Doğrusal denklemin orijinal formu nedir? Tek değişkenli doğrusal denklemleri çözme

• Değişkenli eşitliğe denklem denir.
• Bir denklemi çözmek onun birçok kökünü bulmak anlamına gelir. Bir denklemin bir, iki, birkaç, birçok kökü olabilir veya hiç kökü olmayabilir.
• Belirli bir denklemin gerçek eşitliğe dönüştüğü değişkenin her değerine denklemin kökü denir.
• Kökleri aynı olan denklemlere eşdeğer denklemler denir.
• Denklemin herhangi bir terimi, eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılarak terimin işareti tersine çevrilebilir.
• Bir denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edilir.

Örnekler. Denklemi çözün.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Değişkeni içeren terimleri eşitliğin sol tarafında, serbest terimleri ise eşitliğin sağ tarafında topladık. Bu durumda aşağıdaki özellik kullanıldı:

1,2x = -6. Getirilmiş benzer terimler kurala göre:

x = -6 : 1.2. Eşitliğin her iki tarafı değişkenin katsayısına bölündü, çünkü

x = -5. Ondalık kesirleri bölme kuralına göre bölme ondalık:

Bir sayıyı ondalık kesre bölmek için, bölen ve bölendeki virgülleri, bölendeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırmanız ve ardından doğal sayıya bölmeniz gerekir:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Cevap: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Çıkarmaya göre çarpmanın dağılım yasasını kullanarak parantezleri açtık: (a-b) ∙ c = bir ∙ c-b ∙ C.

6x-4x = -16+27. Değişkeni içeren terimleri eşitliğin sol tarafında, serbest terimleri ise eşitliğin sağ tarafında topladık. Bu durumda aşağıdaki özellik kullanıldı: Denklemin herhangi bir terimi eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir, böylece terimin işareti zıt yönde değişebilir.

2x = 11. Kurala göre benzer terimler verildi: benzer terimleri getirmek için bunların katsayılarını toplamanız ve elde edilen sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir (yani ortak harf kısmını elde edilen sonuca ekleyin).

x = 11 : 2. Eşitliğin her iki tarafı da değişkenin katsayısına bölündü, çünkü Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Parantezleri, önüne “-” işareti gelen parantez açma kuralına göre açtık: parantezlerin önünde “-” işareti varsa parantezleri ve “-” işaretini çıkarıp parantez içindeki terimleri zıt işaretlerle yazın.

7x-2x-x = -9+3. Değişkeni içeren terimleri eşitliğin sol tarafında, serbest terimleri ise eşitliğin sağ tarafında topladık. Bu durumda aşağıdaki özellik kullanıldı: Denklemin herhangi bir terimi eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir, böylece terimin işareti zıt yönde değişebilir.

4x = -6. Kurala göre benzer terimler verildi: benzer terimleri getirmek için bunların katsayılarını toplamanız ve elde edilen sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir (yani ortak harf kısmını elde edilen sonuca ekleyin).

x = -6 : 4. Eşitliğin her iki tarafı da değişkenin katsayısına bölündü, çünkü Denklemin her iki tarafı da sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılır veya bölünürse verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Denklemin her iki tarafını da en küçüğü olan 12 ile çarpın ortak payda bu kesirlerin paydaları için.

3x-15 = 84-8x+44. Çıkarmaya göre çarpmanın dağılım yasasını kullanarak parantezleri açtık: İki sayının farkını üçüncü bir sayı ile çarpmak için, çıkanı ayrı ayrı çarpabilir, üçüncü sayıyı ayrı ayrı çıkartabilir ve ardından ikinci sonucu birinci sonuçtan çıkarabilirsiniz.(a-b) ∙ c = bir ∙ c-b ∙ C.

3x+8x = 84+44+15. Değişkeni içeren terimleri eşitliğin sol tarafında, serbest terimleri ise eşitliğin sağ tarafında topladık. Bu durumda aşağıdaki özellik kullanıldı: Denklemin herhangi bir terimi eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılabilir, böylece terimin işareti zıt yönde değişebilir.

