Bilinmeyenlerin sıralı dışlama yöntemi kimin adıdır? Matris gösterim sistemi

Doğrusal bir sistem olsun cebirsel denklemlerçözülmesi gereken (sistemin her denklemini eşitliğe dönüştüren bilinmeyenler xi'nin değerlerini bulun).

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin şunları yapabileceğini biliyoruz:

1) Çözümünüz yok (olun) ortak olmayan).
2) Sonsuz sayıda çözümü var.
3) Var tek karar.

Hatırladığımız gibi Cramer kuralı ve matris yöntemi sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Gauss yöntemi – Herhangi bir sisteme çözüm bulmak için en güçlü ve evrensel araç doğrusal denklemler , Hangi her durumda bizi cevaba götürecek! Yöntemin algoritması her bakımdan üç vaka aynı şekilde çalışır. Cramer ve matris yöntemleri determinant bilgisini gerektiriyorsa, Gauss yöntemini uygulamak için yalnızca bilgiye ihtiyacınız vardır. Aritmetik işlemler Bu da onu ilkokul öğrencilerinin bile erişebilmesini sağlıyor.

Artırılmış matris dönüşümleri ( bu sistemin matrisidir - yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından ve serbest terimlerden oluşan bir sütundan oluşan bir matris) Gauss yöntemindeki doğrusal cebirsel denklem sistemleri:

1) İle troki matrisler Olabilmek yeniden düzenlemek bazı yerlerde.

2) eğer orantılı olanlar matriste görünüyorsa (veya mevcutsa) (olarak özel durum– aynı) çizgiler, ardından takip eder silmek Bu satırların biri hariç tümü matristendir.

3) dönüşümler sırasında matriste sıfır satır belirirse, o zaman da olmalıdır silmek.

4) matrisin bir satırı olabilir çarpmak (bölmek) sıfırdan başka herhangi bir sayıya.

5) matrisin bir satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı.

Gauss yönteminde elemanter dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez.

Gauss yöntemi iki aşamadan oluşur:

1. "Doğrudan hareket" - temel dönüşümleri kullanarak, doğrusal cebirsel denklemler sisteminin genişletilmiş matrisini "üçgen" adım formuna getirin: ana köşegenin altında bulunan genişletilmiş matrisin elemanları sıfıra eşittir (yukarıdan aşağıya hareket). Örneğin, bu türe:

Bunu yapmak için aşağıdaki adımları izleyin:

1) Lineer cebirsel denklemler sisteminin ilk denklemini ele alalım ve x 1'in katsayısı K'ye eşittir. İkinci, üçüncü, vb. denklemleri şu şekilde dönüştürüyoruz: her denklemi (serbest terimler dahil bilinmeyenlerin katsayıları) her denklemdeki bilinmeyen x 1'in katsayısına bölüyoruz ve K ile çarpıyoruz. Bundan sonra birinciyi ikinci denklemden çıkarıyoruz ( bilinmeyenlerin katsayıları ve serbest terimler). İkinci denklemde x 1 için 0 katsayısını elde ederiz. Dönüştürülen üçüncü denklemden, bilinmeyen x 1 için birinci dışındaki tüm denklemler 0 katsayısına sahip olana kadar birinci denklemi çıkarırız.

2) Bir sonraki denkleme geçelim. Bu ikinci denklem olsun ve x 2'nin katsayısı M'ye eşit olsun. Tüm "alt" denklemlerle yukarıda anlatıldığı gibi devam ediyoruz. Böylece bilinmeyen x 2'nin “altında” tüm denklemlerde sıfırlar olacaktır.

3) Bir sonraki denkleme geçin ve son bir bilinmeyene ve dönüştürülmüş serbest terim kalana kadar devam edin.

1. Gauss yönteminin "tersine hareketi", doğrusal cebirsel denklemler sistemine ("aşağıdan yukarıya" hareket) bir çözüm elde etmektir. Son “alt” denklemden bir birinci çözüm elde ediyoruz: bilinmeyen xn. Bunu yapmak için A * x n = B temel denklemini çözüyoruz. Yukarıda verilen örnekte x 3 = 4. Bulunan değeri “üst” ile değiştirin. aşağıdaki denklem ve bir sonraki bilinmeyene göre çözelim. Örneğin x 2 – 4 = 1, yani. x 2 = 5. Tüm bilinmeyenleri bulana kadar böyle devam ederiz.

Örnek.

Bazı yazarların tavsiye ettiği gibi, doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözelim:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir tane olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yapalım:
1 adım . İlk satıra ikinci satırı –1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak –1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir işlem yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

Adım 2 . İlk satır 5 ile çarpılarak ikinci satıra eklendi. İlk satır 3 ile çarpılarak üçüncü satıra eklendi.

Aşama 3 . İlk satır -1 ile çarpıldı, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.

4. Adım . Üçüncü satır, ikinci satıra 2 ile çarpılarak eklendi.

Adım 5 . Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu gösteren bir işaret (daha nadiren bir yazım hatası) "kötü" bir sonuçtur. Yani, aşağıda (0 0 11 |23) gibi bir şey bulursak ve buna göre 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, o zaman büyük bir pay olasılık, temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığı iddia edilebilir.

Bunun tersini yapalım; örneklerin tasarımında sistemin kendisi genellikle yeniden yazılmaz, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınır." Size hatırlatırım, ters hareket aşağıdan yukarıya doğru çalışır. İÇİNDE bu örnekte bir hediye olduğu ortaya çıktı:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dolayısıyla x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Cevap:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Aynı sistemi önerilen algoritmayı kullanarak çözelim. Aldık

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

İkinci denklemi 5'e, üçüncüsünü ise 3'e bölün. Şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

İkinci ve üçüncü denklemleri 4 ile çarparsak şunu elde ederiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Birinci denklemi ikinci ve üçüncü denklemlerden çıkarırsak:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Üçüncü denklemi 0,64'e bölün:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Üçüncü denklemi 0,4 ile çarpın

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

İkinciyi üçüncü denklemden çıkararak "adımlı" bir genişletilmiş matris elde ederiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Böylece hesaplamalar sırasında oluşan hata nedeniyle x 3 = 0,96 yani yaklaşık 1 elde ederiz.

x 2 = 3 ve x 1 = –1.

Bu şekilde çözdüğünüzde hesaplamalarda hiçbir zaman kafanız karışmaz ve hesaplama hatalarına rağmen sonuca ulaşırsınız.

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmenin bu yönteminin programlanması kolaydır ve dikkate alınmaz. spesifik özellikler bilinmeyenler için katsayılar, çünkü pratikte (ekonomik ve teknik hesaplamalarda) tam sayı olmayan katsayılarla uğraşmak gerekir.

Sana başarılar diliyorum! Sınıfta görüşürüz! Öğretmen Dmitry Aystrakhanov.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi aşağıdaki gibidir. Temel dönüşümler kullanılarak, bir doğrusal denklem sistemi, katsayılar matrisinin şu şekilde olacağı bir forma getirilir: yamuk (üçgen veya kademeli ile aynı) veya yamuğa yakın (bundan sonra Gauss yönteminin doğrudan vuruşu - sadece düz vuruş). Böyle bir sistemin bir örneği ve çözümü yukarıdaki şekildedir.

Böyle bir sistemde son denklem yalnızca bir değişken içerir ve değeri kesin olarak bulunabilir. Bu değişkenin değeri daha sonra önceki denklemde değiştirilir ( Gauss yönteminin tersi , sonra tam tersi), önceki değişkenin bulunduğu yerden vb.

Yamuk (üçgen) bir sistemde gördüğümüz gibi üçüncü denklem artık değişken içermiyor sen Ve X ve ikinci denklem değişkendir X .

Sistemin matrisi yamuk şeklini aldıktan sonra sistemin uyumluluk konusunu anlamak, çözüm sayısını belirlemek ve çözümleri bizzat bulmak artık zor değil.

Yöntemin avantajları:

1. Üçten fazla denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken, Gauss yöntemi Cramer yöntemi kadar hantal değildir, çünkü Gauss yöntemiyle çözmek daha az hesaplama gerektirir;
2. Gauss yöntemini kullanarak belirsiz doğrusal denklem sistemlerini çözebilirsiniz; ortak karar(ve bu derste bunlara bakacağız), ancak Cramer'in yöntemini kullanarak yalnızca sistemin belirsiz olduğunu söyleyebiliriz;
3. bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olmadığı doğrusal denklem sistemlerini çözebilirsiniz (bu derste bunları da analiz edeceğiz);
4. Yöntem, ilgili makalede değindiğimiz, bilinmeyenleri değiştirme yöntemi ve denklem ekleme yöntemi olan ilkokul (okul) yöntemlerine dayanmaktadır.

