Olası değerleri oluşturulan rastgele değişkene denir. Rastgele değişkenler

Bazen belgelerle çalışmak Microsoft Word normal yazmanın ötesine geçiyor, neyse ki programın yetenekleri buna izin veriyor. Tablolar, grafikler, çizelgeler oluşturma, grafik nesneleri ekleme ve benzerleri hakkında zaten yazmıştık. Ayrıca karakter ekleme hakkında da konuştuk ve matematiksel formüller. Bu yazıda ilgili bir konuya, yani Word'de karekökün, yani normal kök işaretinin nasıl yerleştirileceğine bakacağız.

Kök işareti eklemek, herhangi bir matematiksel formül veya denklem eklemekle aynı modeli izler. Ancak yine de birkaç nüans var, bu yüzden bu konu ayrıntılı bir incelemeyi hak ediyor.

1. Kökü koymanız gereken belgede sekmeye gidin "Sokmak" ve bu işaretin olması gereken yere tıklayın.

2. Düğmeye tıklayın "Nesne" grupta yer alan "Metin".

3. Önünüzde görünen pencerede öğesini seçin. “Microsoft Denklem 3.0”.

4. Program penceresinde matematiksel formül düzenleyicisi açılacaktır, dış görünüş programlar tamamen değişecek.

5. Pencerede "Formül" düğmeye tıklayın “Kesir ve Radikal Desenler”.

6. Açılır menüden eklemek istediğiniz kök işareti seçin. Birinci - karekök, ikincisi - derecesi daha yüksek olan herhangi biri (“x” simgesi yerine dereceyi girebilirsiniz).

7. Kök işaretini ekledikten sonra altına gerekli sayısal değeri girin.

8. Pencereyi kapatın "Formül" ve normal çalışma moduna geçmek için belgenin boş bir alanına tıklayın.

Altında rakam veya sayı bulunan kök işareti, metin alanına veya nesne alanına benzer bir alanda olacaktır "Kelime Sanatı", belgenin etrafında hareket ettirilebilir ve yeniden boyutlandırılabilir. Bunu yapmak için bu alanı çerçeveleyen işaretleyicilerden birini çekmeniz yeterlidir.

Nesnelerle çalışma modundan çıkmak için tıklamanız yeterlidir boş alan belge.

Tavsiye: Nesneyle çalışma moduna dönmek ve pencereyi yeniden açmak için "Formül", eklediğiniz nesnenin bulunduğu alana farenin sol tuşuyla çift tıklayın

Hepsi bu, artık Word'e nasıl kök işareti ekleyeceğinizi biliyorsunuz. Bu programın yeni özelliklerine hakim olun; derslerimiz size bu konuda yardımcı olacaktır.

Eğer klasik olasılık teorisi esas olarak olayları ve bunların meydana gelme (oluşma) olasılığını inceledi, ardından modern olasılık teorisi rastgele olayları ve bunların kalıplarını rastgele değişkenler kullanarak inceler. Rastgele değişken kavramı bu nedenle olasılık teorisinde temeldir. Daha önce bile, şu veya bu sayının ortaya çıkmasından oluşan olaylar düzenlendi. Örneğin zar atarken 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları ortaya çıkabilir. Ortaya çıkacak puan sayısını önceden belirlemek imkansızdır, çünkü tamamen alınamayan birçok rastgele nedene bağlıdır. dikkate alın. Bu anlamda nokta sayısı rastgele bir değer olup 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayıları olası değerler bu değer.

Rastgele değişken deney sonucunda, önceden bilinmeyen ve önceden dikkate alınamayan rastgele nedenlere bağlı olarak şu veya bu (ve yalnızca bir ve yalnızca bir) olası sayısal değeri alan bir niceliktir.

Rastgele değişkenler genellikle büyük harflerle ve olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir. Örneğin, rastgele bir değişkenin üç olası değeri varsa, bunlar buna göre aşağıdaki şekilde gösterilir:. Kolaylık sağlamak için şunu yazacağız: .

