Matematik Bilimleri. Değişkenlerin matematiği dönemi

İncelenmekte olan nesnelerin idealleştirilmiş özellikleri ya aksiyomlar biçiminde formüle edilir ya da karşılık gelen tanımın tanımında listelenir. matematiksel nesneler. Daha sonra, katı mantıksal çıkarım kurallarına göre, bu özelliklerden diğer gerçek özellikler (teoremler) çıkarılır. Bu teori birlikte incelenen nesnenin matematiksel bir modelini oluşturur. Böylece, başlangıçta mekansal ve niceliksel ilişkilere dayalı olarak matematik, çalışması da konusu olan daha soyut ilişkiler alır. modern matematik.

Geleneksel olarak matematik, matematik içi yapıların derinlemesine analizini gerçekleştiren teorik olarak ayrılır ve modellerini diğer bilimlere ve mühendislik disiplinlerine sağlayan, bazıları matematiğin sınırında bir konuma sahip olan uygulanır. Özellikle biçimsel mantık hem felsefi bilimlerin bir parçası hem de felsefi bilimlerin bir parçası olarak düşünülebilir. matematik bilimleri; mekanik - hem fizik hem de matematik; bilgisayar Bilimi, bilgisayar teknolojisi ve algoritmik hem mühendislik hem de matematik bilimleri vb. ile ilgilidir. Literatürde birçoğu önerilmiştir. farklı tanımlar matematik (bkz.).

etimoloji

“Matematik” kelimesi eski Yunancadan gelmektedir. μάθημα (matematik), yani ders çalışıyor, bilgi, bilim, vb.-Yunanca. μαθηματικός (matematik matematikleri), orijinal anlamı anlayışlı, başarılı, Daha sonra çalışmaya uygun, daha sonra matematikle ilgili. özellikle, μαθηματικὴ τέχνη (matematikḗ teknik), Latince ars matematik, araç matematik sanatı.

Tanımlar

Matematik alanı yalnızca düzen veya ölçünün dikkate alındığı bilimleri içerir ve bunların sayı, şekil, yıldız, ses veya bu ölçünün arandığı herhangi bir şey olması hiç önemli değildir. Bu nedenle, bazı şeyler olmalı genel bilim Herhangi bir özel konunun çalışmasına girmeden, düzen ve ölçü ile ilgili her şeyi açıklayan ve bu bilime yabancı değil, halihazırda kullanıma girmiş olan Evrensel Matematiğin eski adı olarak adlandırılmalıdır.

İÇİNDE Sovyet dönemi A. N. Kolmogorov tarafından verilen TSB'nin tanımı klasik kabul edildi:

Matematik... gerçek dünyanın niceliksel ilişkilerinin ve mekansal biçimlerinin bilimi.

Matematiğin özü... artık nesneler arasındaki ilişkilerin doktrini olarak sunuluyor; onları tanımlayan bazı özellikler dışında hakkında hiçbir şey bilinmiyor - tam olarak aksiyomlar olarak teorinin temelini oluşturanlar... Matematik bir set soyut formlar- matematiksel yapılar.

Birkaç modern tanım daha verelim.

Modern teorik (“saf”) matematik, matematiksel yapıların, çeşitli sistem ve süreçlerin matematiksel değişmezlerinin bilimidir.

Matematik, standart (kanonik) bir forma indirgenebilecek modellerin hesaplanmasına olanak sağlayan bir bilimdir. Analitik modellere (analiz) biçimsel dönüşümler yoluyla çözüm bulma bilimi.

Matematiğin bölümleri

1. Matematik nasıl akademik disiplin alt bölümlere ayrılmıştır Rusya Federasyonu ortaokulda okutulan ve disiplinlerden oluşan ilköğretim matematiğine:

• temel geometri: planimetri ve stereometri
• teori temel işlevler ve analiz unsurları

4. Amerikan Matematik Derneği (AMS), matematik dallarını sınıflandırmak için kendi standardını geliştirmiştir. Buna Matematik Konu Sınıflandırması denir. Bu standart periyodik olarak güncellenmektedir. Güncel sürüm MSC 2010'dur. Önceki sürüm MSC 2000'dir.

Tanımlar

Matematik son derece çeşitli ve oldukça karmaşık yapılarla ilgilendiği için gösterim sistemi de oldukça karmaşıktır. Modern sistem formüllerin kaydı, Avrupa cebir geleneğinin yanı sıra matematiksel analiz (fonksiyon kavramı, türev vb.) temel alınarak oluşturulmuştur. Çok eski zamanlardan beri geometri görsel (geometrik) bir temsil kullanmıştır. Modern matematikte karmaşık grafik sistemleri gösterimlerin (değişmeli diyagramlar gibi) yanı sıra, grafik tabanlı gösterim de sıklıkla kullanılır.

Kısa tarih

Matematiğin gelişimi yazmaya ve sayıları yazma becerisine dayanır. Muhtemelen eski insanlar miktarları ilk kez yere çizerek veya tahtaya çizerek ifade ettiler. Başka bir yazı sistemi olmayan eski İnkalar, sayısal verileri kullanarak temsil ediyor ve saklıyordu. karmaşık sistem kipu denilen ip düğümleri. Pek çok farklı sayı sistemi vardı. Bilinen ilk sayı kayıtları Orta Krallık Mısırlıları tarafından oluşturulan Ahmes Papirüsü'nde bulundu. İndus uygarlığı, sıfır kavramını içeren modern ondalık sayı sistemini geliştirdi.

