Çift ve tek fonksiyonlar tablosu. Çift ve tek fonksiyonların grafiği

Herhangi biri ve eşitlik için bir fonksiyona çift (tek) denir

.

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir
.

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Örnek 6.2. Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu inceleyin

1)
; 2)
; 3)
.

Çözüm.

1) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır:
. Bulacağız
.

Onlar.
. Araç, bu fonksiyon eşit.

2) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır:

Onlar.
. Dolayısıyla bu fonksiyon tuhaftır.

3) fonksiyon için tanımlanmıştır, yani. İçin

,
. Bu nedenle fonksiyon ne çift ne de tektir. Buna genel formun bir fonksiyonu diyelim.

3. Monotonluk fonksiyonunun incelenmesi.

İşlev
belirli bir aralıkta artan (azalan) olarak adlandırılır, eğer bu aralıkta her biri daha yüksek değer argümanı fonksiyonun daha büyük (daha küçük) bir değerine karşılık gelir.

Belirli bir aralıkta artan (azalan) fonksiyonlara monoton denir.

Eğer fonksiyon
aralıkta türevlenebilir
ve pozitif (negatif) bir türevi vardır
, ardından fonksiyon
bu aralıkta artar (azalır).

Örnek 6.3. Fonksiyonların monotonluk aralıklarını bulun

1)
; 3)
.

Çözüm.

1) Bu fonksiyon sayı doğrusunun tamamında tanımlanmıştır. Türevini bulalım.

Türev sıfıra eşit ise
Ve
. İhtisas - sayı ekseni, noktalara bölünmüş
,
aralıklarla. Her aralıktaki türevin işaretini belirleyelim.

aralıkta
türev negatiftir, fonksiyon bu aralıkta azalır.

aralıkta
türev pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artar.

2) Bu fonksiyon şu şekilde tanımlanır:
veya

.

Her aralıkta ikinci dereceden üç terimlinin işaretini belirleriz.

Böylece fonksiyonun tanım alanı

Türevini bulalım
,
, Eğer
, yani
, Ancak
. Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim
.

aralıkta
türev negatiftir, dolayısıyla fonksiyon aralıkta azalır
. aralıkta
türev pozitiftir, fonksiyon aralık boyunca artar
.

4. Fonksiyonun ekstremumdaki incelenmesi.

Nokta
fonksiyonun maksimum (minimum) noktası denir
eğer noktanın böyle bir mahallesi varsa bu herkes için
bu mahallede eşitsizlik devam ediyor

.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına ekstrem noktalar denir.

Eğer fonksiyon
noktada bir ekstremuma sahipse, bu durumda fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfıra eşittir veya mevcut değildir (bir ekstremun varlığı için gerekli bir koşul).

Türevin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik denir.

5. Bir ekstremun varlığı için yeterli koşullar.

Kural 1. Kritik noktadan geçiş sırasında (soldan sağa) türev
işareti “+”dan “-”ye değiştirir, ardından noktada işlev
bir maksimumu vardır; “-” ile “+” arasında ise minimum; Eğer
işareti değişmiyorsa ekstremum yoktur.

Kural 2. Gelin bu noktada
bir fonksiyonun birinci türevi
sıfıra eşit
ve ikinci türev mevcuttur ve sıfırdan farklıdır. Eğer
, O – maksimum nokta, eğer
, O – fonksiyonun minimum noktası.

Örnek 6.4 . Maksimum ve minimum işlevleri keşfedin:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Çözüm.

1) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
.

Türevini bulalım
ve denklemi çöz
, yani
.Buradan
- kritik noktalar.

Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim,
.

Noktalardan geçerken
Ve
türevin işareti “–”den “+”ya değişir, dolayısıyla kural 1'e göre
– minimum puanlar.

Bir noktadan geçerken
türevin işareti “+”dan “-”ye değişir, yani
– maksimum nokta.

,
.

2) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
. Türevini bulalım
.

Denklemi çözdükten sonra
, bulacağız
Ve
- kritik noktalar. Payda ise
, yani
ise türev mevcut değildir. Bu yüzden,
– üçüncü kritik nokta. Türevin işaretini aralıklarda belirleyelim.

Bu nedenle fonksiyonun bu noktada minimumu vardır.
, puan cinsinden maksimum
Ve
.