Doğrusal denklemleri çözerken, denklemi doğru eşitliğe dönüştürecek bir değişkenin kökünü, yani değerini bulmaya çalışırız.

İhtiyacınız olan denklemin kökünü bulmak için eşdeğer dönüşümler bize verilen denklemi forma getirir

\(x=[sayı]\)

Bu sayı kök olacaktır.

Yani denklemi, kökün belli olduğu tamamen ilkel bir "x = sayı" denklemine indirgeyene kadar her adımda daha basit hale getirerek dönüştürüyoruz. Çözümde en sık kullanılan doğrusal denklemler aşağıdaki dönüşümlerdir:

Örneğin: denklemin her iki tarafına \(5\) ekleyin \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Lütfen, denklemin diğer tarafına beşi yazıp işaretini değiştirerek aynı sonucu daha hızlı elde edebileceğimizi unutmayın. Aslında okul tam da bu şekilde “eşitlerden işaret değiştirerek diğerine geçiş” yapıyor.

2. Bir denklemin her iki tarafını aynı sayı veya ifadeyle çarpmak veya bölmek.

Örneğin: \(-2x=8\) denklemini eksi ikiye bölün

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Genellikle bu adım denklem zaten \(ax=b\) biçimine indirgendiğinde en sonunda gerçekleştirilir ve onu soldan çıkarmak için \(a\)'ya böleriz.

3. Matematiğin özelliklerini ve yasalarını kullanma: parantez açma, benzer terimleri getirme, kesirleri azaltma vb.

\(2x\) sola ve sağa ekleyin

Denklemin her iki tarafından \(24\) çıkarın

Benzer terimleri tekrar sunuyoruz

Şimdi denklemi \(-3\)'e bölüyoruz, böylece sol taraftaki ön X'i kaldırıyoruz.

Cevap : \(7\)

Cevap bulundu. Ancak yine de kontrol edelim. Eğer yedi gerçekten bir kökse, o zaman orijinal denklemde X yerine bunu koymak doğru eşitliğe yol açacaktır - aynı sayılar sol ve sağ. Hadi deneyelim.

Muayene:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

İşe yaradı. Bu, yedinin aslında orijinal doğrusal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Özellikle bir test veya sınavda bir denklem çözüyorsanız, yerine koyarak bulduğunuz cevapları kontrol etmekte tembel olmayın.

Soru hala ortada: Bir sonraki adımda denklemle ne yapılacağı nasıl belirlenecek? Tam olarak nasıl dönüştürülür? Bir şeye mi bölmek istiyorsunuz? Yoksa çıkarma mı? Peki tam olarak neyi çıkarmalıyım? Neye göre bölmek?

Cevap basit:

Amacınız denklemi \(x=[sayı]\ biçimine getirmektir, yani solda katsayılar ve sayılar olmadan x, sağda ise değişkenler olmadan yalnızca bir sayı vardır. Bu nedenle sizi neyin durdurduğuna bakın ve müdahale eden bileşenin yaptığının tam tersini yapın.

Bunu daha iyi anlamak için \(x+3=13-4x\) doğrusal denkleminin çözümüne adım adım bakalım.

Bir düşünelim: Bu denklemin \(x=[sayı]\)'dan farkı nedir? Bizi durduran ne? Sorun nedir?

Öncelikle, üçü müdahale ediyor, çünkü solda yalnızca numaraları olmayan yalnız bir X olması gerekiyor. Troyka ne “yapar”? Eklendi X'e. Yani, onu kaldırmak için - çıkarma aynı üç. Ama soldan üç çıkarırsak, eşitliğin bozulmaması için sağdan da çıkarmalıyız.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

İyi. Şimdi seni durduran ne? \(4x\) sağda, çünkü orada sadece sayılar olmalı. \(4x\) düşüldü- kaldırıyoruz ekleyerek.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Şimdi sol ve sağda benzer terimleri sunuyoruz.

