eşit, eğer tanım alanındaki tüm \(x\) için aşağıdakiler doğruysa: \(f(-x)=f(x)\) .
Çift fonksiyonun grafiği \(y\) eksenine göre simetriktir:
Örnek: \(f(x)=x^2+\cos x\) fonksiyonu çifttir, çünkü \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) \(f(x)\) fonksiyonu çağrılır garip, eğer tanım alanındaki tüm \(x\) için aşağıdakiler doğruysa: \(f(-x)=-f(x)\) .
Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir:
Örnek: \(f(x)=x^3+x\) fonksiyonu tektir çünkü \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Ne çift ne de tek olan işlevlere işlev denir Genel görünüm. Böyle bir fonksiyon her zaman benzersiz bir şekilde bir çift ve tek fonksiyonun toplamı olarak temsil edilebilir.
Örneğin, \(f(x)=x^2-x\) işlevi, çift işlev \(f_1=x^2\) ile tek \(f_2=-x\) işlevinin toplamıdır.
\(\siyahüçgensağ\) Bazı özellikler:
1) Aynı eşlikteki iki fonksiyonun çarpımı ve bölümü - eşit işlev.
2) Farklı paritelerdeki iki fonksiyonun çarpımı ve bölümü - Tek işlev.
3) Çift fonksiyonların toplamı ve farkı - çift fonksiyon.
4) Tek fonksiyonların toplamı ve farkı - tek fonksiyon.
5) Eğer \(f(x)\) bir çift fonksiyon ise, o zaman \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) denkleminin benzersiz bir kökü vardır ancak ve ancak \( x =0\) .
6) Eğer \(f(x)\) çift veya tek bir fonksiyonsa ve \(f(x)=0\) denkleminin bir \(x=b\) kökü varsa, o zaman bu denklemin zorunlu olarak ikinci bir fonksiyonu olacaktır. kök \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) \(f(x)\) fonksiyonuna \(X\) üzerinde periyodik denir, eğer bir \(T\ne 0\) sayısı için aşağıdakiler geçerliyse: \(f(x)=f( x+T) \) , burada \(x, x+T\in X\) . Bu eşitliğin sağlandığı en küçük \(T\) fonksiyonun ana (ana) periyodu olarak adlandırılır.
sen periyodik fonksiyon\(nT\) biçimindeki herhangi bir sayı; burada \(n\in \mathbb(Z)\) da bir nokta olacaktır.
Örnek: herhangi biri trigonometrik fonksiyon periyodiktir;
\(f(x)=\sin x\) ve \(f(x)=\cos x\) fonksiyonları için ana dönem\(2\pi\'ye eşittir), \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) ve \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) fonksiyonları bir a'ya sahiptir ana periyot \ (\pi\)'ye eşittir.
Periyodik bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, grafiğini \(T\) uzunluğundaki herhangi bir parça (ana periyot) üzerine çizebilirsiniz; daha sonra tüm fonksiyonun grafiği, oluşturulan parçanın tam sayıdaki periyotlarla sağa ve sola kaydırılmasıyla tamamlanır:
\(\blacktriangleright\) \(f(x)\) fonksiyonunun \(D(f)\) alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu \(x\) argümanının tüm değerlerinden oluşan bir kümedir (tanımlanmış).
Örnek: \(f(x)=\sqrt x+1\) fonksiyonunun bir tanım alanı vardır: \(x\in
Görev 1 #6364
Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit
Denklem \(a\) parametresinin hangi değerlerinde yapılır?
Var tek karar?
\(x^2\) ve \(\cos x\) çift işlevler olduğundan, denklemin \(x_0\) kökü varsa, aynı zamanda \(-x_0\) köküne de sahip olacağını unutmayın.
Aslında, \(x_0\) bir kök olsun, yani eşitlik olsun \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Sağ. yerine \(-x_0\) koyalım: \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Dolayısıyla, eğer \(x_0\ne 0\) ise denklemin zaten en az iki kökü olacaktır. Bu nedenle, \(x_0=0\) . Daha sonra:
\(a\) parametresi için iki değer aldık. \(x=0\)'ın tam olarak orijinal denklemin kökü olduğu gerçeğini kullandığımızı unutmayın. Ama onun tek olduğu gerçeğini hiçbir zaman kullanmadık. Bu nedenle, \(a\) parametresinin ortaya çıkan değerlerini yerine koymanız gerekir. orijinal denklem ve hangi \(a\) kökünün \(x=0\) gerçekten benzersiz olacağını kontrol edin.
