Tanım gereği bir noktada türev. Tanım gereği türev (limit yoluyla)

Önemli Notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce en çok gezginimize dikkat edin. faydalı kaynakİçin

Tepelik bir alandan geçen düz bir yol düşünelim. Yani yukarı aşağı gidiyor ama sağa sola dönmüyor. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen belli bir seviyede sıfır rakımdır; yaşamda deniz seviyesini öyle kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken aynı zamanda yukarı veya aşağı da hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket), fonksiyonun değeri de değişir (ordinat ekseni boyunca hareket). Şimdi yolumuzun “dikliğini” nasıl belirleyeceğimizi düşünelim? Bu nasıl bir değer olabilir? Çok basit: Belirli bir mesafeye doğru ilerlerken yüksekliğin ne kadar değişeceği. Nitekim yolun farklı kesimlerinde, (x ekseni boyunca) bir kilometre ileriye doğru ilerleyerek, yükselecek veya alçalacağız. farklı miktarlar deniz seviyesine göre metre (koordinat ekseni boyunca).

İlerlemeyi gösterelim (“delta x” okuyun).

Yunanca harf (delta), matematikte "değişim" anlamına gelen bir önek olarak yaygın olarak kullanılır. Yani - bu nicelikteki bir değişikliktir - bir değişikliktir; peki o nedir? Doğru, büyüklükte bir değişiklik.

Önemli: Bir ifade tek bir bütündür, tek bir değişkendir. “Delta”yı asla “x”ten veya başka bir harften ayırmayın!

Yani örneğin .

Böylece yatay olarak ileriye doğru ilerledik. Yolun çizgisini fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani ilerledikçe daha da yükseliriz. Değerin hesaplanması kolaydır: Başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra kendimizi yüksekte bulursak, o zaman. Eğer bitiş noktası

ilkinden daha düşük olduğu ortaya çıktı, negatif olacak - bu, yükseldiğimiz değil alçaldığımız anlamına geliyor.

Yolun bir bölümünde bir kilometre ileri gidildiğinde yolun bir kilometre yukarıya çıktığını varsayalım. O halde bu yerdeki eğim eşittir. Peki ya yol m ileri giderken km düşerse? O halde eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin zirvesine bakalım. Bölümün başlangıcını zirveden yarım kilometre önce ve sonunu yarım kilometre sonra alırsanız yüksekliğin hemen hemen aynı olduğunu görürsünüz.

Yani bizim mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu kesinlikle doğru değil. Kilometrelerce uzakta çok şey değişebilir. Dikliğin daha yeterli ve doğru bir şekilde değerlendirilmesi için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin bir metre hareket ettikçe yükseklikteki değişimi ölçerseniz sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta yolun ortasında bir direk varsa onu kolayca geçebiliriz. O halde hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha azı daha fazladır!

İÇİNDE gerçek hayat Mesafeleri en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle kavram icat edildi sonsuz küçük yani mutlak değer isimlendirebileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin şöyle diyorsunuz: trilyonuncu! Ne kadar az? Ve bu sayıyı -'ye bölerseniz daha da az olacaktır. Ve benzeri. Bir niceliğin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra doğru gider” şeklinde okuruz). Anlamak çok önemli bu sayının sıfıra eşit olmadığını! Ama buna çok yakın. Bu, ona bölebileceğiniz anlamına gelir.

Sonsuz küçük kavramının karşısındaki kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, aklınıza gelebilecek herhangi bir sayıdan modülo daha büyüktür. Eğer en büyüğünü bulursan olası sayılar, bunu ikiyle çarpın ve daha da fazlasını elde edin. Ve hala sonsuzluk Dahası ne olacak? Aslında sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tam tersi: at.

Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirmeyle yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını not ediyorum. Ama size sonsuz küçüklüğün şu anlama gelmediğini hatırlatmama izin verin: sıfıra eşit. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz oldukça fazla sonuç elde edebilirsiniz. normal numara, Örneğin, . Yani küçük bir değer diğerinden tam olarak kat daha büyük olabilir.

Bütün bunlar ne için? Yol, diklik... Araba rallisine gitmiyoruz ama matematik öğretiyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, yalnızca farklı adlandırılır.

Türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranıdır.

Kademeli olarak matematikte değişim diyorlar. Bağımsız değişkenin () eksen boyunca hareket ettikçe ne ölçüde değiştiğine denir argüman artışı Eksen boyunca bir mesafe kadar ileri doğru hareket edildiğinde fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiğine denir. fonksiyon artışı ve belirlenir.

Yani bir fonksiyonun türevi ne zamana oranıdır. Türevi fonksiyonla aynı harfle, yalnızca sağ üstte bir asal sayıyla veya basitçe belirtiriz. Şimdi bu gösterimleri kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol benzetmesinde olduğu gibi burada fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatif olur.

Türev sıfıra eşit olabilir mi? Kesinlikle. Örneğin düz yatay bir yolda gidiyorsak diklik sıfırdır. Ve bu doğru, yükseklik hiç değişmiyor. Türev ile aynı: türev sabit fonksiyon(sabitler) sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfıra eşittir.

Tepe örneğini hatırlayalım. Segmentin uçlarını birlikte düzenlemenin mümkün olduğu ortaya çıktı farklı taraflar uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani bölüm eksene paralel olacak şekilde üstten:

Ancak büyük segmentler yanlış ölçümün işaretidir. Segmentimizi kendine paralel olarak yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacak.

Sonunda tepeye sonsuz derecede yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuz derecede küçük olacaktır. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğiliminde değildir ancak eşittir). Yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede durduğumuzda, sola veya sağa doğru küçük bir kayma, boyumuzu ihmal edilebilecek kadar değiştirir.

Ayrıca tamamen cebirsel bir açıklama da var: Tepe noktasının solunda fonksiyon artar ve sağında azalır. Daha önce öğrendiğimiz gibi, bir fonksiyon arttığında türevi pozitif, azaldığında ise negatif olur. Ancak atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol eğimini hiçbir yerde keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle negatif ve pozitif değerler arasında olması gerekir. Tepe noktasında, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.

Aynı durum çukur (soldaki fonksiyonun azaldığı, sağdaki fonksiyonun arttığı alan) için de geçerlidir:

Artışlar hakkında biraz daha.

Bu yüzden argümanı büyüklük olarak değiştiriyoruz. Hangi değerden değişiyoruz? Şimdi bu (tartışma) ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi oradan dans edeceğiz.

