Lloji i ekuacionit valor sistemi fizik përcaktohet nga Hamiltoniani i tij, i cili në këtë mënyrë fiton rëndësi themelore në të gjithë aparatin matematikor Mekanika kuantike.

Forma e Hamiltonianit të një grimce të lirë tashmë është vendosur kërkesat e përgjithshme, lidhur me homogjenitetin dhe izotropinë e hapësirës dhe parimin e relativitetit të Galileos. NË mekanika klasike këto kërkesa çojnë në një varësi kuadratike të energjisë së një grimce nga momenti i saj: ku konstanta quhet masa e grimcës (shih I, § 4). Në mekanikën kuantike, të njëjtat kërkesa çojnë në të njëjtën lidhje për eigenvlerat energjia dhe momenti janë sasi të konservuara njëkohësisht të matshme (për një grimcë të lirë).

Por në mënyrë që marrëdhënia të mbajë për të gjitha vlerat vetjake të energjisë dhe momentit, ajo duhet të jetë gjithashtu e vlefshme për operatorët e tyre:

Duke zëvendësuar (15.2) këtu, marrim Hamiltonianin e një grimce që lëviz lirshëm në formën

ku është operatori Laplace.

Hamiltoniani i një sistemi grimcash që nuk ndërveprojnë e barabartë me shumën Hamiltonianët e secilit prej tyre:

ku indeksi a numëron grimcat; - Operatori Laplace, në të cilin kryhet diferencimi në lidhje me koordinatat e grimcës.

Në mekanikën klasike (jo-relativiste), bashkëveprimi i grimcave përshkruhet me një term shtesë në funksionin Hamilton - energjia potenciale e bashkëveprimit, e cila është një funksion i koordinatave të grimcave.

Duke shtuar të njëjtin funksion në Hamiltonian të sistemit, përshkruhet ndërveprimi i grimcave në mekanikën kuantike:

termi i parë mund të konsiderohet si operator energjia kinetike, dhe e dyta - si operator potencial i energjisë. Në veçanti, Hamiltonian për një grimcë të vendosur në një fushë të jashtme është

ku U(x, y, z) - energji potenciale grimcat në një fushë të jashtme.

Zëvendësimi i shprehjeve (17.2)-(17.5) në ekuacioni i përgjithshëm(8.1) jep ekuacionet valore për sistemet përkatëse. Le të shkruajmë këtu ekuacionin e valës për një grimcë në një fushë të jashtme

Ekuacioni (10.2), i cili përcakton gjendjet stacionare, merr formën

Ekuacionet (17.6), (17.7) u krijuan nga Schrödinger në vitin 1926 dhe quhen ekuacionet e Shrodingerit.

Për një grimcë të lirë, ekuacioni (17.7) ka formën

Ky ekuacion ka zgjidhje që janë të fundme në të gjithë hapësirën për cilindo vlerë pozitive energjia E. Për gjendjet me drejtime të caktuara të lëvizjes, këto zgjidhje janë eigenfunksionet e operatorit të momentit, dhe . Funksionet valore të plota (të varura nga koha) e të tilla gjendjet stacionare duket si

(17,9)

Çdo funksion i tillë - një valë e rrafshët - përshkruan një gjendje në të cilën grimca ka një energji të caktuar E dhe vrull. Frekuenca e kësaj vale është e barabartë me dhe vektori i saj valor gjatësia valore përkatëse quhet gjatësia valore de Broglie e grimcës.

Kështu, spektri energjetik i një grimce që lëviz lirshëm rezulton të jetë i vazhdueshëm, duke u shtrirë nga zero në secilën prej këtyre vlerave vetjake (përveç se vetëm vlera është e degjeneruar dhe degjenerimi është me shumësi të pafundme. Në të vërtetë, çdo vlerë jozero e E korrespondon grup i pafund eigenfunksionet(17.9), që ndryshojnë në drejtimet vektoriale me të njëjtën vlerë absolute.

Le të gjurmojmë se si ndodh kalimi i kufirit në mekanikën klasike në ekuacionin e Schrödinger-it, duke konsideruar për thjeshtësi vetëm një grimcë në një fushë të jashtme. Duke zëvendësuar shprehjen kufizuese (6.1) të funksionit të valës në ekuacionin e Shrodingerit (17.6), marrim, me diferencim,

Ky ekuacion ka terma thjesht realë dhe thjesht imagjinarë (kujtojmë se S dhe a janë realë); duke i barazuar të dyja veçmas me zero, marrim dy ekuacione:

Duke neglizhuar termin që përmban në të parën nga këto ekuacione, marrim

(17,10)

d.m.th., siç pritej, ekuacioni klasik Hamilton-Jacobi për veprimin e një grimce S. Ne shohim, meqë ra fjala, se në mekanikën klasike është e vlefshme deri në sasi të rendit të parë (dhe jo zero) përfshirëse.

E dyta nga ekuacionet rezultuese pas shumëzimit me 2a mund të rishkruhet në formë

Ky ekuacion ka një pamje vizuale kuptimi fizik: ekziston dendësia e probabilitetit për të gjetur një grimcë në një vend të caktuar në hapësirë, ekziston shpejtësia klasike v e grimcës; Prandaj, ekuacioni (17.11) nuk është gjë tjetër veçse një ekuacion i vazhdimësisë, duke treguar se densiteti i probabilitetit "lëviz" sipas ligjeve të mekanikës klasike me shpejtësi klasike v në çdo pikë.

Detyrë

Gjeni ligjin e transformimit të funksionit valor nën transformimin e Galilesë.

Zgjidhje. Le të kryejmë një transformim mbi funksionin valor të lëvizjes së lirë të një grimce (një valë e rrafshët). Meqenëse çdo funksion mund të zgjerohet në valë të rrafshët, ligji i transformimit do të gjendet në këtë mënyrë për një funksion valor arbitrar.

