POTENCIALE

Potenciali
Funksioni dhe potenciali i mundshëm. - Me një forcë të aplikuar në një pikë materiale dhe që ka një funksion potencial ose forcë, nënkuptojmë një forcë projeksionet e së cilës X, Y, Z në boshtet koordinative shprehen si derivate të një funksioni dhe (nga koordinatat x, y, z të pika) përgjatë koordinatave përkatëse, d.m.th. Një funksion i tillë U quhet funksioni P. i kësaj force. Me sa dihet, i pari që vuri në dukje ekzistencën e një funksioni të tillë, dhe konkretisht për gravitetin, ishte Laplace (“Mecanique celeste”); dhe vetë termi: funksioni P. gjendet në esenë e Green-it: “Një ese mbi aplikimin e analizës matematikore në teoritë e elektricitetit dhe magnetizmit”, botuar në 1828; por nuk mund të garantohet për faktin se Green ishte i pari që prezantoi këtë emër. Nëse një sistem pikash materiale i nënshtrohet vetëm forcave të tilla, projeksionet e të cilave në boshtet koordinative janë derivate në lidhje me koordinatat përkatëse të një funksioni U të koordinatave të pikave të sistemit, atëherë ky funksion U quhet potencialin e forcave të këtij sistemi. Fakti është se të gjitha forcat e natyrës i përkasin pikërisht numrit të këtyre forcave; jep mjaft e rëndësishme potencial dhe P. funksionet në mekanikë dhe fizikë. Para së gjithash, është e nevojshme të tregohet se si ndryshon ligji i përgjithshëm i ndryshimit të fuqisë punëtore sistemi material, nëse forcat që veprojnë mbi të kanë potencial. Çështja është se shuma punë bazë forcat e tilla me lëvizje infiniteminale të sistemit janë të barabarta me ndryshimin diferencial ose infinitimal të potencialit dU, dhe meqenëse e njëjta sasi, sipas ligji i përgjithshëm ndryshimi në forcën e gjallë është i barabartë me një ndryshim pafundësisht të vogël dT në forcën e gjallë T të sistemit, pastaj dT = dU dhe kështu T - U = h, ku h është një vlerë konstante gjatë gjithë lëvizjes së sistemit. Forca e gjallë e një sistemi zakonisht quhet e saj energjia kinetike, dhe funksioni negativ U - energji potenciale. Barazia T - U=h shpreh se shuma e të dy energjive mbetet konstante gjatë lëvizjes, ose siç thonë: energjia totale e sistemit mbetet konstante gjatë lëvizjes. Ndër forcat që kanë potencial janë forcat tërheqje reciproke ose zmbrapsja ndërmjet dy pikave materiale, nëse këto forca janë të barabarta dhe të kundërta, të drejtuara përgjatë një linje që kalon nëpër të dyja pikat dhe madhësitë e tyre janë të barabarta me çdo funksion f(r) të pikave të distancës r. Potenciali i forcave të tilla ndërvepruese është vendi ku duhet të vendoset shenja e sipërme (plus) në rastin e forcave të zmbrapsjes, dhe shenja e poshtme (minus) në rastin e forcave tërheqëse. Për shembull, për forcat gravitacionale që i binden ligjit të Njutonit, madhësia e forcave të tërheqjes ndërmjet pikave materiale me masa m dhe M është e barabartë me raportin e mM me r2, prandaj potenciali i këtyre dy forcave do të jetë këtu e një shumëzues, vlera e saktë e së cilës mund të përcaktohet me njohuri të plotë të llojit të sipërfaqes së tokës, strukturën e brendshme saj dhe madhësinë e nxitimit të gravitetit në vende të ndryshme në sipërfaqen e saj. Nëse ka një trup të fortë. grimcat e të cilit tërhiqen pikë materiale Sipas ligjit të Njutonit, rezultanta e forcave tërheqëse mund të përcaktohet nëse përcaktojmë funksionin P. të këtyre forcave. Laplace, Poisson dhe Gauss ("AllgemeineLebrsatze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadratsder Entfernung wirkenden Krafte"; "C. F. Gauss Werke", vëll. 5) vërtetuan se funksioni P. i forcave të tilla ka vetitë e mëposhtme, nëse dimensionet e trupit nuk janë pafundësisht të mëdha dhe nëse dendësia e tij nuk është askund e pafundme madhësi të madhe: a) P. Funksioni V i forcave të tërheqjes nga një trup i një pike është funksion i koordinatave të tij x, y, z, të vazhdueshme dhe të fundme, b) derivatet e tij janë gjithashtu të vazhdueshme dhe të fundme. c) Shuma e tre derivateve të rendit të dytë: kur pika ndodhet jashtë trupit dhe d) kjo shumë D2V është e barabartë me - 4pesm kur pika ndodhet brenda trupit; këtu s nënkupton dendësinë e trupit në vendin ku ndodhet pika e tërhequr, m është masa e tij. Prona c u vërtetua nga Laplace, prona d - nga Poisson. P. funksion top homogjen dendësia s, rrezja R dhe masa M =4/3perR2 për pikën e masës e barabartë me një e shprehur me raportin eM me r (ku r është distanca e pikës nga qendra e topit), nëse pika është jashtë topit; prandaj, forca e tërheqjes që vepron në pikë është e drejtuar drejt qendrës së topit, është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e distancës r dhe është sikur e gjithë masa e topit të jetë e përqendruar në qendër të tij. Nëse një pikë ndodhet në masën e topit në një distancë r nga qendra, atëherë funksioni P shprehet si më poshtë: 2pes (R2 - 1/3 r2) dhe forca e tërheqjes drejtohet përsëri drejt qendrës së top, por ka një vlerë prej 4/3epsr, ose d.m.th. është e barabartë me raportin eM1 me r2, ku M1=4/3psr3 është masa e asaj pjese të topit që ndodhet brenda sferës me rreze y. Nga kjo rezulton se shtresa e topit, e cila shtrihet midis sferave të rrezeve R dhe r, nuk ushtron tërheqje në pikë. Nëse përcaktojmë tërheqjen e ushtruar nga një shtresë sferike homogjene e vendosur midis sferave koncentrike ose një shtresë homogjene e vendosur midis dy elipsoideve koncentrikë dhe të ngjashëm në një pikë të vendosur brenda zgavrave të zbrazëta të secilit prej këtyre trupave, atëherë rezulton se nuk ka veprim të forcat brenda zgavrës.

