Teori rastgele süreçler kalıpları inceleyen matematik bilimi denir rastgele olaylar gelişimlerinin dinamikleri içinde.
Rastgele süreçler teorisi (diğer terminolojide - teori rastgele işlevler) olasılık teorisinin nispeten yeni bir dalıdır, özellikle de hızla gelişmektedir. son on yıllar giderek genişleyen pratik uygulama yelpazesiyle bağlantılı olarak.
Çevremizdeki dünyanın olaylarını incelerken, gidişatı önceden kesin olarak tahmin edilemeyen süreçlerle sıklıkla karşılaşırız. Bu belirsizlik (öngörülemezlik), sürecin gidişatını etkileyen rastgele faktörlerin etkisinden kaynaklanmaktadır. Bu tür süreçlere birkaç örnek verelim.
1. Nominal olarak sabit ve 220 V'a eşit olan elektrik şebekesindeki voltaj, aslında zamanla değişir, ağa bağlı cihazların sayısı ve türü, bunların momentleri gibi rastgele faktörlerin etkisi altında nominal değer etrafında dalgalanır. açma ve kapatma vb.
2. Bir şehrin (veya bölgenin) nüfusu, doğurganlık, ölümlülük, göç vb. faktörlerin etkisiyle zaman içinde rastgele (öngörülemeyen) bir şekilde değişir.
3. Bir nehirdeki (veya rezervuardaki) su seviyesi, hava durumuna, yağış miktarına, kar erimesine, sulama faaliyetlerinin yoğunluğuna vb. bağlı olarak zaman içinde rastgele değişir.
4. Mikroskopun görüş alanında Brown hareketi yapan bir parçacık, sıvı moleküllerle çarpışması sonucunda konumunu rastgele değiştirir.
5. Uzaya fırlatılması gereken bir uzay roketinin uçuşu var. şu anda V verilen nokta belirli yönlere sahip uzaylar ve mutlak değer hız vektörü. Roketin gerçek hareketi, atmosferik türbülans, yakıt heterojenliği, komutların işlenmesindeki hatalar vb. gibi rastgele faktörler nedeniyle hesaplananla örtüşmüyor.
6. Çalışma sırasında bir bilgisayar rastgele bir durumdan duruma geçiş yapabilir, örneğin:
S1- düzgün çalışıyor;
S2- bir arıza var ancak tespit edilmiyor;
S3- bir arıza tespit edildi ve kaynağı araştırılıyor;
S4- tamir ediliyor vb.
Durumdan duruma geçişler, bilgisayar güç kaynağı ağındaki voltaj dalgalanmaları, arıza gibi rastgele faktörlerin etkisi altında gerçekleşir. bireysel unsurlar, arızaların tespit edildiği an, ortadan kaldırılma zamanı vb.
Açıkça konuşursak, doğada tamamen rastgele olmayan, kesinlikle deterministik süreçler yoktur, ancak rastgele faktörlerin çok az etkilediği ve fenomeni incelerken ihmal edilebilecek kadar az etkilediği süreçler vardır (örnek: gezegenin etrafındaki gezegensel devrim süreci). Güneş). Bununla birlikte, rastgeleliğin önemli bir rol oynadığı süreçler de vardır (örneğin: yukarıda tartışılan bir parçacığın Brownian hareketi süreci). İki arasında aşırı durumlar Rastgeleliğin daha fazla veya daha az rol oynadığı geniş bir süreç yelpazesi vardır. Sürecin rastgeleliğinin dikkate alınıp alınmayacağı (veya dikkate alınmaması) aynı zamanda ne olduğuna da bağlıdır. pratik sorun biz karar veriyoruz. Örneğin, uçakları iki nokta arasında programlarken, yörüngelerinin doğrusal ve hareketlerinin tek biçimli olduğu düşünülebilir; Bir uçağın uçuşunu kontrol edecek bir otopilot tasarlama sorunu çözülüyorsa aynı varsayımlar geçerli olmayacaktır.
Çözümü rastgele fonksiyonlar teorisinin (rastgele süreçler) kullanılmasını gerektiren iki ana problem türünü ayırt edebiliriz.
Doğrudan görev (analiz): belirli bir cihazın parametreleri ve olasılıksal özellikler“Girdisine” ulaşan fonksiyonun (sinyal, süreç) (matematiksel beklentiler, korelasyon fonksiyonları, dağılım yasaları); cihazın "çıkışındaki" özelliklerin belirlenmesi gerekir (bunlar cihazın çalışmasının "kalitesini" yargılamak için kullanılır).
Ters problem (sentez):“giriş” ve “çıkış” fonksiyonlarının olasılıksal özellikleri belirtilmiştir; belirli bir giriş fonksiyonunu böyle bir şeye dönüştüren optimal bir cihazın tasarlanması (parametrelerinin bulunması) gereklidir. çıkış fonksiyonu Verilen özelliklere sahip olan. Bu problemin çözümü, rastgele fonksiyonlar aparatına ek olarak, çekimler ve diğer disiplinleri gerektirir.
