Anlatım 13 Rasgele süreçler Temel kavramlar. Dağıtım kanunu ve. Sabit, ergodik
Ders 13Rastgele süreçler
Temel kavramlar. Dağıtım kanunu ve temel özellikleri
rastgele süreçler. Sabit, ergodik, temel rastgele
süreçler
(Akhmetov S.K.)
Tanımlar
Rastgele bir süreç X(t), değeriherhangi bir sabit t = ti için SV X(ti)
Rastgele bir X(t) sürecinin uygulanması rastgele olmayan bir fonksiyondur
deney sonucunda X(t) rastgele sürecinin dönüştüğü x(t)
Rastgele bir sürecin (rastgele fonksiyon) kesiti rastgeledir
X(ti)'nin t = ti'deki değeri.
X(t) rastgele sürecine ayrık bir süreç denir.
zaman içinde meydana geldiği sistem değişebilirse
durumları yalnızca t1, t2, t3…..tn anlarında, bunların sayısı
sonlu veya sayılabilir
Sistem bir durumdan duruma geçiş yaparsa, zaman içinde
gözlemlenen dönemin herhangi bir t zamanında meydana gelir
Rastgele bir X(t) sürecine sürekli süreç denir.
herhangi bir andaki kesitinin t'yi temsil edip etmediğini belirtin
ayrık değil sürekli bir miktardır
X(t) rastgele sürecine ayrık bir süreç denir.
herhangi bir anda ayarlanıp ayarlanmadığını belirtin
durumlar sonlu veya sayılabilirdir; yani kesiti herhangi bir noktada ise
t momenti ayrı bir rastgele değişkenle karakterize edilir
Rastgele süreçlerin sınıflandırılması
Böylece, tüm ortak girişimler 4 sınıfa ayrılabilir:Süreçler
zaman;
Süreçler
zaman;
Süreçler
zaman;
Süreçler
zaman.
ayrık durum ve ayrık
ayrık durumlu ve sürekli
İle sürekli durum ve ayrık
sürekli durum ve sürekli
Hidrolojik süreçlerin çoğu
sürekli bir durum ve sürekli olan süreçler
zaman. Ancak ayrık bir zaman adımına girerken
sürekli bir zaman sürecinden diğerine dönüşmesi
ayrık zaman süreci. Ancak süreç devam ediyor
duruma göre sürekli
Rastgele süreçlerin temel özellikleri
Herhangi bir sabit değer için rastgele bir x(t) sürecinin kesitit argümanı bir dağıtım yasasına sahip olan SV'yi temsil eder
F(t,x) = P(X(t)< x}
Bu, X(t) rastgele sürecinin tek boyutlu dağılım yasasıdır.
Ancak bu, ortak girişimin kapsamlı bir özelliği değildir, çünkü
bireysel hariç herhangi bir bölümün özelliklerini karakterize eder ve vermez
iki veya daha fazla bölümün ortak dağıtımı hakkında fikirler.
Bu, farklı olasılık değerlerine sahip iki SP'yi gösteren şekilde görülebilir.
yapılar, ancak yaklaşık özdeş dağılımlar Her birinde SV
bölüm
Rastgele süreçlerin temel özellikleri
Bu nedenle SP'nin daha eksiksiz bir özelliği iki boyutlu yasadır.dağıtım
F(t1,t2,x1,x2) = P (X(t1)< x1, X(t2) < x2}
İÇİNDE genel durum SP'nin kapsamlı bir özelliği, n boyutlu dağılım yasasıdır
Uygulamada çok boyutlu dağıtım yasaları yerine
Ortak girişimin MO, dağılım, başlangıç ve başlangıç gibi temel özellikleri
merkezi noktalar, ancak yalnızca ortak girişim için bu özellikler
sayılar ama işlevler
SP X(t)'nin matematiksel beklentisi rastgele olmayan bir mx(t) fonksiyonudur,
t argümanının herhangi bir değeri için matematiksel değere eşittir
ortak girişimin ilgili bölümünü bekliyorum:
burada f1(x,t), SP X(t)'nin tek boyutlu dağılım yoğunluğudur
Rastgele süreçlerin temel özellikleri
MO SP bazı "ortalama" işlevleri temsil ederSP yayılımının meydana geldiği
MO'sini SP X(t)'den çıkarırsak, merkezli bir SP elde ederiz:
X0(t) = X(t) – mx(t)
SP X(t)'nin dağılımı SP X(t)'nin rastgele olmayan bir fonksiyonudur;
t argümanının herhangi bir değeri için SP X(t)'nin karşılık gelen kesitinin dağılımına eşittir
SP X(t) = D = M(2)
SP X(t)'nin standart sapmasına rastgele olmayan değer denir.
