Çözümle çevrimiçi olarak işlev değerleri kümesini bulun. İzin verilen değer aralığı - ODZ

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Ortaokul öğrencileri sıklıkla bu görevle uğraşmak zorunda kalıyorlar.

Ebeveynler çocuklarının bu konuyu anlamalarına yardımcı olmalıdır.

Bir işlevin belirtilmesi.

Cebirin temel terimlerini hatırlayalım. Matematikte fonksiyon, bir değişkenin diğerine bağımlılığıdır. Bunun iki sayıyı belirli bir şekilde birbirine bağlayan katı bir matematik yasası olduğunu söyleyebiliriz.

Matematikte formüller analiz edilirken sayısal değişkenlerin yerini alfabetik semboller alır. En yaygın kullanılanlar x (“x”) ve y (“y”)'dir. X değişkenine argüman, y değişkenine ise bağımlı değişken veya x'in fonksiyonu adı verilir.

Var olmak çeşitli yollar değişken bağımlılıklarını ayarlama.

Bunları listeleyelim:

1. Analitik tip.
2. Tablo görünümü.
3. Grafik ekranı.

Analitik yöntem formülle temsil edilir. Örneklere bakalım: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). y=2x+3 formülü aşağıdakiler için tipiktir: doğrusal fonksiyon. Değiştirme verilen formül Sayısal değer argümanı ile y'nin değerini elde ederiz.

Tablo yöntemi iki sütundan oluşan bir tablodur. İlk sütun X değerlerine ayrılmıştır ve sonraki sütuna oynatıcının verileri kaydedilir.

Grafiksel yöntem en görsel olarak kabul edilir. Grafik, bir düzlemdeki tüm noktaların kümesinin gösterimidir.

Bir grafik oluşturmak için şunu kullanın: Kartezyen sistem koordinatlar Sistem birbirine dik iki çizgiden oluşmaktadır. Eksenlere aynı değerler yerleştirilir tek segmentler. Sayım, düz çizgilerin kesiştiği merkez noktadan yapılır.

Bağımsız değişken şunu gösterir: yatay çizgi. Apsis ekseni denir. Dikey çizgi (y ekseni) bağımlı değişkenin sayısal değerini gösterir. Bu eksenlere dik olanların kesişim noktalarında noktalar işaretlenir. Noktaları birbirine bağlayarak düz bir çizgi elde ederiz. Bu, programın temelidir.

Değişken bağımlılık türleri

Tanım.

İÇİNDE Genel görünüm bağımlılık bir denklem olarak sunulur: y=f(x). Formülden, x sayısının her değeri için şu sonucu çıkar: belirli sayı sen. Oyunun x sayısına karşılık gelen değerine fonksiyonun değeri denir.

Bağımsız değişkenin elde ettiği tüm olası değerler, fonksiyonun tanım alanını oluşturur. Buna göre, bağımlı değişkenin tüm sayı kümesi, fonksiyonun değer aralığını belirler. Tanım alanı, f(x)'in anlamlı olduğu argümanın tüm değerleridir.

Araştırma için ilk görev matematik yasaları tanım alanının bulunmasından ibarettir. Bu terimin doğru tanımlanması gerekir. Aksi takdirde, sonraki tüm hesaplamalar işe yaramaz olacaktır. Sonuçta değerlerin hacmi ilk setin unsurlarına göre oluşuyor.

Bir fonksiyonun kapsamı doğrudan kısıtlamalara bağlıdır. Sınırlamalar, belirli işlemlerin gerçekleştirilememesinden kaynaklanır. Sayısal değerlerin kullanımının da sınırları vardır.

Kısıtlamaların yokluğunda, tanım alanı bütünü temsil eder. sayı alanı. Sonsuzluk işaretinin yatay sekiz rakamı sembolü vardır. Tüm sayı kümesi şu şekilde yazılır: (-∞; ∞).

