Naturaleza relativa de los campos eléctricos y magnéticos. La relatividad de dividir un solo campo electromagnético en eléctrico y magnético.

En realidad, fórmula clásica porque la fuerza de Lorentz se descompone en dos términos: el primero determina la parte eléctrica de esta fuerza, el segundo determina la parte magnética. Dado que solo una carga en movimiento experimenta acción magnética, cuando se mueve a ISO, en el que esta carga estará estacionaria, los instrumentos no detectarán la acción magnética *. Pero en este caso no se produce ninguna desaparición (o aparición) de materia: en ningún ISO es posible eliminar simultáneamente tanto los elementos eléctricos como los influencia magnética El hecho es que existe un solo campo electromagnético, pero históricamente se ha desarrollado de tal manera que sus diversas manifestaciones (dependiendo de las condiciones de observación, de la elección de ISO) recibieron nombres independientes: influencia eléctrica (en este caso, el campo electromagnético se llama eléctrico ), influencia magnética (en este caso, el campo electromagnético se llama magnético). En realidad estamos hablando de campos estacionarios o estáticos. Es en este caso que las ecuaciones de Maxwell se dividen en dos grupos de ecuaciones, algunas de las cuales describen las manifestaciones eléctricas del campo electromagnético, otras, las magnéticas. En el caso no estacionario, tal separación ya no es posible y con cualquier cambio en el tiempo del campo eléctrico (magnético) se excitan vórtices del campo magnético (eléctrico). Un proceso tan interconectado puede propagarse en el espacio en forma de ondas electromagnéticas. Y en cualquier ISO será posible detectar un único campo electromagnético como un único entorno material.

Todo esto, en principio, se sabía antes de la creación de la TER (excepto que el campo electromagnético no se consideraba uno de los tipos de materia, sino condición especialéter electromagnético). La principal diferencia entre los resultados de la SRT en comparación con las fórmulas anteriores. física relativista consta de varios expresiones analíticas transformar las características del campo electromagnético

Para ilustrar la relatividad de dividir un solo campo electromagnético en eléctrico y magnético, considere el siguiente problema: una corriente continua fluye a través de un conductor, considere el campo de esta corriente en base a dos ISO “Conductor” y “Electrón”, conectando cada uno de ellos. con el objeto correspondiente

En ISO "Explorador" celda de cristal El conductor está estacionario, pero los electrones de conducción se mueven a cierta velocidad. Dado que una corriente continua fluye a través de un conductor, la cantidad de electrones que "entran" en el conductor es la misma que "sale", esto se desprende de la definición de corriente continua. Por tanto, tanto antes como después de cerrar el circuito, el conductor en su conjunto resulta neutro. Matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera: o, ¿dónde están las densidades de volumen? cargas positivas red cristalina y electrones, creando en un ISO dado una corriente eléctrica con una densidad y el signo (-) tiene en cuenta el signo de la carga del electrón, norte - Densidad a Granel electrones, tu– la velocidad de su movimiento direccional.

En ISO "Electrón" los electrones de conducción están inmóviles, pero la red cristalina se mueve a una velocidad (- tu) . En esta ISO, la densidad de volumen tanto positiva como cargas negativas según fórmulas *:

donde, desde iones positivos en ISO “Explorer” están inmóviles.

Respectivamente,

que es mayor que cero, el conductor del electrón ISO adquiere una carga positiva. Y si en el "Conductor" ISO se puede detectar un campo magnético alrededor del conductor utilizando instrumentos (es decir, objetivamente), entonces en el "Electrón" ISO los instrumentos detectarán tanto el campo eléctrico (de un conductor cargado) como el campo magnético ( de la corriente asociada con el movimiento de los iones reticulares en esta ISO).

Observemos una vez más que no se produce ninguna creación de materia; en ambos ISO existe un único campo electromagnético. Pero al elegir la ISO, es decir, las condiciones para observar esta objeto material, lo descubrimos de él diferentes manifestaciones, diferentes propiedades.

Dado que al pasar de un ISO a otro cambia no solo la magnitud, sino también la densidad de corriente, y estas características de cargas y corrientes están directamente relacionadas con las características del campo electromagnético, sus vectores y, lo que indica la naturaleza relativa de estos. cantidades.

Dónde v – velocidad movimiento relativo dos ISO.

De las fórmulas anteriores se deduce que si en un ISO solo hay un campo eléctrico, en el otro ISO no solo se detecta un campo eléctrico, sino también magnético.

Una vez más estamos convencidos de que la división de un único campo electromagnético en eléctrico y magnético es relativa.

* Hasta hace poco se creía que sólo el campo magnético era un objeto relativista. Esto, por supuesto, se debió a la ignorancia de la historia de la física y del principio de relatividad de A. Einstein. Un objeto relativista es un único campo electromagnético, y ¿cómo se manifestará en el sistema de referencia elegido (eléctrico o acción magnética) no nos permite considerar solo el campo magnético como relativista y el campo eléctrico como no relativista.

* El lector encontrará la derivación de las fórmulas utilizadas en el libro del autor “Teoría especial de la relatividad”, publicado por POIPKRO, 1995, p.

EN capítulo previo descubrimos que la electricidad y campo magnético Siempre deben considerarse juntos como un campo electromagnético completo. La división del campo electromagnético en eléctrico y magnético es de naturaleza relativa: tal división en grado decisivo Depende del marco de referencia en el que se consideren los fenómenos. En este caso, un campo que es constante en un marco de referencia, en el caso general resulta variable en otro marco. Veamos algunos ejemplos.

La carga se mueve en el sistema de referencia K inercial con velocidad constante v. En este marco de referencia, observaremos los campos eléctrico y magnético de una carga determinada, y ambos campos son variables en el tiempo. Si pasamos a un sistema K¢ inercial que se mueve con la carga, entonces la carga está en reposo en él y solo observaremos el campo eléctrico.

Dos cargas idénticas se mueven en el marco de referencia K una hacia la otra a la misma velocidad v. En este marco de referencia observaremos campos eléctricos y magnéticos, ambos variables. Encuentre un sistema K¢ donde solo se observaría uno de los campos, en en este caso está prohibido.

En el sistema K hay un campo magnético constante no uniforme (por ejemplo, el campo de un imán permanente estacionario). Luego, en el sistema K¢ que se mueve con respecto al sistema K, observaremos campos magnéticos y eléctricos alternos.

Por tanto, queda claro que la relación entre el campo eléctrico y el campo magnético es diferente en varios sistemas cuenta regresiva. Al pasar de un sistema de referencia a otro, los campos y se transforman de cierta manera. Las leyes de esta transformación están establecidas en teoría especial relatividad, y bastante de una manera compleja. Por esta razón, no reproduciremos aquí los hallazgos relevantes.

Dado que los vectores y la caracterización del campo electromagnético dependen del sistema de referencia, surge naturalmente una pregunta sobre las invariantes, es decir, independiente del sistema de referencia características cuantitativas campo electromagnético (el invariante se denota por inv; véase, por ejemplo, (43.1)).

Se puede demostrar que existen dos invariantes de este tipo, que son combinaciones de vectores y , esto es

inv; mi 2 - C 2 B 2 = inv, (43.1)

Dónde Con– velocidad de la luz en el vacío.

La invariancia de estas cantidades (con respecto a las transformaciones de Lorentz) es consecuencia de las fórmulas de transformación de campo al pasar de un sistema de referencia inercial a otro.