Yamuk (üçgen, adım) doğrusal denklem sistemlerinin çözülmesinin basitliğini herkesin anlaması için, böyle bir sisteme ters hareket kullanarak bir çözüm sunuyoruz. Hızlı karar Bu sistem dersin başındaki resimde gösterilmiştir.

Örnek 1. Tersini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bu trapez sistemde değişken züçüncü denklemden benzersiz bir şekilde bulunur. Değerini ikinci denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız sen:

Artık iki değişkenin değerini biliyoruz - z Ve sen. Bunları ilk denklemde yerine koyarız ve değişkenin değerini alırız X:

Önceki adımlardan denklem sisteminin çözümünü yazıyoruz:

Çok basit bir şekilde çözdüğümüz böyle bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde etmek için, doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleriyle ilişkili ileri vuruşun kullanılması gerekir. Ayrıca çok da zor değil.

Bir doğrusal denklem sisteminin temel dönüşümleri

Bir sistemin denklemlerini cebirsel olarak toplamaya yönelik okul yöntemini tekrarlayarak, sistemin denklemlerinden birine sistemin başka bir denklemini ekleyebileceğimizi ve denklemlerin her birinin bazı sayılarla çarpılabileceğini öğrendik. Sonuç olarak buna eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz. İçinde, bir denklem zaten yalnızca bir değişken içeriyordu ve değerini diğer denklemlerle değiştirerek bir çözüme ulaştık. Böyle bir ekleme, sistemin temel dönüşüm türlerinden biridir. Gauss yöntemini kullanırken çeşitli dönüşüm türlerini kullanabiliriz.

Yukarıdaki animasyon denklem sisteminin nasıl yavaş yavaş yamuğa dönüştüğünü gösteriyor. Yani, ilk animasyonda gördüğünüz ve tüm bilinmeyenlerin değerlerini ondan bulmanın kolay olduğuna kendinizi ikna ettiğiniz şey. Böyle bir dönüşümün nasıl gerçekleştirileceği ve elbette örnekler daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Denklem sisteminde ve sistemin genişletilmiş matrisinde herhangi bir sayıda denklem ve bilinmeyen içeren doğrusal denklem sistemlerini çözerken Olabilmek:

1. satırları yeniden düzenleyin (bu, bu makalenin en başında belirtilmiştir);
2. diğer dönüşümler eşit veya orantılı satırlarla sonuçlanırsa, biri hariç bunlar silinebilir;
3. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu "sıfır" satırları kaldırın;
4. herhangi bir dizeyi belirli bir sayıyla çarpmak veya bölmek;
5. herhangi bir satıra belirli bir sayıyla çarpılarak başka bir satır eklenir.

Dönüşümler sonucunda buna eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Algoritma ve Gauss yöntemini kullanarak sistemin kare matrisli bir doğrusal denklem sistemini çözme örnekleri

Öncelikle bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu doğrusal denklem sistemlerini çözmeyi ele alalım. Böyle bir sistemin matrisi karedir, yani içindeki satır sayısı sütun sayısına eşittir.

Örnek 2. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözme okul yolları, denklemlerden birini terim terim belirli bir sayıyla çarptık, böylece iki denklemdeki ilk değişkenin katsayıları şu şekilde oldu: zıt sayılar. Denklemler eklenirken bu değişken ortadan kaldırılır. Gauss yöntemi de benzer şekilde çalışır.

Basitleştirmek dış görünüşçözümler sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım:

Bu matriste bilinmeyenlerin katsayıları dikey çizgiden önce solda, serbest terimler ise dikey çizgiden sonra sağda yer almaktadır.

Değişkenler için katsayıları bölmenin kolaylığı için (birliğe göre bölme elde etmek için) Sistem matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirelim. Buna eşdeğer bir sistem elde ederiz, çünkü doğrusal denklem sisteminde denklemler birbirinin yerine geçebilir:

Yeni birinci denklemi kullanma değişkeni ortadan kaldırmak X ikinci ve sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, matrisin ikinci satırına, (bizim durumumuzda) ile çarptığımız ilk satırı, üçüncü satıra (bizim durumumuzda, ile) çarptığımız ilk satırı ekleriz.

Bu mümkün çünkü

Sistemimizde üçten fazla denklem olsaydı, sonraki tüm denklemlere ilk satırı eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpmamız gerekirdi.

Sonuç olarak bu sisteme eşdeğer bir matris elde ederiz. yeni sistem ikinciden başlayarak tüm denklemlerin yer aldığı denklemler değişken içermez X :

Ortaya çıkan sistemin ikinci satırını basitleştirmek için, onu çarpın ve bu sisteme eşdeğer bir denklem sisteminin matrisini tekrar elde edin:

Şimdi, ortaya çıkan sistemin ilk denklemini değiştirmeden, ikinci denklemi kullanarak değişkeni ortadan kaldırırız sen sonraki tüm denklemlerden. Bunu yapmak için, sistem matrisinin üçüncü satırına ikinci satırı (bizim durumumuzda ile) çarparak ekleriz.

Sistemimizde üçten fazla denklem olsaydı, sonraki tüm denklemlere eksi işaretiyle alınan karşılık gelen katsayıların oranıyla çarpılarak ikinci bir satır eklememiz gerekirdi.

Sonuç olarak, yine bu doğrusal denklem sistemine eşdeğer bir sistemin matrisini elde ederiz:

Eşdeğer bir yamuk doğrusal denklem sistemi elde ettik:

Denklem ve değişken sayısı örneğimizdekinden fazla ise değişkenleri sırayla eleme işlemi demo örneğimizde olduğu gibi sistem matrisi yamuk hale gelinceye kadar devam eder.

Çözümü "sondan" bulacağız - ters hareket. Bunun için Belirlediğimiz son denklemden z:
.
Bu değeri önceki denklemde yerine koyarsak, bulacağız sen:

İlk denklemden bulacağız X:

Cevap: Bu denklem sisteminin çözümü .

: Bu durumda sistemin tek bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir. Eğer sistem varsa sonsuz kümeçözümler, o zaman cevap bu olacak ve bu zaten bu dersin beşinci bölümünün konusu.

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın

Burada yine denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu tutarlı ve belirli bir doğrusal denklem sistemi örneğiyle karşı karşıyayız. Demo örneğimizin algoritmadan farkı zaten dört denklemin ve dört bilinmeyenin olmasıdır.

Örnek 4. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün:

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Hadi gerçekleştirelim hazırlık çalışmaları. Katsayıların oranını daha uygun hale getirmek için ikinci satırın ikinci sütununda bir tane almanız gerekir. Bunu yapmak için üçüncüyü ikinci satırdan çıkarın ve elde edilen ikinci satırı -1 ile çarpın.

Şimdi üçüncü ve dördüncü denklemlerden değişkenin fiili eliminasyonunu gerçekleştirelim. Bunu yapmak için, ikinci satırı üçüncü satıra, ile çarpılan ikinci satırı dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi üçüncü denklemi kullanarak dördüncü denklemdeki değişkeni ortadan kaldırıyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırı dördüncü satıra ile çarparak ekleyin. Genişletilmiş bir yamuk matris elde ediyoruz.

Şuna eşdeğer bir denklem sistemi elde ettik: bu sistem:

Dolayısıyla ortaya çıkan ve verilen sistemler uyumlu ve kesindir. Son karar“sondan” buluyoruz. Dördüncü denklemden “x-four” değişkeninin değerini doğrudan ifade edebiliriz:

Bu değeri sistemin üçüncü denkleminde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

,

,

Son olarak değer ikamesi

İlk denklem şunu verir

,

“önce x”i nerede bulacağız:

Cevap: Bu denklem sisteminin benzersiz bir çözümü var .

Sistemin çözümünü Cramer yöntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Alaşımlarla ilgili bir problem örneğini kullanarak Gauss yöntemini kullanarak uygulamalı problemleri çözme

Doğrusal denklem sistemleri fiziksel dünyadaki gerçek nesneleri modellemek için kullanılır. Bu sorunlardan birini çözelim: alaşımlar. Benzer problemler – karışımlar, maliyet veya spesifik yer çekimi bir ürün grubundaki bireysel ürünler ve benzerleri.

