Genlik toplamanın bir vektör diyagramını oluşturun. Harmonik titreşimlerin eklenmesi

Bir dizi sorunu çözmek, özellikle aynı yöndeki birkaç salınımın eklenmesi (veya aynı olan birkaç salınımın eklenmesi) harmonik fonksiyonlar), salınımların bir düzlem üzerinde vektörler şeklinde grafiksel olarak gösterilmesi durumunda büyük ölçüde kolaylaştırılır ve netleşir. Bu şekilde elde edilen diyagrama vektör diyagramı denir.

X harfiyle gösterdiğimiz ekseni alalım (Şekil 55.1). Eksen üzerinde alınan O noktasından, eksenle bir a açısı oluşturan a uzunluğunda bir vektör çiziyoruz.

Bu vektörü şununla döndürürsek açısal hız o zaman vektörün ucunun izdüşümü x ekseni boyunca -a ile +a aralığında hareket edecek ve bu izdüşümün koordinatı yasaya göre zamanla değişecektir

Sonuç olarak, vektörün ucunun eksene izdüşümü harmonik salınım genlikle, uzunluğa eşit vektör, vektörün açısal dönme hızına eşit dairesel frekansa sahip ve bir başlangıç ​​fazına sahip, açıya eşit ekseni olan bir vektör tarafından oluşturulan başlangıç ​​anı zaman.

Yukarıdakilerden, uzunluğu salınımın genliğine eşit olan ve vektörün yönünün x ekseni ile başlangıç ​​fazına eşit bir açı oluşturduğu bir vektör kullanılarak harmonik bir salınımın belirlenebileceği anlaşılmaktadır. salınım.

Aynı yönde ve aynı frekansta iki harmonik salınımın toplandığını düşünelim. Salınım yapan cismin yer değiştirmesi x, yer değiştirmelerin toplamı olacak ve aşağıdaki şekilde yazılacaktır:

Her iki salınımı da vektörler kullanarak temsil edelim (Şekil 55.2). Ortaya çıkan a vektörünü vektör toplama kurallarına göre oluşturalım.

Bu vektörün x eksenine izdüşümünün, toplam vektörlerinin izdüşümlerinin toplamına eşit olduğunu görmek kolaydır:

Bu nedenle, vektör a sonuçta ortaya çıkan salınımı temsil eder. Bu vektör, vektörlerle aynı açısal hızla döner, böylece ortaya çıkan hareket, frekans genliği a ve başlangıç ​​fazı a olan harmonik bir salınım olur. İnşaattan anlaşılıyor ki

Dolayısıyla harmonik salınımların vektörler aracılığıyla temsili, vektörlerin eklenmesi işlemine birden fazla salınımın eklenmesinin azaltılmasını mümkün kılar. Bu teknik, örneğin belirli bir noktadaki ışık titreşimlerinin, belirli bir noktaya gelen birçok titreşimin üst üste binmesinin sonucu olarak belirlendiği optikte özellikle faydalıdır. bu nokta dalga cephesinin farklı bölümlerinden.

Formüller (55.2) ve (55.3), elbette, (55.1) ifadelerinin eklenmesi ve karşılık gelenlerin üretilmesiyle elde edilebilir. trigonometrik dönüşümler. Ancak bu formülleri elde etmek için kullandığımız yöntem daha basit ve açıktır.

Genlik için ifadeyi (55.2) analiz edelim. Her iki salınım arasındaki faz farkı sıfırsa, ortaya çıkan salınımın genliği a ve a'nın toplamına eşittir. Faz farkı eşitse veya , yani her iki salınım da antifazdaysa, ortaya çıkan salınımın genliği şuna eşittir:

Salınım frekansları aynı değilse, a ve vektörleri şu şekilde dönecektir: farklı hızlarda. Bu durumda, elde edilen vektör a büyüklüğünde titreşir ve herhangi bir etki olmaksızın döner. sabit hız. Sonuç olarak, bu durumda ortaya çıkan hareket, harmonik bir salınım değil, bazı karmaşık salınım süreçleri olacaktır.

Aynı yönde birkaç salınımın eklenmesi (veya aynı şey olan birkaç harmonik fonksiyonun eklenmesi) büyük ölçüde kolaylaştırılır ve salınımlar bir düzlem üzerinde vektörler olarak grafiksel olarak gösterilirse netleşir.

“x” olarak göstereceğimiz bir eksen alalım. Eksen üzerinde alınan O noktasından, salınımların başlangıç ​​​​fazına eşit bir açıyla, A uzunluğunda bir vektör çiziyoruz (Şekil 8.3). A vektörünü x eksenine yansıtalım, x 0 =A elde ederiz çünkü a, salınım noktasının denge konumundan ilk yer değiştirmesidir. Bu vektörü w 0 açısal hızıyla saat yönünün tersine döndürelim. Bu vektörün herhangi bir andaki konumu aşağıdakilere eşit açılarla karakterize edilecektir:

w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w 0 t3 +a; vesaire.

Ve bu vektörün izdüşümü “x” ekseni boyunca –A ile +A aralığında hareket edecektir. Üstelik bu projeksiyonun koordinatı kanuna göre zamanla değişecektir:

.

Sonuç olarak, vektörün ucunun herhangi bir eksen üzerine izdüşümü, vektörün uzunluğuna eşit bir genliğe, vektörün açısal dönüş hızına eşit bir dairesel frekansa ve başlangıç ​​​​fazına eşit bir başlangıç ​​​​fazına sahip bir harmonik salınım gerçekleştirecektir. açı, bir vektör tarafından oluşturulmuş zamanın ilk anında eksen ile.

Böylece, uzunluğu salınımın genliğine eşit olan bir vektör kullanılarak harmonik bir salınım belirlenebilir ve vektörün yönü, salınımın başlangıç ​​​​fazına eşit "x" ekseni ile bir açı oluşturur.

Aynı yönde ve aynı frekansta iki harmonik salınımın toplandığını düşünelim. Salınım yapan cismin “x” yer değiştirmesi, x 1 ve x 2 yer değiştirmelerinin toplamı olacak ve aşağıdaki şekilde yazılacaktır:

Her iki salınımı da vektörler kullanarak temsil edelim ve (Şekil 8.4) Vektörleri toplama kurallarını kullanarak, ortaya çıkan vektörü oluşturalım. Bu vektörün X eksenine izdüşümü, toplam vektörlerin izdüşümlerinin toplamına eşit olacaktır: x=x 1 +x 2. Bu nedenle vektör, ortaya çıkan titreşimi temsil eder. Bu vektör, ve vektörleriyle aynı açısal hız w 0 ile döner, dolayısıyla ortaya çıkan hareket, frekansı w 0, genliği "a" ve başlangıç ​​fazı a olan harmonik bir salınım c olacaktır. İnşaattan şu anlaşılıyor

Böylece harmonik salınımların vektörler aracılığıyla temsili, vektörlerin eklenmesi işlemine birden fazla salınımın eklenmesinin azaltılmasını mümkün kılar. Bu yöntem trigonometrik dönüşümleri kullanmaktan daha basit ve açıktır.