El uso de estas invariantes permite en algunos casos encontrar rápida y fácilmente una solución y sacar conclusiones y predicciones apropiadas. Aquí están los más importantes de ellos:

De la invariancia producto escalar de ello se deduce inmediatamente que en el caso de que en cualquier sistema de referencia ^, es decir, = 0, entonces en todos los demás sistemas de referencia inerciales ^ ;

De la invariancia de E 2 - C 2 B 2 se deduce que en el caso en que E = C B (es decir, cuando E 2 - C 2 B 2 = 0), entonces en cualquier otro sistema de referencia inercial E¢ = C B¢;

Si en cualquier sistema de referencia el ángulo entre los vectores y es agudo (u obtuso), esto significa que es mayor (o menor) que cero, entonces el ángulo entre los vectores y también será agudo (u obtuso) en cualquier otro sistema de referencia;

Si en algún sistema de referencia E > C Aburrir< C B) – esto significa que E 2 - C 2 B 2 > 0 (o E 2 - C 2 B 2< 0), то и в любой другой системе отсчета будет также E¢ > C B¢ (o E¢< C B¢);

Si ambas invariantes son iguales a cero, entonces en todos los sistemas de referencia inerciales ^ y E = C B, esto es exactamente lo que se observa en una onda electromagnética;

Si igual a cero sólo invariante, entonces se puede encontrar un sistema de referencia en el que E¢ = 0 o B¢ = 0; cuál está determinado por el signo del otro invariante. La afirmación inversa también es cierta: si en cualquier sistema de referencia E = 0 o B = 0, entonces en cualquier otro sistema de referencia ^.

Y una última cosa. Hay que recordar que los campos y , en general, dependen tanto de las coordenadas como del tiempo. Por tanto, cada una de las invariantes (43.1) se refiere al mismo punto espacio-temporal del campo, cuyas coordenadas y tiempo en diferentes sistemas las referencias están conectadas por transformaciones de Lorentz.

Sólo el principio de relatividad de Einstein es aplicable al campo electromagnético, ya que el hecho de que las ondas electromagnéticas se propaguen en el vacío en todos los sistemas de referencia con la misma velocidad Con no es compatible con el principio de relatividad de Galileo.

Según el principio de relatividad de Einstein, los fenómenos mecánicos, ópticos y electromagnéticos en todos los sistemas de referencia inerciales proceden de la misma manera, es decir, se describen mediante las mismas ecuaciones. Las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz: su forma no cambia al pasar de un sistema de referencia inercial a otro, aunque las cantidades en ellas se transforman de acuerdo con ciertas reglas.

Del principio de relatividad se deduce que consideración separada Los campos eléctricos y magnéticos tienen significado relativo. Entonces, si el campo eléctrico es creado por el sistema cargas estacionarias, entonces estas cargas, al estar estacionarias con respecto a un sistema de referencia inercial, se mueven con respecto a otro y, por lo tanto, generarán no solo un campo eléctrico, sino también magnético. De manera similar, un conductor con una corriente constante, estacionario con respecto a un sistema de referencia inercial, excita un campo magnético constante en cada punto del espacio, se mueve con respecto a otros sistemas inerciales y el campo magnético alterno que crea excita un campo eléctrico de vórtice.

Así, la teoría de Maxwell, su confirmación experimental, así como el principio de relatividad de Einstein conducen a teoría unificada eléctricos, magnéticos y fenómenos ópticos, basado en el concepto de campo electromagnético.

Capítulo 13

MAGNETOSTÁTICA

§1.Campo magnético

§2. Corriente eléctrica; conservación de carga

§Z. Fuerza magnética que actúa sobre la corriente.

§4. Campo magnético de corrientes continuas; ley de amperio

§5. Campo magnético de alambre recto y solenoide; corrientes atómicas

§6. Relatividad de los campos magnéticos y eléctricos.

§7.Transformación de corrientes y cargas.

§8.Superposición; regla mano derecha

Repetir: Cap. 15 (número 2) “Teoría especial de la relatividad”

§ 1. Campo magnético

La fuerza que actúa sobre carga eléctrica, depende no sólo de dónde se encuentra, sino también de qué tan rápido se mueve. Cada punto en el espacio se caracteriza por dos cantidades vectoriales, que determinan la fuerza que actúa sobre cualquier carga. En primer lugar, hay fuerza eléctrica, dando esa parte de la fuerza que no depende del movimiento de la carga. Lo describimos usando el campo eléctrico E. En segundo lugar, hay un componente de fuerza adicional llamado fuerza magnética, que depende de la velocidad de carga. Esta fuerza magnética tiene propiedad increíble: en cualquier punto dado del espacio, como dirección, y entonces magnitud las fuerzas dependen de la dirección del movimiento de las partículas; en todo momento la fuerza es siempre perpendicular al vector velocidad; Además, en cualquier lugar la fuerza es siempre perpendicular. una determinada dirección en el espacio(Fig. 13.1), y finalmente, la magnitud de la fuerza es proporcional componente velocidad perpendicular a esta dirección seleccionada. Todas estas propiedades se pueden describir introduciendo el vector B del campo magnético, que determina la dirección seleccionada en el espacio y al mismo tiempo sirve como constante de proporcionalidad entre fuerza y ​​velocidad, y escribiendo la fuerza magnética en la forma qvXB. La fuerza electromagnética total que actúa sobre la carga se puede escribir de la siguiente manera:

F=q(E+vXB), (13.1)

Se llama por la fuerza de Lorentz.

Higo. 13.1. La componente de la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento, dependiente de la velocidad, se dirige perpendicular a V y al vector B. También es proporcional a la componente V perpendicular a B, es decir, vsinq.

La fuerza magnética se puede demostrar fácilmente acercando un imán al tubo catódico. La desviación del haz de electrones indica que el imán excita fuerzas que actúan sobre los electrones perpendiculares a la dirección de su movimiento (ya hablamos de esto en el Número 1, Capítulo 12).

La unidad del campo magnético B es obviamente 1 newton segundo dividido por culombio metro. Ejército de reserva mismo la unidad se puede escribir como voltio-segundo por metro cuadrado. También se le llama Weber por metro cuadrado.

§ 2. Corriente eléctrica; conservación de carga

Pensemos ahora en por qué las fuerzas magnéticas actúan sobre los cables a través de los cuales fluye la corriente eléctrica. Para ello, definimos qué se entiende por densidad de corriente. La corriente eléctrica consiste en electrones en movimiento u otras cargas que forman una corriente neta o flujo. Podemos representar el flujo de cargas como un vector que determina el número de cargas que pasan por unidad de tiempo a través de una unidad de área perpendicular al flujo (exactamente como hicimos al determinar el flujo de calor). Llamemos a esta cantidad densidad actual y denotarlo por el vector j. Se dirige a lo largo del movimiento de cargas. Si tomamos un área pequeña Da en este lugar material, entonces el número de cargas que fluyen a través del área por unidad de tiempo es igual a

j norte Da, (13.2)

Dónde norte - vector unitario normal para papá.

La densidad de corriente está relacionada con la velocidad promedio del flujo de carga. Supongamos que existe una distribución de cargas que se desplazan en promedio con velocidad v. Cuando esta distribución pasa a través de un elemento superficial Da, entonces la carga Dq que pasa a través Sí durante DT, igual a la carga contenida en un paralelepípedo de base D A y altura vDT(Figura 13.2).

