Rasyonel sayılar ve ölçümler. Rasyonel sayıların tanımı

Tamsayılar

Doğal sayıların tanımı pozitif tam sayılardır. Doğal sayılar nesneleri saymak ve başka birçok amaç için kullanılır. Bunlar rakamlar:

Bu doğal bir sayı dizisidir.
Sıfır bir doğal sayı mıdır? Hayır sıfır doğal bir sayı değildir.
Kaç tane doğal sayılar var mı? Var sonsuz küme doğal sayılar.
En küçük doğal sayı nedir? Bir, en küçük doğal sayıdır.
En büyük doğal sayı nedir? Sonsuz sayıda doğal sayı olduğundan bunu belirtmek imkansızdır.

Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Yani, a ve b doğal sayılarını topladığımızda:

Doğal sayıların çarpımı bir doğal sayıdır. Yani a ve b doğal sayılarının çarpımı:

c her zaman bir doğal sayıdır.

Doğal sayıların farkı Her zaman bir doğal sayı yoktur. Çıkarılan, çıkarılandan büyükse, doğal sayıların farkı bir doğal sayıdır, aksi halde değildir.

Doğal sayıların bölümü her zaman doğal sayı değildir. a ve b doğal sayıları için ise

c'nin bir doğal sayı olması, a'nın b'ye bölünebileceği anlamına gelir. Bu örnekte a bölen, b bölen, c ise bölümdür.

Bir doğal sayının böleni, birinci sayıya bölünebilen bir doğal sayıdır.

Her doğal sayı bire ve kendisine bölünebilir.

Asal doğal sayılar yalnızca bire ve kendilerine bölünür. Burada tamamen bölünmüş demek istiyoruz. Örnek, sayılar 2; 3; 5; 7 yalnızca bire ve kendisine bölünebilir. Bunlar basit doğal sayılardır.

Bir asal sayı olarak kabul edilmez.

Birden büyük olan ve asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Örnekler bileşik sayılar:

Bir, bileşik sayı olarak kabul edilmez.

Doğal sayılar kümesi birdir, asal sayılar ve bileşik sayılar.

Doğal sayılar kümesi gösterilir Latince harf N.

Doğal sayıların toplama ve çarpma özellikleri:

toplamanın değişme özelliği

ilişkisel özellik ek

(a + b) + c = a + (b + c);

Çarpmanın değişme özelliği

çarpmanın birleşme özelliği

(ab) c = a (bc);

dağılma özelliğiçarpma işlemi

bir (b + c) = ab + ac;

Bütün sayılar

Tam sayılar; doğal sayılar, sıfır ve doğal sayıların karşıtlarıdır.

Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır, örneğin:

1; -2; -3; -4;...

Tamsayılar kümesi Latince Z harfiyle gösterilir.

Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar Bunlar tam sayılar ve kesirler.

Herhangi bir rasyonel sayı periyodik kesir olarak temsil edilebilir. Örnekler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Örneklerden herhangi bir tam sayının olduğu açıktır. periyodik kesir sıfır periyodu ile.

Herhangi bir rasyonel sayı m/n kesri olarak gösterilebilir; burada m bir tam sayıdır sayı,n doğal sayı. Bir önceki örnekteki 3(6) sayısını böyle bir kesir olarak düşünelim.

) pozitif veya negatif işareti(tamsayılar ve kesirler) ve sıfır. Rasyonel sayılara ilişkin daha kesin bir kavram şu şekildedir:

Rasyonel sayı- temsil edilen sayı sıradan kesir a/n, payın nerede M tamsayılardır ve payda N- tamsayılar, örneğin 2/3.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler Rasyonel sayılar kümesine dahil DEĞİLDİR.

a/b, Nerede A∈ Z (A tamsayılara aittir), B∈ N (B doğal sayılara aittir).

Rasyonel sayıların gerçek hayatta kullanılması.

İÇİNDE gerçek hayat Rasyonel sayılar kümesi bazı tam sayılarla bölünebilen nesnelerin parçalarını saymak için kullanılır. Örneğin tüketilmeden önce parçalara ayrılan kekler veya diğer yiyecekler veya uzatılmış nesnelerin mekansal ilişkilerinin kabaca tahmin edilmesi için kullanılır.

Rasyonel sayıların özellikleri.