1. Rastgele fonksiyon kavramı, stokastik süreçler
Birçok olguyu incelerken, test sırasında belirli bir süre boyunca değişen rastgele değişkenlerle sistematik olarak uğraşmak gerekir. Bu tür olayların örneklerine paragraf 6.2'de zaten rastlamıştık. ve 9.2. Poisson dağıtım yasasıyla bağlantılı olarak.
Bu tür r.v.'nin örnekleri. Bunlar: kimyasal bir reaksiyon sırasında radyoaktif bir maddenin bozunması, parazitin etkisi altında bir radyo alıcısının çıkışındaki sinyal, bir bilet kuyruğunun uzunluğu futbol maçı, temel malların ticaret sistemindeki fiyat dalgalanmaları, akademik dönem boyunca öğrenci iş yükü, parçacık yörüngesi Brown hareketi, seçim süreçlerinde adayların derecelendirilmesi, telefon santraline gelen çağrıların sayısı vb.
Deney süreci (gözlem, test) sırasında değişen bu tür rastgele değişkenlere denir. rastgele süreçler (rastgele işlevler). Günümüzde teknoloji ve bilimin bir dizi dalı (fiziksel istatistik, difüzyon süreçleri, kimyasal reaksiyon süreçleri vb.), olasılık teorisine klasik olasılık teorisinin çerçevesine uymayan yeni görevler yüklemiştir. O zamanlar, insan faaliyetinin birçok dalı, süreçlerin, yani zaman içinde meydana gelen olayların incelenmesiyle ilgileniyordu. Olasılık teorisi biliminden, rastgele süreçler olarak adlandırılan genel bir teorinin geliştirilmesini talep ettiler. Başka bir deyişle, sürekli değişen bir veya daha fazla zaman parametresine bağlı olarak rastgele değişkenleri inceleyecek bir teorinin geliştirilmesi. Rastgele süreçlere ilişkin bir teori oluşturma ihtiyacını gösteren bu tür problemlere örnekler verelim.
Bir gaz veya sıvının herhangi bir molekülünün hareketini takip etmek istediğimizi düşünelim. Bu molekül içindeki rastgele anlar zaman diğer moleküllerle çarpışır ve aynı zamanda hızını ve konumunu değiştirir. Molekülün durumunun her an rastgele değişimlere maruz kaldığı açıktır. Çalışmaları için birçok doğal olay, belirli sayıda olgunun (moleküller, fiyat değişiklikleri, radyo sinyallerinin gelişi vb.) şu veya bu konumu değiştirme olasılığını hesaplama yeteneğini gerektirir. Bütün bunlar ve diğer birçok soru, rastgele süreçlerin istatistiksel teorisi veya genel olarak adlandırıldığı gibi " stokastik süreçler teorisi ». Açıkçası, fizikte, kimyada, astronomide, ekonomide, genetikte vb. Benzer problemler ortaya çıkıyor. Örneğin, bir kimyasal reaksiyon sürecini incelerken meşru bir soru ortaya çıkıyor:
Molekülün hangi kısmı zaten reaksiyona girdi?
Bu reaksiyon zamanla nasıl ortaya çıkıyor?
Reaksiyon fiilen ne zaman biter?
Çok sayıda olay bu prensibe göre ilerler radyoaktif bozunma. Bu olgunun özü, radyoaktif bir maddenin atomlarının anında bozunarak başka bir kimyasal elementin atomlarına dönüşmesidir. Her atomun parçalanması, belli bir miktarda enerjinin açığa çıkmasıyla birlikte, patlama gibi hızlı ve yüksek hızda gerçekleşir. Kural olarak, çok sayıda gözlem, gözlemci için çeşitli atomların bozunmasının rastgele zamanlarda meydana geldiğini göstermektedir. Üstelik bu zaman anlarının konumu olasılık teorisi açısından birbirine bağlı değildir. Radyoaktif bozunma sürecini incelemek için belirli sayıda atomun belirli bir süre içinde bozunma olasılığının ne olduğunu belirlemek önemlidir. Resmi olarak, yalnızca bu tür olayların matematiksel resmini netleştirmeye çalışırsanız, o zaman bu tür olayların yol açtığı matematik problemlerine basit bir çözüm bulabilirsiniz.
Planck ve Fokker adlı bilim adamlarının, parçacıkların düz bir çizgide yürümesi problemini dikkate alarak difüzyon teorisinde nasıl bir diferansiyel denklem elde ettiklerini kısaca özetleyelim.
Parçacığın o anki noktada olmasına izin verin 
, anlarda 
rastgele şoklar yaşar ve bunun sonucunda her seferinde bir olasılıkla hareket eder 
miktara göre 
sağa ve muhtemelen 
ayrıca miktara göre 
Sola.
ile belirtelim 
bir parçacığın ortaya çıkma olasılığı 
o an şoklar yaşanacak 
pozisyonda 
(çift sayıda şokla değerin 
yalnızca çift sayıda adıma eşit olabilir 
ve ne zaman 
tek - yalnızca tek sayı adımlar 
. 
