4 La ecuación de Maxwell dice eso. ecuaciones de maxwell

La introducción por parte de Maxwell del concepto de corriente de desplazamiento condujo a la finalización de la teoría macroscópica que creó. campo electromagnetico, lo que nos permite explicar desde un punto de vista unificado no sólo eléctricos y fenómenos magnéticos, pero también para predecir otros nuevos, cuya existencia se confirmó posteriormente.

La teoría de Maxwell se basa en 4 ecuaciones:

1. El campo eléctrico puede ser potencial o de vórtice, por lo que la intensidad del campo resultante es igual a:

Esta ecuación muestra que los campos magnéticos pueden excitarse mediante cargas en movimiento (corrientes eléctricas) o mediante campos eléctricos alternos.

3. Teorema de Gauss para el campo:

Obtenemos

Entonces, el sistema completo de ecuaciones de Maxwell en forma integral:

Las cantidades incluidas en las ecuaciones de Maxwell no son independientes y existe una conexión entre ellas.

Para medios isotrópicos, no ferroeléctricos y no ferromagnéticos, escribimos las fórmulas de conexión:

donde está la constante eléctrica, es la constante magnética,

Constante dieléctrica del medio, m - permeabilidad magnética del medio,

r - específico resistencia eléctrica, - conductividad eléctrica específica.

De las ecuaciones de Maxwell se deduce que Qué:

fuente campo eléctrico pueden ser cualquiera de los dos cargas eléctricas, o campos magnéticos variables en el tiempo, que pueden excitarse mediante cargas eléctricas en movimiento (corrientes) o mediante campos eléctricos alternos.

Las ecuaciones de Maxwell no son simétricas con respecto a los campos eléctricos y magnéticos. Esto se debe a que en la naturaleza no existen cargas magnéticas.

Si y (campos estacionarios), entonces las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:

fuentes de electricidad campo estacionario son solo cargas eléctricas, las fuentes de campo magnético estacionario son solo corrientes de conducción .

Campo eléctrico y magnético en en este caso independientes entre sí, lo que permite estudiar los campos eléctricos y magnéticos constantes por separado.

Forma diferencial de escribir las ecuaciones de Maxwell:

forma integral escribir las ecuaciones de Maxwell es más general si hay superficies de discontinuidad. La forma diferencial de escribir la ecuación de Maxwell supone que todas las cantidades en el espacio y el tiempo cambian continuamente.

Las ecuaciones de Maxwell son las más ecuaciones generales para campos eléctricos y magnéticos en medios inactivos. Desempeñan el mismo papel en la doctrina del electromagnetismo. papel importante, como las leyes de Newton en mecánica. De las ecuaciones de Maxwell se deduce que un campo magnético alterno siempre está asociado con un campo eléctrico alterno, y un campo eléctrico alterno siempre está asociado con el campo magnético generado por él, es decir Los campos eléctrico y magnético están indisolublemente ligados entre sí: forman un único campo electromagnético.

Propiedades de las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son lineales. Contienen sólo las primeras derivadas de los campos E y B con respecto al tiempo y las coordenadas espaciales y los primeros grados de densidad de cargas y corrientes eléctricas j. La propiedad de linealidad de las ecuaciones de Maxwell está asociada con el principio de superposición; si dos campos cualesquiera satisfacen las ecuaciones de Maxwell, esto también se aplica a la suma de estos campos.

Las ecuaciones de Maxwell contienen ecuaciones de continuidad que expresan la ley de conservación de la carga eléctrica. Para obtener la ecuación de continuidad es necesario tomar la divergencia de ambos lados de la primera de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial:

Las ecuaciones de Maxwell se satisfacen en todos los sistemas de referencia inerciales. Son relativistas invariantes. Esto es una consecuencia del principio de relatividad, según el cual todos los sistemas de referencia inerciales son físicamente equivalentes entre sí. La forma de las ecuaciones de Maxwell al pasar de una. sistema inercial referencia a otra no cambia, pero las cantidades incluidas en ellas se convierten según algunas reglas. Aquellos. Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones relativistas correctas, a diferencia de, por ejemplo, las ecuaciones mecánicas de Newton.

