Tek değişkenli eşitsizlikleri çözme. Tek değişkenli eşitsizlikler

1. Tek değişkenli eşitsizlik kavramı

2. Eşdeğer eşitsizlikler. Eşitsizliklerin eşitliğine ilişkin teoremler

3. Eşitsizlikleri tek değişkenle çözme

4. Eşitsizliklerin tek değişkenli grafiksel çözümü

5. Modül işareti altında değişken içeren eşitsizlikler

6. Ana sonuçlar

Tek değişkenli eşitsizlikler

Teklifler 2 X + 7 > 10'lar, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0'a tek değişkenli eşitsizlikler denir.

İÇİNDE genel görünüm bu kavram şu şekilde tanımlanır:

Tanım. f(x) ve g(x), x değişkeni ve X tanım kümesine sahip iki ifade olsun. O halde f(x) > g(x) veya f(x) biçiminde bir eşitsizlik< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Değişken değer Xçoğundan X, eşitsizliğin gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüğü duruma denir karar. Bir eşitsizliği çözmek, ona birçok çözüm bulmak anlamına gelir.

Böylece eşitsizlik 2'yi çözerek X + 7 > 10 -x, x? R sayı mı X= 5, çünkü 2 5 + 7 > 10 - 5 gerçek bir sayısal eşitsizliktir. Çözüm kümesi ise eşitsizliğin dönüşümü yapılarak bulunan (1, ∞) aralığıdır: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.

Eşdeğer eşitsizlikler. Eşitsizliklerin eşitliğine ilişkin teoremler

Tek değişkenli eşitsizlikleri çözmenin temeli denklik kavramıdır.

Tanım. Çözüm kümeleri eşitse iki eşitsizliğin eşdeğer olduğu söylenir.

Örneğin eşitsizlikler 2 X+ 7 > 10 ve 2 X> 3 eşdeğerdir çünkü çözüm kümeleri eşittir ve (2/3, ∞) aralığını temsil eder.

Eşitsizliklerin eşdeğerliği ve bunların sonuçları hakkındaki teoremler, denklemlerin denkliğiyle ilgili teoremlere benzer. Kanıtları gerçek sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanır.

Teorem 3. Eşitsizliğe izin ver f(x) > g(x) sette tanımlanmış X Ve H(X) aynı kümede tanımlanmış bir ifadedir. Daha sonra eşitsizlikler f(x) > g(x) ve f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) sette eşdeğerdir X.

Eşitsizlikleri çözerken sıklıkla kullanılan bu teoremden aşağıdaki sonuçlar çıkar:

1) Eşitsizliğin her iki tarafına ise f(x) > g(x) aynı numarayı ekle D, o zaman eşitsizliği elde ederiz f(x) + d > g(x)+ d, orijinaline eşdeğerdir.

2) Herhangi bir terim (sayısal ifade veya değişkenli ifade) eşitsizliğin bir kısmından diğerine aktarılırsa, terimin işareti tersine değiştirilirse, verilene eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.

Teorem 4. Eşitsizliğe izin ver f(x) > g(x) sette tanımlanmış X Ve H(X Xçoğundan X ifade h(x) kabul eder pozitif değerler. Daha sonra eşitsizlikler f(x) > g(x) ve f(x) h(x) > g(x) h(x) sette eşdeğerdir X.

f(x) > g(x) aynı şeyle çarpmak pozitif sayı D, o zaman eşitsizliği elde ederiz f(x)d > g(x)d, buna eşdeğer.

Teorem 5. Eşitsizliğe izin ver f(x) > g(x) sette tanımlanmış X Ve H(X) - aynı kümede ve tümü için tanımlanmış bir ifade X onlardan birçoğu var X ifade H(X) kabul eder negatif değerler. Daha sonra eşitsizlikler f(x) > g(x) ve f(x) h(x) > g(x) h(x) sette eşdeğerdir X.

Bu teoremden bir sonuç çıkar: Eşitsizliğin her iki tarafı da f(x) > g(x) aynı negatif sayıyla çarpın D ve eşitsizlik işaretini zıt işaretle değiştirirsek eşitsizliği elde ederiz f(x)d > g(x)d, buna eşdeğer.

