parit përfshin të vërtetën e të dytit, ose, me fjalë të tjera, se e para nga këto pohime nuk mund të jetë e vërtetë pa qenë gjithashtu e vërtetë (nënkuptimi) i dytë. Sipas asaj që u tha, nënkuptimi i dy pohimeve 21 dhe 95 është i rremë vetëm nëse 21 është i vërtetë dhe i rremë; në raste të tjera është e vërtetë.
Shenja e nënkuptimit në kombinim me kuantifikuesin universal përshkruan propozime hipotetike përgjithësisht pohuese. Kështu, për shembull, formula
ku dhe janë disa marrëdhënie midis x dhe y, përfaqëson fjalinë e mëposhtme: "për çdo çift individësh të tillë që është gjithashtu e vërtetë se
Gjatë ndërtimit të formulave prej tyre komponentët Ne do të përdorim metodën e zakonshme të vendosjes së kllapave. Për t'i shpëtuar ato, do të pajtohemi që shenja ndan më fort se shenjat, e cila ndan më fort se, dhe se shenjat dhe V-ja ndahen më fort se sa kuantifikuesit e universalitetit dhe ekzistencës. Ne gjithashtu do të biem dakord të heqim kllapat kudo që kjo nuk do të shkaktojë keqkuptime. Kështu, për shembull, në vend të shprehjes
ku tregon çdo marrëdhënie midis x dhe y, do të shkruajmë thjesht pasi kjo shprehje mund të lexohet vetëm në një mënyrë: "për çdo x ka një y për të cilin relacioni është i vërtetë
Tani ne jemi tashmë në gjendje të shkruajmë sistemin e aksiomave në shqyrtim duke përdorur formula. Për lehtësi leximi, në fillim do t'i shoqërojmë aksiomat me variantet e tyre të shkruara me gjuhë natyrore.
Ndarja e aksiomave të dhëna më poshtë në grupe nuk korrespondon plotësisht me ndarjen e miratuar në "Parimet e Gjeometrisë" të Hilbertit. Prandaj, ne do t'i japim secilit grup aksiomash një koment mbi marrëdhënien e aksiomave të shprehura këtu duke përdorur formula me aksiomat e dhëna nga Hilberti.
I. Aksiomat e lidhjes (aksesorët):
(Gjithmonë shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë).
(nëse pikat x, y, z shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë pikat y, x, z dhe pikat gjithashtu shtrihen në të njëjtën drejtëz).
(nëse x dhe y janë pika të ndryshme dhe nëse pikat x, y, z dhe pikat x, y, dhe shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë x, z, dhe gjithashtu shtrihen në të njëjtën drejtëz).
(ka pika x, y, z që nuk shtrihen në të njëjtën vijë).
Aksiomat 1) dhe 2) zëvendësojnë - duke marrë parasysh eliminimin e konceptit të vijës së drejtë - aksiomën I 1); aksioma 3) korrespondon me aksiomën e pjesës së dytë të aksiomës I 3).
II. Aksiomat e rendit
(nëse pikat janë të ndryshme, atëherë ka gjithmonë një pikë që shtrihet midis y dhe z).
Aksiomat 1) dhe 2), të konsideruara së bashku, përbëjnë pjesën e parë të aksiomës II 1 të Hilbertit); 3) është bashkim i pjesës së fundit të aksiomës II 1) të Hilbertit me aksiomën II 3); 4) është një aksiomë aksiome e rendit II 4).
III. Aksioma rreth paraleleve. Meqenëse aksiomat e kongruencës nuk shfaqen në listën tonë të aksiomave, do të duhet të paraqesim aksiomën paralele këtu në formulimin e zgjeruar vijues: për çdo drejtëz dhe një pikë që shtrihet jashtë saj, ka një dhe vetëm një drejtëz që kalon nëpër këtë pikë dhe duke mos e kryqëzuar direkt atë origjinalin.
Për të thjeshtuar formulimin simbolik të kësaj aksiome, prezantojmë shkurtesën: simbol
"Bazat e stereometrisë" - Imazhi i figurave hapësinore në një aeroplan. Tetëkëndësh. Këndi ndërmjet vijave të drejta në hapësirë. Inxhinieri Konkurente. Piramida. Projeksionet paralele figura të sheshta. Dodekahedron. Vëllimi i topit. Shenjat e planeve paralele. Këndet ndërmjet drejtëzave dhe rrafsheve në hapësirë. Pitagora. Shifrat bazë të stereometrisë.
