Bir fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları. Bir fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını bulma

Çevrimiçi bir hesap makinesi kullanarak şunları bulabilirsiniz: Fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları ve dışbükeylik aralıkları Word'deki çözümün tasarımıyla. İki değişkenli f(x1,x2) fonksiyonunun dışbükey olup olmadığına Hessian matrisi kullanılarak karar verilir.

İşlev girme kuralları:

Bir fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik yönü. Bükülme noktaları

Tanım: y=f(x) eğrisinin (a; b) aralığında herhangi bir noktada teğetin altında olması durumunda yukarıya doğru dışbükey olduğu söylenir.

Tanım: Bir fonksiyonun grafiğinin yukarı veya aşağı dışbükey olduğu aralıklara, fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik aralıkları denir.

y=f(x) fonksiyonunun grafiği olan bir eğrinin aşağı veya yukarı doğru dışbükeyliği ikinci türevinin işareti ile karakterize edilir: eğer belirli bir aralıkta f''(x) > 0 ise eğri dışbükeydir bu aralıkta aşağı doğru; eğer f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Tanım: Bir y=f(x) fonksiyonunun grafiğinde dışbükeylik aralıklarını ayıran bir nokta zıt yönler Bu grafiğin dönüm noktası denir.

Dönüm noktaları yalnızca hizmet verebilir kritik noktalar II tür, yani. ikinci türev f''(x)'in sıfır olduğu veya bir süreksizliğe sahip olduğu y = f(x) fonksiyonunun tanım bölgesine ait noktalar.

Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde dönüm noktalarını bulma kuralı

1. f’’(x)’in ikinci türevini bulun.
2. y=f(x) fonksiyonunun ikinci türünün kritik noktalarını bulun; f''(x)'in ortadan kaybolduğu veya bir süreksizlik yaşadığı nokta.
3. Bulunan kritik noktaların f(x) fonksiyonunun tanım tanım kümesini böldüğü aralıkta ikinci türev f''(x)'in işaretini araştırın. Kritik nokta x 0, zıt yönlerin dışbükeylik aralıklarını ayırıyorsa, o zaman x 0, fonksiyon grafiğinin dönüm noktasının apsisidir.
4. Bükülme noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.

Örnek 1. Aşağıdaki eğrinin dışbükeylik aralıklarını ve bükülme noktalarını bulun: f(x) = 6x 2 –x 3.
Çözüm: f '(x) = 12x – 3x 2, f '(x) = 12 – 6x'i bulun.
12-6x=0 denklemini çözerek ikinci türevin kritik noktalarını bulalım. x=2 .


f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Cevap: Fonksiyon x∈(2; +∞) için yukarıya doğru dışbükeydir; fonksiyon x∈(-∞; 2) noktasında aşağı doğru dışbükeydir; bükülme noktası (2;16) .

Örnek 2. Fonksiyonun dönüm noktaları var mı: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Örnek 3. Fonksiyonun grafiğinin dışbükey ve eğri olduğu aralıkları bulun: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Bir fonksiyonu incelerken ve grafiğini oluştururken, bir aşamada bükülme noktalarını ve dışbükeylik aralıklarını belirleriz. Bu veriler, artış ve azalma aralıklarıyla birlikte, incelenen fonksiyonun grafiğinin şematik olarak temsil edilmesini mümkün kılar.

Daha sonraki sunumda, bazı siparişlere ve farklı türlere kadar yapabileceğiniz varsayılmaktadır.

Malzemeyi incelemeye başlayalım gerekli tanımlar ve kavramlar. Daha sonra bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ikinci türevinin değeri ile dışbükeyliğinin yönü arasındaki bağlantıyı dile getireceğiz. Bundan sonra fonksiyon grafiğinin dönüm noktalarını belirlememizi sağlayan koşullara geçelim. Vereceğimiz metne göre tipik örnekler detaylı çözümlerle

Sayfada gezinme.

Dışbükeylik, bir fonksiyonun içbükeyliği, bükülme noktası.

Tanım.

aşağı dışbükey grafiği, X aralığının herhangi bir noktasında kendisine teğetten daha düşük değilse, X aralığında.