Örnek 5.Üç parça alaşım var toplam ağırlık 150 kg. İlk alaşım% 60 bakır, ikinci -% 30, üçüncü -% 10 bakır içerir. Ayrıca ikinci ve üçüncü alaşımlarda birinci alaşıma göre 28,4 kg, üçüncü alaşımda ise ikinciye göre 6,2 kg daha az bakır bulunmaktadır. Alaşımın her bir parçasının kütlesini bulun.

Çözüm. Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz:

İkinci ve üçüncü denklemleri 10 ile çarparsak eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz:

Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz:

Dikkat, düz ileri. Bir satırı bir sayıyla çarparak (bizim durumumuzda çıkararak) (bunu iki kez uyguluyoruz), sistemin genişletilmiş matrisinde aşağıdaki dönüşümler meydana gelir:

Doğrudan geçiş bitti. Genişletilmiş bir yamuk matris elde ettik.

Ters hareketi uyguluyoruz. Çözümü sondan buluyoruz. Bunu görüyoruz.

Bulduğumuz ikinci denklemden

Üçüncü denklemden -

Sistemin çözümünü Cramer yöntemini kullanarak bir hesap makinesinde de kontrol edebilirsiniz: bu durumda sistemin benzersiz bir çözümü varsa aynı cevap verilecektir.

Gauss'un yönteminin basitliği, Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un onu icat etmesinin yalnızca 15 dakika sürmesiyle kanıtlanıyor. Kendi adını taşıyan yöntemin yanı sıra, "Bize inanılmaz ve doğal olmayan görüneni, kesinlikle imkansız olanla karıştırmamalıyız" sözü Gauss'un eserlerinden bilinmektedir - bir nevi kısa talimatlar keşifler yapmak.

Birçoğunda uygulamalı problemlerüçüncü bir kısıtlama, yani üçüncü bir denklem olmayabilir, o zaman üç bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmeniz gerekir veya tam tersi, denklemlerden daha az bilinmeyen vardır. Şimdi bu tür denklem sistemlerini çözmeye başlayacağız.

Gauss yöntemini kullanarak herhangi bir sistemin uyumlu olup olmadığını belirleyebilirsiniz. N ile doğrusal denklemler N değişkenler.

Gauss yöntemi ve sonsuz sayıda çözümü olan doğrusal denklem sistemleri

Bir sonraki örnek, sonsuz sayıda çözüme sahip olan, tutarlı fakat belirsiz bir doğrusal denklem sistemidir.

Sistemin genişletilmiş matrisinde dönüşümler gerçekleştirdikten sonra (satırları yeniden düzenlemek, satırları belirli bir sayıyla çarpmak ve bölmek, bir satıra başka bir satır eklemek), formun satırları görünebilir

Forma sahip tüm denklemlerde ise

Serbest terimler sıfıra eşittir, bu da sistemin belirsiz olduğu, yani sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu ve bu tür denklemlerin “gereksiz” olduğu ve bunları sistemin dışında bıraktığımız anlamına gelir.

Örnek 6.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturalım. Daha sonra ilk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden çıkarırız. Bunu yapmak için ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara birinciyi şununla çarparak ekleyin:

Şimdi ikinci satırı üçüncü ve dördüncü satıra ekleyelim.

Sonuç olarak sisteme ulaşıyoruz.

Son iki denklem formun denklemlerine dönüştü. Bu denklemler bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için sağlanır ve atılabilir.

İkinci denklemi sağlamak için ve için isteğe bağlı değerler seçebiliriz, ardından değer benzersiz olarak belirlenecektir: . İlk denklemden değeri de benzersiz olarak bulunur: .

Hem verildi hem de son sistem tutarlı fakat belirsizdir ve formüller

keyfi için ve bize belirli bir sistemin tüm çözümlerini verin.

Gauss yöntemi ve çözümü olmayan doğrusal denklem sistemleri

Bir sonraki örnek tutarsız, yani çözümü olmayan bir doğrusal denklem sistemidir. Bu tür sorunların cevabı şu şekilde formüle edilmiştir: Sistemin çözümü yoktur.

İlk örnekle bağlantılı olarak daha önce de belirtildiği gibi, dönüşümler gerçekleştirildikten sonra formun satırları sistemin genişletilmiş matrisinde görünebilir

formun bir denklemine karşılık gelen

Aralarında sıfırdan farklı en az bir denklem varsa Ücretsiz Üye(yani) ise bu denklem sistemi tutarsızdır, yani çözümü yoktur ve çözümü tamdır.

Örnek 7. Doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün:

Çözüm. Sistemin genişletilmiş bir matrisini oluşturuyoruz. İlk denklemi kullanarak değişkeni sonraki denklemlerden hariç tutuyoruz. Bunun için ilk satırın çarpımını ikinci satıra, ilk satırın üçüncü satırla çarpımını ve ilk satırın dördüncü satırla çarpımını ekleyin.

Şimdi değişkeni sonraki denklemlerden çıkarmak için ikinci denklemi kullanmanız gerekiyor. Katsayıların tamsayı oranlarını elde etmek için sistemin genişletilmiş matrisinin ikinci ve üçüncü satırlarını değiştiririz.

Üçüncü ve dördüncü denklemleri hariç tutmak için, ikincisini , ile çarparak üçüncü satıra ve ikinciyi , ile çarparak dördüncü satıra ekleyin.

Şimdi üçüncü denklemi kullanarak dördüncü denklemdeki değişkeni ortadan kaldırıyoruz. Bunu yapmak için üçüncü satırı dördüncü satıra ile çarparak ekleyin.

Belirtilen sistem dolayısıyla aşağıdakine eşdeğerdir:

Ortaya çıkan sistem tutarsızdır çünkü son denklemi bilinmeyenlerin herhangi bir değeri tarafından karşılanamaz. Dolayısıyla bu sistemin çözümü yoktur.

Gauss yönteminin özü, (1)'i, tüm bilinmeyenlerin değerlerinin sırayla (tersine) elde edildiği üçgen matrisli bir sisteme dönüştürmektir. Hesaplama şemalarından birini ele alalım. Bu devreye tek bölmeli devre denir. Şimdi bu diyagrama bakalım. 11 ≠0 (öncü eleman) ilk denklemi 11'e bölsün. Aldık
(2)
Denklem (2)'yi kullanarak, sistemin geri kalan denklemlerinden x 1 bilinmeyenlerini ortadan kaldırmak kolaydır (bunu yapmak için, daha önce x 1 için karşılık gelen katsayı ile çarpılmış olan her denklemden denklem (2)'yi çıkarmak yeterlidir) yani ilk adımda elde ettiğimiz
.
Başka bir deyişle, 1. adımda, ikinciden başlayarak sonraki satırların her bir öğesi, farka eşit orijinal eleman ile onun ilk sütun ve ilk (dönüştürülmüş) satıra "izdüşümünün" çarpımı arasında.
Bunu takiben, ilk denklemi yalnız bırakarak, ilk adımda elde edilen sistemin geri kalan denklemleri üzerinde benzer bir dönüşüm gerçekleştiriyoruz: bunların arasından öncü elemanlı denklemi seçiyoruz ve onun yardımıyla x 2'yi kalandan hariç tutuyoruz denklemler (adım 2).
N adımdan sonra (1) yerine eşdeğer bir sistem elde ederiz
(3)
Böylece ilk aşamada şunu elde ederiz: üçgen sistem(3). Bu aşamaya ileri vuruş denir.
İkinci aşamada (tersi), (3)'ten sırayla x n, x n -1, ..., x 1 değerlerini buluyoruz.
Ortaya çıkan çözümü x 0 olarak gösterelim. O zaman fark ε=b-A x 0 artık denir.
Eğer ε=0 ise bulunan çözüm x 0 doğrudur.

Gauss yöntemini kullanan hesaplamalar iki aşamada gerçekleştirilir:

1. İlk aşamaya ileri yöntem denir. İlk aşamada orijinal sistem üçgen forma dönüştürülür.
2. İkinci aşamaya ters vuruş denir. İkinci aşamada orijinaline eşdeğer bir üçgen sistem çözülür.

