İletişim sistemlerine müdahale, rastgele süreçler teorisinin yöntemleriyle tanımlanır.

Bir deney sonucunda şu veya bu şekli alırsa ve hangisi olduğu önceden bilinmiyorsa, bir fonksiyona rastgele denir. Rastgele bir süreç, zamanın rastgele bir fonksiyonudur. Özel görünüm Bir deneyin sonucunda rastgele bir süreç olduğunu varsayan bu işleme, rastgele bir sürecin gerçekleşmesi denir.

Şek. Şekil 1.19, rastgele sürecin birkaç (üç) uygulamasını göstermektedir. Böyle bir koleksiyona gerçekleşmeler topluluğu denir. İlk deneyde zamanın anının sabit bir değeriyle, ikincisinde -, üçüncüsünde - belirli bir değer elde ederiz.

Rastgele süreç doğası gereği ikili bir süreçtir. Bir yandan, her spesifik deneyde, zamanın rastgele olmayan bir fonksiyonu olan uygulanmasıyla temsil edilir. Öte yandan, rastgele bir süreç bir dizi ile tanımlanır. rastgele değişkenler.

Aslında, zaman içinde sabit bir noktada rastgele bir süreç düşünelim. Sonra her deneyde bir değer alır ve hangisi olduğu önceden bilinmez. Dolayısıyla, zamanda sabit bir noktada ele alınan rastgele bir süreç, rastgele bir değişkendir. Zamanın iki anı kaydedilirse, her deneyde iki ve değeri elde edeceğiz. Bu durumda, bu değerlerin ortak olarak değerlendirilmesi, iki rastgele değişkenden oluşan bir sisteme yol açar. Zamanın N noktasındaki rastgele süreçleri analiz ederken, N rastgele değişkenden oluşan bir kümeye veya sisteme ulaşırız. .

Rastgele bir sürecin matematiksel beklenti, dağılım ve korelasyon fonksiyonu Zamanın sabit bir noktasında ele alınan bir rastgele süreç bir rastgele değişken olduğundan, bir rastgele sürecin matematiksel beklentisi ve dağılımından bahsedebiliriz:

, .

Tıpkı rastgele bir değişkende olduğu gibi dağılım, rastgele bir sürecin değerlerinin ortalama değere göre yayılmasını karakterize eder. Ne kadar çok olursa, çok büyük pozitif ve negatif değerler işlem. Daha uygun bir özellik ortalamadır standart sapma(RMS), rastgele sürecin kendisiyle aynı boyuta sahiptir.

Rastgele bir süreç, örneğin bir nesneye olan mesafedeki bir değişikliği tanımlıyorsa, matematiksel beklenti metre cinsinden ortalama aralıktır; dağılım metrekare cinsinden ölçülür ve Sco metre cinsinden ölçülür ve olası aralık değerlerinin ortalamaya göre yayılmasını karakterize eder.

Ortalama ve varyans, rastgele bir sürecin davranışını zaman içinde sabit bir noktada yargılamamıza olanak tanıyan çok önemli özelliklerdir. Ancak bir süreçteki değişimin “hızını” tahmin etmek gerekiyorsa, o zaman zamanın bir noktasındaki gözlemler yeterli değildir. Bu amaçla birlikte ele alınan iki rastgele değişken kullanılır. Rastgele değişkenlerde olduğu gibi, ve arasındaki bağlantının veya bağımlılığın bir özelliği tanıtılır. Rastgele bir süreç için bu karakteristik, zamandaki iki ana bağlıdır ve korelasyon fonksiyonu olarak adlandırılır: .

Durağan rastgele süreçler. Kontrol sistemlerindeki birçok süreç zaman içinde aynı şekilde meydana gelir. Temel özellikleri değişmez. Bu tür işlemlere durağan denir. Tam tanım şu şekilde verilebilir. Rastgele bir süreç, aşağıdaki özelliklerden herhangi birine sahipse, durağan olarak adlandırılır. olasılıksal özellikler zamanın kökenindeki değişime bağlı değildir. Durağan rastgele bir süreç için matematiksel beklenti, dağılım ve standart sapma sabittir: , .

Korelasyon fonksiyonu durağan süreç t kökenine bağlı değildir, yani. yalnızca zaman farkına bağlıdır:

Durağan rastgele bir sürecin korelasyon fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) ; 2) ; 3) .

İletişim sistemlerindeki süreçlerin korelasyon fonksiyonları genellikle Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 1.20.

