Bir monomialin doğal kuvvetine yükseltilmesi bir kuraldır. Video dersi “Tek terimlilerin çarpımı

Bir tek terimliyi bir tek terimli ile çarpmanın tanımı, tek terimliyi bir kuvvete yükseltmeyi içerir. Bu yazımızda örnekleri çözmeye bakacağız. doğal gösterge tüm nüanslarıyla.

Tek terimliyi bir kuvvetle çarpma kuralı

Tek terimliyi bir kuvvete yükseltmek için tüm eylemi birkaç aşamaya bölmek gerekir.

Polinomun çözümünü ele alalım standart görünüm 2 · x · y 5 . 3'üncü kuvvete yükseltildiğinde (2 · x · y 5) 3 değerini elde ederiz. Şu tarihte: ayrıntılı değerlendirme 2, x ve y 5 formundaki faktörlerden oluştuğu görülebilir. Daha sonra gerçekleştirebilirsiniz kimlik dönüşümü Derecelerin özelliklerini kullanarak.

Açık başlangıç ​​aşaması(2 x y 5) 3 = 2 3 x 3 (y 5) 3'ü buluruz ve ardından (y 5) 3'ü değiştiririz y 15'te 2 3 · x 3 · (y 5) 3 = 2 3 · x 3 · y 15 formunda bir ifade elde ederiz. 2 sayısının üssünü alarak çalışabilirsiniz. 2 3 = 8'in yerine 8 x 3 y 15 yazılabileceği sonucunu elde ederiz. . Bu standart formun bir polinomudur.

Tanım 1

Var Bir monomu bir kuvvete yükseltmek için kurallar:

• bir ifadeyi kaydedin;
• bir ürünü yetiştirme özelliğinin bir güce uygulanması;
• Bir kuvvetin kuvvetini artırma özelliğini bir kuvvete uygulayın ve sayıların kuvvetlerini hesaplayın.

Tanım 2

Bir tek terimliyi bir kuvvete yükseltmenin sonucu yeni bir tek terimlidir. Standart formda oluşturulduğunda, aynı zamanda standart formda bir polinom elde ederiz.

Örnekler

Polinomları kuvvetlere yükseltmek için çözüm örneklerine bakalım.

Örnek 1

(x · y) 10 , - 1 4 · x , (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 polinomlarının üssünü artırın.

Çözüm

Bir kuvvete yükseltmek için (x · y) 10 = x 10 · y 10 formunun üstel kuralını kullanmak gerekir, o zaman ortaya çıkan ifadenin kuvvette hiçbir kuvveti olmadığını görürüz. Daha sonra bir sonraki adıma geçmeniz gerekiyor. Bunu anlıyoruz

1 1 4x2 = - 1 1 4 2x2

Son ifade, değiştirilmesi gereken - 1 1 4 2 formunun bir kesirine sahiptir. O zaman - 1 1 4 2 = - 1 1 4 2 x 2 = 1 9 16 x 2, sonra - 1 1 4 2 x 2 = 1 9 16 x 2

Kısa giriş şuna benzer:

1 1 4 x 2 = - 1 1 4 2 x 2 = 1 9 16 x 2

Şimdi ürünü bir güce yükseltmeniz gerekiyor:

(− 0, 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0, 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3.

Güç özelliğini kullandıktan sonra (− 0, 3) 3'ü hesaplamamız gerektiğini buluyoruz. Açıktır ki

(a 2) 3 = a 2 3 = a 6, (b 3) 3 = b 3 3 = b 9, (c 4) 3 = c 4 3 = c 12

(− 0 , 3) ​​​​3 = (− 0 , 3) ​​​​· (− 0 , 3) ​​​​· (− 0 , 3) ​​​​= − 0 , 027, o zaman bunu anlıyoruz − 0,027 a 6 b 9 c 12.

Kısa çözüm şu şekilde gösterilmektedir: (− 0, 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = (− 0, 3) 3 · (a 2) 3 · (b 3) 3 · (c 4) 3 = − 0, 027 · a 6 · b 9 · c 12.

Cevap: (x · y) 10 = x 10 · y 10 , - 1 1 4 · x = 1 9 16 · x 2 ve (− 0 , 3 · a 2 · b 3 · c 4) 3 = − 0 , 027 · a 6 b 9 c 12

Aşağıdaki örnek, standart olmayan bir formun tek terimlisinin üssünü gösterecektir.

Örnek 2

2 x 3 5 x formundaki bir polinomun karesini alın .