Koordinatı olan bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse fonksiyon da oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu hala fonksiyonun değişme miktarıdır:

Artışları bulma alıştırması yapın:

1. Bağımsız değişkenin artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Aynı şey bir noktada fonksiyon için de geçerlidir.

Çözümler:

İÇİNDE farklı noktalar aynı argüman artışıyla, fonksiyon artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin farklı olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun dikliği farklı noktalarda farklıdır). Bu nedenle bir türev yazarken hangi noktada olduğunu belirtmeliyiz:

Güç fonksiyonu.

Güç fonksiyonu, argümanın bir dereceye kadar (mantıklı, değil mi?) geçerli olduğu bir fonksiyondur.

Üstelik - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum- bu durumda üs:

Bir noktadaki türevini bulalım. Türevin tanımını hatırlayalım:

Yani argüman 'dan 'a değişir. Fonksiyonun artışı nedir?

Artış şudur. Ancak herhangi bir noktadaki bir fonksiyon argümanına eşittir. Bu yüzden:

Türev şuna eşittir:

Türevi şuna eşittir:

b) Şimdi ikinci dereceden fonksiyonu düşünün (): .

Şimdi şunu hatırlayalım. Bu, artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir, çünkü bu son derece küçüktür ve bu nedenle diğer terimin arka planına göre önemsizdir:

Böylece başka bir kural bulduk:

c) Mantıksal seriye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı formülünü kullanarak ilk parantezi açın veya küp farkı formülünü kullanarak ifadenin tamamını çarpanlara ayırın. Önerilen yöntemlerden herhangi birini kullanarak bunu kendiniz yapmaya çalışın.

Böylece aşağıdakileri elde ettim:

Ve şunu bir kez daha hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

Şunu alıyoruz: .

d) Büyük kuvvetler için de benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın genelleştirilebileceği ortaya çıktı güç fonksiyonu bir tamsayı bile olmayan keyfi bir üsle:

Kural şu ​​şekilde formüle edilebilir: "Derece bir katsayı olarak öne çıkarılır ve ardından azaltılır."

Bu kuralı daha sonra kanıtlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formülle ve türev tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını hesaplayarak);

Trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir olguyu kullanacağız:

İfade ile.

Kanıtı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için Birleşik Devlet Sınavını iyi bir şekilde geçmeniz gerekir). Şimdi bunu grafiksel olarak göstereceğim:

Fonksiyon mevcut olmadığında grafikteki noktanın kesildiğini görüyoruz. Ama değere ne kadar yakınsa fonksiyon da o kadar yakın demektir.

Ek olarak, bir hesap makinesi kullanarak bu kuralı kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, utanmayın, bir hesap makinesi alın, henüz Birleşik Devlet Sınavında değiliz.

O halde deneyelim: ;

Hesap makinenizi Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vesaire. Ne kadar az olursa o kadar çok olduğunu görüyoruz. daha yakın değer ile ilişki

a) Fonksiyonu düşünün. Her zamanki gibi, artışını bulalım:

Sinüs farkını çarpıma dönüştürelim. Bunu yapmak için şu formülü kullanıyoruz (“” konusunu hatırlayın): .

Şimdi türev:

Bir değişiklik yapalım: . O halde sonsuz küçük için aynı zamanda sonsuz küçüktür: . için ifade şu şekli alır:

Şimdi de bunu şu ifadeyle hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda sonsuz küçük bir miktar (yani, at) ihmal edilebilirse ne olur?

Yani anlıyoruz sonraki kural:sinüsün türevi kosinüse eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte tek bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.

Pratik:

1. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte herhangi bir değer için türevi aynı zamanda fonksiyonun kendi değerine eşit olan bir fonksiyon vardır. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur

Bu fonksiyonun temeli bir sabittir; sonsuzdur ondalık yani irrasyonel bir sayı (gibi). Buna “Euler numarası” denir, bu yüzden bir harfle gösterilir.

Yani kural:

Hatırlanması çok kolay.

Neyse fazla uzağa gitmeyelim hemen bakalım ters fonksiyon. Hangi fonksiyonun tersi üstel fonksiyon? Logaritma:

Bizim durumumuzda taban sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette.

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Cevaplar: Katılımcı ve doğal logaritma- fonksiyonlar türev açısından benzersiz derecede basittir. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra analiz edeceğiz. hadi kuralları gözden geçirelim farklılaşma.

Farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?!...

Farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Hepsi bu. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçiler diferansiyele bir fonksiyonun aynı artışı adını verirler. Bu terim Latince diferansiyelden gelir - farklılık. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural bulunmaktadır.

Sabit türev işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayı(sabit), o halde.

Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. bir noktada;
2. bir noktada;
3. bir noktada;
4. noktada.

Çözümler:

Ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtalım ve onun artışını bulalım:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

Üstel bir fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).

Peki, bazı sayılar nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o yüzden fonksiyonumuzu yeni bir temele taşımaya çalışalım:

Bunun için kullanacağız basit kural: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

İşe yaradı mı?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Cevaplar:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:

Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık fonksiyon" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar, ikincisi ise onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için adımların tersini uygulamanız gerekir. ters sıra.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu bir örnek karmaşık fonksiyon: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştiririz ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci bir eylemi gerçekleştiririz.

Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli Özellik Karmaşık işlevler: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.

Başka bir deyişle, karmaşık bir fonksiyon, argümanı başka bir fonksiyon olan bir fonksiyondur: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı şey). .

En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Cevaplar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda

Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.

Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. ile ilgili olarak orijinal örnekşuna benziyor:

Başka bir örnek:

O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

Basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Ürünün türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

1. “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
2. “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

İki yeni tanım verelim. Eğer? sıfıra yöneliyor, yalnızca pozitif değerler alıyor, ardından oranın limiti

(varsa) denir sağ türev veya sağ türev noktasındaki ѓ() fonksiyonundan?, ya olursa? sıfıra eğilimlidir, yalnızca alır negatif değerler, o zaman aynı oranın limiti (eğer varsa) sol türev veya sol türev. Sağdaki türev bir sembolle, soldaki türev ise sembolize edilmiştir.

Sağdaki türev ile soldaki türev eşitse, o zaman fonksiyonun kelimenin genel anlamıyla 0 noktasında bir türevi olduğu açıktır.