Neredeyse hazır. Geriye kalan tek şey soldaki beşi kaldırmak. O ne “yapıyor”? Çarpır x'te. O halde hadi kaldıralım bölüm.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Çözüm tamamlandı, denklemin kökü iki. Değiştirerek kontrol edebilirsiniz.

Dikkat çoğu zaman doğrusal denklemlerde yalnızca bir kök bulunur. Ancak iki özel durum ortaya çıkabilir.

Özel durum 1 – doğrusal bir denklemde kök yoktur.

Örnek . \(3x-1=2(x+3)+x\) denklemini çözün

Çözüm :

Cevap : kök yok.

Aslında böyle bir sonuca varacağımız gerçeği daha önceden \(3x-1=3x+6\) aldığımızda da görülüyordu. Bir düşünün: \(1\)'i çıkardığımız \(3x\) ile \(6\)'yı eklediğimiz \(3x\) nasıl eşit olabilir? Açıkçası hayır, çünkü onlar da aynı şeyi yaptılar farklı eylemler! Sonuçların değişeceği açıktır.

Özel durum 2 – doğrusal bir denklemin sonsuz sayıda kökü vardır.

Çözüm :

Cevap : herhangi bir sayı.

Bu arada, bu daha da erken bir aşamada farkedildi: \(8x+12=8x+12\). Aslında sol ve sağ aynı ifadelerdir. Yerine hangi X'i koyarsanız koyun, hem orada hem de orada aynı sayı olacaktır.

Daha karmaşık doğrusal denklemler.

Orijinal denklem her zaman doğrudan doğrusal görünmeyebilir; bazen diğeri gibi "maskelenir". karmaşık denklemler. Ancak dönüşüm sürecinde kılık değiştirme ortadan kalkar.

Örnek . \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\) denkleminin kökünü bulun

Çözüm :

Cevap : \(x=5\)

Örnek . Doğrusal denklemi çözün \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Çözüm :

Cevap : \(x=-1,25\)

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce en çok gezginimize dikkat edin. faydalı kaynakİçin

"Doğrusal denklemler" nedir

veya içinde sözlü olarak- Vasya'nın sahip olduğu tüm elmalara sahip olduğu gerekçesiyle üç arkadaşa elma verildi.

Ve şimdi zaten karar verdin doğrusal denklem
Şimdi bu terime matematiksel bir tanım verelim.

Doğrusal denklem - Bu cebirsel denklem, kim var tam derece onu oluşturan polinomların sayısı eşittir. Şuna benziyor:

Herhangi bir sayı nerede ve nerede ve

Vasya ve elmalarla ilgili durumumuz için şunu yazacağız:

- “Vasya üç arkadaşına da aynı sayıda elma verirse elması kalmayacak”

"Gizli" doğrusal denklemler veya kimlik dönüşümlerinin önemi

İlk bakışta her şeyin son derece basit olmasına rağmen, denklemleri çözerken dikkatli olmanız gerekir, çünkü doğrusal denklemlere yalnızca bu türden denklemler değil, aynı zamanda dönüşümler ve basitleştirmelerle bu türe indirgenebilecek denklemler de denir. Örneğin:

Sağda, teorik olarak denklemin doğrusal olmadığını gösteren şeyi görüyoruz. Üstelik parantezleri açarsak iki terim daha elde edeceğiz, ama sonuca varmak için acele etmeyin! Bir denklemin doğrusal olup olmadığına karar vermeden önce tüm dönüşümleri yapmak ve böylece basitleştirmek gerekir. orijinal örnek. Bu durumda dönüşümler değişebilir dış görünüş, ancak denklemin özü değil.

Başka bir deyişle, dönüşüm verilerinin birebir aynı veya eş değer. Bu türden yalnızca iki dönüşüm var, ancak çok ama çok oynuyorlar önemli rol sorunları çözerken. Belirli örnekleri kullanarak her iki dönüşüme de bakalım.

