Konsideroni një formë kuadratike reale arbitrare

Matrica e koeficientit të saj është simetrike reale. Prandaj (shih Kapitullin IX, § 13) është i ngjashëm në mënyrë ortogonale me ndonjë matricë reale diagonale, d.m.th. ekziston një matricë reale ortogonale e tillë që

Këtu janë numrat karakteristikë të matricës.

Sepse për matricë ortogonale, atëherë nga (41) del se forma nën transformimin ortogonal të ndryshoreve

ose më shumë regjistrim i detajuar

(42")

shkon në formë

. (43)

Teorema 7. Reale formë kuadratike mund të jepet gjithmonë duke përdorur transformim ortogonal për të formë kanonike(43); në këtë rast, janë numrat karakteristikë të matricës.

Reduktimi i një forme kuadratike duke përdorur një transformim ortogonal në formën kanonike (43) quhet reduktim në boshtet kryesore. Ky emër është për faktin se ekuacioni i hipersipërfaqes qendrore të rendit të dytë,

, (44)

me një transformim ortogonal të ndryshoreve (42) merr formën kanonike

. (45)

Nëse i konsiderojmë si koordinata në ndonjë bazë ortonormale të hapësirës Euklidiane -dimensionale, atëherë ato do të jenë koordinata në një bazë të re ortonormale të së njëjtës hapësirë, dhe "rrotullimi" i boshteve kryhet me transformim ortogonal (42). Boshtet e reja të koordinatave janë boshtet e simetrisë së sipërfaqes qendrore (44) dhe zakonisht quhen boshtet kryesore të kësaj sipërfaqeje.

Nga formula (43) del se rangu i formës e barabartë me numrin numrat karakteristikë jozero të matricës, dhe nënshkrimi është i barabartë me diferencën ndërmjet numrit të numrave karakteristikë pozitivë dhe atyre negativë të matricës.

Prej këtu, në veçanti, vijon propozimi i mëposhtëm:

Nëse, me një ndryshim të vazhdueshëm të koeficientëve të një forme kuadratike, radha e saj mbetet e pandryshuar, atëherë me këtë ndryshim në koeficientët, edhe nënshkrimi i saj mbetet i pandryshuar.

Në këtë rast, ne vazhdojmë nga fakti se një ndryshim i vazhdueshëm i koeficientëve sjell një ndryshim të vazhdueshëm në numrat karakteristikë. Nënshkrimi mund të ndryshojë vetëm kur një numër karakteristik ndryshon shenjën. Por atëherë në një moment të ndërmjetëm numri karakteristik në fjalë do të shkojë në zero, gjë që sjell një ndryshim në gradën e formës.. (48)

Teoria e reduktimit të një forme kuadratike në formë kanonike, e paraqitur në paragrafin e mëparshëm, është ndërtuar në analogji me teorinë gjeometrike të kthesave qendrore të rendit të dytë, por nuk mund të konsiderohet një përgjithësim i kësaj teorie të fundit. Në fakt, në teorinë tonë lejohet përdorimi i çdo transformimi linear jo të degjeneruar, ndërsa sjellja e një lakore të rendit të dytë në formën kanonike arrihet duke përdorur transformime lineare shumë lloj i veçantë(2), të cilat janë rrotullime të rrafshit. Kjo teoria gjeometrike megjithatë, mund të përgjithësohet në rastin e formave kuadratike në të panjohura me koeficientë realë duke kërkuar që matrica e transformimit të jetë ortogonale. Ky transformim quhet ortogonale, dhe vetë procedurën duke reduktuar format kuadratike në boshtet kryesore.

TEOREMA. Çdo formë kuadratike mund të reduktohet në formë kanonike me një transformim ortogonal.

DËSHMI. Ne do ta shikojmë një matricë të formës kuadratike si një matricë të disave operator linear në hapësirën Euklidiane. Nëse matrica është e formës kuadratike, atëherë ajo është simetrike e rendit. Nëse disa bazë ortonormale të hapësirës Euklidiane dimensionale, atëherë matrica përcakton një operator simetrik në këtë bazë. Sipas teoremës kryesore për operatorët simetrik në hapësirën Euklidiane, në një bazë të përshtatshme ortonormale matrica e saj do të jetë diagonale. Lëreni matricën e tranzicionit nga në , Pastaj .