Valët e rrafshët në sistemet e referencës K dhe K" (K" lëviz në raport me K me shpejtësi V):

Për më tepër, momenti dhe energjitë e grimcave në të dy sistemet lidhen me njëra-tjetrën nga formula

(shih I, § 8), Duke zëvendësuar këto shprehje në marrim

Në këtë formë, kjo formulë nuk përmban më sasi që karakterizojnë lëvizjen e lirë grimcat, dhe vendos të dëshiruar e drejta e zakonshme transformimi i funksionit valor të një gjendje grimce arbitrare. Për një sistem grimcash, eksponenti në (1) duhet të përmbajë shumën mbi grimcat.

Ekuacioni i përgjithshëm i Shrodingerit. Ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare

Interpretimi statistikor i valëve të de Broglie (shih § 216) dhe relacioni i pasigurisë së Heisenberg (shih 5 215) çoi në përfundimin se ekuacioni i lëvizjes në mekanikën kuantike, i cili përshkruan lëvizjen e mikrogrimcave në të ndryshme fushat e forcës, duhet të ketë një ekuacion nga i cili do të pasojnë vlerat e vëzhguara eksperimentalisht vetitë e valës grimcat. Ekuacioni kryesor duhet të jetë një ekuacion në lidhje me funksionin valor Ψ (x, y, z, t), pasi është pikërisht kjo, ose, më saktë, sasia |Ψ| 2, përcakton probabilitetin që një grimcë të jetë në kohën t në vëllim dV, pra në zonën me koordinatat x dhe x+dx, y dhe y+dy, z dhe z+dz. Meqenëse ekuacioni i kërkuar duhet të marrë parasysh vetitë valore të grimcave, ai duhet të jetë ekuacioni i valës, i ngjashëm me ekuacionin që përshkruan valët elektromagnetike.

Ekuacioni bazë i mekanikës kuantike jorelativiste u formulua në vitin 1926 nga E. Schrödinger. Ekuacioni i Shrodingerit, si të gjitha ekuacionet bazë të fizikës (për shembull, ekuacionet e Njutonit në mekanikën klasike dhe ekuacionet e Maksuellit për fushë elektromagnetike), nuk rrjedh, por postulohet. Korrektësia e këtij ekuacioni konfirmohet nga pajtueshmëria me përvojën e rezultateve të marra me ndihmën e tij, e cila, nga ana tjetër, i jep atij karakterin e një ligji të natyrës. Ekuacioni i Shrodingerit ka formën

ku h=h/(2π), m është masa e grimcës, ∆ është operatori Laplace ( ),

i- njësi imagjinare, U (x, y, z, t) - funksion potencial grimca në fushën e forcës në të cilën lëviz, Ψ (x, y, z, t ) - i kërkuar funksioni i valës grimcat.

Ekuacioni (217.1) është i vlefshëm për çdo grimcë (me një rrotullim të barabartë me 0; shih § 225) që lëviz me një shpejtësi të ulët (krahasuar me shpejtësinë e dritës), d.m.th. me një shpejtësi υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

duhet të jetë i vazhdueshëm; 3) funksioni |Ψ| 2 duhet të jetë i integrueshëm; ky kusht në rastet më të thjeshta reduktohet në kushtin për normalizimin e probabiliteteve (216.3).

Për të arritur në ekuacionin e Shrodingerit, merrni parasysh një grimcë që lëviz lirshëm, e cila, sipas idesë së de Broglie, shoqërohet me një valë të rrafshët. Për thjeshtësi, ne e konsiderojmë rastin njëdimensional. Ekuacioni i një vale të rrafshët që përhapet përgjatë boshtit x ka formën (shih § 154)

Ose në një regjistrim kompleks . Prandaj, vala e planit de Broglie ka formën

(217.2)

(merret parasysh se ω = E/h, k=p/h). Në mekanikën kuantike, eksponenti merret me shenjën minus, por meqenëse vetëm |Ψ| ka kuptim fizik. 2, atëherë kjo (shih (217.2)) është e parëndësishme. Pastaj

,

; (217.3)

Duke përdorur marrëdhënien ndërmjet energjisë E dhe momentit p (E = p 2 /(2m)) dhe duke zëvendësuar shprehjet (217.3), marrim ekuacionin diferencial

që përkon me ekuacionin (217.1) për rastin U = 0 (ne konsideruam një grimcë të lirë).

Nëse një grimcë lëviz në një fushë force të karakterizuar nga energjia potenciale U, atëherë energjia totale E është shuma e energjive kinetike dhe potenciale. Duke kryer arsyetime të ngjashme duke përdorur marrëdhënien midis E dhe p (për këtë rast p 2 /(2m)=E -U), arrijmë në një ekuacion diferencial që përkon me (217.1).

Arsyetimi i mësipërm nuk duhet të merret si rrjedhim i ekuacionit të Shrodingerit. Ata shpjegojnë vetëm se si mund të arrihet në këtë ekuacion. Dëshmia e korrektësisë së ekuacionit të Shrodingerit është pajtueshmëria me përvojën e përfundimeve në të cilat ai çon.

Ekuacioni (217.1) është ekuacioni i përgjithshëm i Shrodingerit. Quhet gjithashtu ekuacioni i Schrödinger-it i varur nga koha. Për shumë dukuri fizike që ndodhin në mikrobotë, ekuacioni (217.1) mund të thjeshtohet duke eliminuar varësinë e Ψ nga koha, me fjalë të tjera, gjeni ekuacionin e Shrodingerit për gjendjet stacionare - gjendje me vlera fikse të energjisë. Kjo është e mundur nëse fusha e forcës në të cilën lëviz grimca është e palëvizshme, d.m.th. funksioni U = U(x, y, z ) nuk varet shprehimisht nga koha dhe ka kuptimin e energjisë potenciale. Në këtë rast, zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit mund të përfaqësohet si produkt i dy funksioneve, njëri prej të cilëve është funksion i vetëm koordinatave, tjetri - vetëm koha, dhe varësia nga koha shprehet me shumëzues.

