İleri geri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgini çektiyse bu iş lütfen tam sürümünü indirin.
Ders türü: Tekrarlama ve genelleme.
Ders formatı: ders-danışma.
Dersin Hedefleri:
- eğitici: tekrarla ve özetle teorik bilgi“Türevin geometrik anlamı” ve “Türevin fonksiyonların incelenmesine uygulanması” konularında; matematikte Birleşik Devlet Sınavında karşılaşılan her türlü B8 problemini göz önünde bulundurun; öğrencilere bilgilerini test etme fırsatı sağlamak bağımsız karar görevler; nasıl doldurulacağını öğret sınav formu
- Yanıtlar; gelişen : Bir yöntem olarak iletişimin gelişimini teşvik etmek bilimsel bilgi , anlamsal hafıza ve gönüllü dikkat ; Karşılaştırma, karşılaştırma gibi temel yeterliliklerin oluşturulması, nesne sınıflandırması , tanım yeterli yollar
- verilen algoritmalara dayalı bir eğitim problemini çözme, belirsizlik durumlarında bağımsız hareket etme, kişinin faaliyetlerini kontrol etme ve değerlendirme, zorlukların nedenlerini bulma ve ortadan kaldırma becerisi; eğitici : öğrencilerde gelişmek (iletişim yetenekleri iletişim kültürü
, gruplar halinde çalışabilme yeteneği); kendi kendine eğitim ihtiyacının gelişimini teşvik etmek.
Teknolojiler: gelişimsel eğitim, BİT.Öğretme teknikleri:
sözlü, görsel, pratik, problemli.Çalışma biçimleri:
bireysel, ön, grup.
Eğitimsel ve metodolojik destek:
1. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı 11. sınıf: ders kitabı. Genel eğitim için Kurumlar: temel ve profil. seviyeler / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); A. B. Zhizhchenko tarafından düzenlenmiştir. – 4. baskı. – M.: Eğitim, 2011.
Ders için ekipman ve materyaller: Her öğrenci için projektör, ekran, üzerinde sunum yüklü PC, tüm öğrenciler için not çıktısı (Ek 1) Ve değerlendirme belgesi (Ek 2) .
Ön hazırlık derse: gibi Ev ödeviöğrencilerden ders kitabındaki teorik materyalleri tekrarlamaları istenir: “Türevin geometrik anlamı”, “Türevin fonksiyon çalışmalarına uygulanması”; Sınıf, her birinde farklı seviyelerde öğrencilerin bulunduğu gruplara (her biri 4 kişi) ayrılmıştır.
Ders açıklaması: Bu ders 11. sınıfta Birleşik Devlet Sınavına tekrar ve hazırlık aşamasında öğretilir. Ders tekrarlamayı ve genellemeyi amaçlamaktadır. teorik materyal Sınav problemlerinin çözümünde kullanmak için. Ders süresi - 1,5 saat .
Bu ders ders kitabına eklenmemiştir, dolayısıyla herhangi bir öğretim materyali üzerinde çalışırken öğretilebilir. Bu ders aynı zamanda iki ayrı derse bölünerek işlenen konularla ilgili son ders olarak da verilebilir.
Dersler sırasında
I. Organizasyon anı.
II. Hedef belirleme dersi.
III. “Türevlerin geometrik anlamı” konusunun tekrarı.
Projektör kullanarak ağız ön çalışması (3-7 numaralı slaytlar)
Grup halinde çalışma: ipuçlarıyla, cevaplarla, öğretmen danışmanlığıyla sorunları çözme (slayt No. 8-17)
IV. Bağımsız iş 1.
Öğrenciler bilgisayarda bireysel olarak çalışırlar (18-26 numaralı slaytlar) ve cevaplarını değerlendirme sayfasına girerler. Gerekirse bir öğretmene danışabilirsiniz ancak bu durumda öğrenci 0,5 puan kaybedecektir. Öğrenci çalışmayı daha erken tamamlarsa, koleksiyondan ek görevleri çözmeyi seçebilir, s. 242, 306-324 (ek görevler ayrı olarak değerlendirilir).