Eğer bittiyse 
parçacığın sağa doğru attığı adımların sayısını belirtin (sonra
parçacığın sola doğru attığı adım sayısıdır), bu durumda Bernoulli formülüne göre bu olasılık şuna eşittir: 
Bu miktarların eşitlikle ilişkili olduğu açıktır. 
Doğrudan işlevin çalıştığını doğrulayabilirsiniz.
fark denklemini karşılar 
başlangıç koşullarıyla 
ve 
. Sorunun fiziksel doğası bizi parametrelerin oranlarına ilişkin belirli doğal kısıtlamaları kabul etmeye zorlayacaktır. . Daha sonra tartışılacak olan bazı gerekli koşulların yerine getirilmemesi, sonlu bir zaman diliminde olasılığı bire eşit olan bir parçacığın sonsuza gidebilmesi gerçeğine yol açabilir. Bu olasılığı dışlamak için parametrelere empoze ediyoruz 
aşağıdaki koşullar 
en değer nerede
ifade eder hız 
akıntılar
, A 
difüzyon katsayısı.
Eşitliğin her iki tarafından (1) miktarını çıkaralım. 
, alıyoruz 
Fonksiyonun olduğunu varsayalım. 
göre ayırt edilebilir
iki kez ve bir kez
Buradan sınıra doğru ilerliyoruz 
ve (2) koşullarına dayanarak nihayet elde ederiz
(4)
Böylece, difüzyon teorisinde adı verilen iyi bilinen denklemi elde ettik. Fokker-Planck denklemleri.
Stokastik süreçlere ilişkin genel teorinin başlangıcı, A.N.'nin temel çalışmalarında atılmıştır. Kolmogorov ve A.Ya. 30'lu yılların başında Khinchin. A.N.'nin makalesinde. Kolmogorov "Olasılık teorisinin analitik yöntemleri üzerine" stokastik süreçler teorisinin temellerinin sistematik ve titiz bir yapısını verdi sonradan etkisi olmadan veya sıklıkla söylendiği gibi Markov tipi süreçler. Khinchin'in bir dizi çalışmasında, sözde durağan süreçler teorisi oluşturuldu.
Böylece, rastgele olayları dinamikleri açısından inceleyen matematik dalı
gelişme denir rastgele süreçler teorisi(rastgele işlevler). Yöntemleri sıklıkla kullanılır: otomatik kontrol teorisinde, işletmelerin ve çiftliklerin finansal faaliyetlerinin analizinde ve planlanmasında, gerekli bilgilerin işlenmesinde ve iletilmesinde (radyo cihazlarındaki sinyaller, uydu iletişimleri vb.), Ekonomide ve teoride. sıraya girme.
Rastgele süreçler teorisinin (SP) temel kavramlarını kısaca ele alalım.
Eğer her değer 
, Nerede 
r.v. ile karşılık gelen belirli bir gerçek sayılar kümesini belirtir. 
, sonra sette bunu söylüyorlar 
rastgele bir fonksiyon (s.f.) verilir 
. Rastgele süreçler 
uygulamalarda özellikle önemlidir. Parametrenin olduğu durumlarda 
bir zaman parametresi olarak yorumlanırsa rastgele fonksiyon çağrılır rastgele süreç, yani rastgele süreç r.v.'nin ailesi olarak adlandırıldı. 
parametreye bağlı olarak 
ve aynı uzayda tanımlanan temel olaylar 
Belirlenmiş 
veya 
Rastgele fonksiyonun türü biliniyorsa, rastgele bir süreç bir formül (analitik gösterim) biçiminde belirtilebilir. Örneğin, s.f. bir r.p.'dir; burada rastgele değişken 
sahip olmak düzgün dağılım. Sabit bir değer için 
, s.p. 
, sonra s.p. s.v.'ye başvuruyor. 
buna rastgele sürecin kesiti denir.
Uygulama veya yörünge rastgele süreç 
isminde rastgele olmayan zamanın fonksiyonu 
sabit olarak 
yani testlerin bir sonucu olarak s.p. kabul eder özel tip
s.p.'nin uygulanması sırasında. ile gösterilir 
,
burada endeksler test numarasını gösterir.
Şekil 59 üç uygulamayı göstermektedir 
rastgele süreç 
;
Hatırlatırlar üç çeşit Belirli bir mekanik süreçte sinüzoidal salınım fenomeni, bu tür her uygulamanın (yörüngenin) sıradan bir fonksiyon olması 
Şekil 59 (Yazılı).
Bu örnekte r.v. 