,

ku E - energjia totale e grimcës, konstante në rastin e një fushe të palëvizshme. Duke zëvendësuar (217.4) në (217.1), marrim

nga ku, pas pjesëtimit me një faktor të përbashkët e – i (E/ h) t dhe transformimet përkatëse, arrijmë në ekuacionin që përcakton funksionin ψ:

(217.5)

Ekuacioni (217.5) quhet ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare.

Ky ekuacion përfshin energjinë totale E të grimcës si parametër. Në teorinë e ekuacioneve diferenciale vërtetohet se ekuacione të tilla kanë një numër të pafund zgjidhjesh, nga të cilat zgjidhen zgjidhjet që kanë kuptim fizik duke vendosur kushte kufitare. Për ekuacionin e Schrödinger-it, kushte të tilla janë kushtet për rregullsinë e funksioneve valore: funksionet valore duhet të jenë të fundme, me një vlerë dhe të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të parë. Pra, vetëm ato zgjidhje që shprehen me funksione të rregullta ψ kanë kuptim fizik real . Por zgjidhjet e rregullta nuk ndodhin për asnjë vlerë të parametrit E, por vetëm për një grup të caktuar të tyre, karakteristikë e një problemi të caktuar. Këto vlera të energjisë quhen eigenvalues. Zgjidhjet që korrespondojnë me vlerat vetjake të energjisë quhen eigenfunksione. Eigenvlerat E mund të formojnë ose një seri të vazhdueshme ose diskrete. Në rastin e parë, ata flasin për një spektër të vazhdueshëm, ose të ngurtë, në të dytën - për një spektër diskret.

Sipas folklorit kaq të përhapur midis fizikantëve, ndodhi kështu: në vitin 1926, një fizikan teorik me emër foli në një seminar shkencor në Universitetin e Cyrihut. Ai foli për ide të reja të çuditshme në ajër, për mënyrën sesi objektet mikroskopike shpesh sillen më shumë si valë sesa si grimca. Pastaj një mësues i moshuar kërkoi të fliste dhe tha: "Schrödinger, a nuk e shihni se e gjithë kjo është e pakuptimtë? Apo nuk e dimë të gjithë se valët janë vetëm valë që përshkruhen me ekuacione valore?” Schrödinger e mori këtë si një fyerje personale dhe vendosi të zhvillojë një ekuacion valor për të përshkruar grimcat brenda kornizës së mekanikës kuantike - dhe e përballoi këtë detyrë shkëlqyeshëm.

Këtu duhet bërë një shpjegim. Në botën tonë të përditshme, energjia transferohet në dy mënyra: nga materia kur lëviz nga një vend në tjetrin (për shembull, një lokomotivë në lëvizje ose era) - grimcat përfshihen në një transferim të tillë energjie - ose nga valët (për shembull, valët e radios që transmetohen nga transmetues të fuqishëm dhe kapen nga antenat e televizioneve tona). Kjo do të thotë, në makrokozmosin ku jetojmë ju dhe unë, të gjithë transportuesit e energjisë ndahen rreptësisht në dy lloje - korpuskulare (që përbëhen nga grimca materiale) ose valë. Për më tepër, çdo valë përshkruhet nga një lloj i veçantë ekuacionesh - ekuacionet valore. Pa përjashtim, të gjitha valët - valët e oqeanit, valët e shkëmbinjve sizmikë, valët e radios nga galaktikat e largëta - përshkruhen nga i njëjti lloj ekuacionesh valore. Ky shpjegim është i nevojshëm për të bërë të qartë se nëse duam të paraqesim dukuritë e botës nënatomike në termat e valëve të shpërndarjes së probabilitetit (shiko Mekanikë Kuantike), këto valë duhet të përshkruhen edhe nga ekuacioni valor përkatës.

Schrödinger aplikoi ekuacionin klasik diferencial të funksionit të valës në konceptin e valëve të probabilitetit dhe mori ekuacionin e famshëm që mban emrin e tij. Ashtu si ekuacioni i zakonshëm i funksionit të valës përshkruan përhapjen e, për shembull, valëzimeve në sipërfaqen e ujit, ekuacioni i Shrodingerit përshkruan përhapjen e një vale të probabilitetit për të gjetur një grimcë në një pikë të caktuar në hapësirë. Majat e kësaj vale (pikat e probabilitetit maksimal) tregojnë se ku në hapësirë ​​ka më shumë gjasa të përfundojë grimca. Megjithëse ekuacioni i Schrödinger-it i përket fushës së matematikës së lartë, është kaq i rëndësishëm për të kuptuar fizikën moderne sa që unë megjithatë do ta paraqes atë këtu - në formën e tij më të thjeshtë (i ashtuquajturi "ekuacion i palëvizshëm njëdimensional i Shrodingerit"). Funksioni i valës së shpërndarjes së probabilitetit të mësipërm, i shënuar me shkronjën greke (psi), është zgjidhja e ekuacionit diferencial të mëposhtëm (është në rregull nëse nuk e kuptoni; thjesht merrni me besim se ky ekuacion tregon se probabiliteti sillet si një valë ): :

Pamja e ngjarjeve kuantike që na jep ekuacioni i Shrodingerit është se elektronet dhe grimcat e tjera elementare sillen si valë në sipërfaqen e oqeanit. Me kalimin e kohës, kulmi i valës (që korrespondon me vendndodhjen ku ka më shumë gjasa të jetë elektroni) lëviz në hapësirë ​​në përputhje me ekuacionin që përshkruan këtë valë. Kjo do të thotë, ajo që ne tradicionalisht e konsideronim një grimcë sillet shumë si një valë në botën kuantike.