1) Eğer \(a=0\) ise denklem \(2x^2=0\) formunu alacaktır. Açıkçası, bu denklemin yalnızca bir kökü \(x=0\) var. Dolayısıyla \(a=0\) değeri bize uygundur.
2) Eğer \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ise denklem şu formu alacaktır: \ Denklemi formda yeniden yazalım. \ Çünkü \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), O \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Sonuç olarak denklemin sağ tarafındaki değerler (*) segmente aittir. \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
\(x^2\geqslant 0\) olduğundan, o zaman Sol Taraf denklem (*), \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) değerinden büyük veya ona eşittir.
Dolayısıyla eşitlik (*) yalnızca denklemin her iki tarafı da \(\mathrm(tg)^2\,1\) değerine eşit olduğunda doğru olabilir. Ve bu şu anlama geliyor \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(case) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Dolayısıyla \(a=-\mathrm(tg)\,1\) değeri bize uygundur.
Cevap:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Görev 2 #3923
Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit
Her biri için fonksiyonun grafiği olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun. \
orijine göre simetriktir.
Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse, o zaman böyle bir fonksiyon tektir, yani \(f(-x)=-f(x)\) tanım tanım kümesinden herhangi bir \(x\) için geçerlidir işlevin. Bu nedenle \(f(-x)=-f(x).\) olan parametre değerlerinin bulunması gerekmektedir.
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]
Son denklem \(f(x)\'in tanım kümesindeki tüm \(x\)'ler için sağlanmalıdır, bu nedenle, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Cevap:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Görev 3 #3069
Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit
\(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun; her biri için \ denkleminin 4 çözümü vardır; burada \(f\), \(T=\dfrac(16)3\) periyoduna sahip çift periyodik bir fonksiyondur. tüm sayı doğrusunda tanımlıdır ve \(f(x)=ax^2\) için \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Abonelerden gelen görev)
\(f(x)\) çift fonksiyon olduğundan grafiği ordinat eksenine göre simetriktir, bu nedenle \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Böylece ne zaman \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) ve bu uzunluk \(\dfrac(16)3\) , işlev \(f(x)=ax^2\) olan bir segmenttir.
1) \(a>0\) olsun. O zaman \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği şöyle görünecektir: 
O halde denklemin 4 çözümü olması için \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) grafiğinin \(A\) noktasından geçmesi gerekir: 
Buradan, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(hizalanmış)\end(toplandı)\sağ. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(toplandı)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( toplandı)\doğru.\]\(a>0\) olduğundan \(a=\dfrac(18)(23)\) uygundur.
2) \(a) olsun<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
\(g(x)\) grafiğinin \(B\) noktasından geçmesi gerekir: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(toplandı)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\]Çünkü \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) \(a=0\)'ın uygun olmadığı durum, o zamandan beri tüm \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) ve \(f(x)=0\) için Denklemin sadece 1 kökü olacaktır.
Cevap:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
Görev 4 #3072
Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit
Denklemin her biri için \(a\)'nın tüm değerlerini bulun \
en az bir kökü vardır.
(Abonelerden gelen görev)
Denklemi formda yeniden yazalım. \
ve iki fonksiyonu düşünün: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ve \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
\(g(x)\) fonksiyonu çifttir ve bir minimum noktası \(x=0\) (ve \(g(0)=49\) ) vardır.
\(x>0\) için \(f(x)\) fonksiyonu azalıyor ve \(x) için<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Aslında, \(x>0\) olduğunda ikinci modül pozitif olarak açılacaktır (\(|x|=x\) ), dolayısıyla, ilk modülün nasıl açılacağına bakılmaksızın, \(f(x)\) eşit olacaktır \(kx+A\)'ye; burada \(A\), \(a\)'nın ifadesidir ve \(k\) \(-9\) veya \(-3\)'a eşittir. Ne zaman \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Maksimum noktada \(f\) değerini bulalım: \ 
Denklemin en az bir çözümü olabilmesi için \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarının grafiklerinin en az bir kesişim noktasına sahip olması gerekir. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \ \\]
Cevap:
\(a\in \(-7\)\fincan\)
Görev 5 #3912
Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit
Her biri için denklem olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun \
altı farklı çözümü vardır.