En basit örnekler Bir noktada birbiriyle çakışmayan sağ ve sol türevleri olan fonksiyonlar bize grafikleri kesikli çizgiler olan fonksiyonlar verir.

Aslında 1, 2, ..., k, ..., s eksen üzerinde belirli sayıda farklı nokta olsun. Köşeleri x 1, 2, ..., k, ..., s'ye eşit apsislere sahip olacak şekilde kesikli bir çizgi oluşturalım (Şekil 12). Grafiği bu kesik çizgi *) olan ѓ() fonksiyonunun 1, 2, …, k, …, s noktalarında türevi yoktur.

*) Açıkçası, Ox eksenine dik olan her düz çizgi, kesikli çizgiyi en fazla bir noktada keser ve kesikli çizgi, bazı tek değerli fonksiyonların grafiğidir.

Bunu kanıtlamak için apsis k'li bir Q noktası düşünün. Bu noktanın komşuluğundaki fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 13.

Herhangi bir düz çizgi için, bir noktadaki kesen ve dolayısıyla teğet (bu kesenin sınırlayıcı konumu olarak), düz çizginin kendisiyle çakışır; Bu, sekant açısının ve dolayısıyla düz çizginin eksene olan teğetinin, düz çizginin kendisinin x eksenine olan açısıyla aynı olduğu anlamına gelir.

AQ düz çizgisinin eksenle olan açısını b ile ve QB düz çizgisinin eksenle olan açısını c ile gösterelim. Q noktasından ve Q'nun solunda ve sağında bulunan M 1 ve M 2 noktalarından bir sekant çiziyoruz. Sol sekant AQ çizgisiyle, sağ sekant ise QB çizgisiyle çakışıyor.

Q'yu bir temas noktası olarak düşünürsek, o zaman sekantın iki sınırlayıcı konumu olacağı veya bazen söylendiği gibi bu noktadaki eğrinin şu şekilde olacağı açıktır: sağ teğet, QB çizgisine denk geliyor ve sol teğet, AQ düz çizgisiyle çakışıyor. Eksen ile sol teğet arasındaki açı açıkça b'ye eşittir ve eksen ile sağ teğet arasındaki açı c'ye eşittir. b ve c farklı olduğuna göre

Dolayısıyla, Q noktasında doğrumuzun tanımlanmış bir teğeti yoktur ve türev, teğetin eksenle yaptığı açının tanjantına eşit olduğundan, soldaki türev sağdaki türeve eşit değildir ve Q noktasında mevcut değildir.

Solda ve sağda farklı türevleri olan başka bir fonksiyon örneğine bakalım. Diyelim ki bir fonksiyonun türevini bulmamız gerekiyor

Fonksiyon açıkça -1??+1 aralığında tanımlanmıştır. Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 14. ||>1 için fonksiyon tanımlı olmadığından eğri M(-1, +1) ve N(+1, +1) noktalarında biter.

x noktasındaki türevi bulun:

X=0 varsayarsak, türevin değerini O(0, 0) noktasında buluruz:

Limiti bulmak için pay ve paydayı şu şekilde çarparız:

Aritmetik (pozitif) değer dikkate alındığından karekök, bu durumda 2 =?, eğer?x>0, ancak 2 =-?, eğer?<0.

Bu nedenle, eğer?>0 ise, o zaman

farzedelim?<0, то

Soldaki türevin sağdaki türevine eşit olmadığını, dolayısıyla fonksiyonumuzun türevinin olmadığını görüyoruz. (0, 0) noktası, eğrinin tanımlı bir teğetinin olmadığı köşe noktasıdır.

Türev kavramı

Fonksiyona izin ver F(X) belirli bir aralıkta tanımlanır X. Bu noktada argümanın değerini verelim X 0 X keyfi artış Δ X yani asıl nokta x 0 + Δ X aynı zamanda ait olduğu X. Daha sonra karşılık gelen f(x) fonksiyonunun artışıΔ olacak en = F(x 0 + Δ X) - F(x 0).

Tanım 1.f(x) fonksiyonunun türevi bu noktada x 0 fonksiyonun bu noktadaki artışının argümanın Δ noktasındaki artışına oranının limiti denir X 0 (eğer bu sınır mevcutsa).

Bir fonksiyonun türevini belirtmek için sembolleri kullanırız sen (x 0) veya F‘(x 0):

Eğer bir noktada x 0 limit (4.1) sonsuzdur:

o zaman bunu söylüyorlar x 0 işlev F(X) sahip olmak sonsuz türev.

Eğer fonksiyon F(X) kümenin her noktasında bir türevi vardır X, o zaman türev f"(x) aynı zamanda argümanın bir fonksiyonudur X,üzerinde tanımlanmış X.

Türevin geometrik anlamını açıklığa kavuşturmak için, fonksiyonun grafiğinin belirli bir noktadaki teğetini belirlememiz gerekir.

Tanım 2.Teğet fonksiyonun grafiğine y = f(X) noktada M MN, nokta ne zaman N bir noktaya doğru yöneliyor M eğri boyunca F(X).

Bırakın nokta M eğri üzerinde F(X) argümanın değerine karşılık gelir x 0 ve nokta N- argümanın değeri x 0 + Δ X(Şekil 4.1). Bir teğetin tanımından, onun bir noktada varlığı için şu sonuç çıkar: x 0öyle bir sınır olması lazım ki açıya eşit teğetin eksene olan eğimi Ah. Bir üçgenden M.N.A.şu şekildedir

Fonksiyonun türevi ise F(X) noktada x 0 varsa, o zaman (4.1)’e göre şunu elde ederiz:

Buradan şu net sonuca varılır: türev f‘(x 0) y fonksiyonunun grafiğine teğetin açısal katsayısına (eğim açısının Ox ekseninin pozitif yönüne teğeti) eşit = F(X)V M noktası(x 0, F(x 0)). Bu durumda teğetin açısı formül (4.2)'den belirlenir:

Fiziksel anlam türev

Fonksiyonun olduğunu varsayalım. ben = f(T) maddi bir noktanın düz bir çizgideki hareket yasasını yol bağımlılığı olarak tanımlar ben zaman zaman T. O zaman fark Δ ben = f(t +Δ t) - f(t) -Δ zaman aralığında katedilen yoldur T ve oran Δ ben/Δ T- zaman içindeki ortalama hız Δ T. Daha sonra sınır tanımlar anlık nokta hızı zamanın bir noktasında T yolun zamana göre türevidir.

