Bir b sayısının a tabanına göre logaritması, b sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken üstür.
Eğer öyleyse.
Logaritma - aşırı önemli matematiksel miktar logaritmik hesaplama sadece çözmeye izin vermediğinden üstel denklemler, ancak aynı zamanda göstergelerle çalışır, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, bunları entegre edin ve hesaplanacak daha kabul edilebilir bir forma getirin.
Logaritmanın tüm özellikleri üstel fonksiyonların özellikleriyle doğrudan ilişkilidir. Örneğin, gerçek şu ki 
şu anlama gelir:
Çözerken şunu belirtmek gerekir. belirli görevler Logaritmanın özellikleri, kuvvetlerle çalışma kurallarından daha önemli ve faydalı olabilir.
Bazı kimlikleri sunalım:
Temel cebirsel ifadeler şunlardır:
;
.
Dikkat! yalnızca x>0, x≠1, y>0 için var olabilir.
Doğal logaritmanın ne olduğu sorusunu anlamaya çalışalım. Matematiğe özel ilgi iki türü temsil eder- birincisinin tabanında “10” rakamı vardır ve “ ondalık logaritma" İkincisine doğal denir. Doğal logaritmanın tabanı “e” sayısıdır. Bu yazımızda detaylı olarak konuşacağımız şey budur.
Tanımlar:
- lg x - ondalık;
- ln x - doğal.
Özdeşliği kullanarak ln e = 1 olduğunu ve lg 10=1 gerçeğini görebiliriz.
Doğal logaritma grafiği
Standardı kullanarak doğal logaritmanın bir grafiğini oluşturalım klasik şekilde puan bazında. Dilerseniz fonksiyonu inceleyerek fonksiyonu doğru kurup kurmadığımızı kontrol edebilirsiniz. Ancak logaritmanın nasıl doğru şekilde hesaplanacağını bilmek için onu "manuel" olarak nasıl oluşturacağınızı öğrenmek mantıklıdır.
Fonksiyon: y = ln x. Grafiğin geçeceği noktaların bir tablosunu yazalım:
X argümanının neden bu özel değerlerini seçtiğimizi açıklayalım. Her şey kimlikle ilgili: . Doğal logaritma için bu özdeşlik şöyle görünecektir:
Kolaylık sağlamak için beş referans noktası alabiliriz:
;
;
.
;
.
Dolayısıyla doğal logaritmaların hesaplanması oldukça basit bir iştir; üstelik kuvvetlerle yapılan işlemlerin hesaplamalarını basitleştirir ve bunları logaritmalara dönüştürür. sıradan çarpma.
Bir grafiği noktadan noktaya çizerek yaklaşık bir grafik elde ederiz:
Doğal logaritmanın tanım alanı (yani tüm geçerli değerler argüman X) - tüm sayılar sıfırdan büyüktür.
Dikkat! Doğal logaritmanın tanım alanı yalnızca pozitif sayılar! Tanımın kapsamına x=0 dahil değildir. Logaritmanın varlığına ilişkin koşullar göz önüne alındığında bu imkansızdır.
Değer aralığı (yani y = ln x fonksiyonunun tüm geçerli değerleri), aralıktaki tüm sayılardır.
Doğal log sınırı
Grafiği incelerken şu soru ortaya çıkıyor: fonksiyon y noktasında nasıl davranıyor?<0.
Açıkçası, fonksiyonun grafiği y eksenini geçme eğilimindedir, ancak x'in doğal logaritması nedeniyle bunu yapamayacaktır.<0 не существует.
Doğallığın sınırı kayıtşu şekilde yazılabilir:
Logaritmanın tabanını değiştirme formülü
Doğal bir logaritmayla uğraşmak, keyfi bir tabanı olan bir logaritmayla uğraşmaktan çok daha kolaydır. Bu nedenle herhangi bir logaritmayı doğal logaritmaya nasıl indirgeyebileceğimizi veya doğal logaritmalar aracılığıyla keyfi bir tabana nasıl ifade edebileceğimizi öğrenmeye çalışacağız.
Logaritmik özdeşlikle başlayalım:
O zaman herhangi bir sayı veya değişken y şu şekilde temsil edilebilir:
burada x herhangi bir sayıdır (logaritmanın özelliklerine göre pozitif).