Şimdi \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) değişimini yapalım. O zaman denklem şu şekli alacaktır \
Orijinal denklemin altı çözüme sahip olacağı koşulları yavaş yavaş yazacağız.
İkinci dereceden denklem \((*)\)'in en fazla iki çözümü olabileceğini unutmayın. Herhangi bir kübik denklem \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) üçten fazla çözüme sahip olamaz. Bu nedenle, \((*)\) denkleminin iki farklı çözümü varsa (pozitif!, çünkü \(t\) sıfırdan büyük olmalıdır) \(t_1\) ve \(t_2\), o zaman ters ikame yaparak , şunu elde ederiz: \[\left[\begin(toplanmış)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(hizalanmış)\end(toplandı)\sağ.\] Herhangi bir pozitif sayı bir dereceye kadar \(\sqrt2\) olarak temsil edilebildiğinden, örneğin, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), daha sonra setin ilk denklemi formda yeniden yazılacaktır. \
Daha önce de söylediğimiz gibi, herhangi bir kübik denklemin üçten fazla çözümü yoktur, dolayısıyla kümedeki her denklemin üçten fazla çözümü olmayacaktır. Bu, tüm setin altıdan fazla çözümü olmayacağı anlamına gelir.
Bu, orijinal denklemin altı çözümü olması için, ikinci dereceden denklem \((*)\)'in iki farklı çözümü olması gerektiği ve sonuçta ortaya çıkan her kübik denklemin (kümeden) üç farklı çözümü olması gerektiği anlamına gelir (ve tek bir çözümü değil) bir denklem herhangi biriyle çakışmalıdır -ikincinin kararıyla!)
Açıkçası, eğer ikinci dereceden denklem \((*)\)'in bir çözümü varsa, o zaman orijinal denklemin altı çözümünü elde edemeyiz.
Böylece çözüm planı netleşir. Karşılanması gereken koşulları madde madde yazalım.
1) \((*)\) denkleminin iki farklı çözüme sahip olması için diskriminantının pozitif olması gerekir: \
2) Ayrıca her iki kökün de pozitif olması gerekir (çünkü \(t>0\) ). İki kökün çarpımı pozitifse ve toplamları pozitifse, o zaman köklerin kendisi de pozitif olacaktır. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \[\begin(case) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(case)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Böylece kendimize zaten iki farklı pozitif kök \(t_1\) ve \(t_2\) sağladık.
3)
Bu denkleme bakalım \
Hangi \(t\) için üç farklı çözümü olacak? Böylece \((*)\) denkleminin her iki kökünün de \((1;4)\) aralığında olması gerektiğini belirledik. Bu durum nasıl yazılır? sıfırdan farklı dört farklı kökü vardı ve \(x=0\) ile birlikte bir aritmetik ilerlemeyi temsil ediyordu. \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) fonksiyonunun çift olduğuna dikkat edin; bu, eğer \(x_0\) \( denkleminin kökü ise anlamına gelir. (*)\ ) , o zaman \(-x_0\) da onun kökü olacaktır. O halde bu denklemin köklerinin artan sırada sıralanmış sayılar olması gerekir: \(-2d, -d, d, 2d\) (sonra \(d>0\)). İşte o zaman bu beş sayı bir aritmetik ilerleme oluşturacaktır (\(d\) farkıyla). Bu köklerin \(-2d, -d, d, 2d\) sayıları olabilmesi için \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) sayılarının kökleri olması gerekir. \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) denklemi. O zaman Vieta teoremine göre: Denklemi formda yeniden yazalım. \
ve iki fonksiyonu düşünün: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) ve \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Denklemin en az bir çözümü olabilmesi için \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarının grafiklerinin en az bir kesişim noktasına sahip olması gerekir. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \
Bu sistem kümesini çözerek şu cevabı alırız: \\]