üç deneyde sırasıyla üç değer aldı: 1, 2, 0,5, yani. Ortak girişimin üç uygulaması belirtilmektedir: Her üç fonksiyon da rastgele değildir. Bu örnekte anı sabitlersek, 
, sonra bölümü alıyoruz: 
- rastgele değişken veya 
,-rastgele değişkenler. Sözde olduğuna dikkat edin rastgele bir sürecin tek boyutlu dağılım yasası 
değil S.p.'nin kapsamlı bir açıklaması. Rastgele süreç
tüm bölümlerin toplamını farklı değerlerde temsil eder 
bu nedenle, bunu tam olarak açıklamak için süreç kesitlerinin ortak dağıtım fonksiyonu dikkate alınmalıdır:
sp'nin sonlu boyutlu dağılım yasası olarak adlandırılan yasa. anlarda 
. Başka bir deyişle, çok boyutlu r.v.'ler ortaya çıkar.
Böylece, s.p. Bu değişkenlerin sonsuz bir kümesi olduğunda, rastgele değişkenler sistemi kavramının doğrudan genelleştirilmesidir.
giriiş
Rastgele süreçler teorisi (rastgele işlevler) bir bölümdür matematik bilimi, rastgele olayların kalıplarını gelişim dinamiklerinde incelemek.
Şu anda var büyük sayı Doğrudan kuyruk teorisine, matematiksel yönlerinin geliştirilmesine ve ayrıca çeşitli alanlar uygulamaları - askeri, tıbbi, ulaştırma, ticaret, havacılık vb.
Kuyruk teorisi olasılık teorisi ve matematiksel istatistiklere dayanmaktadır. Kuyruk teorisinin ilk gelişimi Danimarkalı bilim adamı A.K.'nin adıyla ilişkilidir. Erlang (1878-1929), telefon santrallerinin tasarımı ve işletilmesi alanındaki çalışmalarıyla.
Kuyruk teorisi, örneğin tüketici hizmetleri işletmelerinde homojen olayların birçok kez tekrarlandığı üretim, hizmet ve yönetim sistemlerindeki süreçlerin analiziyle ilgilenen uygulamalı bir matematik alanıdır; bilgi alma, işleme ve iletme sistemlerinde; otomatik üretim hatları vb. Bu teorinin gelişimine büyük katkı sağlanmıştır. Rus matematikçiler A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel ve ark.
Kuyruk teorisinin konusu, bu süreçleri yönetmenin en iyi yollarını bulmak için talep akışının doğası, hizmet kanallarının sayısı, bireysel bir kanalın performansı ve etkili hizmet arasında bağımlılıklar kurmaktır. Kuyruk teorisinin problemleri optimizasyon niteliğindedir ve sonuçta şunları içerir: ekonomik yön Tanımı gereği hizmet bekleme, hizmet için zaman ve kaynak kaybı, hizmet kanallarının aksama sürelerinden kaynaklanan toplam maliyetleri minimuma indirecek bir sistem seçeneğidir.
İÇİNDE ticari faaliyetler Kuyruk teorisinin uygulanması henüz istenilen yayılımı bulamadı.
Bunun temel nedeni, görevleri belirlemenin zorluğu, ticari faaliyetlerin içeriğinin derinlemesine anlaşılması ihtiyacının yanı sıra ticari faaliyetlerde çeşitli olası sonuçların hesaplanmasına olanak tanıyan güvenilir ve doğru araçlardır. yönetim kararları.
1. Rastgele sürecin tanımı ve özellikleri
Rastgele bir süreç X(t), t argümanının herhangi bir değeri için değeri rastgele bir değişken olan bir süreçtir.
Başka bir deyişle, rastgele bir süreç, test sonucunda önceden bilinmeyen şu veya bu belirli biçimi alabilen bir işlevdir. Sabit bir t = to için X(to) sıradan bir rastgele değişkendir; rastgele bir sürecin kesiti.
Rastgele bir X(t, w) sürecinin uygulanması, rastgele olmayan bir x(t) fonksiyonudur; testin sonucu olarak X(t) rastgele süreci (sabit bir w için), yani X(t) rastgele sürecinin aldığı özel biçim, onun yörüngesi.
Böylece, X(t,w) rastgele süreci aşağıdaki özellikleri birleştirir: rastgele değişken ve işlevler. T argümanının değerini sabitlersek, rastgele süreç sıradan bir rastgele değişkene dönüşür; w'yi sabitlersek, her testin sonucunda sıradan rastgele olmayan bir Fonksiyona dönüşür.
Rastgele bir değişken gibi, rastgele bir süreç de tanımlanabilir sayısal özellikler.
Rastgele bir X(t) sürecinin matematiksel beklentisi, rastgele olmayan bir fonksiyondur. X (t), t değişkeninin herhangi bir değeri için, X(t) rastgele sürecinin karşılık gelen bölümünün matematiksel beklentisine eşittir; balta (t) = M.