Shtoni një koment në një fjalë POTENCIALE

Mund të lini një koment për fjalën POTENCIALE. Pas kontrollit të të dhënave, komenti do të publikohet.

Supozoni se ju duhet të ndani dy imazhe të ndara V 1 dhe V 2. Kjo do të thotë që në hapësirën e imazhit ka të paktën një funksion që ndan plotësisht grupet që korrespondojnë me imazhet V 1 dhe V 2. Ky funksion duhet të marrë vlera pozitive në pikat që korrespondojnë me objektet që i përkasin imazhit V 1, dhe vlera negative në pikat e figurës V 2. NË rast i përgjithshëm Mund të ketë shumë funksione të tilla ndarëse, sa më kompakte të jenë grupet e ndara, aq më kompakte janë ato. Gjatë procesit mësimor, është e nevojshme të ndërtohet një nga këto funksione, ndonjëherë në një farë kuptimi më i miri.

Metoda e funksionit të mundshëm lidhet me procedurën e mëposhtme. Gjatë procesit të të mësuarit, çdo pikë në hapësirën e imazhit që i korrespondon një objekti të vetëm nga sekuenca e trajnimit shoqërohet me një funksion U(X, X i), të specifikuar në të gjithë hapësirën dhe në varësi të X i si parametër. Funksione të tilla quhen potencial sepse ngjajnë me funksionet potenciale të fushës elektrike rreth një ngarkese elektrike pikë. Ndryshimi në potencialin e fushës elektrike ndërsa largoheni nga ngarkesa është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e distancës. Kështu, potenciali mund të shërbejë si masë e distancës së një pike nga një ngarkesë. Kur një fushë formohet nga disa ngarkesa, potenciali në secilën pikë të kësaj fushe e barabartë me shumën potencialet e krijuara në këtë pikë nga secila prej ngarkesave. Nëse ngarkesat që formojnë fushën janë të vendosura në një grup kompakt, potenciali i fushës do të ketë vlera më e lartë brenda një grupi ngarkesash dhe zvogëlohet me largësinë prej tij.

Sekuenca e trajnimit të objekteve korrespondon me një sekuencë vektorësh X 1 , X 2 , …, në hapësirën e imazhit me të cilin sekuenca U(X, X 1), U(X, X 2), … shoqërohet me funksionet e mundshme të përdorura për të ndërtuar funksionet f(X 1 , X 2 , …). Ndërsa numri i objekteve rritet gjatë procesit mësimor, funksioni f duhet të priret në një nga funksionet ndarëse. Si rezultat i trajnimit, funksionet e mundshme për çdo imazh mund të ndërtohen:

,
, (f. 3)

Si funksion ndarës f(X) mund të zgjidhni funksioni i formës:

, (f. 4)

që është pozitive për objektet e një imazhi dhe negative për objektet e një tjetri.

Si funksion potencial, merrni parasysh një funksion të formës

(f. 5)

ku  j (X) - lineare sistem i pavarur funksione;  j - numra realë

, i ndryshëm nga zero për të gjithë j = 1, 2, … ; X i është pika që i korrespondon objektit i-të nga sekuenca e trajnimit. Supozohet se  j (X) dhe U(X, X i) janë të kufizuara për XV 1  V 2 ;  j (X)= j  j (X).

Gjatë procesit të të mësuarit, paraqitet një sekuencë trajnimi dhe në çdo cikël të nëntë trajnimi ndërtohet një përafrim f n (X), i karakterizuar nga procedura kryesore e përsëritur vijuese:

, (f. 6)

Llojet e algoritmeve të funksioneve të mundshme ndryshojnë në zgjedhjen e vlerave q n dhe r n, të cilat janë funksione fikse të numrit n. Si rregull, q n 1, dhe r n zgjidhet si:

, (f. 7)

ku S(f n , f) janë funksione jo në rritje, dhe

(f. 8) sekuenca e numrave, në varësi vetëm nga numri n. Përveç kësaj, dhe (për shembull,  n =1/n) ose  n =konst.

Janë zhvilluar disa variante të algoritmeve të funksionit të mundshëm, ndryshimi midis të cilave qëndron në zgjedhjen e ligjeve të korrigjimit për funksionin ndarës nga hapi në hap, d.m.th në zgjedhjen e ligjeve të korrigjimit për funksionin ndarës nga hapi në hap, d.m.th. i koeficientëve r n. Ne paraqesim dy algoritme kryesore për funksionet e mundshme.