Las ecuaciones de Maxwell son asimétricas con respecto a los campos eléctricos y magnéticos. Esto se debe al hecho de que las cargas eléctricas existen en la naturaleza y cargas magnéticas No.

De las ecuaciones de Maxwell se deduce conclusión importante sobre la existencia de un fenómeno fundamentalmente nuevo: el campo electromagnético es capaz de existir de forma independiente, sin cargas ni corrientes eléctricas. Además, su cambio tiene necesariamente un carácter ondulatorio. Los campos de este tipo se denominan ondas electromagnéticas. En el vacío siempre se propagan a una velocidad igual velocidad Luz. La teoría de Maxwell predijo la existencia de ondas electromagnéticas y permitió establecer todas sus propiedades básicas.

En el caso de campos eléctricos y magnéticos estacionarios (es decir, invariantes en el tiempo), cuyo origen está asociado con cargas estacionarias para el campo eléctrico y con corrientes estacionarias para el campo magnético, estos campos son independientes entre sí, lo que permite debemos considerarlos por separado unos de otros.

ecuaciones de maxwell es un sistema de ecuaciones que describen la naturaleza del origen y las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos.

Ecuaciones de Maxwell para campos estacionarios:

De este modo, Ecuaciones de Maxwell para campos estacionarios:

I.; II. ;

III.; IV. .

Características vectoriales del campo electrostático. Y están relacionados entre sí por la siguiente relación:

,

Dónde – constante eléctrica,  – Constante dieléctrica del medio.

Características vectoriales del campo magnético. Y están relacionados entre sí por la siguiente relación:

,

Dónde – constante magnética, – permeabilidad magnética del medio.

Tema 8. Ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético.

De acuerdo a Las teorías de Maxwell para el campo electromagnético. En el caso de campos eléctricos y magnéticos no estacionarios (es decir, variables en el tiempo), las fuentes del campo eléctrico pueden ser cargas eléctricas o un campo magnético variable en el tiempo, y las fuentes del campo magnético pueden ser móviles. cargas eléctricas (corrientes eléctricas) o un campo eléctrico alterno.

A diferencia de los campos estacionarios, los campos eléctricos y magnéticos alternos no son independientes entre sí y se consideran un campo electromagnético.

Las ecuaciones de Maxwell, como un sistema de ecuaciones que describe la naturaleza del origen y las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos. cuando campo electromagnetico tiene la forma:

I.
, es decir, la circulación del vector de intensidad del campo eléctrico está determinada por la tasa de cambio del vector de inducción del campo magnético. ( tasa de cambio del vector de inducción ).

Esta ecuación muestra que las fuentes del campo eléctrico pueden ser no sólo cargas eléctricas, sino también campos magnéticos variables en el tiempo.

II.
, es decir, el flujo vectorial desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria S, es igual suma algebraica cargas contenidas dentro del volumen V, delimitado por una superficie cerrada dada S ( - densidad de carga volumétrica).

III.
, es decir, la circulación del vector de tensión. a lo largo de un contorno cerrado arbitrario l determinado por la corriente total I lleno perforando la superficie S, limitado por este contorno l.

corriente total I lleno, que consiste en corriente de conducción I Y corriente de polarización I cm., eso es I lleno = I + I cm. .

Corriente de conducción total I definido en caso general a través de la densidad de corriente superficial j (
) integración, es decir

.

Corriente de polarización I cm perforando la superficie S, se define en general

caso a través de densidad de corriente de polarización de superficie
(
) integración, es decir:
.

El concepto de "corriente de desplazamiento" introducido por Maxwell, cuya magnitud está determinada por la tasa de cambio del vector de desplazamiento eléctrico. , es decir, el valor , muestra que los campos magnéticos pueden excitarse no sólo mediante cargas en movimiento (corrientes de conducción eléctrica), sino también mediante campos eléctricos alternos.