Rasyonel sayıların temel özellikleri.

1. Düzenlilik A Ve B aralarındaki 3 ilişkiden 1'ini ve yalnızca birini açıkça tanımlamanıza izin veren bir kural var: "<», «>" veya "=". Bu kural - sıralama kuralı ve bunu şu şekilde formüle edin:

2 pozitif sayı a=m a / n a Ve b=mb /nb 2 tamsayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidirler anne⋅ hayır Ve m b⋅ hayır;
2 negatif sayı A Ve B 2 pozitif sayıyla aynı oranda ilişkilidir |b| Ve |bir|;
Ne zaman A pozitif ve B- o zaman negatif a>b.

∀ a,b∈ Soru(a) ∨ a>b∨ a=b)

2. Ekleme işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada toplama kuralı onlara belirli bir rasyonel sayı atar C. Üstelik sayının kendisi C- Bu toplam sayılar A Ve B ve şu şekilde gösterilir (a+b) toplam.

Toplama Kuralıöyle görünüyor:

anne/n a + m b/n b =(ma bir⋅ n b + m b⋅ hayır bir)/(n bir⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Çarpma işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada çarpma kuralı onları belirli bir rasyonel sayıyla ilişkilendirir C. c sayısına denir iş sayılar A Ve B ve belirtmek (a⋅b) ve bu numarayı bulma işlemine denir çarpma işlemi.

Çarpma kuralıöyle görünüyor: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ hayır.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi üç rasyonel sayı için A, B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C.

∀ ABC∈ Soru(a) ∧ B ⇒ A ∧ (bir = b∧ b = c⇒ bir = c)

5. Toplamanın değişebilirliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. İlave ilişkisellik. 3 rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.

∀ ABC∈ S (a+b)+c=a+(b+c)

7. Sıfır varlığı. 0 rasyonel sayısı vardır, eklendiğinde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Soru a+0=a

8. Zıt sayıların varlığı. Her rasyonel sayının zıt rasyonel sayısı vardır ve bunlar toplandığında sonuç 0 olur.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.

∀ a,b∈ Soru⋅ b=b⋅ A

10. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği. 3 rasyonel sayının çarpılma sırasının sonuca hiçbir etkisi yoktur.

∀ ABC∈ Soru(a)⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Birim kullanılabilirliği. 1 rasyonel sayısı vardır ve çarpma işleminde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Soru⋅ 1=a

12. Kullanılabilirlik karşılıklı sayılar . Sıfır dışındaki her rasyonel sayının ters bir rasyonel sayısı vardır ve çarpıldığında 1 elde edilir. .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Soru⋅ a−1=1

13. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı. Çarpma işlemi, dağıtım yasasını kullanarak toplama işlemiyle ilgilidir:

∀ ABC∈ Soru(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Sıra ilişkisi ile toplama işlemi arasındaki ilişki. Sola ve Sağ Taraf rasyonel eşitsizlik aynı rasyonel sayıyı ekleyin.

∀ ABC∈ Soru ⇒ a+c

15. Sıra ilişkisi ile çarpma işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları, negatif olmayan aynı rasyonel sayıyla çarpılabilir.

∀ ABC∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Arşimed Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, o kadar çok birim almak kolaydır ki toplamları daha büyük olur A.

) pozitif veya negatif işaretli (tamsayılar ve kesirler) ve sıfır olan sayılardır. Rasyonel sayılara ilişkin daha kesin bir kavram şu şekildedir:

Rasyonel sayı- ortak kesir olarak temsil edilen bir sayı a/n, payın nerede M tamsayılardır ve payda N- tamsayılar, örneğin 2/3.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler rasyonel sayılar kümesine dahil DEĞİLDİR.

a/b, Nerede A∈ Z (A tamsayılara aittir), B∈ N (B doğal sayılara aittir).

Rasyonel sayıların gerçek hayatta kullanılması.

Gerçek hayatta rasyonel sayılar kümesi bazı tam sayılarla bölünebilen nesnelerin parçalarını saymak için kullanılır. Örneğin tüketilmeden önce parçalara ayrılan kekler veya diğer yiyecekler veya uzatılmış nesnelerin mekansal ilişkilerinin kabaca tahmin edilmesi için kullanılır.

Rasyonel sayıların özellikleri.