1. Supozojmë se f 0 (X)0 (përafrim zero). Si rezultat i zbatimit të algoritmit, pas hapit të n-të, të ndërtohet një funksion ndarës f n (X) dhe në hapin e (n+1) të paraqitet një imazh X n +1, për të cilin vlera aktuale. i funksionit ndarës f(X n +1) është i njohur. Më pas ndërtohet funksioni f n+1 (X) sipas rregulli tjetër:

(f. 9)

2. Në algoritmin e dytë supozohet gjithashtu se f 0 (X)0. Kalimi në përafrimin tjetër, pra kalimi nga funksioni f n (X) në f n +1 (X), kryhet si rezultat i procedurës së mëposhtme të përsëritur:

(f. 10)

ku  është një konstante pozitive arbitrare që plotëson kushtin =(1/2)max(X, X i).

Nëse në (f. 5) marrim

,

dhe supozojmë se x v mund të ketë vetëm dy vlera 0 dhe 1, atëherë në këtë rast algoritmi i funksioneve të mundshme do të përkojë me qarkun e perceptronit me pragjet individuale të elementeve A dhe korrigjimin e gabimit. Prandaj shumë parimet teorike Metodat e funksionit të mundshëm mund të aplikohen me sukses për të analizuar disa qarqe perceptron.

(fluksi magnetik) përmes një sipërfaqe arbitrare S, e cila qëndron në konturin L:

$\overrightarrow(n\)$ është një normale pozitive në S, e cila formon një sistem të djathtë me drejtimin e rrymës. Kjo rrjedhje varet vetëm nga vendndodhja e konturit L, por nuk varet nga forma e sipërfaqes S. Duke përdorur përkufizimin potenciali vektorial:

rrjedha mund të shkruhet si:

Pra, ne zbuluam se fluksi magnetik Ф përmes qarkut L është i barabartë me qarkullimin e potencialit vektor përgjatë një qarku të caktuar. Nëse e lëvizni konturin elementare punë mekanike Forca e fushës $\delta A\ \ $magnetic$ mund të përfaqësohet si:

ku $\delta Ф$ është rritja e fluksit magnetik nëpër sipërfaqen e lidhur me qarkun mbartës të rrymës.

Formula (4) tregon se puna e forcave pondemotive fushë magnetike sepse çdo lëvizje e rrymës është e barabartë me produktin e ndryshimit të fluksit magnetik dhe fuqisë së rrymës. Rrjedhimisht, lëvizjet gjatë të cilave fluksi magnetik përmes qarkut nuk ndryshon nuk shoqërohen me funksionimin e fushës magnetike.

Le të prezantojmë shënimin:

Në këtë rast, ekuacioni (4) do të marrë formën:

ku indeksi I do të thotë që gjatë përcaktimit të rritjes së funksionit U, fuqia e rrymës e konsiderojmë konstante. NË në këtë rast funksioni U vepron si një funksion potencial ose forcë i rrymës në një fushë magnetike. Rrjedhimisht, formula (6) do të thotë që puna e forcave pondemotive të fushës magnetike është e barabartë me uljen e funksionit të rrymës potenciale.

Nëse funksioni U shprehet në varësi të koordinatave "të përgjithësuara" $q_i$, të cilat karakterizojnë pozicionin e ciklit mbartës të rrymës, forca pondemotive e "përgjithësuar" $(\theta )_i$, e cila vepron në ciklin mbartës të rrymës. në drejtim të cilësdo prej koordinatave $q_i,$ mund të përfaqësohen si:

Vetia (7) e funksionit të forcës U, megjithatë, nuk jep të drejtën për ta identifikuar atë me energjinë potenciale të fushës magnetike. Meqenëse kur një përcjellës me rrymë lëviz në një fushë magnetike, funksionojnë jo vetëm forcat pondemotive, por edhe forcat elektromotore. Kjo do të thotë se ndryshimi në energjinë e fushës magnetike kur lëviz një përcjellës nuk mund të barazohet me punën e forcave të fushës pondemotive.

Futja e një funksioni të rrymës potenciale e bën më të lehtë marrjen në konsideratë të forcave pondemotive që veprojnë në rrymat në një fushë magnetike, pasi kjo eliminon përmbledhjen komplekse të forcave që veprojnë në elemente individuale aktuale

Kështu, për shembull, nga ekuacionet (6) dhe (7) rezulton se ekuilibër të qëndrueshëm kontur me DC i përgjigjet minimumit të funksionit potencial U ose sipas (5) maksimumit të fluksit magnetik Ф.

Funksioni i rrymës së mundshme për rrymat me shumicë

Në rastin kur është e pamundur të mos merret parasysh ndryshimi i induksionit magnetik në të gjithë seksionin kryq aktual, ato kalojnë nga rrymat lineare në rrymat vëllimore. Për ta bërë këtë, në ekuacionin (5) ne zëvendësojmë në vend të fluksit magnetik anën e djathtë ekuacioni (3), marrim:

Pastaj kalojmë në rrymat vëllimore, atëherë funksioni i rrymës potenciale përcaktohet si:

Shembulli 1

Detyrë: Korniza është në një fushë magnetike uniforme me induksion B dhe është e fiksuar në mënyrë që të mund të rrotullohet rreth boshtit të saj (Fig. 1). Sipërfaqja e tij është e barabartë me S. Një rrymë e forcës I kalon nëpër të. Këndi $\alfa $ është ndërmjet normales pozitive ndaj kornizës dhe vektorit $\mbidrejtë shigjetë(B).$ Në çfarë pozicioni është korniza. të ekuilibrit të qëndrueshëm?