IV.
, es decir, el flujo del vector de inducción. campo magnético a través de una superficie cerrada arbitraria S igual a cero.

La teoría de Maxwell se basa en las cuatro ecuaciones analizadas anteriormente:

1. El campo eléctrico puede ser potencial ( miq), y vórtice ( miB), por lo tanto la intensidad total del campo mi=miq +miB. Desde la circulación del vector. miq es igual a cero (ver (137.3)), y la circulación del vector miB está determinada por la expresión (137.2), entonces la circulación del vector de intensidad de campo total

Esta ecuación muestra que las fuentes del campo eléctrico pueden ser no sólo cargas eléctricas, sino también campos magnéticos variables en el tiempo.

2. Teorema de circulación vectorial generalizado norte(ver (138.4)):

Esta ecuación muestra que los campos magnéticos pueden excitarse mediante cargas en movimiento (corrientes eléctricas) o mediante campos eléctricos alternos.

3. Teorema de Gauss para el campo D(ver (89.3)):

Si la carga se distribuye dentro de una superficie cerrada continuamente con Densidad a Granel r, entonces la fórmula (139.1) se escribirá en la forma

4. Teorema de Gauss para el campo EN(ver (120.3)):

Entonces, el sistema completo de ecuaciones de Maxwell en forma integral:

Las cantidades incluidas en las ecuaciones de Maxwell no son independientes y entre ellas existe la siguiente relación (medios isotrópicos no ferroeléctricos y no ferromagnéticos):

Dónde mi 0 y metro 0 - constantes eléctricas y magnéticas, respectivamente, mi Y metro- permeabilidad dieléctrica y magnética, respectivamente, gramo - conductividad sustancias.

De las ecuaciones de Maxwell se deduce que las fuentes del campo eléctrico pueden ser cargas eléctricas o campos magnéticos variables en el tiempo, y los campos magnéticos pueden excitarse mediante cargas eléctricas en movimiento (corrientes eléctricas) o mediante campos eléctricos alternos. Las ecuaciones de Maxwell no son simétricas con respecto a los campos eléctricos y magnéticos. Esto se debe a que en la naturaleza existen cargas eléctricas, pero no cargas magnéticas.

Para campos estacionarios (E= constante y B= constante ) Ecuaciones de Maxwell tomará la forma

aquellos. En este caso, las fuentes del campo eléctrico son sólo cargas eléctricas, las fuentes del campo magnético son sólo corrientes de conducción. En este caso, los campos eléctrico y magnético son independientes entre sí, lo que permite estudiarlos por separado. permanente campos eléctricos y magnéticos.

Utilizando los teoremas de Stokes y Gauss conocidos del análisis vectorial

uno puede imaginar un sistema completo de ecuaciones de Maxwell en forma diferencial(caracterizando el campo en cada punto del espacio):

Si las cargas y las corrientes se distribuyen continuamente en el espacio, entonces ambas formas de las ecuaciones de Maxwell (integral y diferencial) son equivalentes. Sin embargo, si hay superficies de discontinuidad (superficies en las que las propiedades del medio o los campos cambian abruptamente), entonces la forma integral de las ecuaciones es más general.

Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial suponen que todas las cantidades en el espacio y el tiempo varían continuamente. Para lograr la equivalencia matemática de ambas formas de las ecuaciones de Maxwell, se complementa la forma diferencial condiciones de borde, que debe satisfacer el campo electromagnético en la interfaz entre dos medios. La forma integral de las ecuaciones de Maxwell contiene estas condiciones. Estos han sido discutidos antes:

(la primera y última ecuaciones corresponden a casos en los que no existe cargos gratis, sin corrientes de conducción).

Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones más generales para campos eléctricos y magnéticos en ambientes tranquilos. Desempeñan el mismo papel en la doctrina del electromagnetismo que las leyes de Newton en la mecánica. De las ecuaciones de Maxwell se deduce que un campo magnético alterno siempre está asociado con el campo eléctrico generado por él, y un campo eléctrico alterno siempre está asociado con el campo magnético generado por él, es decir, los campos eléctrico y magnético están indisolublemente ligados entre sí. - forman una sola campo electromagnetico.

Corriente de polarización o corriente de absorción- un valor directamente proporcional a la tasa de cambio en la inducción eléctrica. Este concepto se utiliza en la electrodinámica clásica.

Introducido por J.C. Maxwell al construir la teoría del campo electromagnético.

La introducción de una corriente de desplazamiento permitió eliminar la contradicción en la fórmula de Ampere para la circulación del campo magnético, que, luego de sumar la corriente de desplazamiento, se volvió consistente y constituyó la última ecuación, que permitió cerrar correctamente el sistema. de ecuaciones de electrodinámica (clásica).

Estrictamente hablando, la corriente de polarización no es descarga eléctrica, pero se mide en las mismas unidades que la corriente eléctrica.

coeficiente) se llama flujo del vector de rapidez de cambio del campo eléctrico a través de una determinada superficie:

(SI)

Corriente de polarización. Generalizar las ecuaciones del campo electromagnético en el vacío a campos variables es necesario cambiar sólo una de las ecuaciones escritas anteriormente (ver secciones 3.4, 3.12); tres ecuaciones resultan ser verdaderas en el caso general. Sin embargo, la ley de la corriente total para un campo magnético en el caso de campos y corrientes alternas resulta incorrecta. De acuerdo con esta ley, la corriente debe ser la misma para dos superficies cualesquiera estiradas a lo largo del contorno; Si la carga en el volumen entre las superficies seleccionadas cambia, entonces esta afirmación entra en conflicto con la ley de conservación de la carga. Por ejemplo, al cargar un condensador (Fig. 45), la corriente a través de una de las superficies indicadas es igual y a través de la otra (que pasa entre las placas), cero. Para eliminar esta contradicción, Maxwell introdujo una corriente de desplazamiento en esta ecuación, proporcional a la velocidad cambios en el campo eléctrico:

En un medio dieléctrico, la expresión de la corriente de desplazamiento toma la forma:

El primer término representa la densidad de corriente de desplazamiento en el vacío, el segundo - corriente real, causado por el movimiento de cargas ligadas cuando cambia la polarización. La corriente de desplazamiento a través de la superficie es igual a donde Ф es el vector de flujo a través de la superficie. La introducción de una corriente polarizada elimina la contradicción con la ley de conservación de la carga. Por ejemplo, al cargar condensador plano corriente de desplazamiento a través de la superficie que pasa entre las placas, igual a la actual a lo largo de los cables de suministro.

Sistema de ecuaciones de Maxwell en el vacío. Después de introducir la corriente de desplazamiento, el sistema de ecuaciones de Maxwell en forma diferencial toma la forma:

Sistema de ecuaciones de Maxwell en forma integral:

También presentamos una representación de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial en el sistema CGS:

Las densidades de carga y corriente están relacionadas por la relación

expresando la ley de conservación de la carga (esta ecuación es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell).

Las ecuaciones de Maxwell en un medio. tener la forma: forma diferencial forma integral

y sirven para determinar cuatro cantidades. A las ecuaciones de Maxwell, en el medio, es necesario agregar ecuaciones materiales de conexión entre, que caracterizan las eléctricas y propiedades magnéticas ambiente. Para medios lineales isotrópicos, estas ecuaciones tienen la forma:

De las ecuaciones de Maxwell se puede obtener condiciones fronterizas para (ver secciones 3.6, 3.13).

Ley de conservación de la energía para el campo electromagnético.

