Gerekli işaret serilerin yakınsaklığı (kanıt).
Teorem 1.(yakınsama için gerekli koşul sayı serisi). sayı serisi ise yakınsar, O .
Kanıt. Seri yakınsaktır, yani. bir sınır var. Şuna dikkat edin.
Hadi düşünelim. Daha sonra . Buradan, .
Sonuç 1.Koşul karşılanmıyorsa, ardından seri ayrışır.
Not 1. Bir sayı serisinin yakınsaklığı için bu koşul yeterli değildir. Örneğin, harmonik serisi gerçekleşmesine rağmen farklılık göstermektedir.
Tanım 1. Sayı serisi BİR +1 +BİR+2 +…=, belirli bir satırdan ilk satırın atılmasıyla elde edilir Püyeler çağrılır N- M kalan bu satırın ve belirlenmiş Rn.
Teorem 2.sayı serisi ise yakınsarsa, kalanlar yakınsar. Geri:Eğer serinin kalanlarından en az biri yakınsaksa serinin kendisi de yakınsaktır. Ayrıca herhangi bir n için AÇIK eşitlik S=Sn+Rn .
Sonuç 2.İlk birkaç terimi çıkarırsanız veya eklerseniz sayı serisinin yakınsaklığı veya ıraksaması değişmeyecektir.
Sonuç 3..
32. Pozitif seriler için karşılaştırma kriterleri ve işaret
Teorem 1(eşitsizliklerde serileri pozitif terimlerle karşılaştırmanın bir işareti) . İzin vermekVe - Negatif olmayan terimler içeren seriler, ve her n için AÇIK a n koşulu sağlandı£ bn. Daha sonra:
1) serinin yakınsamasındanbüyük terimlerle seri yakınsardaha küçük üyelerle;
2) serinin farklılığındandaha küçük terimlerle seri ıraksarbüyük yaraklarla.
Not 1. Koşul şu durumda teorem doğrudur: BİR£ bn bazı numaralardan idam edildi NÎ N .
Teorem 2(Pozitif terimli serilerin limit formunda karşılaştırılması işareti) .
İzin vermekVe - Negatif olmayan terimler içeren seriler ve 
. O zaman bu seriler aynı anda yakınsar veya ıraksar .
33. Pozitif işaretli serilerin yakınsaklığı için D'Alembert testi
Teorem 1(D'Alembert'in işareti). İzin vermek - pozitif terimleri olan bir seri var .
O halde seri q noktasında yakınsar<1 ve q noktasında ıraksar>1 .
Kanıt.İzin vermek Q<1. Зафиксируем число Röyle ki Q<P< 1. По определению
bazı numaralardan sayı dizisinin sınırı NÎ N eşitsizlik geçerli BİR +1
/BİR<P, onlar. BİR +1 <p×a n . Daha sonra BİR +1 < p×a N , a N +2 <p 2 ×a N . Tümevarım yoluyla bunu herhangi bir kişi için göstermek kolaydır. kÎ N eşitsizlik doğru , bir N + k<p k ×a N . Ancak seri geometrik bir seri gibi yakınsaktır ( P<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд 
da birleşiyor. Sonuç olarak seri de yakınsar (Teorem 2.2'ye göre).
İzin vermek Q>1. Daha sonra bazı numaralardan NÎ N eşitsizlik doğru BİR +1 /BİR>1, yani BİR +1 >BİR. Bu nedenle sayıdan N sonraki dizi ( BİR) artıyor ve koşul sağlanmıyor. Buradan, Sonuç 2.1'e göre serinin şu noktada ıraksadığı sonucu çıkıyor: Q>1.
Not 1.İntegral testini kullanarak sayı serisinin doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. eğer yakınsarsa A>1 ve eğer ıraksarsa A£1. Sıra isminde harmonik serisi ve seri keyfi olarak AÎ R isminde genelleştirilmiş harmonik seriler.
34. Alternatif satırlar. Alternatif serilerin işaretlerinin yakınsaması için Leibniz testi
Serilerin keyfi işaretlerle incelenmesi daha zor bir iştir, ancak iki durumda uygun işaretler vardır: alternatif işaretler serisi için - Leibniz teoremi; Mutlak yakınsak seriler için, negatif olmayan terimleri olan serileri incelemenin herhangi bir işaretini uygularız.