“Planet në hapësirë” - Koeficientët B=C=D=0. Ekuacionet e një drejtëze në hapësirë. 1. Ekuacioni i përgjithshëm e drejtpërdrejtë. 2. Ekuacioni i përgjithshëm i rrafshit. Koeficientët A,B,C ekuacioni përcakton koordinatat e vektorit normal: Jepen: pika dhe vektori normal Ekuacioni i rrafshit: Aeroplanët e koordinatave. 3. Kushti për drejtëza paralele. 4. Kushti i pingulitetit të drejtëzave.
"Figura hapësinore në një aeroplan" - Metoda e projektimit. Projeksion qendror. Drejtëzat paralele dhe ato kryqëzuese nuk kanë pika të përbashkëta. Detyrat. Teatri i hijeve. Dy rrafshe priten nga dy drejtëza paralele. Gerard Desargues. Projeksioni paralel. Projeksion aksonometrik. Vetia e drejtëzave dhe rrafsheve që formojnë kënde me njëri-tjetrin.
"Hyrje në Stereometri" - Stereometri -. Shifrat. Revista "Kvant". Trupat. Le të marrim 6 ndeshje. Gjeometria e shkollës. Banesat e lëvizshme të indianëve quhen Tipis. Njohuri gjeometrike u aplikuan. Fjalëkryq. Aritmetika. Aeroplan. Le ta përkthejmë në gjuhën e katrorëve. Planimetria. Duke përmbledhur mësimin. Njohuritë gjeometrike ndihmuan.
"Aksiomat e Gjeometrisë" - Ju mund të vizatoni një segment me një gjatësi të caktuar dhe vetëm një. Pika. Avionë të ndryshëm kanë pikë e përbashkët. Punë praktike. Përgjigjet e testit. Çdo segment ka një gjatësi të caktuar. Dy aeroplanë të ndryshëm kanë një pikë të përbashkët. Mund të vizatoni më së shumti një vijë të drejtë në një aeroplan. Në çdo gjysmë-vijë nga pikënisje mund ta lini mënjanë këndin.
"Subjekti i stereometrisë" - Pentagram. Universi. Konceptet themelore të stereometrisë. Nga historia. Euklidi. Stereometria. A ju kujtohet teorema e Pitagorës? Drejtimet. Teorema e Pitagorës. Paraqitjet vizuale. Aksiomat e stereometrisë. Koncepte të papërcaktueshme. Polyedra të rregullta. Gjeometria. Koncepti i shkencës së stereometrisë. Ana e padukshme.
Janë gjithsej 15 prezantime në temë
Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini më shumë vëmendje navigatorit tonë burim i dobishëm Për
1. Konceptet bazë të planimetrisë
Pse gjithçka është në foto dhe pa fjalë? A nevojiten fjalët? Më duket se në fillim nuk janë shumë të nevojshme. Në fakt, matematikanët, natyrisht, dinë të përshkruajnë gjithçka me fjalë, dhe përshkrime të tilla mund t'i gjeni në nivelet e mëposhtme të teorisë, por tani le të vazhdojmë me foto.
Çfarë tjetër? Oh po, ne duhet të mësojmë se si të masim segmentet dhe këndet.
Secili segment ka një gjatësi - një numër që i është caktuar këtij segmenti (për disa arsye ...). Gjatësia zakonisht matet ... me një vizore, natyrisht, në centimetra, milimetra, metra dhe madje kilometra.
Dhe tani matja e këndeve. Për disa arsye, këndet zakonisht maten në gradë. Pse? Ka diçka për këtë arsye historike, por tani nuk kemi të bëjmë me histori. Prandaj, do të na duhet thjesht ta marrim si të mirëqenë marrëveshjen e mëposhtme.
Në një kënd të zhvilluar shkallësh.
Për shkurtësi shkruajnë: . Në këtë rast, natyrisht, madhësia e të gjitha këndeve të tjera mund të gjendet nëse zbuloni se cila pjesë e këndit të shpalosur është këndi i dhënë. Një mjet për matjen e këndeve quhet raportor. Unë mendoj se ju e keni parë atë më shumë se një herë në jetën tuaj.