3) Bir fonksiyon eğer tanımlanmış ve sürekli ise
, yani en
.

Türevini bulalım

.

Kritik noktaları bulalım:

Noktaların mahalleleri
tanım alanına ait değildir, dolayısıyla ekstrema değildirler. O halde kritik noktaları inceleyelim
Ve
.

4) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
. Kural 2'yi kullanalım. Türevi bulun
.

Kritik noktaları bulalım:

İkinci türevi bulalım
ve noktalardaki işaretini belirleyin

noktalarda
fonksiyonun minimumu vardır.

noktalarda
fonksiyonun bir maksimumu vardır.

Çift ve grafikleri Olumsuz eşit işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Bir fonksiyon çift ise grafiği ordinatlara göre simetriktir. Bir fonksiyon tek ise grafiği orijine göre simetriktir.

Çözüm.Şu fonksiyonu düşünün: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) ve \(x \) yerine \(-x \) tersini koyun. Basit dönüşümlerin sonucunda şunu elde ederiz: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Diğerinde argümanı zıt işaretle değiştirirseniz işlev değişmeyecektir.

Bu, bu fonksiyonun çift olduğu ve grafiğinin ordinat eksenine göre simetrik olacağı anlamına gelir ( dikey eksen). Bu fonksiyonun grafiği soldaki şekilde gösterilmektedir. Bu, bir grafik oluştururken yalnızca yarısını ve ikinci kısmı (dikey eksenin solunda, sağ kısma simetrik olarak çizebileceğiniz) çizebileceğiniz anlamına gelir. Bir fonksiyonun grafiğini çizmeye başlamadan önce simetrisini belirleyerek, fonksiyonu oluşturma veya inceleme sürecini büyük ölçüde basitleştirebilirsiniz. Genel biçimde bir kontrol yapmak zorsa, bunu daha basit yapabilirsiniz: denklemde yerine koyun aynı değerler farklı işaretler. Örneğin -5 ve 5. Fonksiyon değerleri aynı çıkarsa fonksiyonun çift olmasını ümit edebiliriz. İLE matematiksel nokta Pratik açıdan bakıldığında bu yaklaşım tamamen doğru değildir ancak pratik açıdan uygundur. Sonucun güvenilirliğini artırmak için, bu tür zıt değerlerin birkaç çiftini değiştirebilirsiniz.

Çözüm.Önceki örnektekiyle aynı şeyi kontrol edelim: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Bu, orijinal fonksiyonun tek olduğu anlamına gelir (fonksiyonun işareti ters yönde değişmiştir).

Sonuç: Fonksiyon orijine göre simetriktir. Yalnızca bir yarıyı oluşturabilir ve ikincisini simetrik olarak çizebilirsiniz. Bu tür bir simetrinin çizilmesi daha zordur. Bu, grafiğe sayfanın diğer tarafından, hatta baş aşağı baktığınız anlamına gelir. Veya şunu yapabilirsiniz: çizilen parçayı alın ve başlangıç ​​noktası etrafında saat yönünün tersine 180 derece döndürün.

Çözüm.Önceki iki örnekte olduğu gibi işaret değişikliği kontrolünün aynısını yapalım. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Sonuç olarak şunu elde ederiz: bu: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Ve bu fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir.

Sonuç: Fonksiyon, koordinat sisteminin orijinine veya merkezine göre simetrik değildir. Bunun nedeni iki fonksiyonun toplamı olmasıdır: çift ve tek. İki farklı fonksiyonu çıkarırsanız aynı durum ortaya çıkar. Ancak çarpma veya bölme farklı bir sonuca yol açacaktır. Örneğin bir çift ve tek fonksiyonun çarpımı tek bir fonksiyon üretir. Veya iki tek sayının bölümü çift fonksiyona yol açar.

Gösteriyi Gizle

Bir işlevi belirtme yöntemleri

Fonksiyon şu formülle verilsin: y=2x^(2)-3. Bağımsız değişken x'e herhangi bir değer atayarak, bu formülü kullanarak bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, eğer x=-0,5 ise, formülü kullanarak, y'nin karşılık gelen değerinin y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 olduğunu buluruz.