Rasyonel sayıların temel özellikleri.

2 pozitif sayı a=m a / n a Ve b=mb /nb 2 tamsayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidirler anne⋅ hayır Ve m b⋅ hayır;
2 negatif sayı A Ve B 2 pozitif sayıyla aynı oranda ilişkilidir |b| Ve |bir|;
Ne zaman A pozitif ve B- o zaman negatif a>b.

∀ a,b∈ Soru(a) ∨ a>b∨ a=b)

Toplama Kuralıöyle görünüyor:

anne/n a + m b/n b =(ma bir⋅ n b + m b⋅ hayır bir)/(n bir⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

Çarpma kuralıöyle görünüyor: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ hayır.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi üç rasyonel sayı için A, B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C.

∀ ABC∈ Soru(a) ∧ B ⇒ A ∧ (bir = b∧ b = c⇒ bir = c)

5. Toplamanın değişebilirliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. İlave ilişkisellik. 3 rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.

∀ ABC∈ S (a+b)+c=a+(b+c)

7. Sıfır varlığı. 0 rasyonel sayısı vardır, eklendiğinde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Soru a+0=a

8. Zıt sayıların varlığı. Her rasyonel sayının zıt rasyonel sayısı vardır ve bunlar toplandığında sonuç 0 olur.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.

∀ a,b∈ Soru⋅ b=b⋅ A

10. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği. 3 rasyonel sayının çarpılma sırasının sonuca hiçbir etkisi yoktur.

∀ ABC∈ Soru(a)⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Birim kullanılabilirliği. 1 rasyonel sayısı vardır ve çarpma işleminde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Soru⋅ 1=a

12. Karşılıklı sayıların varlığı. Sıfır dışındaki her rasyonel sayının ters bir rasyonel sayısı vardır ve çarpıldığında 1 elde edilir. .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Soru⋅ a−1=1

13. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı. Çarpma işlemi, dağıtım yasasını kullanarak toplama işlemiyle ilgilidir:

∀ ABC∈ Soru(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Sıra ilişkisi ile toplama işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına aynı rasyonel sayı eklenir.

∀ ABC∈ Soru ⇒ a+c

15. Sıra ilişkisi ile çarpma işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları, negatif olmayan aynı rasyonel sayıyla çarpılabilir.

∀ ABC∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Arşimed Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, o kadar çok birim almak kolaydır ki toplamları daha büyük olur A.

Rasyonel sayılar konusu oldukça kapsamlıdır. Bunun hakkında durmadan konuşabilir ve her seferinde yeni özellikler karşısında şaşırarak bütün eserleri yazabilirsiniz.

Gelecekte hata yapmamak için, bu ders Rasyonel sayılar konusunun biraz daha derinine ineceğiz ve bundan öğreneceğiz gerekli bilgi ve devam edelim.

Ders içeriği

Rasyonel sayı nedir

Rasyonel sayı, kesir olarak gösterilebilen bir sayıdır; burada A- bu kesrin payıdır, B kesrin paydasıdır. Dahası B sıfır olmamalıdır çünkü sıfıra bölmeye izin verilmez.

Rasyonel sayılar aşağıdaki sayı kategorilerini içerir:

tamsayılar (örneğin −2, −1, 0 1, 2 vb.)

ondalık kesirler (örneğin 0,2 vb.)

sonsuz periyodik kesirler (örneğin 0, (3), vb.)

Bu kategorideki her sayı kesir olarak temsil edilebilir.

Örnek 1. 2 tamsayısı kesir olarak gösterilebilir. Bu, 2 sayısının yalnızca tam sayılar için değil aynı zamanda rasyonel sayılar için de geçerli olduğu anlamına gelir.

Örnek 2. Karışık bir sayı kesir olarak temsil edilebilir. Bu kesir karışık bir sayının dönüştürülmesiyle elde edilir uygunsuz kesir

Araç karışık numara rasyonel sayıları ifade eder.

Örnek 3. Ondalık 0,2 kesir olarak temsil edilebilir. Bu kesir, 0,2 ondalık kesirinin ortak bir kesir haline dönüştürülmesiyle elde edildi. Bu noktada zorluk yaşıyorsanız konuyu tekrar edin.

Çünkü ondalık 0,2 kesir olarak gösterilebilir, yani rasyonel sayılara da aittir.