Fluksi magnetik (F) përmes kornizës është i barabartë me:

\[Ф=BScos\alfa \ \majtas(1.1\djathtas).\]

atëherë funksioni aktual aktual do të duket si ky:

Momenti i forcave të aplikuara në kornizën e forcave, i cili tenton të rrotullojë kornizën, është i barabartë me:

Pozicioni i ekuilibrit të kornizës korrespondon me M=0. Domethënë, $\alfa =0,\ \alfa =\pi .$ Këndi i parë i përgjigjet minimumit të funksionit potencial, këndi i dytë i përgjigjet maksimumit të funksionit potencial. Prandaj, vetëm këndi i parë korrespondon me ekuilibrin e qëndrueshëm.

Përgjigje: Forcat pondemotore të fushës magnetike tentojnë të rrotullojnë kornizën mbartëse të rrymës në mënyrë që normalja pozitive të përputhet me linjat e fushës.

Shembulli 2

Detyrë: Merrni parasysh bashkëveprimin e dy rrymave lineare të mbyllura $I_1\ dhe\ I_2$, të cilat rrjedhin rreth kontureve $L_1\ dhe\ L_2$, respektivisht. Fluksi magnetik që formon rryma e dytë përmes qarkut të parë të rrymës është i barabartë me $Ф_(21)=I_2L_(21)$, $Ф_(12)=I_1L_(12)$ është fluksi magnetik i rrymës së parë përmes së dytës qarku aktual, këtu $L_ (21)=L_(12)$ -- quhen koeficientët e ndërsjellë të induksionit të qarqeve $L_1\ dhe\ L_2$. Koeficientët e ndërsjellë të induksionit varen nga konfigurimi, pozicioni relativ konturet dhe drejtimi i kalimit të tyre. Fuqitë aktuale në qarqe janë konstante. Shkruani shprehjet për forcat pondemotore që veprojnë në rryma dhe shprehjen për punën përkatëse.

Le të shkruajmë shprehje për funksionet e mundshme të rrymave. Për $I_1$ aktual në fushën e $I_2 aktuale\ $ ne marrim:

Për $I_2$ aktual në fushën e $I_1 aktuale\ $ kemi:

Meqenëse $\L_(12)$=$L_(12)$, pra, $U_(21)=U_(12)$. Forcat e përgjithësuara pondemotive $(\theta )_i$ janë të barabarta me:

\[(\theta)_i=-\frac((\left(\partial U\right)_I)(\partial q_i)=(I_1I)_2\frac(\partial L_(12))(\partial q_i) \majtas(2.3\djathtas).\]

Meqenëse rrymat janë konstante, marrim:

\[\theta =(I_1I)_2\frac(\pjesshme L_(12))(\pjesshme q_i)\majtas(2.4\djathtas).\]

Punë forcat mekanikeështë e barabartë me:

\[\delta A=-(\left(\delta U_(12)\djathtas))_I=(I_1I)_2\delta L_(12)\left(2.5\djathtas).\]

Ndërveprimi mekanik i rrymave të mbyllura plotëson parimin e "veprimit të barabartë me reagimin", pasi forcat e përjetuara nga secila rrymë përcaktohen. të njëjtat funksione$U_(12)=U_(21)$, të cilat varen vetëm nga vendndodhja relative e kontureve.

Përgjigje: $\theta =(I_1I)_2\frac(\pjesshme L_(12))(\pjesshme q_i).\ \ \delta A=(I_1I)_2\delta L_(12).$

Në vitet '60, M. A. Aizerman, E. M. Braverman, L. I. Rozonoer propozuan përdorimin e metodës së funksioneve të mundshme që ata zhvilluan për të zgjidhur problemet e njohjes së modeleve të mësimdhënies. Kjo metodë zbaton gjithashtu idenë e një procedure të përsëritur për minimizimin e rrezikut mesatar. Në lidhje me problemin e njohjes së modeleve të mësimdhënies, thelbi i metodës është si më poshtë. Një funksion i quajtur "potencial" është specifikuar në hapësirën e vektorëve hyrës. Potenciali përcakton afërsinë e dy pikave, dhe zakonisht jepet si funksion i distancës midis pikave. Funksioni potencial është zakonisht i tillë që zvogëlohet në mënyrë monotonike me rritjen e distancës. Shembuj të një funksioni të mundshëm përfshijnë

, ,

Ku - largësia nga pika drejt e në temë ; – konstante.

Me ndihmën e funksioneve të tilla, një fushë potenciale formohet në hapësirë. Një vektor konsiderohet se i përket klasës së parë nëse potenciali i fushës në pikë është pozitiv; përndryshe, vektori i përket klasës së dytë. Prandaj, procesi mësimor konsiston në ndërtimin me ndihmën e një sekuence trajnimi fushë potenciale.

Interpretimi gjeometrik i metodës për ndërtimin e një fushe potenciale është shumë i qartë (Fig. 9).

