Öyle olduklarını söylüyorlar bağımsız (ve) aynı şekilde dağıtılmış, eğer her biri diğerleriyle aynı dağılıma sahipse ve tüm miktarlar toplamda bağımsızsa. "Bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış" ifadesi genellikle şu şekilde kısaltılır: kimlik(İngilizce'den bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış ), bazen - “n.o.r”.

Uygulamalar

Varsayım ki rastgele değişkenler bağımsızdır ve aynı şekilde dağıtılır, olasılık teorisi ve istatistikte yaygın olarak kullanılır, çünkü teorik hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirmeye ve ilginç sonuçları kanıtlamaya olanak tanır.

Olasılık teorisinin temel teoremlerinden biri - merkezi limit teoremi - eğer bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerden oluşan bir dizi ise, o zaman, bunlar sonsuza doğru yöneldikçe, ortalama rastgele değişkenlerinin dağılımının normal dağılıma yakınsadığını belirtir.

İstatistikte, genellikle istatistiksel bir numunenin bir i.i.d dizisi olduğu varsayılır. bazı rastgele değişkenlerin gerçekleşmesi (böyle bir örnek denir) basit).

Wikimedia Vakfı.

• 2010.
• Yani

Intel 8048

Diğer sözlüklerde “Bağımsız aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler” in neler olduğuna bakın: Kumarbazın Mahvolması Sorunu - Oyuncunun mahvolması sorunu olasılık teorisi alanından bir sorundur. detaylı olarak tartışıldı Rus matematikçi

A. N. Shiryaev “Olasılık” monografisinde ... Wikipedia Sürdürülebilir dağıtım

- Olasılık teorisinde bağımsız rastgele değişkenlerin toplamlarının dağılımına ilişkin bir limit olarak elde edilebilecek bir dağılımdır. İçindekiler 1 Tanım 2 Notlar ... Vikipedi Kararlı dağıtım için Levy-Khinchin formülü - Olasılık teorisinde kararlı bir dağılım, bağımsız rastgele değişkenlerin toplamlarının dağılımı üzerinde bir limit olarak elde edilebilecek bir dağılımdır. İçindekiler 1 Tanım 2 Açıklamalar 3 Özellikler kararlı dağılımlar

... Vikipedi Sonsuza kadar bölünebilir dağıtım

Cramer-Lundberg modeli- Kramer Lundberg modeli matematiksel model Bu, bir sigorta şirketinin yıkılma risklerini değerlendirmenize olanak tanır. Bu model çerçevesinde sigorta primlerinin koşullu orandan eşit olarak alındığı varsayılmaktadır. para birimleri birim başına... ... Vikipedi

Sonsuza kadar bölünebilir dağıtım için Levy-Khinchin formülü- Olasılık teorisinde sonsuz bölünebilir bir dağılım, rastgele bir değişkenin, keyfi sayıda bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış terimler olarak temsil edilebilecek şekilde dağılımıdır. İçindekiler 1 Tanım 2 ... ... Vikipedi

Kramer modeli- Bu makale Vikileştirilmeli. Lütfen makale biçimlendirme kurallarına göre biçimlendirin. Cramer Lundberg modeli, bir sigorta şirketinin iflas riskinin değerlendirilmesine olanak tanıyan matematiksel bir modeldir... Wikipedia

Kabul istatistiksel kontrolü- bütünlük istatistiksel yöntemler Belirtilen gerekliliklere uygunluklarını belirlemek amacıyla seri ürünlerin kontrolü. Not: j. kitlesel ürünlerin kaliteli olmasını sağlamanın etkili bir yolu. Not: ... tarihinde gerçekleştirilir. Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Çok terimli dağılım- Olasılık teorisindeki çok terimli (polinom) dağılım bir genellemedir binom dağılımı durumunda bağımsız testler rastgele deney birkaç olası sonuçla. Tanım Bağımsız olsun... ... Vikipedi

Polinom dağılımı- Olasılık teorisindeki çok terimli (polinom) dağılım, binom dağılımının birkaç olası sonucu olan rastgele bir deneyin bağımsız testleri durumuna genelleştirilmesidir. Tanım: Bağımsızlar eşit olsun... ... Vikipedi

Yukarıda istatistiksel olarak bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının PDF'sini bulma sorununu ele aldık. Bu bölümde miktara istatistiksel olarak tekrar bakacağız. bağımsız miktarlar ancak yaklaşımımız farklı olacaktır ve toplamdaki rastgele değişkenlerin kısmi PDF'lerine bağlı olmayacaktır. Özellikle, toplam terimlerin istatistiksel olarak bağımsız ve her birinin sınırlı ortalamaları ve sınırlı varyansı olan aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler olduğunu varsayalım.