2. Dy fakte themelore rreth këndeve
I. Këndet fqinje mblidhen.
Kjo është krejtësisht e natyrshme, apo jo? Në fund të fundit, këndet ngjitur së bashku përbëjnë një kënd të kundërt!
II. Këndet vertikale janë të barabarta.
Pse? Dhe shikoni:
Çfarë tani? Epo, natyrisht, kjo rrjedh. (Mjafton, p.sh., të zbresësh të dytën nga barazia e parë. Por në fakt, mund të shikosh vetëm foton).
Sa është madhësia e një këndi të drejtë?
Epo sigurisht! Në fund të fundit.
4. Këndi akut dhe i mpirë.
Kjo është në thelb gjithçka që duhet të dini për të filluar. Pse nuk thamë asnjë fjalë për aksiomat?
Aksiomat janë rregullat e veprimit me objektet bazë të planimetrisë, pohimet e para për pikat dhe vijat. Këto deklarata janë marrë si bazë, jo të vërtetuara.
Pse ende nuk i formulojmë dhe diskutojmë ato? E shihni, aksiomat e planimetrisë, në një farë kuptimi, thjesht përshkruajnë marrëdhënie intuitive të qarta në një kohë mjaft të gjatë gjuha matematikore. Një kuptim i qartë i aksiomatikës është i nevojshëm pak më vonë, kur të mësoheni konceptet gjeometrike në nivelin e sensit të përbashkët. Pastaj - mirë se vini - ka një diskutim mjaft të detajuar të aksiomave atje. Ndërkohë, përpiquni të veproni si grekët shumë të lashtë, përpara kohës së Euklidit - thjesht zgjidhni problemet duke përdorur sens të përbashkët. Ju siguroj, shumë detyra do të jenë të mundshme për ju!
NIVELI I MESËM
Imagjinoni që befas e gjeni veten në një planet tjetër, ose... në një lojë kompjuterike.
Para jush është një grup produktesh të panjohura, dhe detyra juaj është të përgatisni sa më shumë pjata të shijshme nga ky grup. Çfarë do t'ju duhet? Sigurisht, rregulla, udhëzime - çfarë mund të bëhet me produkte të caktuara. Po sikur papritmas të gatuani diçka që hahet vetëm e papërpunuar ose, anasjelltas, të vendosni në një sallatë diçka që duhet patjetër të zihet ose të skuqet? Pra, pa udhëzime - askund!
Mirë, por pse një hyrje e tillë? Çfarë lidhje ka gjeometria me të? E shihni, shumë pohime për të gjitha llojet e figurave në gjeometri janë shumë "gatimet" që ne duhet të mësojmë të gatuajmë. Por nga çfarë? Nga objektet bazë të gjeometrisë! Por udhëzimet për "përdorimin" e tyre quhen me fjalë të zgjuara "sistemi i aksiomave".
Pra, kushtojini vëmendje!
Objektet themelore dhe aksiomat e planimetrisë.
Pika dhe vija
Këto janë konceptet më të rëndësishme të planimetrisë. Matematikanët thonë se këto janë "koncepte të papërcaktueshme". Si kështu? Por kështu, duhet të filloni diku.
Tani rregullat e para për trajtimin e pikave dhe linjave. Këto rregulla të matematikës quhen "aksioma"- pohime që merren si bazë, nga të cilat më pas do të nxirret gjithçka themelore (mos harroni se ne kemi një mision të madh kulinar për të "gatuar" gjeometrinë?). Pra, quhet seria e parë e aksiomave
I. Aksiomat e përkatësisë.
Ju lutemi vini re, kjo aksiomë ju lejon të vizatoni si kjo:
Si kjo: kishte dy pika:
Dhe pastaj u gjet një vijë e drejtë:
Por tjetri jo!
Nëse e gjithë kjo ju duket shumë e qartë, atëherë mbani mend se jeni në një planet tjetër dhe ende nuk dini fare se çfarë të bëni me objektet "pika" Dhe "drejt".
Rreze, segment, kënd.
Tani kemi mësuar të vendosim pika në vija dhe të vizatojmë vija nëpër pika, kështu që tashmë mund të përgatisim "pjatat" e para të thjeshta -, segment,qoshe.