İfadeyi genlik açısından analiz edelim. Her iki salınımın faz farkı a 2 - a 1 = 0 ise, ortaya çıkan salınımın genliği toplama eşittir ( A 2 + A 1). Faz farkı a 2 - a 1 = +p veya -p ise, yani. salınımlar antifazdaysa, ortaya çıkan salınımın genliği eşittir.

Titreşim frekansları x 1 ve x 2 aynı değilse, vektörler farklı hızlarda dönecektir. Bu durumda ortaya çıkan vektör büyüklük olarak titreşir ve değişken bir hızda döner. Dolayısıyla ortaya çıkan hareket bu durumda olacaktır. Olumsuz sadece harmonik bir salınım, fakat karmaşık bir salınım süreci.

Ekseni seçelim. Bu eksen üzerinde alınan O noktasından, eksenle bir açı oluşturan uzunlukta bir vektör çiziyoruz. Bu vektörü açısal hızla döndürürsek, vektörün ucunun eksene izdüşümü kanuna göre zamanla değişecektir. . Sonuç olarak, vektörün ucunun eksene izdüşümü, vektörün uzunluğuna eşit bir genliğe sahip harmonik salınımlar gerçekleştirecektir; açısal dönüş hızına eşit dairesel frekansa ve vektörün eksenle oluşturduğu açıya eşit bir başlangıç ​​fazına sahip X zamanın ilk anında.

Vektör diyagramı vektörlerin geometrik toplamına salınımların eklenmesinin azaltılmasını mümkün kılar. Aşağıdaki forma sahip, aynı yönde ve aynı frekansta iki harmonik salınımın toplandığını düşünün:

Her iki salınımı da vektörleri kullanarak temsil edelim ve (Şekil 7.5). Ortaya çıkan vektörü vektör toplama kuralını kullanarak oluşturalım. Bu vektörün eksene izdüşümünün, vektörlerin terimlerinin izdüşümlerinin toplamına eşit olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle vektör, ortaya çıkan titreşimi temsil eder. Bu vektör, vektörlerle aynı açısal hızda döner, böylece ortaya çıkan hareket, frekans, genlik ve başlangıç ​​fazı ile harmonik bir salınım olacaktır. Kosinüs teoremine göre ortaya çıkan salınımın genliğinin karesi şuna eşit olacaktır:

Dolayısıyla harmonik salınımların vektörler aracılığıyla temsili, vektörlerin eklenmesi işlemine birden fazla salınımın eklenmesinin azaltılmasını mümkün kılar. Formül (7.3) ve (7.4) elbette ve analitik olarak ifadelerin eklenmesiyle elde edilebilir, ancak vektör diyagramı yöntemi daha basit ve açıktır.

Sönümlü Salınımlar

Herhangi bir gerçek salınım sisteminde, hareketi sistemin enerjisinde bir azalmaya yol açan direnç kuvvetleri vardır. Enerji kaybı dış kuvvetlerin çalışmasıyla yenilenmezse salınımlar sönecektir. En basit ve aynı zamanda en yaygın durumda direnç kuvveti hız ile orantılıdır:

,

Nerede R– direnç katsayısı adı verilen sabit bir değer. Eksi işareti kuvvet ve hızın eşit olmasından kaynaklanmaktadır. zıt yönler; bu nedenle eksene olan projeksiyonları X sahip olmak farklı işaretler. Direnç kuvvetlerinin varlığında Newton'un ikinci yasasının denklemi şu şekildedir:

.

, gösterimini kullanarak hareket denklemini aşağıdaki gibi yeniden yazarız:

.

Bu denklem açıklamaktadır solma sistem salınımları. Katsayıya zayıflama katsayısı denir.

Düşük bir sönümleme katsayısında sönümlü salınımların deneysel bir grafiği Şekil 2'de sunulmaktadır. 7.6. Şek. Şekil 7.6'da bağımlılık grafiğinin zamanla azalan bir fonksiyonla çarpılan kosinüs gibi göründüğünü görebilirsiniz. Bu fonksiyon şekilde kesikli çizgilerle temsil edilmiştir. Benzer şekilde davranan basit bir fonksiyon üstel fonksiyondur. Bu nedenle çözüm şu şekilde yazılabilir:

,

sönümlü salınımların frekansı nerede.

Büyüklük X periyodik olarak sıfırdan geçer ve sonsuz sayı kez maksimum ve minimuma ulaşır. Sıfırdan art arda iki geçiş arasındaki zaman aralığı eşittir. Çift değerine denir salınım periyodu.

Çarpan bakan periyodik fonksiyon, isminde sönümlü salınımların genliği. Zamanla üstel olarak azalır. Çürüme hızı şu şekilde belirlenir: Salınımların genliğinin bir faktör kadar azaldığı süreye sönümleme süresi denir. Bu süre zarfında sistem salınım yapar. Salınımların sönümlenmesi genellikle karakterize edilir logaritmik sönüm azalması. Logaritmik azalma sönüm, salınımlı bir miktarın maksimum veya minimumdan ardışık geçiş anlarındaki genlik oranının logaritmasıdır:

.

İlişkiye göre salınım sayısıyla ilgilidir:

Miktar denir salınım sisteminin kalite faktörü. Kalite faktörü ne kadar yüksek olursa daha büyük sayı Sistem, genlik bir kat azalmadan önce salınmayı başarır.

Sabitler ve harmonik salınımlarda olduğu gibi başlangıç ​​koşullarından belirlenebilir.

ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER

Dış periyodik bir kuvvetin etkisi altında meydana gelen salınımlara zorlanmış denir. Dış kuvvet pozitif iş yapar ve salınım sistemine enerji akışı sağlar. Direnç kuvvetlerinin etkisine rağmen titreşimlerin sönmesine izin vermez.

Periyodik bir dış kuvvet zamana göre değişebilir. çeşitli kanunlar. Özellikle ilgi çekici olan, bir dış kuvvetin birlikte değiştiği durumdur. harmonik kanunuω frekansı ile, kendi salınımlarını belirli bir ω 0 frekansında gerçekleştirebilen bir salınım sistemini etkiler. Örneğin, bir yay üzerinde asılı duran bir yükü frekansla çekerseniz, yük belirli bir frekansla harmonik salınımlar gerçekleştirecektir. dış güç Bu frekans yayın doğal frekansıyla örtüşmese bile.

Sisteme periyodik bir dış kuvvet etki etsin. Bu durumda alabilirsiniz aşağıdaki denklem böyle bir sistemin hareketini açıklayan:

,

(7.5)

Nerede . Şu tarihte: zorlanmış titreşimler salınımların genliği ve dolayısıyla salınım sistemine aktarılan enerji, frekanslar arasındaki ilişkiye ve ayrıca zayıflama katsayısına bağlıdır.

Salınım sistemi üzerinde harici bir kuvvetin etkisinin başlamasından sonra, zorlanmış salınımların oluşması için bir süre ωt gereklidir. İlk anda, her iki süreç de salınım sisteminde uyarılır - ω frekansında zorlanmış salınımlar ve ω 0 doğal frekansında serbest salınımlar. Ancak sürtünme kuvvetlerinin kaçınılmaz varlığı nedeniyle serbest titreşimler sönümlenir. Bu nedenle, bir süre sonra salınım sisteminde yalnızca harici itici kuvvetin ω frekansındaki sabit salınımlar kalır. Yerleşme süresi büyüklük sırasına göre bozunma süresine (ω) eşittir serbest titreşimler salınımlı bir sistemde. Bir yay üzerindeki yükün kararlı durum zorlanmış salınımları, frekanslı bir harmonik kanuna göre meydana gelir. eşit frekans dış etki. Kararlı durumda denklem (7.6)'nın çözümünün şu şekilde yazıldığı gösterilebilir:

,

,
.