Higo. 13.2. Si la distribución de carga con densidad r se mueve a velocidad v, entonces la cantidad de carga que pasa por unidad de tiempo a través del área Da, hay rv·nDa.

El volumen de un paralelepípedo es el producto de la proyección. Sí, perpendicular a v, en vDt, y multiplicándolo por la densidad de carga r, obtenemos Dq. De este modo,

dq = r v·nDaDt.

La carga que pasa por unidad de tiempo es entonces igual a рv·nDа, de donde lo sacamos

j = pv. (13.3)

Si la distribución de carga consta de cargas individuales, digamos electrones con carga q , moviéndose con una velocidad promedio v, entonces la densidad de corriente es igual a

j = Nqv,(13.4)

Dónde NORTE- Número de cargas por unidad de volumen.

La cantidad total de carga que pasa a través de una superficie por unidad de tiempo. S, llamado corriente eléctrica I.Él igual a la integral desde el componente de flujo normal sobre todos los elementos de la superficie (Fig. 13.3):

Higo. 13.3. La corriente I a través de la superficie S es igual a

Higo. 13.4. La integral de j·n no de una superficie cerrada es igual a la tasa de cambio de la carga total Q en el interior.

Corriente I de una superficie cerrada. S Representa la velocidad a la que las cargas abandonan el volumen. V, rodeado por una superficie 5. Una de las leyes básicas de la física dice que la carga eléctrica es indestructible; nunca se pierde ni se crea. Las cargas eléctricas pueden moverse de un lugar a otro, pero nunca surgen de la nada. Nosotros decimos eso La carga se mantiene. Si surge una corriente resultante de una superficie cerrada, entonces la cantidad de carga en el interior debería disminuir en consecuencia (figura 13.4). Por tanto, podemos escribir la ley de conservación de la carga de la siguiente forma:

La carga interior se puede escribir como una integral de volumen de la densidad de carga.

Aplicando (13.6) a un volumen pequeño DV, podemos tener en cuenta que la integral de la izquierda es C·jDV. La carga interior es igual a rDV, por lo que la conservación de la carga también se puede escribir así:

(¡Nuevamente el teorema de Gauss de las matemáticas!).

§ 3. Fuerza magnética que actúa sobre la corriente.

Ahora estamos suficientemente preparados para determinar la fuerza que actúa sobre un cable en un campo magnético a través del cual fluye la corriente. La corriente consta de partículas cargadas que se mueven a lo largo de un alambre con velocidad v. Cada carga siente una fuerza transversal F = qvXB (figura 13.5, a).

Higo. 13.5. La fuerza magnética sobre un cable que transporta corriente es igual a la suma de las fuerzas sobre cargas individuales en movimiento.

Si en una unidad de volumen de tales cargas hay N, entonces su número en un pequeño volumen dentro del cable DV es igual a norte D v. La fuerza magnética total DV que actúa sobre el volumen DV es . suma de fuerzas en cargas individuales

Ho Nqv después de todo, es exactamente igual a j, entonces

(Figura 13.5, b). La fuerza que actúa por unidad de volumen es igual a JXB.

Si a lo largo de un cable con una sección transversal A Si la corriente fluye uniformemente a través de la sección transversal, entonces podemos tomar un cilindro con base A y longitud DL como elemento de volumen. Entonces

DF = jXBDL. (13.10)

Ahora podemos llamar a jA el vector de corriente I en el cable. (Su magnitud es la corriente eléctrica en el cable y su dirección coincide con la dirección del cable). Entonces

DF=IXBDL. (13.11)

La fuerza que actúa por unidad de longitud del alambre es IXB.

Esta ecuación contiene resultado importante- magnético

La fuerza que actúa sobre el cable y que surge del movimiento de las cargas en él depende únicamente de la corriente total y no de la cantidad de carga transferida por cada partícula (¡y ni siquiera depende de su signo!). La fuerza magnética que actúa sobre un cable cerca de un imán se detecta fácilmente mediante la desviación del cable cuando se activa la corriente, como describimos en el capítulo. 1 (ver Fig. 1.6, página 20).

§ 4. Campo magnético de corriente continua; ley de amperio

Vimos que una fuerza actúa sobre un cable en un campo magnético creado, digamos, por un imán. De la ley de que acción es igual a reacción, podemos esperar que cuando una corriente fluye a través de un cable, se genera una fuerza que actúa sobre la fuente del campo magnético, es decir, el imán. Esas fuerzas existen; Esto se puede verificar mediante la desviación de la aguja de la brújula cerca del cable que transporta corriente. Además, sabemos que los imanes experimentan fuerzas de otros imanes, y de esto se deduce que cuando una corriente fluye a través de un cable, crea su propio campo magnético. Esto significa que las cargas en movimiento crear un campo magnético. Intentemos comprender las leyes a las que obedecen tales campos magnéticos. La pregunta se plantea así: dada una corriente, ¿qué campo magnético creará? La respuesta a esta pregunta se obtuvo experimentalmente mediante tres experimentos y fue confirmada por la brillante demostración teórica de Ampere. No nos detendremos ahí historia interesante, pero digamos que Número grande Los experimentos demostraron claramente la validez de las ecuaciones de Maxwell. Los tomaremos como punto de partida. Omitiendo términos con derivadas del tiempo en las ecuaciones, obtenemos las ecuaciones magnetostática

Estas ecuaciones son válidas sólo bajo la condición de que todas las densidades de carga eléctrica y todas las corrientes sean constantes, de modo que los campos eléctricos y magnéticos no cambien con el tiempo; todos los campos son "estáticos".

Cabe señalar aquí que creer en la existencia de un campo magnético estático es bastante peligroso, porque en general, se necesitan corrientes para producir un campo magnético y las corrientes surgen solo de cargas en movimiento. En consecuencia, la “magnetostática” es sólo una aproximación.

Se asocia con un caso especial de dinámica cuando se mueve. Número grande cargos, que pueden describirse aproximadamente como constante flujo de cargas. Sólo en este caso podemos hablar de la densidad de corriente j, que no cambia con el tiempo. Más exactamente, esta área debería llamarse estudio de corrientes continuas. Suponiendo que todos los campos son constantes, descartamos los términos con d EDT Y dB/dt V ecuaciones completas Maxwell [ecuaciones (2.41)] y obtenemos las dos ecuaciones (13.12) y (13.13) escritas arriba. Tenga en cuenta también que, dado que la divergencia del rotor de cualquier vector es siempre cero, la ecuación (13.13) requiere que C·j=0. En virtud de la ecuación (13.8), esto es cierto sólo si dr./dt=0. Pero esto puede suceder si E no cambia con el tiempo, por lo que nuestros supuestos son internamente consistentes.

La condición de que C·J= 0 significa que sólo podemos tener cargas fluyendo por caminos cerrados. Pueden, por ejemplo, fluir a través de cables que forman bucles cerrados llamados cadenas. Por supuesto, los circuitos pueden contener generadores o baterías para mantener la corriente de las cargas. Pero no deberían tener condensadores que se carguen o descarguen. (Por supuesto, ampliaremos la teoría para incluir campos alternos, pero primero queremos tomar el caso más simple de las corrientes continuas).