Bir anlamda fonksiyonun türevi en = f(x) bir fonksiyonun değişim hızı olarak da yorumlanabilir: değer ne kadar büyük olursa F‘(X), teğetin eğriye eğim açısı ne kadar büyük olursa grafik o kadar dik olur F(X) ve fonksiyon daha hızlı büyür.

Sağ ve sol türevler

Bir fonksiyonun tek taraflı limitleri kavramına benzetme yapılarak, bir fonksiyonun bir noktadaki sağ ve sol türevleri kavramları tanıtılmaktadır.

Tanım 3.Sağ (sol) bir fonksiyonun türevi en = f(x) bu noktada x 0Δ için ilişkinin sağ (sol) limiti (4.1) olarak adlandırılır X Bu sınır mevcutsa 0.

Tek taraflı türevleri belirtmek için aşağıdaki sembolizm kullanılır:

Eğer fonksiyon F(X) şu noktada var x 0 türev ise bu noktada çakışan sol ve sağ türevleri vardır.

Birbirine eşit olmayan bir noktada tek taraflı türevleri olan bir fonksiyon örneği verelim. Bu F(X) = |X|. Gerçekten de bu noktada x = 0 sahibiz f' +(0) = 1, F' -(0) = -1 (Şekil 4.2) ve f' +(0) ≠ f' —(0), yani fonksiyonun türevi yoktur X = 0.

Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine denir farklılaşma; Bir noktada türevi olan fonksiyona denir diferansiyellenebilir.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevlenebilirliği ile sürekliliği arasındaki bağlantı aşağıdaki teorem ile kurulur.

TEOREM 1 . Bir fonksiyon x 0 noktasında türevlenebilirse bu noktada süreklidir.

Bunun tersi doğru değil: işlev F(X), bir noktada süreklidir, o noktada türevi olmayabilir. Böyle bir örnek fonksiyondur en = |X|; bir noktada süreklidir X= 0, ancak bu noktada türevi yoktur.

Bu nedenle, bir fonksiyonun türevlenebilirlik gereksinimi, süreklilik gereksiniminden daha güçlüdür, çünkü ikincisi otomatik olarak birinciyi takip eder.

Belirli bir noktadaki bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi

Bölüm 3.9'da belirtildiği gibi, bir noktadan geçen doğrunun denklemi M(x 0, y 0) İle eğim k benziyor

Fonksiyon verilsin en = F(X). O zaman bir noktada türevi olduğundan M(x 0, y 0) bu fonksiyonun grafiğine o noktada teğetin eğimidir M, o zaman fonksiyonun grafiğine teğet denklemi takip eder F(X) bu noktada şu forma sahiptir:

⇐ Önceki19202122232425262728Sonraki ⇒

y bir fonksiyondur y = y(x)
C = sabit, sabitin türevi (y') 0'dır

y = C => y’ = 0

örnek: y = 5, y' = 0

Eğer y, y = x n tipinde bir fonksiyon ise, türevin formülü şöyledir:

y = x n => y’ = nx n-1

örnek: y = x 3 y' = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y’ = -3x -4

Yukarıdaki formülden y = x = x 1 fonksiyonunun y' türevi için şunu söyleyebiliriz:

eğer y = x ise y’=1

y = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) …=>
y' = f' 1 (x) + f' 2 (x) + f' 3 (x) ...

Bu formül, fonksiyonların toplamı olan bir fonksiyonun türevini temsil eder.
Örnek: Eğer iki fonksiyonumuz varsa f(x) = x 2 + x + 1 ve g(x) = x 5 + 7 ve y = f(x) + g(x) o zaman y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1

Bir fonksiyon iki fonksiyonun çarpımı ise türev formülü şöyle görünür:

y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)

Eğer f(x) = C(C sabittir) ve y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f"(x)

Türevi hesaplamak için formüller

y = ln x => y’ = 1 / x

y = e x => y’ = e x

y = sin x => y’ = çünkü x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tan x => y’ = 1 / cos 2 x

y = ctg x => y’ = - 1 / sin 2 x

CEVAP: h(x) = x 10 ve g(x) = 4,15 + cos x olmak üzere iki fonksiyonumuz var
f(x) fonksiyonu h(x) bölü g(x)'tir.

Fonksiyonların diferansiyel hesabı

h"(x) = 10x 9 g"(x) = 0 — sin x = -sin x

Matematik forumunun sayfalarında türevler hakkında daha fazla bilgi edinin

Türev forumu

Türev nedir

Türev kavramı

Türev - en önemli kavram matematiksel analiz. Argümanın işlevindeki değişikliği karakterize eder X bir noktada. Dahası, türevin kendisi argümanın bir fonksiyonudur X

Bir fonksiyonun türevi bir noktada, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının (eğer varsa ve sonluysa) limiti denir, ancak ikincisi sıfıra eğilimlidir.

En sık kullanılanlar şunlardır türev gösterimi :

Örnek 1. Faydalanmak türevin tanımı, fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türevin tanımından hesaplanması için aşağıdaki şema izlenmektedir.

Argümana bir artış (delta) verelim ve fonksiyonun artışını bulalım:

Fonksiyon artışının argüman artışına oranını bulalım:

Argümanın artışının sıfıra yani problem ifadesinde gerekli olan türevine doğru gitmesi koşuluyla bu oranın limitini hesaplayalım:

Türevin fiziksel anlamı

İLE türev kavramı Galileo Galilei'nin hukuk çalışmasının öncülüğünde serbest düşüş bedenler ve daha fazlası geniş anlamda- düzgün olmayan bir cismin anlık hızıyla ilgili problemler doğrusal hareket puan.

Ancak serbestçe düşen bir cismin hareketi açıkça eşitsizdir. Hız v düşüş sürekli artıyor. Ve ortalama hız artık rotanın çeşitli bölümlerindeki hareket hızını karakterize etmek için yeterli değil. Bu özellik ne kadar doğru olursa daha az boşluk zaman

Bir fonksiyonun türevi

Bu nedenle, aşağıdaki kavram tanıtılmıştır: doğrusal hareketin anlık hızı (veya doğrusal hareketin anlık hızı) şu anda zaman T) şu noktada ortalama hız sınırı olarak adlandırılır:

(bu sınırın mevcut olması ve sonlu olması şartıyla).

Yani öyle görünüyor ki anlık hız fonksiyon artış oranının sınırıdır S(T) argümanın arttırılmasına T Bu türevdir, ki genel görünümşu şekilde yazılmıştır:

.