Sola - sağa aktarın.

Diyelim ki aşağıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Geri dön ilkokul bize şöyle söylendi: "X'li - sola, X'siz - sağa." Sağda X bulunan hangi ifade var? Bu doğru, ama nasıl olmasın. Ve bu önemlidir, çünkü eğer bu yanlış anlaşılırsa, öyle görünüyor ki basit soru, yanlış cevap çıkıyor. Soldaki X ile hangi ifade var? Sağ, .

Artık bunu anladığımıza göre, bilinmeyenli tüm terimleri şuraya aktarıyoruz: sol taraf, ve bilinen her şey - sağa, örneğin sayının önünde bir işaret yoksa sayının pozitif olduğunu, yani önünde bir " " işareti olduğunu hatırlayarak.

Aktarıldı mı? Ne aldın?

Geriye sadece benzer şartları getirmek kalıyor. Sunuyoruz:

Böylece, ilk özdeş dönüşümü başarıyla analiz ettik, ancak bunu bildiğinizden ve ben olmadan aktif olarak kullandığınızdan eminim. Önemli olan sayıların işaretlerini unutmamak ve eşittir işaretiyle aktarırken bunları zıt işaretlerle değiştirmek!

Çarpma-bölme.

Hemen bir örnekle başlayalım

Bakalım ve düşünelim: Bu örnekte neyi sevmiyoruz? Bilinmeyenler bir tarafta, bilinenler bir tarafta ama bir şey bizi durduruyor... Ve bu bir dörtlü, çünkü o olmasaydı her şey mükemmel olurdu - x sayıya eşit- tam da ihtiyacımız olan şekilde!

Ondan nasıl kurtulabilirsin? Onu sağa taşıyamayız, çünkü o zaman çarpanın tamamını hareket ettirmemiz gerekir (bunu alıp ondan koparamayız) ve çarpanın tamamını hareket ettirmenin de bir anlamı yoktur...

Bölmeyi hatırlamanın zamanı geldi, o yüzden her şeyi bölelim! Her şey - bu hem sol hem de anlamına gelir sağ taraf. Bu taraftan ve sadece bu taraftan! Ne yapıyoruz?

İşte cevap.

Şimdi başka bir örneğe bakalım:

Bu durumda ne yapılması gerektiğini tahmin edebilir misiniz? Aynen öyle, sol ve sağ tarafları çarpın! Hangi cevabı aldın? Sağ. .

Elbette her şey bununla ilgili kimlik dönüşümleri zaten biliyordun. Bu bilgiyi hafızanızda tazelediğimizi ve artık daha fazlasını yapmanın zamanının geldiğini düşünün - Örneğin, büyük örneğimizi çözmek için:

Daha önce de söylediğimiz gibi bakıldığında bu denklemin doğrusal olduğunu söyleyemeyiz ancak parantezleri açıp aynı dönüşümleri yapmamız gerekiyor. Öyleyse başlayalım!

Başlangıç ​​olarak kısaltılmış çarpma formüllerini, özellikle de toplamın karesini ve farkın karesini hatırlıyoruz. Ne olduğunu ve parantezlerin nasıl açıldığını hatırlamıyorsanız konuyu okumanızı şiddetle tavsiye ederim çünkü bu beceriler sınavda karşılaşılan örneklerin neredeyse tamamını çözerken işinize yarayacaktır.
Açıklığa kavuşmuş? Karşılaştırma yapalım:

Şimdi benzer terimleri getirmenin zamanı geldi. Nasıl aynı durumda olduğumuzu hatırlıyor musun? ilkokul“Sinekle pirzolayı bir araya koymayız” mı dediler? Burada şunu hatırlatıyorum. Her şeyi ayrı ayrı ekliyoruz - bilinmeyeni olan faktörleri, bilinmeyenleri olan faktörleri ve bilinmeyenleri olmayan diğer faktörleri. Benzer terimleri getirdiğinizde tüm bilinmeyenleri sola, bilinenleri ise sağa taşıyın. Ne aldın?