Gauss yönteminin amacı

Gauss yönteminin türleri

1. Klasik Gauss yöntemi;
2. Gauss yönteminin modifikasyonları. Gauss yönteminin modifikasyonlarından biri, ana elemanın seçimini içeren bir şemadır. Ana elemanın seçimi ile ilgili Gauss yönteminin bir özelliği, denklemlerin k'inci adımda baştaki elemanın k'inci sütundaki en büyük eleman olacağı şekilde yeniden düzenlenmesidir.
3. Jordano-Gauss yöntemi;

Gauss yöntemini kullanan bir çözüm örneği
Sistemi çözelim:

Hesaplama kolaylığı için satırları değiştirelim:

2. satırı (2) ile çarpalım. 3. satırı 2. satıra ekleyin

2. satırı (-1) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyin

1. satırdan itibaren x 3'ü ifade ediyoruz:
2. satırdan x 2'yi ifade ediyoruz:
3. satırdan x 1'i ifade ediyoruz:

Jordano-Gauss yöntemini kullanan bir çözüm örneği
Aynı SLAE'yi Jordano-Gauss yöntemini kullanarak çözelim.

Matrisin ana köşegeninde yer alan RE çözümleme elemanını sırayla seçeceğiz.
Çözünürlük elemanı (1)'e eşittir.



KD = GD - (A*B)/RE
RE - çözümleyici öğe (1), A ve B - STE ve RE öğeleriyle bir dikdörtgen oluşturan matris öğeleri.
Her bir elemanın hesaplamasını bir tablo şeklinde sunalım:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Gauss yönteminin uygulanması

Gauss Yöntemini Kullanmak

Gauss yönteminin oyun teorisinde uygulanması

Diferansiyel denklemlerin çözümünde Gauss yönteminin uygulanması

Jordano-Gauss yönteminin doğrusal programlamada uygulanması

Gauss yöntemi Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek için mükemmeldir. Diğer yöntemlere göre bir takım avantajları vardır:

• öncelikle tutarlılık açısından denklem sistemini incelemeye gerek yoktur;
• ikinci olarak, Gauss yöntemi yalnızca denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin tekil olmadığı SLAE'leri değil, aynı zamanda denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerle çakışmadığı denklem sistemlerini de çözebilir. bilinmeyen değişkenlerin sayısı veya ana matrisin determinantı sıfıra eşit;
• üçüncü olarak, Gauss yöntemi göreceli olarak sonuçlara yol açmaktadır. az miktarda hesaplama işlemleri.

Makaleye kısa genel bakış.

Önce verelim gerekli tanımlar ve gösterimi tanıtın.

Daha sonra, en basit durum için Gauss yönteminin algoritmasını açıklayacağız, yani doğrusal cebirsel denklem sistemleri için, bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakışan denklemlerin sayısı ve sistemin ana matrisinin determinantı şöyledir: sıfıra eşit değil. Bu tür denklem sistemlerini çözerken, Gauss yönteminin özü en açık şekilde görülebilir; bu, bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılmasıdır. Bu nedenle Gauss yöntemine bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi de denir. sana göstereceğiz detaylı çözümler birkaç örnek.

Sonuç olarak, ana matrisi dikdörtgen veya tekil olan lineer cebirsel denklem sistemlerinin Gauss yöntemiyle çözümünü ele alacağız. Bu tür sistemlerin çözümü, örneklerle detaylı olarak inceleyeceğimiz bazı özelliklere sahiptir.

Sayfada gezinme.

Temel tanımlar ve gösterimler.

n bilinmeyenli (p, n'ye eşit olabilir) p doğrusal denklemden oluşan bir sistemi düşünün:

Bilinmeyen değişkenler, sayılar (gerçek veya karmaşık) ve serbest terimlerdir.

Eğer , o zaman doğrusal cebirsel denklemler sistemi denir homojen, aksi takdirde - heterojen.

Sistemin tüm denklemlerinin özdeşlik haline geldiği bilinmeyen değişkenlerin değerleri kümesine denir. SLAU'nun kararı.

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri, aksi takdirde - ortak olmayan.

Bir SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa buna denir. kesin. Birden fazla çözüm varsa sistem çağrılır. belirsiz.

Sistemin yazılı olduğunu söylüyorlar koordinat formu , eğer formu varsa
.

Bu sistemdeki matris formu kayıtlar şu şekildedir: - SLAE'nin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenler sütununun matrisi, - serbest terimler matrisi.

A matrisine (n+1). sütun olarak serbest terimlerden oluşan bir matris sütunu eklersek, sözde elde ederiz. genişletilmiş matris Doğrusal denklem sistemleri. Genellikle genişletilmiş matris T harfiyle gösterilir ve serbest terimler sütunu ayrılır dikey çizgi kalan sütunlardan, yani

A kare matrisi denir dejenere determinantı sıfır ise. Eğer ise A matrisi denir dejenere olmayan.

Aşağıdaki noktaya dikkat edilmelidir.

Aşağıdaki işlemleri bir doğrusal cebirsel denklem sistemiyle gerçekleştirirseniz

• iki denklemin yerini değiştirin,
• herhangi bir denklemin her iki tarafını keyfi ve sıfırdan farklı bir gerçek (veya karmaşık) k sayısıyla çarpın,
• herhangi bir denklemin her iki tarafına başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarını şununla çarparak ekleyin: Rasgele sayı k,

bu işe yarayacak eşdeğer sistem Aynı çözümlere sahip olan (veya orijinalindeki gibi hiçbir çözümü olmayan).

Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin genişletilmiş matrisi için bu eylemler, satırlarla temel dönüşümlerin gerçekleştirilmesi anlamına gelecektir:

• iki satırı değiştirerek,
• T matrisinin herhangi bir satırının tüm elemanlarını sıfırdan farklı bir k sayısıyla çarpmak,
• Bir matrisin herhangi bir satırının elemanlarına başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının rastgele bir k sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi.

Artık Gauss yönteminin açıklamasına geçebiliriz.

Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin tekil olmadığı doğrusal cebirsel denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözme.

Bir denklem sistemine çözüm bulma görevi bize verilseydi okulda ne yapardık? .

Bazıları bunu yapardı.

İkinci denklemin sol tarafına ekleme yapıldığına dikkat edin Sol Taraf ilk olarak ve sağ tarafta - sağ tarafta, bilinmeyen x 2 ve x 3 değişkenlerinden kurtulabilir ve hemen x 1'i bulabilirsiniz:

Bulunan x 1 =1 değerini sistemin birinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız:

Sistemin üçüncü denkleminin her iki tarafını -1 ile çarpıp birinci denklemin karşılık gelen kısımlarına eklersek bilinmeyen x 3 değişkeninden kurtuluruz ve x 2'yi bulabiliriz:

Ortaya çıkan x 2 = 2 değerini üçüncü denklemde yerine koyarız ve kalan bilinmeyen değişken x 3'ü buluruz:

Diğerleri farklı yapardı.

Sistemin ilk denklemini bilinmeyen x 1 değişkenine göre çözelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde bu değişkeni hariç tutmak için yerine koyalım:

Şimdi sistemin ikinci denklemini x 2 için çözelim ve elde edilen sonucu üçüncü denklemde yerine koyarak bilinmeyen x 2 değişkenini ortadan kaldıralım:

Sistemin üçüncü denkleminden x 3 =3 olduğu açıktır. Bulduğumuz ikinci denklemden ve elde ettiğimiz ilk denklemden.

Tanıdık çözümler, değil mi?

Buradaki en ilginç şey, ikinci çözüm yönteminin esasen bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi yani Gauss yöntemi olmasıdır. Bilinmeyen değişkenleri (ilk x 1, sonraki aşamada x 2) ifade edip sistemin geri kalan denklemlerine yerleştirdiğimizde onları dışarıda bırakmış oluyoruz. Son denklemde tek bir bilinmeyen değişken kalana kadar yok etme işlemi yaptık. Bilinmeyenlerin sırayla ortadan kaldırılması işlemine ne ad verilir? doğrudan Gauss yöntemi. İleriye doğru hamleyi tamamladıktan sonra son denklemde bulunan bilinmeyen değişkeni hesaplama fırsatına sahip oluyoruz. Onun yardımıyla sondan bir önceki denklemden bir sonraki bilinmeyen değişkeni buluruz vb. İşlem sıralı bulma Son denklemden ilkine geçerken bilinmeyen değişkenlere denir Gauss yönteminin tersi.

İlk denklemde x 1'i x 2 ve x 3 cinsinden ifade ettiğimizde ve elde edilen ifadeyi ikinci ve üçüncü denklemlerde değiştirdiğimizde, aşağıdaki eylemlerin aynı sonuca yol açacağına dikkat edilmelidir:

Aslında böyle bir prosedür, bilinmeyen x 1 değişkeninin sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkarılmasını da mümkün kılar:

Sistem denklemleri bazı değişkenler içermediğinde, Gauss yöntemini kullanarak bilinmeyen değişkenlerin ortadan kaldırılmasıyla ilgili nüanslar ortaya çıkar.