Y=2x^(2)-3 formülündeki x argümanının aldığı herhangi bir değeri alarak, ona karşılık gelen fonksiyonun yalnızca bir değerini hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon bir tablo olarak temsil edilebilir:

Bu tabloyu kullanarak, −1 argüman değeri için −3 fonksiyon değerinin karşılık geleceğini görebilirsiniz; ve x=2 değeri y=0'a karşılık gelecektir, vb. Tablodaki her bağımsız değişken değerinin yalnızca bir işlev değerine karşılık geldiğini bilmek de önemlidir.

Grafikler kullanılarak daha fazla fonksiyon belirtilebilir. Bir grafik kullanılarak, fonksiyonun hangi değerinin belirli bir x değeriyle ilişkili olduğu belirlenir. Çoğu zaman bu, fonksiyonun yaklaşık değeri olacaktır.

Çift ve tek fonksiyon

İşlev eşit işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

İşlev Tek işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon O(0;0) orijinine göre simetrik olacaktır.

İşlev bile, ne tuhaf ve denir işlev Genel görünüm eksen veya orijin etrafında simetriye sahip olmadığında.

Eşlik için aşağıdaki fonksiyonu inceleyelim:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

Orijine göre simetrik tanım alanına sahip D(f)=(-\infty ; +\infty) . f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Bu, f(x)=3x^(3)-7x^(7) fonksiyonunun tek olduğu anlamına gelir.

Periyodik fonksiyon

Herhangi bir x için f(x+T)=f(x-T)=f(x) eşitliğinin geçerli olduğu tanım kümesindeki y=f(x) fonksiyonuna denir periyodik fonksiyon T \neq 0 periyodu ile.

Bir fonksiyonun grafiğini x ekseninin T uzunluğuna sahip herhangi bir parçası üzerinde tekrarlamak.

Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar, yani f(x) > 0, apsis ekseninin, fonksiyon grafiğinin apsis ekseninin üzerinde yer alan noktalarına karşılık gelen bölümleridir.

f(x) > 0 açık (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar, yani f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Sınırlı işlev

Aşağıdan sınırlanmış Herhangi bir x \in X için f(x) \geq A eşitsizliğinin geçerli olduğu bir A sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir.

Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1+x^(2)) çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

Yukarıdan sınırlanmış f(x) \neq B eşitsizliğinin herhangi bir x \in X için geçerli olduğu bir B sayısı olduğunda, y=f(x), x \in X fonksiyonu çağrılır.

Aşağıda sınırlandırılmış bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1-x^(2))), x \in [-1;1]çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 \in [-1;1] .

Sınırlı\left | eşitsizliğinin olduğu K > 0 sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir. f(x)\sağ | \neq K herhangi bir x için \in X .

Örnek sınırlı işlev: y=\sin x tüm sayı ekseninde sınırlıdır, çünkü \sol | \sin x \sağ | \neq 1.

Arttırma ve azaltma fonksiyonu

Söz konusu aralıkta artan bir fonksiyondan şu şekilde bahsetmek gelenekseldir: artan fonksiyon o zaman, daha büyük bir x değeri, y=f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık geldiğinde. Buradan, x_(1) > x_(2) ile söz konusu aralıktan x_(1) ve x_(2) bağımsız değişkeninin iki keyfi değeri alınırsa sonuç y(x_(1)) > olacaktır. y(x_(2)).

Söz konusu aralıkta azalan bir fonksiyona denir azalan fonksiyon o zaman x'in daha büyük değeri şuna karşılık geldiğinde düşük değer y(x) fonksiyonları. Söz konusu aralıktan, x_(1) ve x_(2) ve x_(1) > x_(2) argümanlarının iki keyfi değeri alındığında, sonuç y(x_(1)) olacaktır.< y(x_{2}) .

Fonksiyon Kökleri F=y(x) fonksiyonunun apsis ekseniyle kesiştiği noktaları çağırmak gelenekseldir (bunlar y(x)=0 denkleminin çözülmesi sonucunda elde edilir).

a) Eğer x > 0 için çift fonksiyon artarsa, x için azalır< 0

b) Bir çift fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, x için artar< 0

c) Tek bir fonksiyon x > 0'da arttığında, x'te de artar< 0

d) Bir tek fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, o zaman x için de azalacaktır< 0

Fonksiyonun ekstremum değerleri

Fonksiyonun minimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve bunlar için f(x) > f eşitsizliği şu şekilde olur: memnun (x_(0)) . y_(min) - fonksiyonun min noktasında belirlenmesi.