Kur Schrödinger publikoi për herë të parë rezultatet e tij, shpërtheu një stuhi në një filxhan çaji në botën e fizikës teorike. Fakti është se pothuajse në të njëjtën kohë, u shfaq vepra e bashkëkohësit të Schrödinger, Werner Heisenberg (shih Parimin e Pasigurisë së Heisenberg), në të cilin autori parashtroi konceptin e "mekanikës së matricës", ku u zgjidhën të njëjtat probleme të mekanikës kuantike. në një formë tjetër matrice më komplekse nga pikëpamja matematikore. Trazirat u shkaktuan nga fakti se shkencëtarët thjesht kishin frikë se dy qasje po aq bindëse për të përshkruar mikrobotën mund të kundërshtonin njëra-tjetrën. Shqetësimet ishin të kota. Në të njëjtin vit, vetë Schrödinger vërtetoi ekuivalencën e plotë të dy teorive - domethënë, ekuacioni i matricës rrjedh nga ekuacioni i valës dhe anasjelltas; rezultatet janë identike. Sot, është kryesisht versioni i Shrodingerit (nganjëherë i quajtur "mekanika valore") që përdoret sepse ekuacioni i tij është më pak i rëndë dhe më i lehtë për t'u mësuar.

Megjithatë, nuk është aq e lehtë të imagjinohet dhe të pranohet se diçka si një elektron sillet si një valë. Në jetën e përditshme, ne hasim ose një grimcë ose një valë. Topi është një grimcë, tingulli është një valë dhe kaq. Në botën e mekanikës kuantike, gjithçka nuk është aq e thjeshtë. Në fakt - dhe eksperimentet shpejt e treguan këtë - në botën kuantike, entitetet ndryshojnë nga objektet me të cilat jemi njohur dhe kanë veti të ndryshme. Drita, të cilën ne e mendojmë si valë, ndonjëherë sillet si një grimcë (e quajtur foton), dhe grimcat si elektronet dhe protonet mund të sillen si valë (shih Parimin e Plotësimit).

Ky problem zakonisht quhet natyra e dyfishtë ose e dyfishtë e grimcave-valë të grimcave kuantike, dhe është karakteristikë, me sa duket, për të gjitha objektet e botës nënatomike (shih Teoremën e Bell-it). Ne duhet të kuptojmë se në mikrobotë idetë tona të zakonshme intuitive rreth asaj se çfarë formash mund të marrë materia dhe si mund të sillet thjesht nuk zbatohen. Vetë fakti që ne përdorim ekuacionin e valës për të përshkruar lëvizjen e asaj që jemi mësuar të mendojmë si grimca është një provë e qartë për këtë. Siç u përmend në hyrje, nuk ka ndonjë kontradiktë të veçantë në këtë. Në fund të fundit, ne nuk kemi arsye bindëse për të besuar se ajo që vëzhgojmë në makrokozmos duhet të riprodhohet me saktësi në nivelin e mikrokozmosit. Megjithatë, natyra e dyfishtë e grimcave elementare mbetet një nga aspektet më të çuditshme dhe shqetësuese të mekanikës kuantike për shumë njerëz, dhe nuk është e tepruar të thuhet se të gjitha problemet filluan me Erwin Schrödinger.

Enciklopedia nga James Trefil “Natyra e shkencës. 200 ligjet e universit."

James Trefil është profesor i fizikës në Universitetin George Mason (SHBA), një nga autorët më të famshëm perëndimorë të librave shkencorë popullorë.

Max Planck, një nga themeluesit e mekanikës kuantike, erdhi në idetë e kuantizimit të energjisë, duke u përpjekur të shpjegojë teorikisht procesin e ndërveprimit midis valëve elektromagnetike dhe atomeve të zbuluara së fundmi dhe, në këtë mënyrë, të zgjidhë problemin e rrezatimit të trupit të zi. Ai kuptoi se për të shpjeguar spektrin e emetimit të vëzhguar të atomeve, është e nevojshme të merret si e mirëqenë që atomet emetojnë dhe thithin energji në pjesë (të cilat shkencëtari i quajti kuantë) dhe vetëm në frekuenca valore individuale.

Një trup krejtësisht i zi që thith plotësisht rrezatimin elektromagnetik të çdo frekuence, kur nxehet, lëshon energji në formën e valëve të shpërndara në mënyrë të barabartë në të gjithë spektrin e frekuencës.

Fjala "quantum" vjen nga latinishtja quantum ("sa, sa") dhe anglishtja quantum ("sasi, pjesë, kuantike"). "Mekanikë" ka qenë prej kohësh emri i dhënë shkencës së lëvizjes së materies. Prandaj, termi "mekanikë kuantike" nënkupton shkencën e lëvizjes së materies në pjesë (ose, në gjuhën moderne shkencore, shkencën e lëvizjes së materies së kuantizuar). Termi "kuant" u krijua nga fizikani gjerman Max Planck për të përshkruar ndërveprimin e dritës me atomet.

Një nga faktet e botës nënatomike është se objektet e saj - si elektronet apo fotonet - nuk janë aspak të ngjashme me objektet e zakonshme të botës makro. Ata nuk sillen as si grimca dhe as si valë, por si formacione krejtësisht të veçanta që shfaqin veti valore dhe korpuskulare në varësi të rrethanave. Është një gjë të bësh një deklaratë, por krejt tjetër të lidhësh së bashku aspektet e valës dhe grimcave të sjelljes së grimcave kuantike, duke i përshkruar ato me një ekuacion të saktë. Kjo është pikërisht ajo që u bë në marrëdhënien de Broglie.

Në jetën e përditshme, ekzistojnë dy mënyra për të transferuar energjinë në hapësirë ​​- përmes grimcave ose valëve. Në jetën e përditshme, nuk ka kontradikta të dukshme midis dy mekanizmave të transferimit të energjisë. Pra, një basketboll është një grimcë, dhe tingulli është një valë, dhe gjithçka është e qartë. Megjithatë, në mekanikën kuantike gjërat nuk janë aq të thjeshta. Edhe nga eksperimentet më të thjeshta me objektet kuantike, shumë shpejt bëhet e qartë se në mikrobotën nuk zbatohen parimet dhe ligjet e makroworld me të cilat jemi njohur. Drita, të cilën ne jemi mësuar ta mendojmë si valë, ndonjëherë sillet sikur të përbëhet nga një rrymë grimcash (fotone), dhe grimcat elementare, si një elektron apo edhe një proton masiv, shpesh shfaqin vetitë e një valë.

