f fonksiyonu tek midir? Eşitlik geçerli olabilir mi? Çift ve tek fonksiyonlar

Hatta işlev.

Eşit işareti değiştiğinde işareti değişmeyen bir fonksiyondur X.

X eşitlik geçerlidir F(–X) = F(X). İmza X işareti etkilemez sen.

Çift fonksiyonun grafiği koordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 1).

Çift fonksiyon örnekleri:

sen=çünkü X

sen = X 2

sen = –X 2

sen = X 4

sen = X 6

sen = X 2 + X

Açıklama:
Fonksiyonu ele alalım sen = X 2 veya sen = –X 2 .
Herhangi bir değer için X fonksiyon pozitiftir. İmza X işareti etkilemez sen. Grafik koordinat eksenine göre simetriktir. Bu eşit bir fonksiyondur.

Garip fonksiyon.

Garip işareti değiştiğinde işareti değişen bir fonksiyondur X.

Başka bir deyişle, herhangi bir değer için X eşitlik geçerlidir F(–X) = –F(X).

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 2).

Tek fonksiyon örnekleri:

sen= günah X

sen = X 3

sen = –X 3

Açıklama:

y = – fonksiyonunu alalım X 3 .
Tüm anlamlar en eksi işareti olacaktır. Bu bir işaret X işareti etkiler sen. Bağımsız değişken pozitif bir sayı ise fonksiyon pozitiftir; bağımsız değişken ise negatif sayı ise fonksiyon negatiftir: F(–X) = –F(X).
Fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Bu garip bir fonksiyon.

Çift ve tek fonksiyonların özellikleri:

NOT:

Tüm işlevler çift veya tek değildir. Böyle bir derecelendirmeye uymayan işlevler vardır. Örneğin kök işlevi en = √Xçift ​​veya tek işlevler için geçerli değildir (Şekil 3). Bu tür fonksiyonların özellikleri listelenirken uygun bir açıklama verilmelidir: ne çift ne tek.

Periyodik fonksiyonlar.

Bildiğiniz gibi periyodiklik, belirli süreçlerin belirli aralıklarla tekrarlanmasıdır. Bu süreçleri tanımlayan fonksiyonlara denir. periyodik fonksiyonlar. Yani bunlar, grafiklerinde belirli sayısal aralıklarla tekrar eden elemanların bulunduğu fonksiyonlardır.

Bir fonksiyonun düzgünlüğü ve tekliği onun ana özelliklerinden biridir ve eşlik, etkileyici bir rol oynar. okul kursu matematikte. Büyük ölçüde fonksiyonun davranışını belirler ve karşılık gelen grafiğin oluşturulmasını büyük ölçüde kolaylaştırır.

Fonksiyonun paritesini belirleyelim. Genel olarak konuşursak, tanım alanında bulunan bağımsız değişkenin (x) zıt değerleri için, y'nin (fonksiyonun) karşılık gelen değerleri eşit olsa bile, incelenen fonksiyon dikkate alınır.

Daha kesin bir tanım verelim. D tanım kümesinde tanımlanan bir f(x) fonksiyonunu düşünün. Tanım tanım kümesinde yer alan herhangi bir x noktası için bile olacaktır:

• -x (karşı nokta) da bu kapsamda yer alır,

• f(-x) = f(x).

Yukarıdaki tanımdan, böyle bir fonksiyonun tanım alanı için gerekli olan koşul, yani koordinatların orijini olan O noktasına göre simetri gelir, çünkü eğer bir b noktası çift sayının tanım alanında yer alıyorsa fonksiyonu varsa, karşılık gelen b noktası da bu alanda yer alır. Dolayısıyla yukarıdakilerden şu sonuç çıkar: çift fonksiyon ordinat eksenine (Oy) göre simetrik bir forma sahiptir.

