Si të zgjidhet ekuacioni i dhënë kuadratik. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike

Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur një ekuacion të plotë kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.

D = b 2 – 4ac.

Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi numër pozitiv(D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Përgjigje: – 3,5; 1.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.

Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si një polinom i formës standarde

A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, kur shkruani ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, mund të vendosni gabimisht se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, fillimisht ekuacioni i plotë kuadratik duhet të shkruhet si polinom i formës standarde (monomi me treguesi më i lartë gradë, domethënë A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.

Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik koeficienti në termin e dytë është çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e dhëna në diagramin në Figurën 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 e barabartë me një dhe ekuacioni do të marrë formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar
ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3

Ju mund të vini re se koeficienti i x në këtë ekuacion numër çift, pra b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e dhëna në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.

Siç e shohim, kur zgjidhim këtë ekuacion me formula të ndryshme morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Përshkrimi bibliografik: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike // Shkencëtar i ri. 2016. Nr 6.1. P. 17-20..02.2019).



Projekti ynë ka të bëjë me mënyrat për të zgjidhur ekuacionet kuadratike. Qëllimi i projektit: Mësoni të zgjidhni ekuacionet kuadratike në mënyra që nuk përfshihen në kurrikulën e shkollës. Detyra: gjeni gjithçka mënyrat e mundshme zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike dhe mësimin e përdorimit të tyre vetë dhe prezantimin e këtyre metodave me shokët e klasës.

Cilat janë "ekuacionet kuadratike"?

Ekuacioni kuadratik - ekuacioni i formës sëpatë2 + bx + c = 0, Ku a, b, c- disa numra ( a ≠ 0), x- e panjohur.

Numrat a, b, c quhen koeficientë të ekuacionit kuadratik.

• a quhet koeficienti i parë;
• b quhet koeficienti i dytë;
• c - anëtar i lirë.

Kush ishte i pari që "shpiku" ekuacionet kuadratike?

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike janë njohur 4000 vjet më parë në Babilonia e lashtë. Gjendet Babilona e lashtë tableta balte, të datuara diku midis viteve 1800 dhe 1600 para Krishtit, janë dëshmia më e hershme e studimit të ekuacioneve kuadratike. Të njëjtat tableta përshkruajnë metodat për zgjidhjen e disa llojeve të ekuacioneve kuadratike.

Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë në kohët e lashta u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave parcelat e tokës dhe me punime tokësore të karakterit ushtarak, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës.

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Pavarësisht nivel të lartë zhvillimi i algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme i mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Matematikanët babilonas rreth shekullit të IV para Krishtit. përdori metodën e plotësimit të katrorit për të zgjidhur ekuacionet me rrënjë pozitive. Rreth vitit 300 para Krishtit Euklidi doli me një më të përgjithshme metodë gjeometrike Zgjidhjet. Matematikani i parë që gjeti zgjidhje për ekuacionet me rrënjë negative në formë formula algjebrike, ishte një shkencëtar indian Brahmagupta(Indi, shekulli VII pas Krishtit).

Brahmagupta parashtroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një të unifikuar formë kanonike:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficientët në këtë ekuacion mund të jenë gjithashtu negativë. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Konkurset publike në zgjidhjen e problemeve ishin të zakonshme në Indi. detyra të vështira. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: “Ndërsa dielli i eklipson yjet me shkëlqimin e tij, kështu njeri i ditur do të eklipsojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike.” Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Në një traktat algjebrik Al-Kuarizmi jepet një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th ax2 = bx.

2) "Katroret janë të barabartë me numrat", d.m.th. ax2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th ax2 = c.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th ax2 + c = bx.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th ax2 + bx = c.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c == ax2.

Për Al-Huarizmin, i cili shmangu përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa dhe jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat e al-xhabr dhe al-mukabal. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidh një ekuacion kuadratik jo të plotë të llojit të parë, Al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në veçanti probleme praktike nuk ka rëndësi. Kur zgjidhen ekuacionet e plota kuadratike të Al-Kuarizmit në pjesore shembuj numerikë parashtron rregullat e zgjidhjes dhe më pas vërtetimet gjeometrike të tyre.

Format për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të Al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202. Matematikan italian Leonard Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa të reja shembuj algjebrikë zgjidhjen e problemeve dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë.

Ky libër kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga ky libër u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 14-17. Rregulli i përgjithshëm zgjidhja e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një të unifikuar formë kanonike x2 + bх = с për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave dhe koeficientëve b, c, u formulua në Evropë në 1544. M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieta, por Vieta njihet vetëm rrënjë pozitive. Matematikanë italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ndër të parët në shekullin e 16-të. të marrë parasysh, përveç pozitive, dhe rrënjë negative. Vetëm në shekullin e 17-të. falë përpjekjeve Girard, Descartes, Njuton dhe shkencëtarë të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Le të shohim disa mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike.

Metodat standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike nga kurrikula shkollore:

1. Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit.
2. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë.
3. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulën.
4. Zgjidhje grafike ekuacioni kuadratik.
5. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës.

Le të ndalemi më në detaje në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara duke përdorur teoremën e Vietës.

Kujtojmë se për të zgjidhur ekuacionet kuadratike të mësipërme mjafton të gjejmë dy numra prodhimi i të cilëve është i barabartë me anëtar i lirë, dhe shuma - në koeficientin e dytë c shenjë e kundërt.

Shembull.x 2 -5x+6=0

Ju duhet të gjeni numra prodhimi i të cilëve është 6 dhe shuma e të cilëve është 5. Këta numra do të jenë 3 dhe 2.

Përgjigje: x 1 =2, x 2 =3.

Por këtë metodë mund ta përdorni edhe për ekuacione me koeficientin e parë jo të barabartë me një.

Shembull.3x 2 +2x-5=0

Merrni koeficientin e parë dhe shumëzojeni me termin e lirë: x 2 +2x-15=0

Rrënjët e këtij ekuacioni do të jenë numra prodhimi i të cilëve është - 15 dhe shuma e të cilëve është - 2. Këta numra janë 5 dhe 3. Për të gjetur rrënjët ekuacioni origjinal, ndani rrënjët që rezultojnë me koeficientin e parë.

Përgjigje: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e "hedhjes".

Konsideroni ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c = 0, ku a≠0.

Duke shumëzuar të dyja anët me a, marrim ekuacionin a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Le të ax = y, prej nga x = y/a; atëherë arrijmë në ekuacionin y 2 + nga + ac = 0, ekuivalent me atë të dhënë. Ne i gjejmë rrënjët e tij për 1 dhe 2 duke përdorur teoremën e Vietës.