Örnek 4. Sonsuz periyodik kesir 0, (3), kesir olarak temsil edilebilir. Bu kesir, saf bir periyodik kesirin sıradan bir kesire dönüştürülmesiyle elde edilir. Bu noktada zorluk yaşıyorsanız konuyu tekrar edin.

Sonsuz periyodik kesir 0, (3) kesir olarak gösterilebildiğinden, onun da rasyonel sayılara ait olduğu anlamına gelir.

Gelecekte, kesir olarak temsil edilebilecek tüm sayıları tek bir cümleyle giderek daha fazla arayacağız - rasyonel sayılar.

Koordinat doğrusundaki rasyonel sayılar

Negatif sayıları çalışırken koordinat doğrusuna baktık. Bunun üzerinde birçok noktanın bulunduğu düz bir çizgi olduğunu hatırlayın. Aşağıdaki gibi:

Bu şekil koordinat çizgisinin -5'ten 5'e kadar küçük bir parçasını göstermektedir.

Koordinat doğrusunda 2, 0, −3 formundaki tam sayıları işaretlemek zor değildir.

Diğer sayılarda işler çok daha ilginçtir: sıradan kesirler, karışık sayılar, ondalık sayılar vb. Bu sayılar tam sayıların arasındadır ve bu sayılardan sonsuz sayıda vardır.

Örneğin koordinat doğrusu üzerinde bir rasyonel sayıyı işaretleyelim. Bu numara tam olarak sıfır ile bir arasında yatıyor

Kesrin neden aniden sıfır ile bir arasında bulunduğunu anlamaya çalışalım.

Yukarıda bahsedildiği gibi, tamsayıların arasında başka sayılar da bulunur - sıradan kesirler, ondalık sayılar, karışık sayılar vb. Örneğin koordinat çizgisinin bir bölümünü 0'dan 1'e çıkarırsanız aşağıdaki resmi görebilirsiniz.

0 ile 1 tam sayıları arasında tanıdık ondalık kesirler olan başka rasyonel sayıların da olduğu görülebilir. Burada 0,5 ondalık kesiriyle aynı yerde bulunan kesirimizi görebilirsiniz. Bu şeklin dikkatli bir şekilde incelenmesi kesrin neden tam olarak orada yer aldığı sorusunun yanıtını verir.

Kesir, 1'i 2'ye bölmek anlamına gelir. Ve 1'i 2'ye bölersek 0,5 elde ederiz.

0,5 ondalık kesir diğer kesirler gibi gizlenebilir. Kesirin temel özelliğinden biliyoruz ki, bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse kesrin değerinin değişmediğini biliyoruz.

Bir kesrin payı ve paydası herhangi bir sayıyla, örneğin 4 sayısıyla çarpılırsa yeni bir kesir elde ederiz ve bu kesir de 0,5'e eşittir.

Bu, koordinat çizgisi üzerinde kesirin, kesrin bulunduğu yere yerleştirilebileceği anlamına gelir.

Örnek 2. Koordinat üzerinde rasyonel bir sayıyı işaretlemeye çalışalım. Bu sayı tam olarak 1 ve 2 sayıları arasında yer almaktadır.

Kesir değeri 1,5

Koordinat çizgisinin kesitini 1'den 2'ye çıkarırsak aşağıdaki resmi göreceğiz:

1 ve 2 tam sayıları arasında tanıdık ondalık kesirler olan başka rasyonel sayıların da olduğu görülebilir. Burada 1,5 ondalık kesiriyle aynı yerde bulunan kesirimizi görebilirsiniz.

Bu parça üzerinde kalan sayıları görmek için koordinat çizgisi üzerindeki belirli parçaları büyüttük. Sonuç olarak, virgülden sonra bir rakamı olan ondalık kesirleri keşfettik.

Ama onlar değildi tekil sayılar, bu segmentlerin üzerinde yatıyor. Koordinat doğrusu üzerinde sonsuz sayıda sayı vardır.

Ondalık virgülden sonra bir rakamı olan ondalık kesirler arasında, virgülden sonra iki rakamı olan başka ondalık kesirlerin de olduğunu tahmin etmek zor değildir. Başka bir deyişle, bir segmentin yüzde biri.