Pratikte bir fonksiyonun paritesi nasıl belirlenir?

h(x)=11^x+11^(-x) formülü kullanılarak belirtilsin. Doğrudan tanımı takip eden algoritmayı takip ederek öncelikle tanım alanını inceliyoruz. Açıkçası, argümanın tüm değerleri için tanımlanmıştır, yani ilk koşul karşılanmıştır.

Bir sonraki adım, (x) argümanını onunla değiştirmektir. zıt anlam(-X).
Şunu elde ederiz:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Toplama, değişme (değişme) yasasını karşıladığından, h(-x) = h(x) olduğu ve verilen fonksiyonel bağımlılığın çift olduğu açıktır.

h(x)=11^x-11^(-x) fonksiyonunun eşliğini kontrol edelim. Aynı algoritmayı takip ederek h(-x) = 11^(-x) -11^x sonucunu elde ederiz. Eksileri çıkararak sonunda elimizde
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Bu nedenle h(x) tektir.

Bu arada, bu kriterlere göre sınıflandırılamayan fonksiyonlar olduğunu da hatırlamak gerekir; bunlara ne çift ne de tek denir.

Fonksiyonların bile bir takım ilginç özellikleri vardır:

• benzer işlevlerin eklenmesi sonucunda çift sayı elde edilir;
• bu tür fonksiyonların çıkarılması sonucunda çift bir tane elde edilir;
• hatta, hatta;
• bu tür iki fonksiyonun çarpılması sonucunda çift bir tane elde edilir;
• tek ve çift fonksiyonların çarpılması sonucunda tek bir elde edilir;
• tek ve çift fonksiyonların bölünmesi sonucunda tek bir elde edilir;
• böyle bir fonksiyonun türevi tektir;
• Tek bir fonksiyonun karesini alırsanız çift bir fonksiyon elde edersiniz.

Bir fonksiyonun paritesi denklemleri çözmek için kullanılabilir.

g(x) = 0 gibi bir denklemi çözmek için; sol taraf Denklem çift fonksiyon olduğundan değişkenin negatif olmayan değerleri için çözümlerini bulmak oldukça yeterli olacaktır. Denklemin ortaya çıkan kökleri zıt sayılarla birleştirilmelidir. Bunlardan biri doğrulamaya tabidir.

Bu aynı zamanda çözmek için başarıyla kullanılır. standart dışı görevler parametre ile.

Örneğin, a parametresinin 2x^6-x^4-ax^2=1 denkleminin üç kökü olacak herhangi bir değeri var mı?

Değişkenin denkleme çift kuvvetlerle girdiğini dikkate alırsak, x'in - x ile değiştirilmesi gerektiği açıktır. verilen denklem değişmeyecek. Bundan şu sonuç çıkıyor: Eğer belirli bir sayı onun kökü ise, o zaman aynı zamanda karşı sayı. Sonuç açıktır: sıfırdan farklı bir denklemin kökleri, çözüm kümesine "çiftler halinde" dahil edilir.

Sayının kendisinin 0 olmadığı, yani böyle bir denklemin kök sayısının yalnızca çift olabileceği ve doğal olarak parametrenin herhangi bir değeri için üç kökü olamayacağı açıktır.

Ancak 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 denkleminin kök sayısı tek olabilir ve parametrenin herhangi bir değeri için. Aslında kök kümesinin doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. verilen denklemçiftler halinde çözümler içerir. 0'ın kök olup olmadığını kontrol edelim. Bunu denklemde yerine koyarsak 2=2 elde ederiz. Böylece, “eşli” olanların yanı sıra 0 da bir köktür ve bu da onların tek sayısını kanıtlar.

Bir y değişkeninin, her bir x değerinin tek bir y değerine karşılık geldiği bir x değişkenine bağımlılığına fonksiyon denir. Gösterim için y=f(x) gösterimini kullanın. Her fonksiyonun monotonluk, eşlik, periyodiklik ve diğerleri gibi bir takım temel özellikleri vardır.

Dikkate almak daha fazla ayrıntı mülk parite.