Më në fund marrim x 1 = y 1 /a dhe x 2 = y 2 /a.

Me këtë metodë, koeficienti a shumëzohet me termin e lirë, sikur "i hidhet" atij, prandaj quhet metoda e "hedhjes". Kjo metodë përdoret kur rrënjët e ekuacionit mund të gjenden lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Shembull.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Le të "hedhim" koeficientin 2 në termin e lirë dhe të bëjmë një zëvendësim dhe të marrim ekuacionin y 2 - 11y + 30 = 0.

Sipas anasjellta e teoremës Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Përgjigje: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik.

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Nëse a+ b + c = 0 (d.m.th. shuma e koeficientëve të ekuacionit është zero), atëherë x 1 = 1.

2. Nëse a - b + c = 0, ose b = a + c, atëherë x 1 = - 1.

Shembull.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Meqenëse a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), atëherë x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Përgjigje: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Shembull.132x 2 + 247x + 115 = 0

Sepse a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), pastaj x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Përgjigje: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Ka veti të tjera të koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. por përdorimi i tyre është më kompleks.

8. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram.

Fig 1. Nomogram

Kjo është një metodë e vjetër dhe aktualisht e harruar e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, e vendosur në f. 83 të koleksionit: Bradis V.M. Tabelat e matematikës me katër shifra. - M., Edukimi, 1990.

Tabela XXII. Nomogram për zgjidhjen e ekuacionit z 2 + pz + q = 0. Ky nomogram lejon që, pa zgjidhur një ekuacion kuadratik, të përcaktohen rrënjët e ekuacionit nga koeficientët e tij.

Shkalla curvilineare e nomogramit është ndërtuar sipas formulave (Fig. 1):

Duke besuar OS = p, ED = q, OE = a(të gjitha në cm), nga Fig. 1 ngjashmëritë e trekëndëshave SAN Dhe CDF marrim proporcionin

e cila, pas zëvendësimeve dhe thjeshtimeve, jep ekuacionin z 2 + pz + q = 0, dhe letrën z nënkupton shenjën e çdo pike në një shkallë të lakuar.

Oriz. 2 Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram

Shembuj.

1) Për ekuacionin z 2 - 9z + 8 = 0 nomogrami i jep rrënjët z 1 = 8,0 dhe z 2 = 1,0

Përgjigje: 8.0; 1.0.

2) Duke përdorur një nomogram, zgjidhim ekuacionin

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Pjesëtojmë koeficientët e këtij ekuacioni me 2, marrim ekuacionin z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogrami jep rrënjët z 1 = 4 dhe z 2 = 0,5.

Përgjigje: 4; 0.5.

9. Metoda gjeometrike zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Shembull.X 2 + 10x = 39.

Në origjinal, ky problem është formuluar si më poshtë: "Katrori dhe dhjetë rrënjët janë të barabarta me 39".

Konsideroni një katror me anë x, drejtkëndëshat janë ndërtuar në anët e tij në mënyrë që ana tjetër e secilës prej tyre të jetë 2.5, prandaj sipërfaqja e secilit është 2.5x. Shifra që rezulton plotësohet më pas në një katror të ri ABCD, duke shtuar katër katrorë në qoshe. katror i barabartë, brinja e secilës prej tyre është 2,5, dhe sipërfaqja është 6,25

Oriz. 3 Metoda grafike zgjidhjet e ekuacionit x 2 + 10x = 39

Zona S e katrorit ABCD mund të paraqitet si shuma e sipërfaqeve të: katrorit origjinal x 2, katër drejtkëndëshave (4∙2.5x = 10x) dhe katër katrorëve shtesë (6.25∙4 = 25), d.m.th. S = x 2 + 10x = 25. Duke zëvendësuar x 2 + 10x me numrin 39, marrim se S = 39 + 25 = 64, që do të thotë se ana e katrorit është ABCD, d.m.th. segmenti AB = 8. Për anën e kërkuar x të katrorit origjinal fitojmë

10. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Bezout.

Teorema e Bezout. Pjesa e mbetur e pjesëtimit të polinomit P(x) me binomin x - α është e barabartë me P(α) (d.m.th., vlera e P(x) në x = α).

Nëse numri α është rrënja e polinomit P(x), atëherë ky polinom pjesëtohet me x -α pa mbetje.

Shembull.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Pjestoni P(x) me (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ose x-3=0, x=3; Përgjigje: x1 =2, x2 =3.

konkluzioni: Aftësia për të zgjidhur shpejt dhe racionalisht ekuacionet kuadratike është thjesht e nevojshme për të zgjidhur më shumë ekuacionet komplekse, Për shembull, ekuacionet racionale thyesore, ekuacionet gradat më të larta, ekuacionet bikuadratike, dhe ne gjimnaz trigonometrike, eksponenciale dhe ekuacionet logaritmike. Duke studiuar të gjitha mënyrat e gjetura për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, ne mund t'i këshillojmë shokët tanë të klasës, përveç metoda standarde, zgjidhja me metodën e transferimit (6) dhe zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur vetitë e koeficientëve (7), pasi ato janë më të arritshme për t'u kuptuar.

Literatura:

1. Bradis V.M. Tabelat e matematikës me katër shifra. - M., Edukimi, 1990.
2. Algjebra klasa e 8-të: tekst mësimor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky, botimi i 15-të, i rishikuar. - M.: Arsimi, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. Manual për mësuesit. / Ed. V.N. Më i ri. - M.: Arsimi, 1964.

Qëllimet:

• Prezantoni konceptin e një ekuacioni kuadratik të reduktuar;
• “zbuloni” marrëdhënien ndërmjet rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit të dhënë kuadratik;
• zhvilloni një interes për matematikën, duke treguar përmes shembullit të jetës së Vietit se matematika mund të jetë një hobi.

1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

Nr. 309(g) x 1 =7, x 2 =

Nr. 311(g) x 1 =2, x 2 =-1

Nr. 312 (d) pa rrënjë

Të gjithë kanë një tryezë në tryezën e tyre. Gjeni korrespondencën midis kolonës së majtë dhe të djathtë të tabelës.

Shkruani përgjigjet e sakta në tabelë.

1-Z; 2-E; 3-A; 4-K; 5 B; 6-I; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; 11-F.