Eşitsizlikleri tek değişkenle çözme

Haydi eşitsizlik 5'i çözelim X - 5 < 2х - 16, X? RÇözüm sürecinde gerçekleştireceğimiz tüm dönüşümleri gerekçelendireceğiz.

Eşitsizliği çözmek X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 (-∞, 7) aralığıdır.

Egzersizler

1. Aşağıdaki girdilerden hangilerinin tek değişkenli eşitsizlik olduğunu belirleyin:

a) -12 - 7 X< 3X+ 8; 12 x + 3(X- 2);

b) 15( X+ 2)>4; e) 17-12.8;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x2+ 3X-4> 0.

2. 3 sayısı eşitsizliğin çözümü mü? 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Peki ya 4,25 sayısı?

3. Aşağıdaki eşitsizlik çiftleri reel sayılar kümesinde eşdeğer midir?

a) -17 X< -51 и X > 3;

b) (3 X-1)/4 >0 ve 3 X-1>0;

6-5 X>-4 ve X<2?

4. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur:

a) -7 X < -28 => X>4;

B) X < 6 => X < 5;

V) X< 6 => X< 20?

5. Eşitsizliği çöz 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 ve gerçekleştireceğiniz tüm dönüşümleri gerekçelendirin.

6. Eşitsizliği çözerek bunu kanıtlayın 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) herhangi bir gerçek sayıdır.

7. Var olmadığını kanıtla gerçek sayı, bu 3(2 -) eşitsizliğinin çözümü olacaktır. X) - 2 > 5 - 3X.

8. Üçgenin bir kenarı 5 cm, diğer kenarı 8 cm ise üçgenin çevresi kaç cm olabilir?

a) 22 cm'den az;

b) 17 cm'den fazla mı?

TEK DEĞİŞKENLİ EŞİTSİZLİKLERİN GRAFİKSEL ÇÖZÜMÜ.İçin grafik çözümü eşitsizlikler f(x) >g(x) fonksiyonların grafiklerini oluşturmamız gerekiyor

y = f(x) = g(x) ve fonksiyonun grafiğinin bulunduğu apsis ekseninin aralıklarını seçin y = f(x) y = fonksiyonunun grafiğinin üzerinde bulunur g(x).

Örnek 17.8. Eşitsizliği grafiksel olarak çözün x 2- 4 > 3X.

Çözüm. Tek koordinat sisteminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım

y = x 2 - 4 ve y = Zx (Şekil 17.5). Şekilde fonksiyonların grafikleri gösterilmektedir. en= x 2- 4, y = 3 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde bulunur X en X< -1 ve x > 4, yani orijinal eşitsizliğin çözüm kümesi

(- ¥; -1) È (4; + oo) .

Cevap: x О(- oo; -1) ve ( 4; +oo).

Takvim ikinci dereceden fonksiyon en= balta 2 + bx + c dalları yukarıya bakan bir paraboldür bir > 0 ve eğer aşağı A< 0. Bu durumda üç durum mümkündür: parabol eksenle kesişir Ah(yani denklem ah 2+ bx+ c = 0'ın iki farklı kökü vardır); parabol eksene dokunuyor X(yani denklem balta 2 + bx+ c = 0'ın bir kökü vardır); parabol eksenle kesişmiyor Ah(yani denklem ah 2+ bx+ c = 0'ın kökü yoktur). Dolayısıyla, y = fonksiyonunun grafiği olarak hizmet veren parabolün altı olası konumu vardır. ah 2+b x + c(Şekil 17.6). Bu çizimleri kullanarak ikinci dereceden eşitsizlikleri çözebilirsiniz.