Tanım 1. Sayı dizisi denir sinyal dönüşümlü, herhangi iki bitişik terimin zıt işaretleri varsa, yani. seri şu şekildedir veya , burada BİR Herkes için >0 NÎ N .
Teorem 1(Leibniz). Alternatif bir seri şu durumlarda yakınsar:
1) (BİR) - artmayan dizi;
2) en.
Bu durumda, alternatif serilerin toplamının modülü, ilk teriminin modülünü aşmaz;|S|£ A 1 .
1.1. Sayı serisi ve toplamı
Tanım 1. Bir sayı dizisi verilsin. Bir ifade oluşturalım
(1)
buna denir sayı serisi.
Sayılar 
arandı bir numaranın üyeleri ve ifade 
ortak üye sıra .
Örnek 1. Serinin ortak terimini bulun 
.
en 
,
en 
Serinin ortak teriminin olduğunu görmek kolaydır. .
Bu nedenle gerekli seriler aşağıdaki gibi yazılabilir.
.
Bu şekilde (1) serisinin terimlerinden bir dizi oluşturalım :
;
;
;
Bu dizinin her üyesi, sayı serisinin ilk üyelerinin karşılık gelen sayısının toplamını temsil eder.
Tanım 2.İlkinin toplamı P serinin (1) üyeleri denir N -inci kısmi tutar sayı serisi .
Tanım 3. Sayı serisi 
isminde yakınsak, Eğer 
, sayı nerede 
isminde serinin toplamı, ve yaz 
.
Eğer
kısmi toplamların limiti sonsuzsa veya mevcut değilse seriye denir farklı.
Örnek 2.
Yakınsama için seriyi kontrol edin 
.
Hesaplamak için N-inci kısmi tutar 
ortak bir terim hayal edelim 
basit kesirlerin toplamı şeklinde seri
Aynı derecelerdeki katsayıların karşılaştırılması N bilinmeyen katsayılar için bir doğrusal cebirsel denklem sistemi elde ederiz A Ve İÇİNDE
Buradan bunu buluyoruz 
, A 
.
Bu nedenle serinin genel terimi şu şekildedir: 
Daha sonra kısmi miktar 
şeklinde temsil edilebilir
Parantez açılıp benzer terimler getirildikten sonra şu şekli alacaktır:
.
Serinin toplamını hesaplayalım
Limit sonlu bir sayıya eşit olduğundan bu seri yakınsar .
Örnek 2. Yakınsama için seriyi kontrol edin
- sonsuz geometrik ilerleme.
Bilindiği üzere birincinin toplamı P geometrik ilerlemenin üyeleri Q
1 eşittir 
.
O zaman aşağıdaki durumlarımız var :
1. Eğer 
, O
2. Eğer 
, O 
, yani dizi birbirinden uzaklaşıyor.
3. Eğer 
o zaman dizi izlenmeli o zaman 
, yani dizi birbirinden uzaklaşıyor.
4. Eğer 
o zaman dizi izlenmeli o zaman 
Kısmi toplamın çift sayıda terimi varsa ve 
, eğer sayı tekse, yani 
mevcut olmadığından seri ıraksaktır.
Tanım 4. Seri toplamı arasındaki fark S ve kısmi miktar 
isminde serinin geri kalanı ve belirlenmiş 
, yani 
.
Yakınsak seriler için 
, O 
,
onlar. 
b.m.v olacak en 
. Yani değer 
serinin toplamının yaklaşık değeridir.
Bir serinin toplamının tanımından yakınsak serilerin özellikleri aşağıdaki gibidir:
1.
Eğer satırlar 
Ve 
yakınsama, yani karşılık gelen miktarlara sahip olmak S Ve Q, o zaman seri yakınsar, burada 
ve toplamı eşittir A
S
+
B
Q.
2.
Seri yakınsarsa 
, o zaman bundan elde edilen seri yakınsar
Sonlu sayıda terimin çıkarılması veya eklenmesiyle seri. Bunun tersi de doğrudur.
1.2. Gerekli bir yakınlaşma işareti. Harmonik serisi
Teorem. Eğer satır 
yakınsaksa serinin ortak terimi sıfıra yaklaşır. 
, yani 
.
Gerçekten de elimizde
Daha sonra , Kanıtlanması gereken şey buydu.
Sonuçlar. Eğer 
o zaman seri ıraksar .