Por matrica , si matricë kalimi nga një bazë ortonormale në tjetrën, sipas teoremës 2 §1.6 do të jetë ortogonale, dhe për këtë arsye . Kjo është arsyeja pse. Domethënë, kështu transformohet një matricë e një forme kuadratike, e cila i nënshtrohet një transformimi linear të të panjohurave me matricën .

Pra, transformimi i të panjohurave që kanë një matricë është ortogonal, dhe matrica, duke qenë diagonale, korrespondon me formën kuadratike formë kanonike. □

Fakti që matrica e një operatori linear në një bazë të përbërë nga eigenvektorë, ka një formë diagonale (me eigenvalues ​​përgjatë diagonales kryesore), na jep një metodë për të gjetur praktikisht formën kanonike të një forme kuadratike, si dhe vetë këtë transformim ortogonal.

Shembulli 2. Gjeni një transformim ortogonal që zvogëlon formën kuadratike

në pamjen kanonike dhe shkruani këtë pikëpamje kanonike.

Zgjidhje. Matrica e kësaj forme ka formën

,

Le ta gjejmë atë polinom karakteristik:

.

Kështu, matrica ka një rrënjë të dyfishtë dhe një rrënjë të thjeshtë. Prandaj, forma kanonike e kësaj forme kuadratike do të jetë

.

Le të gjejmë një transformim ortogonal që zbaton këtë reduktim. Për ta bërë këtë, ne gjejmë eigenvektorët që korrespondojnë me eigenvlerat e gjetura , d.m.th., ne zgjidhim sisteme lineare ekuacionet homogjene per secilin .

Kur kemi

.

Ku , pra ka 2 variabla të pavarur, dhe grup themelor zgjidhjet do të jenë:

Duke zbatuar procesin e ortogonalizimit në to, marrim.

Teoria e reduktimit të një forme kuadratike në formë kanonike, e paraqitur në paragrafin e mëparshëm, është ndërtuar në analogji me teorinë gjeometrike të kthesave qendrore të rendit të dytë, por nuk mund të konsiderohet një përgjithësim i kësaj teorie të fundit. Në fakt, teoria jonë lejon përdorimin e çdo transformimi linear jo të degjeneruar, ndërsa sjellja e një lakore të rendit të dytë në formën e saj kanonike arrihet duke përdorur transformime lineare të një lloji shumë të veçantë (2), që janë rrotullime të rrafshit. Megjithatë, kjo teori gjeometrike mund të përgjithësohet në rastin e formave kuadratike në të panjohura me koeficientë realë duke kërkuar që matrica e transformimit të jetë ortogonale. Ky transformim quhet ortogonale, dhe vetë procedurën duke reduktuar format kuadratike në boshtet kryesore.

TEOREMA. Çdo formë kuadratike mund të reduktohet në formë kanonike me një transformim ortogonal.

DËSHMI. Ne do të shohim një matricë të formës kuadratike si matricë e një operatori linear në hapësirën Euklidiane. Nëse matrica është e formës kuadratike, atëherë ajo është simetrike e rendit. Nëse disa bazë ortonormale të hapësirës Euklidiane dimensionale, atëherë matrica përcakton një operator simetrik në këtë bazë. Sipas teoremës kryesore për operatorët simetrik në hapësirën Euklidiane, në një bazë të përshtatshme ortonormale matrica e saj do të jetë diagonale. Lëreni matricën e tranzicionit nga në , Pastaj .

Por matrica , si matricë kalimi nga një bazë ortonormale në tjetrën, sipas teoremës 2 §1.6 do të jetë ortogonale, dhe për këtë arsye . Kjo është arsyeja pse. Domethënë, kështu transformohet një matricë e një forme kuadratike, e cila i nënshtrohet një transformimi linear të të panjohurave me matricën .