Rastgele bir X(t) sürecinin varyansı rastgele olmayan bir fonksiyondur. D X (t), t değişkeninin herhangi bir değeri için varyansa eşit X(t) rastgele sürecinin karşılık gelen bölümü, yani. Dx (t) = D.
Standart sapma rastgele süreç X(t) çağrılır aritmetik değer varyansının karekökü, yani
Rastgele bir sürecin matematiksel beklentisi, tüm olası uygulamalarının ortalama yörüngesini karakterize eder ve bunun dağılımı veya standart sapması, uygulamaların ortalama yörüngeye göre dağılımını karakterize eder.
Rastgele bir X(t) sürecinin korelasyon fonksiyonu rastgele olmayan bir fonksiyondur
iki değişken t1 ve t 2, her bir t1 ve t2 değişken çifti için karşılık gelen X(t1) ve X(t) bölümlerinin kovaryansına eşittir. 2) rastgele süreç.
Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu rastgele süreç X(t)'ye fonksiyon denir
Rastgele süreçler, meydana geldikleri sistemin durumlarının düzgün veya aniden değişmesine, bu durumlar kümesinin sonlu (sayılabilir) veya sonsuz olmasına vb. bağlı olarak sınıflandırılabilir. Rastgele süreçler arasında özel yer Markov rastgele sürecine aittir. Ama önce kuyruk teorisinin temel kavramlarını tanıyalım
2. Temel kavramlar kuyruk teorisi
Pratikte benzer problemleri çözerken tekrar kullanılabilir kullanım için tasarlanmış sistemlerle sıklıkla karşılaşılmaktadır. Ortaya çıkan süreçlere hizmet süreçleri, sistemlere ise kuyruk sistemleri (QS) adı verilir. Bu tür sistemlere örnek olarak telefon sistemleri, tamir atölyeleri, bilgisayar kompleksleri, bilet gişeleri, mağazalar, kuaförler vb. verilebilir.
Her SMO aşağıdakilerden oluşur: belli bir sayı Servis kanalları diyeceğimiz servis birimleri (cihazlar, cihazlar, noktalar, istasyonlar). Kanallar iletişim hatları, çalışma noktaları olabilir, bilgisayarlar, satıcılar vb. Kanal sayısına bağlı olarak CMO'lar tek kanallı ve çok kanallı olarak ikiye ayrılır.
Başvurular genellikle QS tarafından düzenli olarak değil, rastgele alınır ve bu da rastgele bir başvuru akışı (gereksinimler) oluşturur. Uygulamaların hizmeti de genel anlamda bir süre daha devam ediyor. rastgele zaman. Uygulama akışının ve hizmet süresinin rastgele doğası, QS'nin eşit olmayan şekilde yüklenmesine yol açar: bazı dönemlerde çok fazla sayıda uygulama birikir (ya kuyruğa alınırlar ya da QS'yi hizmetsiz bırakırlar), diğer dönemlerde ise QS düşük yükte veya boşta çalışır.
Kuyruk teorisinin konusu, birbiriyle bağlantı kuran matematiksel modellerin oluşturulmasıdır. verilen koşullar QS'nin istek akışıyla başa çıkma yeteneğini açıklayan QS'nin performans göstergeleri ile işleyişi (kanal sayısı, üretkenliği, talep akışının niteliği vb.).
QS için performans göstergeleri olarak aşağıdakiler kullanılır: birim zaman başına hizmet verilen ortalama uygulama sayısı; kuyruktaki ortalama başvuru sayısı; servis için ortalama bekleme süresi; beklemeden hizmet reddi olasılığı; kuyruktaki başvuru sayısının belirli bir değeri aşma olasılığı vb.
QS iki ana türe (sınıflara) ayrılmıştır: arızalı QS ve beklemeli (kuyruk) QS. Reddedilen QS'de, tüm kanalların meşgul olduğu bir zamanda alınan bir başvuru reddedilir, QS'den ayrılır ve sonraki hizmet sürecine katılmaz (örneğin, telefon görüşmesi tüm kanalların meşgul olduğu anda bir ret alır ve QS'yi hizmet dışı bırakır). Bekleyen bir QS'de, tüm kanalların meşgul olduğu bir zamanda gelen istek ayrılmaz, ancak hizmet için kuyruğa alınır.
Beklenti ile QS bölünmüştür farklı türler kuyruğun nasıl organize edildiğine bağlı olarak: sınırlı veya sınırsız kuyruk uzunluğuyla, sınırlı zaman beklentiler vb.
3. Markov rastgele süreci kavramı
QS süreci rastgele bir süreçtir.
Bir süreç, olası durumları S1, S2, S3... önceden listelenebiliyorsa ve sistemin durumdan duruma geçişi anında (bir sıçramayla) meydana geliyorsa, ayrık durumları olan bir süreç olarak adlandırılır. Süreç ile süreç denir sürekli zaman, eğer sistemin durumdan duruma olası geçiş anları önceden sabitlenmemişse, ancak rastgele ise.