Örnek ortalama olarak adlandırılan normalleştirilmiş toplam olarak tanımlayalım

Öncelikle kuyruk olasılığının üst sınırlarını belirleyeceğiz, ardından PDF'nin sonsuza doğru gittiğinde limitte belirleyen çok önemli bir teoremi ispatlayacağız.

(2.1.187) tarafından tanımlanan rastgele değişkenle sıklıkla, bir rastgele değişkenin bir dizi gözlem üzerinden ortalaması tahmin edilirken karşılaşılır. Başka bir deyişle, bir dağılımdan bağımsız örnek gerçekleşmeleri olarak düşünülebilir ve ortalamanın bir tahminidir.

Matematiksel beklenti

.

Varyans

Ortalamanın bir tahmini olarak düşünürsek matematiksel beklentisinin eşit olduğunu ve örneklem büyüklüğü arttıkça dağılımının azaldığını görürüz. Sınırsız artarsa ​​varyans sıfıra yaklaşır. Parametre tahmini (içinde bu durumda), şartları karşılayan matematiksel beklenti için çabalıyor gerçek anlam parametresi ve varyansın kesinlikle sıfır olması tutarlı bir tahmin olarak adlandırılır.

Bir rastgele değişkenin kuyruk olasılığı, Bölüm'de verilen sınırlar kullanılarak yukarıdan tahmin edilebilir. 2.1.5. Chebyshev'in eşitsizliği şu şekildedir:

,

. (2.1.188)

Limitte (2.1.188)'den şu şekilde olur:

. (2.1.189)

Sonuç olarak, ortalamanın tahmininin gerçek değerden 0'dan fazla farklı olma olasılığı, eğer sınırsız büyürse sıfıra yönelir. Bu hüküm bir kanun hükmündedir büyük sayılar. Üst sınır sıfıra nispeten yavaş bir şekilde yakınlaştığından, yani; ters orantılı. (2.1.188) ifadesi çağrılır büyük sayılar zayıf kanunu.

Üstel bağımlılık içeren rastgele değişkene Chernoff sınırını uygularsak, tek kuyruk olasılığı için sıkı bir üst sınır elde ederiz. Bölümde belirtilen prosedürü takip ederek. 2.1.5'te kuyruk olasılığının şu ifadeyle belirlendiğini görüyoruz:

nerede ve . Ancak istatistiksel olarak bağımsızdır ve aynı şekilde dağılmıştır. Buradan,

miktarlardan biri nerede. En doğru üst sınırı veren parametre (2.1.191)'in türevinin türevinin sıfıra eşitlenmesi ve türevinin alınmasıyla elde edilir. Bu denkleme yol açar

(2.1.192)

(2.1.192) çözümünü ile gösterelim. O halde üst kuyruk olasılığının sınırı şu şekildedir:

, . (2.1.193)

Benzer şekilde, daha düşük kuyruk olasılığının sınıra sahip olduğunu bulacağız.

, . (2.1.194)

Örnek 2.1.7. , aşağıdaki gibi tanımlanan istatistiksel olarak bağımsız rastgele değişkenlerin bir dizisi olsun:

Toplamın sıfırdan büyük olma olasılığına ilişkin sıkı bir üst sınır tanımlamak istiyoruz. O zamandan beri, miktar negatif değer Matematiksel beklenti (ortalama) için bu nedenle üst kuyruk olasılığını arayacağız. Çünkü (2.1.193)'te elimizde

, (2.1.195)

denklemin çözümü nerede

Buradan,

. (2.1.197)

Bu nedenle (2.1.195)'teki sınır için şunu elde ederiz:

Bunu görüyoruz üst sınır beklendiği gibi üstel olarak azalır. Bunun tersine Chebyshev sınırına göre kuyruk olasılığı ile ters orantılı olarak azalır.