Pirinç. 1.20. Süreçlerin korelasyon fonksiyonları

Korelasyon fonksiyonunun geçerli olduğu zaman aralığı, yani. Rastgele bir sürecin değerleri arasındaki bağlantının büyüklüğü, rastgele sürecin aralığı veya korelasyon süresi olarak adlandırılan M katı kadar azalır. Genellikle veya . Korelasyon aralığına göre zaman içinde farklılık gösteren rastgele bir sürecin değerlerinin birbiriyle zayıf ilişkili olduğunu söyleyebiliriz.

Dolayısıyla korelasyon fonksiyonunun bilgisi, rastgele bir sürecin değişim hızının değerlendirilmesine olanak tanır.

Bir diğer önemli özellik ise rastgele bir sürecin enerji spektrumudur. Korelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak tanımlanır:

.

Açıkçası, ters dönüşüm de doğrudur:

.

Enerji spektrumu, girişim gibi rastgele bir sürecin frekans ekseni üzerindeki güç dağılımını gösterir.

Bir ACS'yi analiz ederken, ACS'nin girişindeki sürecin bilinen özellikleriyle doğrusal bir sistemin çıkışındaki rastgele bir sürecin özelliklerini belirlemek çok önemlidir. Doğrusal sistemin darbeli bir sistem tarafından verildiğini varsayalım. adım yanıtı. Daha sonra o andaki çıkış sinyali Duhamel integrali tarafından belirlenir:

,

sistem girişindeki süreç nerede. Korelasyon fonksiyonunu bulmak için şunu yazıyoruz: ve çarpma işleminden sonra matematiksel beklentiyi buluyoruz

9. Korelasyon fonksiyonu ve temel özellikleri.

İçin tam açıklama Rastgele süreçlerde f-i korelasyon kavramı tanıtıldı.

matematiksel beklentiye eşit, varyans, standart sapma

Dağıtım kanununun normal olduğu varsayılmaktadır. Grafikler, eşit olasılıksal özelliklerine rağmen süreçler arasında keskin bir fark olduğunu göstermektedir.

Örneğin bir uçağı takip etmek. Eğer t zamanında 1 konumunda ise, bir sonraki t2 anında olası 2 konumu sınırlıdır, yani (x 1 ,t 1 ) ve (x 2 ,t 2 ) olayları bağımsız olmayacaktır. İncelenen nesne ne kadar eylemsizse, bu karşılıklı bağımlılık veya korelasyon da o kadar büyük olur. Düzeltme fonksiyonu matematiksel olarak iki fonksiyonun korelasyonunu veya bir fonksiyonun kendisiyle olan korelasyonunu (otomatik düzeltme fonksiyonu) ifade eder. İşlev şu şekilde açıklanmaktadır:

burada t 1 ve t 2 zaman içinde herhangi bir an, yani t 1 ve t 2 T

Korelasyon - istatistiksel ilişki iki veya daha fazla rastgele değişken.

Korelasyon fonksiyonu– iki argümanın böyle rastgele olmayan bir fonksiyonu R x (t 1 ,t 2 ), herhangi bir sabit argüman değeri çifti için t 1 ve t 2 eşittir korelasyon anı rasgele değişkenler x (t 1) ve x (t 2)'nin bu bölümlerine karşılık gelir.

Korelasyon fonksiyonu, rastgele süreçlere sahip sistemlerdeki korelasyonu belirten bir zaman fonksiyonudur.

t1 ve t2 anları çakıştığında korelasyon fonksiyonu dağılıma eşittir. Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Korelasyon fonksiyonlarının özellikleri

1. Korelasyon fonksiyonu R x (t 1 ,t 2 ) argümanlarına göre simetriktir:

X(t) korelasyon fonksiyonunun tanımına uygun olarak.

2. Rastgele bir fonksiyona eklendiğinde Rasgele, rastgele olmayan bir terimin X (t)'si

(t), korelasyon fonksiyonu Z (t) X (t) (t),

bu durumda Rz (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ) olur.

3. Rastgele bir fonksiyon X (t), rastgele olmayan, rastgele olmayan bir faktör ψ(t) ile çarpıldığında, korelasyon fonksiyonu R x (t 1,t 2), ψ(t 1)ψ(t 2) ile çarpılır.