Örneğin, SLAU'da birinci denklemde bilinmeyen x 1 değişkeni yoktur (yani önündeki katsayı sıfırdır). Dolayısıyla bu bilinmeyen değişkeni kalan denklemlerden çıkarmak için sistemin ilk denklemini x 1 için çözemeyiz. Bu durumdan çıkmanın yolu sistemin denklemlerini değiştirmektir. Ana matrislerin determinantları sıfırdan farklı olan lineer denklem sistemlerini ele aldığımız için her zaman ihtiyacımız olan değişkenin bulunduğu bir denklem vardır ve bu denklemi ihtiyacımız olan konuma yeniden düzenleyebiliriz. Örneğimiz için sistemin birinci ve ikinci denklemlerinin yer değiştirmesi yeterlidir. , daha sonra x 1 için ilk denklemi çözebilir ve onu sistemin geri kalan denklemlerinden hariç tutabilirsiniz (her ne kadar x 1 artık ikinci denklemde mevcut olmasa da).

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Hadi tarif edelim Gauss yöntemi algoritması.

n bilinmeyenli n doğrusal cebirsel denklemden oluşan bir sistemi çözmemiz gerektiğini varsayalım. formun değişkenleri ve ana matrisinin determinantının sıfırdan farklı olmasına izin verin.

Bunu her zaman sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek başarabileceğimiz için bunu varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için sistemin ikinci denklemine birincisini çarptığımız denklemi, üçüncü denklemine birincisini ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme birincisini çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edip, elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koysaydık aynı sonuca ulaşırdık. Böylece x 1 değişkeni ikinciden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra benzer şekilde ilerliyoruz, ancak yalnızca sonuçtaki sistemin şekilde işaretlenmiş kısmıyla

Bunu yapmak için sistemin üçüncü denklemine ikinciyi çarpıyoruz, dördüncü denkleme ikinciyi ekliyoruz ve bu şekilde devam ederek n'inci denkleme ikinciyi çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alacaktır:

Nerede ve . Böylece x2 değişkeni üçüncüden başlayarak tüm denklemlerin dışında bırakılır.

Daha sonra sistemin şekilde işaretlenen kısmı ile benzer şekilde hareket ederek bilinmeyen x 3'ü ortadan kaldırmaya devam ediyoruz.

Böylece sistem şu formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine devam ediyoruz:

Bu andan itibaren Gauss yönteminin tersini başlatırız: son denklemden x n'yi şu şekilde hesaplarız, x n'nin elde edilen değerini kullanarak sondan bir önceki denklemden x n-1'i buluruz ve bu şekilde devam ederek ilk denklemden x 1'i buluruz .

Bir örnek kullanarak algoritmaya bakalım.

Örnek.

Gauss yöntemi.

Çözüm.

a 11 katsayısı sıfır değildir, bu nedenle Gauss yönteminin doğrudan ilerlemesine, yani bilinmeyen x 1 değişkeninin birincisi hariç sistemin tüm denklemlerinden hariç tutulmasına geçelim. Bunu yapmak için ikinci, üçüncü ve sağ kısımların sol ve sağ kısımlarına dördüncü denklem birinci denklemin sol ve sağ taraflarını sırasıyla ile çarparak toplayalım, Ve :

Bilinmeyen x 1 değişkeni elendi, şimdi x 2'yi yok etmeye geçelim. Sistemin üçüncü ve dördüncü denklemlerinin sol ve sağ taraflarına, ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını sırasıyla çarparak ekleriz. Ve :

Gauss yönteminin ileri ilerlemesini tamamlamak için sistemin son denkleminden bilinmeyen x3 değişkenini çıkarmamız gerekir. Dördüncü denklemin sol ve sağ taraflarına sırasıyla sol ve sağ taraflarını ekleyelim. Sağ Tarafüçüncü denklemin çarpımı :

Gauss yöntemini tersine çevirmeye başlayabilirsiniz.

Elimizdeki son denklemden ,
elde ettiğimiz üçüncü denklemden,
ikinciden itibaren,
ilkinden.

Kontrol etmek için bilinmeyen değişkenlerin elde edilen değerlerini orijinal denklem sistemine değiştirebilirsiniz. Tüm denklemlerin özdeşliğe dönüşmesi Gauss yöntemini kullanan çözümün doğru bulunduğunu gösterir.

Cevap:

Şimdi aynı örneğe matris gösteriminde Gauss yöntemini kullanarak bir çözüm verelim.

Örnek.

Denklem sisteminin çözümünü bulun Gauss yöntemi.

Çözüm.

Sistemin genişletilmiş matrisi şu şekildedir: . Her sütunun üstünde matrisin elemanlarına karşılık gelen bilinmeyen değişkenler bulunur.

Buradaki Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımı, sistemin genişletilmiş matrisinin temel dönüşümler kullanılarak yamuk forma indirilmesini içerir. Bu işlem, sistemle koordinat formunda yaptığımız bilinmeyen değişkenlerin ortadan kaldırılmasına benzer. Şimdi bunu göreceksiniz.

Matrisi, ikinci sütundan başlayarak ilk sütundaki tüm öğeler sıfır olacak şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için, ikinci, üçüncü ve dördüncü satırların elemanlarına, birinci satırın karşılık gelen elemanlarını ile çarparak ekleriz, ve buna göre:

Daha sonra, ortaya çıkan matrisi, ikinci sütunda üçüncüden başlayarak tüm öğelerin sıfır olacağı şekilde dönüştürüyoruz. Bu, bilinmeyen x 2 değişkeninin ortadan kaldırılmasına karşılık gelecektir. Bunu yapmak için, üçüncü ve dördüncü satırların elemanlarına, matrisin ilk satırının karşılık gelen elemanlarını sırasıyla çarparak ekleriz. Ve :

Geriye bilinmeyen x3 değişkenini sistemin son denkleminden hariç tutmak kalıyor. Bunu yapmak için, elde edilen matrisin son satırının elemanlarına, sondan bir önceki satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleriz: :

Bu matrisin bir doğrusal denklem sistemine karşılık geldiğine dikkat edilmelidir.

ileri bir hamleden sonra daha erken elde edildi.

Geri dönme zamanı geldi. Matris gösteriminde, Gauss yönteminin tersi, elde edilen matrisin şekilde işaretlenen matrisi elde edecek şekilde dönüştürülmesini içerir.

köşegen oldu, yani şeklini aldı

bazı sayılar nerede?

Bu dönüşümler Gauss yönteminin ileri dönüşümlerine benzer ancak ilk satırdan sonuncuya değil, sondan birinciye doğru gerçekleştirilir.

Üçüncü, ikinci ve birinci satırların elemanlarına, son satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleyin: , durmadan sırasıyla:

Şimdi ikinci ve birinci satırların elemanlarına üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarını sırasıyla ve ile çarparak ekleyin:

Ters Gauss yönteminin son adımında, ilk satırın elemanlarına ikinci satırın karşılık gelen elemanlarını şununla çarparak ekleriz:

Ortaya çıkan matris denklem sistemine karşılık gelir bilinmeyen değişkenleri bulduğumuz yerden.

Cevap:

NOT.

Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemini kullanırken, tamamen yanlış sonuçlara yol açabileceğinden yaklaşık hesaplamalardan kaçınılmalıdır. Ondalık sayıları yuvarlamamanızı öneririz. Daha iyi ondalık sayılar sıradan kesirlere geçin.

Örnek.

Gauss yöntemini kullanarak üç denklemden oluşan bir sistemi çözme .

Çözüm.

Bu örnekte bilinmeyen değişkenlerin farklı bir atamaya sahip olduğuna dikkat edin (x 1, x 2, x 3 değil, x, y, z). Sıradan kesirlere geçelim:

Bilinmeyen x'i sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden çıkaralım:

Ortaya çıkan sistemde, bilinmeyen değişken y ikinci denklemde yok, ancak üçüncü denklemde y mevcut, bu nedenle ikinci ve üçüncü denklemleri yer değiştirelim:

Bu, Gauss yönteminin doğrudan ilerleyişini tamamlar (bu bilinmeyen değişken artık mevcut olmadığından y'yi üçüncü denklemden çıkarmaya gerek yoktur).

Ters harekete başlayalım.

Bulduğumuz son denklemden ,
sondan bir öncekinden


elimizdeki ilk denklemden

Cevap:

X = 10, y = 5, z = -20.

Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla örtüşmediği veya sistemin ana matrisinin tekil olduğu doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin Gauss yöntemini kullanarak çözülmesi.

Ana matrisi dikdörtgen veya kare tekil olan denklem sistemlerinin çözümü olmayabilir, tek çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir.

Şimdi Gauss yönteminin bir doğrusal denklem sisteminin uyumluluğunu veya tutarsızlığını belirlememize ve uyumlu olması durumunda tüm çözümleri (veya tek bir çözümü) belirlememize nasıl izin verdiğini anlayacağız.

Prensip olarak, bu tür SLAE'ler durumunda bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırma süreci aynı kalır. Ancak ortaya çıkabilecek bazı durumlar hakkında detaya inmekte fayda var.

Gelelim en önemli aşamaya.

Dolayısıyla, Gauss yönteminin ileri ilerlemesini tamamladıktan sonra doğrusal cebirsel denklemler sisteminin şu şekli aldığını varsayalım: ve tek bir denklem bile indirgenmedi (bu durumda sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırdık). Mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: "Bundan sonra ne yapmalı?"

Ortaya çıkan sistemin tüm denklemlerinde ilk sırada yer alan bilinmeyen değişkenleri yazalım:

Örneğimizde bunlar x 1, x 4 ve x 5'tir. Sistemin denklemlerinin sol taraflarında yalnızca yazılı bilinmeyen değişkenler x 1, x 4 ve x 5'i içeren terimleri bırakıyoruz, geri kalan terimler ters işaretle denklemlerin sağ tarafına aktarılıyor:

Denklemlerin sağ tarafında yer alan bilinmeyen değişkenlere keyfi değerler verelim; - keyfi sayılar:

Bundan sonra SLAE'mizin tüm denklemlerinin sağ tarafları sayılar içerir ve Gauss yönteminin tersine ilerleyebiliriz.

Sistemin sahip olduğumuz son denkleminden, bulduğumuz sondan bir önceki denklemden, elde ettiğimiz ilk denklemden

Bir denklem sisteminin çözümü, bilinmeyen değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir

Numara Vermek Farklı anlamlar, Alacağız çeşitli çözümler denklem sistemleri. Yani denklem sistemimizin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Cevap:

Nerede - keyfi sayılar.

Malzemeyi pekiştirmek için birkaç örneğin daha çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Örnek.

Karar vermek homojen sistem doğrusal cebirsel denklemler Gauss yöntemi.

Çözüm.

Bilinmeyen x değişkenini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden hariç tutalım. Bunu yapmak için ikinci denklemin sol ve sağ taraflarına sırasıyla birinci denklemin sol ve sağ taraflarını ile çarparak, üçüncü denklemin sol ve sağ taraflarına ise sol ve sağ taraflarını ekliyoruz. ilk denklemin sağ taraflarının çarpımı:

Şimdi ortaya çıkan denklem sisteminin üçüncü denkleminden y'yi hariç tutalım:

Ortaya çıkan SLAE, sisteme eşdeğerdir .

Sistem denklemlerinin sol tarafında yalnızca bilinmeyen x ve y değişkenlerini içeren terimleri bırakıp, bilinmeyen değişken z'yi içeren terimleri sağ tarafa taşıyoruz:

Bu makalede yöntem, doğrusal denklem sistemlerinin (SLAE'ler) çözümüne yönelik bir yöntem olarak ele alınmaktadır. Yöntem analitiktir, yani bir çözüm algoritması yazmanıza olanak tanır. Genel görünüm ve ardından buradaki belirli örneklerden değerleri değiştirin. Matris yönteminden veya Cramer formüllerinden farklı olarak, Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken, sonsuz sayıda çözümü olanlarla da çalışabilirsiniz. Veya hiç sahip değiller.

Gauss yöntemini kullanarak çözmek ne anlama gelir?

Öncelikle denklem sistemimizi şöyle yazmamız gerekiyor. Sistemi ele alalım:

Katsayılar tablo halinde, serbest terimler ise sağ tarafta ayrı bir sütuna yazılır. Serbest terimlerin bulunduğu sütun kolaylık sağlamak için ayrılmıştır. Bu sütunu içeren matrise genişletilmiş denir.

Daha sonra katsayıları olan ana matrisin en üste getirilmesi gerekiyor üçgen şekli. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmenin ana noktası budur. Basitçe söylemek gerekirse, belirli manipülasyonlardan sonra matris, sol alt kısmı yalnızca sıfır içerecek şekilde görünmelidir:

O zaman yazarsak yeni matris yine bir denklem sistemi olarak şunu fark edebiliriz: son satır zaten köklerden birinin değerini içeriyor, bu daha sonra yukarıdaki denklemde ikame ediliyor, başka bir kök bulunuyor ve bu şekilde devam ediyor.

Bu, Gauss yöntemiyle çözümün çoğu durumda bir açıklamasıdır. Genel taslak. Aniden sistemin çözümü kalmazsa ne olur? Yoksa bunlardan sonsuz sayıda mı var? Bunları ve diğer birçok soruyu cevaplamak için Gauss yöntemini çözmede kullanılan tüm unsurları ayrı ayrı ele almak gerekir.

Matrisler, özellikleri

Hiçbiri gizli anlam matriste değil. Basit uygun yol onlarla sonraki işlemler için verilerin kaydedilmesi. Okul çocuklarının bile onlardan korkmasına gerek yok.

Matris her zaman dikdörtgendir çünkü daha uygundur. Her şeyin üçgen formlu bir matris oluşturmaya geldiği Gauss yönteminde bile, girişte yalnızca sayıların olmadığı yerde sıfırlarla bir dikdörtgen belirir. Sıfırlar yazılmamış olabilir ancak ima edilmiştir.

Matrisin bir boyutu vardır. “Genişliği” satır sayısıdır (m), “uzunluk” sütun sayısıdır (n). Daha sonra A matrisinin boyutu (büyük harfler genellikle bunları belirtmek için kullanılır) edebiyat) A m×n olarak gösterilecektir. Eğer m=n ise bu matris karedir ve m=n onun mertebesidir. Buna göre, A matrisinin herhangi bir elemanı satır ve sütun numaralarıyla gösterilebilir: a xy; x - satır numarası, değişiklikler, y - sütun numarası, değişiklikler.

B kararın ana noktası değildir. Prensip olarak, tüm işlemler doğrudan denklemlerle gerçekleştirilebilir, ancak gösterim çok daha hantal olacak ve kafanın karışması çok daha kolay olacaktır.

Belirleyici

Matrisin de bir determinantı vardır. Bu çok önemli karakteristik. Artık anlamını bulmaya gerek yok; basitçe nasıl hesaplandığını gösterebilir ve ardından matrisin hangi özelliklerini belirlediğini söyleyebilirsiniz. Determinantı bulmanın en kolay yolu köşegenlerdir. Matriste hayali köşegenler çizilir; her birinde bulunan elemanlar çarpılır ve daha sonra ortaya çıkan ürünler eklenir: sağa eğimli köşegenler - artı işaretli, sola eğimli - eksi işaretli.

Determinantın yalnızca kare matris için hesaplanabileceğini belirtmek son derece önemlidir. İçin dikdörtgen matrisşunu yapabilirsiniz: satır sayısından ve sütun sayısından en küçüğünü seçin (k olsun) ve ardından matriste k sütunu ve k satırı rastgele işaretleyin. Seçilen sütun ve satırların kesişiminde yer alan elemanlar yeni bir yapı oluşturacaktır. Kare matris. Böyle bir matrisin determinantı sıfırdan farklı bir sayı ise buna orijinal dikdörtgen matrisin temel minörü denir.

Gauss yöntemini kullanarak bir denklem sistemini çözmeye başlamadan önce determinantı hesaplamanın zararı olmaz. Eğer sıfır çıkarsa, o zaman matrisin ya sonsuz sayıda çözümü olduğunu ya da hiç çözümü olmadığını hemen söyleyebiliriz. Böyle üzücü bir durumda daha ileri gitmeniz ve matrisin rütbesini öğrenmeniz gerekir.

Sistem sınıflandırması

Matrisin rütbesi diye bir şey vardır. Bu maksimum sipariş sıfırdan farklı olan determinantı (küçük tabanını hatırlarsak, matrisin sırasının küçük temelin sırası olduğunu söyleyebiliriz).