Lëreni makinës t'i mësohet një sekuencë trajnimi. Kur shfaqet elementi i parë i sekuencës së trajnimit, një potencial "lëshohet" me qendrën e tij në pikën . Shenja e potencialit përcaktohet se cilës klasë i përket shembulli i paraqitur: nëse i përket të parës, atëherë shenja e potencialit është pozitive, nëse e dyta, atëherë është negative. Tani jepet një potencial i caktuar në hapësirë. Për elementin e dytë të sekuencës së trajnimit, vlera e mundshme mund të llogaritet. Nëse vlera e mundshme është pozitive, dhe elementi i sekuencës së trajnimit i përket klasës së parë, atëherë fusha e mundshme në hapësirë ​​nuk ndryshon; nëse madhësia e potencialit në pikë është pozitive, dhe vektori duhet t'i caktohet klasës së dytë, atëherë një potencial i ri "lëshohet" nga pika, por me shenjë negative. Tani një potencial i ri total vepron në hapësirë

Në mënyrë të ngjashme, nëse bëhet një gabim gjatë klasifikimit të një elementi të sekuencës së stërvitjes duke përdorur potencialin total, potenciali ndryshohet në mënyrë që të korrigjohet gabimi sa më shumë që të jetë e mundur.

Kështu, rezultati i trajnimit në metodën e funksioneve të mundshme është ndërtimi i një fushe potenciale në hapësirë

(këtu numri kryesor në shumë do të thotë që përmbledhja nuk kryhet mbi të gjithë elementët e sekuencës së trajnimit, por vetëm mbi ato në të cilat është bërë një "gabim").

Kjo fushë e ndan të gjithë hapësirën në dy pjesë: një pjesë të hapësirës ku vlera e potencialit total është pozitive (të gjitha pikat në këtë pjesë të hapësirës konsiderohen se i përkasin klasës së parë) dhe pjesët ku janë vlerat e mundshme. negative (pikat në këtë pjesë të hapësirës konsiderohen se i përkasin klasës së dytë). Sipërfaqja në të cilën potenciali merr vlera zero është sipërfaqja ndarëse.

Rezulton se për çdo lloj potenciali ekziston një sistem funksionesh (në përgjithësi, e pafund!) e tillë që të gjitha sipërfaqet e mundshme ndarëse që mund të përftohen duke përdorur metodën e funksionit potencial mund të përftohen duke përdorur perceptronin Rosenblatt, ku hapësira korrigjuese përkatëse jepet nga transformimet . Nga ana tjetër, për çdo perceptron mund të gjendet lehtësisht funksioni i mundshëm përkatës.

Kështu, metoda e funksionit potencial është afër metodave të perceptronit të Rosenblatt. Për metodën e funksionit të mundshëm, të njëjtat modifikime janë të mundshme si për perceptronin Rosenblatt.

: Auroras - Praia. Burimi: vëll. XXIVa (1898): Aurorat- Praya, s. 731-733 ()

Funksioni i mundshëm Dhe potencial.- Në artikujt Parimi i Hamiltonit (VIII, 66), Mekanika (XIX, 218) dhe disa të tjerë u përmendën forca që kanë potencial ose funksion potencial. Me një forcë të aplikuar në një pikë materiale dhe që ka një funksion potencial ose forcë, nënkuptojmë një forcë, projeksionet e së cilës X, Y, Z në boshtet e koordinatave shprehen si derivate të një funksioni U (nga koordinatat x, y, z të pikë) përgjatë koordinatave përkatëse, d.m.th.

Një funksion i tillë U quhet funksioni P. i kësaj force. Me sa dihet, i pari që vuri në dukje ekzistencën e një funksioni të tillë, dhe veçanërisht për forcat gravitacionale, ishte Laplace (“Mécanique célesie”), dhe vetë termi funksion P. gjendet në veprën e Green-it (shih): "Një ese mbi zbatimin e analizës matematikore në teoritë e elektricitetit dhe magnetizmit", botuar në 1828; por nuk mund të garantohet për faktin se Greene ishte i pari që prezantoi këtë emër. Nëse një sistem pikash materiale i nënshtrohet vetëm forcave të tilla, projeksionet e të cilave në boshtet koordinative janë derivate në lidhje me koordinatat përkatëse të një funksioni U të koordinatave të pikave të sistemit, atëherë ky funksion U quhet potencialin e forcave të këtij sistemi. Fakti që të gjitha forcat e natyrës i përkasin pikërisht numrit të forcave të tilla, i jep një rëndësi shumë të rëndësishme potencialit dhe funksioneve të P. në mekanikë dhe fizikë. Para së gjithash, është e nevojshme të tregohet se si ndryshon ligji i përgjithshëm i ndryshimit të forcës së gjallë (shih) të një sistemi material nëse forcat që veprojnë mbi të kanë potencial. Fakti është se shuma e veprave elementare të forcave të tilla me një lëvizje infiniteminale të sistemit është e barabartë me ndryshimin diferencial ose infinitimal dU të potencialit, dhe meqenëse e njëjta shumë, sipas ligjit të përgjithshëm të ndryshimit të forcës së gjallë, është e barabartë me ndryshimin pafundësisht të vogël dT të forcës së gjallë T të sistemit, pastaj dT = dU dhe kështu T - U = h, ku h është një vlerë konstante gjatë gjithë lëvizjes së sistemit. Zakonisht thirret fuqi punëtore sistemi nga energjia e tij kinetike, dhe një funksion i marrë negativisht - nga energjia potenciale. Barazia T - U = h shpreh se shuma e të dy energjive mbetet konstante gjatë lëvizjes, ose, siç thonë ata: energji totale sistemi mbetet konstant gjatë lëvizjes. Ndër forcat që kanë potencial janë forcat e tërheqjes ose zmbrapsjes së ndërsjellë midis dy pikave materiale, nëse këto forca janë të barabarta dhe të kundërta, të drejtuara përgjatë një linje që kalon nëpër të dyja pikat dhe madhësitë e tyre janë të barabarta me çdo funksion f (r) të distancës. r pikë. Potenciali i forcave të tilla ndërvepruese është