Mbi të gjitha, Ajnshtajni protestoi kundër nevojës për të përshkruar fenomenet e mikrobotës në aspektin e probabiliteteve dhe funksioneve valore, dhe jo nga pozicioni i zakonshëm i koordinatave dhe shpejtësive të grimcave. Kjo është ajo që ai nënkuptonte me "hedhjen e zarit". Ai pranoi se përshkrimi i lëvizjes së elektroneve në termat e shpejtësive dhe koordinatave të tyre bie ndesh me parimin e pasigurisë. Por, argumentoi Ajnshtajni, duhet të ketë disa variabla ose parametra të tjerë, duke marrë parasysh të cilët tabloja mekanike kuantike e mikrobotës do të kthehet në rrugën e integritetit dhe determinizmit. Dmth, këmbënguli, vetëm na duket se Zoti po luan zare me ne, se ne nuk kuptojmë gjithçka. Kështu, ai ishte i pari që formuloi hipotezën e ndryshores së fshehur në ekuacionet e mekanikës kuantike. Ai qëndron në faktin se në fakt elektronet kanë koordinata dhe shpejtësi fikse, si topat e bilardos së Njutonit, dhe parimi i pasigurisë dhe qasja probabilistike për përcaktimin e tyre brenda kornizës së mekanikës kuantike janë rezultat i paplotësisë së vetë teorisë, e cila është pse nuk i lejon ato për të përcaktuar.

Julia Zotova

Do të mësoni: Cilat teknologji quhen kuantike dhe pse. Cili është avantazhi i teknologjive kuantike ndaj atyre klasike? Çfarë mund dhe nuk mund të bëjë një kompjuter kuantik. Si bëjnë fizikanët një kompjuter kuantik. Kur do të krijohet.

Fizikani francez Pierre Simon Laplace ngriti një pyetje të rëndësishme nëse gjithçka në botë është e paracaktuar nga gjendja e mëparshme e botës, apo nëse një shkak mund të shkaktojë disa pasoja. Siç pritej nga tradita filozofike, vetë Laplace në librin e tij "Ekspozita e Sistemit Botëror" nuk bëri asnjë pyetje, por tha një përgjigje të gatshme se po, gjithçka në botë është e paracaktuar, megjithatë, siç ndodh shpesh në filozofi, fotografia e botës e propozuar nga Laplace nuk i bindi të gjithë dhe kështu përgjigja e tij shkaktoi një debat rreth çështjes që vazhdon edhe sot e kësaj dite. Pavarësisht mendimit të disa filozofëve se mekanika kuantike e zgjidhi këtë çështje në favor të një qasjeje probabiliste, megjithatë, teoria e paracaktimit të plotë të Laplace, ose siç quhet ndryshe teoria e determinizmit të Laplasit, diskutohet ende sot.

Gordey Lesovik

Disa kohë më parë, unë dhe një grup bashkautorë filluam të nxjerrim ligjin e dytë të termodinamikës nga pikëpamja e mekanikës kuantike. Për shembull, në një nga formulimet e tij, i cili thotë se entropia e një sistemi të mbyllur nuk zvogëlohet, zakonisht rritet dhe ndonjëherë mbetet konstante nëse sistemi është i izoluar energjikisht. Duke përdorur rezultatet e njohura nga teoria e informacionit kuantik, ne kemi nxjerrë disa kushte në të cilat kjo deklaratë është e vërtetë. Papritur, doli se këto kushte nuk përkojnë me gjendjen e izolimit të energjisë të sistemeve.

Profesori i fizikës Jim Al-Khalili eksploron teoritë më të sakta dhe më konfuze shkencore - fizikën kuantike. Në fillim të shekullit të 20-të, shkencëtarët hodhën thellësitë e fshehura të materies, blloqet ndërtuese nënatomike të botës përreth nesh. Ata zbuluan fenomene që ishin të ndryshme nga çdo gjë e parë më parë. Një botë ku gjithçka mund të jetë në shumë vende në të njëjtën kohë, ku realiteti ekziston vetëm kur e vëzhgojmë atë. Albert Ajnshtajni i rezistoi idesë së thjeshtë se rastësia ishte në thelb të natyrës. Fizika kuantike nënkupton se grimcat nënatomike mund të ndërveprojnë më shpejt se shpejtësia e dritës, gjë që bie ndesh me teorinë e tij të relativitetit.

Prezantimi

Dihet se kursi i mekanikës kuantike është një nga më të vështirat për t'u kuptuar. Kjo është për shkak jo aq të aparatit të ri dhe "të pazakontë" matematikor, por në radhë të parë të vështirësisë së të kuptuarit revolucionar, nga këndvështrimi i fizikës klasike, ideve që qëndrojnë në themel të mekanikës kuantike dhe kompleksitetit të interpretimit të rezultateve.

Në shumicën e teksteve shkollore për mekanikën kuantike, prezantimi i materialit bazohet, si rregull, në analizën e zgjidhjeve të ekuacioneve stacionare të Shrodingerit. Sidoqoftë, qasja stacionare nuk lejon që dikush të krahasojë drejtpërdrejt rezultatet e zgjidhjes së një problemi mekanik kuantik me rezultate të ngjashme klasike. Për më tepër, shumë procese të studiuara në kursin e mekanikës kuantike (të tilla si kalimi i një grimce përmes një pengese potenciale, prishja e një gjendjeje pothuajse të palëvizshme, etj.) janë në parim jo-stacionare në natyrë dhe, për rrjedhojë, mund të të kuptohen plotësisht vetëm në bazë të zgjidhjeve të ekuacionit jostacionar Schrödinger. Meqenëse numri i problemeve të zgjidhshme analitikisht është i vogël, përdorimi i një kompjuteri në procesin e studimit të mekanikës kuantike është veçanërisht i rëndësishëm.