Zgjidh ekuacionet:

a) -5x 2 + 8x -3=0;

Zgjidhje:

D=64 – 4(-5)(-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

b) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

Zgjidhje:

D=36 – 4 2 (-8)= 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

c) 2009 x 2 +x – 2010 =0

Zgjidhje:

a + b + c = 2009+1 + (-2010) =0, pastaj x 1 =1 x 2 =

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve

a) 2x 2 + 5x +3 = 0

Zgjidhje:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

b) -4x 2 -5x -1 =0

Zgjidhje:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

c)1150x2 +1135x -15 = 0

Zgjidhje:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

sëpatë 2 +in+c=0, nëse a-b+c=0, atëherë x 1 = – 1 x 2 =

5. Tema e re

Le të kontrollojmë përfundimin tuaj të detyrës së parë. Çfarë konceptesh të reja keni hasur? 11 – f, d.m.th.

Ekuacioni i dhënë kuadratik është x 2 + px + q = 0.

Tema e mësimit tonë.
Le të plotësojmë tabelën e mëposhtme.
Kolona e majtë është në fletore dhe një nxënës është në dërrasën e zezë.
Zgjidhja e ekuacionit akh 2 +in+c=0
Kolona e djathtë, studenti më i përgatitur në dërrasën e zezë
Zgjidhja e ekuacionit x 2 + px + q = 0, me a = 1, b = p, c = q

Mësuesi (nëse është e nevojshme) ndihmon, pjesa tjetër është në fletore.

X 2 – 6 X + 8 = 0,	D = 9 - 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	D = 9 - 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	D = 100 - 51 = 49	x 1 = 10 - 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 – 20 X – 69 = 0,	D = 100 - 69 = 31

Bazuar në rezultatet e llogaritjeve tona, ne do të plotësojmë tabelën.

Ekuacioni nr.	R	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Të krahasojmë rezultatet e marra me koeficientët e ekuacioneve kuadratike.
Çfarë përfundimi mund të nxirret?

Për herë të parë, lidhja midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik u vendos nga shkencëtari i famshëm francez Francois Viète (1540-1603).

François Viète ishte avokat me profesion dhe punoi për shumë vite si këshilltar i mbretit. Dhe megjithëse matematika ishte hobi i tij, ose siç thonë ata, një hobi, falë punës së palodhur ai arriti rezultate të shkëlqyera në të. Viet në 1591 prezantoi shënimin e shkronjave për të panjohurat dhe koeficientët e ekuacioneve. Kjo bëri të mundur shkrimin e rrënjëve dhe veçorive të tjera të ekuacionit duke përdorur formula të përgjithshme.

Disavantazhi i algjebrës së Vietës ishte se ajo njihte vetëm numra pozitivë. Per te shmangur vendime negative, ai zëvendësoi ekuacionet ose kërkoi zgjidhje artificiale, të cilat kërkonin shumë kohë, e ndërlikonin zgjidhjen dhe shpesh çonin në gabime.

Viète bëri shumë zbulime të ndryshme, por ai vetë vlerësoi më së shumti vendosjen e marrëdhënies midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik, domethënë marrëdhënies së quajtur "teorema e Viète".

Ne do ta shqyrtojmë këtë teoremë në mësimin tjetër.

Pyetje:

1. Cili ekuacion quhet ekuacion kuadratik i reduktuar?
2. Cila formulë mund të përdoret për të gjetur rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik?
3. Çfarë përcakton numrin e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik?
4. Cili është diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik të reduktuar?
5. Si lidhen rrënjët e ekuacionit kuadratik të mësipërm dhe koeficientët e tij?
6. Kush e bëri këtë lidhje?

klauzola 4.5, nr. 321(b,f) nr.322(a,d,g,h)

Plotësoni tabelën.

Ekuacioni	Rrënjët	Shuma e rrënjëve	Produkt i rrënjëve
X 2 – 8x + 7 = 0	1 dhe 7	8	7

Letërsia

CM. Nikolsky dhe të tjerët, Teksti mësimor "Algjebra 8" i serisë "MSU-School" - M.: Prosveshchenie, 2007.

Ne vazhdojmë të studiojmë temën " zgjidhjen e ekuacioneve" Tashmë jemi njohur me ekuacionet lineare dhe po kalojmë në njohjen ekuacionet kuadratike.

Së pari, ne do të shohim se çfarë është një ekuacion kuadratik, si shkruhet në formë të përgjithshme dhe do të japim përkufizime të lidhura. Pas kësaj, ne do të përdorim shembuj për të shqyrtuar në detaje se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Më pas, le të kalojmë në zgjidhjen e ekuacioneve të plota, të marrim formulën rrënjësore, të njihemi me diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik dhe të shqyrtojmë zgjidhjet shembuj tipikë. Së fundi, le të gjurmojmë lidhjet midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një ekuacion kuadratik? Llojet e tyre

Së pari ju duhet të kuptoni qartë se çfarë është një ekuacion kuadratik. Prandaj, është logjike të filloni një bisedë për ekuacionet kuadratike me përkufizimin e një ekuacioni kuadratik, si dhe përkufizimet përkatëse. Pas kësaj, ju mund të konsideroni llojet kryesore të ekuacioneve kuadratike: të reduktuara dhe të pareduktuara, si dhe ekuacione të plota dhe jo të plota.

Përkufizimi dhe shembuj të ekuacioneve kuadratike

Përkufizimi.

Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës a x 2 +b x+c=0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a është jo zero.

Le të themi menjëherë se ekuacionet kuadratike shpesh quhen ekuacione të shkallës së dytë. Kjo për faktin se ekuacioni kuadratik është ekuacioni algjebrik shkallë e dytë.

Përkufizimi i deklaruar na lejon të japim shembuj të ekuacioneve kuadratike. Pra 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, etj. Këto janë ekuacione kuadratike.

Përkufizimi.

Numrat a, b dhe c quhen koeficientët e ekuacionit kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dhe koeficienti a quhet i pari, ose më i larti, ose koeficienti i x 2, b është koeficienti i dytë, ose koeficienti i x, dhe c është termi i lirë .

Për shembull, le të marrim një ekuacion kuadratik të formës 5 x 2 −2 x −3=0, këtu koeficienti kryesor është 5, koeficienti i dytë është i barabartë me −2 dhe termi i lirë është i barabartë me −3. Vini re se kur koeficientët b dhe/ose c janë negativ, si në shembullin e sapo dhënë, atëherë formë e shkurtër duke shkruar një ekuacion kuadratik të formës 5 x 2 −2 x−3=0, dhe jo 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Vlen të përmendet se kur koeficientët a dhe/ose b janë të barabartë me 1 ose −1, ata zakonisht nuk janë të pranishëm në mënyrë eksplicite në ekuacionin kuadratik, gjë që është për shkak të veçorive të shkrimit të tillë. Për shembull, në ekuacionin kuadratik y 2 −y+3=0 koeficienti kryesor është një, dhe koeficienti i y është i barabartë me −1.