ku shenja e sipërme (plus) duhet të vendoset në rastin e forcave repulsive, dhe e poshtme (minus) - në rastin e forcave tërheqëse. Për shembull, për forcat gravitacionale që i binden ligjit të Njutonit, madhësia e forcave të tërheqjes ndërmjet pikave materiale me masa m dhe M është e barabartë me raportin ε. mM për të r 2, kështu që potenciali i këtyre dy forcave do të jetë

këtu ε është një shumëzues, vlera e saktë e të cilit mund të përcaktohet me njohuri të plotë të llojit të sipërfaqes së tokës, strukturës së saj të brendshme dhe madhësisë së nxitimit të gravitetit në vende të ndryshme në sipërfaqen e saj. Nëse ka një trup të fortë. grimcat e së cilës tërheqin një pikë materiale sipas ligjit të Njutonit, atëherë rezultanta e forcave tërheqëse mund të përcaktohet nëse përcaktojmë funksionin P. të këtyre forcave. Laplace, Poisson dhe Gauss (“Allgemeine Lehrsätze in Beziehung aut die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte”; “C. F. Gauss Werke”, vëll. 5) vërtetuan se funksioni P. i forcave të tilla ka vetitë e mëposhtme e trupit nuk janë janë pafundësisht të mëdha dhe nëse dendësia e tij askund nuk ka një vlerë pafundësisht të madhe: a) P. Funksioni V i forcave të tërheqjes nga një trup i një pike është funksion i koordinatave të tij x, y, z, të vazhdueshme dhe të fundme, b) derivatet e tij

janë gjithashtu të vazhdueshme dhe të fundme, c) Shuma e tre derivateve të rendit të dytë:

kur pika ndodhet jashtë trupit dhe d) kjo shumë Δ 2 V është e barabartë me - 4πεσm kur pika ndodhet brenda trupit; këtu σ nënkupton dendësinë e trupit në vendin ku ndodhet pika e tërhequr, m është masa e tij. Prona c u vërtetua nga Laplace, prona d - nga Poisson. P. funksioni i një topi homogjen me densitet σ, rreze R dhe masë

për pikë të masës e barabartë me njësinë shprehet me relacionin ε M për të r(ku rështë distanca e pikës nga qendra e topit) nëse pika është jashtë topit; Prandaj, forca e tërheqjes që vepron në një pikë drejtohet drejt qendrës së topit dhe është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e distancës r dhe është sikur e gjithë masa e topit të ishte e përqendruar në qendër të tij. Nëse një pikë ndodhet në masën e topit në një distancë r nga qendra, atëherë funksioni P. shprehet si më poshtë:

dhe forca e tërheqjes drejtohet sërish drejt qendrës së topit, por ka një madhësi 4 3 π ϵ σ r (\displaystyle (\frac (4)(3))\pi \epsilon \sigma r), ose

pra e barabartë me raportin ε M 1 deri në r 2 ku M 1 = 4 3 π σ r 3 (\displaystyle M_(1)=(\frac (4)(3))\pi \sigma r^(3))është masa e asaj pjese të topit që është brenda sferës me rreze r. Nga kjo rrjedh se shtresa e topit, e cila shtrihet midis sferave të rrezeve R dhe r, nuk ushtron tërheqje në pikë. Nëse përcaktojmë tërheqjen e ushtruar nga një shtresë sferike homogjene e përmbajtur midis sferave koncentrike, ose një shtresë homogjene e përmbajtur midis dy elipsoideve koncentrikë dhe të ngjashëm, në një pikë të vendosur brenda zgavrave të zbrazëta të ndonjë prej këtyre trupave, atëherë rezulton se nuk ka asnjë veprimi i forcave brenda zgavrës.

Sipërfaqja e nivelit. Nëse rezultanta e forcave të aplikuara në një pikë materiale ka një funksion P. V 1, atëherë e gjithë hapësira në të cilën mund të vendoset pika mund të imagjinohet e mbushur me një sistem numër i pafund sipërfaqe, në secilën prej të cilave V ka të njëjtën vlerë. Sipërfaqe të tilla quhen sipërfaqe të nivelit secila prej tyre ka parametrin e vet, përkatësisht vlerën numerike që ka V në pikat e kësaj sipërfaqeje. Forca që vepron në një pikë drejtohet gjithmonë normalisht në sipërfaqen e nivelit në të cilën ndodhet pika dhe drejtohet në drejtimin ku ndodhen sipërfaqet e nivelit me parametra më të mëdhenj se parametri karakteristik i kësaj sipërfaqeje. Madhësia e forcës është e barabartë me rrënjën pozitive të shumës së katrorëve të derivateve të V në lidhje me x, y, z; kjo vlerë:

quhet parametri diferencial i sipërfaqes së nivelit në pikën në shqyrtim. Në hidrostatikë (shih) vërtetohet se një lëng, pikëz ose elastik, mund të jetë në ekuilibër vetëm nën ndikimin e forcave që kanë një potencial dhe se në një gjendje të tillë sipërfaqet e nivelit, ku potenciali ka të njëjtën vlerë. , janë në të njëjtën kohë sipërfaqe të njëjta presioni hidrostatik(shih), dhe në ekuilibrin e masave të gazta ose lëngjeve elastike, sipërfaqet e nivelit janë sipërfaqe dendësi të barabartë dhe presion të barabartë.

