Bir fonksiyonun paritesi nasıl belirlenir? Fonksiyon çalışması

Tanım 1. Fonksiyon çağrılır eşit (garip ), eğer her değişken değeriyle birlikte
Anlam - X aynı zamanda ait
ve eşitlik geçerlidir

Dolayısıyla, bir fonksiyon ancak tanım bölgesi sayı doğrusundaki koordinatların (sayı) orijinine göre simetrikse çift veya tek olabilir. X Ve - X aynı zamanda ait
). Örneğin, fonksiyon
tanım alanı olduğundan ne çift ne de tektir
orijine göre simetrik değildir.

İşlev
hatta çünkü
orijine göre simetriktir ve.

İşlev
tuhaf çünkü
Ve
.

İşlev
çift ve tek değil, çünkü
ve orijine göre simetrik olduğundan eşitlikler (11.1) sağlanmaz. Örneğin,.

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir Ahçünkü eğer amaç

aynı zamanda programa da aittir. Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir, çünkü eğer
grafiğe aitse, o zaman nokta
aynı zamanda programa da aittir.

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu kanıtlarken aşağıdaki ifadeler faydalıdır.

Teorem 1. a) İki çift (tek) fonksiyonun toplamı bir çift (tek) fonksiyondur.

b) İki çift (tek) fonksiyonun çarpımı bir çift fonksiyondur.

c) Çift ve tek bir fonksiyonun çarpımı tek bir fonksiyondur.

d) Eğer F– sette eşit işlev X ve fonksiyon G sette tanımlanmış
, ardından fonksiyon
- eşit.

d) Eğer F– setteki tek işlev X ve fonksiyon G sette tanımlanmış
ve çift (tek), o zaman fonksiyon
– çift (tek).

Kanıt. Örneğin b) ve d)'yi kanıtlayalım.

b) izin ver
Ve
– hatta işlevler. O zaman bu nedenle. Tek fonksiyonların durumu da benzer şekilde ele alınır
Ve
.

d) izin ver F eşit bir fonksiyondur. Daha sonra.

Teoremin geri kalan ifadeleri benzer şekilde kanıtlanabilir. Teorem kanıtlandı.

Teorem 2. Herhangi bir işlev
, sette tanımlı X Orijine göre simetrik olan , çift ve tek fonksiyonların toplamı olarak temsil edilebilir.

Kanıt. İşlev
şeklinde yazılabilir

İşlev
– hatta çünkü
ve fonksiyon
– tuhaf çünkü. Böylece,
, Nerede
– hatta ve
– garip işlevler. Teorem kanıtlandı.

Tanım 2. İşlev
isminde periyodik bir sayı varsa
, öyle ki herhangi biri için
sayılar
Ve
aynı zamanda tanım alanına da aittir
ve eşitlikler sağlanıyor

Böyle bir sayı T isminde dönem işlevler
.

Tanım 1'den şu sonuç çıkıyor: T– fonksiyonun süresi
, ardından sayı – T Aynı fonksiyonun periyodu
(değiştirildiğinden beri T Açık - T eşitlik korunur). Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak şu şekilde gösterilebilir: T– fonksiyonun süresi F, Daha sonra
, aynı zamanda bir dönemdir. Buradan, eğer bir fonksiyonun bir periyodu varsa, o zaman sonsuz sayıda periyodu olduğu sonucu çıkar.

Tanım 3. Bir fonksiyonun pozitif periyotlarının en küçüğüne denir ana dönem.

Teorem 3. Eğer T– işlevin ana dönemi F, bu durumda kalan periyotlar bunun katlarıdır.

Kanıt. Bunun tersini varsayalım, yani bir periyot var işlevler F (>0), çoklu değil T. Daha sonra bölme Açık T geri kalanıyla şunu elde ederiz
, Nerede
. Bu yüzden

yani – fonksiyonun süresi F, Ve
ve bu şu gerçekle çelişiyor: T– işlevin ana dönemi F. Teoremin ifadesi sonuçta ortaya çıkan çelişkiden kaynaklanmaktadır. Teorem kanıtlandı.

Trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğu iyi bilinmektedir. Ana dönem
Ve
eşittir
,
Ve
. Fonksiyonun periyodunu bulalım
. İzin vermek
- bu işlevin süresi. Daha sonra

(Çünkü
.

ya da
.

Anlam T Birinci eşitlikten belirlenen , aşağıdakilere bağlı olduğundan bir nokta olamaz: X yani bir fonksiyonudur X ve sabit bir sayı değil. Dönem ikinci eşitlikten belirlenir:
. Sonsuz sayıda dönem vardır
en küçük pozitif periyot elde edilir
:
. Bu fonksiyonun ana dönemidir
.

Daha karmaşık bir periyodik fonksiyonun örneği Dirichlet fonksiyonudur

şunu unutmayın: T bir rasyonel sayıdır o halde
Ve
rasyonel sayılar rasyoneldir X ve mantıksızken mantıksız X. Bu yüzden

herhangi bir rasyonel sayı için T. Bu nedenle herhangi bir rasyonel sayı T Dirichlet fonksiyonunun periyodudur. Pozitif dönemler olduğundan bu fonksiyonun bir ana periyodu olmadığı açıktır. rasyonel sayılar, keyfi olarak sıfıra yakın (örneğin, rasyonel bir sayı seçimi yapılabilir) N keyfi olarak sıfıra yakın).

Teorem 4. Eğer fonksiyon F sette tanımlanmış X ve bir dönemi var T ve fonksiyon G sette tanımlanmış
, o zaman karmaşık bir fonksiyon
bir de dönemi var T.

Kanıt. Bu nedenle elimizde

yani teoremin ifadesi kanıtlanmıştır.

Örneğin, o zamandan beri çünkü X bir dönemi var
, ardından işlevler
bir dönemim var
.

Tanım 4. Periyodik olmayan fonksiyonlar çağrılır periyodik olmayan .

Bir y değişkeninin, her bir x değerinin tek bir y değerine karşılık geldiği bir x değişkenine bağımlılığına fonksiyon denir. Gösterim için y=f(x) gösterimini kullanın. Her fonksiyonun monotonluk, eşlik, periyodiklik ve diğerleri gibi bir takım temel özellikleri vardır.

Dikkate almak daha fazla ayrıntı mülk parite.

Aşağıdaki iki koşulu karşılasa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır:

2. Fonksiyonun tanım bölgesine ait olan fonksiyonun x noktasındaki değeri, fonksiyonun -x noktasındaki değerine eşit olmalıdır. Yani, herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = f(-x).

Çift fonksiyonun grafiği

Çift fonksiyonun grafiğini çizerseniz, Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Örneğin, y=x^2 fonksiyonu çifttir. Hadi kontrol edelim. Tanımın tüm alanı sayı ekseni yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=3 alalım. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Dolayısıyla f(x) = f(-x). Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda y=x^2 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğunu göstermektedir.

Tek bir fonksiyonun grafiği

Bir y=f(x) fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu karşılıyorsa tek fonksiyon olarak adlandırılır:

1. Belirli bir fonksiyonun tanım bölgesi, O noktasına göre simetrik olmalıdır. Yani, eğer bir a noktası, fonksiyonun tanım bölgesine aitse, o zaman karşılık gelen -a noktası da tanım alanına ait olmalıdır. verilen fonksiyonun

2. Herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = -f(x).

Tek bir fonksiyonun grafiği, koordinatların orijini olan O noktasına göre simetriktir. Örneğin, y=x^3 fonksiyonu tektir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=2 alalım. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Dolayısıyla f(x) = -f(x). Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda y=x^3 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil açıkça şunu gösteriyor Olumsuz eşit işlev y=x^3 orijine göre simetriktir.

eşit, eğer tanım alanındaki tüm $x$ için aşağıdakiler doğruysa: $f(-x)=f(x)$ .