Belirtilen sorunun çözümü türevin fiziksel anlamı . Yani fonksiyonun türevi y=f(X) noktada X bir fonksiyonun artışının, argümanın artışına oranı (eğer varsa ve sonluysa), argümanın sıfıra yönelmesi koşuluyla limiti olarak adlandırılır.

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türevin tanımından hesaplanması için aşağıdaki şema izlenir.

Adım 1. Argümanı artıralım ve bulalım

Adım 2. Fonksiyonun artışını bulun:

Adım 3. Fonksiyon artışının argüman artışına oranını bulun:

Adım 4. Bu oranın limitini, yani türevini hesaplayın:

Çözüme dalmak için zamanınız yok mu? Bir iş sipariş edebilirsiniz!

Türevin geometrik anlamı

Varsa

sonra açısal katsayılı düz bir çizgi

noktadan geçmeye sekantın sınır konumu denir Bay en (veya en).

Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet M sekantın sınır konumu denir Bay veya, 'de aynıdır.

Tanımdan, bir teğetin varlığı için bir limitin olması yeterlidir.

,

ve limit, teğetin eksene eğim açısına eşittir.

Şimdi verelim kesin tanım teğet.

Teğet Bir noktadaki bir fonksiyonun grafiğine göre, noktadan geçen ve eğimi olan düz bir çizgi vardır; denklemi olan düz çizgi

Bu tanımdan şu sonuç çıkıyor bir fonksiyonun türevi apsisli noktadaki bu fonksiyonun grafiğine teğetin eğimine eşittir X. Bu geometrik anlamı türev:

apsis eksenine teğetin eğim açısı nerede, yani. teğet eğim.

Örnek 3. Fonksiyonun türevini ve bu türevin değerini bulun.

Çözüm. Örnek 1'de verilen diyagramı kullanalım.

Limit işaretinin altındaki ifade tanımlı olmadığı için (0/0 formunun belirsizliği), paydaki irrasyonellikten kurtulup kesri azaltarak onu dönüştürüyoruz:

Türevin değerini bulalım:

Sayfanın başı

Türev, diferansiyel ve uygulamaları konulu testi yapın

“Türev” bloğunun tamamı

Bu tanıdık şunları yapmanızı sağlayacaktır:

— türevlerle ilgili basit görevlerin özünü anlamak;

— aynı sorunları başarıyla çözmek zor görevler;

— Türevlerle ilgili daha ciddi derslere hazırlanın.

İlk olarak - hoş bir sürpriz.)

Türevin kesin tanımı limitler teorisine dayanmaktadır ve olay oldukça karmaşıktır. Bu çok üzücü. Ancak türevlerin pratik uygulaması kural olarak bu kadar kapsamlı ve derin bilgi gerektirmez!

Okuldaki ve üniversitedeki çoğu görevi başarıyla tamamlamak için şunu bilmek yeterlidir: sadece birkaç terim- görevi anlamak ve sadece birkaç kural- çözmek için. Hepsi bu. Bu beni mutlu ediyor.

Hadi tanışmaya başlayalım mı?)

Terimler ve tanımlar.

İlköğretim matematikte birçok farklı matematiksel işlem vardır. Toplama, çıkarma, çarpma, üs alma, logaritma vb. Bu işlemlere bir işlem daha eklerseniz temel matematik daha da yükselir. Bu yeni operasyonun adı farklılaşma. Bu operasyonun tanımı ve anlamı ayrı derslerde tartışılacaktır.

Burada farklılaşmanın basitçe olduğunu anlamak önemlidir. matematiksel işlem fonksiyonun üzerinde. Herhangi bir işlevi alırız ve buna göre belirli kurallar, dönüştürün. Sonuç olacak yeni özellik. Bu yeni fonksiyonun adı: türev.

Farklılaşma— bir fonksiyon üzerindeki eylem.

Türev- bu eylemin sonucu.

Tıpkı örneğin, toplam eklemenin sonucudur. Veya özel- bölmenin sonucu.

Terimleri bildiğiniz için en azından görevleri anlayabilirsiniz.) Formülasyonlar aşağıdaki gibidir: bir fonksiyonun türevini bulma; türevini alalım; işlevi ayırt etmek; türevi hesapla vesaire. Hepsi bu bir ve aynı. Elbette türevi bulmanın (farklılaşmanın) problemin çözümündeki adımlardan sadece biri olacağı daha karmaşık görevler de vardır.

Türev, fonksiyonun sağ üst köşesinde bir çizgi ile gösterilir. Bunun gibi: sen veya f"(x) veya S"(t) ve benzeri.

Okuma igrek vuruşu, x'ten ef vuruşu, te'den es vuruşu, yani anlamışsındır...)

Bir asal aynı zamanda belirli bir fonksiyonun türevini de gösterebilir, örneğin: (2x+3)', (X 3 )’ , (sinx)' vesaire.

Türevler genellikle diferansiyeller kullanılarak gösterilir, ancak bu derste bu tür gösterimleri dikkate almayacağız.

Görevleri anlamayı öğrendiğimizi varsayalım. Geriye sadece bunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek kalıyor.) Bir kez daha hatırlatayım: türevi bulmak Bir fonksiyonun belirli kurallara göre dönüştürülmesi.Şaşırtıcı bir şekilde, bu kuralların çok azı var.

Bir fonksiyonun türevini bulmak için yalnızca üç şeyi bilmeniz gerekir. Tüm farklılaşmanın dayandığı üç sütun. Bunlar üç sütun:

1. Türev tablosu (farklılaşma formülleri).

2. Farklılaşma kuralları.

3. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Sırayla başlayalım. Bu dersimizde türev tablosuna bakacağız.

Türev tablosu.

Dünyada - sonsuz küme işlevler. Bu setin içinde en önemli fonksiyonlar bulunmaktadır. pratik uygulama. Bu işlevler doğanın tüm yasalarında bulunur. Bu işlevlerden, tıpkı tuğlalardan olduğu gibi, diğerlerini de inşa edebilirsiniz. Bu fonksiyon sınıfına denir temel işlevler. Okulda incelenen bu fonksiyonlardır - doğrusal, ikinci dereceden, hiperbol vb.