Gördüğünüz gibi karedeki X'ler ortadan kaybolmuş ve tamamen normal bir şey görüyoruz. doğrusal denklem. Geriye kalan tek şey onu bulmak!

Ve son olarak bir tane daha söyleyeceğim önemli şey kimlik dönüşümleri hakkında - kimlik dönüşümleri yalnızca doğrusal denklemler için değil aynı zamanda ikinci dereceden, kesirli rasyonel ve diğerleri için de geçerlidir. Unutmamanız gereken şey, eşittir işaretiyle çarpanları aktardığımızda işareti ters yönde değiştirdiğimiz, bir sayıyla bölerken veya çarparken denklemin her iki tarafını da AYNI sayıyla çarptığımızı/böldüğümüzü bilmeniz gerekir.

Bu örnekten başka ne çıkardınız? Bir denkleme bakarak onun doğrusal olup olmadığını doğrudan ve doğru bir şekilde belirlemek her zaman mümkün değildir. Önce ifadeyi tamamen basitleştirmek ve ancak o zaman ne olduğuna karar vermek gerekir.

Doğrusal denklemler. Örnekler.

İşte kendi başınıza pratik yapabileceğiniz birkaç örnek daha: Denklemin doğrusal olup olmadığını belirleyin ve eğer öyleyse köklerini bulun:

Cevaplar:

1. Öyle.

2. Değil.

Parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım:

Aynı dönüşümü gerçekleştirelim - sol ve sağ tarafları şu şekilde bölelim:

Denklemin doğrusal olmadığını görüyoruz, dolayısıyla köklerini aramaya gerek yok.

3. Öyle.

Aynı dönüşümü gerçekleştirelim - paydadan kurtulmak için sol ve sağ tarafları çarpalım.

Bunun neden bu kadar önemli olduğunu düşünün. Bu sorunun cevabını biliyorsanız, denklemin daha fazla çözümüne geçin, bilmiyorsanız daha fazla hata yapmamak için konuya baktığınızdan emin olun; karmaşık örnekler. Bu arada gördüğünüz gibi durum imkansız. Neden?
O halde devam edelim ve denklemi yeniden düzenleyelim:

Her şeyi zorlanmadan başardıysanız iki değişkenli doğrusal denklemlerden bahsedelim.

İki değişkenli doğrusal denklemler

Şimdi biraz daha karmaşık iki değişkenli doğrusal denklemlere geçelim.

Doğrusal denklemler iki değişkenli olarak şu forma sahiptir:

Nerede ve - herhangi bir sayı ve.

Görüldüğü gibi tek fark denkleme bir değişkenin daha eklenmesidir. Ve böylece her şey aynı; x kare yok, bir değişkene bölme yok, vb. vesaire.

Sana hangisini getireyim? hayat örneği... Aynı Vasya'yı alalım. Diyelim ki 3 arkadaşına da aynı sayıda elma verip elmaları kendisine ayırmaya karar verdi. Her arkadaşına bir elma verirse Vasya'nın kaç elma alması gerekir? Peki ya? Peki ya sonra?

Her kişinin alacağı elma sayısının bağımlılığı toplam sayı Satın alınması gereken elmalar aşağıdaki denklemle ifade edilecektir:

• - bir kişinin alacağı elma sayısı (, veya, veya);
• - Vasya'nın kendisi için alacağı elma sayısı;
• - Kişi başına düşen elma sayısını dikkate alarak Vasya'nın kaç elma alması gerekiyor?

Bu sorunu çözerek, eğer Vasya bir arkadaşına elma verirse, o zaman elma verirse parça satın alması gerektiğini anlıyoruz.

Ve genel olarak. İki değişkenimiz var. Neden bu ilişkiyi bir grafik üzerinde çizmiyorsunuz? Değerimizi, yani noktalarımızı koordinatlarla inşa edip işaretliyoruz ve!