ÖRNEK 1. Yüz yenidoğan arasında doğan erkek çocuk sayısı rastgele bir değerdir ve şu olası değerlere sahiptir: 0, 1, 2, ..., 100.

ÖRNEK 2. Bir merminin silahtan ateşlendiğinde kat edeceği mesafe de rastgele bir değerdir. Gerçekten de mesafe yalnızca görüşün kurulumuna değil, aynı zamanda tam olarak dikkate alınamayan diğer birçok nedene de (rüzgarın gücü ve yönü, sıcaklık vb.) bağlıdır. Bu miktarın olası değerleri belli bir aralığa (aralığa) aittir.

Her rastgele olayın, R'den değer alan bazı rastgele değişkenlerle ilişkilendirilebileceğini unutmayın. Örneğin, deneyim - hedefe atış; etkinlik - hedefi vurmak; rastgele değişken - hedefteki isabet sayısı.

Yukarıda verilen örneklere dönelim. Bunlardan ilkinde rastgele değişken şu olası değerlerden birini alabilir: 0, 1, 2,..., 100. Bu değerler birbirinden olası değerlerin olmadığı aralıklarla ayrılır. Dolayısıyla bu örnekte rastgele değişken bireysel, izole edilmiş, olası değerler.

İkinci örnekte rastgele değişken aralık değerlerinden herhangi birini alabilir. Burada olası bir değeri diğerinden rastgele değişkenin olası değerlerini içermeyen bir aralıkla ayırmak imkansızdır.

Zaten söylenenlerden, yalnızca bireysel, izole edilmiş değerleri alan rastgele değişkenler ile olası değerleri belirli bir aralığı tamamen dolduran rastgele değişkenler arasında ayrım yapılmasının tavsiye edildiği sonucuna varabiliriz.

Ayrık ( aralıklı ) Rastgele değişken, sonlu veya sayılabilir 1 farklı değer kümesini alan rastgele bir değişkendir. Başka bir deyişle, belirli olasılıklarla ayrı, izole olası değerleri alan rastgele bir değişkendir.

Olası ayrık değerlerin sayısı rastgele değişken sonlu veya sonsuz olabilir.

Sürekli Gerçeğin sonlu veya sonsuz aralığındaki tüm değerleri alabilen rastgele değişken denir sayı ekseni.

Açıkçası, öncelikle sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur. İkincisi, ayrık bir rastgele değişken, sürekli bir rastgele değişkenin özel bir durumudur.

Olasılık dağılım kanunu

BEN.

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu

İlk bakışta, ayrık bir rastgele değişkeni tanımlamak için onun tüm olası değerlerini listelemek yeterli gibi görünebilir. Gerçekte durum böyle değildir: farklı rastgele değişkenler bazen aynı olası değer listelerine sahip olabilir, ancak bu değerlerin karşılık gelen olasılıkları farklı olabilir. Bu nedenle, tam bir karakterizasyon için, bir rastgele değişkenin değerlerini bilmek yeterli değildir; aynı zamanda bu değerlerin bir deneyde tekrarlandığında ne sıklıkta ortaya çıktığını da bilmeniz gerekir; ayrıca bunların oluşma olasılığını da belirtmeniz gerekir. Rastgele değişkeni düşünün . Olası değerlerinin her birinin ortaya çıkması, olayı oluşturan olaylardan birinin olduğunu gösterir. tam grup

, . . . , ,

2. Bu olayların olasılıklarının bilindiğini varsayalım: Daha sonra:rastgele bir değişkenin olası değerleri ile olasılıkları arasında bağlantı kuran yazışmaya denir rastgele bir değişkenin olasılık dağılımı kanunu

veya basitçe – rastgele bir değişkenin dağılım yasası.

Belirli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yasası tablo halinde (dağılım serisi), analitik (formül biçiminde) ve grafiksel olarak belirtilebilir.