İÇİNDE Belirli durumlar veri dizisi birkaç alt kümeden oluşur. Sayısal aralıkların veya boşlukların kapsamı, parametre değişim yasasının türüne bağlıdır.

Kısıtlamaları etkileyen faktörlerin bir listesi:

• ters orantılılık;
• aritmetik kök;
• üs alma;
• logaritmik bağımlılık;
• trigonometrik formlar.

Bu tür birkaç öğe varsa, kısıtlama arayışı bunların her biri için bölünür. En büyük problem kimliği temsil eder kritik noktalar ve aralıklar. Sorunun çözümü tüm sayısal alt kümeleri birleştirmek olacaktır.

Sayı kümesi ve alt kümesi

Setler hakkında.

Tanım alanı D(f) olarak ifade edilir ve birleşim işareti ∪ sembolüyle temsil edilir. Tüm sayısal aralıklar parantez içine alınmıştır. Sitenin sınırı sete dahil değilse yarım daire şeklinde bir braket yerleştirilir. Aksi takdirde, bir sayı bir alt kümeye dahil edildiğinde köşeli parantezler kullanılır.

Ters orantı y=k/x formülüyle ifade edilir. Fonksiyon grafiği iki daldan oluşan eğri bir çizgidir. Buna genellikle abartı denir.

Fonksiyon kesir olarak ifade edildiğinden tanım tanım kümesini bulmak paydayı analiz etmekten geçer. Matematikte sıfıra bölmenin yasak olduğu iyi bilinmektedir. Sorunu çözmek, paydayı sıfıra eşitlemek ve kökleri bulmaktan geçer.

İşte bir örnek:

Verilen: y=1/(x+4). Tanımın alanını bulun.

1. Paydayı sıfıra eşitliyoruz.
   x+4=0
2. Denklemin kökünü bulma.
   x=-4
3. Tümünün kümesini tanımlayın olası değerler argüman.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Cevap: Fonksiyonun tanım kümesi -4 dışındaki tüm reel sayılardır.

İşaretin altındaki sayının anlamı kare kök negatif olamaz. Bu durumda bir fonksiyonun kök ile tanımlanması bir eşitsizliğin çözümüne indirgenir. Radikal ifade şöyle olmalıdır: Sıfırın üstünde.

Kökün belirlenme alanı kök göstergesinin paritesi ile ilgilidir. Gösterge 2'ye bölünebiliyorsa ifade ancak pozitif değer. Tek sayı gösterge, radikal ifadenin herhangi bir anlamının kabul edilebilirliğini gösterir: hem olumlu hem de olumsuz.

Eşitsizlikler denklemlerle aynı şekilde çözülür. Tek bir fark var. Eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpıldıktan sonra negatif bir sayı işaret tersine çevrilmelidir.

Karekök paydada ise ek bir koşul getirilmelidir. Sayı değeri sıfır olmamalıdır. Eşitsizlik katı eşitsizlikler kategorisine giriyor.

Logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar

Logaritmik form pozitif sayılar için anlamlıdır. Dolayısıyla tanım alanı logaritmik fonksiyon sıfır dışında karekök fonksiyonuna benzer.

Logaritmik bağımlılığın bir örneğini ele alalım: y=log(2x-6). Tanımın alanını bulun.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Cevap: (3; +∞).

Y=sin x ve y=cos x tanım kümesi tüm kümelerden oluşur gerçek sayılar. Teğet ve kotanjant için kısıtlamalar vardır. Bir açının kosinüsü veya sinüsü ile bölünmeyle ilişkilidirler.

Bir açının tanjantı sinüsün kosinüse oranıyla belirlenir. Teğet değerinin bulunmadığı açı değerlerini belirtelim. y=tg x fonksiyonu, argümanın x=π/2+πn, n∈Z dışındaki tüm değerleri için anlamlıdır.

y=ctg x fonksiyonunun tanım alanı, x=πn, n∈Z hariç gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Argüman π sayısına veya π'nin bir katına eşitse, açının sinüsü sıfıra eşit. Bu noktalarda (asimptotlar) kotanjant mevcut olamaz.