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara

Në varësi të vlerës së koeficientit prijës, dallohen ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara. Le të japim përkufizimet përkatëse.

Përkufizimi.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti kryesor është 1 dhënë ekuacionin kuadratik. Përndryshe ekuacioni kuadratik është i paprekur.

Sipas këtë përkufizim, ekuacionet kuadratike x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 etj. – dhënë, në secilën prej tyre koeficienti i parë është i barabartë me një. A 5 x 2 −x−1=0, etj. - ekuacionet kuadratike të pareduktuara, koeficientët kryesorë të tyre janë të ndryshëm nga 1.

Nga çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar, duke pjesëtuar të dyja anët me koeficientin kryesor, mund të shkoni te ai i reduktuar. Ky veprim është një transformim ekuivalent, domethënë, ekuacioni kuadratik i reduktuar i marrë në këtë mënyrë ka të njëjtat rrënjë me ekuacionin kuadratik të pareduktuar origjinal, ose, si ai, nuk ka rrënjë.

Le të shohim një shembull se si kryhet kalimi nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.

Shembull.

Nga ekuacioni 3 x 2 +12 x−7=0, kalohet në ekuacionin përkatës të reduktuar kuadratik.

Zgjidhje.

Thjesht duhet të ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me koeficientin kryesor 3, ai është jo zero, kështu që ne mund ta kryejmë këtë veprim. Kemi (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, që është e njëjtë, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dhe pastaj (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, nga ku . Kështu kemi marrë ekuacionin kuadratik të reduktuar, i cili është i barabartë me atë origjinal.

Përgjigje:

Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota

Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik përmban kushtin a≠0. Ky kusht është i nevojshëm në mënyrë që ekuacioni a x 2 + b x + c = 0 të jetë kuadratik, pasi kur a = 0 bëhet në të vërtetë një ekuacion linear i formës b x + c = 0.

Për sa u përket koeficientëve b dhe c, ata mund të jenë të barabartë me zero, si individualisht ashtu edhe së bashku. Në këto raste, ekuacioni kuadratik quhet jo i plotë.

Përkufizimi.

Quhet ekuacioni kuadratik a x 2 +b x+c=0 jo të plota, nëse të paktën njëri nga koeficientët b, c është i barabartë me zero.

Nga ana e saj

Përkufizimi.

Ekuacioni i plotë kuadratikështë një ekuacion në të cilin të gjithë koeficientët janë të ndryshëm nga zero.

Emra të tillë nuk u dhanë rastësisht. Nga arsyetimi i mëposhtëm do të bëhet e qartë.

Nëse koeficienti b është zero, atëherë ekuacioni kuadratik merr formën a·x 2 +0·x+c=0, dhe është ekuivalent me ekuacionin a·x 2 +c=0. Nëse c=0, pra ekuacioni kuadratik ka formën a·x 2 +b·x+0=0, atëherë ai mund të rishkruhet si a·x 2 +b·x=0. Dhe me b=0 dhe c=0 marrim ekuacionin kuadratik a·x 2 =0. Ekuacionet që rezultojnë ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshoren x, as një term të lirë, ose të dyja. Prandaj emri i tyre - ekuacione kuadratike jo të plota.

Pra, ekuacionet x 2 +x+1=0 dhe −2 x 2 −5 x+0.2=0 janë shembuj të ekuacioneve të plota kuadratike, dhe x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 janë ekuacione kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Nga informacioni në paragrafin e mëparshëm rezulton se ka tre lloje ekuacionesh kuadratike jo të plota:

• a·x 2 =0, me të korrespondojnë koeficientët b=0 dhe c=0;
• a x 2 +c=0 kur b=0 ;
• dhe a·x 2 +b·x=0 kur c=0.

Le të shqyrtojmë me radhë se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota të secilit prej këtyre llojeve.

a x 2 =0

Le të fillojmë me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota në të cilat koeficientët b dhe c janë të barabartë me zero, pra me ekuacione të formës a x 2 =0. Ekuacioni a·x 2 =0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, i cili përftohet nga origjinali duke pjesëtuar të dyja pjesët me një numër jo zero a. Natyrisht, rrënja e ekuacionit x 2 =0 është zero, pasi 0 2 =0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që shpjegohet me faktin se për çdo numër jo zero p vlen inekuacioni p 2 >0, që do të thotë se për p≠0 barazia p 2 =0 nuk arrihet kurrë.

Pra, ekuacioni kuadratik jo i plotë a·x 2 =0 ka një rrënjë të vetme x=0.

Si shembull, japim zgjidhjen e ekuacionit kuadratik jo të plotë −4 x 2 =0. Është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0, rrënja e vetme e tij është x=0, prandaj, ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme zero.

Një zgjidhje e shkurtër në këtë rast mund të shkruhet si më poshtë:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota në të cilat koeficienti b është zero dhe c≠0, pra ekuacione të formës a x 2 +c=0. Ne e dimë se lëvizja e një termi nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën me shenjën e kundërt, si dhe pjesëtimi i të dy anëve të ekuacionit me një numër jozero, jep një ekuacion të barabartë. Prandaj, ne mund të kryejmë sa vijon transformimet ekuivalente ekuacioni kuadratik jo i plotë a x 2 +c=0 :

• lëviz nga në anën e djathtë, i cili jep ekuacionin a x 2 =−c,
• dhe ndajmë të dyja anët me a, marrim .

Ekuacioni që rezulton na lejon të nxjerrim përfundime rreth rrënjëve të tij. Në varësi të vlerave të a dhe c, vlera e shprehjes mund të jetë negative (për shembull, nëse a=1 dhe c=2, atëherë ) ose pozitive (për shembull, nëse a=−2 dhe c=6, atëherë ), nuk është zero, pasi sipas kushtit c≠0. Do të analizojmë veçmas rastet dhe.

Nëse , atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Ky pohim rrjedh nga fakti se katrori i çdo numri është një numër jo negativ. Nga kjo rrjedh se kur , atëherë për çdo numër p barazia nuk mund të jetë e vërtetë.