QS operasyon süreci, ayrık durumları ve sürekli zamanı olan rastgele bir süreçtir. Bu, bazı olaylar meydana geldiğinde (örneğin, yeni bir isteğin gelmesi, hizmetin sona ermesi vb.) QS durumunun rastgele anlarda aniden değiştiği anlamına gelir.
Matematiksel analiz Bu çalışmanın süreci Markovian ise, QS'nin çalışması önemli ölçüde basitleştirilir. Rastgele bir süreç, sürecin herhangi bir anında gelecekteki olasılıksal özelliklerine bağlıysa ve sistemin ne zaman ve nasıl geldiğine bağlı değilse, Markov veya sonradan etkisi olmayan rastgele süreç olarak adlandırılır. bu durum.
Örnek Markov süreci: sistem S - taksi sayacı. Sistemin t anındaki durumu, arabanın bu ana kadar kat ettiği kilometre sayısı (kilometrenin onda biri) ile karakterize edilir. Sayacın şu anda Yani göstermesine izin verin. Şu anda t > sayaca bu veya bu kilometre sayısını (daha kesin olarak karşılık gelen ruble sayısını) S1 gösterme olasılığı So'ya bağlıdır, ancak sayaç okumalarının zaman içinde hangi noktalarda değiştiğine bağlı değildir. an.
Pek çok süreç yaklaşık olarak Markovian olarak kabul edilebilir. Örneğin satranç oynama süreci; Sistem S bir grup satranç taşıdır. Sistemin durumu, o anda tahtada kalan düşman parçalarının sayısıyla karakterize edilir. Maddi avantajın olduğu anda rakiplerden birinin tarafında olma olasılığı, taşların ne zaman ve hangi sırayla ortadan kaybolduğuna değil, öncelikle sistemin o anda bulunduğu duruma bağlıdır. an be an tahta.
Bazı durumlarda, söz konusu süreçlerin tarihöncesi basitçe ihmal edilebilir ve bunları incelemek için Markov modelleri kullanılabilir.
Ayrık durumlarla rastgele süreçleri analiz ederken, durum grafiği adı verilen geometrik bir şema kullanmak uygundur. Tipik olarak, sistem durumları dikdörtgenlerle (daireler) ve durumdan duruma olası geçişler - oklarla (yönlendirilmiş yaylar) gösterilir, durumları birbirine bağlar.
Ayrık durumlara ve sürekli zamana sahip, QS'de akan Markov rastgele sürecinin matematiksel bir açıklaması için, gelin aşağıdakilerden birini tanıyalım: önemli kavramlar olasılık teorisi - olayların akışı kavramı.
. Etkinlik Akışları
Olay akışı, zaman içinde bazı rastgele anlarda birbirini takip eden homojen olaylar dizisi olarak anlaşılmaktadır (örneğin, bir çağrı akışı). telefon santrali, bilgisayar arıza akışı, müşteri akışı vb.).
Akış, yoğunluk X - olayların meydana gelme sıklığı veya birim zaman başına QS'ye giren ortalama olay sayısı ile karakterize edilir.
Olaylar belirli eşit zaman aralıklarında birbirini takip ediyorsa olayların akışına düzenli denir. Örneğin, bir montaj hattındaki ürünlerin akışı (ile sabit hız hareket) düzenlidir.
Olasılık özellikleri zamana bağlı değilse, olayların akışına durağan denir. Özellikle durağan bir akışın yoğunluğu sabit bir değerdir: Örneğin bir şehir caddesindeki araba akışı gün içinde durağan değildir ancak bu akış gündüz boyunca durağan kabul edilebilir. belirli zaman günler, örneğin yoğun saatlerde. Bu durumda, birim zaman başına (örneğin her dakika) geçen arabaların gerçek sayısı önemli ölçüde değişebilir, ancak ortalama sayıları sabittir ve zamana bağlı olmayacaktır.
Üst üste gelmeyen herhangi iki T1 ve T2 zaman periyodunda, bunlardan birine düşen olayların sayısı diğerlerine düşen olayların sayısına bağlı değilse, olay akışına art etkisi olmayan bir akış denir. Örneğin metroya giren yolcu akışının neredeyse hiçbir etkisi yoktur. Ve diyelim ki, alışveriş yapmak üzere tezgahtan ayrılan müşterilerin akışının zaten bir sonradan etkisi var (çünkü bireysel müşteriler arasındaki zaman aralığı, her biri için minimum hizmet süresinden daha az olamaz).
Olasılık durumunda bir olay akışına sıradan denir küçük (temel) bir zaman aralığında iki veya daha fazla olayın meydana gelmesi, kıyaslandığında ihmal edilebilir düzeydedir İlebir olayın gerçekleşme olasılığı. Başka bir deyişle, eğer olaylar gruplar halinde değil de tek tek ortaya çıkıyorsa, bir olaylar akışı sıradandır. Örneğin bir istasyona yaklaşan trenlerin akışı sıradandır, ancak arabaların akışı sıradan değildir.