Beklenti ve dağılım, rastgele bir sürecin önemli özellikleridir, ancak bunlar, rastgele bir sürecin bireysel uygulamalarının doğasına ilişkin yeterli anlayışı sağlamaz. Bu, Şekil 2'den görülebilir. Yapıları tamamen farklı olan iki rastgele sürecin uygulanmasını gösteren Şekil 9.3, her ne kadar sahip olsalar da

matematiksel beklenti ve varyansın aynı değerleri. Şekil 2'deki kesikli çizgiler. Şekil 9.3 rastgele süreçlere ilişkin değerleri göstermektedir.

Şekil 2'de gösterilen süreç. Şekil 9.3, a'da bir bölümden diğerine nispeten düzgün bir şekilde ilerlemektedir ve Şekil 9.3'teki işlem, a'dan diğerine nispeten sorunsuz ilerlemektedir. 9.3, b'nin bölümden bölüme güçlü bir değişkenliği vardır. Bu nedenle, ilk durumda bölümler arasındaki istatistiksel bağlantı ikinci duruma göre daha büyüktür, ancak bu ne matematiksel beklentiyle ne de dağılımla belirlenemez.

Bir dereceye kadar karakterize iç yapı rastgele süreç, yani rastgele sürecin değerleri arasındaki ilişkiyi dikkate alın. çeşitli anlar zaman veya başka bir deyişle, rastgele sürecin değişkenlik derecesini hesaba katmak için, rastgele sürecin korelasyon (otokorelasyon) fonksiyonu kavramını tanıtmak gerekir.

Rastgele bir sürecin korelasyon fonksiyonu bağımsız değişkenlerin keyfi olarak seçilen değerlerinin (zaman anları) her bir çifti için, rastgele değişkenin karşılık gelen bölümlerinin iki rastgele değişkeninin çarpımının matematiksel beklentisine eşit olan, iki bağımsız değişkenin rastgele olmayan bir fonksiyonu olarak adlandırılır. işlem:

iki boyutlu olasılık yoğunluğu nerede; - merkezli rastgele süreç; - rastgele bir sürecin matematiksel beklentisi (ortalama değer).

İstatistiksel özelliklerinin zaman içinde nasıl değiştiğine bağlı olarak çeşitli rastgele süreçler durağan ve durağan olmayan olarak ikiye ayrılır. Durağanlığı bölün dar anlamda ve durağanlık geniş anlamda.

Dar anlamda durağan n boyutlu dağılım fonksiyonları ve olasılık yoğunlukları herhangi bir zaman için tüm noktaların kaymasına bağlı değilse rastgele süreç olarak adlandırılır.

Zaman ekseni boyunca aynı boyutta yani.

Bu, iki sürecin herhangi biri için aynı istatistiksel özelliklere sahip olduğu, yani durağan bir rastgele sürecin istatistiksel özelliklerinin zaman içinde sabit olduğu anlamına gelir.

Durağan rastgele süreç, istikrarlı sürecin bir tür analoğudur. deterministik sistemler. Hiçbir geçiş süreci durağan değildir.

Geniş anlamda sabit matematiksel beklentisi sabit olan rastgele bir süreçtir:

ve korelasyon fonksiyonu yalnızca bir değişkene bağlıdır - argümanlardaki farklılıklar ve korelasyon fonksiyonu şu şekilde gösterilir:

Dar anlamda durağan olan süreçler, geniş anlamda zorunlu olarak durağandır; ancak bunun tersi ifade genel olarak yanlıştır.

Geniş anlamda durağan olan rastgele süreç kavramı, bir rastgele sürecin istatistiksel özellikleri olarak yalnızca matematiksel beklenti ve korelasyon fonksiyonu kullanıldığında ortaya çıkar. Rastgele süreçler teorisinin, rastgele bir sürecin özelliklerini matematiksel beklenti ve korelasyon fonksiyonu aracılığıyla açıklayan kısmına korelasyon teorisi denir.

Rastgele bir süreç için normal hukuk dağılım, matematiksel beklenti ve korelasyon fonksiyonu tamamen n boyutlu olasılık yoğunluğunu belirler.

Bu nedenle normal rastgele süreçler için geniş ve dar anlamda durağanlık kavramları örtüşmektedir.

Durağan süreçler teorisi en iyi şekilde geliştirilmiştir ve birçok pratik durum için nispeten basit hesaplamalara izin verir. Bu nedenle bazen, sistemin dikkate alınan çalışma süresi boyunca, rastgele sürecin durağan olmamasına rağmen, sinyallerin istatistiksel özelliklerinin önemli ölçüde değişmek için zamanının olmadığı durumlar için de durağanlık varsayımının yapılması tavsiye edilebilir. Aşağıda aksi belirtilmedikçe geniş anlamda durağan olan rastgele süreçler ele alınacaktır.