Genel anlamda bunun tersi, aşağıda da görüleceği üzere doğru değildir.
Tanım 5. Seriyi görüntüle 
isminde harmonik.
Bu seri için gerekli karakteristik sağlanmıştır, çünkü 
.
Aynı zamanda farklıdır. Hadi gösterelim
Böylece harmonik seri ıraksar.
Konu 2 : Seri yakınsamasının yeterli işaretleri
olumlu terimlerle
2.1. Karşılaştırma işaretleri
Pozitif terimli iki seri verilsin:
Karşılaştırma işareti.(1) ve (2) serisinin tüm üyeleri için belirli bir sayıdan başlayarak eşitsizlik 
ve seri (2) yakınsarsa, seri (1) de yakınsar. Aynı şekilde eğer 
ve (2) serisi ıraksarsa, (1) serisi de ıraksar.
İzin vermek 
Ve 
sırasıyla satırların kısmi toplamları (1-2) ve Q serinin toplamı (2). Daha sonra yeterince büyük P sahibiz
Çünkü 
ve sınırlı o zaman 
, yani seri (1) yakınsar.
İşaretin ikinci kısmı da benzer şekilde kanıtlanır.
Örnek 3. Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin
.
Dizinin üyeleriyle karşılaştıralım 
.
İle başlayan 
, sahibiz 
.
Diziden bu yana 
yakınsar 
, o zaman bu seri de yakınsar.
Uygulamada, karşılaştırma için bir öncekinden gelen sözde sınırlayıcı kriterin kullanılması genellikle daha uygundur.
Karşılaştırma sınırı. Pozitif terimli iki seri (1-2) için koşul karşılanırsa 
, O
Seri (1)'in yakınsamasından serinin (2) yakınsaması gelir ve serinin (1) ıraksamasından serinin (2) ıraksaması gelir. , onlar. satırlar aynı şekilde davranır.
Örnek 4. Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin 
.
Karşılaştırma için bir seri olarak harmonik seriyi ele alalım,
ki bu farklıdır.
ve dolayısıyla serilerimiz ıraksaktır.
Yorum. Sözde kullanmak genellikle uygundur genelleştirilmiş harmonik sıra 
aşağıda gösterileceği gibi, şu noktada yakınsar: 
ve farklılaşıyor 
.
veya
veya
Bir öncekinden harmonik serinin ıraksak bir seri olduğu açıktır, yani. ilk n teriminin toplamı alınan terim sayısıyla sınırsız olarak artar. Ancak diğer ıraksak serilerden farklı olarak terim sayısı arttıkça toplamın büyüme hızı yavaşlamaktadır. Harmonik serinin n'nin büyümesine kıyasla zayıf ıraksak olduğu söylenir. Bu açıdan harmonik seriyi karakterize eden aşağıdaki teoremi kanıtlayalım.
Teorem. Herhangi bir n için yaklaşık bir eşitlik vardır
nerede 0< g
n < 1.
Kanıt. Denklemi x = 1 ve denklemleri olan aA ve bB koordinatları tarafından y = 1/x olan asimptotlarla ilgili eşkenar bir hiperbol ile sınırlanan eğrisel bir yamuk aABb'nin alanı verilsin. x = n ve apsis ekseni. “Dikdörtgen formüllerini” kullanarak bu alanı eksik (Şekil 2) ve fazla (Şekil 1) olarak hesaplıyoruz. Tabanı n eşit parçaya bölerek aABb alanının şuna eşit olduğunu buluruz:
veya
|
|
|
|
Harmonik serinin terim sayısı arttıkça g n'nin değeri artar. Ama 0< g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Bu limite "Eulerian sabiti" denir. H n- 1 ve ln(n) hesaplamalarını kullanarak bu sayının değerini büyük bir doğrulukla bulmak ve C = 0,57721566490 elde etmek mümkün oldu...
Harmonik serisi- oluşan miktar sonsuz sayı doğal serinin ardışık sayılarına ters terimler:
texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots
.