Çift fonksiyonun grafiği $y$ eksenine göre simetriktir:

Örnek: $f(x)=x^2+\cos x$ fonksiyonu çifttir, çünkü $f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)$.

$\blacktriangleright$ $f(x)$ fonksiyonu çağrılır garip, eğer tanım alanındaki tüm $x$ için şu doğruysa: $f(-x)=-f(x)$ .

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir:

Örnek: $f(x)=x^3+x$ fonksiyonu tektir çünkü $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$.

$\blacktriangleright$ Ne çift ne de tek olan işlevlere işlev denir genel görünüm. Böyle bir fonksiyon her zaman benzersiz bir şekilde bir çift ve tek fonksiyonun toplamı olarak temsil edilebilir.

Örneğin, $f(x)=x^2-x$ işlevi, çift işlev $f_1=x^2$ ile tek $f_2=-x$ işlevinin toplamıdır.

$\siyahüçgensağ$ Bazı özellikler:

1) Aynı paritedeki iki fonksiyonun çarpımı ve bölümü çift bir fonksiyondur.

2) Pariteleri farklı iki fonksiyonun çarpımı ve bölümü tek fonksiyondur.

3) Çift fonksiyonların toplamı ve farkı - çift fonksiyon.

4) Tek fonksiyonların toplamı ve farkı - tek fonksiyon.

5) Eğer $f(x)$ bir çift fonksiyon ise, o zaman $f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)$ ) denkleminin benzersiz bir kökü vardır ancak ve ancak $ x =0$ .

6) Eğer $f(x)$ çift veya tek bir fonksiyonsa ve $f(x)=0$ denkleminin bir $x=b$ kökü varsa, o zaman bu denklemin zorunlu olarak ikinci bir fonksiyonu olacaktır. kök $x =-b$ .

$\blacktriangleright$ Bir $f(x)$ fonksiyonuna $X$ üzerinde periyodik denir, eğer bir $T\ne 0$ sayısı için aşağıdakiler geçerliyse: $f(x)=f( x+T) $ , burada $x, x+T\in X$ . Bu eşitliğin sağlandığı en küçük $T$ fonksiyonun ana (ana) periyodu olarak adlandırılır.

sen periyodik fonksiyon$nT$ biçimindeki herhangi bir sayı; burada $n\in \mathbb(Z)$ da bir nokta olacaktır.

Örnek: herhangi biri trigonometrik fonksiyon periyodiktir;
$f(x)=\sin x$ ve $f(x)=\cos x$ fonksiyonları için ana dönem$2\pi\'ye eşittir), \(f(x)=\mathrm(tg)\,x$ ve $f(x)=\mathrm(ctg)\,x$ fonksiyonları bir a'ya sahiptir ana periyot \ (\pi\)'ye eşittir.

Periyodik bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, grafiğini $T$ (ana periyot) uzunluğundaki herhangi bir parçaya çizebilirsiniz; daha sonra tüm fonksiyonun grafiği, oluşturulan parçanın tam sayıdaki periyotlarla sağa ve sola kaydırılmasıyla tamamlanır:

$\blacktriangleright$ $f(x)$ fonksiyonunun $D(f)$ alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu $x$ argümanının tüm değerlerinden oluşan bir kümedir (tanımlanmıştır).

Örnek: $f(x)=\sqrt x+1$ fonksiyonunun bir tanım alanı vardır: \(x\in

Görev 1 #6364

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Denklem $a$ parametresinin hangi değerlerinde yapılır?

sahip olmak tek çözüm?

$x^2$ ve $\cos x$ çift işlevler olduğundan, denklemin $x_0$ kökü varsa, aynı zamanda $-x_0$ köküne de sahip olacağını unutmayın.
Aslında, $x_0$ bir kök olsun, yani eşitlik olsun $2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0$ Sağ. yerine $-x_0$ koyalım: $2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0$.