Tarihsel olarak, temel matematik disiplinleri, ticari alanda, arazi ölçümünde, astronomik olayları tahmin etmede ve daha sonra yeni problemleri çözmede hesaplamalar yapma ihtiyacından doğmuştur. fiziksel problemler. Bu alanların her biri, yapılar, uzaylar ve değişimlerin incelenmesinden oluşan matematiğin geniş gelişiminde büyük bir rol oynamaktadır.

Matematik felsefesi

Hedefler ve yöntemler

Matematik hayali, ideal nesneleri ve bunlar arasındaki ilişkileri inceler. resmi dil. İÇİNDE genel durum matematiksel kavramlar ve teoremlerin fiziksel dünyadaki herhangi bir şeyle mutlaka bir karşılığı olması gerekmez. Ana görev uygulamalı matematik dalı - incelenen konuya yeterince uygun bir matematiksel model oluşturmak gerçek nesne. Teorik bir matematikçinin görevi, bu hedefe ulaşmak için yeterli sayıda uygun araç sağlamaktır.

Matematiğin içeriği bir sistem olarak tanımlanabilir. matematiksel modeller ve bunları oluşturmaya yönelik araçlar. Bir nesnenin modeli, tüm özelliklerini dikkate almaz, yalnızca çalışma amaçları için en gerekli olanları (idealleştirilmiş) dikkate alır. Örneğin, ders çalışmak fiziksel özellikler turuncu, renginden ve tadından soyutlayıp onu (tam olarak doğru olmasa da) bir top olarak hayal edebiliriz. İki ve üçü topladığımızda kaç portakal elde edeceğimizi anlamamız gerekiyorsa, o zaman şekilden soyutlayarak modeli tek bir karakteristikle, yani nicelikle bırakabiliriz. Soyutlama ve nesneler arasındaki bağlantıların kurulması genel görünüm- matematiksel yaratıcılığın ana yönlerinden biri.

Soyutlamanın yanı sıra bir diğer yön genellemedir. Örneğin “uzay” kavramını n boyutlu bir uzaya genellemek. " Uzay matematiksel bir buluştur. Ancak matematiksel açıdan karmaşık olguların anlaşılmasına yardımcı olan çok ustaca bir buluştur.».

Matematik içi nesnelerin incelenmesi, kural olarak, aksiyomatik yöntem kullanılarak gerçekleşir: önce, incelenen nesneler için temel kavramların ve aksiyomların bir listesi formüle edilir ve daha sonra, birlikte çıkarım kuralları kullanılarak aksiyomlardan anlamlı teoremler elde edilir. matematiksel bir model oluşturur.

Gerekçeler

Matematiğin özü ve temelleri sorunu Platon'dan beri tartışılmaktadır. 20. yüzyıldan bu yana, neyin kesin matematiksel kanıt olarak kabul edilmesi gerektiği konusunda göreceli bir fikir birliği var, ancak matematikte neyin doğası gereği doğru olduğu konusunda çok az fikir birliği var. Bu durum hem aksiyomatik sorularda hem de matematik dallarının birbiriyle bağlantısında ve ispatlarda kullanılması gereken mantıksal sistemlerin seçiminde anlaşmazlıklara yol açmaktadır.

Bu konuya şüpheci yaklaşımların yanı sıra aşağıdaki yaklaşımlar da bilinmektedir.

Küme teorik yaklaşımı

Tüm matematiksel nesnelerin küme teorisi çerçevesinde, çoğunlukla Zermelo-Frenkel aksiyomatikleriyle (buna eşdeğer başka birçok şey olmasına rağmen) dikkate alınması önerilmektedir. Bu yaklaşımın 20. yüzyılın ortalarından bu yana baskın olduğu düşünülüyor, ancak gerçekte çoğu matematik çalışması, ifadelerini katı bir şekilde küme teorisinin diline çevirmek için yola çıkmıyor, matematiğin bazı alanlarında oluşturulan kavram ve gerçeklerle çalışıyor. Dolayısıyla küme teorisinde bir çelişki keşfedilirse bu, sonuçların çoğunun geçersiz kılınması anlamına gelmez.

Mantıkçılık

Bu yaklaşım, matematiksel nesnelerin kesin bir şekilde yazıldığını varsayar. Küme teorisinde yalnızca özel hilelerle kaçınılan birçok paradoks, prensipte imkansız hale gelir.

Biçimcilik

Bu yaklaşım, klasik mantığa dayalı biçimsel sistemlerin incelenmesini içerir.

Sezgicilik

Sezgicilik, matematiğin, kanıtlama araçları açısından daha sınırlı olan (ancak daha güvenilir olduğuna inanılan) sezgisel mantığa dayandığını varsayar. Sezgicilik çelişki yoluyla ispatı reddeder, yapıcı olmayan birçok ispat imkansız hale gelir ve küme teorisindeki birçok problem anlamsız hale gelir (formalize edilemez).

Yapıcı matematik

Yapıcı matematik, yapıcı yapıları inceleyen, sezgiciliğe yakın bir matematik hareketidir. açıklamak] . Yapıcılık kriterine göre - “ var olmak inşa edilmek demektir" Yapıcılık kriteri tutarlılık kriterinden daha güçlü bir gerekliliktir.