Ekuacioni i Shrodingerit dhe kuptimi fizik i zgjidhjeve të tij

Ekuacioni valor i Shrodingerit

Një nga ekuacionet themelore të mekanikës kuantike është ekuacioni i Shrodingerit, i cili përcakton ndryshimin e gjendjeve të sistemeve kuantike me kalimin e kohës. Është shkruar në formë

ku H është operatori Hamiltonian i sistemit, që përkon me operatorin e energjisë nëse nuk varet nga koha. Lloji i operatorit përcaktohet nga vetitë e sistemit. Për lëvizjen jorelativiste të një grimce në masë në një fushë potenciale U(r), operatori është real dhe përfaqësohet nga shuma e operatorëve të energjisë kinetike dhe potenciale të grimcës.

Nëse një grimcë lëviz në një fushë elektromagnetike, atëherë operatori Hamiltonian do të jetë kompleks.

Edhe pse ekuacioni (1.1) është një ekuacion i rendit të parë në kohë, për shkak të pranisë së një njësie imagjinare, ai gjithashtu ka zgjidhje periodike. Prandaj, ekuacioni i Shrodingerit (1.1) shpesh quhet ekuacioni i valës së Shrodingerit dhe zgjidhja e tij quhet funksioni valor i varur nga koha. Ekuacioni (1.1) me një formë të njohur të operatorit H lejon që dikush të përcaktojë vlerën e funksionit të valës në çdo moment të mëpasshëm, nëse kjo vlerë njihet në kohën fillestare. Kështu, ekuacioni i valës së Shrodingerit shpreh parimin e shkakësisë në mekanikën kuantike.

Ekuacioni i valës së Schrödinger-it mund të merret bazuar në konsideratat e mëposhtme formale. Në mekanikën klasike dihet se nëse energjia jepet në funksion të koordinatave dhe momentit

pastaj kalimi në ekuacionin klasik Hamilton-Jacobi për funksionin e veprimit S

mund të merret nga (1.3) nga transformimi formal

Në të njëjtën mënyrë, ekuacioni (1.1) merret nga (1.3) duke kaluar nga (1.3) në ekuacionin e operatorit me transformim formal.

nëse (1.3) nuk përmban produkte të koordinatave dhe momenteve, ose përmban produkte të tyre që, pasi kalojnë te operatorët (1.4), udhëtojnë me njëri-tjetrin. Duke barazuar pas këtij transformimi rezultatet e veprimit në funksionin e operatorëve të anës së djathtë dhe të majtë të barazisë së operatorit që rezulton, arrijmë në ekuacionin e valës (1.1). Megjithatë, këto transformime formale nuk duhet të merren si një derivim i ekuacionit të Shrodingerit. Ekuacioni i Shrodingerit është një përgjithësim i të dhënave eksperimentale. Ai nuk rrjedh në mekanikën kuantike, ashtu si ekuacionet e Maksuellit nuk rrjedhin në elektrodinamikë, parimi i veprimit më të vogël (ose ekuacionet e Njutonit) në mekanikën klasike.

Është e lehtë të verifikohet se ekuacioni (1.1) është i kënaqur për funksionin e valës

duke përshkruar lëvizjen e lirë të një grimce me një vlerë të caktuar të momentit. Në rastin e përgjithshëm, vlefshmëria e ekuacionit (1.1) vërtetohet me marrëveshje me përvojën e të gjitha përfundimeve të marra duke përdorur këtë ekuacion.

Le të tregojmë se ekuacioni (1.1) nënkupton barazinë e rëndësishme

që tregon se normalizimi i funksionit valor vazhdon me kalimin e kohës. Le të shumëzojmë (1.1) në të majtë me funksionin *, një kompleks ekuacioni të konjuguar me (1.1) me funksionin dhe të zbresim të dytin nga ekuacioni i parë që rezulton; atëherë ne gjejmë

Duke integruar këtë lidhje mbi të gjitha vlerat e variablave dhe duke marrë parasysh vetë-përputhjen e operatorit, marrim (1.5).

Nëse zëvendësojmë në relacionin (1.6) shprehjen eksplicite të operatorit Hamiltonian (1.2) për lëvizjen e një grimce në një fushë potenciale, atëherë arrijmë në ekuacionin diferencial (ekuacioni i vazhdimësisë)

ku është dendësia e probabilitetit dhe vektori

mund të quhet vektor i densitetit të rrymës së probabilitetit.

Funksioni i valës komplekse mund të paraqitet gjithmonë si

ku dhe janë funksione reale të kohës dhe koordinatave. Kështu, dendësia e probabilitetit

dhe probabiliteti i densitetit të rrymës

Nga (1.9) del se j = 0 për të gjithë funksionet për të cilët funksioni Φ nuk varet nga koordinatat. Në veçanti, j= 0 për të gjitha funksionet reale.

Zgjidhjet e ekuacionit të Shrodingerit (1.1) në rastin e përgjithshëm përfaqësohen me funksione komplekse. Përdorimi i funksioneve komplekse është mjaft i përshtatshëm, megjithëse jo i nevojshëm. Në vend të një funksioni kompleks, gjendja e sistemit mund të përshkruhet nga dy funksione reale dhe duke plotësuar dy ekuacione të lidhura. Për shembull, nëse operatori H është real, atëherë duke zëvendësuar funksionin në (1.1) dhe duke ndarë pjesët reale dhe imagjinare, marrim një sistem me dy ekuacione.

në këtë rast, densiteti i probabilitetit dhe densiteti i rrymës së probabilitetit do të marrin formën

Funksionet valore në paraqitjen e impulsit.

Transformimi Furier i funksionit valor karakterizon shpërndarjen e momentit në një gjendje kuantike. Kërkohet të nxirret një ekuacion integral për potencialin me transformimin Furier si bërthamë.

Zgjidhje. Ekzistojnë dy marrëdhënie reciproke të anasjellta midis funksioneve dhe.