Tanım.

Türevi alınacak fonksiyona denir yukarı dışbükey grafiği, X aralığının herhangi bir noktasında kendisine teğetten daha yüksek değilse, X aralığında.

Yukarıya doğru dışbükey fonksiyona sıklıkla denir dışbükey, ve aşağı dışbükey – içbükey.

Bu tanımları gösteren çizime bakın.

Tanım.

Nokta denir fonksiyon grafiğinin dönüm noktası y=f(x) eğer belirli bir noktada fonksiyonun grafiğine bir teğet varsa (Oy eksenine paralel olabilir) ve M noktasının solunda ve sağında bulunan noktanın bir komşuluğu varsa fonksiyonun grafiği farklı dışbükeylik yönlerine sahiptir.

Başka bir deyişle M noktasına, bu noktada bir teğet varsa ve fonksiyonun grafiği, dışbükeyliğin yönünü değiştirerek buradan geçiyorsa, fonksiyonun grafiğinin dönüm noktası denir.

Gerekirse, dikey olmayan ve dikey bir teğetin varlığına ilişkin koşulları hatırlamak için bölüme bakın.

Aşağıdaki şekilde bazı bükülme noktaları örnekleri gösterilmektedir (kırmızı noktalarla işaretlenmiştir). Bazı fonksiyonların hiç dönüm noktası olmayabilirken bazılarının bir, birkaç ya da sonsuz sayıda dönüm noktası olabileceğini unutmayın.

Bir fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını bulma.

Bir fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını belirlememize olanak tanıyan bir teorem formüle edelim.

Teorem.

Eğer y=f(x) fonksiyonunun X aralığında sonlu bir ikinci türevi varsa ve eşitsizlik geçerliyse (), o zaman fonksiyonun grafiği X tarafından aşağıya (yukarıya) yönlendirilmiş bir dışbükeyliğe sahiptir.

Bu teorem, bir fonksiyonun içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarını bulmanızı sağlar; yalnızca eşitsizlikleri ve sırasıyla orijinal fonksiyonun tanım kümesini çözmeniz gerekir.

y=f(x) fonksiyonunun tanımlı olduğu ve ikinci türevinin bulunmadığı noktaların içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarına dahil edileceğine dikkat edilmelidir.

Bunu bir örnekle anlayalım.

Örnek.

Fonksiyonun grafiğinin hangi aralıklarda olduğunu bulun yukarı doğru yönlendirilmiş bir dışbükeyliğe ve aşağıya doğru yönlendirilmiş bir dışbükeyliğe sahiptir.

Çözüm.

Bir fonksiyonun etki alanı kümenin tamamıdır gerçek sayılar.

İkinci türevi bulalım.

İkinci türevin tanım alanı, orijinal fonksiyonun tanım alanıyla çakışır, bu nedenle içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarını bulmak için çözmek yeterlidir ve buna göre.

Bu nedenle, fonksiyon aralıkta aşağı doğru dışbükey ve aralıkta yukarı doğru dışbükeydir.

Grafik illüstrasyon.

Fonksiyon grafiğinin dışbükey aralıktaki kısmı maviyle, içbükeylik aralığındaki kısmı ise kırmızıyla gösterilir.

Şimdi ikinci türevin tanım kümesinin fonksiyonun tanım kümesiyle çakışmadığı bir örneği ele alalım. Bu durumda, daha önce de belirttiğimiz gibi, sonlu bir ikinci türevin bulunmadığı tanım alanı noktalarının dışbükeylik ve/veya içbükeylik aralıklarına dahil edilmesi gerekir.

Örnek.

Fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulun.

Çözüm.

Fonksiyonun etki alanıyla başlayalım:

İkinci türevi bulalım:

İkinci türevin tanım alanı kümedir . Gördüğünüz gibi x=0 orijinal fonksiyonun tanım kümesine aittir ancak ikinci türevin tanım kümesine ait değildir. Bu noktayı unutmayın; dışbükeylik ve (veya) içbükeylik aralığına dahil edilmesi gerekecektir.