Ana konular

Sayılar

"Sayı" kavramı başlangıçta doğal sayılara atıfta bulunuyordu. Daha sonra yavaş yavaş tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık ve diğer sayıları kapsayacak şekilde genişletildi.

Dönüşümler

Ayrık matematik

Bilgi sınıflandırma sistemlerindeki kodlar

Çevrimiçi hizmetler

Var büyük sayı Matematiksel hesaplamalar için hizmet sağlayan siteler. Çoğu İngilizce konuşuyor. Rusça konuşulanlar arasında matematiksel sorgulama hizmetini not edebiliriz. arama motoru Nigma.

Ayrıca bakınız

Notlar

1. Ansiklopedi Britannica
2. Webster'ın Çevrimiçi Sözlüğü
3. Bölüm 2. Bilim dili olarak matematik. Sibirya açık üniversite. 2 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Ekim 2010.
4. Büyük Antik Yunanca Sözlüğü (αω)
5. XI-XVII yüzyılların Rus dili sözlüğü. Sayı 9 / Böl. ed. F. P. Filin. - M .: Bilim, 1982. - S. 41.
6. Descartes R. Zihni yönlendirmenin kuralları. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
7. Bakınız: Matematik TSB
8. Marx K., Engels F. Denemeler. 2. baskı. T.20. S.37.
9. Burbaki N. Matematiğin mimarisi. Matematik tarihi üzerine denemeler / Çeviri: I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. Kazyev V.M. Matematiğe Giriş
11. Mukhin O. I. Sistem Modelleme öğretici. İzin: RCI PSTU.
12. Hermann Weil // Klein M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
13. Durum eğitim standardı daha yüksek mesleki eğitim. Uzmanlık 01.01.00. "Matematik". Nitelik - Matematikçi. Moskova, 2000 (O. B. Lupanov yönetiminde derlenmiştir)
14. Rusya Eğitim ve Bilim Bakanlığı'nın 25 Şubat 2009 tarih ve 59 sayılı emriyle onaylanan bilimsel çalışanların uzmanlıklarının isimlendirilmesi
15. UDC 51 Matematik
16. Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolsky. Elemanlar doğrusal cebir Ve analitik geometri. M.: Nauka, 1988. S. 44.
17. N. I. Kondakov. Mantıksal sözlük-referans kitabı. M.: Nauka, 1975. S. 259.
18. G. I. Ruzavin. Matematiksel bilginin doğası üzerine. M.: 1968.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Örneğin: http://mathworld.wolfram.com

Edebiyat

• //
• // Brockhaus ve Efron'un Ansiklopedik Sözlüğü: 86 ciltte (82 cilt ve 4 ek cilt). - St.Petersburg. , 1890-1907.
• Matematik Ansiklopedisi (5 cilt), 1980'ler. // EqWorld'de matematik üzerine genel ve özel referans kitapları
• Kondakov N.I. Mantıksal sözlük referans kitabı. M.: Nauka, 1975.
• Matematik Bilimleri Ansiklopedisi ve Uygulamaları (Almanca) 1899-1934. (19. yüzyıl edebiyatının en büyük araştırması)

• G. Korn, T. Korn. Bilim adamları ve mühendisler için matematik el kitabı M., 1973.

• Klein M. Matematik. Kesinlik kaybı. - M.: Mir, 1984.
• Klein M. Matematik. Gerçeği arayın. M.: Mir, 1988.
• Klein F. Daha yüksek bir bakış açısıyla temel matematik.

• Cilt I. Aritmetik. Cebir. Analiz M.: Nauka, 1987. 432 s.
• Cilt II. Geometri M.: Nauka, 1987. 416 s.

• Courant R., G. Robbins. Matematik nedir? 3. baskı, rev. ve ek - M.: 2001. 568 s.
• Pisarevsky B.M., Kharin V.T. Matematik, matematikçiler ve daha fazlası hakkında. - M.: Binom. Bilgi Laboratuvarı, 2012. - 302 s.
• Poincare A. Bilim ve yöntem (Rusça) (Fransızca)

Bu bilimin çok uzun zaman önce, neredeyse medeniyetin şafağında ortaya çıkmasına rağmen, bugün bile matematiğin ne olduğu sorusunun net bir cevabı yok. Zaman geçtikçe zenginleşti, çevredeki dünyanın yasaları olarak giderek daha yerleşik ve güncel hale geldi.

Matematiğin uygulama ile çok yönlü bağlantılarının genişlemesi ve değişmesi sayesinde insanlığa doğanın belirli yasalarını keşfetme ve kullanma konusunda eşsiz bir fırsat verilmektedir. İÇİNDE şimdiki zaman gerçekten teknoloji ve bilimin güçlü ve güçlü bir motorudur.

Birçok kişi bu konuyla ilgileniyor ancak bu soruyu cevaplamak kolay değil. Elbette herkes kendi seviyesine bağlı olarak kendi cevabını verebilir. matematik bilgisi. Öğrenci için lise bu aritmetik, cebir, geometri ve analiz ilkelerinin genelleştirilmiş adıdır. Öğrenci için teknik üniversite bu birkaç düzine ayrı bölümden oluşan bir bilimdir.

Modern matematik geliştikçe sürekli olarak yeni bilgilerle zenginleştiğinden, bu tür bölümlerin sayısının zaman içinde sürekli arttığına dikkat edilmelidir. Küçük bir çocuk için bu bilim sayma yeteneğinde yatmaktadır. Ancak tüm hayatımız, çeşitli matematik problemlerinin çözümüyle ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır.