Dolayısıyla zorlanmış titreşimler, itici kuvvetin frekansına eşit frekansa sahip harmonik titreşimlerdir. Zorlanmış salınımların genliği, itici kuvvetin genliği ile orantılıdır. Belirli bir salınım sistemi için (yani, belirli ve değerlerine sahip bir sistem), genlik, itici kuvvetin frekansına bağlıdır. Zorlanmış salınımlar, itici kuvvetten faz bakımından farklılık gösterir. Faz kayması itici kuvvetin frekansına bağlıdır.

REZONANS

Zorunlu salınımların genliğinin itici kuvvetin frekansına bağımlılığı, belirli bir sistem için belirlenen belirli bir frekansta salınımların genliğinin aşağıdakilere ulaşması gerçeğine yol açar: maksimum değer. Salınım sisteminin bu frekanstaki itici kuvvetin hareketine özellikle duyarlı olduğu ortaya çıktı. Bu fenomene denir rezonans ve karşılık gelen frekans rezonans frekansı. Grafiksel olarak, zorlanmış salınımların genliği x m'nin itici kuvvetin frekansı ω'ya bağımlılığı bir rezonans eğrisi ile tanımlanır (Şekil 7.9).

Frekansa bağlı olarak zorlanmış salınımların genliğinin davranışını inceleyelim. İtici kuvvetin genliğini değiştirmeden frekansını değiştireceğiz. Ne zaman alırız statik sapma Etkisi altında sabit kuvvet :

Frekans arttıkça yer değiştirme genliği de önce artar, sonra bir maksimuma geçer ve en sonunda asimptotik olarak sıfıra yönelir. Şek. 7.9'da bu eğrinin maksimumunun daha küçük, daha yüksek ve sağda olduğu da açıktır. Ek olarak, ne kadar küçük olursa, rezonansa yakın genlik frekansla o kadar fazla değişir, maksimum da o kadar keskin olur.

Rezonans olgusu, salınımlarının doğal frekansları periyodik olarak hareket eden bir dış kuvvetin frekansı ile çakışırsa köprülerin, binaların ve diğer yapıların tahrip olmasına neden olabilir. Makineleri ve çeşitli yapı türlerini tasarlarken rezonans olgusunun dikkate alınması gerekir. Bu cihazların doğal frekansı hiçbir durumda olası dış etkilerin frekansına yakın olmamalıdır.

Örnekler

Ocak 1905'te Mısır Köprüsü St. Petersburg'da çöktü. Suçlular yoldan geçen 9 kişi, 2 taksi şoförü ve Peterhof At Muhafız Alayı'nın 3. filosuydu. Aşağıdakiler oldu. Bütün askerler köprü boyunca ritmik bir şekilde yürüyorlardı. Sonuç olarak köprü sallanmaya ve salınmaya başladı. Şans eseri köprünün doğal titreşim frekansı askerlerin adım frekansıyla örtüşüyordu. Formasyonun ritmik adımı köprüye giderek daha fazla enerji kazandırdı. Rezonans sonucu köprü o kadar sallandı ki çöktü. Eğer köprünün doğal titreşim frekansı ile askerlerin adım frekansı arasında rezonans olmasaydı köprüye hiçbir şey olmayacaktı. Bu nedenle askerler zayıf köprülerden geçerken “bacağınızı indirin” emrini vermek adettendir.

Büyük tenor Enrico Caruso'nun bir notayı tam sesle uygun perdede söyleyerek cam kadehi paramparça edebileceği söylenir. Bu durumda ses, camın duvarlarında zorlamalı titreşimlere neden olur. Rezonans sırasında duvarların titreşimleri, camın kırılacağı kadar büyüklüğe ulaşabilir.

Deney yapmak

Telli bir müzik aletinin yanına gidin ve yüksek sesle “a” diye bağırın: tellerden biri yanıt verecek ve ses çıkaracaktır. Bu sesin frekansıyla rezonans içinde olan tel diğer tellerden daha kuvvetli titreyecek, sese tepki verecektir.

İnce bir ipi yatay olarak gerin. Ona iplik ve hamuru yapılmış bir sarkaç takın. İpin üzerine benzer bir sarkaç daha atın, ancak daha fazlası ile uzun iplik. Bu sarkacın süspansiyonunun uzunluğu, ipliğin serbest ucunu elinizle çekerek değiştirilebilir. Bu sarkacı salınım hareketine ayarlayın. Bu durumda, birinci sarkaç da salınmaya başlayacaktır, ancak genliği daha küçük olacaktır. İkinci sarkacın salınımlarını durdurmadan, yavaş yavaş süspansiyonunun uzunluğunu azaltın - birinci sarkacın salınımlarının genliği artacaktır. Rezonansı gösteren bu deneyde mekanik titreşimler birinci sarkaç, ikinci sarkaç tarafından uyarılan salınımların alıcısıdır. İlk sarkacın salınmasına neden olan sebep periyodik salınımlar ikinci sarkacın salınım frekansına eşit frekansa sahip ip. Birinci sarkacın zorlanmış salınımları, yalnızca doğal frekansı ikinci sarkacın salınım frekansıyla çakıştığında maksimum genliğe sahip olacaktır.

KENDİNDEN SALINIMLAR

Kendi kendine salınımların ortaya çıktığı ve kullanıldığı insan elinin yaratımları çok sayıda ve çeşitlidir. Öncelikle bunlar farklı müzik Enstrümanları. Zaten eski zamanlarda - kornalar ve kornalar, borular, ıslıklar, ilkel flütler. Daha sonra - yay ile tel arasındaki sürtünme kuvvetinin sesi uyarmak için kullanıldığı kemanlar; çeşitli nefesli çalgılar; sesin, sabit bir hava akışının etkisi altında titreşen metal kamışlar tarafından üretildiği armoniler; Boruları hava sütunlarını rezonans eden organlar dar yarıklardan kaçar.

Pirinç. 7.12

Kayma sürtünme kuvvetinin pratik olarak hızdan bağımsız olduğu iyi bilinmektedir. Bununla birlikte, bir keman telinin ses çıkarması tam da sürtünme kuvvetinin hıza çok zayıf bağımlılığından kaynaklanmaktadır. Yüksek kaliteli görünüm Yayın sürtünme kuvvetinin ipe bağımlılığı Şekil 2'de gösterilmektedir. 7.12. Statik sürtünme kuvveti nedeniyle ip yay tarafından yakalanır ve denge konumundan çıkarılır. Elastik kuvvet sürtünme kuvvetini aştığında ip yaydan kopacak ve giderek artan bir hızla denge konumuna gelecektir. İpin hareketli yaya göre hızı artacak, sürtünme kuvveti artacak ve belli bir anda ipi tutmaya yeterli hale gelecektir. Daha sonra süreç tekrar tekrarlanacaktır. Böylece sabit hızla hareket eden bir yay neden olmaz. sönümlü salınımlar Teller.