SP'nin varyansının kareköküne eşit olan σx(t) fonksiyonu:
σx(t) = σ = √Dx(t)
Rastgele süreçlerin temel özellikleri
Ortak girişimi tam olarak karakterize etmek için ilişkiyi dikkate almak gerekir.farklı bölümler arasında. Bu nedenle, listelenenlerin kompleksine
özellikleri için SP korelasyon fonksiyonunu da eklemeniz gerekir:
Korelasyon (veya kovaryans) fonksiyonu SP X(t) denir
rastgele olmayan fonksiyon Kx(t,t'), her bir değer çifti için
t ve t' argümanları karşılık gelen X(t) ve X(t') bölümlerinin korelasyonuna eşittir
Kx(t,t') = M( x )
veya
Kx(t,t') = M = M - mx(t) mx(t')
Korelasyon fonksiyonunun özellikleri:
- eşitlikle t = t' korelasyon fonksiyonu SP'nin varyansına eşit, yani.
Kx(t,t') = Dx(t)
- korelasyon fonksiyonu Kx(t,t’) kendisine göre simetriktir
argümanlar, yani
Kx(t,t') = Kx(t',t)
Rastgele süreçlerin temel özellikleri
Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu rx(t,t') SP X(t) çağrılırkorelasyon fonksiyonunun çarpıma bölünmesiyle elde edilen fonksiyon
standart sapmalar σx(t) σx(t’)
rx(t,t') = /(σx(t)σx(t')) = /(√(Dx(t)Dx(t'))
Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonunun özellikleri:
- t ve t' argümanları eşitse normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu
bire eşit rx(t,t’) = 1
-normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu simetriktir
argümanları, yani rx(t,t') = rx(t',t)
- normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu mutlak değeri aşmaz
birim rx(t,t') ≤ 1
Rastgele süreçlerin temel özellikleri
Skaler SP ne zaman hakkında konuşuyoruz daha önce olduğu gibi yaklaşık bir ortak girişimPor.
Vektör ortak girişimi, 2 veya daha fazla ortak girişimin dikkate alındığı zamandır.
Su akış hızlarının zaman içinde çeşitli bölümlerde belirtildiğini varsayalım.
Bu durumda SP'yi karakterize etmek için her biri için bilmeniz gerekir.
skaler süreç:
-MO
-korelasyon fonksiyonu
-çapraz korelasyon fonksiyonu
İki rastgelenin çapraz korelasyon fonksiyonu Ri,j(t,t')
X(t) ve X(t') süreçleri iki sayının rastgele olmayan bir fonksiyonudur
t ve t' değer çiftlerinin her biri için eşit olan t ve t' argümanları
kovaryanslar ( doğrusal bağlantı) ortak girişimin iki bölümü X(t) ve X(t')
Ri,j(t,t’) = M
Durağan rastgele süreçler
Sabit ortak girişimler, tüm olasılığa dayalı ortak girişimlerdir.özellikler zamana bağlı değildir, yani:
- mx = sabit
- Dx = sabit
Sabit ve sabit olmayan ortak girişimler arasındaki fark şekilde gösterilmiştir.
a) sabit SP
b) Moskova bölgesi için sabit olmayan ortak girişim
c) dağılımda durağan olmayan SP
Sabit bir SP'nin korelasyon fonksiyonunun özellikleri
Bir fonksiyonun argümanına göre paritesi, yani kx(τ) = kx(-τ)τ – SP'nin tüm zaman argümanlarının aynı miktarda kayması Θ
k – SP'nin Kx(t1,t2) = kx(τ)'deki korelasyon fonksiyonu
Sıfırdaki sabit SP'nin korelasyon fonksiyonunun değeri
τ kayması SP'nin dağılımına eşittir
Dx = Kx(t1,t2) = kx(t - t) = kx(0)
|kx(τ)| ≤ kx(0)
Korelasyon fonksiyonuna ek olarak normalleştirilmiş bir
Durağan SP'nin korelasyon fonksiyonu olarak adlandırılan
otokorelasyon fonksiyonu
rx(τ) = kx(τ)/Dx = kx(τ)/kx(0)
Ergodik rastgele süreçler
Ortak girişimlerin ergodik özelliği, birer birer yeterli olmasıdırOrtak girişimin uzun vadeli uygulanmasına ortak girişimin bir bütün olarak değerlendirilmesi mümkündür.