Geniş anlamda durağan rastgele süreçleri incelerken, kendimizi yalnızca matematiksel beklentisi (ortalama değer) sıfıra eşit olan süreçleri dikkate almakla sınırlayabiliriz, yani sıfır olmayan bir matematiksel beklentiye sahip rastgele bir süreç toplam olarak temsil edildiğinden sıfır matematiksel beklentisi olan ve bu sürecin matematiksel beklentisine eşit sabit, rastgele olmayan (düzenli) bir değere sahip bir sürecin (aşağıdaki § 9.6'ya bakınız).

Korelasyon fonksiyonunun ifadesi ne zaman

Rastgele süreçler teorisinde iki ortalama değer kavramı kullanılır. Ortalama değerin ilk kavramı, rastgele bir sürecin gerçekleşme kümesinin aynı anda gözlemlenmesine dayanarak belirlenen kümenin (veya matematiksel beklentinin) ortalama değeridir. Bir kümenin ortalama değeri genellikle rastgele işlevi tanımlayan ifadenin üzerinde dalgalı bir çizgiyle gösterilir:

İÇİNDE genel durum belirlenen ortalama zamanın bir fonksiyonudur

Ortalama değere ilişkin başka bir kavram da, belirli bir süre boyunca rastgele bir sürecin ayrı bir uygulamasının gözlemlenmesine dayalı olarak belirlenen, zaman içindeki ortalama değerdir.

yeterince uzun bir T süresi. Zaman içindeki ortalama değer, rastgele fonksiyonun karşılık gelen ifadesinin üzerinde düz bir çizgiyle gösterilir ve aşağıdaki formülle belirlenir:

eğer bu sınır mevcutsa.

Zaman ortalaması genellikle rastgele süreci tanımlayan kümenin bireysel gerçekleşmeleri için farklıdır. Genel olarak konuşursak, aynı rastgele süreç için belirlenen ortalama ve zaman ortalaması değerleri farklıdır. Bununla birlikte, ergodik olarak adlandırılan ve kümenin ortalamasının zaman içindeki ortalamaya eşit olduğu bir durağan rastgele süreçler sınıfı vardır;

Ergodik durağan bir rastgele sürecin korelasyon fonksiyonu, şu şekilde mutlak değerde süresiz olarak azalır:

Bununla birlikte, her durağan rastgele sürecin ergodik olmadığı, örneğin her uygulaması zaman içinde sabit olan rastgele bir sürecin (Şekil 9.4) durağan olduğu ancak ergodik olmadığı akılda tutulmalıdır. Bu durumda, bir uygulamadan ve birden fazla uygulamanın işlenmesinden belirlenen ortalama değerler çakışmamaktadır. Genel durumda aynı rastgele süreç bazı açılardan ergodik olabilir. istatistiksel özellikler ve başkalarına göre ergodik değildir. Aşağıda ergodisite koşullarının tüm istatistiksel özellikler açısından karşılandığını varsayacağız.

Ergodiklik özelliği çok büyük bir değere sahiptir. pratik önemi. Belirlemek için istatistiksel özellikler Bazı nesnelerin, keyfi olarak seçilmiş bir zamanda eşzamanlı gözlemini gerçekleştirmek zorsa (örneğin, bir prototip varsa), bunun yerine tek bir nesnenin uzun süreli gözlemi yapılabilir. Başka bir deyişle, ergodik rastgele yöntemin ayrı bir uygulaması

Sonsuz bir zaman dilimindeki süreç, sonsuz uygulamalarıyla tüm rastgele süreci tamamen belirler. Aslında aşağıda açıklanan yöntemin temelinde bu gerçek yatmaktadır. deneysel belirleme Bir uygulamaya göre durağan rastgele bir sürecin korelasyon fonksiyonu.

(9.25)'ten görülebileceği gibi korelasyon fonksiyonu setin ortalama değeridir. Ergodik rastgele süreçler için korelasyon fonksiyonu, ürünün zaman ortalaması olarak tanımlanabilir;

rastgele bir sürecin herhangi bir uygulaması nerede; x, (9.28) ile belirlenen zaman içindeki ortalama değerdir.