Şimdi orijinal fonksiyonun tanım tanım kümesindeki eşitsizlikleri çözüyoruz. Hadi başvuralım. İfade payı sıfıra gider veya , payda – x ​​= 0 veya x = 1'de. Bu noktaları sayı doğrusu üzerinde şematik olarak çiziyoruz ve orijinal fonksiyonun tanım kümesinde yer alan aralıkların her birinde ifadenin işaretini buluyoruz (alt sayı doğrusunda gölgeli alan olarak gösterilmiştir). Pozitif bir değere artı işareti koyarız, negatif bir değere eksi işareti koyarız.

Böylece,

Ve

Dolayısıyla x=0 noktasını dahil ederek cevabı elde ederiz.

Şu tarihte: fonksiyonun grafiği aşağıya doğru yönlendirilmiş bir dışbükeyliğe sahiptir; - yukarı doğru yönlendirilmiş dışbükeylik.

Grafik illüstrasyon.

Fonksiyonun grafiğinin dışbükeylik aralığındaki kısmı mavi renkle, içbükeylik aralıklarında ise kırmızı renkte, siyah noktalı çizgiyle gösterilmiştir. dikey asimptot.

Çekim için gerekli ve yeterli koşullar.

Bükülme için gerekli koşul.

Hadi formüle edelim bükülme için gerekli koşul fonksiyon grafikleri.

y=f(x) fonksiyonunun grafiğinin bir noktada bükülmesi ve sürekli ikinci türevi olsun, o zaman eşitlik sağlanır.

Bu koşuldan, fonksiyonun ikinci türevinin sıfır olduğu noktalar arasında bükülme noktalarının absislerinin aranması gerektiği sonucu çıkar. AMA bu koşul yeterli değildir, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu tüm değerler dönüm noktalarının apsisi değildir.

Ayrıca bir bükülme noktasının tanımının teğet bir çizginin veya dikey bir çizginin varlığını gerektirdiğine de dikkat edilmelidir. Bu ne anlama gelir? Bu da şu anlama gelir: Bükülme noktalarının apsisleri, fonksiyonun tanım alanından itibaren her şey olabilir. Ve . Bunlar genellikle birinci türevin paydasının sıfırlandığı noktalardır.

Bükülme için ilk yeterli koşul.

Bükülme noktalarının apsisleri olabilecek her şey bulunduktan sonra kullanmalısınız. bükülme için ilk yeterli koşul fonksiyon grafikleri.

y=f(x) fonksiyonunun bu noktada sürekli olmasına, teğetinin (muhtemelen dikey) olmasına ve bu fonksiyonun noktanın bazı komşuluklarında ikinci bir türevinin olmasına izin verin. O halde, eğer bu komşuluk içerisindeyse, sağında ve solunda ikinci türev vardır. farklı işaretler, o zaman fonksiyon grafiğinin dönüm noktasıdır.

Görüldüğü gibi birinci yeterli koşul, ikinci türevin bizzat noktada bulunmasını gerektirmez, ancak noktanın komşuluğunda bulunmasını gerektirir.

Şimdi tüm bilgileri bir algoritma şeklinde özetleyelim.

Bir fonksiyonun dönüm noktalarını bulma algoritması.

Fonksiyon grafiğinin olası bükülme noktalarının tüm apsislerini buluyoruz (veya Ve ) ve ikinci türevin işaret değiştirdiği yerden geçerek bulun. Bu değerler bükülme noktalarının apsisi olacak ve karşılık gelen noktalar, fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları olacaktır.

Açıklamak için dönüm noktalarını bulmaya ilişkin iki örneğe bakalım.

Örnek.

Bir fonksiyonun grafiğinin bükülme noktalarını ve dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulun .

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım kümesi gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

Birinci türevi bulalım:

Birinci türevin tanım alanı aynı zamanda gerçek sayılar kümesinin tamamıdır, dolayısıyla eşitlikler Ve hiçbiri için yerine getirilmiyor.

İkinci türevi bulalım:

İkinci türevin x argümanının hangi değerlerinde sıfıra gittiğini bulalım:

Dolayısıyla olası bükülme noktalarının apsisleri x=-2 ve x=3'tür.