Dolayısıyla, eğer $x_0\ne 0$ ise denklemin zaten en az iki kökü olacaktır. Bu nedenle, $x_0=0$ . Daha sonra:

$a$ parametresi için iki değer aldık. $x=0$'ın tam olarak orijinal denklemin kökü olduğu gerçeğini kullandığımızı unutmayın. Ama onun tek olduğu gerçeğini hiçbir zaman kullanmadık. Bu nedenle, $a$ parametresinin ortaya çıkan değerlerini yerine koymanız gerekir. orijinal denklem ve hangi $a$ kökünün $x=0$ gerçekten benzersiz olacağını kontrol edin.

1) Eğer $a=0$ ise denklem $2x^2=0$ formunu alacaktır. Açıkçası, bu denklemin yalnızca bir kökü $x=0$ var. Dolayısıyla $a=0$ değeri bize uygundur.

2) Eğer $a=-\mathrm(tg)\,1$ ise denklem şu formu alacaktır: \ Denklemi formda yeniden yazalım. \ Çünkü $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$, O $-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1$. Sonuç olarak denklemin sağ tarafındaki değerler (*) segmente aittir. $[-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]$.

$x^2\geqslant 0$ olduğundan, o zaman sol taraf denklem (*), $0+ \mathrm(tg)^2\,1$ değerinden büyük veya ona eşittir.

Dolayısıyla eşitlik (*) ancak denklemin her iki tarafı da $\mathrm(tg)^2\,1$ değerine eşit olduğunda sağlanabilir. Ve bu şu anlama geliyor \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(case) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Dolayısıyla $a=-\mathrm(tg)\,1$ değeri bize uygundur.

Cevap:

$a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0$\)

Görev 2 #3923

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Her biri için fonksiyonun grafiği olan $a$ parametresinin tüm değerlerini bulun. \

orijine göre simetriktir.

Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse, o zaman böyle bir fonksiyon tektir, yani $f(-x)=-f(x)$ tanım kümesinden herhangi bir $x$ için geçerlidir işlevin. Bu nedenle $f(-x)=-f(x).$ olan parametre değerlerinin bulunması gerekmektedir.

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Son denklem $f(x)$ tanım kümesindeki tüm $x$'ler için sağlanmalıdır, bu nedenle, $\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$.

Cevap:

$\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)$

Görev 3 #3069

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

$a$ parametresinin tüm değerlerini bulun; her biri için \ denkleminin 4 çözümü vardır; burada $f$, $T=\dfrac(16)3$ periyoduna sahip çift periyodik bir fonksiyondur. tüm sayı doğrusunda tanımlıdır ve $f(x)=ax^2$ için $0\leqslant x\leqslant \dfrac83.$

(Abonelerden gelen görev)

$f(x)$ çift fonksiyon olduğundan grafiği ordinat eksenine göre simetriktir, dolayısıyla $-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0$$f(x)=ax^2$ . Böylece ne zaman $-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83$ ve bu uzunluk $\dfrac(16)3$ , işlev $f(x)=ax^2$ olan bir segmenttir.

1) $a>0$ olsun. O zaman $f(x)$ fonksiyonunun grafiği şöyle görünecektir:

O halde denklemin 4 çözümü olması için $g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx$ grafiğinin $A$ noktasından geçmesi gerekir:

Buradan, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(hizalanmış)\end(toplandı)\sağ. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(toplandı)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( toplandı)\doğru.\]$a>0$ olduğundan $a=\dfrac(18)(23)$ uygundur.

2) $a) olsun<0$ . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

$g(x)$ grafiğinin $B$ noktasından geçmesi gerekir: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(toplandı)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\]Çünkü $a<0$ , то подходит $a=-\dfrac{18}{41}$ .

3) $a=0$'ın uygun olmadığı durum, o zamandan beri tüm $x$ , $g(x)=2\sqrtx$ ve $f(x)=0$ için Denklemin sadece 1 kökü olacaktır.

Cevap:

$a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right$\)

Görev 4 #3072

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Denklemin her biri için $a$'nın tüm değerlerini bulun \

en az bir kökü vardır.