Rastgele bir sürecin ortalama değeri sıfır ise o zaman

Ergodisite özelliğine dayanarak dağılım yapılabilir [bkz. (9.19)] merkezli rastgele sürecin karesinin zaman ortalaması olarak tanımlanır, yani.

(9.30) ve (9.32) ifadelerini tek seferde karşılaştırmak çok şey ortaya çıkarabilir: önemli bağlantı dağılım ve korelasyon fonksiyonu arasında - durağan bir rastgele sürecin dağılımı, korelasyon fonksiyonunun başlangıç ​​değerine eşittir:

(9.33)'ten, durağan bir rastgele sürecin dağılımının sabit olduğu ve dolayısıyla standart sapmanın sabit olduğu açıktır:

İki rastgele süreç arasındaki bağlantının istatistiksel özellikleri, keyfi olarak seçilen her argüman değeri çifti için şuna eşit olan bir karşılıklı korelasyon fonksiyonu ile karakterize edilebilir:

Ergodik rastgele süreçler için (9.35) yerine şunu yazabiliriz:

sırasıyla durağan rastgele süreçlerin gerçekleşmeleri nerede?

Çapraz korelasyon fonksiyonu, zaman içinde farklı noktalarda birbirinden belirli bir süre ile ayrılan iki rastgele sürecin karşılıklı istatistiksel ilişkisini karakterize eder. Değer, bu ilişkiyi zamanın aynı noktasında karakterize eder.

(9.36)'dan şu sonuç çıkıyor

Rastgele süreçler birbirleriyle istatistiksel olarak ilişkili değilse ve sıfıra eşit ortalama değerler, o zaman bunların tümü için çapraz korelasyon fonksiyonu sıfıra eşittir. Fakat ters çıkışçapraz korelasyon fonksiyonu sıfıra eşitse işlemler bağımsızdır ve bu yalnızca şu şekilde yapılabilir: bazı durumlarda(özellikle normal dağılım yasasına sahip süreçler için), genel güç ters yasa sahip değil.

Korelasyon fonksiyonlarının rastgele olmayan (normal) zaman fonksiyonları için de hesaplanabileceğini unutmayın. Ancak düzenli bir fonksiyonun korelasyon fonksiyonundan bahsettiklerinde, bu basitçe formal bir fonksiyonun sonucu olarak anlaşılır.

Bir integralle ifade edilen işlemin düzenli bir fonksiyona uygulanması:

Korelasyon fonksiyonlarının bazı temel özelliklerini sunalım

1. Korelasyon fonksiyonunun başlangıç ​​değeri [bkz. (9.33)] rastgele sürecin varyansına eşittir:

2. Korelasyon fonksiyonunun değeri herhangi bir durum için onu aşamaz. başlangıç ​​değeri, yani

Bunu kanıtlamak için, buradan çıkan bariz eşitsizliği düşünün.

Son eşitsizliğin her iki tarafının zaman içindeki ortalama değerlerini buluyoruz:

Böylece eşitsizliği elde ederiz

3. Korelasyon fonksiyonu çift fonksiyondur, yani.

Bu, korelasyon fonksiyonunun tanımından kaynaklanmaktadır. Gerçekten mi,

bu nedenle grafikte korelasyon fonksiyonu her zaman ordinat etrafında simetriktir.

4. Rastgele süreçlerin toplamının korelasyon fonksiyonu şu ifadeyle belirlenir:

çapraz korelasyon fonksiyonları nerede

Gerçekten mi,

5. Korelasyon fonksiyonu sabit değer korelasyon fonksiyonunun tanımından çıkan bu sabit değerin karesine eşittir (Şekil 9.5, a):

6. Periyodik bir fonksiyonun korelasyon fonksiyonu örneğin bir kosinüs dalgasıdır (Şekil 9-5, 5), yani.

Faz kaymasıyla aynı frekansa sahip ve ondan bağımsız

Bunu kanıtlamak için korelasyon fonksiyonlarını bulurken şunu unutmayın: periyodik fonksiyonlar aşağıdaki eşitliği kullanabilirsiniz:

fonksiyonun süresi nerede

Son eşitlik, -T'den T'ye kadar limitli integralin, T'de limitli bireysel integrallerin toplamı ile değiştirilmesinden sonra ve integrallerin periyodikliği kullanılarak elde edilir.

Daha sonra yukarıdakileri dikkate alarak t'yi elde ederiz.