V. Karşılıklı doğrulama.
Öğrenciler değerlendirme formlarını paylaşır, arkadaşlarının çalışmalarını kontrol eder ve puan verir (slayt No. 27)
VI. Bilginin düzeltilmesi.
VII. “Türevin fonksiyonların incelenmesine uygulanması” konusunun tekrarı
Projektör kullanarak oral frontal çalışma (slayt No. 28-30)
Grup halinde çalışma: ipuçlarıyla, cevaplarla, öğretmen danışmanlığıyla sorunları çözme (slayt No. 31-33)
VIII. Bağımsız çalışma 2.
Öğrenciler bilgisayarda bireysel olarak çalışırlar (34-46 numaralı slaytlar) ve cevaplarını cevap formuna girerler. Gerekirse bir öğretmene danışabilirsiniz ancak bu durumda öğrenci 0,5 puan kaybedecektir. Öğrenci çalışmayı daha erken tamamlarsa, koleksiyondan ek görevleri çözmeyi seçebilir, s. 243-305 (ek görevler ayrı olarak değerlendirilir).
IX. Akran değerlendirmesi.
Öğrenciler değerlendirme kağıtlarını paylaşırlar, arkadaşlarının çalışmalarını kontrol ederler ve puan verirler (slayt No. 47).
X. Bilginin düzeltilmesi.
Öğrenciler kendi gruplarında tekrar çalışır, çözümü tartışır ve hataları düzeltir.
XI. Özetleme.
Her öğrenci puanını hesaplar ve puan cetveline bir not koyar.
Öğrenciler öğretmene bir değerlendirme sayfası ve ek sorunların çözümlerini sunarlar.
Her öğrenciye bir not verilir (slayt No. 53-54).
XII. Refleks.
Öğrencilerden aşağıdaki ifadelerden birini seçerek bilgilerini değerlendirmeleri istenir:
- Başardım!!!
- Birkaç örnek daha çözmemiz gerekiyor.
- Peki bu matematiği kim buldu!
XIII. Ev ödevi.
İçin Ev ödeviÖğrenciler, 242-334. sayfalardaki koleksiyondan ve aynı zamanda aşağıdaki listeden görevleri çözmeyi seçmeye davet edilir: açık banka Açık banka
Belirli bir $x_0$ noktasındaki $y = f(x)$ fonksiyonunun türevi, bir fonksiyonun artışının, argümanının karşılık gelen artışına oranının sınırıdır, ancak argümanın sıfıra yönelmesi koşuluyla:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Türev alma işlemi türevi bulma işlemidir.
Bazı temel fonksiyonların türevleri tablosu
| İşlev | Türev |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Farklılaşmanın temel kuralları
1. Toplamın (farkın) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ fonksiyonunun türevini bulun
Bir toplamın (farkın) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Ürünün türevi
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
$f(x)=4x cosx$ türevini bulun
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Bölümün türevi
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ türevini bulun
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Türev karmaşık fonksiyon dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Türevin fiziksel anlamı
Eğer maddi bir nokta doğrusal olarak hareket ediyorsa ve $x(t)$ yasasına göre koordinatı zamana bağlı olarak değişiyorsa, o zaman anlık hız Belirli bir noktanın fonksiyonun türevine eşittir.
Nokta, $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ yasasına göre koordinat çizgisi boyunca hareket eder; burada $x(t)$, $t$ anındaki koordinattır. Zamanın hangi noktasında noktanın hızı 12$'a eşit olacak?
1. Hız $x(t)$'ın türevidir, o halde verilen fonksiyonun türevini bulalım
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. Zamanın hangi noktasında $t$ hızın $12$'a eşit olduğunu bulmak için denklemi oluşturup çözüyoruz:
Türevin geometrik anlamı
Koordinat eksenlerine paralel olmayan bir düz çizginin denkleminin $y = kx + b$ biçiminde yazılabileceğini hatırlayın; burada $k$, düz çizginin eğimidir. Katsayı $k$ teğete eşit düz çizgi ile $Ox$ ekseninin pozitif yönü arasındaki eğim açısı.
$f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki türevi şuna eşittir: eğim Belirli bir noktada grafiğe $k$ teğet:
Bu nedenle genel bir eşitlik oluşturabiliriz:
$f"(x_0) = k = tanα$
Şekilde $f(x)$ fonksiyonuna teğet artar, dolayısıyla $k > 0$ katsayısı artar. $k > 0$ olduğundan, $f"(x_0) = tanα > 0$ olur. Teğet ile $Ox$ pozitif yönü arasındaki $α$ açısı dardır.
Şekilde $f(x)$ fonksiyonuna teğet azalıyor, dolayısıyla $k katsayısı< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Şekilde $f(x)$ fonksiyonunun teğeti $Ox$ eksenine paraleldir, bu nedenle katsayı $k = 0$, dolayısıyla $f"(x_0) = tan α = 0$ olur. $x_0$ noktası, burada $f "(x_0) = 0$, çağrılır ekstremum.
Şekil $y=f(x)$ fonksiyonunun bir grafiğini ve apsis $x_0$ noktasında çizilen bu grafiğe bir teğetini göstermektedir. $f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki türevinin değerini bulun.
Grafiğe teğet artar, dolayısıyla $f"(x_0) = tan α > 0$
$f"(x_0)$'ı bulmak için $Ox$ ekseninin teğeti ile pozitif yönü arasındaki eğim açısının tanjantını buluyoruz. Bunu yapmak için $ABC$ üçgenine teğet oluşturuyoruz.
$BAC$ açısının tanjantını bulalım. (Teğetsel dar açı V dik üçgen ilişki denir karşı bacak yandaki bacağa.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25
$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$
Cevap: 0,25$
Türev aynı zamanda artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulmak için de kullanılır:
Bir aralıkta $f"(x) > 0$ ise, $f(x)$ fonksiyonu bu aralıkta artıyor demektir.
Eğer $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Şekil $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. $х_1,х_2,х_3...х_7$ noktaları arasında fonksiyonun türevinin negatif olduğu noktaları bulun.
Yanıt olarak bu noktaların sayısını yazın.
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
İçerikİçerik öğeleri
Türev, teğet, ters türev, fonksiyon ve türevlerin grafikleri.
Türev\(f(x)\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasının bir komşuluğunda tanımlı olduğunu varsayalım.
\(f\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasındaki türevi limit denir
\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
eğer bu sınır mevcutsa.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder.
| İşlev | Türev |
| \(const\) | \(0\) |
| \(X\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\çünkü x\) |
| \(\çünkü x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tg x\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Farklılaşma kuralları\(f\) ve \(g\), \(x\) değişkenine bağlı fonksiyonlardır; \(c\) bir sayıdır.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - karmaşık bir fonksiyonun türevi
Türevin geometrik anlamı Bir çizginin denklemi- eksene paralel olmayan \(Oy\) \(y=kx+b\) şeklinde yazılabilir. Bu denklemdeki \(k\) katsayısına denir düz bir çizginin eğimi. Teğete eşittir eğim açısı bu düz çizgi.
Doğru açı- \(Ox\) ekseninin pozitif yönü ile bu düz çizgi arasındaki yönde ölçülen açı pozitif açılar(yani \(Ox\) ekseninden \(Oy\) eksenine en az dönüş yönünde).
\(f(x)\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasındaki türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktadaki teğetin eğimine eşittir: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)
Eğer \(f"(x_0)=0\), o zaman \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin \(x_0\) noktasındaki teğeti \(Ox\) eksenine paraleldir.
Teğet denklem
\(f(x)\) fonksiyonunun grafiğine \(x_0\ noktasındaki teğetin denklemi):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Fonksiyonun monotonluğu Bir fonksiyonun türevi aralığın her noktasında pozitifse, bu aralıkta fonksiyon artar.
Bir fonksiyonun türevi aralığın tüm noktalarında negatifse, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.
Minimum, maksimum ve dönüm noktaları pozitif Açık olumsuz bu noktada \(x_0\), \(f\) fonksiyonunun maksimum noktasıdır.
Eğer \(f\) fonksiyonu \(x_0\) noktasında sürekli ise ve bu fonksiyonun \(f"\) türevinin değeri şu şekilde değişir: olumsuz Açık pozitif bu noktada \(x_0\), \(f\) fonksiyonunun minimum noktasıdır.
\(f"\) türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. kritik noktalar fonksiyonlar \(f\).
\(f(x)\) fonksiyonunun tanım kümesinin iç noktaları, burada \(f"(x)=0\) minimum, maksimum veya bükülme noktaları olabilir.
Türevin fiziksel anlamı Eğer maddi bir nokta doğrusal olarak hareket ediyorsa ve \(x=x(t)\) yasasına göre koordinatı zamana bağlı olarak değişiyorsa, bu noktanın hızı koordinatın zamana göre türevine eşittir:
Hızlanma maddi nokta bu noktanın hızının zamana göre türevine eşittir:
\(a(t)=v"(t).\)
Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x 0 noktasında ona teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="Resimde y = f(x fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir) ) ve apsis x 0 noktasındaki teğetini bulun. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve apsis x 0 noktasında ona teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}
Şekilde (-1;17) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun azalma aralıklarını bulun. Cevabınızda en büyüğünün uzunluğunu belirtin. f(x) 
aralıkta 0, ardından f(x)" fonksiyonu" title="Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. x 1, x 2, x 3, x 4 noktaları arasında bulun , x 5, x 6 ve x 7, f(x) fonksiyonunun türevinin pozitif olduğu noktalardır. Buna karşılık, aralıkta f (x) > 0 ise bulunan nokta sayısını yazın. f(x) fonksiyonu" class="link_thumb"> 8 !}Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ve x 7 noktaları arasında f(x) fonksiyonunun türevinin pozitif olduğu noktaları bulun. Yanıt olarak bulunan nokta sayısını yazın. Bir aralıkta f(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu bu aralıkta artar Cevap: 2 aralıkta 0, sonra f(x)">0 fonksiyonu, sonra f(x) fonksiyonu bu aralıkta artar Cevap: Aralıkta 2">0, sonra f(x)" fonksiyonu başlık= "Açık Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ve x 7 noktaları arasında, f(x) fonksiyonunun türevi pozitiftir. Bulunan nokta sayısını yazın. Eğer aralıkta f(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu."> title="Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ve x 7 noktaları arasında f(x) fonksiyonunun türevinin pozitif olduğu noktaları bulun. Yanıt olarak bulunan nokta sayısını yazın. Bir aralıkta f(x) > 0 ise f(x) fonksiyonu"> !}
Şekilde (-9; 2) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği gösterilmektedir. -8 segmentinin hangi noktasında; -4 fonksiyonu f(x) alır en yüksek değer? -8 segmentinde; -4 f(x) 
y = f(x) fonksiyonu (-5; 6) aralığında tanımlanır. Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. x 1, x 2, ..., x 7 noktaları arasında f(x) fonksiyonunun türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları bulun. Yanıt olarak bulunan nokta sayısını yazın. Cevap: 3 Nokta x 1, x 4, x 6 ve x 7 uç noktalardır. x 4 noktasında f(x) yoktur
Literatür 4 Cebir ve başlangıç analizi dersi. Eğitim kurumları için ders kitabı temel düzeyde/ Sh. A. Alimov ve diğerleri, - M .: Eğitim, Semenov A. L. Birleşik Devlet Sınavı: Matematikte 3000 problem. – M .: Yayınevi “Sınav”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. 7-11. Sınıflar için örneklerle cebir ve analizin başlangıcı için görsel bir rehber. – M.: Ilexa, Elektronik kaynak Birleşik Devlet Sınavı görevlerinin açık bankası.