Serinin ilk n teriminin toplamı
Serinin bireysel üyeleri sıfır olma eğilimindedir ancak toplamları ıraksamaktadır. Bir harmonik serinin n'inci kısmi toplamı sn, n'inci harmonik sayıdır:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)
Bazı kısmi toplam değerleri
Euler'in formülü
Şu tarihte: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc Anlam İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): \varepsilon _n \rightarrow 0 bu nedenle büyük İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc
:
texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): s_n\approx \ln(n) + \gamma- Birincinin toplamı için Euler formülü İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n Harmonik serinin üyeleri. Harmonik serinin kısmi toplamı için daha doğru bir asimptotik formül:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \dots = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Nerede İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU'ya bakın - kurulumla ilgili yardım.): B_(2k)- Bernoulli sayıları. Bu dizilerıraksar, ancak hesaplamalarındaki hata hiçbir zaman ilk atılan terimin yarısını aşmaz.
Kısmi toplamların sayı teorik özellikleri
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README - kurulum yardımına bakın.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)
Serinin ıraksaması
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): s_n\rightarrow \infty en İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n\rightarrow \infty
Harmonik seri ıraksarçok yavaş (kısmi toplamın 100'ü aşması için serinin yaklaşık 1043 elemanına ihtiyaç vardır).
Harmonik serinin ıraksaması teleskopik seriyle karşılaştırılarak gösterilebilir:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1)(n)
,
kısmi toplamı açıkça şuna eşittir:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n
.
Oresme'nin kanıtı
Farklılığın kanıtı, terimlerin aşağıdaki şekilde gruplandırılmasıyla oluşturulabilir:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\sağ] + \left[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \end(hizala)
Son sıra açıkça farklılaşıyor. Bu kanıt ortaçağ bilim adamı Nicholas Orem'den (c. 1350) geliyor.
Farklılığın alternatif kanıtı
Arasındaki fark İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n Harmonik sayı ve doğal logaritma İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n Euler-Mascheroni sabitine yakınsar.
Farklı harmonik sayılar arasındaki fark hiçbir zaman tam sayıya eşit değildir ve harmonik sayı hariç İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): H_1=1, bir tam sayı değildir.
İlgili seri
Dirichlet serisi
Genelleştirilmiş bir harmonik seri (veya Dirichlet serisi) bir seridir
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots
.
Genelleştirilmiş harmonik seri şu noktada ıraksar: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \alpha \leqslant 1 ve birleşir İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \alpha > 1
.
Genelleştirilmiş harmonik sıra serilerinin toplamı İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \alpha Riemann zeta fonksiyonunun değerine eşittir:
texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)
Çift sayılar için bu değer açıkça pi cinsinden ifade edilir, örneğin: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6) ve zaten α=3 için değeri analitik olarak bilinmiyor.
Harmonik serilerin ıraksamasının bir başka örneği de şu ilişki olabilir: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n
.
Alternatif seri
Tüm terimlerin “+” işaretiyle alındığı harmonik serilerden farklı olarak seri
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \n 2.
Bu formül özel durum Mercator serisi ( İngilizce), doğal logaritma için Taylor serisi.
Arktanjant için Taylor serisinden benzer bir seri türetilebilir:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).
Bu ilişki Leibniz serisi olarak bilinir.
Rastgele harmonik seri
2003 yılında mülkler incelendi rastgele seri
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),
Nerede İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): s_n- aynı olasılıkla +1 ve −1 değerlerini alan bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler. Bu serinin 1 olasılıkla yakınsak olduğu ve serinin toplamının bir rastgele değişken olduğu gösterilmiştir. ilginç özellikler. Örneğin, +2 veya −2 noktalarında hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu şu değere sahiptir:
⅛'den 10 −42'den az farklılık gösterir.
“İnceltilmiş” harmonik seriler
Kempner serisi ( İngilizce)Paydaları 9 sayısını içermeyen yalnızca terimlerin kaldığı bir harmonik seriyi düşünürsek, kalan toplamın sayıya yakınlaştığı ortaya çıkar.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n, "inceltilmiş" serilerin toplamı için giderek daha az terim alınır. Yani sonuçta harmonik serilerin toplamını oluşturan terimlerin büyük çoğunluğu, yukarıdan sınırlayan geometrik ilerlemeyi aşmayacak şekilde atılır.