Bu ifade her iki tarafta logaritmik olarak alınabilir. Bunu isteğe bağlı bir z tabanı kullanarak yapalım:
Özelliği kullanalım (sadece “c” yerine şu ifadeyi kullanalım):
Buradan evrensel formülü elde ederiz:
.
Özellikle z=e ise:
.
İki doğal logaritmanın oranı aracılığıyla bir logaritmayı keyfi bir tabana göre temsil edebildik.
Sorunları çözüyoruz
Doğal logaritmaları daha iyi anlamak için çeşitli problem örneklerine bakalım.
Sorun 1. ln x = 3 denklemini çözmek gerekir.
Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: if ,then ise şunu elde ederiz:
Sorun 2. (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 denklemini çözün.
Çözüm: Logaritmanın tanımını kullanarak: if ,then ise şunu elde ederiz:
.
Logaritmanın tanımını tekrar kullanalım:
.
Böylece:
.
Cevabı yaklaşık olarak hesaplayabilir veya bu formda bırakabilirsiniz.
Görev 3. Denklemi çözün.
Çözüm: Bir değişiklik yapalım: t = ln x. O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır:
.
İkinci dereceden bir denklemimiz var. Diskriminantını bulalım:
Denklemin ilk kökü:
.
Denklemin ikinci kökü:
.
t = ln x yerine koyma işlemi yaptığımızı hatırlayarak şunu elde ederiz:
İstatistik ve olasılık teorisinde logaritmik büyüklüklere çok sık rastlanır. Bu şaşırtıcı değil, çünkü e sayısı genellikle üstel niceliklerin büyüme oranını yansıtır.
Bilgisayar bilimi, programlama ve bilgisayar teorisinde, örneğin N biti bellekte depolamak için logaritmalara oldukça sık rastlanır.
Fraktallar ve boyut teorilerinde logaritmalar sürekli olarak kullanılmaktadır, çünkü fraktalların boyutları yalnızca onların yardımıyla belirlenmektedir.
Mekanik ve fizikte Logaritmanın kullanılmadığı bölüm bulunmamaktadır. Barometrik dağılım, istatistiksel termodinamiğin tüm ilkeleri, Tsiolkovsky denklemi vb. yalnızca logaritma kullanılarak matematiksel olarak tanımlanabilecek süreçlerdir.
Kimyada Nernst denklemlerinde ve redoks işlemlerinin açıklamalarında logaritmalar kullanılır.
Şaşırtıcı bir şekilde, müzikte bile bir oktavın parça sayısını bulmak için logaritmalar kullanılıyor.
Doğal logaritma Fonksiyon y=ln x özellikleri
Doğal logaritmanın ana özelliğinin kanıtı
Doğal logaritma fonksiyonunun grafiği. Arttıkça fonksiyon yavaş yavaş pozitif sonsuza yaklaşır. X ve hızla negatif sonsuza yaklaşırken X herhangi bir güç fonksiyonuyla karşılaştırıldığında 0'a ("yavaş" ve "hızlı") eğilimlidir X).
Doğal logaritma tabanın logaritması , Nerede e (\displaystyle e)- yaklaşık 2,72'ye eşit irrasyonel bir sabit. Olarak gösterilir ln x (\displaystyle \ln x), log e x (\displaystyle \log _(e)x) ya da bazen sadece günlük x (\displaystyle \log x), eğer baz e (\displaystyle e) ima edildi. Başka bir deyişle bir sayının doğal logaritması X- bu, bir sayının yükseltilmesi gereken bir üs e almak için X. Bu tanım karmaşık sayılara genişletilebilir.
ln e = 1 (\displaystyle \ln e=1), Çünkü e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), Çünkü e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).Doğal logaritma herhangi bir pozitif gerçek sayı için geometrik olarak da tanımlanabilir. A eğrinin altındaki alan olarak y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) arada [ 1 ; a ] (\displaystyle). Bu logaritmayı kullanan diğer birçok formülle tutarlı olan bu tanımın basitliği, "doğal" isminin kökenini açıklamaktadır.