Örnek 17.9. Eşitsizliği çözün: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

Çözüm, a) 2x 2 + 5x -3 = 0 denkleminin iki kökü vardır: x, = -3, x 2 = 0,5. Bir fonksiyonun grafiği olarak hizmet veren parabol en= 2x2+ 5x -3, Şekil 2'de gösterilmektedir. A. Eşitsizlik 2x2 Bu değerler için + 5x -3 > 0 sağlanır X, parabolün noktalarının eksenin üzerinde olduğu durumlar Ah: olacak X< х х veya ne zaman X> xg> onlar. en X< -3 veya x > 0,5. Bu, orijinal eşitsizliğin çözüm kümesinin (- ¥; -3) ve (0,5; + ¥) kümesi olduğu anlamına gelir.

b) Denklem -Зх 2 + 2x- 6 = 0'ın gerçek kökü yoktur. Bir fonksiyonun grafiği olarak hizmet veren parabol en= - 3x 2 - 2x - 6, Şekil 2'de gösterilmiştir. 17.6 Eşitsizlik -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, parabolün noktalarının eksenin altında olduğu durumlar Ah. Parabolün tamamı eksenin altında olduğundan Ah, o zaman orijinal eşitsizliğin çözüm kümesi R kümesidir .

MODÜL İŞARETİ ALTINDA BİR DEĞİŞKEN İÇEREN EŞİTSİZLİKLER. Bu eşitsizlikleri çözerken şunu unutmamak gerekir:

|f(x) | =

f(x), Eğer f(x) ³ 0,

- f(x), Eğer f(x) < 0,

Aynı zamanda bölge kabul edilebilir değerler eşitsizlikler, her birinde modül işareti altındaki ifadelerin işaretini koruduğu aralıklara bölünmelidir. Daha sonra modülleri genişleterek (ifadelerin işaretlerini dikkate alarak), her aralıktaki eşitsizliği çözmeniz ve elde edilen çözümleri orijinal eşitsizliğin çözüm kümesinde birleştirmeniz gerekir.

Örnek 17.10. Eşitsizliği çözün:

|x -1| + |2- x| > 3+x.

Çözüm. x = 1 ve x = 2 noktaları bölünür sayı ekseni (DZ eşitsizliği(17.9) üç aralığa bölünür: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Karar verelim bu eşitsizlik her birinin üzerinde. eğer x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; dolayısıyla |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Bu, eşitsizliğin (17.9) şu biçimi aldığı anlamına gelir: 1- x + 2 - x > 3 + x, yani X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Eğer 1 £ x £.2 ise, o zaman x - 1 ³ 0 ve 2 – x ³ 0; bu nedenle | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Bu, sistemin şunları içerdiği anlamına gelir:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

Ortaya çıkan eşitsizlik sisteminin çözümü yoktur. Bu nedenle [ 1; 2] (17.9) eşitsizliğinin çözüm kümesi boş.

Eğer x > 2 ise x - 1 >0 ve 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 veya

ODZ eşitsizliğinin (17.9) tüm kısımlarında bulunan çözümleri birleştirerek çözümünü elde ederiz - (-¥; 0) È (6; +oo) kümesi.

Bazen kullanmak faydalıdır geometrik yorumlama bir gerçek sayının modülü, buna göre | bir | koordinat çizgisinin a noktasının O başlangıç ​​noktasından uzaklığı anlamına gelir, a | a - b | koordinat doğrusu üzerindeki a ve b noktaları arasındaki mesafe anlamına gelir. Alternatif olarak eşitsizliğin her iki tarafının karesini alma yöntemini de kullanabilirsiniz.

Teorem 17.5. If ifadeleri f(x) ve g(x) herhangi bir x için yalnızca negatif olmayan değerler alırsak, eşitsizlikler f(x) >g(x) Ve f(x)² > g(x)² eşdeğerdir.

58. Ana sonuçlar § 12

Bu bölümde aşağıdakileri tanımladık kavramlar:

Sayısal ifade;

Anlam sayısal ifade;

Hiçbir anlamı olmayan bir ifade;

Değişken(ler)li ifade;

İfade tanımı kapsamı;

Aynı şekilde eşit ifadeler;

Kimlik;

Kimlik dönüşümü ifadeler;

Sayısal eşitlik;

Sayısal eşitsizlik;

Tek değişkenli denklem;

Denklemin kökü;

Bir denklemi çözmek ne anlama gelir;

Eşdeğer denklemler;

Tek değişkenli eşitsizlik;

Eşitsizliklerin Çözümü;

Eşitsizliği çözmek ne demektir;

Eşdeğer eşitsizlikler.