Matematiğin ne olduğunun tanımına benzer şekilde, bu bilimin konusunun da genel kabul görmüş net bir tanımı yoktur. Geçmişte bu tür sorunların çözümünün miktarları veya sayıları ölçmek olduğuna inanılıyordu. Ancak bir süre sonra matematiğin sonsuz niceliklerin incelenmesi olarak bir tanımı ortaya çıktı.

Modern dünya matematiği matematiksel yapıların bilimi olarak görüyor. Bu terim grup tarafından tanıtıldı Fransız matematikçiler, dünyaca bilinen Bourbaki takma adı altında.

Bu bilim keyfi bir düşünce yaratımı değildir. Nesnel dünyayı biraz soyut bir şekilde gösterir. Çalışmaları doğrudan olgulardan soyutlanarak elde edilen kavramlara dayanmaktadır. gerçek dünya ve ayrıca önceki soyutlamalardan.

Bu tür soyutlamaların ortaya çıkması gerçeklikle yakından ilgilidir. Üstelik birine veya diğerine karar verdikten sonra matematik problemi sonucu kaydedilir ve daha sonra çeşitli olaylara uygulanır, fiziksel doğa bunlar birbirinden önemli ölçüde farklıdır.

Örneğin, matematik çalışmak çoğu zaman problem çözmekten ibarettir belirli görevler: bakteriyel büyüme, atmosferik basıncın nasıl değiştiği veya radyoaktif bozunma oranının nasıl belirleneceği. Bu durumda tüm bu sorunların çözümü aynı kapıya çıkıyor. diferansiyel denklem.

Böyle bir soyutluğu sadece anlamak değil, aynı zamanda bir yetişkin için ve hatta bir öğrenci için hissetmek de oldukça zordur. Bu nedenle matematik çalışmasının herkes için erişilebilir olmasını sağlamak çok önemlidir. Bu da açıklama kolaylığını kaybetmeden spesifiklik ve soyutluk, sezgisellik ve kesinlik arasındaki dengeyi korumayı gerektirir. karmaşık kavramlar.

Elbette bugün matematiğin ne olduğu hakkında fikri olmayan birini bulmak zor. Ancak, kural olarak, birçok kişi yanlışlıkla bunun sadece aritmetik olduğuna inanıyor; bu, çarpma veya bölme gibi sayıların ve onların yardımıyla belirli işlemlerin incelenmesini içeriyor.

Ama daha derine inerseniz bu bilim Aslında bu kavramın çok daha kapsamlı olduğunu anlayabilirsiniz. Sonuçta matematik dünyayı tanımlamanın ve onun bazı parçalarını diğerleriyle birleştirmenin eşsiz bir yoludur. İÇİNDE matematiksel semboller Evreni anlatırken sayılar arasındaki ilişkiler ifade edilir.

Ancak bu ayrı bir sorudur. Böyle bir süreç sabır, istek ve dikkat gerektirir. Ancak her şey o kadar karmaşık değil. “Sayı duyusunun” doğuştan gelen bir yetenek olduğu kanıtlandığından herkesin matematikte başarılı olması yaygındır.

Ne yazık ki aksiyomları, teoremleri ve formülleri ezberlemek herhangi bir sonuç vermeyecektir. Önemli olan matematik teorisinin özünü ve yasalarını anlamaktır. VE özel ilgi yapılan açıklamalardan sonuç çıkarma becerisini gerektirir.

Matematik çok uzun zaman önce ortaya çıktı. Adam meyve topladı, meyveleri çıkardı, balık tuttu ve hepsini kış için sakladı. Ne kadar yiyeceğin depolandığını anlamak için insan saymayı icat etti. Matematik böyle ortaya çıkmaya başladı.

Daha sonra insan çiftçilikle uğraşmaya başladı. Arazileri ölçmek, evler inşa etmek, zamanı ölçmek gerekiyordu.

Yani kişinin gerçek dünyanın niceliksel ilişkisini kullanması zorunlu hale geldi. Ne kadar hasat yapıldığını, inşaat arsasının boyutunu veya belirli sayıda parlak yıldızın bulunduğu gökyüzü alanının ne kadar büyük olduğunu belirleyin.

Ayrıca insanoğlu, yuvarlak güneş, kare kutu, oval göl gibi şekilleri ve bu nesnelerin uzayda nasıl konumlandırıldığını belirlemeye başladı. Yani kişi gerçek dünyanın mekansal biçimleriyle ilgilenmeye başladı.

Böylece kavram matematik gerçek dünyanın niceliksel ilişkilerinin ve mekansal biçimlerinin bilimi olarak tanımlanabilir.

Şu anda matematik olmadan yapılabilecek tek bir meslek yok. “Matematiğin Kralı” olarak anılan ünlü Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss bir zamanlar şöyle demişti:

“Matematik bilimlerin kraliçesidir, aritmetik ise matematiğin kraliçesidir.”

"Aritmetik" kelimesi Yunanca "arithmos" - "sayı" kelimesinden gelir.

Böylece, aritmetik sayıları ve onlar üzerindeki işlemleri inceleyen bir matematik dalıdır.

İÇİNDE ilkokul Her şeyden önce aritmetik çalışıyorlar.

Bu bilim nasıl gelişti, gelin bu soruyu araştıralım.

Matematiğin doğuş dönemi

Matematiksel bilginin temel birikiminin M.Ö. 5. yüzyıl öncesi dönem olduğu kabul edilmektedir.