Olay akışı denir en basit(veya sabit Poisson), eğer aynı anda durağansa, sıradansa ve sonradan etkisi yoksa. "En basit" adı, en basit akışlara sahip QS'nin en basit akışlara sahip olmasıyla açıklanmaktadır. matematiksel açıklama. Düzenli bir akış, en basit olanı değildir, çünkü bir yan etkisi vardır: böyle bir akışta olayların meydana gelme anları kesinlikle sabittir.
Limit olarak en basit akış, olasılık teorisinde olduğu gibi rastgele süreçler teorisinde de doğal olarak ortaya çıkar. normal dağılım rastgele değişkenlerin toplamı için bir limit olarak elde edilir: yükleme (süperpozisyon) üzerine yeterlidir büyük sayı n bağımsız, durağan ve sıradan akışlar (yoğunlukları Аi (i = 1.2...п) açısından birbirleriyle karşılaştırılabilir) sonuç, en basitine yakın, X yoğunluğuna sahip bir akıştır, miktara eşit gelen akışların yoğunlukları, yani:
Binom kanunu dağılımlar:
parametrelerle
Binom dağılımı, parametre ile Poisson dağılımına yönelir
hangisi için matematiksel beklenti Rastgele bir değişkenin varyansı eşittir:
Özellikle, t (t = 0) süresi boyunca hiçbir olayın meydana gelmeme olasılığı şuna eşittir:
Olasılık yoğunluğu veya dağılım fonksiyonu tarafından verilen dağılım üsteldir. Bu nedenle, en basit akışın iki komşu keyfi olayı arasındaki zaman aralığı, matematiksel beklentinin ortalamaya eşit olduğu üstel bir dağılıma sahiptir. kare sapma rastgele değişken:
ve akış yoğunluğuna göre tam tersi
En önemli mülküstel dağılım (yalnızca üstel dağılımın doğasında vardır) şu şekildedir: üstel yasaya göre dağıtılan bir süre zaten bir süre devam etmişse t, o zaman bu, geri kalan kısmının dağıtım yasasını hiçbir şekilde etkilemez. aralık (T - t): tüm T aralığının dağılım yasasıyla aynı olacaktır.
Başka bir deyişle, üstel dağılıma sahip bir akışın ardışık iki komşu olayı arasındaki T zaman aralığı için, bu aralığın ne kadar sürdüğüne ilişkin herhangi bir bilgi, kalan kısmın dağılım yasasını etkilemez. Bu özellik ispat kanunuözünde, en basit akışın ana özelliği olan "sonraki etkinin olmaması" için başka bir formülasyondur.
Yoğunluğa sahip en basit akış için, temel (küçük) bir At zaman aralığında en az bir akış olayının meydana gelme olasılığı:
(Fonksiyonun At'ın kuvvetleri cinsinden açılımının yalnızca ilk iki terimiyle değiştirilmesiyle elde edilen bu yaklaşık formül, At ne kadar küçükse o kadar doğrudur).
5. Kolmogorov denklemleri. Durumların olasılıklarını sınırlayın
İlgili proses durumu grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. göreve. Sistemin Si durumundan Sj durumuna tüm geçişlerinin, yoğunlukları olan basit olay akışlarının etkisi altında gerçekleştiğini varsayacağız. (Ben , j = 0, 1, 2,3); Böylece sistemin S0 durumundan S1, ilk düğümün arıza akışının etkisi altında gerçekleşecek ve S0 durumundan S1'e ters geçiş, ilk düğümün "onarımların tamamlanması" akışının etkisi altında gerçekleşecektir.
Oklarla işaretlenmiş yoğunluklara sahip sistemin durum grafiğine etiketli adı verilecektir (yukarıdaki şekle bakınız). Söz konusu S sistemi dört olası durumlar: S0 , S1 S2, S3. i'inci durumun olasılığı, sistemin t anında Si durumunda olma olasılığı pi(t)'dir. Açıkçası, herhangi bir t anı için tüm durumların olasılıklarının toplamı bire eşittir:
Sistemi t zamanında ele alalım ve küçük bir At aralığı ayarlayarak, sistemin t+At zamanında S0 durumunda olma olasılığını po (t + At) bulalım. Bu başarıldı farklı şekillerde.
1.Sistem t anında po (t) olasılığıyla S0 durumundaydı, ancak At süresi boyunca bu durumdan ayrılmadı.