Merkezi limit teoremi. Bu bölümde, toplamın terim sayısı sınırsız arttığında limitteki rastgele değişkenlerin toplamının IDF'sine ilişkin son derece kullanışlı bir teoremi ele alacağız. Bu teoremin birkaç versiyonu vardır. Rastgele toplanabilir değişkenlerin istatistiksel olarak bağımsız ve aynı şekilde dağıldığı, her birinin sınırlı bir ortalamaya ve sınırlı varyansa sahip olduğu durum için teoremi kanıtlayalım.

Kolaylık sağlamak için normalleştirilmiş bir rastgele değişken tanımlarız

Dolayısıyla ortalama ve birim varyansı sıfırdır.

Şimdi izin ver

Toplamın her toplamı sıfır ortalamaya ve birim varyansa sahip olduğundan, normalize edilmiş bir değer (faktörü tarafından) sıfır ortalamaya ve birim varyansa sahiptir. FMI'yi limit için tanımlamak istiyoruz.

Karakteristik fonksiyon eşittir

, (2.1.200).

,

veya eşdeğer olarak,

. (2.1.206)

Ama sadece bu kadar karakteristik fonksiyon Sıfır ortalama ve birim varyansa sahip Gauss rastgele değişkeni. Böylece elimizde önemli sonuç; Sınırlı ortalama ve varyansa sahip istatistiksel olarak bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerin toplamının PDF'si Gaussian'a yaklaşır. Bu sonuç şu şekilde bilinir: merkezi limit teoremi.

Toplamdaki rastgele değişkenlerin eşit şekilde dağıldığını varsaymış olsak da, toplanan rastgele değişkenlerin özelliklerine bazı ek kısıtlamaların getirilmesi koşuluyla bu varsayım gevşetilebilir. Teoremin bir varyasyonu vardır; örneğin, rastgele değişkenlerin özdeş dağılımı varsayımı, toplamın rastgele değişkenlerinin üçüncü mutlak momentine uygulanan bir koşul lehine terkedildiğinde. Bunun ve merkezi limit teoreminin diğer versiyonlarının tartışılması için okuyucu Cramer'e (1946) başvurabilir.

Dağıtım kanununa göre bulunabileceği zaten bilinmektedir. sayısal özellikler rastgele değişken. Eğer birkaç rastgele değişken aynı dağılıma sahipse, sayısal özellikleri de aynıdır.

düşünelim N karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler X 1 , X 2 , …,Xn Aynı dağılımlara ve dolayısıyla aynı özelliklere (matematiksel beklenti, dağılım vb.) sahip olan. Bu büyüklüklerin aritmetik ortalamasının sayısal özelliklerinin incelenmesi en büyük ilgi çekicidir.

Söz konusu rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasını şu şekilde gösterelim:

.

Aşağıdaki üç hüküm, aritmetik ortalamanın sayısal özellikleri ile her bir değerin karşılık gelen özellikleri arasında bir bağlantı kurar.

1. Ortalamanın matematiksel beklentisi aritmetik bir birlikte dağıtılan karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler, değerlerin her birinin matematiksel beklentisine eşittir:

Kanıt. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanma ( sabit faktör matematiksel beklentinin işareti olarak çıkarılabilir; toplamın matematiksel beklentisi terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir), elimizdeki

Büyüklüklerin her birinin duruma göre matematiksel beklentisinin eşit olduğu dikkate alındığında A, alıyoruz

.

2. Aritmetik ortalamanın dağılımı N aynı şekilde dağıtılmış karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler N kat daha az varyans D miktarların her biri:

Kanıt. Dağılımın özelliklerini kullanarak (sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir; bağımsız niceliklerin toplamının dağılımı, terimlerin dağılımlarının toplamına eşittir), şunu elde ederiz:

Her bir büyüklüğün duruma göre dağılımının eşit olduğu dikkate alındığında D, alıyoruz

.

3. Ortalama standart sapma aritmetik ortalama N aynı şekilde dağıtılan karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler, değerlerin her birinin standart sapmasından kat daha azdır:

Kanıt. O zamandan beri standart sapma eşittir

.

Genel sonuç(7.3) ve (7.4) formüllerinden: dağılım ve standart sapmanın bir rastgele değişkenin dağılımının ölçüsü olarak hizmet ettiğini hatırlayarak, aritmetik ortalamanın yeterli olduğu sonucuna varıyoruz büyük sayı karşılıklı olarak bağımsız rastgele değişkenler, her bir değişkenden önemli ölçüde daha az dağılıma sahiptir.