SP'nin ergodikliği için yeterli bir koşul şu koşuldur:
lim kx(τ) = 0
τ → ∞ olarak, yani bölümler arasındaki kesmenin artmasıyla
korelasyon fonksiyonu bozulur
Şekil a) ergodik olmayan ve b) ergodik SP'yi göstermektedir
Uygulamada (çoğunlukla) şu hipotezi kabul etmek zorunda kalıyoruz:
Hidrolojik süreçlerin durağanlığı ve ergodikliği, böylece
Her şeyi yargılamaktan mutluyum nüfus
Temel rastgele süreçler
Temel SP (e.s.p), t argümanının bir fonksiyonudur, çünküt'ye bağımlılığı sıradan rastgele olmayan bir fonksiyonla temsil edilir,
argüman olarak bir veya daha fazla sıradan SV içeren
Yani her SV, SP'nin kendi uygulamasını oluşturur
Örneğin, eğer bir bölümde taşkın düşüş kolu varsa
kararlı ve denklemle açıklanıyor
Q(t) = Qne-at
a - bölgesel parametre (a>0)
Qn - içeri su akışı başlangıç anı zaman t = t0
o zaman taşkın düşüş süreci e.s.p. olarak düşünülebilir, burada a rastgele değildir
değer, Qn - rastgele değişken
Ana görevler
Çözümü rastgele fonksiyonlar teorisinin kullanılmasını gerektiren iki ana problem türünü ayırt edebiliriz.
Doğrudan görev (analiz): belirli bir cihazın parametreleri ve olasılıksal özellikler“Girdisine” ulaşan fonksiyonun (sinyal, süreç) (matematiksel beklentiler, korelasyon fonksiyonları, dağılım yasaları); cihazın "çıkışındaki" özelliklerin belirlenmesi gerekir (bunlar cihazın çalışmasının "kalitesini" yargılamak için kullanılır).
Ters problem (sentez):“giriş” ve “çıkış” fonksiyonlarının olasılıksal özellikleri belirtilmiştir; belirli bir giriş fonksiyonunu böyle bir şeye dönüştüren optimal bir cihazın tasarlanması (parametrelerinin bulunması) gereklidir. çıkış fonksiyonu Verilen özelliklere sahip olan. Bu problemin çözümü, rastgele çekim fonksiyonları aparatına ek olarak diğer disiplinleri ve bu kitap dikkate alınmadı.
Rastgele fonksiyonun tanımı
Rastgele işlev rastgele olmayan bir argümanın fonksiyonu olarak adlandırılır T, argümanın her sabit değeri için rastgele bir değişkendir. Rastgele Özellikler argüman T belirtmek büyük harflerle X(t), Y(t) vesaire.
Örneğin, eğer U- rastgele değişken, ardından fonksiyon X(!)=C U - rastgele. Aslında, argümanın her sabit değeri için bu fonksiyon bir rastgele değişkendir: t ( = 2
rastgele bir değişken elde ederiz Xx = Avustralya en t 2= 1,5 - rastgele değişken X 2 = 2,25 sen vesaire.
Daha fazla sunumun kısa olması için bölüm kavramını tanıtıyoruz.
Bölüm Rastgele fonksiyon, bir rastgele fonksiyonun argümanının sabit bir değerine karşılık gelen rastgele bir değişkendir. Örneğin rastgele bir fonksiyon için X(t) = t2U, yukarıda verilen argüman değerleri 7, = 2 ve t 2= 1,5 buna göre elde edildi rastgele değişkenler X ( = AUn X 2 = 2,2577, verilen rastgele fonksiyonun bölümleridir.
Dolayısıyla, bir rastgele fonksiyon, parametreye bağlı olarak bir dizi rastgele değişken (X(?)) olarak düşünülebilir. T. Uygulama kavramını ortaya koyarsak, rastgele bir fonksiyonun başka bir yorumu mümkündür.
Uygulama (yörünge, seçici fonksiyon) rastgele fonksiyon X(t) rastgele olmayan bir argüman işlevini çağırın T, test sonucunda buna eşit bir rastgele fonksiyonun ortaya çıkabileceği.
Dolayısıyla, eğer bir deneyde rastgele bir fonksiyon gözlenirse, gerçekte bunun olası uygulamalarından biri gözlemlenir; Açıkçası deney tekrarlandığında farklı bir uygulama gözlemlenecektir.