Yaylı yaylı çalgılarda, kendi kendine salınımlar, yay ile tel arasında etki eden sürtünme kuvveti tarafından korunur ve nefesli çalgılarda, bir hava akımının üflenmesi, alet borusundaki hava sütununun kendi kendine salınımlarını korur.

Farklı zamanlara ait yüzden fazla Yunan ve Latin belgesi, Mısır'ın Luksor kenti yakınlarında kurulan, MÖ 14. yüzyılda hüküm süren firavunlardan birinin görkemli sondaj heykeli olan ünlü "Memnon Heykeli" nin şarkısından bahsediyor. Heykelin yüksekliği yaklaşık 20 metre, ağırlığı ise bin tona ulaşıyor. Dev heykelin alt kısmında, arkasında kamera bulunan çok sayıda çatlak ve delik keşfedildi. karmaşık şekil. Memnon Heykeli, doğal hava akımlarının etkisi altında ses çıkaran dev bir organdır. Heykel insan sesini taklit ediyor.

Biraz egzotik bir doğanın doğal kendi kendine salınımları şarkı söyleyen kumlardır. 14. yüzyılda büyük gezgin Marco Polo, Asya'daki gizemli Lop Nor Gölü'nün "sondaj yapan kıyılarından" bahsetti. Altı yüzyıl boyunca tüm kıtaların çeşitli yerlerinde şarkı söyleyen kumlar keşfedildi. sen yerel populasyonçoğu durumda korkuya neden olurlar ve efsanelere ve geleneklere konu olurlar. Jack London, eski Mayaların hazinelerini aramak için bir rehberle yola çıkan “Üçlü Kalpler” romanındaki karakterlerin şarkı söyleyen kumlarla buluşmasını anlatıyor.

"Tanrılar gülerken dikkat edin!" – yaşlı adam uyarmak için bağırdı. Parmağıyla kuma bir daire çizdi ve o çizerken kumlar uludu ve ciyakladı; sonra yaşlı adam diz çöktü, kum kükredi ve bir trompet çaldı.

Kazakistan'da İli Nehri yakınında şarkı söyleyen kumlar ve hatta şarkı söyleyen bir kum dağı bile var. Dev bir doğal organ olan Kalkan Dağı neredeyse 300 metreye yükseldi. İnsanlar buna farklı diyorlar: "şarkı söyleyen kumul", "şarkı söyleyen dağ". Açık renkli kumdan yapılmıştır ve Büyük ve Küçük Kalkanlar'ın Dzhungar Alatau'sunun karanlık mahmuzlarının fonunda renk kontrastı nedeniyle olağanüstü bir manzara sunar. Rüzgâr estiğinde ve hatta bir insan oradan indiğinde bile dağdan melodik sesler çıkar. Yağmurdan sonra ve sakin dönemlerde dağ sessizdir. Turistler Şarkı Söyleyen Kumul'u ziyaret etmeyi çok seviyorlar ve üç zirvesinden birine tırmandıktan sonra İli ve Trans-İli Alatau sırtının panoramasına hayran kalıyorlar. Dağ sessizse, istekli ziyaretçiler ona "şarkı söylettirir." Bunu yapmak için dağın yamacında hızla koşmanız gerekiyor, ayaklarınızın altından kum akıntıları akacak ve kumulun derinliklerinden bir uğultu çıkacak.

Şarkı söyleyen kumların keşfinin üzerinden yüzyıllar geçti ve bu şaşırtıcı olaya ilişkin tatmin edici bir açıklama getirilmedi. İÇİNDE son yıllarİngiliz akustikçiler ve Sovyet bilim adamı V.I. işe koyuldu. Arabaji. Arabaji yayılan sesin üst katman kum, dalgalı bir yüzey profiline sahip daha alt, daha sert bir katman boyunca bir tür sürekli rahatsızlık altında hareket eder. Katmanların karşılıklı hareketi sırasında sürtünme kuvvetleri nedeniyle ses uyarılır.

Zorlanmış salınımlar sönümsüz salınımlardır. Zorunlu titreşimler sırasında sürtünmeden kaynaklanan kaçınılmaz enerji kayıpları, enerjinin dışarıdan sağlanmasıyla telafi edilir. dış kaynak periyodik olarak etkili kuvvet. Periyodik dış etkiler nedeniyle değil, bu tür sistemlerin enerji tedarikini sabit bir kaynaktan düzenleme yeteneğinin bir sonucu olarak sönümsüz salınımların ortaya çıktığı sistemler vardır. Bu tür sistemlere kendi kendine salınımlı denir ve süreç sönümsüz salınımlar bu tür sistemlerde - kendi kendine salınımlar . Şematik olarak, kendi kendine salınan bir sistem, bir enerji kaynağı, sönümlü bir osilatör ve salınım sistemi ile kaynak arasında bir geri besleme cihazı olarak temsil edilebilir (Şekil 7.10).

Herhangi bir salınım sistemi kullanılabilir mekanik sistem Kendi sönümlü salınımlarını gerçekleştirebilen (örneğin bir sarkaç) duvar saati). Enerjinin kaynağı deforme olmuş bir yay veya yerçekimi alanındaki bir yük olabilir. Geri besleme cihazı, kendi kendine salınan bir sistemin bir kaynaktan gelen enerji akışını düzenlediği bir mekanizmadır.

Kendiliğinden salınan mekanik bir sistemin bir örneği, ankraj darbesine sahip bir saat mekanizmasıdır (Şekil 7.11). Çapa hareketine sahip bir saatte, eğik dişlere sahip çalışan tekerlek, içinden ağır bir zincirin atıldığı dişli bir tambura sağlam bir şekilde tutturulur. Sarkacın üst ucunda iki plakalı bir çapa vardır. ağır metal merkezi sarkacın ekseninde olacak şekilde dairesel bir yay boyunca kavislidir. Kol saatlerinde ağırlığın yerini bir yay, sarkacın yerini ise spiral bir yaya bağlı dengeleyici alır. Dengeleyici kendi ekseni etrafında burulma titreşimleri gerçekleştirir. Titreşimli sistem Bir saatte bir sarkaç ya da dengeleyici vardır, enerji kaynağı yükseltilmiş bir ağırlık ya da sarımlı bir yaydır. Geri bildirimin sağlandığı cihaz, çalışan çarkın bir dişi yarım devirde döndürmesine olanak tanıyan bir ankrajdır. Geri bildirim ankrajın çalışan tekerlek ile etkileşimi ile gerçekleştirilir. Sarkacın her salınımında, çalışan tekerleğin bir dişi, ankraj çatalını sarkacın hareket yönünde iter ve sürtünmeden kaynaklanan enerji kayıplarını telafi eden enerjinin belirli bir kısmını ona aktarır. Böylece, potansiyel enerji Ağırlık (veya bükülmüş yay) yavaş yavaş ayrı kısımlar halinde sarkaca aktarılır.