Açıklık sağlamak amacıyla, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, noktaların dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturulduğu ve daha sonra çizgi parçalarıyla birleştirildiği grafiksel olarak da gösterilebilir. Ortaya çıkan şekle dağıtım poligonu denir. Bu durumda oluşturulan çokgenin koordinatlarının toplamı bire eşittir.

Analitik olarak, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, örneğin bağımsız deneylerin tekrarlanmasına yönelik bir şema için Bernoulli formülü kullanılarak yazılabilir. Yani, numunedeki hatalı parçaların sayısı olan rastgele bir değişkeni ile belirtirsek, olası değerleri 0, 1, 2, olacaktır. . . ,. O halde, Bernoulli'nin formülü, değerler ile bunların ortaya çıkma olasılığı() arasında bir ilişki kuracaktır;

Belirli bir rastgele değişkenin dağılım yasasını ne belirler?

II. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu

Ayrık bir rastgele değişkenin, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının bir listesiyle belirlendiğini hatırlayın. Bu ayarlama yöntemi genel değildir: örneğin sürekli rastgele değişkenler için geçerli değildir.

Aslında, olası değerleri aralığı tamamen dolduran bir rastgele değişken düşünün. Olası tüm değerleri listelemek mümkün mü? Açıkçası bu yapılamaz. Bu örnek, vermenin tavsiye edilebilirliğini göstermektedir. genel yöntem herhangi bir tür rastgele değişkenin atanması (daha önce belirtildiği gibi, ayrık bir rastgele değişken, sürekli bir rastgele değişkenin özel bir durumudur). Bu amaçla tanıtıyorlar integral fonksiyonu dağıtımlar.

Rastgele gerçek değerler alan bir değişken olsun (eksende :). Bir rastgele değişkenin daha küçük bir değer alması olayını düşünün. O zaman olasılık olay bağlıdır, yani 'nin bir fonksiyonudur.

Bu fonksiyon genellikle rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu veya integral dağılım fonksiyonu ile gösterilir ve bu fonksiyon olarak adlandırılır. Başka bir deyişle: kümülatif dağılım fonksiyonu

her bir R değeri için rastgele değişkenin daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen bir fonksiyon olarak adlandırılır;

Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: Bir rastgele değişkenin sayı ekseninde noktanın solunda yer alan bir nokta tarafından temsil edilen bir değeri alma olasılığı vardır.

İntegral fonksiyonunun özellikleri:

Aslında rastgele değişkenin daha küçük bir değer alması olayı olsun; benzer şekilde,
– Rastgele bir değişkenin daha küçük bir değer almasıyla oluşan olay. Başka bir deyişle:

Bu nedenle, eğer öyleyse. Peki (açıklayın - neden?)

veya hangisi aynıdır:

Gösterilmesi gereken buydu.

Bu özellik oldukça açıktır. Yani eğer - güvenilir bir olay ve imkansız bir olay o halde

Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun: . Bunu görüyoruz - yani. olaylar uyumsuzdur. Daha sonra

Ancak ,Sonuç olarak şunu yazabiliriz: göstermemiz gereken şey buydu.

Biz esas olarak dağılım fonksiyonları sürekli olan bu tür sürekli rastgele değişkenleri inceleyeceğiz.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunun grafiği adım adımdır kırık çizgi(resme bakın). Süreksizlik noktalarındaki sıçramanın büyüklüğü, rastgele değişkenin bu noktadaki değerinin olasılığına eşittir. Rastgele bir değişkenin dağılım serisini bilerek, onun dağılım fonksiyonunun grafiğini çizebilirsiniz:

Sürekli bir rastgele değişken için, integral değil, diferansiyel dağılım fonksiyonu veya rastgele değişkenin sözde dağılım yoğunluğu daha açıktır.

DAĞILIM KANUNU VE ÖZELLİKLER

RASTGELE DEĞİŞKENLER

Rastgele değişkenler, sınıflandırılması ve açıklama yöntemleri.