Cevap: \(a\in \(-2\)\fincan\) Grafikleri dönüştürme. Fonksiyonun sözlü açıklaması. Grafik yöntemi. Bir fonksiyonu belirlemenin grafiksel yöntemi en görsel olanıdır ve teknolojide sıklıkla kullanılır. Matematiksel analizde, fonksiyonları belirlemenin grafiksel yöntemi örnek olarak kullanılır. Fonksiyon grafiği f, koordinat düzleminin tüm (x;y) noktalarının kümesidir; burada y=f(x) ve x, bu fonksiyonun tanım alanının tamamını "geçirir". Koordinat düzleminin bir alt kümesi, Oy eksenine paralel herhangi bir düz çizgiyle birden fazla ortak noktaya sahip değilse, bir fonksiyonun grafiğidir. Örnek. Aşağıdaki şekiller fonksiyon grafikleri midir? Grafik görevinin avantajı netliğidir. Fonksiyonun nasıl davrandığını, nerede arttığını, nerede azaldığını hemen görebilirsiniz. Grafikten fonksiyonun bazı önemli özelliklerini hemen öğrenebilirsiniz. Genel olarak, bir fonksiyonu tanımlamanın analitik ve grafiksel yöntemleri el ele gider. Formülle çalışmak bir grafik oluşturmaya yardımcı olur. Ve grafik genellikle formülde fark etmeyeceğiniz çözümleri önerir. Hemen hemen her öğrenci, az önce incelediğimiz bir fonksiyonu tanımlamanın üç yolunu bilir. Şu soruyu cevaplamaya çalışalım: "Bir işlevi belirtmenin başka yolları var mı?" Böyle bir yol var. İşlev kelimelerle oldukça açık bir şekilde belirtilebilir. Örneğin, y=2x fonksiyonu aşağıdaki sözel açıklamayla belirtilebilir: x argümanının her gerçek değeri, onun çift değeriyle ilişkilendirilir. Kural kurulur, fonksiyon belirtilir. Üstelik bir formül kullanarak tanımlaması imkansız olmasa da son derece zor olan bir fonksiyonu sözlü olarak belirtebilirsiniz. Örneğin: doğal bağımsız değişken x'in her değeri, x'in değerini oluşturan rakamların toplamı ile ilişkilendirilir. Örneğin x=3 ise y=3 olur. Eğer x=257 ise y=2+5+7=14 olur. Ve benzeri. Bunu bir formülle yazmak sorunludur. Ancak bir işaret yapmak kolaydır. Sözlü anlatım yöntemi oldukça nadir kullanılan bir yöntemdir. Ama bazen öyle oluyor. Eğer x ile y arasında bire bir uygunluk yasası varsa, o zaman bir fonksiyon vardır. Hangi yasanın, hangi biçimde ifade edildiği - bir formül, bir tablet, bir grafik, kelimeler - konunun özünü değiştirmez. Tanım alanları orijine göre simetrik olan fonksiyonları ele alalım; herkes için X tanım numarasının etki alanından (- X) aynı zamanda tanım alanına da aittir. Bu işlevler arasında çift ve tek. Tanım. f fonksiyonu çağrılır eşit, eğer herhangi biri için X kendi tanım alanından Örnek.İşlevi düşünün Bu bile. Hadi kontrol edelim. Herkes için X eşitlikler sağlandı Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda bu fonksiyonun grafiği verilmiştir. Tanım. f fonksiyonu çağrılır garip, eğer herhangi biri için X kendi tanım alanından Örnek. İşlevi düşünün Bu çok tuhaf. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani (0;0) noktasına göre simetriktir. Herkes için X eşitlikler sağlandı Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda bu fonksiyonun grafiği verilmiştir. Birinci ve üçüncü şekillerde gösterilen grafikler ordinat eksenine göre simetriktir ve ikinci ve dördüncü şekillerde gösterilen grafikler orijine göre simetriktir. Şekillerde grafikleri gösterilen fonksiyonlardan hangileri çift, hangileri tektir? Çift ve tek fonksiyonların grafikleri aşağıdaki özelliklere sahiptir: Bir fonksiyon çift ise grafiği ordinatlara göre simetriktir. Bir fonksiyon tek ise grafiği orijine göre simetriktir. Çözüm.