Şimdi yeterli bir bükülme işareti kullanarak bu noktalardan hangisinde ikinci türevin işaret değiştirdiğini kontrol etmek kalıyor. Bunu yapmak için x=-2 ve x=3 noktalarını çizin. sayı ekseni ve olduğu gibi genelleştirilmiş aralık yöntemi, ikinci türevin işaretlerini her aralığa yerleştiririz. Her aralığın altında fonksiyon grafiğinin dışbükeylik yönü yaylarla şematik olarak gösterilir.

İkinci türev, x=-2 noktasından soldan sağa geçerek artıdan eksiye işaret değiştirir ve x=3'ten geçerek işareti eksiden artıya değiştirir. Dolayısıyla hem x=-2 hem de x=3, fonksiyon grafiğinin dönüm noktalarının apsisidir. Grafik noktalarına karşılık gelirler ve .

Sayı doğrusuna ve aralıklarındaki ikinci türevin işaretlerine tekrar bakarak dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları hakkında bir sonuca varabiliriz. Bir fonksiyonun grafiği aralıkta dışbükey ve aralıklarda içbükeydir ve .

Grafik illüstrasyon.

Fonksiyon grafiğinin dışbükey aralıktaki kısmı mavi, içbükeylik aralığındaki kısmı kırmızı ve bükülme noktaları siyah noktalarla gösterilir.

Örnek.

Fonksiyon grafiğinin tüm bükülme noktalarının apsisini bulun .

Çözüm.

Bu fonksiyonun tanım alanı gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

Türevini bulalım.

Birinci türev, orijinal fonksiyondan farklı olarak x=3'te tanımlı değildir. Ancak Ve . Dolayısıyla apsis x=3 olan noktada orijinal fonksiyonun grafiğine dikey bir teğet vardır. Dolayısıyla x=3, fonksiyon grafiğinin dönüm noktasının apsisi olabilir.

İkinci türevi, tanım bölgesini ve kaybolduğu noktaları buluyoruz:

İki olası bükülme noktası apsisi daha elde ettik. Sayı doğrusu üzerinde üç noktayı işaretliyoruz ve ortaya çıkan aralıkların her birinde ikinci türevin işaretini belirliyoruz.

İkinci türev, noktaların her birinden geçerken işaret değiştirir, dolayısıyla hepsi dönüm noktalarının apsisidir.

Talimatlar

Puanlar bükülme işlevlerİlk önce bulunması gereken tanımının alanına ait olmalıdır. Takvim işlevler sürekli olabilen veya kesintileri olabilen, monoton olarak azalan veya artan, minimum veya maksimuma sahip olabilen bir çizgidir puan(asimptotlar), dışbükey veya içbükey olabilir. İki kişinin ani değişimi son durumlar ve çekim denir.

Önkoşul varoluş bükülme işlevler saniyenin sıfıra eşitliğinden oluşur. Böylece, fonksiyonun iki kez türevini alıp elde edilen ifadeyi sıfıra eşitleyerek olası noktaların apsisini bulabiliriz. bükülme.

Bu durum grafiğin dışbükeylik ve içbükeylik özelliklerinin tanımından kaynaklanmaktadır. işlevler yani negatif ve pozitif değer ikinci türev. bu noktada bükülme ani değişim bu özellikler türevin sıfır işaretini geçtiği anlamına gelir. Ancak sıfıra eşit olmak henüz bir bükülmeyi belirtmek için yeterli değildir.

Önceki aşamada bulunan apsisin noktaya ait olması için iki yeterli koşul vardır. bükülme:Bu noktadan bir teğet çizebilirsiniz. işlevler. İkinci türev beklenenin sağında ve solunda farklı işaretlere sahiptir puan bükülme. Dolayısıyla noktadaki varlığı gerekli değildir; işaret değiştirdiğini belirlemek yeterlidir. işlevler sıfıra eşittir ve üçüncüsü değildir.