Pasemos ahora a las ecuaciones (13.12) y (13.13) y veamos qué significan. La primera dice que la divergencia de B es cero. Comparándola con una ecuación electrostática similar, según la cual С·Э=r/e 0, podemos concluir que no existe un análogo magnético de la carga eléctrica. no sucede cargas magnéticas, de donde podrían emanar las líneas B si hablamos de “líneas”. campo vectorial B, entonces no comienzan ni terminan en ninguna parte. ¿Pero entonces de dónde vienen? Los campos magnéticos "aparecen" en la presencia corrientes; rotor, tomado de ellos es proporcional a la densidad de corriente. Cuando hay corrientes, hay líneas de campo magnético que forman bucles alrededor de las corrientes. Como las líneas B no tienen final ni comienzo, a menudo regresan a su punto inicial, formando bucles cerrados. Pero puede haber más casos complejos, cuando las líneas no son simples bucles. Sin embargo, no importa cómo vayan, nunca llegan a puntos. Nadie ha encontrado nunca cargas magnéticas, por lo que C·B=0. La misma afirmación es válida no sólo para la magnetostática, sino también para Siempre - incluso para campos dinámicos.

La relación entre el campo B y las corrientes viene dada por la ecuación (13.13). La situación aquí es completamente diferente, radicalmente diferente de la electrostática, donde teníamos CXE = 0. Esta ecuación significaba que la integral de línea de E a lo largo de cualquier camino cerrado es igual a cero:

Higo. 13.6. La integral de contorno de la componente tangencial B es igual a la integral de superficie de la componente normal del vector.

(CX B).

Obtuvimos este resultado usando el teorema de Stokes, según el cual la integral sobre cualquier camino cerrado desde cualquier campo vectorial es igual a integral de superficie de la componente normal del rotor de este vector (la integral se toma sobre cualquier superficie atravesada por un contorno dado). Aplicando el mismo teorema al vector del campo magnético y usando la notación que se muestra en la Fig. 13.6, obtenemos

Habiendo encontrado la descomposición B a partir de la ecuación (13.13), tenemos

Integral de j a S, Según (13.5), hay una corriente total I a través de la superficie. S. Dado que para corrientes continuas la corriente a través S no depende de la forma S, si está limitado por la curva Г, entonces se suele hablar de “corriente a través de un circuito cerrado Г”. Así tenemos ley común: circulación B a lo largo de cualquier curva cerrada

igual a la corriente I a través del bucle dividida por e 0 s 2:

Esta ley, llamada ley de amperio juega el mismo papel en magnetostática que la ley de Gauss en electrostática. La ley de Ampère por sí sola no determina B a través de corrientes; debemos, en términos generales, utilizar también C·B=0. Pero, como veremos en el siguiente párrafo, se puede utilizar para encontrar un campo en esos casos especiales, que tienen alguna simetría simple.

§ 5. Campo magnético de un hilo recto y un solenoide; corrientes atómicas

Puedes mostrar cómo utilizar la ley de Ampere determinando el campo magnético cerca de un cable. Hagamos la pregunta: ¿cuál es el campo fuera de un cable largo y recto de sección transversal cilíndrica? Haremos una suposición, quizás no tan obvia, pero sin embargo correcta: las líneas de campo B rodean el cable en un círculo. Si hacemos esta suposición, entonces la ley de Ampère [ecuación (13.16)] nos dice cuál es la magnitud del campo. Debido a la simetría del problema, el campo B tiene el mismo tamaño en todos los puntos del círculo concéntricos con el alambre (Fig. 13.7). Entonces podemos tomar fácilmente la integral de línea de B·ds. Es simplemente igual al valor de B multiplicado por la circunferencia. Si el radio del círculo es r , Eso

La corriente total a través del bucle es simplemente la corriente I en el cable, por lo que

La intensidad del campo magnético disminuye en proporción inversa a r, la distancia desde el eje del cable. Si se desea, la ecuación (13.17) se puede escribir en forma vectorial. Recordando que B está dirigido perpendicularmente tanto a I como a r, tenemos

Higo. 13.7. Campo magnético fuera de un cable largo que transporta corriente I.

Higo. 13.8. Campo magnético de un solenoide largo.

Resaltamos el multiplicador 1/4pe 0 con 2 porque aparece con frecuencia. Vale la pena recordar que es exactamente 10 -7 (en unidades SI), porque se usa una ecuación de la forma (13.17) para definiciones unidades de corriente, amperios. A una distancia de 1 metro una corriente de 1a crea un campo magnético igual a 2·10 -7 weber/m 2 .

Dado que la corriente crea un campo magnético, actuará con cierta fuerza sobre el cable adyacente por el que también pasa la corriente. Pulgada. 1 describimos un experimento simple que muestra las fuerzas entre dos cables a través de los cuales fluye corriente. Si los cables son paralelos, entonces cada uno de ellos es perpendicular al campo B del otro cable; entonces los cables se repelerán o atraerán entre sí. Cuando las corrientes fluyen en una dirección, los cables se atraen; cuando las corrientes fluyen en direcciones opuestas, se repelen.

Tomemos otro ejemplo, que también se puede analizar utilizando la ley de Ampere, si además añadimos alguna información sobre la naturaleza del campo. Sea un alambre largo enrollado en una espiral apretada, cuya sección transversal se muestra en la figura. 13.8. Esta espiral se llama solenoide. Observamos experimentalmente que cuando la longitud del solenoide es muy grande en comparación con el diámetro, el campo exterior es muy pequeño en comparación con el campo interior. Utilizando sólo este hecho y la ley de Ampere, se puede encontrar la magnitud del campo interior.

desde el campo restos en el interior (y tiene divergencia cero), sus líneas deben correr paralelas al eje, como se muestra en la Fig. 13.8. Si este es el caso, entonces podemos usar la ley de Ampere para la "curva" rectangular G en la figura. Esta curva recorre una distancia l dentro del solenoide, donde el campo es, digamos, igual a EN 0 , luego va en ángulo recto con el campo y regresa a lo largo de la región exterior, donde el campo puede despreciarse.

Higo. 13.9. Campo magnético fuera del solenoide.

La integral de línea de B a lo largo de esta curva es exactamente B 0 L, y esto debe ser igual a 1/e 0 c 2 veces la corriente total dentro de G, es decir NI(donde N es el número de vueltas del solenoide a lo largo de la longitud l). Tenemos

O, ingresando n - número de vueltas por unidad de longitud solenoide (entonces n=N/L), obtenemos

¿Qué sucede con las líneas B cuando llegan al final del solenoide? Aparentemente, de alguna manera divergen y regresan al solenoide desde el otro extremo (figura 13.9). Exactamente el mismo campo se observa fuera de una barra magnética. bien y ¿qué es?¿imán? Nuestras ecuaciones dicen que el campo B surge de la presencia de corrientes. Y sabemos que las barras de hierro comunes (no las baterías ni los generadores) también crean campos magnéticos. Se podría esperar que hubiera otros términos en el lado derecho de (13.12) o (13.13) que representaran la "densidad del hierro magnetizado" o alguna cantidad similar. Pero no existe tal miembro. Nuestra teoría dice que los efectos magnéticos del hierro surgen de algunas corrientes internas que el término j ya tiene en cuenta.