Şu fonksiyonu düşünün: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) ve \(x \) yerine \(-x \) tersini koyun. Basit dönüşümlerin sonucunda şunu elde ederiz: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Diğerinde argümanı zıt işaretle değiştirirseniz işlev değişmeyecektir. Bu, bu fonksiyonun çift olduğu ve grafiğinin ordinat eksenine (dikey eksen) göre simetrik olacağı anlamına gelir. Bu fonksiyonun grafiği soldaki şekilde gösterilmektedir. Bu, bir grafik oluştururken yalnızca yarısını ve ikinci kısmı (dikey eksenin solunda, sağ kısma simetrik olarak çizebileceğiniz) çizebileceğiniz anlamına gelir. Bir fonksiyonun grafiğini çizmeye başlamadan önce simetrisini belirleyerek, fonksiyonu oluşturma veya inceleme sürecini büyük ölçüde basitleştirebilirsiniz. Genel bir kontrol yapmak zorsa, daha basit bir şekilde yapabilirsiniz: farklı işaretlerin aynı değerlerini denklemde değiştirin. Örneğin -5 ve 5. Fonksiyon değerleri aynı çıkarsa fonksiyonun çift olmasını ümit edebiliriz. Matematiksel açıdan bakıldığında bu yaklaşım tamamen doğru değildir, ancak pratik açıdan uygundur. Sonucun güvenilirliğini artırmak için, bu tür zıt değerlerin birkaç çiftini değiştirebilirsiniz. Çözüm.Önceki örnektekiyle aynı şeyi kontrol edelim: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Bu, orijinal fonksiyonun tek olduğu anlamına gelir (fonksiyonun işareti ters yönde değişmiştir). Sonuç: Fonksiyon orijine göre simetriktir. Yalnızca bir yarıyı oluşturabilir ve ikincisini simetrik olarak çizebilirsiniz. Bu tür bir simetrinin çizilmesi daha zordur. Bu, grafiğe sayfanın diğer tarafından, hatta baş aşağı baktığınız anlamına gelir. Veya şunu yapabilirsiniz: çizilen parçayı alın ve başlangıç noktası etrafında saat yönünün tersine 180 derece döndürün. Çözüm.Önceki iki örnekte olduğu gibi işaret değişikliği kontrolünün aynısını yapalım. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Sonuç olarak şunu elde ederiz: bu: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Ve bu fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir. Sonuç: Fonksiyon ne orijine ne de koordinat sisteminin merkezine göre simetrik değildir. Bunun nedeni iki fonksiyonun toplamı olmasıdır: çift ve tek. İki farklı fonksiyonu çıkarırsanız aynı durum ortaya çıkar. Ancak çarpma veya bölme farklı bir sonuca yol açacaktır. Örneğin bir çift ve tek fonksiyonun çarpımı tek bir fonksiyon üretir. Veya iki tek sayının bölümü çift fonksiyona yol açar. Herhangi biri ve eşitlik için bir fonksiyona çift (tek) denir Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Örnek 6.2. Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu inceleyin 1)
Çözüm. 1) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır: Onlar. 2) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır: Onlar. 3) fonksiyon için tanımlanmıştır, yani. İçin İşlev Belirli bir aralıkta artan (azalan) fonksiyonlara monoton denir. Eğer fonksiyon Örnek 6.3. Fonksiyonların monotonluk aralıklarını bulun 1)
Çözüm. 1) Bu fonksiyon sayı doğrusunun tamamında tanımlanmıştır. Türevini bulalım. Türev sıfıra eşit ise aralıkta aralıkta 2) Bu fonksiyon şu şekilde tanımlanır: Her aralıkta ikinci dereceden üç terimlinin işaretini belirleriz. Böylece fonksiyonun tanım alanı Türevini bulalım aralıkta Nokta Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına ekstrem noktalar denir. Eğer fonksiyon Türevin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik denir. Kural 1. Kritik noktadan geçiş sırasında (soldan sağa) Kural 2. Gelin bu noktada Örnek
6.4
. Maksimum ve minimum işlevleri keşfedin: 1)
4)
Çözüm. 1) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir Türevini bulalım Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim, Noktalardan geçerken Bir noktadan geçerken 2) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir Denklemi çözdükten sonra Bu nedenle fonksiyonun bu noktada minimumu vardır. 3) Bir fonksiyon şu durumda tanımlanmış ve süreklidir: Türevini bulalım Kritik noktaları bulalım: Noktaların mahalleleri 4) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir Kritik noktaları bulalım: İkinci türevi bulalım noktalarda noktalarda Hatta işlev.