Nëse , atëherë situata me rrënjët e ekuacionit është e ndryshme. Në këtë rast, nëse kujtojmë rreth , atëherë rrënja e ekuacionit bëhet menjëherë e dukshme është numri, pasi . Është e lehtë të merret me mend se numri është gjithashtu rrënja e ekuacionit, në të vërtetë, . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, të cilat mund të tregohen, për shembull, me kontradiktë. Le ta bejme.

Le të shënojmë rrënjët e ekuacionit të sapo shpallur si x 1 dhe −x 1 . Supozoni se ekuacioni ka një rrënjë më shumë x 2, të ndryshme nga rrënjët e treguara x 1 dhe −x 1. Dihet se zëvendësimi i rrënjëve të tij në një ekuacion në vend të x, e kthen ekuacionin në një barazi numerike të saktë. Për x 1 dhe −x 1 kemi , dhe për x 2 kemi . Vetitë e barazive numerike na lejojnë të kryejmë zbritjen term pas termi të barazive të sakta numerike, kështu që zbritja e pjesëve përkatëse të barazive jep x 1 2 −x 2 2 =0. Vetitë e veprimeve me numra na lejojnë të rishkruajmë barazinë që rezulton si (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Ne e dimë se prodhimi i dy numrave është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej tyre është i barabartë me zero. Prandaj, nga barazia që rezulton rrjedh se x 1 −x 2 =0 dhe/ose x 1 +x 2 =0, që është e njëjtë, x 2 =x 1 dhe/ose x 2 =−x 1. Pra, arritëm në një kontradiktë, pasi në fillim thamë se rrënja e ekuacionit x 2 është e ndryshme nga x 1 dhe −x 1. Kjo dëshmon se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç dhe .

Le të përmbledhim informacionin në këtë paragraf. Ekuacioni jo i plotë kuadratik a x 2 +c=0 është ekuivalent me ekuacionin që

• nuk ka rrënjë nëse,
• ka dy rrënjë dhe , nëse .

Le të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike jo të plota të formës a·x 2 +c=0.

Le të fillojmë me ekuacionin kuadratik 9 x 2 +7=0. Pas zhvendosjes së termit të lirë në anën e djathtë të ekuacionit, ai do të marrë formën 9 x 2 =−7. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9, arrijmë në . Meqenëse ana e djathtë ka një numër negativ, ky ekuacion nuk ka rrënjë, prandaj, ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik 9 x 2 +7 = 0 nuk ka rrënjë.

Le të zgjidhim një tjetër ekuacion kuadratik jo të plotë −x 2 +9=0. E zhvendosim nëntën në anën e djathtë: −x 2 =−9. Tani i ndajmë të dyja anët me −1, marrim x 2 =9. Në anën e djathtë ka një numër pozitiv, nga i cili konkludojmë se ose . Pastaj shkruajmë përgjigjen përfundimtare: ekuacioni jo i plotë kuadratik −x 2 +9=0 ka dy rrënjë x=3 ose x=−3.

a x 2 +b x=0

Mbetet të merremi me zgjidhjen e llojit të fundit të ekuacioneve kuadratike jo të plota për c=0. Ekuacionet kuadratike jo të plota të formës a x 2 + b x = 0 ju lejon të zgjidhni metoda e faktorizimit. Natyrisht, ne mundemi, të vendosur në anën e majtë të ekuacionit, për të cilin mjafton ta nxjerrim atë nga kllapat shumëzues i përbashkët x. Kjo na lejon të kalojmë nga ekuacioni fillestar jo i plotë kuadratik në një ekuacion ekuivalent të formës x·(a·x+b)=0. Dhe ky ekuacion është i barabartë me një grup prej dy ekuacionesh x=0 dhe a·x+b=0, ky i fundit është linear dhe ka një rrënjë x=−b/a.

Pra, ekuacioni jo i plotë kuadratik a·x 2 +b·x=0 ka dy rrënjë x=0 dhe x=−b/a.

Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë zgjidhjen për një shembull specifik.

Shembull.

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhje.

Duke marrë x nga kllapat jepet ekuacioni . Është ekuivalente me dy ekuacione x=0 dhe . Ne zgjidhim ekuacionin linear që rezulton: , dhe kryejmë ndarjen numër i përzier në thyesë e zakonshme, ne gjejme . Prandaj, rrënjët e ekuacionit origjinal janë x=0 dhe .

Pas fitimit të praktikës së nevojshme, zgjidhjet e ekuacioneve të tilla mund të shkruhen shkurtimisht:

Përgjigje:

x=0, .

Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Për të zgjidhur ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore. Le ta shkruajmë formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik: , Ku D=b 2 −4 a c- të ashtuquajturat diskriminues i një ekuacioni kuadratik. Hyrja në thelb do të thotë se.

Është e dobishme të dihet se si është nxjerrë formula e rrënjës dhe si përdoret për gjetjen e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Le ta kuptojmë këtë.

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Le të bëjmë disa transformime ekuivalente:

• Ne mund t'i ndajmë të dy anët e këtij ekuacioni me një numër jo zero a, duke rezultuar në ekuacionin kuadratik të mëposhtëm.
• Tani le të theksojmë katror i përsosur në anën e majtë të saj: . Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën.
• Në këtë fazë, është e mundur që dy termat e fundit të transferohen në anën e djathtë me shenjën e kundërt, kemi .
• Dhe le të transformojmë edhe shprehjen në anën e djathtë: .

Si rezultat, arrijmë në një ekuacion që është ekuivalent me ekuacionin kuadratik origjinal a·x 2 +b·x+c=0.

Ne kemi zgjidhur tashmë ekuacione të ngjashme në formë në paragrafët e mëparshëm, kur kemi ekzaminuar. Kjo ju lejon të bëni përfundimet e mëposhtme në lidhje me rrënjët e ekuacionit:

• nëse , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje të vlefshme;
• nëse , atëherë ekuacioni ka formën , pra, , nga e cila është e dukshme rrënja e vetme e tij;
• nëse , atëherë ose , e cila është e njëjtë me ose , domethënë, ekuacioni ka dy rrënjë.

Pra, prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit, dhe rrjedhimisht ekuacionit kuadratik origjinal, varet nga shenja e shprehjes në anën e djathtë. Nga ana tjetër, shenja e kësaj shprehjeje përcaktohet nga shenja e numëruesit, pasi emëruesi 4·a 2 është gjithmonë pozitiv, domethënë nga shenja e shprehjes b 2 −4·a·c. Kjo shprehje b 2 −4 a c u quajt diskriminues i një ekuacioni kuadratik dhe të përcaktuara me shkronjë D. Nga këtu thelbi i diskriminuesit është i qartë - bazuar në vlerën dhe shenjën e tij, ata përfundojnë nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, dhe nëse po, cili është numri i tyre - një ose dy.