"Harmonik seri" makalesi hakkında bir inceleme yazın
Notlar
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Harmonik seriyi karakterize eden bir alıntı
Korkunç gün sona ermek üzereydi. Hiçbir şey hissetmeden ve duymadan açık pencerenin yanında oturdum. Dünya benim için donmuş ve keyifsiz hale gelmişti. Sanki ayrı ayrı var oldu, yorgun beynime girmiyor ve bana hiçbir şekilde dokunmuyor... Pencere kenarında oynayan huzursuz “Roma” serçeleri hâlâ ciyaklıyordu. Aşağıda insan sesleri ve hareketli bir şehrin olağan gündüz gürültüsü vardı. Ama tüm bunlar bana seslerin neredeyse geçmesine izin vermeyen çok yoğun bir "duvar" aracılığıyla geldi... Her zamanki iç dünyam boş ve sağırdı. Tamamen yabancı ve karanlık oldu... Tatlı, şefkatli babası artık yoktu. Girolamo'yu takip etti...Ama hâlâ Anna'm vardı. Ve en azından onu, kendisine "Tanrı'nın vekili", Kutsal Papa diyen sofistike bir katilden kurtarmak için yaşamam gerektiğini biliyordum... Caraffa'nın sadece onun "genel naibi" olduğunu hayal etmek bile zordu. "Peki o zaman onun bu sevgili Tanrısı nasıl bir canavara dönüşebilir?!. "Donmuş" durumumdan çıkmaya çalıştım, ancak ortaya çıktığı gibi o kadar kolay olmadı - vücut hiç itaat etmedi, canlanmak istemiyordu ve yorgun Ruh sadece huzur arıyordu.. Sonra hiçbir şeyin yolunda gitmediğini görünce kendimi rahat bırakmaya karar verdim ve her şeyin yolunda gitmesine izin verdim.
Başka hiçbir şey düşünmeden ve hiçbir şeye karar vermeden, kurtarılmak için yaralı Ruhumun çabaladığı yere "uçtum"... Dinlenmek ve en azından biraz unutmak, kötü "dünyevi" dünyadan uzaklaşmak sadece ışığın hüküm sürdüğü yere...
Caraffa'nın, yaşadıklarıma rağmen beni uzun süre yalnız bırakmayacağını biliyordum, aksine acının beni zayıflattığını ve silahsız bıraktığını düşünecek ve belki de şu anda beni teslim olmaya zorlayacaktı. bir tür başka korkunç darbe daha vuruyor...
Günler geçti. Ama en büyük sürprizim Caraffa'nın ortaya çıkmamasıydı... Bu büyük bir rahatlamaydı ama ne yazık ki rahatlamama izin vermedi. Çünkü her an onun karanlık, şeytani ruhunun benim için ne kadar yeni bir anlam bulacağını bekliyordum...
Ağrı, özellikle birkaç hafta önce meydana gelen ve beni tamamen şaşkına çeviren beklenmedik ve neşeli bir olay sayesinde, her geçen gün yavaş yavaş azaldı - merhum babamı duyma fırsatım oldu!..
Onu göremiyordum ama sanki babam yanımdaymış gibi her kelimesini çok net bir şekilde duydum ve anladım. İlk başta buna inanmadım, tamamen yorgunluktan delirdiğimi düşündüm. Ama arama tekrarlandı... Gerçekten de babasıydı.
Sevinçten kendime gelemiyordum ve hala aniden ortaya çıkıp ortadan kaybolmasından korkuyordum!.. Ama babam ortadan kaybolmadı. Biraz sakinleştikten sonra nihayet ona cevap verebildim...
- Bu gerçekten sen misin!? Şimdi neredesin?.. Seni neden göremiyorum?
– Kızım… Tamamen bitkin olduğun için görmüyorsun canım. Anna onunla birlikte olduğumu görüyor. Ve göreceksin canım. Sadece sakinleşmek için zamana ihtiyacın var.
Saf, tanıdık bir sıcaklık tüm vücuduma yayıldı, beni neşe ve ışıkla sardı...
- Baba nasılsın!? Söyle bana, bu diğer hayat neye benziyor?.. Nasıl bir şey?
– Harika biri canım!.. Ama yine de sıra dışı. Ve bizim eski dünyevi dünyamızdan çok farklı!.. Burada insanlar kendi dünyalarında yaşıyorlar. Ve o kadar güzel ki bu “dünyalar”!.. Ama yine de yapamıyorum. Görünüşe göre benim için henüz çok erken... – sanki daha fazla konuşup konuşmamaya karar veriyormuşçasına ses bir anlığına sustu.