La materia es muy compleja cuando se la mira desde un punto de vista profundo; Ya vimos esto cuando intentamos entender los dieléctricos. Para no interrumpir nuestra presentación, pospondremos una discusión detallada del mecanismo interno. materiales magnéticos tipo de hierro. Por ahora tenemos que aceptar que cualquier magnetismo surge debido a las corrientes y que imán permanente hay corrientes internas constantes. En el caso del hierro, estas corrientes son creadas por electrones que orbitan alrededor propios ejes. Cada electrón tiene un espín que corresponde a una pequeña corriente circulante. Un electrón, por supuesto, no produce un gran campo magnético, pero un trozo ordinario de materia contiene miles de millones y miles de millones de electrones. Por lo general, giran de cualquier forma para que desaparezca el efecto general. Lo sorprendente es que en algunas sustancias como el hierro, La mayoría de los electrones giran alrededor de ejes dirigidos en una dirección; en el hierro, dos electrones de cada átomo participan en este movimiento conjunto. Un imán contiene una gran cantidad de electrones que giran en la misma dirección y, como veremos, su efecto combinado es equivalente a la corriente que circula por la superficie del imán. (Esto es muy similar a lo que encontramos en los dieléctricos: un dieléctrico polarizado uniformemente equivale a una distribución de cargas en su superficie). Por lo tanto, no es una coincidencia que una barra magnética sea equivalente a un solenoide.

§ 6. Relatividad de lo magnético. Y campos eléctricos

Cuando dijimos que la fuerza magnética sobre una carga es proporcional a su velocidad, probablemente pensaste: “¿Qué velocidad? ¿En relación con qué marco de referencia? De la definición de B dada al principio de este capítulo, queda claro que este vector será diferente según la elección del marco de referencia en el que definimos la velocidad de las cargas. Pero no dijimos nada sobre qué sistema es adecuado para determinar el campo magnético.

resulta que es bueno cualquier sistema inercial. También veremos que el magnetismo y la electricidad no son cosas independientes, siempre deben tomarse juntas como uno campo electromagnético total. Aunque en el caso estático las ecuaciones de Maxwell se dividen en dos pares separados, un par para la electricidad y otro para el magnetismo, sin conexión aparente entre los dos campos, en la naturaleza misma existe una relación muy profunda entre ellos, que surge del principio de relatividad. Históricamente, el principio de la relatividad se descubrió después de las ecuaciones de Maxwell. De hecho, fue el estudio de la electricidad y el magnetismo lo que llevó a Einstein al descubrimiento del principio de la relatividad. Pero veamos qué nos dice nuestro conocimiento del principio de la relatividad sobre fuerzas magnéticas Ah, si asumimos que el principio de relatividad se aplica (y de hecho lo hace) al electromagnetismo.

Pensemos en lo que le sucederá a una carga negativa que se mueve a una velocidad v 0 paralela a un cable a través del cual fluye corriente (figura 13.10).

Higo. 13.10. Interacción de un cable con una corriente y una partícula con carga q,

considerado en dos sistemas de coordenadas.

a - un cable está en reposo en el sistema S; b - una carga está en reposo en el sistema S.

Intentemos entender qué sucede utilizando dos sistemas de referencia: uno asociado al cable, como en la Fig. 13.10, A, y el otro con una partícula, como en la Fig. 13.10, b. Llamaremos al primer marco de referencia. S, y el segundo S".

en el sistema S Claramente hay una fuerza magnética que actúa sobre la partícula. La fuerza se dirige hacia el cable, por lo tanto, si nada interfiere con la carga, su trayectoria se doblará hacia el cable. Pero en el sistema S" No puede haber una fuerza magnética sobre la partícula porque la velocidad de la partícula es cero. Entonces, ¿por qué seguirá parada? ¿Veremos diferentes cosas en diferentes sistemas? El principio de relatividad establece que en un sistema S" También veríamos cómo la partícula se acerca al alambre. Debemos tratar de entender por qué esto podría suceder.

Volvamos a nuestro descripción atómica Cable por el que circula la corriente. En un conductor común como el cobre, las corrientes eléctricas se generan por el movimiento de una porción de los electrones negativos (llamados electrones de conducción), mientras que las cargas nucleares positivas y los electrones restantes permanecen anclados dentro del material. Sea r la densidad de los electrones de conducción y su velocidad en el sistema. S hay Densidad de cargas estacionarias en el sistema. S está r +, que debe ser igual a r - con signo opuesto, porque estamos tomando un cable sin carga. Por lo tanto, no hay campo eléctrico fuera del alambre y la fuerza sobre una partícula en movimiento es simplemente

Usando el resultado que encontramos en la ecuación (13.18) para el campo magnético a una distancia r del eje del alambre, concluimos que la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacia el alambre y es igual en magnitud

Usando las ecuaciones (13.4) y (13.5), la corriente I se puede escribir como r + vA, donde A es el área sección transversal cable. Entonces

Podríamos seguir considerando caso general velocidades arbitrarias v Y v 0 , pero no sería peor tomar caso especial cuando la velocidad v 0 las partículas coinciden con la velocidad v electrones de conducción. Por eso escribiremos v=v 0 , y la ecuación (13.20) toma la forma

Ahora veamos lo que está sucediendo en el sistema. S", donde la partícula está en reposo y el cable pasa por ella (a la izquierda en la figura 13.10, b) con velocidad v. Las cargas positivas que se mueven junto con el cable crearán un campo magnético cerca de la partícula. EN". Pero la partícula es ahora descansa Entonces magnético¡ninguna fuerza actúa sobre ella! Si surge alguna fuerza, debe aparecer debido al campo eléctrico. Resulta que un cable en movimiento crea un campo eléctrico. Pero ella sólo puede hacerlo si parece cargado; debe ser tal que un cable neutro que transporta corriente parezca cargado si se pone en movimiento.

Necesitamos resolver esto. Intentemos calcular la densidad de carga en el cable en el sistema S", usando lo que sabemos sobre él en el sistema. S. A primera vista se podría pensar que las densidades son las mismas, pero del cap. 15 (número 2) sabemos que al pasar de un sistema a otro, las longitudes cambian, por lo tanto, los volúmenes también cambiarán. Porque el densidad Las cargas dependen del volumen ocupado por las cargas, las densidades también cambiarán.

Antes de determinar las densidades de carga en el sistema. S", necesito saber que pasa con la electricidad cargar grupos de electrones cuando las cargas se mueven. Sabemos que la masa aparente de una partícula adquiere un factor de 1/C(1-v 2 /c 2). ¿Le pasa algo parecido a su carga? ¡No! Cargos nunca no cambies independientemente de si se están moviendo o no. De lo contrario, no podríamos observar experimentalmente la conservación de la carga completa.

Tomemos un trozo de materia, como por ejemplo un conductor, y dejémoslo inicialmente sin carga. Ahora calentémoslo. Dado que los electrones tienen una masa diferente a la de los protones, las velocidades de los electrones y los protones cambiarán de manera diferente. Si la carga de una partícula dependiera de la velocidad de la partícula que la transporta, entonces en la pieza calentada las cargas de electrones y protones no estarían compensadas. Un trozo de material se cargaría cuando se calentara.

Higo. 13.11 . Si la distribución de partículas cargadas tiene una densidad de carga. pag 0, luego, desde el punto de vista de un sistema que se mueve con velocidad relativa v, la densidad de carga será igual a r=r 0 /C (1 - v 2 /s 2).

Vimos antes que un cambio muy pequeño en la carga de cada uno de los electrones de la pieza daría como resultado enormes campos eléctricos. Nunca se ha observado nada parecido.

Es más, se puede señalar que velocidad media Los electrones de una sustancia dependen de su composición química. Si la carga de un electrón cambiara con la velocidad, la carga neta de un trozo de materia cambiaría durante el curso de la reacción química. Como antes, calculo directo muestra que incluso una dependencia muy pequeña de la carga con la velocidad conduciría en el caso más simple reacciones químicas a campos enormes. No se ha observado nada similar y llegamos a la conclusión de que la carga eléctrica partícula individual No depende del estado de movimiento o reposo.