De las ecuaciones de Maxwell podemos derivar la siguiente ecuación para cualquier volumen V limitado por una superficie

El primer término describe el cambio en la energía del campo electromagnético en el volumen considerado. Se puede observar que, en el caso general, la densidad de energía del campo electromagnético resulta ser fórmulas verdaderas, obtenido anteriormente para campos eléctricos y magnéticos constantes. El segundo término representa el trabajo del campo sobre las partículas en el volumen considerado. Finalmente, el tercer término describe el flujo de energía electromagnética a través de la superficie cerrada que encierra el volumen. La densidad del flujo de energía en un punto dado del espacio (vector de Poynting) está determinada por los vectores E y B en el mismo punto:

La última expresión también es válida para la densidad de flujo de energía electromagnética en la materia. La densidad de energía en el medio tiene la forma:

Ejemplo 1. Considere cargar un condensador plano con placas redondas ubicadas a distancia. La tasa de cambio de energía en un cilindro de radio ( tamaños más pequeños placas) es igual

Encontramos la intensidad del campo magnético a partir de la segunda ecuación de Maxwell: (a la derecha está la corriente de desplazamiento). Encontramos que la tasa de flujo de energía a través de superficie lateral Cilindro: igual a la tasa de cambio de energía en el volumen.

Propiedades relativistas de los campos. Al pasar de un sistema de referencia inercial a otro, tanto las fuentes del campo electromagnético (densidades de carga y corriente) como los propios campos cambian, pero las ecuaciones de Maxwell conservan su forma. Las fórmulas de conversión de fuentes más simples son la densidad de una carga en movimiento). Si denotamos la densidad de carga en ISO, en la que luego, teniendo en cuenta la reducción de las dimensiones longitudinales (ver Sección 1.11), obtenemos

Comparando con el vector de energía-momento, vemos que forman un vector, es decir se transforman entre sí de la misma manera que según las fórmulas de transformación de Lorentz. Al saber cómo se convierten las fuentes de campo, puede encontrar fórmulas para convertir E, B. Se ven así:

Aquí está la velocidad del sistema de referencia K en relación con el sistema K, las transformaciones se escriben para componentes de campo paralelos y perpendiculares. Las invariantes de estas transformaciones son. cantidades escalares

Cuando están disponibles, las fórmulas de conversión de campos toman la siguiente forma simplificada:

Ejemplo 2. Campo magnético de una partícula no relativista. Consideremos una partícula que se mueve respecto a ISO K con una constante velocidad relativista V. En el ISO asociado a una partícula en movimiento, solo hay un campo eléctrico. Para ir al ISO K, es necesario escribir las fórmulas.

transformaciones Teniendo en cuenta que en el límite no relativista las longitudes de los segmentos no cambian, obtenemos (para el momento en que la partícula pasa por el origen de coordenadas en K):

Al derivar estas fórmulas, utilizamos la igualdad.

Ejemplo 3. Polarización de un dieléctrico al moverse en un campo magnético. Cuando un dieléctrico se mueve a una velocidad no relativista perpendicular a las líneas de inducción del campo magnético, se produce su polarización. En un IFR asociado a un dieléctrico, existe un campo eléctrico transversal. La naturaleza de la polarización de un dieléctrico depende de su forma.

Ejemplo 4. Campo eléctrico de una partícula relativista. Consideremos una partícula que se mueve con respecto al ISO K con una velocidad relativista constante V. En el ISO K asociado a la partícula en movimiento, solo hay un campo eléctrico. Para transferir al ISO K, se deben usar las fórmulas de transformación (92. ) con Escribimos la respuesta para el momento en que la partícula está en el ISO K pasa por el origen de coordenadas, para un punto que se encuentra en el plano Al pasar de coordenadas a coordenadas, es necesario tener en cuenta que ( las coordenadas del punto se miden en K simultáneamente con el paso de la partícula por el origen de coordenadas). Como resultado obtenemos

Se puede ver que el vector E es colineal con el vector. Sin embargo, a la misma distancia de la carga, el campo en un punto ubicado en la línea de su movimiento es menor que en un punto ubicado perpendicular a la velocidad. El campo magnético en el mismo punto está determinado por la expresión:

Tenga en cuenta que el campo eléctrico considerado no es potencial.