- Girolamo'n benimle tanıştı kızım... O, Dünya'daki kadar canlı ve sevgi dolu... Seni çok özlüyor ve özlüyor. Ve benden seni orada da aynı kadar sevdiğini söylememi istedi... Ve her geldiğinde seni bekliyor... Annen de yanımızda. Hepimiz seni seviyoruz ve bekliyoruz canım. Seni gerçekten çok özledik... Kendine iyi bak kızım. Karaffa'nın seninle alay etme zevkini yaşamasına izin verme.
– Bir daha yanıma gelir misin baba? Seni bir daha duyabilecek miyim? – aniden ortadan kaybolmasından korkarak dua ettim.
- Sakin ol kızım. Artık burası benim dünyam. Ve Caraffa'nın gücü onu kapsamıyor. Ne seni ne de Anna'yı asla bırakmayacağım. Ne zaman çağırsan yanına geleceğim. Sakin ol canım.
- Nasıl hissediyorsun baba? Bir şey hissediyor musun?.. – saf sorumdan biraz utanarak yine de sordum.
– Dünya'da hissettiğim her şeyi hissediyorum, sadece çok daha parlak. Bir anda renklerle dolan bir karakalem hayal edin; tüm duygularım, tüm düşüncelerim çok daha güçlü ve daha renkli. Ve bir şey daha... Özgürlük hissi muhteşem!.. Her zaman olduğum gibiyim ama aynı zamanda tamamen farklıyım... Bunu sana nasıl açıklayacağımı bilmiyorum. daha doğrusu canım... Sanki dünyadaki her şeyi hemen kucaklayabilirim, ya da çok uzaklara, yıldızlara uçabilirim... Sanki her istediğimi yapabilirmişim gibi her şey mümkün! Anlatmak, kelimelere dökmek çok zor... Ama inanın kızım, harika! Ve bir şey daha... Artık tüm yaşamlarımı hatırlıyorum! Bir zamanlar başıma gelen her şeyi hatırlıyorum... Hepsi muhteşem. Meğerse bu “öteki” hayat o kadar da kötü değilmiş... O yüzden korkma kızım, eğer buraya gelmek zorunda kalırsan hepimiz seni bekliyor olacağız.
– Söyle baba... Caraffa gibileri orada da gerçekten harika bir hayat mı bekliyor?.. Ama bu durumda yine büyük bir haksızlık!.. Gerçekten her şey yine Dünya'daki gibi olacak mı?!. Gerçekten asla intikam almayacak mı?!!
- Hayır, sevincim, burada Karaffa'ya yer yok. Onun gibi insanların berbat bir dünyaya gittiğini duydum ama henüz oraya gitmedim. Hak ettiklerinin bu olduğunu söylüyorlar!.. Görmek istedim ama henüz zamanım olmadı. Merak etme kızım, buraya geldiğinde hak ettiğini alacak.
"Bana oradan yardım edebilir misin baba?" diye sordum gizli bir umutla.
– Bilmiyorum canım… Bu dünyayı henüz anlayamadım. İlk adımlarını atan bir çocuk gibiyim... Sana cevap verebilmem için önce 'yürümeyi öğrenmem' gerekiyor... Ve artık gitmem gerekiyor. Üzgünüm tatlım. İlk önce iki dünyamız arasında yaşamayı öğrenmeliyim. Bundan sonra sana daha sık geleceğim. Cesaretini topla Isidora ve asla Karaffa'ya teslim olma. Kesinlikle hak ettiğini alacaktır, inanın bana.
Babamın sesi tamamen zayıflayıp kaybolana kadar azaldı... Ruhum sakinleşti. Gerçekten O'ydu!.. Ve yeniden yaşadı, ancak şimdi, bana hâlâ yabancı olan, ölümden sonraki dünyada... Ama kendisinin de söylediği gibi, hala düşünüyor ve hissediyordu - yaşadığı zamandan çok daha parlak. Toprak. Artık onu asla öğrenemeyeceğimden... Beni sonsuza dek terk etmiş olmasından korkamıyordum.