Aşağıdaki iki koşulu karşılasa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır:

2. Fonksiyonun tanım bölgesine ait olan fonksiyonun x noktasındaki değeri, fonksiyonun -x noktasındaki değerine eşit olmalıdır. Yani, herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = f(-x).

Çift fonksiyonun grafiği

Çift fonksiyonun grafiğini çizerseniz, Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Örneğin, y=x^2 fonksiyonu çifttir. Hadi kontrol edelim. Tanımın tüm alanı sayı ekseni yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=3 alalım. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Dolayısıyla f(x) = f(-x). Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda y=x^2 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğunu göstermektedir.

Tek bir fonksiyonun grafiği

Bir y=f(x) fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu karşılıyorsa tek fonksiyon olarak adlandırılır:

1. Belirli bir fonksiyonun tanım bölgesi, O noktasına göre simetrik olmalıdır. Yani, eğer bir a noktası, fonksiyonun tanım bölgesine aitse, o zaman karşılık gelen -a noktası da tanım alanına ait olmalıdır. verilen fonksiyonun

2. Herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = -f(x).

Tek bir fonksiyonun grafiği, koordinatların orijini olan O noktasına göre simetriktir. Örneğin, y=x^3 fonksiyonu tektir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=2 alalım. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Dolayısıyla f(x) = -f(x). Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda y=x^3 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil y=x^3 tek fonksiyonunun orijine göre simetrik olduğunu açıkça göstermektedir.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

• Bir fonksiyonun parite ve teklik kavramını oluşturma, bu özellikleri belirleme ve gerektiğinde kullanma becerisini öğretmek fonksiyon araştırması, çizim;
• yaratıcı geliştir öğrenci etkinliği, mantıksal düşünme karşılaştırma, genelleme yeteneği;
• sıkı çalışmayı ve matematik kültürünü geliştirmek; iletişim becerilerini geliştirmek .

Teçhizat: multimedya kurulumu, interaktif beyaz tahta, bildiriler.

Çalışma biçimleri: arama ve araştırma faaliyetlerinin unsurları ile ön ve grup.

Bilgi kaynakları:

1. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Ders kitabı.
2. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Sorun kitabı.
3. Cebir 9. sınıf. Öğrenci öğrenmesi ve gelişimi için görevler. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DERSİN İLERLEMESİ

1. Organizasyon anı

Ders için amaç ve hedeflerin belirlenmesi.

2. Ödev kontrol ediliyor

10.17 (9. sınıf problem kitabı. A.G. Mordkovich).

A) en = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fonksiyon şu durumlarda artar: X € [– 2; + ∞)
6. Fonksiyon aşağıdan sınırlandırılmıştır.
7. en isim = – 3, en naib mevcut değil
8. Fonksiyon süreklidir.

(Bir işlev keşfetme algoritması kullandınız mı?) Slayt.

2.Slayttan size sorulan tabloyu kontrol edelim.

Tabloyu doldurun
	Tanım alanı	Fonksiyon sıfırları	İşaret sabitliği aralıkları		Grafiğin Oy ile kesiştiği noktaların koordinatları
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilgiyi güncelleme

– Fonksiyonlar verilmiştir.
– Her fonksiyonun tanım kapsamını belirtin.
– Her bir bağımsız değişken değeri çifti için her fonksiyonun değerini karşılaştırın: 1 ve – 1; 2 ve – 2.
– Tanım alanındaki bu işlevlerden hangisi için eşitlikler geçerlidir? F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (elde edilen verileri tabloya girin) Slayt

4. Yeni malzeme

– Gerçekleştirilmesi bu iş Arkadaşlar, fonksiyonun size tanıdık gelmeyen ama diğerlerinden daha az önemli olmayan bir özelliğini daha belirledik - bu, fonksiyonun düzgünlüğü ve tuhaflığıdır. Dersin konusunu yazın: "Çift ve tek fonksiyonlar", görevimiz bir fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini belirlemeyi öğrenmek, bu özelliğin fonksiyonların incelenmesinde ve grafiklerin çizilmesinde önemini bulmaktır.
O halde ders kitabındaki tanımları bulalım ve okuyalım (s. 110) . Slayt

Def. 1İşlev en = F (X X kümesinde tanımlanan ) denir eşit herhangi bir değer için ise XЄ X yürütülür eşitlik f(–x)= f(x). Örnekler verin.