Doğal logaritmayı gerçek bir değişkenin gerçek bir fonksiyonu olarak düşünürsek, bu üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur ve bu da özdeşliklere yol açar:
e ln a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Tüm logaritmalar gibi, doğal logaritma da çarpmayı toplamaya eşler:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)Bu, örneğin temel program grubundan bir hesap makinesi olabilir. işletim sistemi Windows. Başlatma bağlantısı işletim sisteminin ana menüsünde oldukça gizlidir - "Başlat" düğmesine tıklayarak açın, ardından "Programlar" bölümünü açın, "Standart" alt bölümüne ve ardından "Yardımcı Programlar" a gidin bölümüne gidin ve son olarak “Hesap Makinesi” öğesine tıklayın " Fareyi kullanmak ve menülerde gezinmek yerine klavyeyi ve program başlatma iletişim kutusunu kullanabilirsiniz - WIN + R tuş bileşimine basın, calc yazın (bu, hesap makinesinin çalıştırılabilir dosyasının adıdır) ve Enter tuşuna basın.
Hesap makinesi arayüzünü gelişmiş moda geçirin; bu, şunları yapmanızı sağlar... Varsayılan olarak "normal" görünümde açılır, ancak "mühendislik" veya " " (kullandığınız işletim sisteminin sürümüne bağlı olarak) gerekir. Menüdeki “Görünüm” bölümünü genişletin ve uygun satırı seçin.
Doğal değerini değerlendirmek istediğiniz bağımsız değişkeni girin. Bu, klavyeden veya ekrandaki hesap makinesi arayüzündeki ilgili düğmelere tıklayarak yapılabilir.
ln etiketli düğmeye tıklayın - program e tabanına göre logaritmayı hesaplayacak ve sonucu gösterecektir.
Doğal logaritmanın değerini hesaplamaya alternatif olarak -hesaplayıcılardan birini kullanın. Örneğin, şurada bulunan http://calc.org.ua. Arayüzü son derece basittir - logaritmasını hesaplamanız gereken sayının değerini yazmanız gereken tek bir giriş alanı vardır. Düğmeler arasında ln yazanı bulun ve tıklayın. Bu hesap makinesinin komut dosyası, sunucuya veri gönderilmesini ve yanıt verilmesini gerektirmez, dolayısıyla hesaplama sonucunu neredeyse anında alırsınız. Dikkate alınması gereken tek özellik kesirli ve kesirli sayılar arasındaki ayırıcıdır. bütün kısım Girilen sayının burada bir işareti değil, bir noktası olmalıdır.
Dönem " logaritma"iki soyundan geliyor Yunanca kelimeler Bunlardan biri "sayı", diğeri "oran" anlamına gelir. Onlar şunu belirtir: matematiksel işlem hesaplamalar değişken boyut(üs) yükseltilmesi gereken değer sabit değer(taban) işaretinin altında belirtilen numarayı almak için logaritma A. Taban "e" sayısı olarak adlandırılan bir matematik sabitine eşitse, o zaman logaritma"doğal" denir.
İhtiyacın olacak
- İnternet erişimi, Microsoft Ofisi Excel veya hesap makinesi.
Talimatlar
İnternette bulunan birçok hesap makinesini kullanın; bu belki de doğal a'yı hesaplamanın kolay bir yoludur. Pek çok kişi uygun hizmeti aramanıza gerek yok. arama motorları ve kendilerinin yerleşik hesap makineleri var, çalışmak için oldukça uygun logaritma dostum. Örneğin şuraya gidin: ana sayfa en büyük çevrimiçi arama motoru - Google. Değerleri girmek veya işlevleri seçmek için burada herhangi bir düğmeye gerek yoktur; yalnızca istediğiniz matematiksel eylemi sorgu giriş alanına girin. Diyelim ki hesaplamak için logaritma ve "e" tabanındaki 457 sayısını girin, ln 457'yi girin - bu, Google'ın, sunucuya bir istek göndermek için düğmeye basmadan bile sekiz ondalık basamak doğruluğuyla (6.12468339) görüntülemesi yeterli olacaktır.
Doğal bir değerin değerini hesaplamanız gerekiyorsa uygun yerleşik işlevi kullanın. logaritma ve popüler elektronik tablo düzenleyicisi Microsoft Office Excel'de verilerle çalışırken ortaya çıkar. Bu fonksiyon burada ortak gösterim kullanılarak çağrılmaktadır. logaritma ve büyük harf - LN. Hesaplama sonucunun görüntüleneceği hücreyi seçin ve eşittir işareti girin - bu elektronik tablo düzenleyicide, ana menünün "Tüm Programlar" bölümünün "Standart" alt bölümünde yer alan hücrelerde kayıtlar bu şekilde başlamalıdır. Alt + 2 klavye kısayoluna basarak hesap makinesini daha işlevsel bir moda geçirin. Ardından doğal değeri girin logaritma hesaplamak istediğinizi seçin ve program arayüzünde ln sembolleriyle gösterilen düğmeye tıklayın. Uygulama hesaplamayı gerçekleştirecek ve sonucu gösterecektir.