Le të kthehemi te ekuacioni dhe ta rishkruajmë duke përdorur shënimin diskriminues: . Dhe ne nxjerrim përfundime:

• nëse D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• nëse D=0, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë të vetme;
• së fundi, nëse D>0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë ose, të cilat mund të rishkruhen në formën ose, dhe pasi t'i zgjerojmë dhe t'i çojmë thyesat në një emërues të përbashkët fitojmë.

Pra, kemi nxjerrë formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik, ato duken si , ku diskriminuesi D llogaritet me formulën D=b 2 −4·a·c.

Me ndihmën e tyre, me një diskriminues pozitiv, mund të llogaritni të dy rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Kur diskriminuesi është i barabartë me zero, të dyja formulat japin të njëjtën vlerë të rrënjës, që korrespondon me e vetmja zgjidhje ekuacioni kuadratik. Dhe kur diskriminues negativ Kur përpiqemi të përdorim formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, përballemi me nxjerrjen e rrënjës katrore të një numri negativ, gjë që na nxjerr jashtë qëllimit të kurrikulës shkollore. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale, por ka një çift konjuguar kompleks rrënjët, të cilat mund të gjenden duke përdorur të njëjtat formula rrënjë që kemi marrë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Në praktikë, kur zgjidhni ekuacionet kuadratike, mund të përdorni menjëherë formulën rrënjësore për të llogaritur vlerat e tyre. Por kjo lidhet më shumë me gjetjen e rrënjëve komplekse.

Megjithatë, në kursi shkollor algjebër zakonisht po flasim për jo për komplekse, por për rrënjët reale të një ekuacioni kuadratik. Në këtë rast, këshillohet që përpara se të përdorni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, fillimisht të gjeni diskriminuesin, të siguroheni që ai të jetë jo negativ (përndryshe, mund të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale). dhe vetëm atëherë llogaritni vlerat e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm na lejon të shkruajmë algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik. Për të zgjidhur ekuacionin kuadratik a x 2 +b x+c=0, duhet:

• duke përdorur formulën diskriminuese D=b 2 −4·a·c, njehsoni vlerën e saj;
• konkludojmë se një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale nëse diskriminuesi është negativ;
• njehsoni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën nëse D=0;
• gjeni dy rrënjë reale të një ekuacioni kuadratik duke përdorur formulën e rrënjës nëse diskriminuesi është pozitiv.

Këtu thjesht vërejmë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, mund të përdorni edhe formulën ajo do të japë të njëjtën vlerë si .

Mund të kaloni në shembuj të përdorimit të algoritmit për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Le të shqyrtojmë zgjidhjet e tre ekuacioneve kuadratike me pozitive, negative dhe e barabartë me zero diskriminuese. Duke u marrë me zgjidhjen e tyre, për analogji do të jetë e mundur të zgjidhet çdo ekuacion tjetër kuadratik. Le të fillojmë.

Shembull.

Gjeni rrënjët e ekuacionit x 2 +2·x−6=0.

Zgjidhje.

Në këtë rast kemi koeficientët e mëposhtëm të ekuacionit kuadratik: a=1, b=2 dhe c=−6. Sipas algoritmit, së pari duhet të llogarisni diskriminuesin për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë a, b dhe c të treguara në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Që 28>0, pra diskriminues Mbi zero, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë ato duke përdorur formulën rrënjësore, marrim , këtu mund të thjeshtoni shprehjet që rezultojnë duke bërë duke lëvizur shumëzuesin përtej shenjës së rrënjës e ndjekur nga zvogëlimi i fraksionit:

Përgjigje:

Le të kalojmë në shembullin tjetër tipik.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .

Zgjidhje.

Fillojmë duke gjetur diskriminuesin: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prandaj, ky ekuacion kuadratik ka një rrënjë të vetme, të cilën e gjejmë si , domethënë,

Përgjigje:

x=3.5.

Mbetet të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike me një diskriminues negativ.

Shembull.

Zgjidheni ekuacionin 5·y 2 +6·y+2=0.

Zgjidhje.

Këtu janë koeficientët e ekuacionit kuadratik: a=5, b=6 dhe c=2. Ne i zëvendësojmë këto vlera në formulën diskriminuese, që kemi D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminuesi është negativ, prandaj ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale.

Nëse keni nevojë të tregoni rrënjë komplekse, pastaj aplikojmë formula e njohur rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe kryejnë veprimet me numra komplekse :

Përgjigje:

nuk ka rrënjë të vërteta, rrënjët komplekse janë: .

Le të vërejmë edhe një herë se nëse diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është negativ, atëherë në shkollë ata zakonisht shkruajnë menjëherë një përgjigje në të cilën tregojnë se nuk ka rrënjë të vërteta dhe nuk gjenden rrënjë komplekse.

Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, ku D=b 2 −4·a·c ju lejon të merrni një formulë të një forme më kompakte, duke ju lejuar të zgjidhni ekuacionet kuadratike me një koeficient çift për x (ose thjesht me një koeficienti që ka formën 2·n, për shembull, ose 14· ln5=2·7·ln5 ). Le ta nxjerrim jashtë.

Le të themi se duhet të zgjidhim një ekuacion kuadratik të formës a x 2 +2 n x+c=0. Le të gjejmë rrënjët e tij duke përdorur formulën që njohim. Për ta bërë këtë, ne llogarisim diskriminuesin D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dhe më pas përdorim formulën rrënjësore:

Le të shënojmë shprehjen n 2 −a c si D 1 (nganjëherë shënohet D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik në shqyrtim me koeficientin e dytë 2 n do të marrë formën , ku D 1 =n 2 −a·c.

Është e lehtë të shihet se D=4·D 1, ose D 1 =D/4. Me fjalë të tjera, D 1 është pjesa e katërt e diskriminuesit. Është e qartë se shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D. Kjo do të thotë, shenja D 1 është gjithashtu një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Pra, për të zgjidhur një ekuacion kuadratik me një koeficient të dytë 2·n, ju duhet

• Njehsoni D 1 =n 2 −a·c ;
• Nëse D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Nëse D 1 =0, atëherë llogaritni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën;
• Nëse D 1 >0, atëherë gjeni dy rrënjë reale duke përdorur formulën.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e shembullit duke përdorur formulën rrënjësore të marrë në këtë paragraf.