Dereceli duruma bağlı olarak SLAE şu şekilde ayrılabilir:

• Eklem yeri. sen Ortak sistemlerde, ana matrisin sıralaması (yalnızca katsayılardan oluşur), genişletilmiş matrisin sıralamasıyla (bir serbest terimler sütunu ile) çakışır. Bu tür sistemlerin bir çözümü vardır, ancak mutlaka bir çözüm olması gerekmez, dolayısıyla ek olarak ortak sistemler bölündü:
• - kesin- tek bir çözüme sahip olmak. Bazı sistemlerde matrisin sırası ve bilinmeyenlerin sayısı (veya aynı şey olan sütun sayısı) eşittir;
• - Tanımsız - sonsuz sayıda çözümle. Bu tür sistemlerde matrislerin sıralaması bilinmeyenlerin sayısından azdır.
• Uyumsuz. sen Bu tür sistemlerde ana ve genişletilmiş matrislerin sıraları çakışmaz. Uyumsuz sistemlerin çözümü yoktur.

Gauss yöntemi iyidir çünkü çözüm sırasında ya sistemin tutarsızlığının kesin bir kanıtını (büyük matrislerin determinantlarını hesaplamadan) ya da sonsuz sayıda çözümü olan bir sistem için genel formda bir çözüm elde etmeyi sağlar.

Temel dönüşümler

Doğrudan sistemi çözmeye geçmeden önce, onu daha az hantal ve hesaplamalar için daha uygun hale getirebilirsiniz. Bu, temel dönüşümler yoluyla gerçekleştirilir; böylece bunların uygulanması, nihai cevabı hiçbir şekilde değiştirmez. Verilen temel dönüşümlerden bazılarının yalnızca kaynağı SLAE olan matrisler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir. İşte bu dönüşümlerin bir listesi:

1. Dizelerin yeniden düzenlenmesi. Açıkçası sistem kaydındaki denklemlerin sırasını değiştirmeniz çözümü hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Sonuç olarak, bu sistemin matrisindeki satırlar da değiştirilebilir, tabii ki serbest terimler sütununu da unutmadan.
2. Bir dizenin tüm elemanlarının belirli bir katsayı ile çarpılması. Çok yararlı! Kısaltmak için kullanılabilir büyük sayılar matriste veya sıfırları kaldırın. Çoğu karar, her zamanki gibi değişmeyecek, ancak daha sonraki operasyonlar daha uygun hale gelecektir. Önemli olan, katsayının sıfıra eşit olmamasıdır.
3. Orantılı çarpanlara sahip satırların kaldırılması. Bu kısmen önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Bir matristeki iki veya daha fazla satırın orantısal katsayıları varsa, satırlardan biri orantı katsayısıyla çarpıldığında/bölüldüğünde, iki (veya yine daha fazla) tamamen aynı satır elde edilir ve fazla olanlar kaldırılabilir. sadece bir.
4. Boş bir satırın kaldırılması. Dönüşüm sırasında, serbest terim de dahil olmak üzere tüm elemanların sıfır olduğu bir yerde bir satır elde edilirse, böyle bir satıra sıfır denilebilir ve matrisin dışına atılabilir.
5. Bir satırın elemanlarına diğerinin elemanlarının (ilgili sütunlarda) eklenmesi, belirli bir katsayı ile çarpılması. Tüm dönüşümlerin en bariz ve en önemlisi. Üzerinde daha ayrıntılı olarak durmaya değer.

Bir faktörle çarpılmış bir dize ekleme

Anlaşılma kolaylığı açısından bu süreci adım adım özetlemeye değer. Matristen iki satır alınır:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b2

Diyelim ki birinciyi ikinciye "-2" katsayısıyla çarpmanız gerekiyor.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Daha sonra matristeki ikinci satır yenisiyle değiştirilir ve birincisi değişmeden kalır.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Çarpma katsayısının, iki satırın eklenmesi sonucunda yeni satırın elemanlarından birinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçilebileceğine dikkat edilmelidir. Dolayısıyla bilinmeyenin az olacağı bir sistemde denklem elde etmek mümkündür. Ve eğer bu tür iki denklem elde ederseniz, işlem tekrar yapılabilir ve iki daha az bilinmeyen içeren bir denklem elde edilebilir. Ve orijinalin altındaki tüm satırların bir katsayısını her sıfıra çevirdiğinizde, merdivenler gibi matrisin en altına inebilir ve bir bilinmeyenli bir denklem elde edebilirsiniz. Buna Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözmek denir.

Genel olarak

Bir sistem olsun. M denklemi ve n bilinmeyen kökü var. Bunu aşağıdaki gibi yazabilirsiniz:

Ana matris sistem katsayılarından derlenmiştir. Genişletilmiş matrise serbest terimlerden oluşan bir sütun eklenir ve kolaylık olması açısından bir çizgiyle ayrılır.

• matrisin ilk satırı k = (-a 21 /a 11) katsayısı ile çarpılır;
• matrisin değiştirilen ilk satırı ile ikinci satırı eklenir;
• ikinci satır yerine önceki paragraftaki eklemenin sonucu matrise eklenir;
• şimdi ilk katsayı yeni ikinci doğru 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0'dır.

Şimdi aynı dönüşüm dizisi gerçekleştirilir, yalnızca birinci ve üçüncü sıralar söz konusudur. Buna göre algoritmanın her adımında a (21) elemanının yerini 31 alır. Sonra her şey 41, ... m1 için tekrarlanır. Sonuç, satırlardaki ilk elemanın sıfır olduğu bir matristir. Artık birinci satırı unutup ikinci satırdan başlayarak aynı algoritmayı uygulamanız gerekiyor:

• katsayısı k = (-a 32 /a 22);
• değiştirilen ikinci satır “geçerli” satıra eklenir;
• toplamanın sonucu üçüncü, dördüncü vb. satırlara aktarılır, birinci ve ikinci satırlar değişmeden kalır;
• matrisin satırlarında ilk iki öğe zaten sıfıra eşittir.

Algoritma k = (-a m,m-1 /a mm) katsayısı görünene kadar tekrarlanmalıdır. Bu şu anlama gelir: son kez Algoritma yalnızca alt denklem için gerçekleştirildi. Artık matris bir üçgene benziyor veya basamaklı bir şekle sahip. Sonuç olarak a mn × x n = b m eşitliği vardır. Katsayı ve serbest terim bilinmektedir ve kök bunlarla ifade edilir: x n = b m /a mn. Ortaya çıkan kök, x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1'i bulmak için üst satıra yerleştirilir. Ve benzetme yoluyla böyle devam eder: sonraki her satırda yeni kök ve sistemin "tepesine" ulaşıldığında birçok çözüm bulunabilir. Tek olacak.

Çözüm olmadığında

Matris satırlarından birinde serbest terim dışındaki tüm elemanlar sıfıra eşitse bu satıra karşılık gelen denklem 0 = b gibi görünür. Çözümü yok. Ve böyle bir denklem sisteme dahil edildiğinden, tüm sistemin çözüm kümesi boştur, yani dejeneredir.

Sonsuz sayıda çözüm olduğunda

Verilen üçgen matriste denklemin bir katsayı elemanı ve bir serbest terimi olan satırların bulunmaması mümkündür. Yalnızca yeniden yazıldığında iki veya daha fazla değişkenli bir denklem gibi görünen çizgiler vardır. Bu, sistemin sahip olduğu anlamına gelir sonsuz sayı kararlar. Bu durumda cevap genel bir çözüm şeklinde verilebilir. Nasıl yapılır?

Matristeki tüm değişkenler temel ve serbest olarak ayrılmıştır. Temel olanlar, adım matrisindeki satırların "kenarında" duranlardır. Gerisi ücretsizdir. Genel çözümde temel değişkenler serbest değişkenler üzerinden yazılır.

Kolaylık sağlamak için, matris önce bir denklem sistemine yeniden yazılır. Daha sonra, tam olarak tek bir temel değişkenin kaldığı sonuncusunda, o bir tarafta kalır ve geri kalan her şey diğer tarafa aktarılır. Bu, bir temel değişkene sahip her denklem için yapılır. Daha sonra kalan denklemlerde mümkün olduğunca temel değişken yerine kendisi için elde edilen ifade değiştirilir. Sonuç yine tek bir temel değişken içeren bir ifade ise, buradan tekrar ifade edilir ve her temel değişken serbest değişkenli bir ifade olarak yazılana kadar bu şekilde devam eder. Bu SLAE'nin genel çözümüdür.

Ayrıca sistemin temel çözümünü de bulabilirsiniz - serbest değişkenlere herhangi bir değer verin ve ardından bu özel durum için temel değişkenlerin değerlerini hesaplayın. Verilebilecek sonsuz sayıda özel çözüm vardır.