İşlev uygulamaları X(t) belirtmek küçük harfler x t (t) t x 2 (t) vb., burada indeks test numarasını gösterir. Örneğin, eğer X(t)= (/sin T, Nerede sen- ilk testte alınan sürekli rastgele değişken olası anlam ve ( = 3 ve ikinci testte ve 2 = 4.6, ardından uygulamalar X(t) sırasıyla rastgele olmayan fonksiyonlardır X ( (T) = 3sin T Ve x 2 (t) = 4.6sin T.
Dolayısıyla rastgele bir fonksiyon, onun olası uygulamalarının bir kümesi olarak düşünülebilir.
Rastgele (stokastik) işlem rastgele argüman işlevini çağırın T, zaman olarak yorumlanır. Örneğin, bir uçağın belirli bir sabit hızda uçması gerekiyorsa, o zaman gerçekte, etkisi önceden dikkate alınamayan rastgele faktörlerin (sıcaklık dalgalanmaları, rüzgar gücündeki değişiklikler vb.) etkisi nedeniyle, hız değişir. Bu örnekte uçağın hızı, sürekli değişen bir argümanın (zamanın) rastgele bir fonksiyonudur; hız rastgele bir süreçtir.
Rastgele bir fonksiyonun argümanı ayrı ayrı değişirse, o zaman rastgele fonksiyonun karşılık gelen değerlerinin (rastgele değişkenler) oluştuğunu unutmayın. rastgele dizi.
Rasgele bir fonksiyonun argümanı yalnızca zaman olamaz. Örneğin, bir dokuma ipliğinin çapı uzunluğu boyunca ölçülürse, rastgele faktörlerin etkisiyle ipliğin çapı değişir. Bu örnekte çap, sürekli değişen bir argümanın (ipliğin uzunluğu) rastgele bir fonksiyonudur.
Açıkçası, rastgele bir fonksiyonu analitik olarak (bir formülle) tanımlamak genellikle imkansızdır. Özel durumlarda, bir rasgele fonksiyonun biçimi biliniyorsa ve tanımlayıcı parametreleri rasgele değişkenler ise analitik olarak belirtilebilir. Örneğin rastgele işlevler şunlardır:
X(t)= sin Qf, burada Q rastgele bir değişkendir,
X(t)= G/sin T, Nerede U- rastgele değişken
X(t) = G/sin Qt, burada HAKKINDA. Ve .
Özellikle Y==0 için D z ( T)= M[| (T)|] 2 =Dx(T), yani gereksinim (**) karşılanmıştır.
Bunu göz önünde bulundurarak matematiksel beklenti toplam, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir, elimizdeki
D z(T)=M[| (T)| 2 ]=M{[ (T)] 2 + [ (T) 2 ]}=M[ (T)] 2 +M[ (T) 2 ]=D x(T)+Gün(T).
Bu yüzden, karmaşık bir rastgele fonksiyonun varyansı, gerçek ve sanal kısımlarının varyanslarının toplamına eşittir:
D z ( T)=Dx(T)+Gün(T).
Gerçek bir rastgele fonksiyonun korelasyon fonksiyonunun olduğu bilinmektedir. X(T) farklı anlamlar varyansa eşit argümanlar D x(T). Korelasyon fonksiyonunun tanımını karmaşık rastgele fonksiyonlara genelleştirelim. Z(T) böylece ne zaman eşit değerler argümanlar T 1 =t 2 =t korelasyon fonksiyonu Kz(T,T) varyansa eşitti D z(T), yani gereksinimin karşılanması için
Kz(T,T)=Dz(T). (***)
Karmaşık rastgele fonksiyon Z'nin korelasyon fonksiyonu(T) denir korelasyon anı bölümler ( T 1) ve ( T 2)
Kz(T 1 ,T 2)= M.
Özellikle argümanların eşit değerleri ile
Kz(T,T)= M=M[| | 2 ]=D z(T).
yani gereksinim (***) karşılanmıştır.
Gerçek rastgele fonksiyonlar ise X(T) Ve e(T) ilişkilidir, o zaman
Kz(T 1 ,T 2)= Kx(T 1 ,T 2)+K y(T 1 ,T 2)+ [Rxy(T 2 ,T 1)]+ [Rxy(T 1 ,T 1)].
Eğer X(T) Ve e(T) ilişkili değilse, o zaman
Kz(T 1 ,T 2)= Kx(T 1 ,T 2)+K y(T 1 ,T 2).