(Abonelerden gelen görev)

Denklemi formda yeniden yazalım. \ ve iki fonksiyonu düşünün: $g(x)=7\sqrt(2x^2+49)$ ve $f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
\(g(x)$ fonksiyonu çifttir ve bir minimum noktası $x=0$ (ve $g(0)=49$ ) vardır.
$x>0$ için $f(x)$ fonksiyonu azalıyor ve $x) için<0$ – возрастающей, следовательно, $x=0$ – точка максимума.
Aslında, $x>0$ olduğunda ikinci modül pozitif olarak açılacaktır ($|x|=x$ ), dolayısıyla, ilk modülün nasıl açılacağına bakılmaksızın, $f(x)$ eşit olacaktır $ kx+A$'ye; burada $A$, $a$'nın ifadesidir ve $k$ $-9$ veya $-3$'ye eşittir. Ne zaman $x<0$ наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $3$ , либо $9$ .
Maksimum noktada $f$ değerini bulalım: \

Denklemin en az bir çözümü olabilmesi için $f$ ve $g$ fonksiyonlarının grafiklerinin en az bir kesişim noktasına sahip olması gerekir. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \ \\]

Cevap:

$a\in \(-7$\fincan\)

Görev 5 #3912

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Her biri için denklem olan $a$ parametresinin tüm değerlerini bulun \

altı farklı çözümü vardır.

Değiştirmeyi $(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t$ , $t>0$ yapalım. O zaman denklem şu şekli alacaktır \ Orijinal denklemin altı çözüme sahip olacağı koşulları yavaş yavaş yazacağız.
İkinci dereceden denklem $(*)$'in en fazla iki çözümü olabileceğini unutmayın. Herhangi bir kübik denklem $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ üçten fazla çözüme sahip olamaz. Bu nedenle, $(*)$ denkleminin iki farklı çözümü varsa (pozitif!, çünkü $t$ sıfırdan büyük olmalıdır) $t_1$ ve $t_2$ o zaman ters ikame yaparak , şunu elde ederiz: \[\left[\begin(toplanmış)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(hizalanmış)\end(toplandı)\sağ.\] Herhangi bir pozitif sayı bir dereceye kadar $\sqrt2$ olarak temsil edilebildiğinden, örneğin, $t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)$, daha sonra setin ilk denklemi formda yeniden yazılacaktır. \ Daha önce de söylediğimiz gibi, herhangi bir kübik denklemin üçten fazla çözümü yoktur, dolayısıyla kümedeki her denklemin üçten fazla çözümü olmayacaktır. Bu, tüm setin altıdan fazla çözümü olmayacağı anlamına gelir.
Bu, orijinal denklemin altı çözümü olması için, ikinci dereceden denklem $(*)$'in iki farklı çözümü olması gerektiği ve sonuçta ortaya çıkan her kübik denklemin (kümeden) üç farklı çözümü olması gerektiği anlamına gelir (ve tek bir çözümü değil) bir denklem herhangi biriyle çakışmalıdır -ikincinin kararıyla!)
Açıkçası, eğer ikinci dereceden denklem $(*)$'in bir çözümü varsa, o zaman orijinal denklemin altı çözümünü elde edemeyiz.

Böylece çözüm planı netleşir. Karşılanması gereken koşulları madde madde yazalım.

1) $(*)$ denkleminin iki farklı çözüme sahip olması için diskriminantının pozitif olması gerekir: \

2) Ayrıca her iki kökün de pozitif olması gerekir (çünkü $t>0$ ). İki kökün çarpımı pozitifse ve toplamları pozitifse, o zaman köklerin kendisi de pozitif olacaktır. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \[\begin(case) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(case)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Böylece kendimize zaten iki farklı pozitif kök $t_1$ ve $t_2$ sağladık.