Eşit işareti değiştiğinde işareti değişmeyen bir fonksiyondur X. X eşitlik geçerlidir F(–X) = F(X). İmza X işareti etkilemez sen. Çift fonksiyonun grafiği koordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 1). Eşit fonksiyon örnekleri: sen=çünkü X sen = X 2 sen = –X 2 sen = X 4 sen = X 6 sen = X 2 + X Açıklama: Tek işlev.
Garip işareti değiştiğinde işareti değişen bir fonksiyondur X. Başka bir deyişle, herhangi bir değer için X eşitlik geçerlidir F(–X) = –F(X). Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 2). Tek fonksiyon örnekleri: sen= günah X sen = X 3 sen = –X 3 Açıklama: y = – fonksiyonunu alalım X 3 . Çift ve tek fonksiyonların özellikleri:
NOT:
Tüm işlevler çift veya tek değildir. Böyle bir derecelendirmeye uymayan işlevler vardır. Örneğin kök işlevi en = √Xçift veya tek işlevler için geçerli değildir (Şekil 3). Bu tür fonksiyonların özellikleri listelenirken uygun bir açıklama verilmelidir: ne çift ne tek. Periyodik fonksiyonlar.
Bildiğiniz gibi periyodiklik, belirli süreçlerin belirli aralıklarla tekrarlanmasıdır. Bu süreçleri tanımlayan fonksiyonlara denir. periyodik fonksiyonlar. Yani bunlar, grafiklerinde belirli sayısal aralıklarla tekrar eden elemanların bulunduğu fonksiyonlardır.
\(f(x)=x^3-3x^2+4\) fonksiyonunu düşünün.
Faktörlere ayrılabilir: \
Bu nedenle sıfırları şöyledir: \(x=-1;2\) .
\(f"(x)=3x^2-6x\) türevini bulursak, iki uç nokta \(x_(max)=0, x_(min)=2\) elde ederiz.
Bu nedenle grafik şöyle görünür: 
Herhangi bir yatay çizginin \(y=k\) olduğunu görüyoruz, burada \(0
Böylece ihtiyacınız var: \[\begin(case) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Hemen şunu da belirtelim ki eğer \(t_1\) ve \(t_2\) sayıları farklıysa o zaman \(\log_(\sqrt2)t_1\) ve \(\log_(\sqrt2)t_2\) sayıları şöyle olacaktır: farklı, yani denklemler \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Ve \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) farklı kökleri olacaktır.
\((**)\) sistemi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: \[\begin(case) 1
Kökleri açıkça yazmayacağız.
\(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) fonksiyonunu düşünün. Grafiği, x ekseniyle iki kesişme noktasına sahip, yukarı doğru dallanan bir paraboldür (bu koşulu paragraf 1'de yazdık)). X ekseniyle kesişme noktalarının \((1;4)\) aralığında olması için grafiği nasıl görünmelidir? Bu yüzden: 
Birincisi, fonksiyonun \(1\) ve \(4\) noktalarındaki \(g(1)\) ve \(g(4)\) değerleri pozitif olmalı ve ikinci olarak, fonksiyonun tepe noktası olmalıdır. \(t_0\ ) parabolünün de \((1;4)\) aralığında olması gerekir. Bu nedenle sistemi şöyle yazabiliriz: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
\(g(x)\) fonksiyonunun bir maksimum noktası \(x=0\) vardır (ve \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Sıfır türevi: \(x=0\) . Ne zaman \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\) için : \(g"<0\)
.
\(x>0\) için \(f(x)\) fonksiyonu artıyor ve \(x) için<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Aslında, \(x>0\) olduğunda ilk modül pozitif olarak açılacaktır (\(|x|=x\)), bu nedenle, ikinci modülün nasıl açılacağına bakılmaksızın, \(f(x)\) eşit olacaktır \(kx+A\)'ye; burada \(A\), \(a\)'nın ifadesidir ve \(k\) \(13-10=3\) veya \(13+10)'a eşittir =23\) . Ne zaman \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Minimum noktada \(f\) değerini bulalım: \
Örnek.\(y=x\left|x \right|\) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun.