Fonksiyonların "sıfırdan" farklılaştırılması, yani. Türevin tanımı ve limitler teorisine göre bu oldukça emek yoğun bir şeydir. Ve matematikçiler de insandır, evet, evet!) Böylece kendilerinin (ve bizim) hayatlarımızı basitleştirdiler. Bizden önce temel fonksiyonların türevlerini hesapladılar. Sonuç, her şeyin hazır olduğu bir türevler tablosudur.)

İşte burada, en popüler işlevlere yönelik bu plaka. Sol - temel fonksiyon, sağda onun türevi var.

Bu türev tablosundaki üçüncü fonksiyon grubuna dikkat etmenizi öneririm. Bir kuvvet fonksiyonunun türevi, en yaygın olmasa da en yaygın formüllerden biridir! İpucunu anladınız mı?) Evet, türev tablosunu ezbere bilmeniz tavsiye edilir. Bu arada, bu göründüğü kadar zor değil. Karar vermeye çalışın daha fazla örnek, tablonun kendisi hatırlanacak!)

Türevin tablo değerini bulmak, anladığınız gibi, en zor iş değildir. Bu nedenle, bu tür görevlerde sıklıkla ek çipler bulunur. Ya görevin ifadesinde ya da tabloda görünmeyen orijinal işlevinde...

Birkaç örneğe bakalım:

1. y = x fonksiyonunun türevini bulun 3

Tabloda böyle bir fonksiyon bulunmamaktadır. Ancak bir kuvvet fonksiyonunun genel formda bir türevi vardır (üçüncü grup). Bizim durumumuzda n=3. Bu yüzden n yerine üç koyuyoruz ve sonucu dikkatlice yazıyoruz:

(X 3) ' = 3 x 3-1 = 3x 2

İşte bu.

Cevap: y' = 3x 2

2. y = sinx fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Bu görev, önce sinüsün türevini bulmanız ve ardından değeri yerine koymanız gerektiği anlamına gelir x = 0 bu türevin içine. Tam olarak bu sırayla! Aksi takdirde, orijinal fonksiyonun yerine hemen sıfır koyarlar... Bizden orijinal fonksiyonun değerini değil, değerini bulmamız isteniyor. onun türevi. Türevin yeni bir fonksiyon olduğunu hatırlatmama izin verin.

Tableti kullanarak sinüsü ve karşılık gelen türevi buluyoruz:

y' = (sin x)' = cosx

Sıfırı türevin yerine koyarız:

y"(0) = çünkü 0 = 1

Cevap bu olacak.

3. Fonksiyonu farklılaştırın:

Ne, ilham veriyor mu?) Türev tablosunda böyle bir fonksiyon yok.

Bir fonksiyonun türevini almanın basitçe bu fonksiyonun türevini bulmaktan ibaret olduğunu hatırlatmama izin verin. Temel trigonometriyi unutursanız fonksiyonumuzun türevini aramak oldukça zahmetlidir.

Türev, temel tanım ve kavramlar.

Tablonun hiçbir faydası yok...

Ama eğer fonksiyonumuzun olduğunu görürsek kosinüs çift ​​açı , o zaman her şey hemen daha iyi olur!

Evet, evet! Orijinal işlevi dönüştürmenin farklılaşmadan önce oldukça kabul edilebilir! Ve bu hayatı çok daha kolay hale getiriyor. Çift açılı kosinüs formülünü kullanarak:

Onlar. bizim zorlu fonksiyonumuz bundan başka bir şey değil y = cosx. Ve bu... masa fonksiyonu. Hemen şunu alıyoruz:

Cevap: y' = - sin x.

İleri düzey mezunlar ve öğrenciler için örnek:

4. Fonksiyonun türevini bulun:

Türev tablosunda elbette böyle bir fonksiyon yoktur. Ama eğer hatırlarsan temel matematik, dereceli eylemler... Bu işlevi basitleştirmek oldukça mümkün. Bunun gibi:

Ve x üssü onda bir zaten bir tablo fonksiyonudur! Üçüncü grup, n=1/10. Doğrudan formüle göre yazıyoruz:

İşte bu. Cevap bu olacak.

Umarım türev almanın ilk ayağı olan türev tablosuyla ilgili her şey açıktır. Geriye kalan iki balinayla ilgilenmeye devam ediyor. Bir sonraki dersimizde türev almanın kurallarını öğreneceğiz.

Sonraki sayfa: Türevi nasıl bulunur? Farklılaşma kuralları. >>>>

Ders. Türev. Geometrik ve mekanik anlamda türev

Eğer bu limit mevcutsa fonksiyona bir noktada türevlenebilir denir. Bir fonksiyonun türevi (formül 2) ile gösterilir.

1. Türevin geometrik anlamı. Fonksiyonun grafiğine bakalım. Şekil 1'den, fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki A ve B noktası için formül 3'ün yazılabildiği açıktır. AB sekantının eğim açısını içerir.

Dolayısıyla fark oranı sekantın eğimine eşittir. A noktasını sabitleyip B noktasını ona doğru hareket ettirirseniz, sınırsız olarak azalır ve 0'a yaklaşır ve AB sekantı AC teğetine yaklaşır. Dolayısıyla fark oranının limiti, A noktasındaki teğetin eğimine eşittir. Bu da şu sonuca varır.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun grafiğinin o noktadaki teğetinin eğimidir. Türevin geometrik anlamı budur.

1. Teğet denklem . Fonksiyonun grafiğine bir noktadaki teğet denklemini türetelim. İÇİNDE genel durum açısal katsayılı bir düz çizginin denklemi şu şekildedir: . B'yi bulmak için teğetin A noktasından geçmesi gerçeğinden yararlanırız: . Şöyle: . Bu ifadeyi b yerine değiştirerek teğet denklemi elde ederiz (formül 4).

Bir kişi matematiksel analiz konusunda ilk bağımsız adımları attığında ve rahatsız edici sorular sormaya başladığında, artık "" ifadesinden kurtulmak o kadar kolay değil. diferansiyel hesap lahanada bulunur." Bu nedenle doğumun sırrının belirlenip ortaya çıkarılmasının zamanı gelmiştir. türev tabloları ve türev alma kuralları. Makalede başladı türevin anlamı hakkında Bunu incelemenizi şiddetle tavsiye ederim, çünkü orada türev kavramına baktık ve konuyla ilgili problemlere tıklamaya başladık. Aynı dersin belirgin bir pratik yönelimi vardır; ayrıca,

aşağıda tartışılan örnekler prensipte tamamen resmi olarak öğrenilebilir (örneğin, türevin özünü araştırmaya zaman/arzu olmadığında). "Geleneksel" yöntemi kullanarak türevleri bulabilmek de son derece arzu edilir (ancak yine de gerekli değildir) - en azından iki temel ders düzeyinde: Karmaşık bir fonksiyonun türevi ve türevi nasıl bulunur?