Rastgele bir miktar, deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen, ancak önceden bilinmeyen bir miktardır. Bu nedenle, bir rastgele değişken için yalnızca deney sonucunda kesinlikle alacağı değerleri belirtebilirsiniz. Aşağıda bu değerlere rastgele değişkenin olası değerleri adını vereceğiz. Rasgele bir değişken niceliksel olarak karakterize edildiğinden rastgele sonuç deneyim, rastgele bir olayın niceliksel bir özelliği olarak düşünülebilir.

Rastgele değişkenler genellikle belirtilir büyük harflerle Latin alfabesiörneğin X..Y..Z ve bunların olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.

Üç tür rastgele değişken vardır:

Ayrık; Sürekli; Karışık.

ayrık olası değerlerin sayısı sayılabilir bir küme oluşturan rastgele bir değişkendir. Elemanları numaralandırılabilen kümeye ise sayılabilir küme denir. "Ayrık" kelimesi, "süreksiz, aşağıdakilerden oluşan" anlamına gelen Latince Discretus kelimesinden gelir. bireysel parçalar» .

Örnek 1. Ayrık bir rastgele değişken, n üründen oluşan bir partideki hatalı X parçalarının sayısıdır. Aslında bu rastgele değişkenin olası değerleri 0'dan n'ye kadar bir tam sayı dizisidir.

Örnek 2. Ayrık bir rastgele değişken, hedefe ilk vuruştan önceki atışların sayısıdır. Burada Örnek 1'de olduğu gibi olası değerler numaralandırılabilir, ancak sınırlayıcı durumda olası değer sonsuz büyük bir sayıdır.

Sürekli olası değerleri sürekli olarak sayısal eksenin belirli bir aralığını dolduran, bazen bu rastgele değişkenin varoluş aralığı olarak adlandırılan rastgele bir değişkendir. Dolayısıyla, herhangi bir sonlu varoluş aralığında, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuz derecede büyüktür.

Örnek 3. Sürekli bir rastgele değişken, bir işletmenin aylık elektrik tüketimidir.

Örnek 4. Sürekli bir rastgele değişken, bir altimetre kullanılarak yüksekliğin ölçülmesindeki hatadır. Altimetrenin çalışma prensibinden hatanın 0 ila 2 m aralığında olduğu bilinmelidir. Dolayısıyla bu rastgele değişkenin varoluş aralığı 0 ila 2 m aralığıdır.

Rasgele değişkenlerin dağılım kanunu.

Olası değerleri sayısal eksende belirtilmişse ve dağıtım yasası oluşturulmuşsa, rastgele bir değişkenin tamamen belirlenmiş olduğu kabul edilir.

Rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran bir ilişkidir.

Rastgele bir değişkenin dağıtıldığı söylenir bu yasa veya belirli bir dağıtım yasasına tabidir. Dağıtım yasaları olarak bir takım olasılıklar, dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluğu ve karakteristik fonksiyon kullanılır.

Dağılım kanunu bir rastgele değişkenin tam olası tanımını verir. Dağılım yasasına göre, deneyden önce, rastgele bir değişkenin hangi olası değerlerinin daha sık ve hangisinin daha az görüneceği yargısına varılabilir.

Ayrık bir rasgele değişken için dağılım yasası, analitik (formül biçiminde) ve grafiksel olarak bir tablo biçiminde belirtilebilir.

En basit biçim ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını tanımlayan, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıkların artan sırada listelendiği bir tablodur (matris), yani;

Böyle bir tabloya ayrık rastgele değişkenin dağılım serisi denir. 1

X 1, X 2,..., X n olayları, test sonucunda rastgele değişken X'in sırasıyla x 1, x 2,...x n değerlerini alacağı gerçeğinden oluşur: tutarsız ve mümkün olan tek şey (tablo rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerini listelediği için), yani. tam bir grup oluşturuyoruz. Dolayısıyla olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Dolayısıyla herhangi bir ayrık rastgele değişken için

(Bu birim bir şekilde rastgele değişkenin değerleri arasında dağıtılır, dolayısıyla "dağılım" terimi de kullanılır).

