SINAV PROGRAMI

“Matematiksel Analiz” dersinde (A-5,13,14-13)

1. Sınırlı ve sınırsız kümeler. Örnekler.

2. Bir sayı kümesinin üst ve alt sınırları. Varlık teoremi

bir kümenin tam üst (tam alt) sınırı.

3. Numara dizisi. Sayı dizisinin sınırı.

Yakınsak ve sonsuz küçük diziler arasındaki ilişki.

4. Sonsuz küçük diziler ve özellikleri.

5. Sonsuz büyük diziler ve bunların sonsuz küçük dizilerle bağlantıları

diziler.

6. Aritmetik özellikler dizi sınırları.

7. Yakınsak dizilerin özellikleri: limitin tekliği,

yakınsak bir dizinin sınırlılığı.

8. Yakınsak dizilerin özellikleri: limite geçiş

eşitsizlikler.

9. Monoton diziler. Monotonluğun sınırına ilişkin teorem

diziler.

10. Sayı e.

11. İç içe geçmiş bölümler üzerine Lemma.

12. Alt diziler, kısmi limitler. İletişimi Sınırla

kısmi limitli diziler.

13. Bolzano-Weierstrass teoremi.

14. Sayısal bir dizinin yakınsaklığı için Cauchy kriteri.

15. Bir fonksiyonun limiti: iki tanım ve bunların eşdeğerliği.

16. Fonksiyonların limitlerinin aritmetik özellikleri.

17. Fonksiyonların Limitlerinin Özellikleri: Limitin tekliği; sınırlama

limiti olan fonksiyon.

18. Fonksiyonların limitlerinin özellikleri: eşitsizliklerde limite geçiş.

19. Tek taraflı limitler ve bunların bir fonksiyonun limitiyle bağlantısı.

20. İlk harika sınır.

21. İkinci harika sınır.

22. Sonsuz küçük fonksiyonlar ve özellikleri.

23. Sonsuz büyük fonksiyonlar ve bunların sonsuz küçük fonksiyonlarla bağlantıları

işlevler.

24. Sonsuz küçük fonksiyonların karşılaştırılması. Örnekler.

25. Eşdeğer sonsuz küçük fonksiyonlar (tablo). Hakkında teorem

eşdeğer sonsuz küçük fonksiyonlar.

26. Karşılaştırma sonsuzdur harika işlevler. Örnekler.

27. Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği (3 tanım). Fonksiyon Özellikleri,

bir noktada süreklidir.

28. Karmaşık bir fonksiyonun sürekliliği.

29. Fonksiyon süreksizlik noktalarının sınıflandırılması.

30. Monoton bir fonksiyonun kırılma noktaları.

31. Weierstrass'ın ilk teoremi.

32. Weierstrass'ın ikinci teoremi.

33. Sürekli bir fonksiyonun sıfırına ilişkin teorem.

34. Sürekli bir çizginin ara değerlerine ilişkin Bolzano-Cauchy teoremi

işlevler. Bolzano-Cauchy teoreminin sonucu.

35. Monoton bir fonksiyonun sürekliliği için kriter.

36. Ters fonksiyonun sürekliliği.

37. Bir fonksiyonun düzgün sürekliliği. Cantor teoremi.

38. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. Türevler temel işlevler

(örnekler ve tablo). Geometrik anlam türev.

39. Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilirliği (iki tanım ve bunların

eşdeğerlik). Türevlenebilir bir fonksiyonun sürekliliği.

40. Türevlenebilir fonksiyonların aritmetik özellikleri.

41. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

42. Ters fonksiyonun türevi.

43. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi.

44. Yüksek mertebeden türevler. Leibniz'in formülü.

45. Bir fonksiyonun diferansiyeli. Diferansiyel özellikler. değişmezlik

Birinci diferansiyelin yazım biçimleri.

46. ​​​Daha yüksek mertebeden farklar. Kayıt formunun değişmezliği

ikinci diferansiyel.

47. Fermat'ın teoremi.

48. Rolle'un teoremi.

49. Lagrange teoremi.

50. Türevlenebilir fonksiyonlar için Cauchy teoremi.

51. L'Hopital kuralı.

52. 53. 54. Peano formunda kalan terimli Taylor formülü. Lagrange formunda kalan terimli Taylor formülü. Temel fonksiyonlar için Taylor formülleri.