İÇİNDE gündelik Yaşam Belki de kendimiz fark etmeden, periyodik kuvvetlerin neden olduğu salınımlardan daha sık kendi kendine salınımlarla karşılaşırız. Doğada ve teknolojide her yerde kendi kendine salınımlar bizi kuşatıyor: buhar makineleri, motorlar içten yanma elektrikli çanlar, saatler, çalan keman telleri veya org boruları, atan kalpler, ses telleri Konuşurken veya şarkı söylerken tüm bu sistemler kendi kendine salınımlar gerçekleştirir.

Denemek!

Salınım hareketi genellikle bir tür sarkacın davranışı dikkate alınarak incelenir: yay, matematiksel veya fiziksel. Hepsi temsil ediyor katılar. Sıvı veya gaz halindeki cisimlerin titreşimlerini gösteren bir cihaz oluşturmak mümkündür. Bunu yapmak için su saatinin tasarımında var olan fikri kullanın. İki bir buçuk litre plastik şişeler kapakları sabitleyerek su saatindekiyle aynı şekilde bağlanır. Şişelerin boşlukları, iç çapı 4-5 milimetre olan, 15 santimetre uzunluğunda bir cam tüp ile birbirine bağlanır. Şişelerin yan duvarları pürüzsüz ve sert olmamalı, sıkıldığında kolayca buruşmalıdır (bkz. Şekil 7.13).

Salınımları başlatmak için üstüne bir şişe su konur. Ondan gelen su hemen tüpten alt şişeye akmaya başlar. Yaklaşık bir saniye sonra, akış kendiliğinden durur ve havanın bir kısmının alt şişeden üstteki şişeye karşı yayılımı için tüpteki bir geçide yol açar. Bağlantı borusundan karşıt su ve hava akışlarının sırası, üst ve alt şişelerdeki basınç farkına göre belirlenir ve otomatik olarak ayarlanır.

Sistemdeki basınç dalgalanmaları, suyun serbest bırakılması ve hava girişi ile zaman içinde periyodik olarak sıkışan ve genişleyen üst şişenin yan duvarlarının davranışıyla kanıtlanır. Çünkü

DALGA OLUŞUMU

Titreşim nasıl yayılır? Titreşimleri iletmek için bir ortama ihtiyaç var mı yoksa onsuz da iletilebilir mi? Sondaj yapan bir diyapazondan çıkan ses dinleyiciye nasıl ulaşır? Radyo verici anteninde hızla değişen bir akım, alıcı anteninde bir akımın ortaya çıkmasına nasıl neden olur? Uzak yıldızlardan gelen ışık gözlerimize nasıl ulaşır? Bu tür olguları dikkate almak için yeni bir yaklaşım getirmek gerekir. fiziksel kavram- dalga. Dalga süreçleri temsil eder genel sınıf Farklı doğalarına rağmen fenomenler.

Dalgaların kaynakları olsun deniz dalgaları, bir ipteki dalgalar, deprem dalgaları veya ses dalgaları havada titreşimler vardır. Titreşimlerin uzayda yayılma sürecine dalga denir. Örneğin, ses durumunda, salınım hareketi yalnızca sesin kaynağı (tel, akort çatalı) tarafından değil, aynı zamanda sesin alıcısı - kulağın kulak zarı veya mikrofonun zarı - tarafından da gerçekleştirilir. Dalganın yayıldığı ortamın kendisi de titreşir.

Dalga süreci, aralarındaki bağlantıların varlığından kaynaklanır. ayrı parçalar halindeŞu veya bu nitelikte elastik bir dalgaya sahip olduğumuza bağlı olarak sistemler. Uzayın herhangi bir yerinde meydana gelen bir süreç, sistemin komşu noktalarında değişikliklere neden olur ve onlara belli miktarda enerji aktarır. Rahatsızlık bu noktalardan yakındakilere geçer ve böylece noktadan noktaya yayılır, yani bir dalga oluşturur.

Herhangi bir katı, sıvı veya maddenin elemanları arasında etki eden elastik kuvvetler gazlı vücut, ortaya çıkmasına neden olur elastik dalgalar. Elastik dalgalara bir örnek, bir kordon boyunca yayılan bir dalgadır. Kablonun ucunda titreşim oluşturmak için elinizi yukarı ve aşağı hareket ettirirseniz, bu hareket nedeniyle kablonun bitişik bölümleri elastik kuvvetler bağlantılar da hareket etmeye başlayacak ve kablo boyunca bir dalga yayılacaktır. Genel özellik dalgalar yayılabilirler uzun mesafeler ve ortamın parçacıkları yalnızca sınırlı alan uzay. Dalganın yayıldığı ortamın parçacıkları dalga tarafından sürüklenmez ileri hareket sadece denge konumları etrafında salınırlar. Dalganın yayılma yönüne göre ortam parçacıklarının titreşim yönüne bağlı olarak, boyuna ve enine dalgalar ayırt edilir. Boyuna bir dalgada, ortamın parçacıkları dalganın yayılma yönü boyunca salınır; enine - dalga yayılma yönüne dik. Elastik enine dalgalar yalnızca kayma direncine sahip bir ortamda ortaya çıkabilir. Bu nedenle sıvı ve gazlı ortam Yalnızca boyuna dalgalar oluşabilir. Katı bir ortamda hem boyuna hem de enine dalgalar meydana gelebilir.

İncirde. Şekil 8.1, bir ortamda yayılırken parçacıkların hareketini gösterir kayma dalgası ve parçacıkların dalgadaki dört sabit zamandaki konumu. Sayılar 1, 2 vb. Parçacıklar tarafından gerçekleştirilen salınım periyodunun dörtte biri içinde dalganın kat ettiği mesafe ile birbirlerinden ayrılan parçacıklar belirlenir. Zamanın sıfır olduğu anda eksen boyunca soldan sağa doğru ilerleyen dalga parçacığa ulaştı. 1 bunun sonucunda parçacık denge konumundan yukarı doğru kaymaya başladı ve onunla birlikte sürüklendi sonraki parçacıklar. Dönemin dörtte birinden sonra parçacık 1 en yüksek konuma ulaşır; eş zamanlı olarak parçacık denge konumundan kaymaya başlar 2 . Dönemin bir çeyreğinden sonra, birinci parçacık aşağı yönde hareket ederek denge konumunu geçecek, ikinci parçacık en üst konuma ulaşacak ve üçüncü parçacık denge konumundan yukarı doğru hareket etmeye başlayacaktır. eşit bir zamanda, ilk parçacık tam salınımını tamamlayacak ve ilk andaki hareket durumunda olacaktır. Dalga parçacığa zamanında ulaşacaktır. 5 .

İncirde. Şekil 8.2, bir ortamda uzunlamasına bir dalga yayıldığında parçacıkların hareketini göstermektedir. Enine dalgadaki parçacıkların davranışına ilişkin tüm argümanlar aynı zamanda aşağıdakilere de uygulanabilir: bu durum yukarı ve aşağı yer değiştirmelerin yerini sağa ve sola kaymalar alır. Şek. Şekil 8.2'de, boylamsal bir dalga bir ortamda yayıldığında, dalga yayılımı yönünde bir hızla hareket eden parçacıkların alternatif konsantrasyonları ve seyrekleşmelerinin yaratıldığı görülebilir.

Ortamı etkileyen, titreşime neden olan cisimlere dalga kaynakları denir. Elastik dalgaların yayılması, maddenin aktarımıyla ilişkili değildir, ancak dalgalar, salınım kaynağı tarafından dalga sürecine sağlanan enerjiyi aktarır.