El sistema de ecuaciones de Maxwell incluye cuatro ecuaciones básicas.

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Este sistema se complementa con tres ecuaciones de materiales, definir la conexión entre Cantidades fisicas, incluido en las ecuaciones de Maxwell:

(3.5)

Recordemos significado fisico estas frases matemáticas.

La primera ecuación (3.1) establece que electrostático el campo sólo puede ser creado por cargas eléctricas. - vector de desplazamiento eléctrico, ρ - densidad de carga volumétrica.

El flujo del vector de desplazamiento eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga contenida dentro de esa superficie.

Como muestra el experimento, el flujo del vector de inducción magnética a través de una superficie cerrada es siempre cero (3.2)

Una comparación de las ecuaciones (3.2) y (3.1) nos permite concluir que no existen cargas magnéticas en la naturaleza.

Las ecuaciones (3.3) y (3.4) son de gran interés e importancia. Aquí consideramos la circulación de vectores de voltaje eléctrico ( ) y magnético ( ) campos a lo largo de un contorno cerrado.

La ecuación (3.3) establece que el campo magnético alterno ( ) es la fuente del campo eléctrico del vórtice ( ).Esto no es más que una representación matemática del fenómeno de la inducción electromagnética de Faraday.

La ecuación (3.4) establece la conexión entre el campo magnético y el campo eléctrico alterno. Según esta ecuación, se puede crear un campo magnético no solo mediante la conducción de una corriente ( ), sino también por un campo eléctrico alterno .

En estas ecuaciones:

- vector de desplazamiento eléctrico,

h- intensidad del campo magnético,

mi- intensidad del campo eléctrico,

j- densidad de corriente de conducción,

μ - permeabilidad magnética del medio,

ε es la constante dieléctrica del medio.

1. Ondas electromagnéticas. Propiedades de las ondas electromagnéticas.

El semestre pasado, completando nuestra consideración del sistema de ecuaciones de electrodinámica clásica de Maxwell, establecimos que decisión conjunta las dos últimas ecuaciones (sobre la circulación de vectores Y ) conduce a una ecuación de onda diferencial.

Así que tenemos ecuación de onda Ondas "Y":

. (3.6)

Componente eléctrico y: las ondas se propagan en la dirección positiva del eje X con velocidad de fase

(3.7)

Una ecuación similar describe el cambio en el espacio y el tiempo del campo magnético y - onda:

. (3.8)

Analizando los resultados obtenidos, es posible formular una serie de propiedades inherentes a las ondas electromagnéticas.

1. Una onda plana “y” es una onda transversal polarizada linealmente. Vectores de intensidad eléctrica ( ), magnético ( ) velocidad de fase de campo y onda ( ) son mutuamente perpendiculares y forman un sistema "diestro" (Fig. 3.1).

2. En cada punto del espacio la componente de onda h z es proporcional a la intensidad del campo eléctrico mi y:

Aquí el signo “+” corresponde a una onda que se propaga en la dirección positiva del eje X. El signo “-” corresponde a la negativa.

3. Onda electromagnética se mueve a lo largo del eje X con velocidad de fase

Aquí
.

Cuando una onda electromagnética se propaga en el vacío (ε = 1, μ = 1), la velocidad de fase

Aquí la constante eléctrica ε 0 = 8,85 10 -12

constante magnética μ 0 = 4π 10 -7

.

.

La coincidencia de la velocidad de una onda electromagnética en el vacío con la velocidad de la luz fue la primera prueba de la naturaleza electromagnética de la luz.

En el vacío, se simplifica la relación entre la intensidad de los campos magnético y eléctrico de la onda.

.

Cuando una onda electromagnética se propaga en un medio dieléctrico (μ = 1)
Y
.