Def. 2İşlev y = f(x) X kümesinde tanımlanan , denir garip herhangi bir değer için ise X? X f(–х)= –f(х) eşitliği geçerlidir. Örnekler verin.

“Çift” ve “tek” terimlerini nerede karşıladık?
Bu işlevlerden hangisinin çift olacağını düşünüyorsunuz? Neden? Hangileri tuhaf? Neden?
Formun herhangi bir işlevi için en= xn, Nerede N– bir tamsayı olduğunda fonksiyonun tek olduğu iddia edilebilir. N– tek ve fonksiyon çift olduğunda N- eşit.
– İşlevleri görüntüle en= ve en = 2X– 3 ne çift ne de tektir çünkü eşitlikler tatmin edici değil F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunun incelenmesine, bir fonksiyonun eşlik açısından incelenmesi denir. Slayt

Tanım 1 ve 2'de fonksiyonun x ve –x'deki değerlerinden bahsediyorduk, dolayısıyla fonksiyonun aynı zamanda değerde de tanımlandığı varsayılıyor. X ve - X.

Def 3. Eğer sayı seti x elemanlarının her biri ile birlikte karşıt eleman olan –x’i de içerir, o zaman küme X simetrik küme denir.

Örnekler:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simetrik kümelerdir ve , [–5;4] asimetriktir.

– Fonksiyonların bile simetrik bir küme olan bir tanım alanı var mı? Garip olanlar mı?
– Eğer D( F) asimetrik bir küme ise fonksiyon nedir?
– Böylece, eğer fonksiyon en = F(X) – çift veya tek ise tanım alanı D('dir) F) simetrik bir kümedir. Tersi ifade doğru mu: Bir fonksiyonun tanım tanım kümesi simetrik bir küme ise, o zaman çift mi yoksa tek mi?
– Bu, tanım alanının simetrik bir kümesinin varlığının gerekli bir koşul olduğu ancak yeterli olmadığı anlamına gelir.
– Peki bir fonksiyonu eşlik açısından nasıl incelersiniz? Bir algoritma oluşturmaya çalışalım.

Slayt

Eşlik fonksiyonunu incelemek için algoritma

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesinin simetrik olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman fonksiyon ne çift ne de tektir. Cevabınız evet ise algoritmanın 2. adımına geçin.

2. için bir ifade yazın F(–X).

3. Karşılaştırın F(–X).Ve F(X):

• Eğer F(–X).= F(X), o zaman fonksiyon çifttir;
• Eğer F(–X).= – F(X), o zaman fonksiyon tektir;
• Eğer F(–X) ≠ F(X) Ve F(–X) ≠ –F(X), bu durumda fonksiyon ne çift ne de tektir.

Örnekler:

Eşlik açısından a) fonksiyonunu inceleyin en= x 5 +; B) en= ; V) en= .

Çözüm.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrik küme.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fonksiyonu h(x)= x 5 + tek.

b) y =,

en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrik bir kümedir; bu, fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir.

V) F(X) = , y = f(x),

1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Seçenek 2

1. Verilen küme simetrik midir: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Karşılıklı kontrol açık slayt.

6. Ödev: №11.11, 11.21,11.22;

Parite özelliğinin geometrik anlamının kanıtı.

***(Birleşik Devlet Sınavı seçeneğinin atanması).

1. y = f(x) tek fonksiyonu sayı doğrusunun tamamında tanımlıdır. x değişkeninin negatif olmayan herhangi bir değeri için, bu fonksiyonun değeri, g( fonksiyonunun değeriyle çakışır. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( fonksiyonunun değerini bulun X) = en X = 3.

7. Özetleme