Pra, një transformim i të panjohurave që kanë një matricë është ortogonal, dhe matrica, duke qenë diagonale, korrespondon me një formë kuadratike të formës kanonike. □

Fakti që matrica e një operatori linear në një bazë të përbërë nga vektorë vetjak ka një formë diagonale (me vlera vetjake përgjatë diagonales kryesore) na jep një metodë për të gjetur praktikisht formën kanonike të formës kuadratike, si dhe këtë transformim ortogonal. vetë.

Shembulli 2. Gjeni një transformim ortogonal që zvogëlon formën kuadratike

në pamjen kanonike dhe shkruani këtë pikëpamje kanonike.

Zgjidhje. Matrica e kësaj forme ka formën

,

Le të gjejmë polinomin e tij karakteristik:

.

Kështu, matrica ka një rrënjë të dyfishtë dhe një rrënjë të thjeshtë. Prandaj, forma kanonike e kësaj forme kuadratike do të jetë

.

Le të gjejmë një transformim ortogonal që zbaton këtë reduktim. Për ta bërë këtë, ne gjejmë eigenvektorët që korrespondojnë me eigenvlerat e gjetura , d.m.th., ne do të zgjidhim sisteme ekuacionesh homogjene lineare për secilin.

Kur kemi

.

Ku , pra ka 2 ndryshore të pavarura dhe grupi themelor i zgjidhjeve do të jetë:

Duke zbatuar procesin e ortogonalizimit për to, marrim:

Kur kemi

.

Ky sistemështë e barabartë me sa vijon:

,

zgjidhja e të cilit do të jetë

- Algjebër lineare

Reduktimi i formës kuadratike në boshtet kryesore

Më parë, ne kemi konsideruar problemin e reduktimit të një real

q(x)= \sum_(n=1)^(n) \sum_(j=1)^(n) a_(ij)x_ix_j=x^TAx

n variabla për të

\widetilde(q)(y)=\lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+ \ldots+ \lambda_ny_n^2

duke përdorur një ndryshim linear jo të degjeneruar të ndryshoreve x=Sy. Për të zgjidhur këtë problem kemi përdorur.

Le të shqyrtojmë një qasje tjetër ndaj zgjidhjes. Një ndryshim linear jo-degjenerues i ndryshoreve x=Sy me një matricë ortogonale S~(S^(-1)=S^T) do të quhet ndryshim ortogonal i variablave (ose transformim ortogonal i variablave).

Le të formulojmë problemin duke reduktuar një formë kuadratike në boshtet kryesore: kërkohet gjetja e një ndryshimi ortogonal të ndryshoreve x=Sy (S^(-1)=S^T), duke e çuar formën kuadratike (9.23) në formën kanonike (9.24).

Për të zgjidhur ne përdorim sa vijon kuptimi gjeometrik detyrat. Ne do të numërojmë variablat x_1,x_2,\ldots,x_n koordinatat e vektorit \boldsymbol(x) të hapësirës Euklidiane n-dimensionale \mathbb(E) në bazë ortonormale (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldsymbol,\boldsymbol(e)_n), dhe matrica A e formës kuadratike (9.23) është matrica e disave transformim linear \mathcal(A)\colon \mathbb(E)\në \mathbb(E) mbi të njëjtën bazë. Për më tepër, ky transformim është i vetë-bashkuar, pasi matrica e tij është simetrike: A^T=A. Forma kuadratike (9.23) mund të paraqitet si produkt skalar

q(\boldsymbol(x))= \bigl\langle \mathcal(A)(\boldsymbol(x)), \boldsymbol(x)\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol(x), \mathcal(A )(\boldsymbol(x))\bigr\rangle.

Një ndryshim ortogonal i ndryshoreve x=Sy korrespondon me kalimin nga një bazë ortonormale në tjetrën. Në të vërtetë, le të jetë S matrica e tranzicionit nga një bazë ortonormale (\boldsymbol(e)) në një bazë ortonormale (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(s)_1,\ldsymbol(s)_n), d.m.th. (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(e))S dhe S^(-1)=S^T. Atëherë koordinatat x të vektorit \boldsymbol(x) në bazën (\boldsymbol(e)) dhe koordinatat y të të njëjtit vektor në bazën (\boldsymbol(s)) lidhen me formulën (8.11): x= Sy .