3) Bu denkleme bakalım \ Hangi $t$ için üç farklı çözümü olacak?
$f(x)=x^3-3x^2+4$ fonksiyonunu düşünün.
Faktörlere ayrılabilir: \ Bu nedenle sıfırları şöyledir: $x=-1;2$ .
$f"(x)=3x^2-6x$ türevini bulursak, iki uç nokta $x_(max)=0, x_(min)=2$ elde ederiz.
Bu nedenle grafik şöyle görünür:

Herhangi bir yatay çizginin $y=k$ olduğunu görüyoruz, burada $0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t$üç farklı çözümü vardı, $0<\log_ {\sqrt2}t<4$ .
Böylece ihtiyacınız var: \[\begin(case) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Hemen şunu da belirtelim ki eğer $t_1$ ve $t_2$ sayıları farklıysa o zaman $\log_(\sqrt2)t_1$ ve $\log_(\sqrt2)t_2$ sayıları şöyle olacaktır: farklı, yani denklemler $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1$ Ve $x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2$ farklı kökleri olacaktır.
$(**)$ sistemi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: \[\begin(case) 1

Böylece $(*)$ denkleminin her iki kökünün de $(1;4)$ aralığında olması gerektiğini belirledik. Bu durum nasıl yazılır?
Kökleri açıkça yazmayacağız.
$g(t)=t^2+(a-10)t+12-a$ fonksiyonunu düşünün. Grafiği, x ekseni ile iki kesişme noktasına sahip, yukarı doğru dalları olan bir paraboldür (bu koşulu paragraf 1'de yazdık)). X ekseniyle kesişme noktalarının $(1;4)$ aralığında olması için grafiği nasıl görünmelidir? Bu yüzden:

Birincisi, fonksiyonun $1$ ve $4$ noktalarındaki $g(1)$ ve $g(4)$ değerleri pozitif olmalı ve ikinci olarak, fonksiyonun tepe noktası olmalıdır. $t_0\ ) parabolünün de \((1;4)$ aralığında olması gerekir. Bu nedenle sistemi yazabiliriz: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4$a$ her zaman en az bir köke sahiptir $x=0$ . Bu, problemin koşullarını yerine getirmek için denklemin gerekli olduğu anlamına gelir. \

sıfırdan farklı dört farklı kökü vardı ve $x=0$ ile birlikte bir aritmetik ilerlemeyi temsil ediyordu.

$y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)$ fonksiyonunun çift olduğuna dikkat edin; bu, eğer $x_0$ $ denkleminin kökü ise anlamına gelir. (*)\ ) , o zaman \(-x_0$ da onun kökü olacaktır. O halde bu denklemin köklerinin artan sırada sıralanmış sayılar olması gerekir: $-2d, -d, d, 2d$ (sonra $d>0$). İşte o zaman bu beş sayı bir aritmetik ilerleme oluşturacaktır ($d$ farkıyla).

Bu köklerin $-2d, -d, d, 2d$ sayıları olabilmesi için $d^(\,2), 4d^(\,2)$ sayılarının kökleri olması gerekir. $25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0$ denklemi. O zaman Vieta teoremine göre:

Denklemi formda yeniden yazalım. \ ve iki fonksiyonu düşünün: $g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)$ ve $f(x)=13|x|-2|5x+12a|$ .
$g(x)$ fonksiyonunun bir maksimum noktası $x=0$ vardır (ve $g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4$):
$g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x$. Sıfır türevi: $x=0$ . Ne zaman $x<0$ имеем: $g">0$ , $x>0$ için : $g"<0$ .
$x>0$ için $f(x)$ fonksiyonu artıyor ve $x) için<0$ – убывающей, следовательно, $x=0$ – точка минимума.
Aslında, $x>0$ olduğunda ilk modül pozitif olarak açılacaktır ($|x|=x$), bu nedenle, ikinci modülün nasıl açılacağına bakılmaksızın, $f(x)$ eşit olacaktır $kx+A$'ye; burada $A$, $a$'nın ifadesidir ve $k$ $13-10=3$ veya $13+10)'a eşittir =23$ . Ne zaman $x<0$ наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и $f(x)=kx+A$ , где $k$ равно либо $-3$ , либо $-23$ .
Minimum noktada $f$ değerini bulalım: \