Konuyla ilgili video
Konularla ilgili ders ve sunum: "Doğal logaritma. Doğal logaritmanın tabanı. Doğal sayının logaritması"
Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"
Doğal logaritma nedir
Arkadaşlar, son derste yeni, özel bir sayı öğrendik - bugün bu sayıyla çalışmaya devam edeceğiz.Logaritmaları inceledik ve bir logaritmanın tabanının 0'dan büyük birçok sayı olabileceğini biliyoruz. Bugün ayrıca tabanı e olan bir logaritmaya da bakacağız. Bu tür bir logaritma genellikle doğal logaritma olarak adlandırılır. Kendi gösterimi vardır: $\ln(n)$ doğal logaritmadır. Bu girdi şu girdiye eşdeğerdir: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar terstir, bu durumda doğal logaritma fonksiyonun tersidir: $y=e^x$.
Ters fonksiyonlar $y=x$ düz çizgisine göre simetriktir.
Üstel fonksiyonu $y=x$ düz çizgisine göre çizerek doğal logaritmayı çizelim.
$y=e^x$ fonksiyonunun grafiğine (0;1) noktasındaki teğetin eğim açısının 45° olduğunu belirtmekte fayda var. Bu durumda (1;0) noktasındaki doğal logaritmanın grafiğine teğetin eğim açısı da 45° olacaktır. Bu teğetlerin her ikisi de $y=x$ doğrusuna paralel olacaktır. Teğetlerin diyagramını çizelim: 
$y=\ln(x)$ fonksiyonunun özellikleri
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Ne çift ne de tektir.
3. Tanımın tüm alanı boyunca artar.
4. Yukarıdan sınırlı değildir, aşağıdan sınırlı değildir.
5. En büyük değer HAYIR, en düşük değer HAYIR.
6. Sürekli.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Yukarı doğru dışbükey.
9. Her yerde türevlenebilir.
biliyorum yüksek matematik kanıtlanmıştır türev ters fonksiyon belirli bir fonksiyonun türevinin tersidir.
Kanıtın derinliklerine inmenin pek bir anlamı yok, sadece şu formülü yazalım: $y"=(\ln(x)")"=\frac(1)(x)$.
Örnek.
Fonksiyonun türevinin değerini hesaplayın: $y=\ln(2x-7)$ $x=4$ noktasında.
Çözüm.
İÇİNDE genel görünüm fonksiyonumuz $y=f(kx+m)$ fonksiyonu ile temsil ediliyor, bu tür fonksiyonların türevlerini hesaplayabiliyoruz.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
İstenilen noktada türevin değerini hesaplayalım: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Cevap: 2.
Örnek.
$y=ln(x)$ fonksiyonunun grafiğine $х=е$ noktasında bir teğet çizin.
Çözüm.
Bir fonksiyonun grafiğine $x=a$ noktasındaki teğet denklemini iyi hatırlıyoruz.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Gerekli değerleri sırayla hesaplıyoruz.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ noktasındaki teğet denklem $y=\frac(x)(e)$ fonksiyonudur.
Doğal logaritmayı ve teğet doğrusunu çizelim. 
Örnek.
Fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyin: $y=x^6-6*ln(x)$.
Çözüm.
$D(y)=(0;+∞)$ fonksiyonunun tanım alanı.
Verilen fonksiyonun türevini bulalım:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Türev, tanım alanındaki tüm x'ler için mevcuttur, o zaman kritik noktalar HAYIR. Durağan noktaları bulalım:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
6$*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
$х=-1$ noktası tanım alanına ait değildir. O zaman elimizde bir tane var sabit nokta$x=1$. Artma ve azalma aralıklarını bulalım: 
$x=1$ noktası minimum noktadır, bu durumda $y_min=1-6*\ln(1)=1$ olur.
Cevap: Fonksiyon (0;1] segmentinde azalır, $ ışınında fonksiyon artar)