Entonces, la carga de la partícula q es una cantidad escalar invariante independiente del sistema de referencia. Esto significa que en cualquier sistema la densidad de carga de una determinada distribución de electrones es simplemente proporcional al número de electrones por unidad de volumen. Sólo hay que tener en cuenta que el volumen Tal vez cambio debido a contracción relativista distancias

Apliquemos ahora estas ideas a nuestro cable en movimiento. Si tomamos un alambre de longitud L 0, en el que la densidad estacionario cargos es r 0 , entonces contendrá la carga total Q- r 0 l 0 A 0 . Si las mismas cargas se mueven en otro sistema con una velocidad v, entonces estarán todos en un trozo de material

menos longitud

pero la misma sección A 0, ya que las dimensiones en la dirección perpendicular al movimiento no cambian (Fig. 13.11).

Si r denota la densidad de cargas en el sistema donde se mueven, entonces la carga total q será r LA. 0 . Pero también debe ser igual a r 0 l 0 A, debido a que la carga en cualquier sistema es la misma, por lo tanto, rL=r 0 L 0, o usando (13.22)

Densidad cargas en movimiento totalidad las cargas cambian de la misma manera que la masa relativista de la partícula. Apliquemos ahora este resultado a la densidad de cargas positivas r + en nuestro cable. Estas cargas están en reposo en el sistema. S. Sin embargo, en el sistema S, donde el cable se mueve a una velocidad v, la densidad de cargas positivas se vuelve igual

Negativo cargos en el sistema S" están en reposo, por lo tanto su densidad en este sistema es la “densidad en reposo” r 0 . En la ecuación (13.23) r 0 =r - porque su densidad de carga es igual a r - si cable está en reposo, es decir, en el sistema S, donde la velocidad de las cargas negativas es igual a v. Entonces para los electrones de conducción obtenemos

Ahora podemos entender por qué el sistema S" Los campos eléctricos surgen: porque en este sistema en el cable hay una densidad de carga resultante r", dada por la fórmula

Usando (13.24) y (13.26) tenemos

Como el cable en reposo es neutro, r - = -r + , obtenemos

Nuestro cable en movimiento está cargado positivamente y debería crear un campo MI" en el punto donde se encuentra la partícula externa en reposo. Ya hemos resuelto el problema electrostático de un cilindro cargado uniformemente. El campo eléctrico a una distancia r del eje del cilindro es

La fuerza que actúa sobre una partícula cargada negativamente se dirige hacia el alambre. Tenemos una fuerza dirigida por igual en ambos sistemas; fuerza eléctrica en el sistema S" dirigido de la misma manera que la fuerza magnética en el sistema S. La magnitud de la fuerza en el sistema S" es igual a

Comparando este resultado para F" con nuestro resultado para F en En la ecuación (13.21), vemos que las magnitudes de las fuerzas desde el punto de vista de dos observadores son casi iguales. Más precisamente,

por lo tanto, para las velocidades bajas que estamos considerando, ambas fuerzas son iguales. Podemos decir que, al menos para bajas velocidades, el magnetismo y la electricidad son simplemente “dos lados diferentes la misma cosa."

Pero resulta que todo es incluso mejor de lo que dijimos. Si tenemos en cuenta el hecho de que fortaleza también se transforman durante la transición de un sistema a otro, resulta que ambos métodos de observar lo que está sucediendo en realidad dan lo mismo físico resultados a cualquier velocidad.

Para ver esto, se puede, por ejemplo, plantearse la pregunta: ¿qué momento transversal adquirirá una partícula cuando sobre ella actúa una fuerza durante algún tiempo? Lo sabemos por el problema. 2, cap. 16 que el momento transversal de la partícula debe ser el mismo que en el sistema S, entonces en el sistema S". Denotemos la coordenada transversal en y comparar DR y Y DR y ’ . Usando la ecuación de movimiento relativistamente correcta F-dp/dt, esperamos que con el tiempo DT nuestra partícula adquirirá impulso transversal DR y en el sistema S, dado por la expresión

En el sistema S", el momento transversal será igual a

Higo. 13.12. En el sistema S, la densidad de carga es cero y la densidad de corriente es igual a j. Sólo hay un campo magnético. En el sistema S" la densidad de carga es igual a R", y densidad de corriente j”. El campo magnético aquí es igual a EN" y hay un campo electrico MI".

Debemos comparar Dр y y Dр y ", por supuesto, para los intervalos de tiempo correspondientes Dt y Dt". Pulgada. 15 (número 2) vimos que los intervalos de tiempo relacionados con una partícula en movimiento parecen más extenso intervalos en el sistema de reposo de la partícula. Dado que nuestra partícula estaba inicialmente en reposo en el sistema S", Eso

esperamos que para D pequeña t

y todo sale genial. Según (13.31) y (13.32),

y si combinamos (13.30) y (13.33), entonces esta razón es igual a uno.

Entonces resulta que obtenemos el mismo resultado, independientemente de si analizamos el movimiento de una partícula que vuela junto al cable en el marco de reposo del cable o en el marco de reposo de la partícula. En el primer caso la fuerza era puramente “magnética”, en el segundo era puramente “eléctrica”. Ambos métodos de observación se muestran en la Fig. 13.12 (aunque en el segundo sistema también hay un campo magnético B, este no afecta a la partícula estacionaria).

Si hubiéramos elegido otro sistema de coordenadas, habríamos encontrado una mezcla diferente de los campos E y B. Las fuerzas eléctricas y magnéticas son partes. unofenómeno físico- interacción electromagnética de partículas. La división de esta interacción en partes eléctricas y magnéticas en en gran medida Depende del marco de referencia en el que describimos la interacción. pero completo descripción electromagnética invariante; La electricidad y el magnetismo tomados juntos son consistentes con el principio de relatividad descubierto por Einstein.

Una vez que aparecen los campos eléctricos y magnéticos en diferentes proporciones Al cambiar el marco de referencia, debemos tener cuidado al manejar los campos E y B. Si, por ejemplo, estamos hablando de las "líneas" E o B, entonces no debemos exagerar la realidad de su existencia. Las líneas pueden desaparecer si queremos verlas en un sistema de coordenadas diferente. Por ejemplo, en el sistema S" hay líneas de campo eléctrico, pero nosotros no vemos ellos “pasan a nuestro lado con velocidad v en el sistema S 1”. en el sistema S¡No hay ninguna línea de campo eléctrico! Por lo tanto, no tiene sentido decir algo como: “Cuando muevo un imán, lleva consigo su campo, por lo que las líneas de campo B también se mueven”. No hay forma de hacer que el concepto de "velocidad de las líneas de campo en movimiento" tenga significado alguno.

Los campos son una forma de describir lo que sucede en algún punto del espacio. En particular, E y B nos informan sobre las fuerzas que actuarán sobre la partícula en movimiento. La pregunta "¿cuál es la fuerza que actúa sobre la carga desde el lado Moviente¿campo magnético? no tiene ningún contenido preciso. La fuerza está dada por las cantidades E y B en el punto de carga, y la fórmula (13.1) no cambiará si fuente Los campos E o B se están moviendo (los valores de E y B cambiarán como resultado del movimiento). Es nuestro descripción matemática solo se aplica a campos como funciones x, y, z Y t, tomado en algún marco de referencia inercial.