Matematiksel önermeleri kanıtlamaya başlayan ilk kişi - Antik Yunan düşünürü MÖ 7. yüzyılda, muhtemelen 625 - 545 yılları arasında yaşamış. Bu filozof Doğu ülkelerine seyahat etti. Gelenekler onun Mısırlı rahipler ve Babilli Keldanilerden eğitim aldığını söylüyor.

Miletoslu Thales, temel geometrinin ilk kavramlarını Mısır'dan Yunanistan'a getirdi: çap nedir, üçgeni ne belirler vb. O tahmin etti güneş tutulması, tasarlanmış mühendislik yapıları.

Bu dönemde aritmetik giderek gelişti, astronomi ve geometri gelişti. Cebir ve trigonometri doğdu.

İlköğretim matematik dönemi

Bu dönem M.Ö. VI'dan itibaren başlar. Artık matematik, teorileri ve kanıtları olan bir bilim olarak ortaya çıkıyor. Sayılar teorisi, miktarlar ve bunların ölçümü doktrini ortaya çıkıyor.

En ünlü matematikçi bu sefer Öklid. MÖ 3. yüzyılda yaşamıştır. Bu adam, matematik üzerine bize ulaşan ilk teorik incelemenin yazarıdır.

Öklid'in çalışmalarında sözde Öklid geometrisinin temelleri verilmiştir - bunlar gibi temel kavramlara dayanan aksiyomlardır.

Sırasında ilköğretim matematik sayılar teorisinin yanı sıra miktarlar ve bunların ölçümü doktrini doğdu. İlk kez olumsuz ve irrasyonel sayılar.

Bu sürenin sonunda cebirin gerçek hesap olarak oluşumu gözlenir. “Cebir” biliminin kendisi Araplar arasında denklem çözme bilimi olarak karşımıza çıkıyor. Arapçadan tercüme edilen "cebir" kelimesi "restorasyon", yani transfer anlamına gelir. negatif değerler denklemin diğer tarafına.

Değişkenlerin matematiği dönemi

Bu dönemin kurucusunun MS 17. yüzyılda yaşayan Rene Descartes olduğu kabul edilmektedir. Descartes yazılarında ilk olarak değişken miktar kavramını ortaya attı.

Bu sayede bilim insanları araştırma yapmaktan uzaklaşıyor sabit değerler değişkenler arasındaki bağımlılıkların incelenmesi ve matematiksel açıklama hareketler.

Bu dönem en canlı şekilde Friedrich Engels'in yazdığı yazılarında karakterize edilmiştir:

“Matematiğin dönüm noktası Kartezyen değişkendi. Bunun sayesinde hareket ve dolayısıyla diyalektik matematiğe girdi ve bu sayede hemen ortaya çıkan ve büyük ölçüde tamamlanmış ve Newton ve Leibniz tarafından icat edilmeyen diferansiyel ve integral hesabı hemen gerekli hale geldi.

Modern matematik dönemi

20'de yıl XIX yüzyılda Nikolai İvanoviç Lobaçevski, Öklid dışı geometri denilen şeyin kurucusu olur.

Bu andan itibaren modern matematiğin en önemli dallarının gelişimi başlıyor. Olasılık teorisi, küme teorisi, matematiksel istatistik vb.

Tüm bu keşifler ve araştırmalar çoğu alanda geniş uygulama alanı bulmaktadır. farklı alanlar bilim.

Ve günümüzde matematik bilimi hızla gelişiyor, matematiğin konusu genişliyor, yeni formlar ve ilişkiler dahil ediliyor, yeni teoremler kanıtlanıyor, temel kavramlar derinleşiyor.

MATEMATİK – gerçek dünyanın niceliksel ilişkilerinin ve mekansal biçimlerinin bilimi; Yunanca kelime(matematik) Yunanca “bilgi”, “bilim” anlamına gelen (mathema) sözcüğünden gelir.

Matematik eski zamanlarda insanların pratik ihtiyaçlarından doğmuştur. İçeriği ve karakteri tarih boyunca değişmiştir ve değişmeye de devam etmektedir. Pozitif bir tam sayının temel konu kavramlarından ve ayrıca bir doğru parçası kavramından en kısa mesafe iki nokta arasında matematik, soyut bir bilim haline gelene kadar uzun bir gelişim sürecinden geçmiştir. spesifik yöntemler araştırma.

Modern mekansal form anlayışı çok geniştir. Üç boyutlu uzayın geometrik nesnelerinin (düz çizgi, daire, üçgen, koni, silindir, top vb.) yanı sıra çok sayıda genellemeyi de içerir - çok boyutlu ve sonsuz boyutlu uzay kavramları ve ayrıca geometrik nesneler. onlar ve çok daha fazlası. Aynı şekilde, niceliksel ilişkiler de artık yalnızca pozitif tamsayılarla veya pozitif tamsayılarla ifade edilmiyor. rasyonel sayılar ama aynı zamanda yardımıyla karmaşık sayılar, vektörler, fonksiyonlar vb. Bilim ve teknolojinin gelişimi, matematiği mekansal formlar ve niceliksel ilişkiler hakkındaki fikirlerini sürekli olarak genişletmeye zorlar.