Shembull.

Të zgjidhet ekuacioni kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .

Zgjidhje.

Koeficienti i dytë i këtij ekuacioni mund të paraqitet si 2·(−3) . Kjo do të thotë, ju mund të rishkruani ekuacionin kuadratik origjinal në formën 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, këtu a=5, n=−3 dhe c=−32, dhe të llogarisni pjesën e katërt të diskriminues: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Meqenëse vlera e tij është pozitive, ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i gjejmë duke i përdorur formula përkatëse rrënjët:

Vini re se ishte e mundur të përdorej formula e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast do të duhej të kryhej më shumë punë llogaritëse.

Përgjigje:

Thjeshtimi i formës së ekuacioneve kuadratike

Ndonjëherë, përpara se të filloni të llogaritni rrënjët e një ekuacioni kuadratik duke përdorur formula, nuk është e dëmshme të bëni pyetjen: "A është e mundur të thjeshtohet forma e këtij ekuacioni?" Pajtohu se në aspektin e llogaritjeve do të jetë më e lehtë të zgjidhet ekuacioni kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 sesa 1100 x 2 −400 x−600=0.

Në mënyrë tipike, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik arrihet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dyja anët me një numër të caktuar. Për shembull, në paragrafin e mëparshëm ishte e mundur të thjeshtohej ekuacioni 1100 x 2 −400 x −600=0 duke i ndarë të dyja anët me 100.

Një transformim i ngjashëm kryhet me ekuacione kuadratike, koeficientët e të cilave nuk janë . Në këtë rast, ne zakonisht ndajmë të dyja anët e ekuacionit me vlerat absolute koeficientët e tij. Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. vlerat absolute të koeficientëve të tij: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6, arrijmë në ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 −7 x+8=0.

Dhe shumëzimi i të dy anëve të një ekuacioni kuadratik zakonisht bëhet për të hequr qafe shanset thyesore. Në këtë rast, shumëzimi kryhet nga emëruesit e koeficientëve të tij. Për shembull, nëse të dyja anët e ekuacionit kuadratik shumëzohen me LCM(6, 3, 1)=6, atëherë ai do të marrë formën më të thjeshtë x 2 +4·x−18=0.

Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se ata pothuajse gjithmonë heqin qafe minusin në koeficientin më të lartë të një ekuacioni kuadratik duke ndryshuar shenjat e të gjithë termave, që korrespondon me shumëzimin (ose pjesëtimin) e të dy anëve me -1. Për shembull, zakonisht lëvizim nga ekuacioni kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 në zgjidhjen 2 x 2 +3 x−7=0 .

Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik shpreh rrënjët e ekuacionit përmes koeficientëve të tij. Bazuar në formulën e rrënjës, mund të merrni marrëdhënie të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Formulat më të njohura dhe më të zbatueshme nga teorema e Vietës janë të formës dhe . Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, duke parë formën e ekuacionit kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0, mund të themi menjëherë se shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me 7/3, dhe produkti i rrënjëve është i barabartë me 22. /3.

Duke përdorur formulat e shkruara tashmë, mund të merrni një sërë lidhjesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik. Për shembull, mund të shprehni shumën e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik përmes koeficientëve të tij: .

Bibliografi.

• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Libër mësuesi për nxënësit institucionet arsimore/ A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kjo temë mund të duket e vështirë në fillim për shkak të shumë jo aq formula të thjeshta. Jo vetëm që vetë ekuacionet kuadratike kanë shënime të gjata, por rrënjët gjenden edhe përmes diskriminuesit. Në total, fitohen tre formula të reja. Jo shumë e lehtë për t'u mbajtur mend. Kjo funksionon vetëm pas zgjidhje e përbashkët ekuacione të tilla. Atëherë të gjitha formulat do të mbahen mend vetë.

Pamje e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik

Këtu propozojmë regjistrimin e tyre eksplicit, kur më së shumti shkallë të lartë të shkruar së pari, dhe më pas në rend zbritës. Shpesh ka situata kur termat nuk janë në përputhje. Atëherë është më mirë të rishkruhet ekuacioni në rend zbritës të shkallës së ndryshores.

Le të prezantojmë disa shënime. Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.

Nëse i pranojmë këto shënime, të gjitha ekuacionet kuadratike reduktohen në shënimin vijues.

Për më tepër, koeficienti a ≠ 0. Le të caktohet kjo formulë numër një.

Kur jepet një ekuacion, nuk është e qartë se sa rrënjë do të ketë në përgjigje. Sepse një nga tre opsionet është gjithmonë e mundur:

• zgjidhja do të ketë dy rrënjë;
• përgjigja do të jetë një numër;
• ekuacioni nuk do të ketë fare rrënjë.

Dhe derisa vendimi të finalizohet, është e vështirë të kuptohet se cili opsion do të shfaqet në një rast të veçantë.

Llojet e regjistrimeve të ekuacioneve kuadratike

Mund të ketë hyrje të ndryshme në detyra. Ata nuk do të duken gjithmonë formulë e përgjithshme ekuacioni kuadratik. Ndonjëherë do t'i mungojnë disa terma. Ajo që u shkrua më lart është ekuacion i plotë. Nëse hiqni termin e dytë ose të tretë në të, ju merrni diçka tjetër. Këto regjistrime quhen gjithashtu ekuacione kuadratike, vetëm të paplota.

Për më tepër, vetëm termat me koeficientët "b" dhe "c" mund të zhduken. Numri "a" nuk mund të jetë i barabartë me zero në asnjë rrethanë. Sepse në këtë rast formula kthehet në një ekuacion linear. Formulat për formën jo të plotë të ekuacioneve do të jenë si më poshtë:

Pra, ka vetëm dy lloje, përveç atyre të plota, ka edhe ekuacione kuadratike jo të plota. Le të jetë formula e parë numri dy, dhe e dyta - tre.

Diskriminimi dhe varësia e numrit të rrënjëve nga vlera e tij

Ju duhet ta dini këtë numër për të llogaritur rrënjët e ekuacionit. Mund të llogaritet gjithmonë, pavarësisht se cila është formula e ekuacionit kuadratik. Për të llogaritur diskriminuesin, duhet të përdorni barazinë e shkruar më poshtë, e cila do të ketë numrin katër.