Más adelante hablaremos de "ola campos eléctricos y magnéticos que se propagan en el espacio”, por ejemplo, sobre una onda de luz. Pero es lo mismo que hablar de ola, corriendo sobre una cuerda. No queremos decir con esto que alguna parte cuerdas se mueve en la dirección de la onda, y queremos decir que inclinación La cuerda aparece primero en un lugar y luego en otro. Lo mismo para onda electromagnética- ella misma ola diferenciales y la magnitud de los campos cambios.

Así que en el futuro, cuando nosotros - o cualquier otra persona - hablemos de un campo "en movimiento", deberías entender que estamos hablando acerca de solo un corto y manera conveniente descripciones de un cero cambiante bajo ciertas condiciones.

§ 7. Conversión de corrientes y cargas.

Probablemente le preocupaba la simplificación que hicimos cuando tomamos la misma velocidad v para la partícula y los electrones de conducción en el cable. Podríamos volver atrás y hacer el análisis nuevamente a dos velocidades diferentes, pero es más fácil simplemente notar que la carga y las densidades de corriente son componentes de los cuatro vectores (ver número 2, capítulo 17).

Ya hemos visto que si r 0 es la densidad de las cargas en su sistema de reposo, entonces en un sistema donde tienen una velocidad v, la densidad es igual a

En este sistema su densidad de corriente es

donde m 0 - su masa en reposo. También sabemos que Ud. y p forman un cuatro vectores relativista. Dado que r y j dependen de la velocidad v exactamente como Ud. y p, entonces podemos concluir que r y j También componentes de un cuatro vectores relativista. Esta propiedad es la clave para análisis general campo de un alambre que se mueve a cualquier velocidad, y podríamos usarlo si quisiéramos resolver el problema nuevamente con la velocidad de la partícula v 0, no igual velocidad electrones de conducción.

Si necesitamos convertir r y j en un sistema de coordenadas que se mueve a velocidad Y en la dirección X, entonces sabemos que se convierten exactamente como t Y (x, y, z); por lo tanto tenemos (ver número 2, capítulo 15)

Usando estas ecuaciones, puedes relacionar cargas y corrientes en un sistema con cargas y corrientes en otro. Tomando cargas y corrientes en algún sistema, es posible resolver el problema electromagnético en este sistema utilizando las ecuaciones de Maxwell. El resultado que obtendremos para el movimiento de partículas, será el mismo, independientemente del sistema de referencia elegido. Más adelante volveremos a las transformaciones relativistas de los campos electromagnéticos.

§ 8. Superposición; regla de la mano derecha

Terminaremos este capítulo con dos comentarios más sobre la magnetostática. Primero: nuestras ecuaciones básicas para el campo magnético.

lineal hasta B y j. Esto significa que el principio de superposición (superposición) también se aplica al campo magnético. Un campo creado por dos diferentes corrientes directas, es la suma de los campos intrínsecos de cada corriente que actúa por separado. Nuestro segundo punto se relaciona con las reglas de la mano derecha que ya hemos encontrado (la regla de la mano derecha para el campo magnético creado por una corriente). También señalamos que la magnetización imán de hierro explicado por la rotación de los electrones en el material. La dirección del campo magnético de un electrón que gira está relacionada con su eje de giro mediante la misma regla de la mano derecha. Dado que B está determinado por la regla de una mano en particular (usando ya sea producto vectorial, o rotor), se llama axial vector. (Los vectores cuya dirección en el espacio es independiente de las referencias a la mano izquierda o derecha se llaman polar vectores. Por ejemplo, el desplazamiento, la velocidad, la fuerza y ​​E son vectores polares).

físicamente observable cantidades en electromagnetismo, sin embargo, no conectado con la mano derecha o izquierda. Del cap. 52 (número 4) sabemos que interacciones electromagnéticas simétrico con respecto a la reflexión. Al calcular las fuerzas magnéticas entre dos conjuntos de corrientes, el resultado siempre es invariante con respecto a los cambios de manos. Nuestras ecuaciones, independientemente de la condición de la mano derecha, conducen a resultado final, Qué corrientes paralelas se atraen y los opuestos se repelen. (Intenta calcular la fuerza usando la regla de la mano izquierda). La atracción o repulsión es un vector polar. Esto se debe a que al describir cualquier interacción completa utilizamos la regla de la mano derecha dos veces: una para encontrar B de las corrientes y luego para encontrar la fuerza ejercida por el campo B sobre la segunda corriente. Usar la regla de la mano derecha dos veces es lo mismo que usar dos veces la regla de la mano izquierda. Si acordáramos pasar al sistema de la izquierda, todos nuestros campos B cambiarían de signo, pero todas las fuerzas o (quizás más claramente) las aceleraciones observadas de los objetos no cambiarían.

Cuando dijimos que la fuerza magnética sobre una carga es proporcional a su velocidad, probablemente pensaste: “¿Qué velocidad? ¿En relación con qué marco de referencia? De la definición dada al principio de este capítulo, queda claro que este vector será diferente según la elección del marco de referencia en el que definimos la velocidad de las cargas. Pero no dijimos nada sobre qué sistema es adecuado para determinar el campo magnético.

Resulta que cualquier sistema inercial es adecuado. También veremos que el magnetismo y la electricidad no son cosas independientes, siempre deben tomarse juntos como un campo electromagnético completo. Aunque en el caso estático las ecuaciones de Maxwell se dividen en dos pares separados: un par para la electricidad y otro para el magnetismo, sin ninguna conexión visible entre ambos campos, sin embargo, en la naturaleza misma existe una relación muy profunda entre ellos, que surge del principio de relatividad. . Históricamente, el principio de la relatividad se descubrió después de las ecuaciones de Maxwell. De hecho, fue el estudio de la electricidad y el magnetismo lo que llevó a Einstein al descubrimiento del principio de la relatividad. Pero veamos qué nos dice nuestro conocimiento del principio de la relatividad sobre las fuerzas magnéticas, suponiendo que el principio de la relatividad se aplica (y de hecho se aplica) al electromagnetismo.

Pensemos en lo que le sucede a una carga negativa que se mueve a una velocidad paralela a un cable a través del cual fluye corriente (figura 13.10). Intentemos entender lo que sucede utilizando dos sistemas de referencia: uno asociado al cable, como en la Fig. 13.10, a, y el otro con una partícula, como en la Fig. 13.10, b. Al primero lo llamaremos sistema de referencia, y al segundo.

Figura 13.10. La interacción de un cable con una corriente y una partícula con carga, considerada en dos sistemas de coordenadas.

a - un cable está en reposo en el sistema; b - una carga está en reposo en el sistema.

En el sistema, la partícula se ve claramente afectada por una fuerza magnética. La fuerza se dirige hacia el cable, por lo tanto, si nada interfiere con la carga, su trayectoria se doblará hacia el cable. Pero en el sistema no puede haber una fuerza magnética sobre la partícula, porque la velocidad de la partícula es cero. Entonces, ¿por qué seguirá parada? ¿Veremos diferentes cosas en diferentes sistemas? El principio de relatividad establece que en el sistema también veríamos cómo la partícula se acerca al alambre. Debemos tratar de entender por qué esto podría suceder.