Ayrıca çözümlerine temel olan denklemlerin ve eşitsizliklerin denkliği ile ilgili teoremleri inceledik.

Denklemlerin ve eşitsizliklerin denkliği ile ilgili yukarıdaki tüm kavram ve teoremlerin tanımları bilgisi - gerekli koşul metodolojik olarak yetkin bir çalışma genç okul çocukları cebirsel malzeme.

DERS: “TEK DEĞİŞKENLE EŞİTSİZLİKLERİ ÇÖZMEK”

Öğe: Cebir
Ders: Eşitsizlikleri tek değişkenle çözme

Ders hedefleri:

Eğitici:

tek değişkenli eşitsizlikleri çözme, eşdeğer eşitsizlik, eşitsizliği çözme gibi kavramları algılamak, kavramak ve başlangıçta pekiştirmek için öğrencilerin etkinliklerini düzenlemek; Öğrencilerin önceki derslerde edindikleri bilgi ve becerileri bu dersteki problemleri çözmek için uygulama becerilerini kontrol edin.

Eğitici:

BİT'in pratikte kullanımı yoluyla matematiğe olan ilgiyi geliştirmek; öğrencilerin bilişsel ihtiyaçlarını geliştirmek; sorumluluk, hedeflere ulaşmada azim, bağımsızlık gibi kişisel nitelikleri oluşturmak.

Ders ilerlemesi

I. Organizasyon anı

II. Sınav Ev ödevi(Temel bilgilerin güncellenmesi)

1. Koordinat çizgisini kullanarak aralıkların kesişimini bulun: a) (1;8) ve (5;10); b) (-4;4) ve [-6;6]; c) (5;+∞) ve [-∞;4]

Cevap: a) (1;5); b) (-4;4); c) kavşak yok

2. Şekilde gösterilen aralıkları yazın:

2)

3)

Cevap: 1) (2; 6); b) (-1;7]; c) .

Örnek3 3(x-1) eşitsizliğini çözün<-4+3х.

Eşitsizliğin sol tarafındaki parantezleri açalım: 3x-3<-4+3х.

Zıt işaretli 3x terimini sağ taraftan sola, -3 terimini de sol taraftan sağa taşıyıp benzer terimleri verelim: 3x-3x<-4+3,

Görüldüğü gibi bu sayısal eşitsizlik x'in hiçbir değeri için geçerli değildir. Bu, tek değişkenli eşitsizliğimizin çözümünün olmadığı anlamına gelir.

Simülatör

Eşitsizliği çözün ve çözümünü işaretleyin:

f) 7x-2,4<0,4;

h) 6b-1<12-7b;

i) 16x-44>x+1;

k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);

l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.

Cevap: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); J) ; l) (2; +∞).

IV. Sonuçlar

Bir değişkendeki eşitsizliğin çözümü, değişkenin onu gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüren değeridir. Bir eşitsizliği çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak veya hiçbir çözümün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir. Çözümleri aynı olan eşitsizliklere eşdeğer denir. Çözümü olmayan eşitsizlikler de eşdeğer kabul edilir. Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayıyla çarpılır veya bölünürken eşitsizliğin işareti ters yönde değiştirilirse. Diğer durumlarda aynı kalır.

V. Son test

1) Tek değişkenli bir eşitsizliğin çözümüne... denir.

a) değişkenin onu gerçek bir eşitsizliğe dönüştüren değeri;

b) değişkenin onu doğru sayısal değere dönüştüren değeri

eşitsizlik;

c) onu gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüren bir değişken.

2) 8+5y>21+6y eşitsizliğinin çözümü hangi sayılardır:

a) 2 ve 5 b) -1 ve 8 c) -12 ve 1 d) -15 ve -30?

3) 4(x+1)>20 eşitsizliğinin çözüm kümesini belirtin:

a) (- ∞; 4); B) (4; +∞); V))