Tanım alanını belirlemeye yönelik ilk görevler 7. sınıftaki derslerde başlar. Cebirin bu bölümüyle ilk kez tanıştırıldığında öğrencinin konuyu net bir şekilde anlaması gerekir.

bu not alınmalı bu dönem tüm eğitim süresi boyunca öğrenciye ve daha sonra öğrenciye eşlik edecektir.

Kesirli denklemler. ODZ.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler . Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler . Bu aynı.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

Öğretildiği gibi genç sınıfları? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Kötü bir rüya gibi unut gitsin! Ekleme veya çıkarma yaparken yapmanız gereken şey budur. kesirli ifadeler. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle çarpıyoruz (yani özünde, ortak payda). Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor. Bu da denklemin ile çarpılması gerektiği anlamına geliyor. 2(x+2). Çarpmak:

Bu sıradan çarpma kesirler, ama ayrıntılı olarak yazacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm Sol Taraf Ve Tümü Sağ Taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Ancak ondan önce diğer sorunları çözmeyi öğreneceğiz. Faiz üzerine. Bu arada bu bir tırmık!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

\(\sqrt(x-2)\) ifadesinde değişkenin değeri \(0\) ise kural ihlal edilir: radikal ifade negatif olmamalıdır. Bu, burada \(x\)'in \(0\), aynı zamanda \(1, -3, -52.7\) vb. olamayacağı anlamına gelir. Yani x, 2'den büyük veya ona eşit olmalıdır ve ODZ şöyle olacaktır: \(x\geq2\);

Ancak \(4x+1\) ifadesinde X yerine herhangi bir sayıyı koyabiliriz ve hiçbir kural ihlal edilmeyecektir. Bu nedenle alan kabul edilebilir değerler burada - her şey sayı ekseni. Bu gibi durumlarda DZ kaydedilmezçünkü faydalı bilgiler içermiyor.

Uyulması gereken tüm kuralları burada bulabilirsiniz.

Denklemlerde ODZ

Karar verirken kabul edilebilir değerlerin aralığını hatırlamak önemlidir ve çünkü Orada sadece değişkenlerin değerlerini arıyoruz ve tesadüfen matematik kurallarını ihlal edenleri bulabiliriz.

ODZ'nin önemini anlamak için denklemin iki çözümünü karşılaştıralım: ODZ'li ve ODZ'siz.

Örnek: Denklemi çözün
Çözüm :

Farkı görüyor musun? İlk çözümde cevabımızda yanlış, fazladan bir ! Neden yanlış? Bunu orijinal denklemde yerine koymaya çalışalım.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Görüyorsunuz, hem solda hem de sağda hesaplanamaz, anlamsız ifadeler elde ettik (sonuçta sıfıra bölemezsiniz). Ve bu değerler mevcut olmadığı için aynı olmaları artık bir rol oynamıyor. Dolayısıyla "\(-3\)" uygun değildir, yabancı kök ve kabul edilebilir değerler aralığı bizi bu tür ciddi hatalardan korur.

Bu nedenle ilk çözüm için D, ikinci çözüm için A alacaksınız. Ve bunlar öğretmenin sıkıcı kelime oyunları değil, çünkü ODS'yi hesaba katmamak önemsiz bir şey değil, çok özel bir hatadır, kayıp bir işaret veya yanlış formülün uygulanmasıyla aynıdır. Sonuçta son cevap yanlış!

Kabul edilebilir değer aralığını bulmak çoğu zaman çözme veya denklem kurma ihtiyacına yol açar, bu nedenle bunu iyi yapabilmeniz gerekir.