Gördüğünüz gibi birbirlerine bağımlılar doğrusal, dolayısıyla denklemlerin adı - “ doğrusal».

Elmalardan soyutlayalım ve grafiksel olarak bakalım çeşitli denklemler. Rastgele işlevlerle belirtilen, oluşturulan iki grafiğe - düz bir çizgi ve bir parabol - dikkatlice bakın:

Her iki resimde de karşılık gelen noktaları bulun ve işaretleyin.
Ne aldın?

Bunu ilk fonksiyonun grafiğinde görüyorsunuz. yalnız karşılık gelir bir yani birbirlerine de doğrusal olarak bağlıdırlar ki bu ikinci fonksiyon için söylenemez. Tabii ki, ikinci grafikte x'in de karşılık geldiğini iddia edebilirsiniz, ancak bu yalnızca bir noktadır, yani özel durum, çünkü hala birden fazla eşleşen birini bulabilirsiniz. Ve oluşturulan grafik hiçbir şekilde bir çizgiye benzemiyor, bir paraboldür.

Bir kez daha tekrar ediyorum: doğrusal bir denklemin grafiği DÜZ bir çizgi olmalıdır.

Herhangi bir dereceye gidersek denklemin doğrusal olmayacağı gerçeğiyle - bu, bir parabol örneğini kullanarak anlaşılabilir, ancak kendiniz için birkaç tane daha inşa edebilirsiniz. basit grafiklerörneğin veya. Ama sizi temin ederim ki bunların hiçbiri DÜZ BİR ÇİZGİ olmayacak.

Bana inanmıyor musun? Oluşturun ve sonra sahip olduğum şeyle karşılaştırın:

Bir şeyi örneğin bir sayıya bölersek ne olur? Olacak mı doğrusal bağımlılık Ve? Tartışmayalım ama inşa edelim! Örneğin bir fonksiyonun grafiğini oluşturalım.

Her nasılsa düz bir çizgi gibi inşa edilmiş gibi görünmüyor... dolayısıyla denklem doğrusal değil.
Özetleyelim:

1. Doğrusal denklem - kendisini oluşturan polinomların toplam derecesinin eşit olduğu cebirsel bir denklemdir.
2. Doğrusal denklem bir değişkenle şu forma sahiptir:
   , nerede ve herhangi bir sayı;
   Doğrusal denklem iki değişkenle:
   , nerede ve herhangi bir sayıdır.
3. Bir denklemin doğrusal olup olmadığını hemen belirlemek her zaman mümkün değildir. Bazen bunu anlamak için aynı dönüşümleri yapmak, benzer terimleri sola/sağa kaydırmak, işaretini değiştirmeyi unutmamak veya denklemin her iki tarafını da aynı sayıyla çarpmak/bölmek gerekir.

DOĞRUSAL DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Doğrusal denklem

Bu, kendisini oluşturan polinomların toplam derecesinin eşit olduğu cebirsel bir denklemdir.

2. Tek değişkenli doğrusal denklemşu forma sahiptir:

Herhangi bir sayı nerede ve nerede;

3. İki değişkenli doğrusal denklemşu forma sahiptir:

Nerede ve - herhangi bir sayı.

4. Kimlik dönüşümleri

Bir denklemin doğrusal olup olmadığını belirlemek için aynı dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir:

• işareti değiştirmeyi unutmadan benzer terimleri sola/sağa hareket ettirin;
• Denklemin her iki tarafını da aynı sayıyla çarpın/bölün.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Matematikte denklemler Rusçada fiiller kadar önemlidir. Bir denklemin kökünü bulma yeteneği olmadan öğrencinin cebir dersine hakim olduğunu söylemek zordur. Ayrıca her tipin kendine özel çözümleri bulunmaktadır.

Nedir?