Fonksiyonun maksimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve onlar için f(x) eşitsizliği o zaman karşılanır< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Önkoşul

Fermat teoremine göre: f"(x)=0 olduğunda, x_(0) noktasında türevi olabilen f(x) fonksiyonu bu noktada bir ekstrema sahip olacaktır.

Yeterli koşul

1. Türevin işareti artıdan eksiye değiştiğinde, x_(0) minimum nokta olacaktır;
2. x_(0) - yalnızca türev geçerken işareti eksiden artıya değiştirdiğinde maksimum nokta olacaktır sabit nokta x_(0) .

Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değeri

Hesaplama adımları:

1. f"(x) türevi aranır;
2. Fonksiyonun durağan ve kritik noktaları bulunarak segmente ait olanlar seçilir;
3. f(x) fonksiyonunun değerleri durağan olarak bulunur ve kritik noktalar ve segmentin uçları. Elde edilen sonuçlardan daha küçük olanı en düşük değer işlevler, ve dahası - en büyük.

Bunlar size bir dereceye kadar tanıdık geliyordu. Burada ayrıca fonksiyon özellikleri stoğunun kademeli olarak yenileneceği de belirtildi. Bu bölümde iki yeni özellik ele alınacaktır.

Tanım 1.

y = f(x), x є X fonksiyonu, X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = f(x) eşitliği sağlansa bile çağrılır.

Tanım 2.

X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanıyorsa, y = f(x), x є X fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

y = x 4'ün çift fonksiyon olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Elimizde: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ama(-x) 4 = x 4. Bu, herhangi bir x için f(-x) = f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon eşittir.

Benzer şekilde y - x 2, y = x 6, y - x 8 fonksiyonlarının çift olduğu kanıtlanabilir.

y = x 3 ~'in tek bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Elimizde: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ama (-x) 3 = -x 3. Bu, herhangi bir x için f(-x) = -f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon tuhaftır.

Benzer şekilde y = x, y = x 5, y = x 7 fonksiyonlarının tek olduğu kanıtlanabilir.

Siz ve ben, matematikteki yeni terimlerin çoğu zaman "dünyevi" bir kökene sahip olduğuna defalarca ikna olduk, yani. bir şekilde açıklanabilirler. Bu durum hem çift hem de tek fonksiyonlarda geçerlidir. Bakınız: y - x 3, y = x 5, y = x 7 tek fonksiyonlardır, y = x 2, y = x 4, y = x 6 ise çift fonksiyonlardır. Ve genel olarak, n'nin bir doğal sayı olduğu y = x" formundaki herhangi bir fonksiyon için (aşağıda bu fonksiyonları özellikle inceleyeceğiz), şu sonuca varabiliriz: çift ​​sayı ise y = x" fonksiyonu tektir; n çift sayı ise y = xn fonksiyonu çifttir.

Ayrıca ne çift ne de tek olan fonksiyonlar da vardır. Örneğin y = 2x + 3 fonksiyonu böyledir. Aslında f(1) = 5 ve f (-1) = 1. Dolayısıyla burada da görebildiğiniz gibi f(-x) = özdeşliği de yoktur. f ( x), ne de f(-x) = -f(x) özdeşliği.

Yani bir fonksiyon çift olabilir, tek olabilir veya ikisi de olmayabilir.

olup olmadığı sorusunun incelenmesi Verilen fonksiyonçift ​​veya tek genellikle eşlik fonksiyonunun incelenmesi olarak adlandırılır.

Tanım 1 ve 2'de Hakkında konuşuyoruz fonksiyonun x ve -x noktalarındaki değerleri hakkında. Bu, fonksiyonun hem x noktasında hem de -x noktasında tanımlandığını varsayar. Bu, -x noktasının, x noktasıyla aynı anda fonksiyonun tanım bölgesine ait olduğu anlamına gelir. Eğer sayı seti X, her bir x elemanıyla birlikte karşıt elemanı -x'i de içeriyorsa X'e simetrik küme denir. Diyelim ki (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrik kümeler, )