7. Fourier serisine genişletilen bir zaman fonksiyonunun korelasyon fonksiyonu:

Pirinç. 9.5 (bkz. tarama)

yukarıdakilere dayanarak aşağıdaki forma sahiptir:

8. Durağan bir rastgele sürecin tipik bir korelasyon fonksiyonu, Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 9.6. Aşağıdaki analitik ifadeyle yaklaşık olarak tahmin edilebilir:

Büyümeyle birlikte aralarındaki bağlantı zayıflar ve korelasyon fonksiyonu küçülür. Şek. Şekil 9.5, b, c, örneğin iki korelasyon fonksiyonunu ve bir rastgele sürecin karşılık gelen iki gerçekleştirmesini gösterir. Daha fazla sayıda rastgele sürece karşılık gelen korelasyon fonksiyonunun olduğunu görmek kolaydır. ince yapı, daha hızlı azalır Başka bir deyişle, daha fazla yüksek frekanslar Rastgele bir süreçte mevcutsa, karşılık gelen korelasyon fonksiyonu o kadar hızlı azalır.

Bazen analitik ifadeyle yaklaşık olarak tahmin edilebilecek korelasyon fonksiyonları vardır.

dağılım nerede; - zayıflama parametresi; - rezonans frekansı.

Bu tür korelasyon fonksiyonları, örneğin atmosferik türbülans, radar sinyalinin solması, bir hedefin açısal titremesi vb. gibi rastgele süreçlere sahiptir. (9.45) ve (9.46) ifadeleri genellikle işlemenin bir sonucu olarak elde edilen korelasyon fonksiyonlarına yaklaşmak için kullanılır. deneysel veriler.

9. Üzerine frekanslı periyodik bir bileşenin bindirildiği Durağan rastgele sürecin korelasyon fonksiyonu, aynı frekansın periyodik bir bileşenini de içerecektir.

Bu durum, rastgele bir sürecin uygulanmasına ilişkin bireysel kayıtlarda ilk bakışta tespit edilemeyen, rastgele süreçlerdeki "gizli periyodikliği" tespit etmenin yollarından biri olarak kullanılabilir.

Rastgele bileşene ek olarak ayrıca periyodik bir bileşen içeren bir sürecin korelasyon fonksiyonunun yaklaşık bir formu Şekil 1'de gösterilmektedir. Rastgele bileşene karşılık gelen korelasyon fonksiyonunun belirtildiği Şekil 9.7'de. Gizli periyodik bileşeni tanımlamak için (bu sorun, örneğin, büyük gürültünün arka planına karşı küçük bir yararlı sinyal tanımlanırken ortaya çıkar), aşağıdakiler için korelasyon fonksiyonunu belirlemek en iyisidir: büyük değerler rastgele sinyal zaten nispeten zayıf bir korelasyona sahip olduğunda ve rastgele bileşenin korelasyon fonksiyonunun biçimi üzerinde çok az etkisi olduğunda.

Durağan bir sürecin korelasyon fonksiyonu

Korelasyon fonksiyonu Rastgele süreç, sürecin belirli anlarda alınan iki merkezli bölümünün çarpımının matematiksel beklentisi olarak tanımlanır. T 1 ve T 2. Bu durumda matematiksel beklenti iki boyutlu olasılık yoğunluğu kullanılarak hesaplanır. . Durağan bir rastgele süreç için, iki boyutlu olasılık yoğunluğu ve buna bağlı olarak korelasyon fonksiyonu aşağıdakilere bağlı değildir: T 1 ve T 2 ayrı ayrı ama yalnızca farklarından = T 2 - T 1. Buna göre durağan bir sürecin korelasyon fonksiyonu şu ifadeyle belirlenir:

(3.1)

durağan bir sürecin matematiksel beklentisi nerede; X 1 , X 2 - olası değerler rastgele süreç, sırasıyla, zaman zaman T 1 , T 2 ; = T 2 – T 1 - bölümler arasındaki zaman aralığı; - durağan bir sürecin iki boyutlu olasılık yoğunluğu. için ikinci ifade ifşa yoluyla elde edilen köşeli parantezler ilk ifade ve matematiksel beklentinin özellikleri dikkate alınarak.