Rastgele değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilirse ve bunlara karşılık gelen olasılıklar ordinat ekseni boyunca çizilirse, dağılım serisi grafiksel olarak gösterilebilir. Elde edilen noktaların bağlantısı, olasılık dağılımının çokgeni veya çokgeni adı verilen kesikli bir çizgiyi oluşturur (Şekil 1).

Örnek Piyango şunları içerir: 5.000 den değerinde bir araba. üniteler, 250 den'e mal olan 4 TV. üniteler, 200 den değerinde 5 video kayıt cihazı. birimler 7 gün boyunca toplam 1000 bilet satılıyor. birimler Bir bilet satın alan bir piyango katılımcısının elde ettiği net kazançlar için bir dağıtım kanunu hazırlayın.

Çözüm. Rastgele değişken X'in olası değerleri - bilet başına net kazanç - 0-7 = -7 paraya eşittir. birimler (bilet kazanmadıysa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. birimler (bilette sırasıyla VCR, TV veya araba kazancı varsa). 1000 bilet içerisinde kazanamayanların sayısının 990 olduğu ve belirtilen kazançların sırasıyla 5, 4 ve 1 olduğu göz önüne alındığında ve klasik çözünürlüklü olasılıkları anlıyoruz.

Konseptin genişletilmesi rastgele olaylar bazılarının görünümünden oluşan sayısal değerler deneyin sonucunda şu rastgele değişken X.

Tanım. Rastgele Bir deney sonucunda kendi bütünlüğünün bir kısmından yalnızca bir değer alan ve hangisi olduğu önceden bilinmeyen niceliğe denir.

Rastgele değişkenÖrneğin, jeolojik verileri açıklamak için, etkiyi hesaba katan makul bir modeldir. çeşitli faktörler fiziksel alana.

Ayrı bir deneyin sonucu gibi, kesin değer Rastgele bir değişkeni tahmin etmek imkansızdır; yalnızca istatistiksel kalıpları oluşturulabilir; Rasgele değişken değerlerinin olasılıklarını belirler. Örneğin, ölçümler fiziksel özellikler kayalar karşılık gelen rastgele değişkenlerin gözlemleridir.

Bir jeologun karşılaştığı rastgele değişkenler arasında iki ana tür ayırt edilebilir: değişkenler ayrık ve büyüklük sürekli.

Tanım. ayrık Rastgele değişken, sonlu veya sonsuz sayılabilir değerler kümesi alabilen bir değişkendir.

Gibi tipik örnekler ayrı bir rastgele değişken, saha çalışmasının tüm sonuçları, deneylerin tüm sonuçları, sahadan getirilen numuneler vb. olabilir.

Rastgele bir değişkenin tüm olası değerleri, tam bir olay grubunu oluşturur; , nerede sonlu veya sonsuzdur. Bu nedenle şunu söyleyebiliriz rastgele değişken Rastgele olay kavramını genelleştirir.

Araştırma sonucunda aşağıdaki veriler elde edilsin: niceliksel bileşim bazı cinsler: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Toplam 20 test gerçekleştirildi. Verilerle çalışmayı kolaylaştırmak için bunlar dönüştürüldü: ortaya çıkan değerler artan sırada düzenlendi ve her değerin oluşum sayısı sayıldı. Sonuç olarak şunu elde ettik (Tablo 7.1):

Tanım. Verilerin artan dağılımına denir sıralama.

Tanım. Rastgele bir değişkenin bazı niteliklerinin gözlemlenen değerine değişken denir.

Tanım. Varyantlardan oluşan seriye denir varyasyon serisi.

Tanım. Rastgele bir değişkenin bazı niteliklerinde meydana gelen değişikliğe ne ad verilir? çeşitli.

Tanım. Belirli bir seçeneğin kaç kez değiştiğini gösteren sayıya frekans denir ve ile gösterilir.

Tanım. Olasılık bu seçeneğin görünümü frekansın oranına eşittir toplam tutar varyasyon serisi

(1)

Sunulan tanımları dikkate alarak tablo 7.1'i yeniden yazacağız.

Tablo 7.2.