Bu sonucun uygulama açısından önemini bir örnekle açıklayalım.

Örnek. Genellikle bazılarını ölçmek için fiziksel miktar birkaç ölçüm yapın ve ardından ölçülen değerin yaklaşık değeri olarak alınan elde edilen sayıların aritmetik ortalamasını bulun. Ölçümlerin aynı koşullar altında yapıldığını varsayarak aşağıdakileri kanıtlayın:

a) aritmetik ortalama, bireysel ölçümlerden daha güvenilir bir sonuç verir;

b) Ölçüm sayısı arttıkça bu sonucun güvenilirliği artar.

Çözüm. a) Bireysel ölçümlerin, ölçülen büyüklüğün farklı değerlerini verdiği bilinmektedir. Her ölçümün sonucu, önceden tamamen dikkate alınmayan birçok rastgele nedene (sıcaklık değişiklikleri, cihaz dalgalanmaları vb.) bağlıdır.

Bu nedenle olası sonuçları değerlendirme hakkına sahibiz. N Rastgele değişkenler olarak bireysel ölçümler X 1 , X 2 , …,Xn(indeks ölçüm numarasını gösterir). Bu büyüklükler aynı olasılık dağılımına sahiptir (ölçümler aynı yöntem kullanılarak ve aynı cihazlarla yapılır) ve dolayısıyla aynı sayısal özelliklere sahiptir; ayrıca birbirlerinden bağımsızdırlar (her bir ölçümün sonucu diğer ölçümlere bağlı değildir).

Gösterildiği gibi, bu tür miktarların aritmetik ortalaması, her bir miktardan daha az saçılmaya sahiptir. Başka bir deyişle aritmetik ortalama, ölçülen değerin gerçek değerine ayrı bir ölçüm sonucuna göre daha yakın çıkıyor. Bu, birden fazla ölçümün aritmetik ortalamasının, tek bir ölçümden daha güvenilir sonuç verdiği anlamına gelir.

b) Bireysel rastgele değişken sayısı arttıkça aritmetik ortalamanın dağılımının azaldığı bilinmektedir. Bu, ölçüm sayısı arttıkça, çeşitli ölçümlerin aritmetik ortalamasının, ölçülen değerin gerçek değerinden giderek daha az farklı olduğu anlamına gelir. Ancak ölçüm sayısı arttırılarak daha güvenilir bir sonuç elde edilir.

Örneğin tek bir ölçümün standart sapması s = 6 m ise ve tamamı N= 36 ölçüm varsa, bu ölçümlerin aritmetik ortalamasının standart sapması sadece 1 m'dir.

.

Açıkçası, birkaç ölçümün aritmetik ortalaması, beklendiği gibi, ölçülen değerin gerçek değerine ayrı bir ölçümün sonucuna göre daha yakın olduğu ortaya çıktı.

Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin standart sapmalarının bilinmesine izin verin. Bu büyüklüklerin toplamının standart sapması nasıl bulunur? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem. Toplamın standart sapması sonlu sayı karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler eşittir karekök bu büyüklüklerin standart sapmalarının karelerinin toplamından."

Kanıt. ile belirtelim X söz konusu karşılıklı bağımsız büyüklüklerin toplamı:

Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin toplamının varyansı, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir (bkz. § 5, Sonuç 1), dolayısıyla

veya nihayet

Aynı şekilde dağıtılmış karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler

Dağıtım yasasına göre bir rastgele değişkenin sayısal özelliklerinin bulunabileceği zaten bilinmektedir. Eğer birkaç rastgele değişken aynı dağılıma sahipse, sayısal özellikleri de aynıdır.

düşünelim N karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler X v X v ..., Xfi, aynı dağılımlara ve dolayısıyla aynı özelliklere sahip olan (matematiksel beklenti, dağılım vb.). Bu bölümde yapacağımız şey, bu niceliklerin aritmetik ortalamasının sayısal özelliklerinin incelenmesidir.

Söz konusu rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasını şu şekilde gösterelim: X:

Aşağıdaki üç hüküm, aritmetik ortalamanın sayısal özellikleri arasında bir bağlantı kurmaktadır. X ve her bir miktarın karşılık gelen özellikleri.