55. Bir fonksiyonun monotonluğunun işareti.

56. Yerel ekstremum işlevler. Yerel için gerekli bir koşul

ekstremum.

57. İlk yeterli koşul yerel ekstremum

58. Yerel ekstremum için ikinci yeterli koşul.

59. Fonksiyonun dışbükeyliği. Bir fonksiyonun dışbükeyliği için yeterli koşul.

60. Bir fonksiyonun dışbükeyliği ile fonksiyonun grafiğine teğeti arasındaki ilişki

(ifadeler).

64. Bir fonksiyonun dönüm noktası. Bükülme noktası için gerekli bir koşul.

65. Bir bükülme noktası için yeterli koşullar (2 teorem).

66. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları.

1. Sınırlı ve sınırsız kümeler. Örnekler.

Kanıt. Sonuçlar. Örnek.

2. Bir sayı kümesinin üst ve alt sınırları. Bir kümenin tam bir üst (tam alt) sınırının varlığına ilişkin teorem.

İfade. Kanıt.

Kesin bir üst (alt) sınırın varlığına ilişkin teorem. Kanıt.

3. Sayı dizisi. Sayı dizisinin sınırı. Yakınsak ve sonsuz küçük diziler arasındaki ilişki.

Bağlantı hakkında teorem b.m. ve yakınsak bir dizi. Kanıt.

4. Sonsuz küçük diziler ve özellikleri.

Teorem 1. Kanıt.

Sonuçlar.

5. Sonsuz büyük diziler ve bunların sonsuz küçük dizilerle bağlantıları.

Teorem.

Kanıt.

6. Dizi limitlerinin aritmetik özellikleri.

Teorem.Kanıt. Teorem. Kanıt.

7. Yakınsak dizilerin özellikleri: limitin tekliği, yakınsak dizinin sınırlılığı.

Teorem:(sınırın benzersizliği üzerine): Eğer
-yakınsak ise tek bir limit vardır.

Kanıt:

İzin vermek
,
,
.

Açık olmak gerekirse
sahibiz:

.

<
<

<. <
.

Çelişki.

Teorem:(yakınsak bir dizinin sınırlılığı hakkında): Eğer
-yakınsarsa sınırlı olur.

- yakınsak


:

.

Hadi alalım =1


.

O zaman belirtelim

Daha sonra

Dolayısıyla her iki durum için de

Yorum: bunun tersi doğru değil.

8. Yakınsak dizilerin özellikleri: eşitsizliklerde limite geçiş.

Teorem: (eşitsizliğe geçişin sınırlandırılması hakkında):

İzin vermek
,
.

. Daha sonra
.

Yorum:

.

Kanıt (çelişkili):

İzin vermek
.

Hadi alalım
.

Haydi belirtelim

.

- çelişki.

Yorum: Dizinin elemanları karşılanıyorsa
, o zaman bunu takip etmiyor
.


.

=, =,



.

9. Monoton diziler. Monoton bir dizinin limiti ile ilgili teorem.

Tanım:
-monoton olarak artan (monoton olarak azalan),

Eğer

(
). Eşitsizlikler katı ise

diziler kesinlikle artıyor (azalan).

Teorem (monoton bir dizinin sınırı hakkında).İzin vermek

Monoton olarak artar ve yukarıdan sınırlanır. Daha sonra birleşir ve

.

Kanıt:

yukarıdan sınırlanmıştır => tam bir üst varlığın teoremi ile

kenarlar

. Hadi bunu kanıtlayalım
.

: 1)

2)
.

Hadi keyfi bir şekilde ele alalım
, belirtmek
2'den itibaren).

1)=>

2)=>
(monot. yaş).

Şunu takip ediyor
,
=>

.

Dizinin sayısal yakınsaması için yeterli koşulu (monot. ve limit) kanıtladık.

10. Sayı e.

Fonksiyonun kanıtlanması zordur
en

bir sınırı var. Bu sınır harfle gösterilir keşfedenin onuruna

St. Petersburglu matematikçi Leonhard Euler. Bunu belirledim

bu irrasyonel bir sayı ve ne =2,718281828459…. formül,

tanımlayıcı sayı geleneksel olarak ikinci harika denir

Sınır.