Doktrina e potencialit luan një rol shumë të rëndësishëm në teorinë e elektrike dhe dukuritë magnetike. Dukuritë elektrike në përgjithësi ndodhin sikur të ishin dy substanca ose lëngje të veçanta që veprojnë mbi njëra-tjetrën sipas ligjit të Kulombit, domethënë me një forcë proporcionale me produktin e sasive ndërvepruese dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e distancës së tyre. Me pak fjalë, këto lëngje quhen energji elektrike pozitive dhe negative. Ato janë të vendosura në sipërfaqen e trupave të elektrizuar, dhe fenomeni rryme elektrike mund të konsiderohet si rrjedha e këtyre energjisë elektrike në tela, dhe rrjedha e energjisë elektrike pozitive në një drejtim dhe rrjedha energji elektrike negative V drejtim i kundërt mund të konsiderohen si dukuri identike. Njësia e sasisë së energjisë elektrike është ajo sasi e cila, në një sasi të barabartë energjie elektrike të vendosur në një njësi largësi prej saj, vepron me një forcë të barabartë me një njësi të forcës. C.G.S - një njësi e sasisë së energjisë elektrike - fitohet kur distanca është 1 stm dhe forca është 1 dyne. Kulomb = 3,10 9 njësi të energjisë elektrike C.G.S. Nëse kemi trupa të elektrizuar, atëherë potenciali V në çdo moment M hapësirë e barabartë me punën, e cila prodhohet nga forcat elektrike kur një njësi e energjisë elektrike lëviz nga M përgjatë një rruge arbitrare drejt pafundësisë, ose në një shumë distancë e madhe. Në pika të ndryshme të hapësirës V- të ndryshme. Nëse sasia η e elektricitetit lëviz nga një pikë M në një pikë tjetër N, atëherë puna ρ e forcave elektrike është e barabartë me ρ = η( V 1 - V 2), ku v 1 dhe V 2 potenciale në pika M Dhe N. Meqenëse puna ρ mund të jetë pozitive vetëm nëse η lëviz (rrjedh) nën ndikimin e forcave elektrike, është e qartë se elektriciteti pozitiv (η > 0) gjithmonë rrjedh nga vendet më të larta në vendet me potencial më të ulët ( V 1 > V 2). Në mënyrë të ngjashme, nxehtësia rrjedh gjithmonë nga vende me një shkallë më të lartë (më të lartë). në vendet me temperaturë më të ulët (më të ulët); potenciali është i ngjashëm me temp. (Shikoni më poshtë). Një analogji tjetër: lëngjet rrjedhin nën ndikimin e gravitetit nga vendet lartësi më të madhe në vendet me lartësi më të ulët. Brenda dirigjentit forcë elektrike duhet të jetë i barabartë me zero kudo, pa të cilin ekuilibri i energjisë elektrike është i pamundur dhe sasi të reja të energjisë elektrike shfaqen brenda përcjellësit (siç thanë më parë, do të ndodhë zbërthimi i përzierjes neutrale të të dy elektricitetit). Nëse forca është zero, atëherë puna ρ e kryer në lëvizje mendoreη nga M V N, gjithashtu zero ( M Dhe N pika arbitrare brenda përçuesit). Nga kjo rrjedh se V 1 = V 2 ; por për shkak të arbitraritetit të pozicioneve të pikave M Dhe N kjo barazi tregon se të gjitha pikat e një përcjellësi të elektrizuar janë në të njëjtin potencial V. Kjo sasi quhet potencial i vetë përcjellësit. Nëse lidhni (me një tel të gjatë të hollë) dy trupa të elektrizuar (përçues), atëherë + η do të rrjedhë nga trupi me një potencial më të lartë në trupin me një potencial më të ulët. Trupat janë në të njëjtin potencial nëse, kur janë të lidhur, nuk ka shkëmbim të energjisë elektrike ndërmjet tyre. Prandaj, temperatura e trupit është analoge me temperaturën e trupit, d.m.th., shkalla e ngrohjes. Potenciali është një masë e shkallës së elektrifikimit të një trupi: për ekuilibrin e energjisë elektrike në disa përçues të ndërlidhur, është e nevojshme që të gjithë të jenë në të njëjtin potencial. Njësia e potencialit (ose diferenca potenciale) është e barabartë me diferencën V 1 -V 2 potenciale të dy pikave M dhe N, kur kur transferohet η=1 nga M V N puna e bërë është ρ = 1, ose është e barabartë me potencialin e topit, rreze e të cilit R= 1 nëse ka η=1 në sipërfaqen e saj. Në sistemin C.G.S V 1 -V 2 =1, kur gjatë transferimit plotësohet η=1 C. G. S.. puna ρ=1 ergu ose kur η=1 C. G. S. është në një top për të cilin R=1 stm. Një njësi tjetër e diferencës potenciale ose potenciale e përdorur në praktikë quhet "volt"; volt = 1/300 C. G. S. njësia e potencialit të sapopërcaktuar. Kapaciteti q i një trupi përcaktohet nga sasia e energjisë elektrike që rrit potencialin e trupit me një. Ngarkesa η, potenciali V dhe kapaciteti q lidhen me barazinë η = q V; Një sferë ka një njësi kapaciteti C. G. S., për të cilën R= 1 stm Farad = 9,10 11 C. G. S. njësi kapaciteti. Energjisë E përcjellësi i ngarkuar shprehet me njërën nga formulat E = 1 2 η V = η 2 2 q = 1 2 q V 2 (\displaystyle E=(\frac (1)(2))\eta V=(\frac (\eta ^(2))(2q) )=(\frac (1)(2))qV^(2)). Nëse η, V Dhe q e shprehur në njësi C.G.S, atëherë E përftohet në ergs, por nëse η dhe q janë në kulonë, volt dhe farad, atëherë E është në xhaul (10 7 erg = 0,102 kg-metër. = 0,24 kalori të vogla). Nëse dy përçues A dhe B të klasës së parë (metale, qymyr, etj., që nuk i nënshtrohen elektrolizës) bien në kontakt, atëherë vendoset një ndryshim potencial midis tyre. V 1 -V 2, pavarësisht nga forma e trupave dhe sipërfaqja S kontakt, por vetëm në llojin e substancës A Dhe B dhe prej tyre gjendje fizike, për shembull në temperaturën e tyre. Arsyeja e kërcimit V 1 -V 2 potenciale kur kaloni S quhet forca elektromotore (el. motorike) e; ajo matet me diferencën V 1 -V 2, pra pranon e = V 1 -V 2. Prandaj, njësia e forcës elektromotore mund të merret si volt. Nëse përshkruajmë në mënyrë simbolike e përmes e = A|B, atëherë ligji i Voltës e thotë këtë A|B + B|C = A|C, Ku C trupi i tretë. Për një seri të mbyllur të përçuesve të klasit të parë, për shembull metale, marrim A|B + B|C + C|D + … N|M + M|A= 0, pra shuma e kërcimeve të mundshme ose shuma e el. dv. forca është zero. Përçuesit e klasës së dytë (tretësirat e kripërave dhe acideve, elektrolitet në përgjithësi) nuk ndjekin ligjin e Voltës. Nëse S zgjidhje, atëherë A|S + S|B ≠ A|B; për kombinim A, S, B, A(për shembull, bakër - acid - zink - bakër) ka A|S + S|B + B|A≠ 0. Një kombinim i tillë është një element i hapur ose një qark i hapur; shuma e el. dv. forcat (shuma e kërcimeve të mundshme) nuk është zero; kjo shumë quhet e. dv. me forcë E element. Është e barabartë me diferencën e potencialit në skajet (elektrodat) e një qarku të hapur. Në një qark të mbyllur, një gjendje statike është e pamundur nëse E jo zero. Duhet të vendoset një rrjedhë e vazhdueshme e energjisë elektrike, e barabartë në të gjitha pjesët e qarkut. Por + η mund të rrjedhë vetëm nga potenciale të mëdha tek ato më të vogla, dhe për këtë arsye potenciali duhet të ulet në të gjitha pjesët ose të bjerë përgjatë zinxhirit në drejtim të rrjedhës + η. Nëse ecni mendërisht rreth të gjithë qarkut, atëherë shuma e ndryshimeve të mundshme të hasura duhet të jetë e barabartë me zero; Rrjedhimisht, shuma e të gjitha rënieve është e barabartë me shumën e kërcimeve, ose shuma e rënieve është e barabartë E. Nëse J është forca aktuale, r është rezistenca e një seksioni arbitrar por uniform të qarkut, dhe nëse V 1 - V 2 rënie potenciale në këtë segment, pra