1. Aynı şekilde dağıtılan karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin aritmetik ortalamasının matematiksel beklentisi, değişkenlerin her birinin matematiksel beklentisi a'ya eşittir:

Kanıt. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak (sabit faktör matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir; toplamın matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir), şunu elde ederiz:

Büyüklüklerin her birinin duruma göre matematiksel beklentisinin eşit olduğu dikkate alındığında A, alıyoruz

2. n adet aynı şekilde dağıtılmış karşılıklı bağımsız rastgele değişkenin aritmetik ortalamasının dağılımı, her bir değişkenin dağılım D'sinden n kat daha azdır:

Kanıt. Dağılımın özelliklerini kullanarak (sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir; bağımsız niceliklerin toplamının dağılımı, terimlerin dağılımlarının toplamına eşittir), şunu elde ederiz:

§ 9. Aynı şekilde dağıtılmış karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler 97

Her bir büyüklüğün koşula göre dağılımının D'ye eşit olduğunu dikkate alarak şunu elde ederiz:

3. n'nin aynı şekilde dağıtılmış, karşılıklı bağımsız rastgele aritmetik ortalamasının standart sapması

değerler, değerlerin her birinin standart sapmasından a 4n kat daha azdır:

Kanıt. Çünkü D(X) = G/n o zaman standart sapma X eşittir

(*) ve (**) formüllerinden genel sonuç: dağılım ve standart sapmanın bir rastgele değişkenin dağılımının ölçüsü olarak hizmet ettiğini hatırlayarak, yeterince büyük sayıda karşılıklı bağımsız rastgele değişkenin aritmetik ortalamasının şu sonuca varırız:

her bir değerden önemli ölçüde daha az saçılma.

Bu sonucun uygulama açısından önemini bir örnekle açıklayalım.

Örnek. Genellikle belirli bir fiziksel miktarı ölçmek için birkaç ölçüm yapılır ve daha sonra elde edilen sayıların aritmetik ortalaması bulunur ve bu, ölçülen miktarın yaklaşık değeri olarak alınır. Ölçümlerin aynı koşullar altında yapıldığını varsayarak aşağıdakileri kanıtlayın:

• a) aritmetik ortalama, bireysel ölçümlerden daha güvenilir bir sonuç verir;
• b) Ölçüm sayısı arttıkça bu sonucun güvenilirliği artar.

Çözüm, a) Bireysel ölçümlerin, ölçülen büyüklüğün eşit olmayan değerlerini verdiği bilinmektedir. Her ölçümün sonucu, önceden tam olarak dikkate alınamayan birçok rastgele nedene (sıcaklık değişiklikleri, cihaz dalgalanmaları vb.) bağlıdır.

Bu nedenle olası sonuçları değerlendirme hakkımız var N Rastgele değişkenler olarak bireysel ölçümler XvX2,..., X p(indeks ölçüm numarasını gösterir). Bu miktarlar eşit dağılım olasılıklar (ölçümler aynı metodoloji ve aynı araçlar kullanılarak yapılır) ve dolayısıyla aynı sayısal özellikler; ayrıca birbirlerinden bağımsızdırlar (her bir ölçümün sonucu diğer ölçümlere bağlı değildir).

Bu tür niceliklerin aritmetik ortalamasının her bir nicelikten daha az dağılıma sahip olduğunu zaten biliyoruz. Başka bir deyişle aritmetik ortalama, ölçülen değerin gerçek değerine ayrı bir ölçüm sonucuna göre daha yakın çıkıyor. Bu, birden fazla ölçümün aritmetik ortalamasının, tek bir ölçümden daha fazla durum sonucu verdiği anlamına gelir.

b) Bireysel rastgele değişkenlerin sayısı arttıkça aritmetik ortalamanın dağılımının azaldığını zaten biliyoruz. Bu, ölçüm sayısı arttıkça, çeşitli ölçümlerin aritmetik ortalamasının, ölçülen değerin gerçek değerinden giderek daha az farklı olduğu anlamına gelir. Böylece ölçüm sayısı arttırılarak daha güvenilir bir sonuç elde edilir.

Örneğin, tek bir ölçümün standart sapması a = 6 m ise ve toplam N= 36 ölçüm varsa, bu ölçümlerin aritmetik ortalamasının standart sapması sadece 1 m'dir.

Beklenildiği gibi, birkaç ölçümün aritmetik ortalamasının, ölçülen değerin gerçek değerine, ayrı bir ölçümün sonucuna göre daha yakın olduğunu görüyoruz.