Çözüm: Bulun. İÇİNDE bu durumda hiçbir kısıtlama yoktur, bu nedenle gerçek sayıların tüm alanıdır. Birinci türevi hesaplayın: y' = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Lütfen aklınızda bulundurun. Buradan türevin tanım alanının sınırlı olduğu sonucu çıkar. X = 5 noktası delinmiştir, bu da içinden bir teğetin geçebileceği anlamına gelir, bu da kısmen ilk yeterlilik işaretine karşılık gelir bükülme.

x → 5 – 0 ve x → 5 + 0 için sonuç ifadesini belirleyin. Bunlar -∞ ve +∞'a eşittir. Dikey bir teğetin x=5 noktasından geçtiğini kanıtladınız. Bu nokta bir nokta olabilir bükülme, ancak önce ikinci türevi hesaplayın: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x – 5)^5.

Zaten x = 5 noktasını hesaba kattığınız için paydayı atlayın. 2 x – 22 = 0 denklemini çözün. Tek kökü x = 11'dir. Son adım şunu doğrulamaktır: puan x=5 ve x=11 noktalardır bükülme. İkinci türevin kendi çevresindeki davranışını analiz edin. Açıkçası, x = 5 noktasında işareti “+”dan “-”ye değiştirir ve x = 11 noktasında da tam tersi. Sonuç: her ikisi de puan puan mı bükülme. İlk yeterli koşul sağlanmıştır.

Bir fonksiyonun grafiği sen=f(x) isminde dışbükey aralıkta (bir;b), eğer bu aralıktaki teğetlerinden herhangi birinin altında bulunuyorsa.

Bir fonksiyonun grafiği sen=f(x) isminde içbükey aralıkta (bir;b), eğer bu aralıktaki teğetlerinden herhangi birinin üzerinde bulunuyorsa.

Şekilde dışbükey olan bir eğri gösterilmektedir (bir;b) ve içbükey (b;c).

Örnekler.

Belirli bir aralıktaki bir fonksiyonun grafiğinin dışbükey mi yoksa içbükey mi olacağını belirlememize olanak tanıyan yeterli bir kriteri ele alalım.

Teorem. İzin vermek sen=f(x) tarafından farklılaştırılabilir (bir;b). Aralığın tüm noktalarında ise (bir;b) fonksiyonun ikinci türevi sen = f(x) negatif, yani F ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(X) > 0 – içbükey.

Kanıt. Kesinlik için şunu varsayalım: F""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Grafikteki fonksiyonları ele alalım y = f(x) keyfi nokta M0 apsisli x 0 Î ( A; B) ve noktanın içinden çizin M0 teğet. Onun denklemi. Fonksiyonun grafiğinin olduğunu göstermeliyiz. (bir;b) bu teğetin altında yatıyor, yani aynı değerde X eğrinin ordinatı y = f(x) tanjantın ordinatından küçük olacaktır.

Yani eğrinin denklemi y = f(x). Apsislere karşılık gelen teğetin ordinatını gösterelim. X. Daha sonra . Sonuç olarak, aynı değer için eğrinin ordinatları ile teğeti arasındaki fark X irade .

Fark f(x) – f(x 0) Lagrange teoremine göre dönüşüm, burada C arasında X Ve x 0.

Böylece,

Lagrange teoremini köşeli parantez içindeki ifadeye tekrar uyguluyoruz: c 1 arasında c 0 Ve x 0. Teoremin koşullarına göre F ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Bu nedenle, eğri üzerindeki herhangi bir nokta, tüm değerler için eğriye teğetinin altında yer alır. X Ve x 0 Î ( A; B), bu da eğrinin dışbükey olduğu anlamına gelir. Teoremin ikinci kısmı da benzer şekilde kanıtlanır.

Örnekler.

Grafik noktası sürekli fonksiyon dışbükey kısmını içbükey kısmından ayıran şeye denir dönüm noktası.

Açıkçası, bükülme noktasında, eğer varsa, teğet eğriyi keser, çünkü bu noktanın bir tarafında eğri teğetin altında, diğer tarafında ise üstünde yer alır.

Bunun için yeterli koşulları belirleyelim. verilen nokta eğri bükülme noktasıdır.