Çapraz korelasyon fonksiyonunun tanımını karmaşık rastgele fonksiyonlara genelleştirelim. Z 1 (T)=X 1 (T)+e 1 (T)Ben Ve Z 2 (T)=X 2 (T)+e 2 (T)Ben yani özellikle ne zaman e 1 =Y 2 = 0 gereksinim karşılandı
İki karmaşık rastgele fonksiyonun çapraz korelasyon fonksiyonu bir işlevi çağırmak (rastgele olmayan)
Özellikle ne zaman e 1 =Y 2 =0 elde ederiz
yani gereklilik (****) karşılanmıştır.
İki karmaşık rastgele fonksiyonun çapraz korelasyon fonksiyonu, bunların gerçek ve sanal kısımlarının çapraz korelasyon fonksiyonları aracılığıyla ifade edilir. aşağıdaki formül:
Görevler
1. Rasgele fonksiyonların matematiksel beklentisini bulun:
A) X(T)=Ut 2 nerede U- rastgele değişken ve M(sen)=5 ,
B)X(T)=Ü cos2 t+Vt, Nerede sen Ve V- rastgele değişkenler ve M(sen)=3 ,M(V)=4 .
Temsilci a) mx(t)=5t2; b) t x (t)=3 cos2t+4t.
2. kx(T 1 ,T 2) rastgele fonksiyon X(T). Rasgele fonksiyonların korelasyon fonksiyonlarını bulun:
A) e(T)=X(T)+t; B) e(T)=(T+1)X(T); V) e(T)=4X(T).
Temsilci a) K y (t 1,t 2)= K x (t 1,t 2); b) K y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) K x (t 1 ,t 2); c) K y (t 1 ,t 2)=16 K x (t 1 ,t 2)=.
3. Fark belirtildi D x(T) rastgele fonksiyon X(T). Rasgele fonksiyonların varyansını bulun: a) e(T)=X(T)+e t b)e(T)=tX(T).
Cevap vermek. A) Dy(T)=Dx(T); B) Dy(T)=t 2 D x(T).
4. Bul: a) matematiksel beklenti; b) korelasyon fonksiyonu; c) rastgele bir fonksiyonun varyansı X(T)=Usin 2T, Nerede U- rastgele değişken ve M(sen)=3 ,D(sen)=6 .
Cevap vermek. A) m x(T) =3günah 2T; B) kx(T 1 ,T 2)= 6günah 2T 1 günah 2T 2; V) D x(T)=6günah 2 2T.
5. Rastgele fonksiyonun normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonunu bulun X(T), korelasyon fonksiyonunu bilerek kx(T 1 ,T 2)=3çünkü(T 2 -T 1).
Temsilci ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).
6. Bul: a) karşılıklı korelasyon fonksiyonu; b) iki rastgele fonksiyonun normalleştirilmiş çapraz korelasyon fonksiyonu X(T)=(T+1)sen ve Y( T)= (T 2 + 1)sen, Nerede U- rastgele değişken ve D(sen)=7.
Cevap vermek. A) Rxy(T 1 ,T 2)=7(T 1 +l)( T 2 2 +1); B) ρxy(T 1 ,T 2)=1.
7. Rastgele fonksiyonlar verilmiştir X(T)= (T- 1)sen Ve e(T)=T 2 sen, Nerede sen Ve V- ilişkisiz rastgele değişkenler ve M(sen)=2, M(V)= 3,D(sen)=4 , D(V)=5 . Bulgular: a) matematiksel beklenti; b) korelasyon fonksiyonu; c) toplamın varyansı Z(T)=X(T)+Y(T).
Not. Verilen rastgele fonksiyonların çapraz korelasyon fonksiyonunun sıfıra eşit olduğundan emin olun ve bu nedenle, X(T) Ve e(T) ilişkili değildir.
Cevap vermek. A) mz(T)=2(T- 1)+3T 2; B) Kz(T 1 ,T 2)=4(T 1 - ben)( T 2 - 1)+6T 1 2 T 2 2; V) D z(T)=4(T- 1) 2 +64.
8. Matematiksel beklenti verilmiştir m x(T)=T 2 +1 rastgele fonksiyon X(T). Türevinin matematiksel beklentisini bulun.
9. Matematiksel beklenti verilmiştir m x(T)=t 2 +3 rastgele fonksiyon X(T). Rastgele bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun e(T)=tX"(T)+t 3.
Temsilci m y (t)=t 2 (t+2).
10. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir kx(T 1 ,T 2)= rastgele fonksiyon X(T). Türevinin korelasyon fonksiyonunu bulun.
11. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir kx(T 1 ,T 2)= rastgele fonksiyon X(T). Çapraz korelasyon fonksiyonlarını bulun.