Nëse relacioni (2.1) përdoret si përkufizim dhe në të zbatohet një operacion, atëherë duke marrë parasysh përkufizimin e një funksioni 3-dimensional,

si rezultat, siç shihet lehtë, marrim relacionin e anasjelltë (2.2). Konsiderata të ngjashme përdoren më poshtë në nxjerrjen e relacionit (2.8).

atëherë për transformimin Furier të potencialit që kemi

Duke supozuar se funksioni i valës plotëson ekuacionin e Shrodingerit

Zëvendësimi i shprehjeve (2.1) dhe (2.3) këtu në vend të dhe, respektivisht, marrim

Në integralin e dyfishtë, ne kalojmë nga integrimi mbi një ndryshore në integrimin mbi një ndryshore, dhe më pas e shënojmë përsëri këtë ndryshore të re me. Integrali mbi zhduket për çdo vlerë vetëm në rastin kur vetë integrani është i barabartë me zero, por më pas

Ky është ekuacioni integral i dëshiruar me transformimin Furier të potencialit si bërthamë. Natyrisht, ekuacioni integral (2.6) mund të merret vetëm me kushtin që të ekzistojë transformimi Furier i potencialit (2.4); për këtë, për shembull, potenciali duhet të ulet në distanca të mëdha të paktën si, ku.

Duhet theksuar se nga gjendja e normalizimit

vijon barazia

Kjo mund të tregohet duke zëvendësuar shprehjen (2.1) për funksionin në (2.7):

Nëse së pari kryejmë integrimin këtu, mund të marrim lehtësisht relacionin (2.8).

Heisenberg u çua në përfundimin se ekuacioni i lëvizjes në mekanikën kuantike, i cili përshkruan lëvizjen e mikrogrimcave në fusha të ndryshme të forcës, duhet të jetë një ekuacion nga i cili do të pasonin vetitë valore të vëzhguara eksperimentalisht të grimcave. Ekuacioni drejtues duhet të jetë një ekuacion për funksionin valor Ψ (x, y, z, t), meqenëse është pikërisht kjo, ose, më saktë, sasia |Ψ| 2, përcakton probabilitetin që një grimcë të jetë e pranishme në momentin e kohës t në vëllim Δ V, dmth në zonën me koordinata X Dhe x + dx, y Dhe y + dу, z Dhe z+ dz.

Ekuacioni bazë i mekanikës kuantike jorelativiste u formulua në vitin 1926 nga E. Schrödinger. Ekuacioni i Shrodingerit, si të gjitha ekuacionet bazë të fizikës (për shembull, ekuacionet e Njutonit në mekanikën klasike dhe ekuacionet e Maksuellit për fushën elektromagnetike), nuk është nxjerrë, por i postuluar. Korrektësia e këtij ekuacioni konfirmohet nga pajtueshmëria me përvojën e rezultateve të marra me ndihmën e tij, e cila, nga ana tjetër, i jep atij karakterin e një ligji të natyrës.

Ekuacioni i përgjithshëm i Shrodingerit është:

Ku ? =h/(2π), m- masa e grimcave, Δ - Operatori Laplace , i- njësi imagjinare, U(x, y, z, t) është funksioni potencial i grimcës në fushën e forcës në të cilën ajo lëviz, Ψ( x, y, z, t) është funksioni valor i dëshiruar i grimcës.

Ekuacioni (1) është i vlefshëm për çdo grimcë (me një rrotullim të barabartë me 0) që lëviz me një shpejtësi të ulët (në krahasim me shpejtësinë e dritës), d.m.th. υ "Me.

Ai plotësohet me kushte, mbivendosur në funksionin e valës:

1) funksioni i valës duhet të jetë i fundëm, i paqartë dhe i vazhdueshëm;

2) derivatet duhet të jetë i vazhdueshëm;

3) funksioni |Ψ| 2 duhet të jetë i integrueshëm (ky kusht në rastet më të thjeshta reduktohet në kusht për normalizimin e probabiliteteve).

Ekuacioni (1) quhet ekuacioni i Shrodingerit i varur nga koha.

Për shumë dukuri fizike që ndodhin në mikrobotë, ekuacioni (1) mund të thjeshtohet duke eliminuar varësinë e Ψ nga koha, d.m.th. gjeni ekuacionin e Shrodingerit për gjendjet stacionare - gjendjet me vlera fikse të energjisë. Kjo është e mundur nëse fusha e forcës në të cilën lëviz grimca është e palëvizshme, pra funksioni U = U(x, y,z) nuk varet shprehimisht nga koha dhe ka kuptimin e energjisë potenciale. Në këtë rast, zgjidhja e ekuacionit të Shrodingerit mund të paraqitet në formë

. (2)

Ekuacioni (2) quhet ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare.

Ky ekuacion përfshin energjinë totale si parametër E grimcat. Në teorinë e ekuacioneve diferenciale vërtetohet se ekuacione të tilla kanë një numër të pafund zgjidhjesh, nga të cilat zgjidhen zgjidhjet që kanë kuptim fizik duke vendosur kushte kufitare. Për ekuacionin e Shrodingerit kushte të tilla janë kushtet për rregullsinë e funksioneve valore: Funksionet e reja duhet të jenë të fundme, të paqarta dhe të vazhdueshme së bashku me derivatet e tyre të parë.

Kështu, vetëm ato zgjidhje që shprehen me funksione të rregullta Ψ kanë kuptim fizik real. Por zgjidhjet e rregullta nuk ndodhin për asnjë vlerë parametri E, por vetëm për një grup të caktuar prej tyre, karakteristikë e një detyre të caktuar. Këto vlera të energjisë quhen eigenvalues . Zgjidhjet që korrespondojnë me eigenvlerat e energjisë quhen eigenfunctions . Eigenvlerat E mund të formojë një seri të vazhdueshme ose diskrete. Në rastin e parë, ata flasin për një spektër të vazhdueshëm, ose të ngurtë, në të dytën - për një spektër diskret.