İÇİNDE bilimsel ve teknik literatür Rastgele bir sürecin böyle bir özelliği aynı zamanda şu şekilde de kullanılır: kovaryans fonksiyonu K (T), sürecin sırasıyla anlarda alınan iki değerinin çarpımının matematiksel beklentisi olarak anlaşılmaktadır. T 1 ve T 2:

(3.2)

yani oran adil

(3.3)

Eğer , daha sonra kavramlar Ve kibrit. Ek olarak ergodik özelliğe sahipse, korelasyon fonksiyonu uzun bir uygulamadan belirlenebilir:

(3.4)

Nerede T- tek bir gerçekleşmenin gözlem aralığı X(T) işlem ; - aynı uygulama X(T), bir süre ertelendi.

Formül (3.4) oluşturmak için bir temel olarak kullanılabilir. Blok şeması korelasyon fonksiyonunu ölçen bir cihaza denir korelometre. Bir korelometre oluşturmak için bir çarpan, değişken gecikme süreli bir gecikme cihazı ve bir entegratör gereklidir (Şekil 3.1). Bu cihaz ölçer veya sıfır olup olmadığına bağlı.

Korelasyon fonksiyonu Genel olarak rastgele bir sürecin korelasyon fonksiyonu gibi, durağan bir rastgele sürecin gerçek fonksiyon argüman. Aynı zamanda iki taraftan karakterize eder. İlk önce, dalgalanmaların ortalama özgül gücünü belirler. A ikincisi, dereceyi yargılamamızı sağlar doğrusal bağlantı rastgele bir sürecin birbirinden bir zaman aralığıyla ayrılmış iki bölümü arasında. Boyut rastgele sürecin karesinin boyutuyla örtüşür. Korelasyon fonksiyonunun özelliklerini ele alalım.

1. = 0'daki korelasyon fonksiyonu süreç varyansına eşittir

(3.5)

Bu özellik, eğer içine = 0 koyarsak, doğrudan formül (3.1)'den gelir.

2. Durağan bir sürecin korelasyon fonksiyonu: eşit işlev argüman:

(3.6)

Bu özellik, momentlerin değerleri olmadığı durağan bir sürecin tanımından doğrudan kaynaklanır ve t 2 ve bir bölümün diğerinden zaman açısından uzaklığı |t 2 -t 1 |.

3. Herhangi biri için korelasyon fonksiyonu T değerini aşamaz = 0:

(3.7)

Bu özellik fiziksel olarak şu anlama gelir: en yüksek derece Aynı kesit arasında yani =0 noktasında doğrusal bağlantı sağlanır. Doğru, eğer periyodik bir süreçse, o zaman sürecin periyoduyla orantılı olan ve arasında katı bir işlevsel bağlantı olan başka bir süreç olabilir. . Dolayısıyla genel durumda formül (3.7)'de sadece eşitsizlik değil eşitlik de sağlanabilir.

4. Korelasyon fonksiyonu şu şekilde temsil edilebilir:

(3.8)

Nerede R(T) normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu; buna bağlı ve içinde yer alan bir korelasyon katsayısı anlamına gelir.

. (3.9)

Yalnızca aralık boyunca alınan rastgele bir sürecin bölümleri arasındaki doğrusal bağlantının derecesini karakterize eder. Buna karşılık, bir sürecin dağılımı, yalnızca rastgele bir sürecin dalgalanmalarının ortalama özgül gücünü karakterize eder.

KORELASYON FONKSİYONU

gerçek rastgele süreç - argümanlar T,. eşitlikle tanımlanmış

K. f. tanımlandığında, X(t) sürecinin sonlu bir saniyeye sahip olduğu varsayılmalıdır. Burada t parametresi gerçek çizginin belirli bir alt kümesinden geçer ve genellikle "zaman" olarak yorumlanır, ancak K. işlevi. tamamen benzer şekilde tanımlanır. Keyfi nitelikteki bir dizi üzerinde tanımlanan rastgele fonksiyon, özellikle K. f. rastgele alan ne zaman T - sonlu boyutlu uzayın bir alt kümesi. Eğer çok boyutlu () ise, o zaman K. f. isminde matris değerli fonksiyon

Süreçlerin çapraz korelasyon fonksiyonu X ben(T) , Xj(T).

K.f. öyle önemli karakteristik rastgele süreç. Eğer X(t) - Gauss süreci, sonra K.f. İÇİNDE( t, s) ve değer (yani birinci ve ikinci momentler), sonlu boyutlu dağılımları ve dolayısıyla bir bütün olarak süreci benzersiz bir şekilde belirler. Genel durumda, ilk iki an, rastgele bir sürecin tam bir açıklaması için açıkça yetersizdir. Örneğin aynı K. f. yörüngeleri sürekli olan ve sözde Gauss yörüngelerine sahiptir. telgraf sinyali - Markovian noktası sabit süreç , iki değer alarak ±1. Ancak K.f. tanımlarönemli özellikler süreç - sözde ikinci dereceden özellikler (yani ikinci momentler cinsinden ifade edilir). Bundan dolayı ve ayrıca, göreceli basitlik korelasyon yöntemleri hem rastgele süreçler teorisinde hem de istatistiklerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. uygulamalar (bkz.).