Örnek : \(\sqrt(5-2x)+\) ifadesinin tanım kümesini bulun \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2))))\)

Çözüm : İfadede biri paydada olmak üzere iki kök vardır. Bu davada uygulanan kısıtlamaları hatırlamayan herkes... Hatırlayanlar birinci kökün altındaki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğunu, ikinci kökün altındaki ifadenin ise sıfırdan büyük olduğunu yazar. Kısıtlamaların neden bu şekilde olduğunu anlıyor musunuz?

Matematikte sonsuz küme işlevler. Ve her birinin kendi karakteri vardır.) Çok çeşitli işlevlerle çalışmak için ihtiyacınız olan Bekar bir yaklaşım. Yoksa bu nasıl bir matematik?!) Bir de öyle bir yaklaşım var ki!

Herhangi bir fonksiyonla çalışırken onu sunarız standart set sorular. Ve ilki, en çok önemli soru- Bu fonksiyonun tanım alanı. Bazen bu alana geçerli argüman değerleri kümesi, bir fonksiyonun belirtildiği alan vb. denir.

Bir fonksiyonun etki alanı nedir? Nasıl bulunur? Bu sorular genellikle karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor... Aslında her şey son derece basit olmasına rağmen. Bu sayfayı okuyarak kendiniz görebilirsiniz. Gitmek?)

Peki, ne diyeyim... Sadece saygı gösterin.) Evet! Bir fonksiyonun doğal alanı (burada tartışılmaktadır) maçlarİle ODZ ifadeleri fonksiyona dahil edilmiştir. Buna göre aynı kurallara göre aranırlar.

Şimdi tamamen doğal olmayan bir tanım alanına bakalım.)

Bir işlevin kapsamına ilişkin ek kısıtlamalar.

Burada görevin getirdiği kısıtlamalardan bahsedeceğiz. Onlar. görev biraz içeriyor ek koşullar derleyici tarafından icat edilmiştir. Veya kısıtlamalar, işlevi tanımlama yönteminin kendisinden ortaya çıkar.

Görevdeki kısıtlamalara gelince, her şey basit. Genellikle hiçbir şey aramaya gerek yoktur, her şey görevde zaten söylenmiştir. Görevin yazarının yazdığı kısıtlamaların iptal edilmediğini hatırlatayım. Matematiğin temel sınırlamaları. Sadece görevin koşullarını dikkate almayı hatırlamanız gerekir.

Örneğin bu görev:

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun:

pozitif sayılar kümesinde.

Yukarıda bu fonksiyonun doğal tanım alanını bulduk. Bu alan:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

İÇİNDE sözlü yol Bir işlevi belirtirken koşulu dikkatlice okumanız ve orada X ile ilgili kısıtlamaları bulmanız gerekir. Bazen gözler formül arar ama kelimeler bilinçten ıslık çalarak geçer evet...) Önceki dersten örnek:

İşlev koşulla belirtilir: doğal bağımsız değişken x'in her değeri, x'in değerini oluşturan rakamların toplamı ile ilişkilendirilir.

Burada konuştuğumuzu belirtmek gerekir. sadeceÖ doğal değerler X. Daha sonra D(f) anında kaydedildi:

D(f): x ∈ N

Gördüğünüz gibi bir fonksiyonun kapsamı öyle değil karmaşık kavram. Bu bölgeyi bulmak, fonksiyonu incelemek, bir eşitsizlik sistemi yazmak ve bu sistemi çözmekten geçer. Elbette basit ve karmaşık her türlü sistem var. Ancak...

onu açacağım küçük sır. Bazen tanım alanını bulmanız gereken bir işlev çok korkutucu görünebilir. Solgunlaşıp ağlamak istiyorum.) Ama eşitsizlik sistemini yazar yazmaz... Ve birdenbire sistemin temel olduğu ortaya çıkıyor! Üstelik çoğu zaman işlev ne kadar kötüyse sistem de o kadar basit olur...

Ahlaki: gözler korkar, kafa karar verir!)

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızdan toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı gösterme

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.