Ama kadınsı ruhum her şeye rağmen hâlâ onun acısını çekiyordu... Yalnız hissettiğimde ona bir insan gibi sarılamadığımı... Melankolimi ve korkumu gizleyemediğimi. geniş göğsü, huzur isteyen... Güçlü, yumuşak avuçlarının artık yorgun başımı okşayamadığını, sanki her şeyin yoluna gireceğini, her şeyin kesinlikle düzeleceğini söylercesine... Bu küçük ve önemsiz görünenleri çok özledim ama öyle sevgili, tamamen "insani" sevinçler ve ruh onlara açtı, huzuru bulamıyordu. Evet, ben bir savaşçıydım... Ama aynı zamanda bir kadındım. En kötüsü olsa bile babamın hep yanımda olacağını bilen tek kızı, hep yanımda olacaktı... Ve tüm bunları acı bir şekilde özledim...
Bir şekilde artan üzüntüyü üzerimden atarak kendimi Karaffa'yı düşünmeye zorladım. Bu tür düşünceler beni anında ayılttı ve kendimi toparlamaya zorladı, çünkü bu "huzurun" sadece geçici bir soluklanma olduğunu çok iyi anlamıştım...
Ama en büyük sürprizim Caraffa'nın hâlâ ortaya çıkmamasıydı...
Günler geçti, endişeler arttı. Onun yokluğuna bir açıklama bulmaya çalıştım ama ne yazık ki aklıma ciddi bir şey gelmedi... Bir şeyler hazırladığını hissettim ama ne olduğunu tahmin edemedim. Yorgun sinirler teslim oldu. Ve beklemekten tamamen çıldırmamak için her gün sarayın etrafında dolaşmaya başladım. Dışarı çıkmam yasak değildi ama onaylanmadı, bu yüzden kilitlenmeye devam etmek istemediğim için kendim yürüyüşe çıkmaya karar verdim... belki birisi bundan hoşlanmayacak olsa da. Sarayın devasa ve alışılmadık derecede zengin olduğu ortaya çıktı. Odaların güzelliği hayal gücünü hayrete düşürdü ama şahsen ben asla bu kadar göz alıcı bir lüks içinde yaşayamazdım... Duvarların ve tavanların yaldızları baskıcıydı, muhteşem fresklerin işçiliğine aykırıydı, altının ışıltılı ortamında boğucuydu. tonlar. Bu harika evi boyayan, eserlerine saatlerce hayranlıkla bakan ve en iyi işçiliğe içtenlikle hayranlık duyan sanatçıların yeteneklerini memnuniyetle anıyorum. Şu ana kadar kimse beni rahatsız etmedi, kimse beni durdurmadı. Gerçi her zaman tanışan, saygıyla eğilen ve yollarına devam eden, her biri kendi işine koşan insanlar vardı. Bu kadar sahte "özgürlüğe" rağmen tüm bunlar endişe vericiydi ve her yeni gün daha fazla endişeyi beraberinde getiriyordu. Bu “sakinlik” sonsuza kadar süremezdi. Ve bunun benim için kesinlikle korkunç ve acı verici bir talihsizliğe "doğuracağından" neredeyse emindim...
Plan:
- giriiş
- 1
Serinin ilk n teriminin toplamı
- 1.1 Bazı kısmi toplam değerleri
- 1.2 Euler formülü
- 1.3 Kısmi toplamların sayı teorik özellikleri
- 2 Serilerin yakınsaklığı
- 2.1 Oresme'nin kanıtı
- 2.2 Farklılığın alternatif kanıtı
- 3 Kısmi toplamlar
- 4 Bağlantılı satır
- 4.1 Dirichlet serisi
- 4.2 Alternatif seri
- 4.3 Rastgele harmonik seri
- 4.4 “İnceltilmiş” harmonik seriler
Notlar
giriiş
Matematikte harmonik bir seri, doğal serinin ardışık sayılarının karşılıklıları olan sonsuz sayıda terimden oluşan bir toplamdır:
.Dizinin adı verildi harmonik, çünkü ikinciden başlayarak terimlerinin her biri iki komşunun harmonik ortalamasıdır.
1. Serinin ilk n teriminin toplamı
Serinin bireysel üyeleri sıfır olma eğilimindedir ancak toplamları ıraksamaktadır. Bir harmonik serinin n'inci kısmi toplamı sn, n'inci harmonik sayıdır:
1.1. Bazı kısmi toplam değerleri
1.2. Euler'in formülü
1740 yılında L. Euler serinin ilk n teriminin toplamı için asimptotik bir ifade elde etti:
,Euler-Mascheroni sabiti nerede ve ln doğal logaritmadır.