. Ayrıca sayı -temel

doğal logaritmalar.

Hadi düşünelim
.

Sınırlı ve sınırsız kümeler. Sonlu ve sonsuz kümeler

Eleman sayısı olan kümeler sonlu veya sonsuz olabilir

Rastgele bir sonsuz küme düşünün gerçek sayılar, herhangi bir şekilde belirtilebilir. Çok

Kümeler örneğin kümelerdir doğal sayılar, bir demet uygun kesirler, 0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar kümesi, kökler kümesi günah denklemleri x = ½ vb.

Kümenin herhangi bir sayısını x ile gösteririz ve kümenin kendisi de X ile gösterilir.

Tanımlar 7.3.

Bir X kümesi için, tüm x≤M için bir M sayısı varsa, o zaman X kümesine yukarıdan sınırlı (M sayısıyla) denir ve M'nin kendisi de X'in üst sınırı olarak adlandırılır. Örneğin, küme doğal kesirler yukarıdan 1 sayısıyla sınırlıdır (ve genel olarak 1'den büyük veya 1'e eşit herhangi bir sayıyla), doğal seri yukarıdan sınırsızdır

Aşağıdan sınırlı bir küme ve alt sınır benzer şekilde tanımlanır

Yukarıdan (aşağıdan) sınırlanan bir küme hem aşağıdan (yukarıdan) sınırlanabilir hem de sınırlanabilir. Bu nedenle, öz kesirler kümesi hem yukarıdan hem de aşağıdan sınırlıdır ve doğal seriler aşağıdan sınırlıdır, ancak yukarıdan sınırlı değildir.

Yukarıdaki (aşağıdaki) küme sınırsız ise, üst (alt) sınırı olarak “uygun olmayan” bir sayı alınır. Bu “uygun olmayan” veya “sonsuz” sayılara ilişkin olarak, α gerçek sayısının ne olduğunu varsayarız.

Hem üstünden hem de altından sınırlı olan bir kümeye (basitçe) denir sınırlı.

Eğer küme yukarıdan sınırlı ise; M üzerinde sonlu bir üst sınıra sahipse, aynı zamanda sonsuz sayıda üst sınıra da sahiptir (çünkü örneğin herhangi bir >M sayısı aynı zamanda bir üst sınır olacaktır). Tüm üst sınırlar arasında en ilginç olanı en küçüğüdür (diğer adıyla kesin üst sınır, supremum, X kümesinin üstünlüğü, supX (Latince üstünlüğünden - en büyük))

Tam alt sınır ( alt kenar, X kümesinin infinum'u, inf X (infinum'dan – en küçük))

Tanım '

Aşağıdaki durumlarda β sayısına X sayı kümesinin üst sınırı denir:

2’) herhangi bir ε>0 için x > β - ε olacak şekilde var olur

α=inf X tanımı için 'şekli kendiniz formüle edin. 7.3(2).

İzin vermek ; Daha sonra

sup = sup (a, b) = b, inf [a, b] = inf (a, b) = a.

Bu örnekler özellikle alt ve üst yüzlerin setin kendisine ait olabileceğini veya olmayabileceğini göstermektedir.

Tanımları gereği bir kümenin üst ve alt sınırları benzersizdir. Aslında, genişletilmiş sayı doğrusuna ait olsa bile bazı kümelerde en küçük (en büyük) öğe varsa, o zaman bu iki öğeden dolayı benzersizdir. farklı unsurlar Bir kümenin en büyüğü en küçük elemanı olamaz, en küçüğü de en büyüğü olamaz.

Yukarıdan (aşağıdan) sınırlı bir kümenin her zaman tam bir üst (alt) sınırı var mıdır? Gerçekten de, sonsuz sayıda üst (alt) sınır olduğundan ve sonsuz sayılar kümesi arasında her zaman en büyüğü (en küçüğü) bulunmadığından, üstün (infinum) varlığı özel bir kanıt gerektirir.

Teorem 7.3(1)

Yukarıda sınırlı olan her boş olmayan kümenin bir üst sınırı vardır ve aşağıda sınırlı olan her boş olmayan kümenin bir alt sınırı vardır.