Grimca në një "pus potencial" drejtkëndor njëdimensionalme "mure" pafundësisht të larta

Le të bëjmë një analizë cilësore të zgjidhjeve të ekuacionit të Schrödinger-it siç aplikohet në një grimcë në një "pus potencial" drejtkëndor njëdimensional me "mure" pafundësisht të larta. Një "vrimë" e tillë përshkruhet nga energjia potenciale e formës (për thjeshtësi supozojmë se grimca lëviz përgjatë boshtit X)

Ku lështë gjerësia e "vrimës", dhe energjia llogaritet nga fundi i saj (Fig. 2).

Ekuacioni i Shrodingerit për gjendjet stacionare në rastin e një problemi njëdimensional do të shkruhet në formën:

. (1)

Sipas kushteve të problemit ("muret" pafundësisht të larta), grimca nuk depërton përtej "vrimës", prandaj probabiliteti i zbulimit të saj (dhe, rrjedhimisht, funksioni i valës) jashtë "vrimës" është zero. Në kufijtë e "gropës" (në X= 0 dhe x = 1) funksioni i valës së vazhdueshme duhet gjithashtu të zhduket.

Prandaj, kushtet kufitare në këtë rast kanë formën:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

Brenda "gropës" (0 ≤ X≤ 0) ekuacioni i Shrodingerit (1) do të reduktohet në ekuacionin:

ose . (3)

Ku k 2 = 2mE / ? 2.(4)

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial (3):

Ψ ( x) = A mëkat kx + B cos kx.

Meqë sipas (2) Ψ (0) = 0, atëherë B = 0. Atëherë

Ψ ( x) = A mëkat kx. (5)

Gjendja Ψ ( l) = A mëkat kl= 0 (2) plotësohet vetëm kur kl = nπ, Ku n- numra të plotë, d.m.th. është e nevojshme që

k = nπ/l. (6)

Nga shprehjet (4) dhe (6) rezulton se:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

d.m.th., ekuacioni i palëvizshëm i Shrodingerit, i cili përshkruan lëvizjen e një grimce në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta, është i kënaqur vetëm për vlerat vetjake. E p, në varësi të një numri të plotë P. Prandaj, energjia E f grimcat në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta pranojnë vetëm vlera të caktuara diskrete, pra të kuantizuara.

Vlerat e kuantizuara të energjisë E f quhen nivelet e energjisë dhe numri P, që përcakton nivelet e energjisë së një grimce quhet numri kuantik kryesor. Kështu, një mikrogrimcë në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta mund të jetë vetëm në një nivel të caktuar energjie. E p, ose, siç thonë ata, grimca është në gjendje kuantike P.

Zëvendësimi në (5) i vlerës k nga (6), gjejmë eigenfunksionet:

.

Konstante integrimi A gjejmë nga kushti i normalizimit, i cili për këtë rast do të shkruhet në formën:

.

Si rezultat i integrimit marrim , dhe eigenfunksionet do të kenë formën:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Grafikët e eigenfunksioneve (8) që korrespondojnë me nivelet e energjisë (7) në n= 1,2,3, treguar në Fig. 3, A. Në Fig. 3, b tregon densitetin e probabilitetit të zbulimit të një grimce në distanca të ndryshme nga "muret" e vrimës, e barabartë me Ψ n(x) 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) Për n = 1, 2 dhe 3. Nga figura rezulton se, për shembull, në një gjendje kuantike me n= 2, një grimcë nuk mund të jetë në mes të "vrimës", ndërsa po aq shpesh mund të jetë në pjesën e majtë dhe të djathtë të saj. Kjo sjellje e grimcave tregon se konceptet e trajektoreve të grimcave në mekanikën kuantike janë të paqëndrueshme.

Nga shprehja (7) rrjedh se intervali i energjisë midis dy niveleve ngjitur është i barabartë me:

Për shembull, për një elektron me dimensione pusi l= 10 -1 m (elektrone të lira në metal) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, d.m.th. Nivelet e energjisë janë të vendosura aq afër sa që spektri praktikisht mund të konsiderohet i vazhdueshëm. Nëse dimensionet e pusit janë të krahasueshme me ato atomike ( l ≈ 10 -10 m), pastaj për elektronin Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, d.m.th. Përftohen dukshëm vlera diskrete të energjisë (spektri i linjës).

Kështu, aplikimi i ekuacionit të Shrodingerit për një grimcë në një "pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta çon në vlera të kuantizuara të energjisë, ndërsa mekanika klasike nuk vendos asnjë kufizim në energjinë e kësaj grimce.

Për më tepër, një shqyrtim mekanik kuantik i këtij problemi çon në përfundimin se një grimcë "në një pus potencial" me "mure" pafundësisht të larta nuk mund të ketë një energji më të vogël se energjia minimale e barabartë me π 2. ? 2 /(2t1 2). Prania e një energjie minimale jozero nuk është e rastësishme dhe rrjedh nga lidhja e pasigurisë. Pasiguria e koordinatave Δ X grimcat në një "gropë" të gjerë l e barabartë me Δ X= l.

Atëherë, sipas relacionit të pasigurisë, impulsi nuk mund të ketë një vlerë të saktë, në këtë rast zero. Pasiguria e momentit Δ R ≈ h/l. Kjo përhapje e vlerave të momentit korrespondon me energjinë kinetike E min ≈(Δ fq) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Të gjitha nivelet e tjera ( p> 1) kanë një energji që tejkalon këtë vlerë minimale.

Nga formula (9) dhe (7) rezulton se për numrat e mëdhenj kuantikë ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/P“1, pra nivelet ngjitur janë të vendosura afër: sa më afër, aq më shumë P. Nëse Pështë shumë i madh, atëherë mund të flasim për një sekuencë pothuajse të vazhdueshme nivelesh dhe veçoria karakteristike e proceseve kuantike - diskretiteti - zbutet. Ky rezultat është një rast i veçantë i parimit të korrespondencës së Bohr (1923), sipas të cilit ligjet e mekanikës kuantike duhet të shndërrohen në ligjet e fizikës klasike në vlera të mëdha të numrave kuantikë.