Ama artık onsuz kesinlikle yapamayacağımız bir şey var; o da fonksiyon sınırları. Limitin ne olduğunu ANLAMALI ve en azından orta düzeyde çözebilmelisiniz. Ve bunların hepsi türev olduğu için

bir noktadaki fonksiyon aşağıdaki formülle belirlenir:

Size isimleri ve terimleri hatırlatmama izin verin: diyorlar argüman artışı;

– fonksiyon artışı;

- Bu BİRLEŞİK semboller(“delta”, “X” veya “Y”den “yırtılamaz”).

Açıkçası, “dinamik” bir değişken olan bir sabittir ve limit hesaplamasının sonucudur. - sayı (bazen - “artı” veya “eksi” sonsuz).

Bir nokta olarak, ait olan HERHANGİ bir değeri düşünebilirsiniz. tanım alanı türevinin mevcut olduğu fonksiyon.

Not: "Türevin bulunduğu yer" cümlesi genel olarak önemlidir! Yani, örneğin bir nokta bir fonksiyonun tanım tanım kümesinde yer almasına rağmen onun türevi

orada yok. Bu nedenle formül

şu an için geçerli değil

ve çekincesiz kısaltılmış bir formülasyon yanlış olacaktır. Benzer gerçekler, grafikte "kesintiler" bulunan diğer fonksiyonlar, özellikle de arksinüs ve arkkosinüs için de geçerlidir.

Böylece değiştirdikten sonra ikinci çalışma formülünü elde ederiz:

Çaydanlığın kafasını karıştırabilecek sinsi bir duruma dikkat edin: Bu limitte kendisi de bağımsız bir değişken olan “x” istatistik rolü oynar ve “dinamik” yine artışla belirlenir. Limit hesaplamasının sonucu

türev fonksiyonudur.

Yukarıdakilere dayanarak, iki tipik sorunun koşullarını formüle ediyoruz:

- Bulmak bir noktada türev türev tanımını kullanarak.

- Bulmak türev fonksiyonu türev tanımını kullanarak. Gözlemlerime göre bu versiyon çok daha yaygın ve asıl dikkat edilecek.

Görevler arasındaki temel fark, ilk durumda sayıyı bulmanız gerektiğidir. (isteğe bağlı olarak sonsuz) ve ikincisinde –

işlev Ayrıca türev hiç mevcut olmayabilir.

Nasıl ?

Bir oran oluşturun ve limiti hesaplayın.

Nereden geldi? türev tablosu ve türev alma kuralları ? Tek sınır sayesinde

Büyü gibi görünüyor ama

gerçekte - el çabukluğu ve sahtekarlık yok. sınıfta Türev nedir? bakmaya başladım spesifik örnekler burada tanımı kullanarak doğrusal ve türevlerini buldum ikinci dereceden fonksiyon. Bilişsel ısınma amacıyla rahatsız etmeye devam edeceğiz türev tablosu Algoritmayı ve teknik çözümleri geliştirmek:

Aslında kanıtlamanız gerekiyor özel durum Genellikle tabloda görünen bir güç fonksiyonunun türevi: .

Çözüm teknik olarak iki şekilde resmileştirilmiştir. Zaten tanıdık olan ilk yaklaşımla başlayalım: merdiven bir tahtayla başlar ve türev fonksiyonu bir noktadaki türevle başlar.

ait bazı (belirli) noktaları düşünün. tanım alanı Türevin mevcut olduğu fonksiyon. Bu noktada artışı ayarlayalım. (elbette kapsam dahilinde o/o -ya) ve fonksiyonun karşılık gelen artışını oluşturun:

Limiti hesaplayalım:

0:0 belirsizliği, M.Ö. 1. yüzyıldan kalma standart bir teknikle ortadan kaldırılıyor. Haydi çarpalım

eşlenik ifadenin pay ve paydası :

Böyle bir limiti çözme tekniği şu adreste ayrıntılı olarak tartışılmaktadır: giriş dersi fonksiyonların sınırları hakkında.

Aralığın HERHANGİ bir noktasını seçebileceğiniz için

Ardından, değişimi yaptıktan sonra şunu elde ederiz:

Logaritmalara bir kez daha sevinelim:

Türev tanımını kullanarak bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm: Aynı görevi gerçekleştirmek için farklı bir yaklaşım düşünelim. Tamamen aynı ama tasarım açısından daha rasyonel. Fikir kurtulmaktır

alt simge ve harf yerine harf kullanın.

A'ya ait rastgele bir noktayı düşünün tanım alanı fonksiyon (aralık) ve içindeki artışı ayarlayın. Ancak bu arada, çoğu durumda olduğu gibi burada da herhangi bir çekince olmadan yapabilirsiniz, çünkü logaritmik fonksiyon tanım alanının herhangi bir noktasında türevlenebilir.

Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen artışı şöyledir:

Türevini bulalım:

Tasarımın sadeliği, ortaya çıkabilecek karışıklıkla dengelenmiştir.

yeni başlayanlar arasında meydana gelir (ve sadece değil). Sonuçta limitte “X” harfinin değişmesine alışkınız! Ancak burada her şey farklı: - antika bir heykel ve - müze koridorunda hızlı adımlarla yürüyen yaşayan bir ziyaretçi. Yani “x” “sabit gibidir”.

Belirsizliğin adım adım ortadan kaldırılması konusunda yorum yapacağım:

(1) Logaritma özelliğini kullanma.

(2) Parantez içinde payı paydaya, terime ve terime bölün.

(3) Paydada yapay olarak "x" ile çarpıp bölüyoruz, böylece

harika limitten yararlanın , iken sonsuz küçük davranır.

Cevap: Bir türevin tanımı gereği:

Veya kısaca:

Kendiniz iki tablo formülü daha oluşturmayı öneriyorum:

Tanıma göre türevi bulun

İÇİNDE bu durumda oluşan artışı hemen yönlendirmek uygundur ortak payda. Yaklaşık örnek Dersin sonunda ödevi tamamlamak (ilk yöntem).

Tanıma göre türevi bulun

Ve burada her şeyin dikkate değer bir sınıra indirgenmesi gerekiyor. Çözüm ikinci şekilde resmileştirilmiştir.