Özel örneklerle çözüm

Burada bir denklem sistemi var.

Kolaylık sağlamak için matrisini hemen oluşturmak daha iyidir

Gauss yöntemiyle çözüldüğünde ilk satıra karşılık gelen denklemin dönüşümler sonunda değişmeden kalacağı bilinmektedir. Bu nedenle, matrisin sol üst elemanının en küçük olması daha karlı olacaktır - o zaman işlemlerden sonra kalan satırların ilk elemanları sıfıra dönecektir. Bu, derlenmiş matriste ikinci satırı birincinin yerine koymanın avantajlı olacağı anlamına gelir.

ikinci satır: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

üçüncü satır: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Şimdi kafanızın karışmaması için matrisi şununla yazmanız gerekir: ara sonuçlar dönüşümler.

Açıkçası, böyle bir matris belirli işlemler kullanılarak algılama için daha uygun hale getirilebilir. Örneğin, her bir öğeyi “-1” ile çarparak ikinci satırdaki tüm “eksileri” kaldırabilirsiniz.

Ayrıca üçüncü satırdaki tüm elemanların üçün katı olduğunu da belirtmekte fayda var. Daha sonra, her öğeyi "-1/3" (eksi - aynı zamanda kaldırmak için) ile çarparak satırı bu sayıya kadar kısaltabilirsiniz. negatif değerler).

Çok daha güzel görünüyor. Artık birinci satırı bırakıp ikinci ve üçüncü satırlarla çalışmamız gerekiyor. Görev, ikinci satırı üçüncü satıra eklemek, öyle bir katsayıyla çarpmaktır ki, a 32 elemanı sıfıra eşit olur.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (bazı dönüşümler sırasında yanıtın bir tam sayı olmadığı ortaya çıkarsa, hesaplamaların doğruluğunun korunması önerilir. "olduğu gibi", formda ortak kesir ve ancak o zaman, cevaplar alındığında yuvarlayıp başka bir kayıt biçimine dönüştürüp dönüştürmemeye karar verin)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matris yeni değerlerle yeniden yazılır.

Gördüğünüz gibi ortaya çıkan matris zaten basamaklı bir forma sahip. Bu nedenle sistemin Gauss yöntemi kullanılarak daha fazla dönüştürülmesine gerek yoktur. Burada yapılabilecek şey üçüncü satırdan çıkarmaktır. genel katsayı "-1/7".

Şimdi her şey çok güzel. Geriye kalan tek şey matrisi tekrar denklem sistemi şeklinde yazıp kökleri hesaplamak

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Artık köklerin bulunacağı algoritmaya Gauss yönteminde ters hareket adı verilmektedir. Denklem (3) z değerini içerir:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Ve ilk denklem x'i bulmamızı sağlar:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Böyle bir sistemi ortak, hatta kesin, yani benzersiz bir çözüme sahip olarak adlandırma hakkımız var. Cevap aşağıdaki biçimde yazılmıştır:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Belirsiz bir sisteme örnek

Belirli bir sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözmenin çeşidi analiz edildi; şimdi sistemin belirsiz olup olmadığı, yani bunun için sonsuz sayıda çözümün bulunabileceği durumu dikkate almak gerekir.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sistemin görünümü zaten endişe vericidir, çünkü bilinmeyenlerin sayısı n = 5'tir ve sistem matrisinin sıralaması zaten bu sayıdan tam olarak daha azdır, çünkü satır sayısı m = 4'tür, yani, determinant karenin en yüksek derecesi 4'tür. Bu, sonsuz sayıda çözüm olduğu ve genel görünümüne bakmanız gerektiği anlamına gelir. Doğrusal denklemler için Gauss yöntemi bunu yapmanıza olanak sağlar.

İlk olarak, her zamanki gibi genişletilmiş bir matris derlenir.

İkinci satır: k katsayısı = (-a 21 /a 11) = -3. Üçüncü satırda ise ilk element dönüşümlerden önce olduğu için hiçbir şeye dokunmanıza gerek yok, olduğu gibi bırakmanız gerekiyor. Dördüncü satır: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

İlk satırın elemanlarını sırasıyla katsayılarıyla çarparak ve gerekli satırlara ekleyerek aşağıdaki formda bir matris elde ederiz:

Gördüğünüz gibi ikinci, üçüncü ve dördüncü sıralar birbiriyle orantılı unsurlardan oluşuyor. İkinci ve dördüncü genellikle aynıdır, yani bunlardan biri hemen kaldırılabilir ve geri kalan "-1" katsayısı ile çarpılarak 3 numaralı satırı elde edilebilir. Ve yine iki özdeş satırdan bir tane bırakın.

Sonuç bunun gibi bir matristir. Sistem henüz yazılmamış olsa da, burada temel değişkenlerin (a 11 = 1 ve a 22 = 1 katsayılarında duranlar ve serbest olanlar) diğerlerinin belirlenmesi gerekir.

İkinci denklemde yalnızca bir temel değişken vardır - x 2. Bu, serbest olan x 3 , x 4 , x 5 değişkenleri aracılığıyla oradan yazılarak ifade edilebileceği anlamına gelir.

Ortaya çıkan ifadeyi ilk denklemde yerine koyarız.

Sonuç, tek temel değişkenin x 1 olduğu bir denklemdir. X 2 ile yaptığımızın aynısını onunla da yapalım.

İki tane olan tüm temel değişkenler üç serbest değişkenle ifade edilir; artık cevabı genel biçimde yazabiliriz.

Ayrıca sistemin belirli çözümlerinden birini de belirleyebilirsiniz. Bu gibi durumlarda serbest değişkenlerin değeri olarak genellikle sıfırlar seçilir. O zaman cevap şu olacaktır:

16, 23, 0, 0, 0.

İşbirlikçi olmayan bir sistem örneği

Çözüm uyumsuz sistemler Gauss yöntemine göre denklemler - en hızlısı. Aşamalardan birinde çözümü olmayan bir denklem elde edilir edilmez hemen sona erer. Yani oldukça uzun ve meşakkatli olan köklerin hesaplanması aşaması ortadan kalkmaktadır. Aşağıdaki sistem dikkate alınır:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Her zamanki gibi matris derlendi:

Ve kademeli bir forma indirgenir:

k 1 = -2k 2 = -4

İlk dönüşümden sonra üçüncü satır şu şekilde bir denklem içerir:

bir çözüm olmadan. Sonuç olarak sistem tutarsızdır ve cevap boş küme olacaktır.

Yöntemin avantajları ve dezavantajları

SLAE'leri kağıt üzerinde kalemle çözmek için hangi yöntemi seçerseniz, bu makalede tartışılan yöntem en çekici görünüyor. İÇİNDE temel dönüşümler Bir determinantı veya bazı zor ters matrisleri manuel olarak aramanız gerektiğinden, kafanızın karışması çok daha zordur. Ancak, örneğin bu tür verilerle çalışmak için programlar kullanıyorsanız, elektronik tablolar, o zaman bu tür programların zaten matrislerin ana parametrelerini (determinant, küçükler, ters vb.) hesaplamak için algoritmalar içerdiği ortaya çıktı. Ve makinenin bu değerleri kendisinin hesaplayacağından ve hata yapmayacağından eminseniz, matris yöntemini veya Cramer formüllerini kullanmanız daha tavsiye edilir, çünkü bunların kullanımı determinantların hesaplanmasıyla başlar ve biter ve ters matrisler.

Başvuru

Gauss çözümü bir algoritma olduğundan ve matris aslında iki boyutlu bir dizi olduğundan programlamada kullanılabilir. Ancak makale kendisini "aptallar için" bir rehber olarak konumlandırdığı için, yöntemi yerleştirmenin en kolay yerinin elektronik tablolar, örneğin Excel olduğu söylenmelidir. Yine matris biçiminde bir tabloya girilen herhangi bir SLAE, Excel tarafından iki boyutlu bir dizi olarak değerlendirilecektir. Ve onlarla işlemler için pek çok güzel komut var: toplama (yalnızca matrisler ekleyebilirsiniz) aynı boyutlar!), bir sayıyla çarpma, matris çarpımı (aynı zamanda belirli kısıtlamalar), ters ve transpoze matrisleri bulmak ve en önemlisi determinantı hesaplamak. Zaman alıcı bu görevin yerini tek bir komut alırsa, matrisin sıralamasını çok daha hızlı belirlemek ve dolayısıyla uyumluluğunu veya uyumsuzluğunu tespit etmek mümkün olur.