Geometrik konum rahatsızlıkların ulaştığı noktalar şu anda zamana dalga cephesi denir. Yani dalga cephesi, halihazırda dalga sürecine dahil olan uzay kısmını, bozuklukların henüz ulaşmadığı alandan ayıran yüzeydir.

Aynı fazlarda salınan noktaların geometrik konumuna dalga yüzeyi denir. Dalga yüzeyi kaplanan uzaydaki herhangi bir noktadan çizilebilir dalga süreci. Dalga yüzeyleri herhangi bir şekle sahip olabilir. En basit durumlarda düzlem veya küre şeklindedirler. Buna göre bu durumlarda dalgaya düzlem veya küresel denir. Düz bir dalgada dalga yüzeyleri birbirine paralel bir dizi düzlemi temsil eder; V küresel dalga– birçok eşmerkezli küre.

Bir dalganın ortam parçacıklarının salınım periyoduna eşit bir sürede yayıldığı mesafeye dalga boyu denir. Dalga yayılma hızının nerede olduğu açıktır.

İncirde. 8.3 kullanılarak gerçekleştirildi bilgisayar grafikleri Bir nokta kaynağından su üzerinde enine bir dalganın yayılmasının bir modeli verilmiştir. Her parçacık denge konumu etrafında harmonik salınımlar gerçekleştirir.

Pirinç. 8.3. Bir nokta salınım kaynağından enine dalganın yayılması

©2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfa oluşturulma tarihi: 2016-02-16

Osilatörün farklı genliklere, frekanslara ve başlangıç ​​fazlarına sahip, aynı şekilde yönlendirilmiş iki salınımda yer alması mümkündür. Bu tür salınımların eklenmesini düşünelim.

Aynı frekanslara sahip salınımların eklenmesi

Basitlik açısından, öncelikle eklenen salınımların frekanslarının aynı olduğu durumu ele alalım. Eklenen harmonik salınımların genel çözümleri şu şekildedir:

Nerede x 1, x 2- dalgalanmaları açıklayan değişkenler, bir 1, bir 2- genlikleri ve , - başlangıç ​​aşamaları. Ortaya çıkan salınım

kullanarak bulmak kolay vektör diyagramı. Bu yöntem dönme ve salınım süreci arasındaki analojiyi kullanır.

Harmonik titreşim için genel çözümü (1.23) alalım. Bir eksen seçelim 0x. Noktadan 0 uzunluk vektörünü çizelim A eksen ile şekillendirme 0x köşe . Bu vektörü açısal hızla döndürürsek, bu vektörün ucunun izdüşümü eksen boyunca hareket edecektir. 0x itibaren +Birönce -A ve projeksiyonun büyüklüğü yasaya göre değişecektir

Böylece vektörün ucunun eksene izdüşümü 0x vektörün uzunluğuna eşit bir genliğe, vektörün açısal dönüş hızına eşit dairesel bir frekansa ve başlangıç ​​​​anında vektörün eksenle oluşturduğu açıya eşit bir başlangıç ​​​​fazına sahip harmonik salınımlar gerçekleştirecektir. zamanın (Şekil 1.12).

Pirinç. 1.12. Vektör diyagramı genel çözüm (1.23)

Şimdi bu tekniği salınımların (1.34) toplamına uygulayalım. Her iki salınımı da vektörler kullanarak temsil edelim A 1 Ve A 2 Vektör toplamlarını alalım (Şekil 1.13)

Pirinç. 1.13. Aynı frekansın aynı yöndeki salınımlarını eklemek için vektör diyagramı

Vektör projeksiyonu A 1 eksen başına 0x karşılık gelen vektörlerin projeksiyonlarının toplamına eşittir

Yani vektör A ortaya çıkan salınımı temsil eder. Bu vektör aynı açısal hızla döner, dolayısıyla ortaya çıkan hareket frekansla harmonik bir salınım olacaktır. , genlik A ve başlangıç ​​aşaması A. Kosinüs teoremine göre:

Özellikle, eklenen salınımların fazları eşitse veya bir kat kadar farklıysa (yani, ), o zaman ortaya çıkan salınımın genliği genliklerin toplamına eşittir

Eklenen salınımlar antifazdaysa (yani, ), O

Vuruşlar

Bu bölümde farklı frekanslara sahip aynı yönlü harmonik salınımların eklenmesi durumunu ele alacağız. Pratikte özel ilgi eklenen salınımların frekans bakımından çok az farklılık gösterdiği durumu temsil eder. Göreceğimiz gibi, bu salınımların eklenmesi sonucunda genliği periyodik olarak değişen salınımlar elde edilir. atım.

Basitlik açısından, eklenen salınımların genliklerinin eşit olduğu durumu ele alıyoruz. A ve her iki salınımın başlangıç ​​aşamaları sıfırdır. Eklenen salınımların frekansları sırasıyla ve'ye eşittir. Bu yüzden,

Bu ifadeleri ekliyoruz ve dikkate alıyoruz bilinen formül trigonometri:

O zaman ikinci kosinüs argümanında frekans kaymasını ihmal edebiliriz:

Ayrıca parantez içindeki çarpan, şuna göre daha yavaş değişiyor: . Bu nedenle ortaya çıkan salınım X olarak görülebilir modüle edilmiş frekanslı harmonik salınım w, etkin genliği yasaya göre zamanla değişir (1.40) (Şekil 1.14):

Böyle bir salınımın tam anlamıyla harmonik olmadığını vurgulayalım ve bir salınımın, tanıma göre, kanuna uygun olarak meydana gelmesi durumunda harmonik olduğunu bir kez daha hatırlayalım. ve parametrelerinin üçü de zaman içinde kesinlikle sabittir.

Pirinç. 1.14. Yakın frekanslara sahip salınımlar eklenirken vuruşlar

Genlik titreşim frekansı (buna denir vuruş frekansı) eklenen salınımların frekansları arasındaki farka eşittir. Vuruş dönemi

Harmonik titreşimler

Onlar. aslında sinüs grafiği, aşağıdaki formülle açıklanan vektörün dönüşünden elde edilir:

F(x) = Bir günah (ωt + φ),

A, vektörün uzunluğu (salınım genliği) olduğunda, φ, vektörün sıfır zamandaki başlangıç ​​açısıdır (fazıdır), ω, aşağıdakilere eşit olan açısal dönme hızıdır:

ω=2 πf, burada f, Hertz cinsinden frekanstır.

Gördüğümüz gibi sinyalin frekansını, genliğini ve açısını bilerek harmonik bir sinyal oluşturabiliriz.

Sihir, kesinlikle herhangi bir sinyalin temsilinin, farklı sinüzoidlerin toplamı (genellikle sonsuz) olarak temsil edilebildiği ortaya çıktığında başlar. Başka bir deyişle Fourier serisi şeklindedir.
İngilizce Vikipedi'den bir örnek vereceğim. Örnek olarak testere dişi sinyalini ele alalım.