Kanıt

Boş olmasın sayı seti A yukarıdan sınırlıdır, B ise A kümesinin üstünden sınırlanan tüm sayıların kümesidir. O halde yukarıdan sınırlanan bir sayının tanımından

ayarlandığında a≤b olur. Bu nedenle süreklilik özelliğinden dolayı gerçek sayılar a≤β≤b eşitsizliğinin herkes için geçerli olduğu bir β sayısı vardır. Eşitsizlik, β sayısının A kümesini yukarıdan sınırladığı anlamına gelir ve eşitsizlik, β sayısının A kümesini yukarıdan bağlayan tüm sayılar arasında en küçük olduğu anlamına gelir. Bu nedenle β = sup A.

Benzer şekilde aşağıdan sınırlanan bir sayısal kümenin bir infimum'a sahip olduğu kanıtlanır.

Grafiklerin karşılıklı dizilişini ele alalım ters fonksiyonlar V Kartezyen sistem koordinatlarını bulun ve aşağıdaki ifadeyi kanıtlayın.

Lemma 1.1. Eğer a, b R ise, düzlemin M 1 (a, b), M 2 (b, a) noktaları y = x düz çizgisine göre simetriktir.

Eğer a = b ise, M1, M2 noktaları çakışır ve y = x düz çizgisi üzerinde yer alır. a 6= b olduğunu varsayacağız. M1, M2 noktalarından geçen doğru y = −x+a+b denklemine sahiptir ve dolayısıyla y = x doğrusuna diktir.

M1 M2 doğru parçasının ortasında a + 2 b, a + 2 b ! , O

y = x düz çizgisi üzerinde yer alır. Bu nedenle M1, M2 noktaları

Sonuçlar. f: X −→ Y ve ϕ : Y −→ X fonksiyonları karşılıklı olarak ters ise, aynı koordinat sisteminde çizilmişlerse grafikleri y = x düz çizgisine göre simetriktir.

f = ((x, f(x)) | x X),ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y ) sırasıyla f ve ϕ fonksiyonlarının grafikleri olsun. Çünkü

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

daha sonra kanıtlanmış lemma sayesinde f ve ϕ grafikleri y = x düz çizgisine göre simetriktir.

1.6 Sayısal kümelerin özellikleri

1.6.1 Sınırlı sayı kümeleri

Tanım 1.26. X boş olmayan bir sayı kümesi olsun. Herhangi bir x X elemanı için x 6 a (x > a ) şeklinde bir a sayısı varsa, bir X kümesinin yukarıdan (aşağıdan) sınırlı olduğu söylenir. Bu durumda a sayısına X kümesinin üst (alt) sınırı denir. Alttan ve üstten sınırlı olan kümeye sınırlı denir.

Mantıksal semboller kullanılarak bir X kümesinin üst sınırlılığı şu şekilde yazılır:

a R: x 6 a, x X.

Bir sayının modülünün özelliklerini dikkate alarak sınırlı bir kümenin aşağıdaki eşdeğer tanımını verebiliriz.

Tanım 1.27. Boş olmayan bir sayı kümesi X'e, eğer pozitif bir M sayısı varsa, sınırlı denir;

Tanım 1.28. X sayısal kümesindeki bir öğeye, X'in herhangi bir x'i için x 6 a (sırasıyla, x > a) ise X'in maksimum (minimum) öğesi denir ve şunu yazarlar: a = maksimum X (sırasıyla, a = min X) .

Sıra aksiyomu (3.b) sayesinde, eğer R'deki bir X kümesinin bir maksimum (minimum) elemanı varsa, bu kümenin benzersiz olduğunu göstermek kolaydır.

Bir X sayı kümesinin maksimum (minimum) bir a elemanı varsa, bu durumda yukarıdan (aşağıdan) sınırlı olduğunu ve a sayısının X kümesinin üst (alt) sınırı olduğunu unutmayın. Bununla birlikte, her sayı kümesi yukarıdan (aşağıdan) sınırlanmaz. ) maksimum (minimum) bir öğeye sahiptir.

Örnek 1.5. X = ) kümesinin olduğunu gösterelim.