Örneğin, 0,1 ile 0,2 ondalık kesirleri arasında kalan sayıları görmeye çalışalım.

Başka bir örnek. Ondalık noktadan sonra iki rakamı olan ve sıfır ile 0,1 rasyonel sayısı arasında yer alan ondalık kesirler şöyle görünür:

Örnek 3. Koordinat doğrusu üzerinde bir rasyonel sayı işaretleyelim. Bu rasyonel sayı sıfıra çok yakın olacak

Kesrin değeri 0,02

Segmenti 0'dan 0,1'e çıkarırsak rasyonel sayının tam olarak nerede olduğunu göreceğiz

Rasyonel sayımızın 0,02 ondalık kesiriyle aynı yerde yer aldığı görülmektedir.

Örnek 4. Koordinat doğrusu üzerinde 0 rasyonel sayısını işaretleyelim, (3)

Rasyonel sayı 0, (3) sonsuz bir periyodik kesirdir. Onun kesir asla bitmez, sonsuzdur

Ve 0,(3) sayısının sonsuz kesirli kısmı olduğundan bu sayının koordinat doğrusu üzerinde tam olarak bulunduğu yeri bulamayacağız demektir. Burayı ancak yaklaşık olarak belirtebiliriz.

0,33333 rasyonel sayısı... ortak ondalık kesir olan 0,3'e çok yakın konumlandırılacaktır.

Bu şekil 0,(3) sayısının tam yerini göstermemektedir. Bu sadece periyodik kesir 0.(3)'ün normal ondalık kesir 0.3'e ne kadar yakın olabileceğini gösteren bir örnektir.

Örnek 5. Koordinat doğrusu üzerinde bir rasyonel sayı işaretleyelim. Bu rasyonel sayı 2 ve 3 sayıları arasında ortada yer alacaktır.

Bu 2 (iki tam sayı) ve (bir saniye)'dir. Kesirlere “yarım” da denir. Bu nedenle koordinat çizgisi üzerinde iki tam parçayı ve bir yarım parçayı işaretledik.

Karışık bir sayıyı bileşik kesire çevirirsek sıradan bir kesir elde ederiz. Koordinat doğrusundaki bu kesir, kesirle aynı yerde bulunacaktır.

Kesrin değeri 2,5

Koordinat çizgisinin kesitini 2'den 3'e çıkarırsak aşağıdaki resmi göreceğiz:

Rasyonel sayımızın 2,5 ondalık kesiriyle aynı yerde olduğu görülmektedir.

Rasyonel sayıdan önce eksi

Bir önceki dersimizde tam sayıların nasıl bölüneceğini öğrendik. Hem pozitif hem de negatif sayılar, bölen ve bölen görevi görebilir.

En basit ifadeyi ele alalım

(−6) : 2 = −3

İÇİNDE bu ifade temettü (−6) negatif bir sayıdır.

Şimdi ikinci ifadeyi düşünün

6: (−2) = −3

Burada bölen (−2) zaten negatif bir sayıdır. Ancak her iki durumda da aynı cevabı -3 alıyoruz.

Her bölmenin kesir olarak yazılabildiğini düşünürsek yukarıda anlattığımız örnekleri de kesir olarak yazabiliriz:

Ve her iki durumda da kesrin değeri aynı olduğundan, pay veya paydadaki eksi kesrin önüne getirilerek ortak hale getirilebilir.

Bu nedenle ve ve ifadeleri aynı anlamı taşıdıkları için arasına eşittir işareti koyabilirsiniz.

İleride kesirlerle çalışırken payda veya paydada bir eksi ile karşılaşırsak bu eksiyi kesrin önüne yerleştirerek ortak hale getireceğiz.

Zıt rasyonel sayılar

Bir tamsayı gibi, rasyonel bir sayının da karşıt sayısı vardır.

Örneğin bir rasyonel sayı için karşı sayı dır-dir . Koordinatların orijinine göre konuma simetrik olarak koordinat çizgisi üzerinde bulunur. Başka bir deyişle, bu sayıların her ikisi de orijinden eşit uzaklıkta

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürme

Tam sayıyı bileşik kesre dönüştürmek için tam kısmı kesirli kısmın paydasıyla çarpıp bunu kesirli kısmın payına eklememiz gerektiğini biliyoruz. Ortaya çıkan sayı yeni kesrin payı olacaktır, ancak payda aynı kalacaktır.