Rampa sinyali

Tutarı aşağıdaki formülle temsil edilecektir:

Tek tek toplarsak, önce n=1, sonra n=2 vb. alırsak, harmonik sinüzoidal sinyalimizin nasıl yavaş yavaş testereye dönüştüğünü göreceğiz:

Bu muhtemelen internette bulduğum bir program tarafından en güzel şekilde gösterilmiştir. Yukarıda sinüs grafiğinin dönen bir vektörün izdüşümü olduğu söylenmişti, peki ya daha karmaşık sinyaller? Garip bir şekilde bu, birçok dönen vektörün izdüşümüdür, daha doğrusu bunların toplamıdır ve hepsi şöyle görünür:

Vektör çizim testeresi.

Genel olarak bağlantıya kendiniz gitmenizi ve parametrelerle kendiniz oynamaya çalışmanızı ve sinyalin nasıl değiştiğini görmenizi öneririm. IMHO Anlamak için bundan daha görsel bir oyuncak görmedim.

Ayrıca, Fourier Dönüşümü olarak adlandırılan, belirli bir sinyalden frekans, genlik ve başlangıç ​​​​fazını (açı) elde etmenize olanak tanıyan ters bir prosedür olduğu da unutulmamalıdır.

Bazı iyi bilinen periyodik fonksiyonların Fourier serisi açılımı (buradan)

Bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağım ama hayatta nasıl uygulanabileceğini göstereceğim. Kaynakçada materyal hakkında daha fazla bilgiyi nerede bulabileceğinizi önereceğim.

Hadi pratik alıştırmalara geçelim!

Bana öyle geliyor ki her öğrenci bir derste otururken, örneğin matematikle ilgili bir soru soruyor: neden tüm bu saçmalığa ihtiyacım var? Ve kural olarak, öngörülebilir gelecekte bir cevap bulamadığı için maalesef konuya olan ilgisini kaybediyor. Bu nedenle, bu bilginin pratik uygulamasını hemen göstereceğim ve siz de bu bilgiye zaten kendiniz hakim olacaksınız :).

Her şeyi daha da kendi başıma uygulayacağım. Elbette her şeyi Linux altında yaptım, ancak teoride herhangi bir ayrıntı kullanmadım; program diğer platformlar altında derlenecek ve çalışacaktır.

Öncelikle ses dosyası oluşturacak bir program yazalım. Wav dosyası en basit dosya olarak alındı. Yapısını okuyabilirsiniz.
Kısaca, bir wav dosyasının yapısı şu şekilde açıklanmaktadır: dosya formatını tanımlayan bir başlık ve ardından (bizim durumumuzda) uzunluğu: sample_frequency*t saniye olan 16 bitlik bir veri (işaretçi) dizisi vardır. veya 44100*t adet.

Bir ses dosyası oluşturmak için bir örnek alınmıştır. Biraz değiştirdim, hataları düzelttim ve düzenlemelerimle son hali artık Github'da burada

100 Hz frekansında saf sinüs dalgasına sahip iki saniyelik bir ses dosyası oluşturalım. Bunu yapmak için programı şu şekilde değiştiriyoruz:

#define S_RATE (44100) //örnekleme frekansı #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 saniyelik tampon */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... float genliği = 32000; //mümkün olan maksimum genliği alın float freq_Hz = 100; //sinyal frekansı /* tamponu sinüs dalgasıyla doldurun */ for (i=0 ; Ben

Saf sinüs formülünün yukarıda tartıştığımız formüle karşılık geldiğini lütfen unutmayın. 32000 genliği (32767 alınabilirdi), 16 bitlik bir sayının alabileceği değere (eksi 32767'den artı 32767'ye) karşılık gelir.

Sonuç olarak, aşağıdaki dosyayı alıyoruz (hatta herhangi bir ses üretme programıyla dinleyebilirsiniz). Bu audacity dosyasını açalım ve sinyal grafiğinin aslında saf sinüs dalgasına karşılık geldiğini görelim:

Saf tüp sinüsü

Bu sinüsün spektrumuna bakalım (Analiz->Spektrum grafiği)

Spektrum grafiği

100 Hz'de (logaritmik ölçek) net bir tepe noktası görülebilir. Spektrum nedir? Bu genlik-frekans karakteristiğidir. Ayrıca bir faz frekansı özelliği de vardır. Hatırlarsanız yukarıda bir sinyal oluşturmak için frekansını, genliğini ve fazını bilmeniz gerektiğini söylemiştim. Yani bu parametreleri sinyalden alabilirsiniz. Bu durumda, genliğe karşılık gelen bir frekans grafiğimiz var ve genlik gerçek birimlerde değil Desibel cinsindendir.

Programın nasıl çalıştığını anlatmak için hızlı Fourier dönüşümünün ne olduğunu açıklamak gerektiğini anlıyorum ve bu en az bir makale daha.

Öncelikle dizileri tahsis edelim:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // dönüş faktörlerinin dizisi = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //giriş dizisi çıkışı = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //çıkış dizisi

Sadece şunu söyleyeyim, programda verileri size_array uzunluğundaki bir diziye okuyoruz (bunu wav dosyasının başlığından alıyoruz).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break; )

FFT dizisi bir dizi olmalıdır (re, im, re, im,… re, im), burada fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
karmaşık sayıların bir dizisidir. Karmaşık Fourier dönüşümünün nerede kullanıldığını hayal etmeye bile korkuyorum ama bizim durumumuzda sanal kısım sıfıra, gerçek kısım ise dizinin her noktasının değerine eşittir.
Hızlı Fourier dönüşümünün bir başka özelliği de yalnızca ikinin katları olan dizileri hesaplamasıdır. Sonuç olarak ikinin minimum gücünü hesaplamamız gerekir:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Verilerdeki bayt sayısının logaritmasının bir noktadaki bayt sayısına bölümü.

Bundan sonra rotasyon faktörlerini hesaplıyoruz:

Fft_make(p2,c); // FFT için dönüş faktörlerini hesaplama işlevi (ilk parametre ikinin katıdır, ikincisi ise dönüş faktörlerinin tahsis edilmiş dizisidir).

Ve adil dizimizi Fourier transformatörüne besliyoruz:

Fft_calc(p2, c, giriş, çıkış, 1); //(biri normalleştirilmiş bir dizi elde ettiğimiz anlamına gelir).

Çıktıda (re, im, re, im,… re, im) biçimindeki karmaşık sayıları elde ederiz. Karmaşık sayının ne olduğunu bilmeyenler için açıklayacağım. Bu makaleye bir sürü dönen vektör ve bir sürü GIF ile başlamam boşuna değil. Yani, karmaşık düzlemdeki bir vektör, gerçek koordinat a1 ve hayali koordinat a2 tarafından belirlenir. Veya uzunluk (bu bizim için Am genliğidir) ve Psi açısı (faz).

Karmaşık düzlemde vektör

Lütfen size_array=2^p2 olduğunu unutmayın. Dizinin ilk noktası 0 Hz (sabit) frekansına, son noktası ise örnekleme frekansına yani 44100 Hz'e karşılık gelir. Sonuç olarak, her noktaya karşılık gelen ve delta frekansına göre farklılık gösteren frekansı hesaplamamız gerekir:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //dizi boyutu başına örnekleme frekansı.