Matematiğin kavramları belirli olgulardan ve nesnelerden soyutlanmıştır; soyutlama sonucu elde edilirler kalite özellikleri, spesifik bu çevrenin fenomenler ve nesneler. Bu durum matematik uygulamaları için son derece önemlidir. 2 sayısı herhangi bir spesifik konu içeriğiyle ayrılmaz bir şekilde bağlantılı değildir. İki elmaya, iki kitaba veya iki düşünceye atıfta bulunabilir. Bunların hepsine ve diğer sayısız nesneye eşit derecede iyi davranır. Tamamen aynı geometrik özellikler top camdan, çelikten veya stearinden yapıldığı için değişmez. Elbette bir nesnenin özelliklerinden soyutlamak, bu nesne hakkındaki, onun karakteristik maddi özellikleri hakkındaki bilgimizi zayıflatır. Aynı zamanda, tam da bu dikkat dağıtmadır. özel özellikler Bireysel nesneler kavramlara ortaklık kazandırır, olası kullanım matematikten maddi doğanın en çeşitli fenomenlerine. Böylece, aynı matematik yasaları, aynı matematiksel aygıt, doğal olayların, teknik, ekonomik ve sosyal süreçlerin tanımlanmasına oldukça tatmin edici bir şekilde uygulanabilir.

Kavramların soyutluğu değil olağanüstü özellik matematik; herhangi bir bilimsel ve genel kavramlar kendi içlerinde belirli şeylerin özelliklerinden bir soyutlama unsuru taşırlar. Ancak matematikte soyutlama süreci, matematikte olduğundan daha ileri gider. doğa bilimleri; Matematikte farklı düzeylerde soyutlamaların oluşturulması süreci yaygın olarak kullanılmaktadır. Evet konsept gruplar sayıların ve diğerlerinin koleksiyonunun bazı özelliklerinden soyutlanarak ortaya çıktı soyut kavramlar. Matematik aynı zamanda sonuçlarının elde edilme yöntemiyle de karakterize edilir. Bir doğa bilimci, konumunu kanıtlamak için sürekli olarak deneyime başvuruyorsa, o zaman bir matematikçi, sonuçlarını yalnızca mantıksal akıl yürütme yoluyla kanıtlar. Matematikte, mantıksal bir kanıt gerektirmedikçe tek bir sonuç kanıtlanmış sayılamaz ve bu, özel deneyler bu sonucun doğrulanmasını sağlasa bile geçerlidir. Aynı zamanda gerçek matematiksel teoriler uygulama testini de geçer, ancak bu test özel karakter: Matematiğin temel kavramları, belirli uygulama ihtiyaçlarından uzun vadeli kristalleşmelerinin bir sonucu olarak oluşur; mantığın kuralları ancak doğadaki süreçlerin akışının binlerce yıl gözlemlenmesinden sonra geliştirildi; Matematikte teoremlerin formülasyonu ve problemlerin formülasyonu da uygulamanın ihtiyaçlarından kaynaklanmaktadır. Matematik pratik ihtiyaçlardan doğmuş ve zamanla pratikle olan bağlantıları giderek daha çeşitli ve derinleşmiştir.

Prensip olarak matematik, her türlü hareketin ve çok çeşitli olayların incelenmesine uygulanabilir. Aslında onun rolü çeşitli alanlar bilimsel ve pratik aktiviteler aynı değil. Matematiğin gelişimindeki rolü modern fizik, kimya, teknolojinin birçok alanı, genel olarak, spesifik niteliksel özelliklerinden önemli bir soyutlamanın bile, içlerinde var olan niceliksel ve mekansal kalıpları oldukça doğru bir şekilde kavramaya izin verdiği bu fenomenleri incelerken. İçin örnek - matematiksel gök cisimlerinin hareketinin, onların gerçek özelliklerinden önemli soyutlamalara dayalı olarak incelenmesi (örneğin cisimler dikkate alınır). maddi noktalar), gerçek hareketleriyle mükemmel bir tesadüfe yol açtı ve yol açtı. Bu temelde, yalnızca önceden hesaplamak mümkün değildir. göksel olaylar(tutulmalar, gezegenlerin konumları vb.) değil, aynı zamanda daha önce gözlemlenmemiş gezegenlerin varlığını tahmin etmek için hesaplanan hareketlerden gerçek hareketlerin sapması yoluyla da (Plüton 1930'da, Neptün 1846'da bu şekilde keşfedildi). Ekonomi, biyoloji ve tıp gibi bilimlerde matematiğin daha küçük ama yine de önemli bir yeri vardır. Bu bilimlerde incelenen fenomenlerin niteliksel benzersizliği o kadar büyüktür ve akışlarının doğasını o kadar güçlü bir şekilde etkiler ki, matematiksel analiz hala yalnızca ikincil bir rol oynayabilir. Sosyal ve biyolojik bilimler için özellikle önemli olan matematiksel istatistikler. Matematiğin kendisi de doğa bilimlerinin, teknolojinin ve ekonominin gerekliliklerinin etkisi altında gelişir. Evet için son yıllar Pratik ihtiyaçlar temelinde ortaya çıkan bir dizi matematik disiplini oluşturuldu: bilgi teorisi, oyun teorisi vesaire.