Örnek.\(y=x^3+x^2\) fonksiyonunun grafiğini oluşturun. 
.
.
;
2)
;
3)
.
. Bulacağız 
.
. Bu, bu fonksiyonun eşit olduğu anlamına gelir.
. Dolayısıyla bu fonksiyon tuhaftır.
,
. Bu nedenle fonksiyon ne çift ne de tektir. Buna genel formun bir fonksiyonu diyelim.3. Monotonluk fonksiyonunun incelenmesi.
bu aralıkta argümanın her daha büyük değeri, fonksiyonun daha büyük (daha küçük) bir değerine karşılık geliyorsa, belirli bir aralıkta artan (azalan) olarak adlandırılır.
aralıkta türevlenebilir 
ve pozitif (negatif) bir türevi vardır 
, ardından fonksiyon 
bu aralıkta artar (azalır).
;
3)
.
Ve 
. Tanım alanı, noktalara bölünmüş sayı eksenidir 
,
aralıklarla. Her aralıktaki türevin işaretini belirleyelim.
türev negatiftir, fonksiyon bu aralıkta azalır.
türev pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artar.
veya
.
,
, Eğer 
, yani 
, Ancak 
. Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim 
.
türev negatiftir, dolayısıyla fonksiyon aralıkta azalır 
. aralıkta 
türev pozitiftir, fonksiyon aralık boyunca artar 
.4. Fonksiyonun ekstremumdaki incelenmesi.
fonksiyonun maksimum (minimum) noktası denir 
eğer noktanın böyle bir mahallesi varsa 
bu herkes için 
bu mahallede eşitsizlik devam ediyor 
.
noktada 
bir ekstremuma sahipse, bu durumda fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfıra eşittir veya mevcut değildir (bir ekstremun varlığı için gerekli bir koşul).5. Bir ekstremun varlığı için yeterli koşullar.
türev 
işareti “+”dan “-”ye değiştirir, ardından noktada 
işlev 
bir maksimumu vardır; “-” ile “+” arasında ise minimum; Eğer 
işareti değişmiyorsa ekstremum yoktur.
bir fonksiyonun birinci türevi 
sıfıra eşit 
ve ikinci türev mevcuttur ve sıfırdan farklıdır. Eğer 
, O 
– maksimum nokta, eğer 
, O 
– fonksiyonun minimum noktası.
;
2)
;
3)
;
.
.
ve denklemi çöz 
, yani 
.Buradan 
- kritik noktalar.
.
Ve 
türevin işareti “–”den “+”ya değişir, dolayısıyla kural 1'e göre 
– minimum puanlar.
türevin işareti “+”dan “-”ye değişir, yani 
– maksimum nokta.
,
.
. Türevini bulalım 
.
, bulacağız 
Ve 
- kritik noktalar. Payda ise 
, yani 
ise türev mevcut değildir. Bu yüzden, 
– üçüncü kritik nokta. Türevin işaretini aralıklarda belirleyelim.
, puan cinsinden maksimum 
Ve 
.
, yani en 
.
.
tanım alanına ait değildirler, dolayısıyla ekstrema değildirler. O halde kritik noktaları inceleyelim 
Ve 
.
. Kural 2'yi kullanalım. Türevi bulun 
.
ve noktalardaki işaretini belirleyin 
fonksiyonun minimumu vardır.
fonksiyonun bir maksimumu vardır.
Fonksiyonu ele alalım sen = X 2 veya sen = –X 2 .
Herhangi bir değer için X fonksiyon pozitiftir. İmza X işareti etkilemez sen. Grafik koordinat eksenine göre simetriktir. Bu eşit bir fonksiyondur.
Tüm anlamlar en eksi işareti olacaktır. Bu bir işaret X işareti etkiler sen. Bağımsız değişken pozitif bir sayı ise fonksiyon pozitiftir, bağımsız değişken negatif bir sayı ise fonksiyon negatiftir: F(–X) = –F(X).
Fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Bu garip bir fonksiyon.