Denklemin en az bir çözümü olabilmesi için $f$ ve $g$ fonksiyonlarının grafiklerinin en az bir kesişim noktasına sahip olması gerekir. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \ Bu sistem kümesini çözerek şu cevabı alırız: \\]

Cevap:

$a\in \(-2$\fincan\)

Çift ve tek fonksiyonların grafikleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Bir fonksiyon çift ise grafiği ordinatlara göre simetriktir. Bir fonksiyon tek ise grafiği orijine göre simetriktir.

Örnek.$y=\left|x \right|$ fonksiyonunun grafiğini oluşturun.

Çözüm.Şu fonksiyonu düşünün: $f\left(x \right)=\left|x \right|$ ve $x $ yerine $-x $ tersini koyun. Basit dönüşümlerin sonucunda şunu elde ederiz: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Diğerinde argümanı zıt işaretle değiştirirseniz işlev değişmeyecektir.

Bu, bu fonksiyonun çift olduğu ve grafiğinin ordinat eksenine (dikey eksen) göre simetrik olacağı anlamına gelir. Bu fonksiyonun grafiği soldaki şekilde gösterilmektedir. Bu, bir grafik oluştururken yalnızca yarısını ve ikinci kısmı (dikey eksenin solunda, sağ kısma simetrik olarak çizebileceğiniz) çizebileceğiniz anlamına gelir. Bir fonksiyonun grafiğini çizmeye başlamadan önce simetrisini belirleyerek, fonksiyonu oluşturma veya inceleme sürecini büyük ölçüde basitleştirebilirsiniz. Genel bir kontrol yapmak zorsa, daha basit bir şekilde yapabilirsiniz: farklı işaretlerin aynı değerlerini denklemde değiştirin. Örneğin -5 ve 5. Fonksiyon değerleri aynı çıkarsa fonksiyonun çift olmasını ümit edebiliriz. Matematiksel açıdan bakıldığında bu yaklaşım tamamen doğru değildir, ancak pratik açıdan uygundur. Sonucun güvenilirliğini artırmak için, bu tür zıt değerlerin birkaç çiftini değiştirebilirsiniz.

Örnek.$y=x\left|x \right|$ fonksiyonunun grafiğini oluşturun.

Çözüm.Önceki örnektekiyle aynı şeyi kontrol edelim: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Bu, orijinal fonksiyonun tek olduğu anlamına gelir (fonksiyonun işareti ters yönde değişmiştir).

Sonuç: Fonksiyon orijine göre simetriktir. Yalnızca bir yarıyı oluşturabilir ve ikincisini simetrik olarak çizebilirsiniz. Bu tür bir simetrinin çizilmesi daha zordur. Bu, grafiğe sayfanın diğer tarafından, hatta baş aşağı baktığınız anlamına gelir. Veya şunu yapabilirsiniz: çizilen parçayı alın ve başlangıç noktası etrafında saat yönünün tersine 180 derece döndürün.

Örnek.$y=x^3+x^2$ fonksiyonunun grafiğini oluşturun.

Çözüm.Önceki iki örnekte olduğu gibi işaret değişikliği kontrolünün aynısını yapalım. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Sonuç olarak şunu elde ederiz: bu: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Ve bu fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir.

Sonuç: Fonksiyon ne orijine ne de koordinat sisteminin merkezine göre simetrik değildir. Bunun nedeni iki fonksiyonun toplamı olmasıdır: çift ve tek. İki farklı fonksiyonu çıkarırsanız aynı durum ortaya çıkar. Ancak çarpma veya bölme farklı bir sonuca yol açacaktır. Örneğin bir çift ve tek fonksiyonun çarpımı tek bir fonksiyon üretir. Veya iki tek sayının bölümü çift fonksiyona yol açar.

Grafikleri dönüştürme.

Fonksiyonun sözlü açıklaması.