Bir dizi başka tablosal türevler. Tam listeşurada bulunabilir okul ders kitabı veya örneğin Fichtenholtz'un 1. cildi. Farklılaşma kurallarının kanıtlarını kitaplardan kopyalamanın pek bir manasını görmüyorum - bunlar da oluşturulmuş

formül

Gerçekte karşılaşılan görevlere geçelim: Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun türev tanımını kullanarak

Çözüm: İlk tasarım stilini kullanın. Ait olduğu bir noktayı düşünelim ve argümanın artışını buna göre ayarlayalım. Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen artışı şöyledir:

Belki bazı okuyucular, artışların yapılması gereken prensibi henüz tam olarak anlamamışlardır. Bir nokta (sayı) alın ve içindeki fonksiyonun değerini bulun: yani fonksiyona

"X" yerine değiştirmelisiniz. Şimdi alalım

Derlenmiş işlev artışı Hemen basitleştirmek faydalı olabilir. Ne için? Çözümü kolaylaştırın ve daha da kısaltın.

Formüller kullanıyoruz, parantezleri açıyoruz ve kısaltılabilecek her şeyi kısaltıyoruz:

Hindinin içi çıkarılmış, kızartmada sorun yok:

Sonuç olarak:

Herhangi bir kaliteyi seçebileceğiniz için gerçek sayı, sonra değiştirmeyi yaparız ve alırız .

Cevap : tanımı gereği.

Doğrulama amacıyla, kuralları kullanarak türevi bulalım

farklılaşma ve tablolar:

Doğru cevabı önceden bilmek her zaman yararlı ve keyiflidir, bu nedenle önerilen işlevi çözümün en başında zihinsel olarak veya taslak halinde "hızlı" bir şekilde farklılaştırmak daha iyidir.

Türev tanımına göre bir fonksiyonun türevini bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Sonuç açıktır:

Stil #2'ye geri dönelim: Örnek 7

Ne olması gerektiğini hemen öğrenelim. İle karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralı:

Çözüm: düşünün keyfi nokta, ait, içindeki argümanın artışını ayarlayın ve artışı telafi edin

Türevini bulalım:

(1) Trigonometrik formülü kullanıyoruz

(2) Sinüs altında parantezleri açıyoruz, kosinüs altında benzer terimleri sunuyoruz.

(3) Sinüs altında terimleri iptal ederiz, kosinüs altında payı paydaya terime böleriz.

(4) Sinüsün tuhaflığından dolayı “eksi”yi çıkarıyoruz. Kosinüs altında

terimi olduğunu belirtiyoruz.

(5) Paydayı kullanabilmek için yapay çarpma işlemi yapıyoruz. Birinci harika sınır . Böylece belirsizlik ortadan kalktı, sonucu düzeltelim.

Cevap: Tanım gereği Gördüğünüz gibi, ele alınan problemin temel zorluğu,

çok sınırlı karmaşıklık + ambalajın hafif özgünlüğü. Pratikte her iki tasarım yöntemi de ortaya çıkıyor, bu yüzden her iki yaklaşımı da mümkün olduğunca ayrıntılı olarak açıklıyorum. Bunlar eşdeğerdir, ancak yine de benim öznel izlenimime göre, aptalların "X-sıfır" ile 1. seçeneğe bağlı kalması daha tavsiye edilir.

Tanımı kullanarak fonksiyonun türevini bulun

Bu sizin kendi başınıza çözmeniz gereken bir görevdir. Örnek, önceki örnekle aynı ruhla tasarlanmıştır.

Sorunun daha nadir bir versiyonuna bakalım:

Türev tanımını kullanarak bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Öncelikle sonuç ne olmalı? Sayı Cevabı standart yöntemle hesaplayalım:

Çözüm: Açıklık açısından bakıldığında bu görev çok daha basittir, çünkü formülde

belirli bir değer dikkate alınır.

Noktadaki artışı ayarlayalım ve fonksiyonun karşılık gelen artışını oluşturalım:

Bu noktada türevi hesaplayalım:

Çok nadir bir teğet fark formülü kullanıyoruz ve bir kez daha çözümü birinciye indirgiyoruz

dikkate değer sınır:

Cevap: Bir noktadaki türevin tanımı gereği.

Sorunun "genel olarak" çözülmesi o kadar da zor değil - çiviyi değiştirmek veya sadece tasarım yöntemine bağlı olarak yeterlidir. Bu durumda sonucun bir sayı değil, türetilmiş bir fonksiyon olacağı açıktır.

Örnek 10 Tanımı kullanarak fonksiyonun türevini bulun bu noktada

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Son bonus görevi öncelikle matematiksel analiz konusunda derinlemesine eğitim almış öğrencilere yöneliktir, ancak başkalarına da zarar vermeyecektir:

Fonksiyon diferansiyellenebilir mi? bu noktada?

Çözüm: Parçalı olarak verilen bir fonksiyonun bir noktada sürekli olduğu açıktır ancak orada türevlenebilir mi?

Çözüm algoritması ve yalnızca parçalı fonksiyonlar, şu:

1) Belirli bir noktada soldan türevi bulun: .

2) Verilen bir noktada sağdan türevi bulun: .

3) Tek taraflı türevler sonluysa ve çakışıyorsa:

, o zaman fonksiyon bu noktada diferansiyellenebilir

geometrik olarak burada ortak bir teğet vardır (bkz. teorik kısım ders Türevin tanımı ve anlamı).

İki tane alınırsa farklı anlamlar: (bunlardan biri sonsuz olabilir) ise fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

Her iki tek taraflı türev de sonsuza eşitse

(farklı işaretlere sahip olsalar bile), o zaman fonksiyon değildir

noktada türevlenebilir, ancak sonsuz bir türev ve grafiğe ortak bir dikey teğet vardır (bkz. örnek ders 5Normal denklem) .

Karar vermek fiziksel görevler veya matematikteki örnekler, türev ve onu hesaplama yöntemleri hakkında bilgi olmadan tamamen imkansızdır. Türev aşağıdakilerden biridir en önemli kavramlar matematiksel analiz. Bu temel konu Bugünün makalesini adamaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.

Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:

Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.

Türevin fiziksel anlamı: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Ortalama hız belirli bir süre için:

Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: bir sabit belirleyin

Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.

Fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.

Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. İçin kısa vadeli Daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testleri çözmenize ve problemleri çözmenize yardımcı olacağız.