Teorem. Eğrinin denklemle tanımlanmasına izin verin y = f(x). Eğer F ""(X 0) = 0 veya F ""(X 0) değerden geçerken bile mevcut değil X = x 0 türev F ""(X) işareti değiştirir, ardından fonksiyonun grafiğinde apsisli nokta X = x 0 bir dönüm noktası var.

Kanıt. İzin vermek F ""(X) < 0 при X < x 0 Ve F ""(X) > 0 X > x 0. sonra X < x 0 eğri dışbükeydir ve ne zaman X > x 0– içbükey. Bu nedenle nokta A, eğri üzerinde uzanan, apsisli x 0 bir dönüm noktası var. İkinci durum da benzer şekilde değerlendirilebilir: F ""(X) > 0 X < x 0 Ve F ""(X) < 0 при X > x 0.

Bu nedenle dönüm noktaları yalnızca ikinci türevin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalar arasında aranmalıdır.

Örnekler. Bükülme noktalarını bulun ve eğrilerin dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını belirleyin.

FONKSİYON GRAFİĞİNİN ASİMPTOTLARI

Bir fonksiyonu incelerken, grafiğinin şeklini, grafik noktasının orijinden sınırsız bir mesafede oluşturmak önemlidir.

Özellikle ilgi çekici olan, bir fonksiyonun grafiğinin kaldırıldığı durumdur. değişken nokta sonsuza kadar sınırsız belirli bir düz çizgiye yaklaşır.

Düz çizgiye denir asimptot fonksiyon grafikleri sen = f(x), eğer değişken noktaya olan mesafe M bir noktayı kaldırırken grafikleri bu çizgiye M sonsuza sıfıra eğilimlidir, yani Bir fonksiyonun grafiğindeki bir nokta, sonsuza doğru yöneldiğinden, asimptot'a süresiz olarak yaklaşmak zorundadır.

Bir eğri asimptotuna yaklaşırken bir tarafında veya üzerinde kalabilir. farklı taraflar, sonsuz küme asimptotu geçip bir taraftan diğer tarafa hareket ederek.

Noktaya olan mesafeyi d ile belirtirsek M Asimptot eğrisine göre, nokta uzaklaştıkça d'nin sıfıra doğru yöneldiği açıktır. M sonsuza kadar.

Dikey ve eğik asimptotlar arasında daha fazla ayrım yapacağız.

DİKEY ASİMPTOTLAR

izin ver X→ x 0 herhangi bir yan fonksiyondan sen = f(x) mutlak değerde sınırsız bir şekilde artar, yani veya veya . Daha sonra bir asimptotun tanımından, düz çizginin olduğu sonucu çıkar. X = x 0 bir asimptottur. Eğer çizgide ise bunun tersi de açıktır. X = x 0 bir asimptottur, yani .

Böylece fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu y = f(x) ise buna düz çizgi denir f(x)→ ∞ koşullardan en az biri altında X→ x 0– 0 veya X → x 0 + 0, X = x 0

Bu nedenle fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarını bulmak için sen = f(x) bu değerleri bulmam lazım X = x 0, burada fonksiyon sonsuza gider (sonsuz bir süreksizliğe maruz kalır). Daha sonra dikey asimptot şu denkleme sahiptir: X = x 0.

Örnekler.

EĞİK ASİMPTOTLAR

Asimptot düz bir çizgi olduğundan eğri sen = f(x) eğik bir asimptotu varsa, denklemi şu şekilde olacaktır: sen = kx + B. Görevimiz katsayıları bulmak k Ve B.

Teorem. Dümdüz sen = kx + B eğik bir asimptot görevi görür X→ +∞ fonksiyonun grafiği için sen = f(x) o zaman ve yalnızca ne zaman . Benzer bir ifade için de geçerlidir X → –∞.

Kanıt. İzin vermek Milletvekili– segmentin uzunluğu, mesafeye eşit noktadan M asimptot yapmak. Koşullara göre. Asimptotun eksene olan eğim açısını φ ile gösterelim Öküz. sonra ΔMNP bunu takip ediyor. φ sabit bir açı olduğundan (φ ≠ π/2), o zaman , fakat