Grafik yöntemi.

Bir fonksiyonu belirlemenin grafiksel yöntemi en görsel olanıdır ve teknolojide sıklıkla kullanılır. Matematiksel analizde, fonksiyonları belirlemenin grafiksel yöntemi örnek olarak kullanılır.

Fonksiyon grafiği f, koordinat düzleminin tüm (x;y) noktalarının kümesidir; burada y=f(x) ve x, bu fonksiyonun tanım alanının tamamını "geçirir".

Koordinat düzleminin bir alt kümesi, Oy eksenine paralel herhangi bir düz çizgiyle birden fazla ortak noktaya sahip değilse, bir fonksiyonun grafiğidir.

Örnek. Aşağıda gösterilen şekiller fonksiyon grafiği midir?

Grafik görevinin avantajı netliğidir. Fonksiyonun nasıl davrandığını, nerede arttığını, nerede azaldığını hemen görebilirsiniz. Grafikten fonksiyonun bazı önemli özelliklerini hemen öğrenebilirsiniz.

Genel olarak, bir fonksiyonu tanımlamanın analitik ve grafiksel yöntemleri el ele gider. Formülle çalışmak bir grafik oluşturmaya yardımcı olur. Ve grafik genellikle formülde fark etmeyeceğiniz çözümleri önerir.

Hemen hemen her öğrenci, az önce incelediğimiz bir fonksiyonu tanımlamanın üç yolunu bilir.

Şu soruyu cevaplamaya çalışalım: "Bir işlevi belirtmenin başka yolları var mı?"

Böyle bir yol var.

İşlev kelimelerle oldukça açık bir şekilde belirtilebilir.

Örneğin, y=2x fonksiyonu aşağıdaki sözel açıklamayla belirtilebilir: x argümanının her gerçek değeri, onun çift değeriyle ilişkilendirilir. Kural kurulur, fonksiyon belirtilir.

Üstelik bir formül kullanarak tanımlaması imkansız olmasa da son derece zor olan bir fonksiyonu sözlü olarak belirtebilirsiniz.

Örneğin: doğal bağımsız değişken x'in her değeri, x'in değerini oluşturan rakamların toplamı ile ilişkilendirilir. Örneğin x=3 ise y=3 olur. Eğer x=257 ise y=2+5+7=14 olur. Ve benzeri. Bunu bir formülle yazmak sorunludur. Ancak işareti yapmak kolaydır.

Sözlü anlatım yöntemi oldukça nadir kullanılan bir yöntemdir. Ama bazen öyle oluyor.

Eğer x ile y arasında bire bir uygunluk yasası varsa, o zaman bir fonksiyon vardır. Hangi yasanın, hangi biçimde ifade edildiği - formül, tablet, grafik, kelimeler - konunun özünü değiştirmez.

Tanım alanları orijine göre simetrik olan fonksiyonları ele alalım; herkes için X tanım numarasının etki alanından (- X) aynı zamanda tanım alanına da aittir. Bu işlevler arasında çift ve tek.

Tanım. f fonksiyonu çağrılır eşit, eğer herhangi biri için X kendi tanım alanından

Örnek.İşlevi düşünün

Eşittir. Hadi kontrol edelim.

Herkes için X eşitlikler sağlandı

Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda bu fonksiyonun grafiği verilmiştir.

Tanım. f fonksiyonu çağrılır garip, eğer herhangi biri için X kendi tanım alanından

Örnek. İşlevi düşünün

Bu çok tuhaf. Hadi kontrol edelim.

Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani (0;0) noktasına göre simetriktir.

Herkes için X eşitlikler sağlandı

Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda bu fonksiyonun grafiği verilmiştir.

Birinci ve üçüncü şekillerde gösterilen grafikler ordinat eksenine göre simetriktir ve ikinci ve dördüncü şekillerde gösterilen grafikler orijine göre simetriktir.

Şekillerde grafikleri gösterilen fonksiyonlardan hangileri çift, hangileri tektir?