Korelogram Eğer R(t).ek olarak sürekli ise t= 0 , (X(t) sürecinin ortalama kare sürekliliğine karşılık gelir)

O olumlu final nerede; burada tüm gerçek çizgiyi geçiyorum eğer T= ("sürekli zaman" durumu) veya eğer T= (. . . , - 1, 0, 1, . . .) (“ayrık zaman” durumu). Ölçü denir rastgele bir sürecin spektral ölçüsü. Böylece korelasyon ve spektral özellikler durağan rastgele sürecin yakından ilişkili olduğu ortaya çıkıyor; örneğin korelasyonlardaki azalma oranı düzgünlük derecesine karşılık gelir spektral yoğunluk

İÇİNDE vesaire. istatistiksel mekanik K. f. isminde ayrıca ortak r( x 1 , ..., x t ).Söz konusu sistemin farklı parçacıklarının noktalarda bulunması..., x 1, x t

Bu fonksiyonların kümesi karşılık gelen noktayı benzersiz bir şekilde belirler. Yaktı. : Dub J., Olasılıksal süreçler, çev. İngilizce'den, M., 1956; Lo e in M., Olasılık Teorisi, çev. İngilizce'den, M., 1962; G ikhman I.I., Skorokhod A.V., Rastgele süreçler teorisine giriş, M., 1965.

A. S. Kholevo. Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi

.

I. M. Vinogradov. 1977-1985. Diğer sözlüklerde "KORELASYON FONKSİYONU"nun ne olduğuna bakın: korelasyon fonksiyonu -NDP. otokorelasyon fonksiyonu Değişken bileşenin ürününün ortalama değerine eşit fonksiyon rastgele sinyal ve aynı değişken bileşen, ancak gecikmeli

Korelasyon fonksiyonu, rastgele süreçlere sahip sistemlerde korelasyonu belirten zaman veya mekansal koordinatların bir fonksiyonudur. İki rastgele X(t) ve Y(t) fonksiyonunun zamana bağlı korelasyonu şu şekilde tanımlanır: , burada köşeli ayraçlar ... ... Vikipedi

İÇİNDE istatistiksel fizik olasılığını belirleyen fonksiyon ilişkilidir. herhangi bir sıvı veya gaz molekülünden oluşan bir kompleksin düzenlenmesi; s=2 K.f'de. isminde çift ​​veya ikili. Ortamın moleküllerinin düzenlenmesinde korelasyonların ortaya çıkması, yakınlarda... Fiziksel ansiklopedi

Rastgele süreç fonksiyonu B (s, t) = M[ X (s) MX (s)].*, s, [burada MX (t) sürecin ilk momentidir, * karmaşık eşlenik anlamına gelir; öyle olduğu varsayılıyor. Durumunda vektör süreci K. f. korelasyon denir... Fiziksel ansiklopedi- 1. Rastgele bir sinyalin değişken bileşeni ile aynı değişken bileşenin çarpımının ortalama değerine eşit, ancak belirli bir süre gecikmeli bir fonksiyon. Belgede kullanılmıştır: GOST 16465 70 Radyo mühendisliği ölçüm sinyalleri.… … Telekomünikasyon sözlüğü

Bkz. Rastgele bir sürecin korelasyon fonksiyonu. Jeolojik Sözlük: 2 cilt halinde. M.: Nedra. K. N. Paffengoltz ve diğerleri tarafından düzenlenmiştir 1978 ... Jeolojik ansiklopedi

Rastgele bir sürecin korelasyon fonksiyonu- 16. Rastgele bir sürecin korelasyon fonksiyonu Merkezi rastgele bir sürecin kovaryans fonksiyonuna eşit, iki değişkenli t ve u'dan oluşan bir fonksiyon Rξ (t, u) = M([ξ(t) m1]×[ξ(u) m2]), t,uЄT Kaynak ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu- 25. Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu NDP. Korelasyon katsayısı Fonksiyonu, orana eşit rastgele bir sinyalin varyansıyla korelasyon fonksiyonu