Olgu bilgisinin bir aşamasından diğerine, daha doğru olanına geçişin matematiğe yeni talepler getirdiği ve yeni kavramların ve yeni araştırma yöntemlerinin yaratılmasına yol açtığı açıktır. Böylece astronominin salt tanımlayıcı bilgiden kesin bilgiye doğru ilerlemesi, temel kavramların gelişmesine yol açmıştır. trigonometri: MÖ 2. yüzyılda antik Yunan bilim adamı Hipparchus, modern sinüs tablolarına karşılık gelen akor tablolarını derledi; 1. yüzyılda Menelaus ve 2. yüzyılda Claudius Ptolemy'deki eski Yunan bilim adamları temelleri oluşturdular küresel trigonometri.İmalat, navigasyon, topçuluk vb. alanlardaki gelişmelerin getirdiği hareket çalışmalarına artan ilgi, 17. yüzyılda kavramların yaratılmasına yol açtı. matematiksel analiz, yeni matematiğin gelişimi. Yaygın uygulama matematiksel yöntemler Doğa olaylarının incelenmesinde (öncelikle astronomik ve fiziksel) ve teknolojinin gelişmesi (özellikle makine mühendisliği) 18. ve 19. yüzyıllarda hızlı bir gelişmeye yol açtı. teorik mekanik ve teoriler diferansiyel denklemler. Fikirlerin geliştirilmesi moleküler yapı madde hızlı gelişmeye neden oldu olasılık teorisi. Şu anda birçok örnekte yeni yönelimlerin ortaya çıkışını izleyebiliriz. matematiksel araştırma. Başarılar özellikle önemli olarak kabul edilmelidir hesaplamalı matematik ve bilgisayar teknolojisi ve matematiğin birçok dalında ürettiği dönüşümler.

Tarihsel eskiz. Matematik tarihinde önemli niteliksel farklılıkların olduğu dört dönem tespit edilebilir. Bu dönemleri doğru bir şekilde bölmek zordur, çünkü her bir sonraki dönem bir öncekinin içinde gelişmiştir ve dolayısıyla yeni fikirlerin henüz ortaya çıktığı ve henüz ne matematikte ne de uygulamalarında yol gösterici hale gelmediği oldukça önemli geçiş aşamaları olmuştur.

1) Bağımsız bir bilim olarak matematiğin doğuş dönemi bilimsel disiplin; bu dönemin başlangıcı tarihin derinliklerinde kaybolmuştur; yaklaşık olarak M.Ö. 6-5. yüzyıla kadar sürmüştür. e.

2) İlköğretim matematik dönemi, sabit büyüklüklerin matematiği; yeni, "yüksek" matematiğin gelişiminin oldukça ilerlemiş olduğu 17. yüzyılın sonuna kadar devam etti.

3) Matematik dönemi değişkenler; matematiksel analizin yaratılması ve geliştirilmesi, süreçlerin hareket ve gelişiminde incelenmesi ile karakterize edilir.

4) Modern matematik dönemi; bilinçli ve sistematik çalışma ile karakterize edilir olası türler niceliksel ilişkiler ve mekansal formlar. Geometri çalışmaları yalnızca gerçekleri değil üç boyutlu uzay ama aynı zamanda ona benzer mekansal formlar da var. İÇİNDE matematiksel analiz değişkenlerin yalnızca bağımlı olmadığı kabul edilir sayısal argüman, ama aynı zamanda kavramlara yol açan bazı satırlardan (işlevlerden) işlevsellik Ve operatör. Cebir keyfi nitelikteki unsurlar üzerinde cebirsel işlemler teorisine dönüştü. Keşke bu işlemler üzerlerinde yapılabilseydi. Bu dönemin başlangıcı doğal olarak 19. yüzyılın 1. yarısına atfedilebilir.