Örneğin, karışık bir sayıyı bileşik kesire dönüştürelim

Tüm kısmı kesirli kısmın paydasıyla çarpın ve kesirli kısmın payını ekleyin:

Bu ifadeyi hesaplayalım:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Ortaya çıkan 5 sayısı yeni kesrin payı olacak, ancak payda aynı kalacak:

Bu prosedür tam olarak aşağıdaki şekilde yazılmıştır:

Orijinal karışık sayıyı döndürmek için kesrin tamamını seçmek yeterlidir

Ancak karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesire dönüştürmenin bu yöntemi yalnızca karışık sayının pozitif olması durumunda uygulanabilir. Negatif bir sayı için Bu method işe yaramayacak.

Kesirini ele alalım. Bu kesrin tam kısmını seçelim. Aldık

Orijinal kesri döndürmek için karışık sayıyı uygunsuz kesire dönüştürmeniz gerekir. Ancak eski kuralı kullanırsak, yani tüm kısmı kesirli kısmın paydasıyla çarparsak ve kesirli kısmın payını elde edilen sayıya eklersek, aşağıdaki çelişkiyi elde ederiz:

Bir kesir aldık ama bir kesir almalıydık.

Karışık sayının hatalı bir şekilde bileşik kesire dönüştürüldüğü sonucuna vardık

Negatif bir karışık sayıyı uygunsuz bir kesire doğru bir şekilde dönüştürmek için, tüm kısmı kesirli kısmın paydasıyla ve elde edilen sayıdan çarpmanız gerekir. çıkarma kesirli kısmın payı. Bu durumda bizim için her şey yoluna girecek

Negatif karışık sayı, karışık sayının tersidir. Pozitif bir karışık sayı sağ tarafta bulunuyorsa ve şöyle görünüyorsa

Rasyonel sayılar

Çeyrekler

Düzenlilik. A Ve B Aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz şekilde tanımlamanıza olanak tanıyan bir kural vardır: "< », « >" veya " = ". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilmiştir: iki Negatif olmayan sayılar ve iki tamsayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve; pozitif olmayan iki sayı A Ve B negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve ; eğer aniden A olumsuz değil ama B- negatif o zaman A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Kesirleri Ekleme
Ekleme işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var toplama kuralı C. Üstelik sayının kendisi C isminde miktar sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplam. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
Çarpma işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için A Ve B sözde var çarpma kuralı onlara bazı rasyonel sayılar atar C. Üstelik sayının kendisi C isminde iş sayılar A Ve B ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma işlemi. Çarpma kuralı şuna benzer: .
Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için A , B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C, ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C. 6435">Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
Eklemenin ilişkilendirilebilirliği. Emir üç ekleme Rasyonel sayılar sonucu etkilemez.
Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
Karşılıklı sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tam sayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek mantıklıdır.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların numaralandırılması

Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir.

Bu algoritmaların en basiti şuna benzer. Sonsuz bir tablo oluşturulur sıradan kesirler, her birinde Ben her birinde -inci satır J kesrin bulunduğu inci sütun. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri ile gösterilir; burada Ben- hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve J- sütun numarası.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı başka bir doğal sayıyla ilişkilendirilir. Yani, 1/1 kesirleri 1 sayısına, 2/1 kesirleri 2 sayısına vb. atanır. Sadece şunu belirtmek gerekir ki indirgenemez kesirler. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.

Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade, ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi göründüğü için bazı karışıklıklara neden olabilir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Böyle bir üçgenin hipotenüsü herhangi bir rasyonel sayıyla ifade edilemez.

1 / formunun rasyonel sayıları N genel olarak N keyfi olarak küçük miktarlar ölçülebilir. Bu gerçek yaratır yanıltıcı izlenim Rasyonel sayıların herhangi bir geometrik mesafeyi ölçmek için kullanılabileceği. Bunun doğru olmadığını göstermek kolaydır.

Notlar

Edebiyat

I. Kushnir. Okul çocukları için matematik el kitabı. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Küme teorisine ve genel topolojiye giriş. - M.: bölüm. ed. fizik ve matematik Aydınlatılmış. ed. "Bilim", 1977
I. L. Khmelnitsky. Cebirsel sistemler teorisine giriş

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010.