Çözüm

Koşullu olarak polinomun standart formda yazılmaması elimizdedir. Bu, karesini almanın gerekli olduğu anlamına gelir. Daha sonra (2 x 3 5 x) 2 = 2 2 (x 3) 2 5 2 x 2 = 4 x 6 25 x 2 biçiminde bir ifade elde ederiz. Ortaya çıkan monomiyal ile standart 100 x 8 formuna gitmelisiniz.

Orijinal ifadeyi 2 x 3 5 x = 10 x 4 şeklinde yazıyoruz ve ardından 2. kuvvete yükseltme işlemini gerçekleştiriyoruz. Şunu elde ederiz: (10x4) 2 = 10 2 (x4) 2 = 100x8.

Sonucun eşdeğer olduğu açıktır. Yani çözmek için ifadeyi standart bir forma indirgeyebilirsiniz veya koşulun verildiği gibi çözebilirsiniz, sonuç aynı olacaktır.

Cevap:(2 x 3 5 x) 2 = 100 x 8.

Bir kuvvete yükseltirken polinomun önünde bir eksi olduğunda bir nüans vardır. − a 4 · b 7 · c 2 gibi bir ifademiz varsa, o zaman - 1'in polinomun katsayısı olduğunu buluruz. Açıkça yazılmasına izin verilir.

Örnek 3

(− x 2 · y 4) 3'ün kuvvetine yükseltin.

Çözüm

Şart olarak - 1'in ifadenin katsayısı olduğunu varsayalım, o zaman bunu açıkça yazmamız gerekir: (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3. Üs alma kurallarını kullanarak ifadenin (− 1 x 2 y 4) 3 = (− 1) 3 (x 2) 3 (y 4) 3 = − 1 x 6 y 12 biçimini aldığını buluruz. - 1 katsayısının varlığı basitçe − x 6 · y 12 şeklinde yazılır

Gerekli ifade şu şekildedir: (− x 2 · y 4) 3 = (− 1 · x 2 · y 4) 3 = (− 1) 3 · (x 2) 3 · (y 4) 3 = − 1 · x 6 · y 12 = − x 6 · y 12 .

Cevap:(− x 2 · y 4) 3 = − x 6 · y 12 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

>>Matematik: Tek terimli sayıları çarpma, Bir tek terimliyi yükseltme doğal derece

Tek terimlilerin çarpılması. Bir monomialin doğal kuvvetine yükseltilmesi

Üç tek terimlinin çarpımını bulun: 2a 2 bc 5,
Çözüm. Sahibiz:

(- 2a 2 bc 3) 5 ifadesini basitleştirin (yani onu tek terimli olarak gösterin).

Çözüm (- 2a 2 bc 3) 5 = - 2 5 (a 2) 5 b 5 (c 3) 5 = -32a 10 b 5 c15.

Öncelikle bir ürünü bir kuvvete yükseltirken her faktörün bu kuvvete yükseltilmesi gerektiği gerçeğini kullandık. Dolayısıyla 2 5 (a 2) 5 b5(c 3) 5 girdisine sahibiz.

İkinci olarak (- 2) 5 = - 2 5 olmasından faydalandık.

Üçüncüsü, bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üslerin çarpıldığı gerçeğini kullandık. Bu nedenle (a 2) 5 yerine 10, (c 3) 5 yerine c 15 yazdık.

36a 2 b 4 c 5 tek terimlisini tek terimlilerin çarpımı olarak temsil edin.

Çözüm. Burada, § 10'daki örnek 2'de olduğu gibi, çözüm benzersiz değildir. İşte bazı çözümler:

36a 2 b 4 c 5 =(18a 2) (2b 4 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(36abc) (ab 3 c 4),
36a 2 b 4 c 5 = (- 3b 4) (- 12a 2 c 5);
36a 2 b 4 c 5 =(2a 3) (3bc) (6b 3 c 4)

Örnek 3'e kendiniz birkaç çözüm daha bulmaya çalışın.

A. V. Pogorelov, 7-11. Sınıflar için Geometri, Ders Kitabı eğitim kurumları

İÇİNDE bu ders Tek terimlileri çarpma ve doğal kuvvetlere yükseltme işlemlerine bakacağız ve bu işlemleri gerçekleştirmek için hangi tek terimlilerin kullanılabileceğini bulacağız. Bir gücü güce yükseltme kuralını hatırlayalım. İfadelerin basitleştirilmesi, üstel alma ve ters problem gibi bazı tipik problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

Ders:Monomiyaller. Tek terimlilerde aritmetik işlemler

Ders:Tek terimlilerin çarpılması, doğal kuvvetlere yükseltilmesi

Önceki derslerden, tek terimlileri toplayıp çıkarabileceğinizi, ancak yalnızca benzer olanları, ancak herhangi bir tek terimliyi çarpabileceğinizi ve doğal bir kuvvete yükseltebileceğinizi hatırladık. Örneklere bakarak bunun neden mümkün olduğunu öğrenelim.