İÇİNDE Antik dünya matematiksel bilgi başlangıçta rahiplerin ve hükümet yetkililerinin bilgilerinin ayrılmaz bir parçası olarak dahil edildi. Bu bilginin kaynağı, halihazırda deşifre edilmiş kil Babil tabletleri ve Mısır tabletlerinden anlaşılabileceği gibi matematiksel papirüs, nispeten büyüktü. Antik Yunan bilim adamı Pisagor'dan bin yıl önce Mezopotamya'da sadece Pisagor'un teorisinin bilinmediği, aynı zamanda kenarları tamsayı olan tüm dik üçgenleri bulma probleminin de çözüldüğüne dair kanıtlar var. Bununla birlikte, o zamanın belgelerinin ezici çoğunluğu, en basitlerin üretimine yönelik kuralların derlemesidir. aritmetik işlemler ve ayrıca şekillerin alanlarını ve vücut hacimlerini hesaplamak için. Tablolar da muhafaza edildi çeşitli türler Bu hesaplamaları kolaylaştırmak için. Tüm kılavuzlarda kurallar formüle edilmemiş ancak şu şekilde açıklanmıştır: sık örnekler. Matematiğin yerleşik bir bilimle resmileştirilmiş bir bilime dönüştürülmesi tümdengelim yöntemi inşaat meydana geldi Antik Yunanistan. Orada matematiksel yaratıcılık isimsiz olmaktan çıktı. Pratik aritmetik ve geometri Antik Yunan'da yüksek düzeyde bir gelişme vardı. Yunan geometrisinin başlangıcı, Mısır'dan temel bilgileri getiren Milet Thales'in (MÖ 7. yüzyılın sonları - MÖ 6. yüzyılın başları) adıyla ilişkilendirilir. Samoslu Pisagor okulunda (M.Ö. 6. yüzyıl) sayıların bölünebilirliği çalışılmış, en basit diziler özetlenmiş, mükemmel sayılar çalışılmış ve dikkate alınmıştır. çeşitli türler ortalamalar (aritmetik ortalama, geometrik ortalama, harmonik ortalama), tekrar bulundu Pisagor sayıları(kenar olabilen tamsayıların üçleri dik üçgen). MÖ 5.-6. yüzyıllarda. Antik çağların ünlü problemleri ortaya çıktı - bir dairenin karesi, bir açının üçe bölünmesi, bir küpün ikiye katlanması ve ilk irrasyonel sayılar oluşturuldu. İlk sistematik geometri ders kitabı Sakız Adası'ndaki Hipokrat'a (MÖ 5. yüzyılın 2. yarısı) atfedilir. Platonik okulun önemli başarısı, rasyonel açıklama Evrendeki maddenin yapısı - hepsini aramak düzenli çokyüzlüler. MÖ 5. ve 4. yüzyılların sınırında. Demokritos atom kavramlarına dayanarak cisimlerin hacimlerini belirlemek için bir yöntem önerdi. Bu yöntem sonsuz küçük yöntemin bir prototipi olarak düşünülebilir. MÖ 4. yüzyılda. Knidoslu Eudoxus oranlar teorisini geliştirdi. MÖ 3. yüzyıl, matematiksel yaratıcılığın en yoğun olduğu dönemdir. (İskenderiye dönemi olarak adlandırılan dönemin 1. yüzyılı). MÖ 3. yüzyılda. Öklid, Arşimed, Pergeli Apollonius, Eratosthenes gibi matematikçiler çalıştı; daha sonra - Heron (MS 1. yüzyıl) Diophantus (3. yüzyıl). Öklid, Elementler adlı eserinde geometri alanındaki başarıları toplamış ve son mantıksal işleme tabi tutmuştur; aynı zamanda sayılar teorisinin de temellerini attı. Arşimet'in geometrideki ana başarısı çeşitli alanların ve hacimlerin belirlenmesiydi. Diophantus öncelikle denklemlerin rasyonel yöntemlerle çözümünü inceledi. pozitif sayılar. 3. yüzyılın sonlarından itibaren Yunan matematiğinin gerilemesi başladı.

Matematik antik Çin ve Hindistan'da önemli gelişmeler kaydetti. Çinli matematikçiler, yüksek hesaplama teknikleri ve genel matematik gelişimine ilgi ile karakterize edilirler. cebirsel yöntemler. MÖ 2.-1. yüzyıllarda. "Dokuz Kitaptaki Matematikçiler" yazıldı. Aynı ekstraksiyon tekniklerini içerir karekök, içinde belirtilen modern okul: doğrusal sistemleri çözme yöntemleri cebirsel denklemler, Pisagor teoreminin aritmetik bir formülasyonu.

5. ve 12. yüzyıllarda gelişen Hint matematiği, modern ondalık numaralandırmanın kullanılmasının yanı sıra, belirli bir derecedeki birimlerin yokluğunu belirtmek için sıfır ve Diophantus'tan çok daha geniş bir cebir gelişiminin değeri ile tanınır. sadece pozitif rasyonel sayılarla değil, aynı zamanda negatif ve irrasyonel sayılarla da çalışır.

Arap fetihleri ​​buna yol açtı Orta Asya ile İber Yarımadası 9. ve 15. yüzyıllarda bilim adamları tarafından kullanılmış Arapça. 9. yüzyılda Orta Asyalı bilim adamı Harezmi cebiri ilk kez şu şekilde açıkladı: bağımsız bilim. Bu dönemde birçok geometrik problemler cebirsel bir formülasyon aldı. Suriyeli El-Battani tanıtıldı trigonometrik fonksiyonlar sinüs, tanjant ve kotanjant Semerkantlı bilim adamı el-Kaşi (15. yüzyıl) tarafından dikkate alınmıştır. ondalık sayılar ve sistematik bir sunum yaptı, Newton binom formülünü formüle etti.

Esasen yeni dönem Matematiğin gelişimi 17. yüzyılda hareket ve değişim fikrinin matematiğe açıkça girmesiyle başladı. Değişkenlerin ve aralarındaki bağlantıların dikkate alınması fonksiyon, türev ve integral kavramlarına yol açtı Diferansiyel hesap, İntegral hesabı, yeni bir matematik disiplininin ortaya çıkmasına - matematiksel analiz.

18. yüzyılın sonlarından 19. yüzyılın başlarına kadar matematiğin gelişiminde bir takım önemli yeni özellikler gözlemlendi. Bunların en karakteristik özelliği, matematiğin kanıtlanmasıyla ilgili bir takım konuların eleştirel bir şekilde gözden geçirilmesine olan ilgiydi. Sonsuz küçüklerle ilgili belirsiz fikirlerin yerini limit kavramıyla ilişkili kesin formülasyonlar aldı.

19. yüzyılda cebirde, cebirsel denklemleri radikallerde çözme olasılığı sorusu açıklığa kavuşturuldu (Norveçli bilim adamı N. Abel, Fransız bilim adamı E. Galois).

19. ve 20. yüzyıllarda sayısal yöntemler matematikçiler bağımsız bir dal haline geliyor: hesaplamalı matematik. Yeni dönem için önemli uygulamalar bilgisayar teknolojisi 19. ve 20. yüzyıllarda gelişen bir dal buldu matematik - matematiksel mantık.

Materyal matematik öğretmeni O. V. Leshchenko tarafından hazırlandı.