Sepse Jështë e njëjtë kudo, atëherë rënia potenciale është proporcionale me rezistencën e segmentit të qarkut, ose rezistenca të barabarta kanë rënie të barabarta. Nëse V 1 - V 2 shprehet në volt, J në amper (një grup energjie elektrike rrjedh në sekondë), atëherë r shprehet në ohmë. Nëse shkruajmë shprehje të ngjashme J për të gjitha pjesët e zinxhirit, atëherë J duhet gjithashtu të jetë e barabartë me shumën e numëruesve (shuma e pikave) pjesëtuar me shumën e emëruesve (rezistenca R i gjithë zinxhiri). Por shuma e rënieve është E, prandaj, J=E:R; ky është ligji i Ohm-it. Metodat statike për matjen e energjisë elektrike bazohen në matjen e diferencës së potencialit në skajet e një qarku të hapur. dv. forcat e elementeve. Puna ρ e kryer në një pjesë të qarkut është e barabartë (shih më lart) ρ=η( V 1 -V 2); por η=J t, Ku t koha, sepse J matur me sasinë e energjisë elektrike që rrjedh gjatë t=1; Me tutje V 1 -V 2 =rJ. Prandaj puna ρ= J 2 rt; një sasi ekuivalente nxehtësie lirohet në qark. Kjo formulë shpreh ligjin e Lenz dhe Joule. Nëse J, r dhe t shprehen në amper, ohmë dhe sekonda, atëherë puna ose nxehtësia ρ fitohet në xhaul (shih më lart). Për të gjithë zinxhirin ρ= J 2 rt=Jet. Nga formula J=(V 1 -V 2)r Ligjet e Kirchhoff-it mbi degëzimin aktual merren lehtësisht. Në termodinamikë, potenciali termodinamik luan një rol, i cili nuk ndryshon dukshëm nga " energji e lirë» Helmholtz, nga funksioni Massier (Massleu) dhe nga funksioni Gibbs (shih Energjia).