Bir denklem, değişkenleri içeren ve aralarına eşittir işaretinin yerleştirildiği iki keyfi ifadedir. Üstelik bilinmeyen miktarların sayısı isteğe bağlı olabilir. Asgari miktar- bir.

Bunu çözmek, denklemin bir kökü olup olmadığını bulmak anlamına gelir. Yani onu gerçek eşitliğe dönüştüren sayı. Eğer yoksa cevap "kök yoktur" ifadesidir. Ancak cevap bir dizi sayı olduğunda bunun tersi de doğru olabilir.

Ne tür denklemler var?

Doğrusal. Derecesi bire eşit olan bir değişken içerir.

• Kare. Değişkenin gücü 2'dir veya dönüşümler böyle bir gücün ortaya çıkmasına neden olur.
• En yüksek dereceden denklem.
• Kesirli-rasyonel. Bir kesrin paydasında bir değişken göründüğünde.
• Modül ile.
• Mantıksız. Yani cebirsel bir kök içeren bir tane.

Doğrusal bir denklem nasıl çözülür?

Bu temeldir. Bu herkesin elde etmeye çalıştığı görünümdür. Çünkü denklemin kökünü bulmak oldukça kolaydır.

• Öncelikle olası dönüşümleri gerçekleştirmeniz, yani parantezleri açmanız ve benzer terimleri getirmeniz gerekir.
• Tüm tek terimlileri şuradan taşı: değişken eşitliğin sol tarafına, serbest terimleri sağda bırakıyoruz.
• Çözülen denklemin her bir bölümünde benzer terimler verin.
• Ortaya çıkan eşitlikte, sol yarı katsayı ile değişkenin çarpımını, sağ yarı ise sayıyı içerecektir.
• Geriye sağdaki sayıyı bilinmeyenin önündeki katsayıya bölerek denklemin kökünü bulmak kalıyor.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri nasıl bulunur?

İlk önce onun getirilmesi gerekiyor standart görünüm yani tüm parantezleri açın, benzer terimleri getirin ve tüm monomları sol tarafa taşıyın. Eşitliğin sağ tarafında sadece sıfır kalmalı.

• Diskriminant formülünü kullanın. Bilinmeyen katsayısının karesini “1” kuvvetiyle alın. Serbest monomial ile değişkenin önündeki sayının karesini 4 sayısıyla çarpın. Ortaya çıkan kareden çarpımı çıkarın.
• Diskriminantın değerini tahmin edin. Negatiftir; kökleri olmadığı için çözüm tamamlanmıştır. Sıfıra eşit- cevap bir sayı olacaktır. Pozitif - değişkenin iki değeri vardır.

Kübik denklem nasıl çözülür?

Öncelikle x denkleminin kökünü bulun. Serbest terimin bölenleri olan sayılar seçilerek belirlenir. Bu yöntemi dikkate almak uygundur spesifik örnek. Denklem şöyle olsun: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Onun ücretsiz üye 12'ye eşittir. Bu durumda kontrol edilmesi gereken bölenler pozitif olacaktır ve negatif sayılar: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12. Arama zaten 2 numarada tamamlanabilir. Denklemde doğru eşitliği verir. Yani onun sol taraf sıfır olduğu ortaya çıkıyor. Yani 2 sayısı kübik denklemin ilk köküdür.

Şimdi orijinal denklemi değişkenin ve ilk kökün farkına bölmeniz gerekiyor. Spesifik örnekte (x - 2) şeklindedir. Basit bir dönüşüm payı aşağıdaki çarpanlara ayırmaya yönlendirir: (x - 2)(x + 2)(x - 3). Pay ve paydanın aynı çarpanları birbirini götürür ve kalan iki parantez açıldığında basit bir sayı verir. ikinci dereceden denklem: x 2 - x - 6 = 0.

Burada, önceki bölümde açıklanan prensibi kullanarak denklemin iki kökünü bulun. Sayılar ortaya çıkıyor: 3 ve -2.

Toplam, belirli bir süre için kübik denklemüç kökümüz var: 2, -2 ve 3.