Örnek 1: . Bu monomiyal standart forma indirgenmiştir. Bunu başka bir tek terimle çarpmak ne anlama gelir?

;

Ve tüm bunları üçüncü tek terimli ile çarpın:

;

Sonuç olarak, standart olmayan bir biçimde sayıların ve kuvvetlerin çarpımı olan bir tek terimli aldık. Buradan herhangi bir tek terimlinin çarpılabileceği sonucu çıkar.

Ortaya çıkan tek terimliyi standart forma indirgeyelim:

Bir kuvvete yükseltmek aslında bir tek terimliyi belirli sayıda kendisiyle çarpmak anlamına geldiğinden ve herhangi bir tek terimli sayılar çarpılabileceğinden, tek terimlileri ve yine herhangi birini doğal bir kuvvete yükseltme hakkına sahibiz.

Örneklere bakalım.

Örnek 1:

Örnek 2:

Örnek 3:

Örnek 1-3 hakkında yorumlar: İki veya daha fazla tek terimliyi çarparken, sonuç standart olmayan biçimde yeni bir tek terimli olur, bu nedenle çarpma işlemini gerçekleştirmek için yalnızca bu yeni tek terimliyi standart biçime dönüştürmeniz gerekir.

Tek terimliyi bir kuvvete yükseltme örneklerine bakalım.

Örnek 1:

Örnek 2:

Örnek 3:

Örnek 4:

Örnek 1-4 hakkında yorumlar: Bir tek terimliyi bir kuvvete yükseltirken, önce katsayısını bir kuvvete, sonra da harf kısmını yükseltmelisiniz. Bunu yapmak için, dereceyi bir kuvvete yükseltme kuralını, yani üslerin çarpılması kuralını hatırlamanız gerekir. Ayrıca örnek 3 ve 4'ü çözerken, herhangi bir çift kuvvete “-1” in “1”, tek bir kuvvete “-1” vereceğini unutmamalısınız.

Tipik görevleri ele alalım:

Örnek 1: ve

“2” doğal bir kuvvet olduğundan ve herhangi bir doğal kuvvete bir monom yükseltebileceğimize göre, ilk eylemi gerçekleştirelim:

İkinci eylemi çözmek için, herhangi bir sayının sıfır üssü bir olduğunu, bu sayının sıfır olmaması koşuluyla, hiçbir anlamı olmadığı için, yani şunu yazma hakkımız olduğunu hatırlamamız gerekir:

Örnek 2: “*” işareti yerine eşitliği sağlayacak şekilde bir tek terim koyun:

Sol taraftaki katsayı hala üç ve sağdaki katsayı dokuz, bu da sol tarafta üçün eksik olduğu anlamına geliyor; sol taraftaki b değişkeni ikinci kuvvette, sağdaki ise üçüncü kuvvettedir; bu şu anlama gelir: sol taraf b üzeri birinci kuvvet ile çarpmanız gerekir:

Aşağıdakileri göz önünde bulundurun tipik görev. Tanıtmak verilen tek terimli bir tek terimlinin karesi şeklinde:

Örnek 1: ;

Verilen monomili elde etmek için hangi monomun karesinin alınacağını belirlemeniz gerekir.

81'i elde etmek için 9'un karesini almanız gerekir, yani istenen tek terimlinin katsayısı 9'dur.

elde etmek için karesini almamız gerekir, yani elimizde:

;

Ancak şu soru ortaya çıkıyor: Verdiğimiz cevap açık mı? Karesi alındığında verilen monomi verecek başka bir monom bulmak mümkün müdür?

Bu soruyu cevaplamak için, şunu hatırlayalım ki, karesi alındığında bize verileni verecek bir tek terim daha var - bu .

Örnek 2:

Bu örnek öncekine benzer şekilde çözüldü.

Basitleştirme problemini düşünün

Örnek 1:

Sonuç: Bu derste tek terimlileri çarpma ve doğal kuvvete yükseltme işlemlerine baktık ve bazı tipik problemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.