Kështu, problemi i reduktimit të një forme kuadratike në boshtet kryesore mund të formulohet si më poshtë: kërkohet të gjendet në hapësirën \mathbb(E) një bazë në të cilën matrica e transformimit të vetë-bashkuar \mathcal(A) ka një diagonale formë. Sipas teoremës 9.10, është e nevojshme të zgjidhet një bazë ortonormale nga eigenvektorët e transformimit të vetë-përbashkët. Në këtë rast, matrica e kalimit S në bazën kanonike rezulton të jetë ortogonale: S^T=S^(-1) .

Le ta formulojmë këtë rezultat për formën kuadratike.

Teorema (9.12) për reduktimin e formës kuadratike në boshtet kryesore

Forma kuadratike reale (9.23) mund të reduktohet në formën kanonike (9.24) duke përdorur një transformim ortogonal të ndryshoreve x=Sy, ku - eigenvlerat matricat A.

Pasoja. Forma kuadratike (9.23) është e përcaktuar pozitive (përcaktuar jo-negative) nëse dhe vetëm nëse të gjitha eigenvlerat e matricës së saj janë pozitive (jo-negative).

Shënimet 9.10

1. Me një zëvendësim linear jo të degjeneruar matricë e ndryshueshme forma kuadratike ndryshon sipas formulës (6.10): A"=S^TAS. Për një matricë ortogonale S, kjo formulë merr formën A"=S^(-1)AS, e cila përkon me formulën (9.4) për ndryshimin e linjës matrica e transformimit gjatë ndryshimit të bazës.

2. Për të gjetur formën kanonike (9.24), mjafton të përcaktohen të gjitha rrënjët \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m(mes të cilave mund të ketë të barabarta) (ekuacione) \det(A-\lambda E)=0, ku E është matrica e identitetit.

3. Pasoja e teoremës 9.12 mund të përdoret për të analizuar shenjën e një forme kuadratike:

- nëse të gjitha eigenvlerat janë pozitive (negative), atëherë forma kuadratike është pozitive (negative) e përcaktuar;

- nëse të gjitha eigenvlerat janë jo negative (jo pozitive), atëherë forma kuadratike është e përcaktuar jo negative (jo pozitive);

- nëse ka eigenvlera të shenjave të ndryshme, atëherë forma kuadratike është e pacaktuar (alternuese).

4. Rezultatet e formuluara në paragrafin 3 të komenteve mund të përdoren për të verifikuar mjaftueshëm dhe kushtet e nevojshme rendit i dytë në problemin e kërkimit të ekstremit të pakushtëzuar të funksioneve. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni eigenvalues \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m \dfrac(d^2f(x))(dx^Tdx) në secilin pika të palëvizshme funksionet x^(\ast). f(x)=f(x_1,\ldots,x_n).

Nëse të gjitha vlerat vetjake janë pozitive: \lambda_i>0,~ i=1,\ldots,n, pastaj në pikën x^(\ast) minimale lokale;

- nëse të gjitha vlerat e veçanta janë negative: \lambda_i<0,~ i=1,\ldots,n , atëherë në pikën x^(\ast) ka një maksimum lokal;

- nëse të gjitha vlerat e veta janë jo negative: \lambda_i\geqslant0,~ i=1,\ldots,n, atëherë në pikën x^(\ast) mund të ketë një minimum lokal;

- nëse të gjitha vlerat e veçanta janë jo pozitive: \lambda_i\leqslant0,~ i=1,\ldots,n, atëherë në pikën x^(\ast) mund të ketë një maksimum lokal;

– nëse vlerat vetjake \lambda_i,~ i=1,\ldots,n, shenja të ndryshme, atëherë nuk ka ekstrem në pikën x^(\ast);

- nëse të gjitha vlerat e veçanta janë zero: \lambda_i=0,~ i=1,\ldots,n, atëherë kërkohen kërkime shtesë.

5. Problemi i reduktimit të një forme kuadratike në boshtet kryesore zgjidhet duke përdorur një algoritëm për reduktimin e një transformimi vetë-përbashkët në një formë diagonale. Në këtë rast gjendet forma diagonale e matricës së formës kuadratike dhe matrica ortogonale S e ndryshimit të ndryshoreve x=Sy, duke e sjellë formën kuadratike në formën kanonike (tek boshtet kryesore).