Genlik dizisini belirleyin:

Çift * ampl; ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

Ve resme bakın: genlik, vektörün uzunluğudur. Ve onun gerçek ve sanal eksene izdüşümlerine sahibiz. Sonuç olarak, bir dik üçgenimiz olacak ve burada Pisagor teoremini hatırlıyoruz, her vektörün uzunluğunu sayıyoruz ve bunu hemen bir metin dosyasına yazıyoruz:

için(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
Sonuç olarak şöyle bir dosya elde ediyoruz:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Hadi deneyelim!

Şimdi ortaya çıkan programı sinüs ses dosyasıyla besliyoruz

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav formatı: 16 bit, sıkıştırılmamış PCM, kanal 1, frekans 44100, saniyede 88200 bayt, yakalamayla 2 bayt, örnek başına 2 bit, veri yığınında 882000 bayt= 441000 log2=18 size array=262144 wav formatı Maks Frek = 99,928 , amp =7216,136

Ve frekans cevabının bir metin dosyasını alıyoruz. Grafiğini gnuplot kullanarak oluşturuyoruz

İnşaat için senaryo:

#! /usr/bin/gnuplot -persist set terminal postscript eps geliştirilmiş renk katı set çıktı "result.ps" #set terminal png boyutu 800, 600 #set çıktı "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" set etiketi "Amp, dB" set xrange #set yrange grafiği 1:2 başlık kullanılarak "test.txt" "AFC" with lines linestyle 1 !}

Lütfen koddaki X boyunca noktaların sayısına ilişkin sınırlamaya dikkat edin: set xrange . Örnekleme frekansımız 44100 ve Kotelnikov teoremini hatırlarsak sinyal frekansı örnekleme frekansının yarısından daha yüksek olamaz, bu nedenle 22050 Hz'nin üzerindeki bir sinyalle ilgilenmiyoruz. Neden böyle, özel literatürü okumanızı tavsiye ederim.
Yani (davul sesi), betiği çalıştırıyoruz ve şunu görüyoruz:

Sinyalimizin spektrumu

100 Hz'deki keskin zirveye dikkat edin. Eksenlerin logaritmik ölçekte olduğunu unutmayın! Sağdaki yün, Fourier dönüşümü hataları olduğunu düşündüğüm şey (burada akla pencereler geliyor).

Hoşgörelim mi?

Hadi! Diğer sinyallerin spektrumlarına bakalım!

Etrafta gürültü var...

Double d_random(double min, double max) ( return min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Verilen aralıkta rastgele bir sayı üretecektir. Sonuç olarak main şöyle görünecek:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitude = 32000; srand((unsigned int)time(0)); //(i=0; i) için rastgele sayı üretecini başlat

Bir dosya oluşturalım (dinlemenizi tavsiye ederim). Cesaretle bakalım.

Cesaret sinyali

Audacity programındaki spektruma bakalım.

Menzil

Ve programımızı kullanarak spektruma bakalım:

Bizim spektrumumuz

Gürültünün çok ilginç bir gerçeğine ve özelliğine dikkatinizi çekmek istiyorum; tüm harmoniklerin spektrumlarını içerir. Grafikten de görülebileceği gibi spektrum oldukça eşittir. Tipik olarak beyaz gürültü, ses ekipmanı gibi bant genişliğinin frekans analizi için kullanılır. Başka gürültü türleri de vardır: pembe, mavi ve diğerleri. Ev ödevi bunların nasıl farklılaştığını bulmaktır.

Peki ya komposto?

Şimdi başka bir ilginç sinyale bakalım: menderes. Yukarıda Fourier serisindeki çeşitli sinyallerin açılımlarının bir tablosunu verdim, siz kıvrımın nasıl genişletildiğine bakın, bunu bir kağıda yazın ve devam edelim.

25 Hz frekansında bir kare dalga oluşturmak için wav dosyası oluşturucumuzu bir kez daha değiştiriyoruz:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* tamponu sinüs dalgasıyla doldur */ for (i=0; i

Sonuç olarak, hemen cesaretle izlemeniz gereken bir ses dosyası elde ediyoruz (yine dinlemenizi tavsiye ederim)

Majesteleri - sağlıklı bir insanın kıvrımlı veya kıvrımlı hali

Vazgeçmeyelim ve spektrumuna bir göz atalım:

Menderes spektrumu

Ne olduğu henüz çok net değil... İlk birkaç harmoniğe bakalım:

İlk harmonikler

Bu tamamen farklı bir konu! Peki, tabelaya bakalım. Bakın elimizde sadece 1, 3, 5 vs. var, yani. garip harmonikler. İlk harmoniğimizin 25 Hz, sonraki (üçüncü) 75 Hz, ardından 125 Hz vb. olduğunu görüyoruz, bu arada genliğimiz giderek azalıyor. Teori pratikle buluşuyor!
Şimdi dikkat! Gerçek hayatta, bir kare dalga sinyali, daha yüksek ve daha yüksek frekansların sonsuz bir harmonik toplamına sahiptir, ancak kural olarak, gerçek elektrik devreleri, belirli bir frekansın üzerindeki frekansları (izlerin endüktansı ve kapasitansı nedeniyle) geçiremez. Sonuç olarak osiloskop ekranında sıklıkla aşağıdaki sinyali görebilirsiniz:

Sigara içenlerin menderes

Bu resim tıpkı Vikipedi'deki resim gibidir; burada kıvrımlı örnek olarak tüm frekanslar değil, yalnızca ilk birkaçı çekilmiştir.

İlk harmoniklerin toplamı ve sinyalin nasıl değiştiği

Menderes aynı zamanda radyo mühendisliğinde de aktif olarak kullanılmaktadır (bunun tüm dijital teknolojinin temeli olduğu söylenmelidir) ve uzun zincirlerle annenin onu tanımaması için filtrelenebileceğini anlamaya değer. Ayrıca çeşitli cihazların frekans yanıtını kontrol etmek için de kullanılır. Bir başka ilginç gerçek, TV sinyal bozucularının, mikro devrenin kendisi onlarca MHz'lik bir kıvrım ürettiğinde ve daha yüksek harmoniklerinin, tam olarak TV'nin çalışma frekansında yüzlerce MHz frekansa sahip olabileceği zaman, tam olarak daha yüksek harmonikler ilkesine göre çalışmasıdır ve daha yüksek harmonikler TV yayın sinyalini başarıyla bozdu.

Genel olarak bu tür deneylerin konusu sonsuzdur ve artık buna kendiniz devam edebilirsiniz.

Kitap

Burada ne yaptığımızı anlamayanlara veya tam tersi, anlayan ama daha iyi anlamak isteyenlere ve DSP okuyan öğrencilere bu kitabı şiddetle tavsiye ediyorum. Bu, bu yazının yazarı olan aptallar için bir DSP'dir. Orada karmaşık kavramlar bir çocuğun bile anlayabileceği bir dilde açıklanıyor.

Çözüm

Sonuç olarak matematiğin bilimlerin kraliçesi olduğunu söylemek isterim, ancak gerçek uygulama olmadan birçok insan ona olan ilgisini kaybeder. Umarım bu yazı sizi sinyal işleme ve genel olarak analog devreler gibi harika bir konuyu incelemeye teşvik eder (kulaklarınızı tıkayın ki beyniniz dışarı sızmasın!). :)
İyi şanlar!

Etiketler: