Dereceyi rasyonel bir üsle tanımlayın. Doğal üslü kuvvet, bir sayının karesi, bir sayının küpü

MBOU "Sidorskaya"

ortaokul»

Bir taslak planın geliştirilmesi açık ders

11. sınıfta cebirde konuyla ilgili:

Hazırlandı ve gerçekleştirildi

matematik öğretmeni

Iskhakova E.F.

11. sınıfta cebirde açık bir dersin taslağı.

Ders : "Derecesi rasyonel gösterge».

Ders türü : Yeni materyal öğrenme

Ders Hedefleri:

Öğrencilere, daha önce çalışılan materyale (tam sayı üssü olan derece) dayalı olarak rasyonel üslü derece kavramını ve bu kavramın temel özelliklerini tanıtın.

Hesaplama becerilerini ve sayıları rasyonel üslerle dönüştürme ve karşılaştırma yeteneğini geliştirin.

Yetiştirmek matematik okuryazarlığı ve öğrenciler arasında matematiğe ilgi.

Teçhizat : Görev kartları, tamsayı göstergeli derecelere göre öğrenci sunumu, rasyonel göstergeli derecelere göre öğretmen sunumu, dizüstü bilgisayar, multimedya projektörü, ekran.

Ders ilerlemesi:

Organizasyon anı.

Bireysel görev kartlarını kullanarak kapsanan konunun ustalığını kontrol etmek.

Görev No.1.

=2;

B) =x + 5;

Sistemi çöz irrasyonel denklemler: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Görev No.2.

İrrasyonel denklemi çözün: = - 3;

B) = x - 2;

İrrasyonel denklem sistemini çözün: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Dersin konusunu ve hedeflerini anlatın.

Bugünkü dersimizin konusu “ Rasyonel üslü kuvvet».

Daha önce çalışılan materyal örneğini kullanarak yeni materyalin açıklanması.

Tam sayı üssü olan derece kavramına zaten aşinasınız. Bunları hatırlamama kim yardım edecek?

Sunumu kullanarak tekrarlama " Tamsayı üssü olan derece».

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tam sayısı için eşitlikler geçerlidir:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(bir m) n = bir mn;

(a b) n =a n * b n;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a;

a 0 = 1(a ≠ 0) Bugün bir sayının kuvveti kavramını genelleştirip kesirli üssü olan ifadelere anlam vereceğiz. Hadi tanıştıralım tanım

rasyonel üslü dereceler (“Rasyonel üslü derece” sunumu): > Bir gücü Rasyonel üslü 0 = R , Nerede M bir tamsayıdır ve N bir tamsayıdır ve > – doğal ( , Nerede .

1), numarayı aradı = Yani tanım gereği bunu anlıyoruz .

Bir görevi tamamlarken bu tanımı uygulamaya çalışalım.

ÖRNEK No.1

İfadeyi bir sayının kökü olarak sunuyorum: A) İÇİNDE) .

Şimdi bu tanımı tersten uygulamaya çalışalım.

II İfadeyi rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak ifade edin:

İfadeyi bir sayının kökü olarak sunuyorum: 2 A) İÇİNDE) 5 .

0'ın kuvveti yalnızca pozitif üsler için tanımlanır.

0 R= 0 herhangi biri için R> 0.

Kullanma bu tanım, Evler#428 ve #429'u tamamlayacaksınız.

Şimdi yukarıda formüle edilen rasyonel üslü bir derecenin tanımıyla, derecelerin her üs için geçerli olan temel özelliklerinin korunduğunu gösterelim.

Herhangi bir r ve s rasyonel sayısı ile herhangi bir pozitif a ve b için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

1 0 . A R A S =a r+s ;

ÖRNEK: *

2 0. a r: a s =a r-s;

ÖRNEK: :

3 0 . (a r ) s = a rs;

ÖRNEK: ( -2/3

4 0 . ( ab) R = A R B R ; 5 0 . ( = .

ÖRNEK: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

Aynı anda birden fazla özelliği kullanma ÖRNEĞİ: * : .

Beden eğitimi dakikası.

Kalemleri masanın üzerine koyduk, sırtlarını düzelttik ve şimdi öne uzanıyoruz, tahtaya dokunmak istiyoruz. Şimdi onu kaldırdık ve sağa, sola, öne, arkaya doğru eğdik. Bana ellerini gösterdin, şimdi bana parmaklarının nasıl dans edebildiğini göster.

Malzeme üzerinde çalışmak

Rasyonel üslü derecelerin iki özelliğine daha dikkat edelim:

6 0. İzin vermek r bir rasyonel sayıdır ve 0< a < b . Тогда

A R < b R en R> 0,

A R < b R en R< 0.

7 0 . Herhangi bir rasyonel sayı içinR Ve S eşitsizlikten R> Sşu şekildedir

A R>bir R> 1 için,

A R < а R 0'da< а < 1.

ÖRNEK: Sayıları karşılaştırın:

VE ; 2 300 ve 3 200 .

Ders özeti:

Bugünkü dersimizde tamsayı üslü bir derecenin özelliklerini hatırladık, rasyonel üslü bir derecenin tanımını ve temel özelliklerini öğrendik ve bunun uygulamasını ele aldık. teorik materyal egzersiz yaparken pratikte. Derslerde “Rasyonel Üslü Üs” konusunun zorunlu olduğuna dikkatinizi çekmek isterim. Birleşik Devlet Sınavı atamaları. Ödev hazırlarken ( 428 ve 429 numara

Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız bir sayının kuvveti. Burada bir sayının kuvvetinin tanımlarını vereceğiz ve doğal üsle başlayıp irrasyonel üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü kuvvet, bir sayının karesi, bir sayının küpü

İle başlayalım. İleriye baktığımızda, bir a sayısının kuvvetinin tanımının doğal gösterge n, diyeceğimiz a için verilmiştir derece esası, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca, doğal üslü bir derecenin bir çarpım yoluyla belirlendiğini de not ediyoruz; bu nedenle, aşağıdaki materyali anlamak için sayıları çarpma konusunda bilgi sahibi olmanız gerekir.

Tanım.

Doğal üssü n olan bir sayının kuvveti değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan, yani n formunun bir ifadesidir.
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının kuvveti a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.

Derece okuma kurallarından hemen bahsetmeye değer. Evrensel yöntem a n girdisini okumak şu şekildedir: “a üzeri n”. Bazı durumlarda şu seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesini almakörneğin 7 2, "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küplü sayılarörneğin 5 3 “beşin küpü” olarak okunabilir veya “5 sayısının küpü” diyebilirsiniz.

getirme zamanı geldi doğal üslü derece örnekleri. Derece 5 7 ile başlayalım, burada 5 derecenin tabanı, 7 ise üssü. Bir örnek daha verelim: 4,32 taban, 9 doğal sayısı ise (4,32) 9 üssüdür.

Lütfen şunu unutmayın: son örnek 4.32 derecesinin tabanı parantez içinde yazılmıştır: Tutarsızlıkları önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm derece tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal üslerle birlikte veriyoruz , tabanları doğal sayı olmadığından parantez içinde yazılırlar. Tam bir açıklık sağlamak için, bu noktada (−2)3 ve −23 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi −2'nin doğal üssü 3 olan bir kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (−(2 3) olarak da yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir. .

a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir a sayısının kuvveti için bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda öncelikle a n formunun derece gösterimini kullanacağız.

Doğal üslü bir kuvvete yükseltmenin ters problemlerinden biri de kuvvetin tabanını bulma problemidir. bilinen değer derece ve bilinen gösterge. Bu görev şuna yol açar.

Rasyonel sayılar kümesinin tam sayılardan ve kesirlerden oluştuğu ve her birinin kesirli sayı pozitif veya negatif olarak temsil edilebilir ortak kesir. Bir önceki paragrafta dereceyi tamsayı üslü olarak tanımlamıştık, bu nedenle derecenin tanımını rasyonel üslü olarak tamamlamak için a sayısının derecesinin anlamını vermemiz gerekiyor. kesirli gösterge m/n; burada m bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır. Hadi bunu yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması koşuluyla bunu kabul etmek mantıklı olacaktır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: m, n ve a ifadesi anlamlıysa, o zaman a'nın kesirli üssü m/n olan kuvvetine a'nın m üssünün n'inci kökü denir.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey m, n ve a ifadesinin hangi noktada anlamlı olduğunu açıklamaktır. M, n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 alarak a'ya bir kısıtlama getirmektir (çünkü m≤0 için m'nin 0 derecesi tanımlanmamıştır). Sonra alırız aşağıdaki tanım kesirli bir üs ile derece.

Tanım.

Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m bir tamsayı ve n bir doğal sayı olmak üzere, a sayısının m üssü n'inci kökü olarak adlandırılır.

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üssü m/n ile sıfırın kuvveti m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde, yani sıfır sayısının kesirli derecesi negatif gösterge mantıklı değil.

Kesirli üslü derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları göz ardı ettik. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

Kesirli m/n üssüyle bir derece belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım gerektirir ek koşul: üssü olan a sayısının kuvveti, üssü karşılık gelen a sayısının kuvveti olarak kabul edilir indirgenemez kesir(Bu durumun önemi aşağıda anlatılacaktır). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.

Çift n ve pozitif m için, ifade negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir); negatif m için a sayısı yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde bölme olacaktır). sıfır). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir sayı olabilir (kök tek derece herhangi biri için tanımlanmış gerçek sayı) ve negatif m için a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sıfıra bölünme olmaz).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m/n olan bir sayının kuvveti

İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğuna göre eşitliğin sağlanması gerekir. , Ancak , A .

A sayısının tamsayı üslerinden rasyonel üslere geçiş kendini göstermektedir. Aşağıda rasyonel üslü bir derece tanımlayacağız ve bunu tamsayı üslü bir derecenin tüm özellikleri korunacak şekilde yapacağız. Bu gereklidir çünkü tamsayılar rasyonel sayıların bir parçasıdır.

Rasyonel sayılar kümesinin tamsayılardan ve kesirlerden oluştuğu ve her kesrin pozitif veya negatif sıradan kesir olarak temsil edilebildiği bilinmektedir. Bir önceki paragrafta dereceyi tamsayı üslü olarak tanımlamıştık, dolayısıyla rasyonel üslü derece tanımını tamamlamak için sayının derecesine anlam vermemiz gerekiyor. A kesirli gösterge ile a/n, Nerede , Nerede bir tamsayıdır ve bir tamsayıdır ve- doğal. Hadi bunu yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve derecenin n'inci kökünü nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilenlerin verilmesi koşuluyla kabul etmek mantıklıdır. , Nerede, bir tamsayıdır ve Ve A ifade anlamlıdır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: eğer veri verilirse , Nerede, bir tamsayıdır ve Ve A ifade anlamlıysa sayının kuvveti A kesirli gösterge ile a/n kök denir bir tamsayıdır ve derecesi A bir dereceye kadar , Nerede.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey ne olduğunu açıklamak , Nerede, bir tamsayıdır ve Ve A ifade anlamlıdır. Uygulanan kısıtlamalara bağlı olarak , Nerede, bir tamsayıdır ve Ve Aİki ana yaklaşım vardır.

1. En kolay yol, kısıtlama getirmektir A, kabul ettikten a≥0 olumlu için , Nerede Ve a>0 negatif için , Nerede(ne zamandan beri m≤0 derece 0 m tanımlanmadı). Daha sonra kesirli üslü bir derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

Pozitif bir sayının kuvveti A kesirli gösterge ile a/n , Nerede , Nerede- bütün ve bir tamsayıdır ve– kök adı verilen doğal bir sayı bir tamsayıdır ve sayının -incisi A bir dereceye kadar , Nerede yani .

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üslü sıfırın kuvveti a/n , Nerede , Nerede pozitif bir tam sayıdır ve bir tamsayıdır ve– doğal sayı, şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde yani sıfır sayısının kesirli negatif üslü derecesinin bir anlamı kalmaz.

Kesirli üslü bir derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif değerler için. A ve bazıları , Nerede Ve bir tamsayıdır ve ifade anlamlıdır ancak koşulu getirerek bu durumları göz ardı ettik a≥0. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

2. Kesirli üs ile dereceyi belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım a/n kökün çift ve tek üslerinin ayrı ayrı dikkate alınmasından oluşur. Bu yaklaşım ek bir koşulu gerektirir: Sayının gücü Aüssü indirgenebilir bir sıradan kesir olan bir sayının kuvveti olarak kabul edilir A göstergesi karşılık gelen indirgenemez kesirdir (bu koşulun önemi aşağıda açıklanacaktır). Yani eğer a/n indirgenemez bir kesirdir, o zaman herhangi bir doğal sayı için k derecesi ilk olarak ile değiştirilir.

Çift için bir tamsayıdır ve ve olumlu , Nerede ifade negatif olmayan herhangi bir durum için anlamlıdır A(Negatif bir sayının çift kökünün hiçbir anlamı yoktur), negatif için , Nerede sayı A yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde sıfıra bölünme olacaktır). Ve garip için bir tamsayıdır ve ve olumlu , Nerede sayı A herhangi biri olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek bir kök tanımlanır) ve negatif için , Nerede sayı A sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sıfıra bölünme olmaz).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

İzin vermek a/n– indirgenemez kesir, , Nerede- bütün ve bir tamsayıdır ve– doğal sayı. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. Sayının gücü A indirgenemez kesirli bir üs ile a/n- bu şunun için

o herhangi bir gerçek sayı A, tamamen olumlu , Nerede ve garip doğal bir tamsayıdır ve, Örneğin, ;

o sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı A, negatif tamsayı , Nerede ve tuhaf bir tamsayıdır ve, Örneğin, ;

o negatif olmayan herhangi bir sayı A, tamamen olumlu , Nerede ve hatta bir tamsayıdır ve, Örneğin, ;

herhangi bir olumlu A, negatif tamsayı , Nerede ve hatta bir tamsayıdır ve, Örneğin, ;

o diğer durumlarda, kesirli göstergeli derece belirlenmez, örneğin dereceler tanımlanmaz .a girdiye herhangi bir anlam yüklemiyoruz; pozitif kesirli üsler için sıfır sayısının kuvvetini tanımlıyoruz. a/n Nasıl negatif kesirli üsler için sıfır sayısının kuvveti belirlenmez.

Bu paragrafın sonuç kısmında kesirli bir üssün ondalık kesir veya ondalık kesir olarak yazılabildiğine dikkat çekelim. karışık sayı, Örneğin, . Bu tür ifadelerin değerlerini hesaplamak için, üssü sıradan bir kesir biçiminde yazmanız ve ardından üssün tanımını kesirli bir üsle kullanmanız gerekir. Yukarıdaki örnekler için elimizde Ve

Rasyonel üslü kuvvet

Khasyanova T.G.,

matematik öğretmeni

Sunulan materyal, “Rasyonel üslü üs” konusunu incelerken matematik öğretmenleri için faydalı olacaktır.

Sunulan materyalin amacı: “Rasyonel üslü üs” konusunda ders yürütme deneyimimi ortaya çıkarmak çalışma programı disiplin "Matematik".

Dersi yürütme metodolojisi, türüne karşılık gelir - yeni bilgilerin incelenmesi ve başlangıçta pekiştirilmesine yönelik bir ders. Güncellendi arka plan bilgisi ve önceden kazanılan deneyime dayalı beceriler; yeni bilgilerin birincil ezberlenmesi, birleştirilmesi ve uygulanması. Yeni malzemenin pekiştirilmesi ve uygulanması, test ettiğim problemlerin çözümü şeklinde gerçekleşti değişen karmaşıklığa sahip vermek olumlu sonuç konuya hakim olmak.

Dersin başında öğrencilerin önüne çıktım. hedefleri takip etmek: eğitimsel, gelişimsel, eğitimsel. Ders sırasında kullandığım çeşitli yollar aktiviteler: ön, bireysel, çift, bağımsız, test. Görevler farklılaştırıldı ve dersin her aşamasında bilgi edinme derecesinin belirlenmesini mümkün kıldı. Görevlerin hacmi ve karmaşıklığı yaş özellikleriöğrenciler. Deneyimlerime göre - Ev ödeviçözülen problemlere benzer çalışma odası, edinilen bilgi ve becerileri güvenilir bir şekilde pekiştirmenizi sağlar. Dersin sonunda yansıtma yapıldı ve öğrencilerin bireysel çalışmaları değerlendirildi.

Hedeflere ulaşıldı. Öğrenciler rasyonel üslü derece kavramı ve özelliklerini incelediler, çözerken bu özellikleri kullanmayı öğrendiler pratik problemler. İçin bağımsız çalışma Notlar bir sonraki derste açıklanacaktır.

Matematik öğretiminde kullandığım metodolojinin matematik öğretmenlerinin de kullanabileceğine inanıyorum.

Ders konusu: Rasyonel üslü kuvvet

Dersin amacı:

Öğrencilerin bir bilgi ve beceri kompleksine hakim olma düzeyinin belirlenmesi ve buna dayanarak uygulama belirli kararlar eğitim sürecini iyileştirmek.

Ders hedefleri:

Eğitici:öğrenciler arasında temel kavramlar, kurallar, rasyonel bir göstergeyle dereceleri belirleyen yasalar, bilgiyi standart koşullarda, değiştirilmiş ve bağımsız olarak uygulama yeteneği hakkında yeni bilgi oluşturmak standart dışı koşullar;

gelişmekte: Mantıklı düşün ve uygula yaratıcılık;

yükselterek: Matematiğe ilgi geliştirmek, kelime dağarcığını yeni terimlerle doldurmak, Ek Bilgiler etrafımızdaki dünya hakkında. Sabır, azim ve zorlukların üstesinden gelme yeteneğini geliştirin.

Organizasyon anı

Referans bilgilerinin güncellenmesi

Üsler aynı tabanlarla çarpıldığında üsler toplanır ancak taban aynı kalır:

Örneğin,

2. Dereceleri aynı tabanlara göre bölerken derecelerin üsleri çıkarılır ancak taban aynı kalır:

Örneğin,

3. Dereceyi bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır ancak taban aynı kalır:

Örneğin,

4. Ürünün derecesi, faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

Örneğin,

5. Bölümün derecesi, bölenin ve bölenin derecelerinin bölümüne eşittir:

Örneğin,

Çözümlü alıştırmalar

İfadenin anlamını bulun:

Çözüm:

İÇİNDE bu durumda V açık biçim Doğal üslü bir derecenin hiçbir özelliği uygulanamaz, çünkü tüm dereceler doğal üslüdür. farklı nedenler. Bazı kuvvetleri farklı bir biçimde yazalım:

(Çarpının derecesi, faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir);

(aynı tabanlarla kuvvetler çarpıldığında üsler toplanır, ancak taban aynı kalır; bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır, ancak taban aynı kalır).

Sonra şunu elde ederiz:

İÇİNDE bu örnekte Derecenin doğal üslü ilk dört özelliği kullanıldı.

Aritmetik karekök
- Bu negatif olmayan sayı karesi şuna eşit olanA,
. Şu tarihte:
- ifade
tanımlanmadı çünkü karesi negatif bir sayıya eşit olan hiçbir gerçek sayı yokturA.

Matematiksel dikte(8-10 dk.)

Seçenek

II. Seçenek

1.İfadenin değerini bulun

2.Hesapla

İÇİNDE)

2.Hesapla

Kendi kendine test(yaka panosunda):

Yanıt Matrisi:

№ seçenek/görev

Sorun 1

Sorun 2

Seçenek 1

a) 2

a) 0,5

Seçenek 2

a) 1,5

c) 4

II.Yeni bilginin oluşumu

İfadenin ne anlama geldiğini, nerede olduğunu düşünelim. - pozitif sayı – kesirli sayı ve m-tamsayı, n-doğal (n›1)

Tanım: a›0'ın rasyonel üslü kuvvetiR = , Yani tanım gereği bunu anlıyoruz-tüm, N-doğal ( N›1) numara aranır.

Bu yüzden:

Örneğin:

Notlar:

1. Herhangi bir pozitif a ve herhangi bir rasyonel r sayısı için olumlu.

2. Ne zaman
bir sayının rasyonel kuvvetiAbelirlenmedi.

Gibi ifadeler
mantıklı değil.

3.Eğer kesirli pozitif bir sayı
.

Eğer kesirli negatif sayı o zaman -mantıklı değil.

Örneğin: - mantıklı değil.

Rasyonel üslü bir derecenin özelliklerini ele alalım.

a >0, b>0 olsun; r, s - herhangi biri rasyonel sayılar. O halde herhangi bir rasyonel üssü olan bir derece aşağıdaki özellikler:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidasyon. Yeni beceri ve yeteneklerin oluşumu.

Görev kartları küçük gruplar halinde test şeklinde çalışır.

“Rasyonel üssü olan üs” video dersi görsel içerir eğitim materyali bu konuyla ilgili bir ders vermek. Video dersi, rasyonel üslü derece kavramı, bu derecelerin özellikleri ve pratik sorunları çözmek için eğitim materyalinin kullanımını açıklayan örnekler hakkında bilgi içerir. Bu video dersinin amacı eğitim materyalini açık ve net bir şekilde sunmak, öğrenciler tarafından geliştirilmesini ve ezberlenmesini kolaylaştırmak ve öğrenilen kavramları kullanarak problem çözme yeteneğini geliştirmektir.

Video dersinin temel avantajları, dönüşümleri ve hesaplamaları görsel olarak gerçekleştirme yeteneği, öğrenme verimliliğini artırmak için animasyon efektlerini kullanma yeteneğidir. Sesli rehberlik doğru gelişmeye yardımcı olur matematik konuşması ve ayrıca öğretmenin açıklamasını değiştirmeyi mümkün kılarak ona bireysel çalışma yapma olanağı tanır.

Video dersi konunun tanıtılmasıyla başlar. Bağlantı çalışmaları yeni konu daha önce çalışılan materyalde, n √a'nın doğal n ve pozitif a için 1/n ile gösterildiğinin hatırlanması önerilir. Bu sunum Ekranda n-root görüntülenir. Daha sonra, a'nın pozitif bir sayı ve m/n'nin bir kesir olduğu m/n ifadesinin ne anlama geldiğini düşünmeyi öneriyoruz. a m/n = n √a m şeklinde rasyonel üslü bir derecenin tanımı çerçevede vurgulanarak verilmiştir. n'nin olabileceği belirtilmektedir doğal sayı ve m bir tamsayıdır.

Derecenin rasyonel üslü tanımı yapıldıktan sonra şu örneklerle anlamı ortaya çıkar: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. ile temsil edilen derecenin olduğu bir örnek de gösterilmiştir. ondalık, dönüştürülür sıradan kesir kök olarak temsil edilecek: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ve örnek negatif değer derece: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Derecenin tabanının sıfır olduğu özel durumun özelliği ayrıca belirtilir. belirtilmektedir ki bu derece yalnızca pozitif kesirli üs ile anlamlıdır. Bu durumda değeri sıfırdır: 0 m/n =0.

Rasyonel üslü bir derecenin bir başka özelliği de, kesirli üslü bir derecenin kesirli üslü olarak değerlendirilemeyeceğidir. Yanlış derece gösterimi örnekleri verilmiştir: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Bir sonraki video dersinde rasyonel üslü bir derecenin özelliklerini tartışacağız. Tamsayı üslü bir derecenin özelliklerinin, rasyonel üslü bir derece için de geçerli olacağı belirtiliyor. Bu durumda da geçerli olan özelliklerin listesinin hatırlanması önerilmektedir:

Üsleri aynı tabanlarla çarparken üslerin toplamı şu şekilde olur: a p a q =a p+q.
Derecelerin aynı tabanlarla bölümü, belirli bir taban ve üsler arasındaki farkla bir dereceye indirgenir: a p:a q =a p-q.
Dereceyi belirli bir kuvvete yükseltirsek, belirli bir tabana ve üslerin çarpımına sahip bir derece elde ederiz: (a p) q =a pq.

Tüm bu özellikler rasyonel üsleri p, q ve pozitif tabanı a>0 olan kuvvetler için geçerlidir. Ayrıca parantezlerin açılması sırasındaki derece dönüşümleri de aynı kalır:

(ab) p =a p b p - rasyonel bir üsle bir kuvvete yükseltildiğinde, iki sayının çarpımı, her biri belirli bir kuvvete yükseltilen sayıların çarpımına indirgenir.
(a/b) p =a p /b p - bir kesri rasyonel bir üsle bir kuvvete yükseltmek, payı ve paydası belirli bir kuvvete yükseltilmiş bir kesre indirgenir.

Video eğitimi, rasyonel bir üsle kuvvetlerin dikkate alınan özelliklerini kullanan örnekleri çözmeyi tartışıyor. İlk örnekte sizden x değişkenlerini içeren bir ifadenin değerini bulmanız istenmektedir. kesirli güç: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). İfadenin karmaşıklığına rağmen kuvvetlerin özelliklerini kullanarak oldukça basit bir şekilde çözülebilir. Sorunu çözmek, rasyonel üssü olan bir kuvveti bir kuvvete yükseltme ve aynı zamanda kuvvetleri bir kuvvetle çarpma kuralını kullanan ifadeyi basitleştirmekle başlar. aynı temel. Oyuncu değişikliğinden sonra değeri belirle x=8 basitleştirilmiş ifadesinde x 1/3 +48 olduğundan - 50 değerini elde etmek kolaydır.

İkinci örnekte pay ve paydası rasyonel üslü kuvvetler içeren bir kesri azaltmanız gerekiyor. Derecenin özelliklerini kullanarak, farktan x 1/3 faktörünü çıkarırız, bu daha sonra pay ve paydada azaltılır ve kareler farkı formülünü kullanarak pay çarpanlara ayrılır, bu da aynı değerde daha fazla azalma sağlar. pay ve paydadaki faktörler. Bu tür dönüşümlerin sonucu kısa kesir x 1/4 +3'tür.

Öğretmenin yeni bir ders konusunu açıklaması yerine “Rasyonel Üslü Üs” video dersi kullanılabilir. Bu kılavuz ayrıca yeterli miktarda içerir. tam bilgiİçin kendi kendine çalışmaöğrenci. Materyal aynı zamanda uzaktan eğitim için de yararlı olabilir.