Shembulli 9.7. Përcaktoni shenjën e formës kuadratike të tre ndryshoreve

q(x)= x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2

Zgjidhje. Ne hartojmë një matricë të formës kuadratike: A=\fillimi(pmatrix) 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \fund (pmatrix). Në shembullin 9.6, u gjetën eigenvlerat e kësaj matrice: \lambda_(1,2)=0, \lambda_3=3. Të gjitha vlerat vetjake janë jonegative, kështu që forma kuadratike është e përcaktuar jo negative (shih pikën 4 të vërejtjeve 9.10).

U gjet një matricë ortogonale

S=\begin(pmatrix) \dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))(6)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ 0&-\ dfrac(\sqrt(6))(3)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ -\dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))( 6)& \dfrac(\sqrt(3))(3) \end(pmatrix)\!,

duke e reduktuar matricën A në formë diagonale \Lambda= \emri i operatorit(diag) (0,0,3). Ne shkruajmë ndryshimin e kërkuar ortogonal të ndryshoreve x=Sy:

x_1= \frac(\sqrt(2))(2)\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_2= -\frac(\sqrt(6))(3)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_3= -\frac(\sqrt(2))(2 )\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3.

dhe forma kuadratike në formë kanonike: \widetilde(q)(y)= 3y_3^2.

Shembulli 9.8. Gjeni pikat ekstreme lokale të një funksioni me dy ndryshore duke përdorur matricat

f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

Zgjidhje. Në hapin 1, u gjet gradienti i funksionit, dhe nga kushti i nevojshëm për një ekstrem të rendit të parë, tre pika të palëvizshme:

x^0= \fillim(pmatrix)0&0 \end(pmatrix)^T,\qquad x^1=\fille(pmatrix) 1&1 \end(pmatrix)^T,\qquad x^2=\fille(pmatrix) - 1&1\fund(pmatrix)^T.

\frac(df(x))(dx^Tdx)= \fillimi(pmatrix) 60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2 \fund(pmatrix)\!.

Le të gjejmë eigenvlerat e matricës Hessian në secilën pikë të palëvizshme:

\frac(df(x^0))(dx^Tdx)= \fillimi(pmatrix)0&0\\ 0&2 \end(pmatrix)\!;\quad \frac(df(x^1))(dx^Tdx) = \fillim(pmatrix)38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix)\!,\quad \frac(df(x^2))(dx^Tdx)= \fille(pmatrix) -22&4\\4&2\ fund (pmatrix)

Në pikën x^0=\fillimi(pmatrix)0\\0 \fund(pmatrix) matrica Hessian ka formën \fillimi (pmatrix) 0&0\\ 0&2\fund (pmatrix). Nga barazimi. \begin(vmatrix) -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end(vmatrix)=0 gjejmë \lambda_1=0, \lambda_2=2 . Meqenëse të gjitha vlerat vetjake janë jonegative, mund të ketë një minimum lokal në pikën x^0 dhe kërkohen kërkime shtesë për një përfundim përfundimtar (shih shembullin 6.13).

Në pikën x^1=\fillimi(pmatrix)1\\1 \fund(pmatrix) matrica Hessian ka formën \fillimi (pmatrix) 38&-4\\ -4&2 \fund (pmatrix). Nga barazimi. \begin(vmatrix) 38-\lambda&-4\\ -4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, ose \lambda^2-40 \lambda+60=0 marrim \lambda_(1,2)= 20\pm2\sqrt(85). Meqenëse të gjitha vlerat vetjake janë pozitive, atëherë në pikën x^1 ekziston një minimum lokal i funksionit.

Në pikën x^2=\fillimi(pmatrix)-1\\1 \fund(pmatrix) matrica Hessian ka formën \fillimi (pmatrix) -22&4\\ 4&2 \fund (pmatrix). Nga barazimi. \begin(vmatrix) -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, ose \lambda^2+40 \lambda-60=0 marrim \lambda_(1,2)=-10\pm4\sqrt(10). Meqenëse eigenvalutat kanë shenja të ndryshme, nuk ka ekstrem në pikën x^2.