1) RREZ
Këtu është ai
2) PRET
Tani le t'i vendosim gjërat në rregull. Seria tjetër e aksiomave quhet:
II. Aksiomat e rendit.
Tani - niveli tjetër. Na duhen udhëzime për matje segmente dhe kënde. Këto aksioma quhen
III. Aksiomat e masave për segmentet dhe këndet.
Dhe tani është krejtësisht e çuditshme.
IV. Aksiomat për ekzistencën e një trekëndëshi të barabartë me një të dhënë.
Dy konkluzionet e kësaj aksiome janë më të qarta:
Epo, kjo e fundit është legjendare aksiomë paralele!
Por së pari përkufizimi:
V. Aksioma e paraleleve.
Epo, ka mbaruar aksiomat e planimetrisë! A ka shumë prej tyre? Por imagjinoni, të gjitha janë të nevojshme. Për secilën prej tyre ka një arsyetim dinake, dinake, që tregon se nëse hiqet kjo aksiomë, atëherë e gjithë godina e gjeometrisë do të shembet! Epo, ose do të mbetet diçka që është krejtësisht e ndryshme nga ajo që jemi mësuar.
Tani, dy fakte themelore rreth këndeve!
Kënde ngjitur dhe vertikale.
Rrezet që formojnë një kënd quhen anët e këndit dhe të tyre fillimi i përgjithshëm- lartë
Kjo është plotësisht teoremë e thjeshtë, E vërteta?
Në fund të fundit anën e përbashkët qoshet ngjitur thjesht ndan një kënd të drejtë në dy kënde dhe për këtë arsye (KUJDES: Aksioma 3.2 funksionon!) shuma e këndeve ngjitur është e barabartë me madhësinë e këndit të shpalosur, d.m.th.
Është më e lehtë të vizatoni sesa të përshkruani - shikoni figurën.
Kjo është gjithashtu një teoremë e lehtë. Sigurohuni:
Këndi akut dhe i mpirë.
PËRSHKRIMI I SHKURTËR DHE FORMULA BAZË
Aksiomat e përkatësisë:
- Aksioma 1. Cilado qoftë drejtëza, ka pika që i përkasin kësaj drejtëze dhe pika që nuk i përkasin.
- Aksioma 2. Në çdo dy pika mund të vizatoni një vijë të drejtë dhe vetëm një.
Aksiomat e rendit:
- Aksioma 3. Nga tre pikat në një vijë, një dhe vetëm një ndodhet midis dy të tjerave.
- Aksioma 4. Një vijë e drejtë e shtrirë në një rrafsh e ndan këtë rrafsh në dy gjysmërrafshe. Nëse skajet e një segmenti i përkasin të njëjtit gjysmërrafsh, atëherë segmenti nuk e ndërpret vijën. Nëse skajet e një segmenti i përkasin gjysmë-rrafsheve të ndryshme, atëherë segmenti kryqëzon një vijë.
Aksiomat e masave për segmentet dhe këndet:
- Aksioma 5. Çdo segment ka një gjatësi të caktuar, më të madhe se zero. Gjatësia e një segmenti është e barabartë me shumën e gjatësive të pjesëve në të cilat ndahet me ndonjë nga pikat e tij.
- Aksioma 6. Çdo kënd ka një masë shkallë të caktuar, më i madh se zero. Këndi i drejtë është i barabartë. Masa e shkallës së një këndi është e barabartë me shumën masat e shkallës kënde në të cilat ndahet nga ndonjë rreze që kalon ndërmjet anëve të saj.
Aksiomat për ekzistencën e një trekëndëshi të barabartë me një të dhënë:
Aksioma paralele:
- Aksioma 8. Në një rrafsh, përmes një pike që nuk shtrihet në një vijë të caktuar, mund të vizatoni maksimumi një drejtëz paralele me atë të dhënë.
Faktet themelore rreth këndeve:
- Teorema. Shuma e këndeve ngjitur është e barabartë.
Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.
Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!
Tani gjëja më e rëndësishme.
Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.
Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...
Për çfarë?
Për përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit, për pranim në kolegj me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.
Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...
Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.
Por kjo nuk është gjëja kryesore.
Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...
Por mendoni vetë...
Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?
FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.
Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.
Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.
Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.
Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.
Gjeni koleksionin ku të dëshironi, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!
Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.
Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.
Si? Ka dy opsione:
- Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
- Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR
Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.
Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.
Dhe në përfundim ...
Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.
"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.
Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!