Pas zëvendësimit të vlerave të koeficientit në këtë formulë, mund të merrni numra me të shenja të ndryshme. Nëse përgjigja është po, atëherë përgjigja e ekuacionit do të jetë dy rrënjë të ndryshme. Nëse numri është negativ, nuk do të ketë rrënjë të ekuacionit kuadratik. Nëse është e barabartë me zero, do të ketë vetëm një përgjigje.

Si të zgjidhim një ekuacion të plotë kuadratik?

Në fakt, shqyrtimi i kësaj çështje tashmë ka filluar. Sepse së pari ju duhet të gjeni një diskriminues. Pasi të përcaktohet se ka rrënjë të ekuacionit kuadratik dhe numri i tyre është i njohur, duhet të përdorni formula për variablat. Nëse ka dy rrënjë, atëherë duhet të aplikoni formulën e mëposhtme.

Meqenëse përmban një shenjë "±", do të ketë dy kuptime. Shprehja nën shenjën e rrënjës katrore është diskriminuese. Prandaj, formula mund të rishkruhet ndryshe.

Formula numër pesë. Nga i njëjti regjistrim është e qartë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë të dy rrënjët do të marrin të njëjtat vlera.

Nëse zgjidhja e ekuacioneve kuadratike ende nuk është përpunuar, atëherë është më mirë të shkruani vlerat e të gjithë koeficientëve përpara se të aplikoni formulat diskriminuese dhe të ndryshueshme. Më vonë ky moment nuk do të shkaktojë vështirësi. Por në fillim ka një konfuzion.

Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë?

Gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu. Nuk ka nevojë as për formula shtesë. Dhe ato që tashmë janë shkruar për diskriminuesin dhe të panjohurin nuk do të nevojiten.

Le të shqyrtojmë së pari ekuacion jo të plotë në numrin dy. Në këtë barazi, është e nevojshme të nxirret sasia e panjohur nga kllapa dhe të zgjidhet ekuacioni linear, i cili do të mbetet në kllapa. Përgjigja do të ketë dy rrënjë. E para është domosdoshmërisht e barabartë me zero, sepse ekziston një shumëzues që përbëhet nga vetë ndryshorja. E dyta do të merret duke zgjidhur një ekuacion linear.

Ekuacioni i paplotë numër tre zgjidhet duke lëvizur numrin nga ana e majtë e barazimit në të djathtë. Pastaj ju duhet të pjesëtoni me koeficientin përballë të panjohurës. Mbetet vetëm të nxirrni rrënjën katrore dhe mos harroni ta shkruani dy herë me shenja të kundërta.

Më poshtë janë disa veprime që do t'ju ndihmojnë të mësoni se si të zgjidhni të gjitha llojet e barazive që kthehen në ekuacione kuadratike. Ato do ta ndihmojnë nxënësin të shmangë gabimet për shkak të pavëmendjes. Këto mangësi janë arsyeja nota të këqija gjatë studimit të temës së gjerë “Ekuacionet kuadratike (klasa e 8-të)”. Më pas, këto veprime nuk do të kenë nevojë të kryhen vazhdimisht. Sepse do të shfaqet një aftësi e qëndrueshme.

• Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin në formë standarde. Domethënë, së pari termi me më shumë në një masë të madhe variabël, dhe më pas - pa diplomë dhe së fundi - vetëm një numër.

• Nëse një minus shfaqet para koeficientit "a", mund të komplikojë punën për një fillestar që studion ekuacionet kuadratike. Është më mirë ta heqësh qafe. Për këtë qëllim, e gjithë barazia duhet të shumëzohet me "-1". Kjo do të thotë që të gjithë termat do të ndryshojnë shenjën në të kundërtën.

• Rekomandohet të hiqni qafe fraksionet në të njëjtën mënyrë. Thjesht shumëzojeni ekuacionin me faktorin e duhur në mënyrë që emëruesit të anulohen.

Shembuj

Kërkohet të zgjidhen ekuacionet e mëposhtme kuadratike:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ekuacioni i parë: x 2 − 7x = 0. Është i paplotë, prandaj zgjidhet siç përshkruhet për formulën numër dy.

Pasi e keni nxjerrë nga kllapat, rezulton: x (x - 7) = 0.

Rrënja e parë merr vlerën: x 1 = 0. E dyta do të gjendet nga ekuacioni linear: x - 7 = 0. Është e lehtë të shihet se x 2 = 7.

Ekuacioni i dytë: 5x 2 + 30 = 0. Përsëri i paplotë. Vetëm ajo zgjidhet siç përshkruhet për formulën e tretë.

Pasi të keni lëvizur 30 në anën e djathtë të ekuacionit: 5x 2 = 30. Tani ju duhet të pjesëtoni me 5. Rezulton: x 2 = 6. Përgjigjet do të jenë numrat: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Ekuacioni i tretë: 15 − 2х − x 2 = 0. Këtu e më tej, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike do të fillojë me rishkrimin e tyre në pamje standarde: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tani është koha për të përdorur të dytën këshilla të dobishme dhe shumëzoni gjithçka me minus një. Rezulton x 2 + 2x - 15 = 0. Duke përdorur formulën e katërt, duhet të llogaritni diskriminuesin: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Është një numër pozitiv. Nga sa u tha më sipër, rezulton se ekuacioni ka dy rrënjë. Ato duhet të llogariten duke përdorur formulën e pestë. Rezulton se x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pastaj x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ekuacioni i katërt x 2 + 8 + 3x = 0 shndërrohet në këtë: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminuesi i tij është i barabartë me këtë vlerë: -23. Meqenëse ky numër është negativ, përgjigja për këtë detyrë do të jetë hyrja e mëposhtme: "Nuk ka rrënjë".

Ekuacioni i pestë 12x + x 2 + 36 = 0 duhet të rishkruhet si më poshtë: x 2 + 12x + 36 = 0. Pas zbatimit të formulës për diskriminuesin, fitohet numri zero. Kjo do të thotë se do të ketë një rrënjë, përkatësisht: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Ekuacioni i gjashtë (x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2) kërkon transformime, të cilat konsistojnë në sjelljen terma të ngjashëm, përpara se të hapni kllapat. Në vend të së parës do të ketë shprehjen e mëposhtme: x 2 + 2x + 1. Pas barazisë, do të shfaqet kjo hyrje: x 2 + 3x + 2. Pasi të numërohen termat e ngjashëm, ekuacioni do të marrë formën: x 2 - x = 0. Është bërë jo i plotë. Diçka e ngjashme me këtë tashmë është diskutuar pak më lart. Rrënjët e kësaj do të jenë numrat 0 dhe 1.