Doğrusal denklem sistemleri nasıl çözülür?

Burada bilinmeyenleri ortadan kaldırmak için bir yöntem önerilmektedir. Bir bilinmeyenin başka bir denklemle ifade edilmesi ve bu ifadenin başka bir denklemle değiştirilmesinden oluşur. Dahası, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminin çözümü her zaman bir değişken çiftidir.

İçlerindeki değişkenler x 1 ve x 2 harfleriyle belirtilmişse, o zaman örneğin ilk eşitlikten x 2'yi türetmek mümkündür. Daha sonra ikinciye değiştirilir. Gerekli dönüşüm gerçekleştirilir: braketlerin açılması ve döküm benzer üyeler. Sonuç, kökü kolayca hesaplanabilen basit bir doğrusal denklemdir.

Şimdi ilk denkleme geri dönün ve elde edilen denklemi kullanarak x 2 denkleminin kökünü bulun. Bu iki sayı cevaptır.

Alınan yanıttan emin olmak için her zaman kontrol etmeniz önerilir. Yazılmasına gerek yok.

Bir denklem çözülüyorsa, köklerinin her birinin orijinal eşitliğe yerleştirilmesi ve her iki tarafta da aynı sayıların elde edilmesi gerekir. Her şey bir araya geldi; karar doğruydu.

Sistemle çalışırken her çözüme kökler yerleştirilmelidir ve hepsi olası eylemler. Denklem doğru mu? Yani karar doğrudur.

İlk önce ne olduğunu anlamalısın.

Basit bir tanım var doğrusal denklem hangisinde verilmiştir normal okul: “değişkenin yalnızca birinci kuvvete göründüğü bir denklem.” Ancak tamamen doğru değil: Denklem doğrusal değil, buna bile indirgenmiyor, ikinci dereceden indirgeniyor.

Daha kesin tanım bu mu: doğrusal denklem kullanan bir denklemdir eşdeğer dönüşümler forma indirgenebilir, burada title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Aslında bir denklemin doğrusal olup olmadığını anlamak için öncelikle basitleştirilmesi, yani sınıflandırmasının net olacağı bir forma getirilmesi gerekir. Unutmayın, kökleri değişmediği sürece bir denklemle istediğinizi yapabilirsiniz; öyledir. eşdeğer dönüşüm. En basit eşdeğer dönüşümler şunları içerir:

1. parantez açma
2. benzerini getirmek
3. bir denklemin her iki tarafını sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak ve/veya bölmek
4. aynı sayının veya ifadenin her iki tarafından toplama ve/veya çıkarma*

Örnek 1:
(parantezleri açalım)
(soldaki sayının işaretini, sağdaki değişkenleri değiştirerek her iki parçaya da ekleme ve çıkarma/aktarma)
(benzerlerini verelim)
(denklemin her iki tarafını da 3'e bölün)

Böylece orijinaliyle aynı köklere sahip bir denklem elde ederiz. Okuyucuya şunu hatırlatalım. "denklemi çöz"- tüm köklerini bulmak ve başkalarının olmadığını kanıtlamak anlamına gelir ve "denklemin kökü"- bu, bilinmeyenin yerine konulduğunda denklemi gerçek eşitliğe dönüştürecek bir sayıdır. Son denklemde denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren sayıyı bulmak çok basit; bu sayı. Başka kimlik numarası yok verilen denklem yapmayacağım. Cevap:

Örnek 2:
(denklemin her iki tarafını da çarpın ile çarpmadığımızdan emin olduktan sonra : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(parantezleri açalım)
(terimleri taşıyalım)
(benzerlerini verelim)
(her iki parçayı da bölüyoruz)

Bu, kabaca tüm doğrusal denklemlerin çözülme şeklidir. Genç okuyucular için büyük ihtimalle verilen açıklama karmaşık görünüyordu, bu yüzden bir versiyon sunuyoruz "5. sınıf için doğrusal denklemler"