Dolayısıyla değer büyük n için olduğunda:
- Harmonik serinin ilk n teriminin toplamı için Euler formülü.1.3. Kısmi toplamların sayı teorik özellikleri
2. Serinin yakınsaklığı
enHarmonik seri çok yavaş ıraksar (kısmi toplamın 100'ü aşması için serinin yaklaşık 1043 elemanına ihtiyaç vardır).
Harmonik serinin ıraksaması teleskopik seriyle karşılaştırılarak gösterilebilir:
,kısmi toplamı açıkça şuna eşittir:
.2.1. Oresme'nin kanıtı
Farklılığın kanıtı, terimlerin aşağıdaki şekilde gruplandırılmasıyla oluşturulabilir:
Son sıra açıkça farklılaşıyor. Bu kanıt ortaçağ bilim adamı Nicholas Orem'den (c. 1350) geliyor.
2.2. Farklılığın alternatif kanıtı
Harmonik serinin toplama yakınsadığını varsayalım:
Daha sonra kesirleri yeniden düzenlediğimizde şunu elde ederiz:
İkinci parantezden çıkaralım:
İkinci braketi şununla değiştirin:
Sol tarafa taşıyalım:
Serinin toplamını yerine koyalım:
Bu denklem açıkça yanlıştır, çünkü bir yarımdan büyüktür, üçte biri dörtte birden büyüktür, vb. Dolayısıyla serinin yakınsaklığına ilişkin varsayımımız yanlıştır ve seri ıraksaktır.
0'a eşit değil çünkü parantezlerin her biri pozitiftir.Bu, S'nin sonsuz olduğu ve onu eşitliğin her iki tarafına ekleme veya çıkarma işlemlerimizin kabul edilemez olduğu anlamına gelir.
3. Kısmi tutarlar
N harmonik serinin kısmi toplamı,
isminde N-th harmonik numarası.
Arasındaki fark N Harmonik sayı ve doğal logaritma N Euler-Mascheroni sabitine yakınsar.
Farklı harmonik sayılar arasındaki fark hiçbir zaman tam sayıya eşit değildir ve harmonik sayı hariç H 1 = 1 bir tam sayı değildir.
4. Bağlantılı satırlar
4.1. Dirichlet serisi
Genelleştirilmiş bir harmonik seri (veya Dirichlet serisi) bir seridir
.Genelleştirilmiş harmonik seri α≤1 için ıraksar ve α>1 için yakınsar.
α düzeyindeki genelleştirilmiş harmonik serilerin toplamı, Riemann zeta fonksiyonunun değerine eşittir:
Çift sayılar için bu değer açıkça pi sayısıyla ifade edilir, örneğin α=3 için değeri analitik olarak bilinmemektedir.
4.2. Alternatif seri
Alternatif harmonik serilerin (siyah bölümler) ilk 14 kısmi toplamı, yakınsamayı gösterir. doğal logaritma 2'den (kırmızı çizgi).
Tüm terimlerin “+” işaretiyle alındığı harmonik serilerden farklı olarak seri
Leibniz testine göre yakınsar. Bu nedenle böyle bir dizi olduğunu söylüyorlar. koşullu yakınsama . Toplamı 2'nin doğal logaritmasına eşittir:
Bu formül Mercator serisinin özel bir durumudur ( İngilizce), doğal logaritma için Taylor serisi.
Arktanjant için Taylor serisinden benzer bir seri elde edilebilir:
Buna Leibniz serisi denir.
4.3. Rastgele harmonik seri
Alberta Üniversitesi'nden Biron Shmuland rastgele bir serinin özelliklerini inceledi
Nerede S N½ olasılıkla aynı olasılıkla +1 ve −1 değerlerini alan bağımsız, aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenler. Bu toplamın 1 olasılığa sahip olduğu ve serinin toplamının rastgele değer ilginç özelliklere sahip. Örneğin, +2 veya −2 noktalarında hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ... değerine sahiptir ve 10 −42'den daha az farklılık gösterir. Shmuland'ın makalesi bu değerin neden 1/8'e yakın olduğunu ancak ona eşit olmadığını açıklıyor.
4.4. “İnceltilmiş” harmonik seriler
Kempner serisi ( İngilizce)Paydaları 9 sayısını içermeyen yalnızca terimlerin kaldığı bir harmonik seriyi düşünürsek, kalan toplamın sayıya yakınlaştığı ortaya çıkar.<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.