Yoğunluklu en basit toplam akış kullanılarak sistem bu durumdan çıkarılabilir (sorun için şekildeki grafiğe bakın) , yaklaşık olarak eşit bir olasılıkla
Ve sistemin S0 durumundan ayrılmama olasılığı şuna eşittir: . Olasılık çarpım teoremine göre sistemin S0 durumunda olma ve At süresi boyunca bu durumdan ayrılmama olasılığı eşittir:
Sistem t anında p1 (t) (veya p2 (t)) olasılığıyla S1 veya S2 durumundaydı ve At süresi boyunca duruma geçti
Akış yoğunluğu sistem yaklaşık olarak eşit bir olasılıkla Yani durumuna geçecektir . Bu yönteme göre sistemin şu durumda olma olasılığı şuna eşittir (veya )
Olasılık toplama teoremini uygulayarak şunu elde ederiz:
At limitine geçiş 0 (yaklaşık eşitlikler kesin olursa), denklemin sol tarafındaki türevi elde ederiz (basitlik açısından belirtelim):
Birinci dereceden bir diferansiyel denklem elde edilir, yani; hem bilinmeyen fonksiyonun kendisini hem de birinci dereceden türevini içeren bir denklem.
S sisteminin diğer durumları için de benzer şekilde akıl yürüterek, sistemi elde edebiliriz. diferansiyel denklemler Durum olasılıkları için Kolmogorov:
Kolmogorov denklemlerini oluşturmak için bir kural formüle edelim. Her birinin sol tarafında i'inci durumun olasılığının türevi bulunur. Sağ tarafta, tüm durumların (okların belirli bir duruma gittiği) olasılıklarının çarpımlarının toplamı ve karşılık gelen olay akışlarının yoğunluğu eksi sistemi bu durumdan çıkaran tüm akışların toplam yoğunluğu bulunur. bu durum, belirli bir (i'inci durumun) olasılığıyla çarpılır
Yukarıda belirtilen sistemde bir tane daha az bağımsız denklem vardır toplam sayı denklemler. Bu nedenle, sistemi çözmek için denklemi eklemek gerekir.
Genel olarak diferansiyel denklemleri çözmenin özelliği, başlangıç koşulları olarak adlandırılan koşulların ayarlanmasının gerekli olmasıdır. bu durumda- sistem durumlarının olasılıkları başlangıç anı t = 0. Yani örneğin, ilk anda her iki kontrolün de düzgün çalışması ve sistemin So durumunda olması şartıyla bir denklem sistemini çözmek doğaldır; en başlangıç koşulları
Kolmogorov'un denklemleri, zamanın bir fonksiyonu olarak durumların tüm olasılıklarını bulmayı mümkün kılar. Özel İlgi sistem olasılıklarını temsil eder p Ben (t) sınırlayıcı sabit modda, yani. en durumların sınırlayıcı (nihai) olasılıkları olarak adlandırılır.
Rastgele süreçler teorisinde, bir sistemin durumlarının sayısı sonluysa ve her birinden bunun mümkün olduğu kanıtlanmıştır (örneğin, son sayı adımlar) başka bir duruma gidin, ardından marjinal olasılıklar var olmak.
Si durumunun marjinal olasılığının açık bir anlamı vardır: ortalamayı gösterir bağıl zaman sistem bu durumda kalır. Örneğin, So durumunun marjinal olasılığı, yani. p0=0,5, bu, sistemin ortalama yarısının S0 durumunda olduğu anlamına gelir.
Sınırlayıcı olasılıklar sabit olduğundan, Kolmogorov denklemlerindeki türevlerini sıfır değerlerle değiştirerek doğrusal bir sistem elde ederiz. cebirsel denklemler, durağan rejimi tanımlıyor.
Ölüm ve üreme süreçleri
Kuyruk teorisinde, rastgele süreçlerin özel bir sınıfı yaygındır. Ölüm ve üreme süreçleri.Bu ad bir numarayla ilişkilendirildi biyolojik problemler bu sürecin hizmet ettiği yer matematiksel model Biyolojik popülasyon sayısındaki değişiklikler.
S sisteminin sıralı durum kümesini düşünün 0, S1, S2,…, Sk. Geçişler herhangi bir durumdan yalnızca bitişik sayılara sahip eyaletlere gerçekleştirilebilir; Sk-1 durumundan duruma veya S k+11 durumuna geçişler mümkündür .
Bu tür denklemleri oluşturma kuralına (Kolmogorov denklemi) uygun olarak şunu elde ederiz: S0 durumu için
Çözüm
Bu özet, rastgele bir kuyruk süreci teorisinin sistem öğelerine yol açan kavramları ortaya koymaktadır: rastgele süreç, hizmet, hizmet sistemi, kuyruk sistemi.
Kullanılan literatür
rastgele kütle Markovian Kolmogorov
1. N.Ş. Kremer "Olasılık Teorisi ve matematiksel istatistik» Birlik, Moskova, 2003
özel ders
Bir konuyu incelemek için yardıma mı ihtiyacınız var?
Uzmanlarımız ilginizi çeken konularda tavsiyelerde bulunacak veya özel ders hizmetleri sağlayacaktır.
Başvurunuzu gönderin Konsültasyon alma olasılığını öğrenmek için hemen konuyu belirtin.