Volvamos a nuestra descripción atómica de un cable a través del cual fluye corriente. En un conductor ordinario como el cobre, Corrientes eléctricas surgen debido al movimiento de parte de los electrones negativos (llamados electrones de conducción), mientras que las cargas nucleares positivas y los electrones restantes permanecen fijos dentro del material. Sea la densidad de los electrones de conducción y su velocidad en el sistema. La densidad de cargas estacionarias en el sistema es , que debería ser igual con el signo opuesto, porque tomamos un cable sin carga. Por lo tanto, no hay campo eléctrico fuera del alambre y la fuerza sobre una partícula en movimiento es simplemente

Usando el resultado que encontramos en la ecuación (13.18) para el campo magnético a una distancia del eje del alambre, concluimos que la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacia el alambre y es igual en magnitud

.

Usando las ecuaciones (13.4) y (13.5), la corriente se puede escribir como , donde es el área de la sección transversal del cable. Entonces

(13.20)

Podríamos seguir considerando el caso general de velocidades arbitrarias y , pero no sería peor tomar el caso especial cuando la velocidad de la partícula coincide con la velocidad de los electrones de conducción. Por lo tanto, escribiremos , y la ecuación (13.20) tomará la forma

(13.21)

Ahora veamos lo que sucede en el sistema, donde la partícula está en reposo y el cable pasa por ella (a la izquierda en la figura 13.10, b) con velocidad. Las cargas positivas que se mueven junto con el cable crearán un campo magnético cerca de la partícula. ¡Pero la partícula ahora está en reposo, por lo que la fuerza magnética no tiene ningún efecto sobre ella! Si surge alguna fuerza, debe aparecer debido al campo eléctrico. Resulta que un cable en movimiento crea un campo eléctrico. Pero sólo puede hacer esto si parece acusada; debe ser tal que un cable neutro que transporta corriente parezca cargado si se pone en movimiento.

Necesitamos resolver esto. Intentemos calcular la densidad de carga en el cable del sistema, utilizando lo que sabemos sobre él en el sistema. A primera vista se podría pensar que las densidades son las mismas, pero del cap. 15 (número 2) sabemos que al pasar de un sistema a otro, las longitudes cambian, por lo tanto, los volúmenes también cambiarán. Dado que las densidades de carga dependen del volumen ocupado por las cargas, las densidades también cambiarán.

Antes de determinar las densidades de carga en un sistema, es necesario saber qué sucede con la carga eléctrica de un grupo de electrones cuando las cargas se mueven. Sabemos que la masa aparente de una partícula adquiere un multiplicador. ¿Le pasa algo parecido a su carga? ¡No! Los cargos nunca cambian, ya sea que se estén moviendo o no. De lo contrario, no podríamos observar experimentalmente la conservación de la carga completa.

Tomemos un trozo de materia, como por ejemplo un conductor, y dejémoslo inicialmente sin carga. Ahora calentémoslo. Dado que los electrones tienen una masa diferente a la de los protones, las velocidades de los electrones y los protones cambiarán de manera diferente. Si la carga de una partícula dependiera de la velocidad de la partícula que la transporta, entonces en la pieza calentada las cargas de electrones y protones no estarían compensadas. Un trozo de material se cargaría cuando se calentara.

Figura 13.11. Si la distribución de partículas cargadas tiene una densidad de carga, entonces desde el punto de vista de un sistema que se mueve con una velocidad relativa, la densidad de carga será igual a .

Vimos antes que un cambio muy pequeño en la carga de cada uno de los electrones de la pieza daría como resultado enormes campos eléctricos. Nunca se ha observado nada parecido.

Además, se puede observar que la velocidad promedio de los electrones en una sustancia depende de su composición química. Si la carga de un electrón cambiara con la velocidad, la carga neta de un trozo de materia cambiaría durante el curso de la reacción química. Como antes, los cálculos directos muestran que incluso una dependencia muy pequeña de la carga con respecto a la velocidad daría lugar a campos enormes en las reacciones químicas más simples. No se ha observado nada similar y llegamos a la conclusión de que la carga eléctrica de una partícula individual no depende del estado de movimiento o reposo.

Entonces la carga de las partículas es invariante. cantidad escalar, independiente del sistema de referencia. Esto significa que en cualquier sistema la densidad de carga de una determinada distribución de electrones es simplemente proporcional al número de electrones por unidad de volumen. Sólo hay que tener en cuenta que el volumen puede cambiar debido a la reducción relativista de las distancias.

Apliquemos ahora estas ideas a nuestro cable en movimiento. Si toma un cable de una longitud en la que hay una densidad de cargas estacionarias, contendrá una carga completa. Si las mismas cargas se mueven en otro sistema con una velocidad, entonces todas estarán en un trozo de material de menor longitud.

pero la misma sección, ya que las dimensiones en la dirección perpendicular al movimiento no cambian (Fig. 13.11).

Si denotamos la densidad de cargas en el sistema donde se mueven, entonces la carga total será , pero esta también debe ser igual a , porque la carga en cualquier sistema es la misma, por lo tanto, o usando (13.22)

La densidad de carga de un conjunto de cargas en movimiento cambia de la misma manera que la masa relativista de la partícula. Apliquemos ahora este resultado a la densidad de cargas positivas en nuestro cable. Estas cargas están en reposo en el sistema. Sin embargo, en un sistema donde el alambre se mueve a gran velocidad, la densidad de cargas positivas se vuelve igual a

Las cargas negativas en el sistema están en reposo, por lo tanto su densidad en este sistema es la "densidad en reposo". En la ecuación (13.23), porque su densidad de carga es igual a , si el alambre está en reposo, es decir, en un sistema donde la velocidad de las cargas negativas es igual a . Entonces para los electrones de conducción obtenemos

. (13.26)

Ahora podemos entender por qué surgen campos eléctricos en el sistema: porque en este sistema hay una densidad de carga resultante en el cable, dada por la fórmula

Usando (13.24) y (13.26) tenemos

.

Como el cable en reposo es neutro, obtenemos

, (13.27)

Nuestro cable en movimiento está cargado positivamente y debería crear un campo en el punto donde se encuentra la partícula externa en reposo. Ya hemos resuelto el problema electrostático de un cilindro cargado uniformemente. El campo eléctrico a una distancia del eje del cilindro es

. (13.28)

La fuerza que actúa sobre una partícula cargada negativamente se dirige hacia el alambre. Tenemos una fuerza dirigida por igual en ambos sistemas; La fuerza eléctrica en el sistema se dirige de la misma manera que la fuerza magnética en el sistema. La magnitud de la fuerza en el sistema es igual a

. (13.29)

Comparando este resultado con nuestro resultado en la ecuación (13.21), vemos que las magnitudes de las fuerzas desde el punto de vista de los dos observadores son casi las mismas. Más precisamente,

por lo tanto, para las velocidades bajas que estamos considerando, ambas fuerzas son iguales. Podemos decir que, al menos para bajas velocidades, el magnetismo y la electricidad son simplemente “dos lados diferentes de una misma cosa”.

Pero resulta que todo es incluso mejor de lo que dijimos. Si tenemos en cuenta el hecho de que las fuerzas también se transforman durante la transición de un sistema a otro, resulta que ambos métodos de observar lo que está sucediendo en realidad dan lo mismo. resultados fisicos a cualquier velocidad.

Para ver esto, se puede, por ejemplo, plantearse la pregunta: ¿qué momento transversal adquirirá una partícula cuando sobre ella actúa una fuerza durante algún tiempo? Lo sabemos por el problema. 2, cap. 16 que el momento transversal de la partícula debe ser el mismo tanto en el sistema como en el sistema. Denotamos la coordenada transversal y comparamos y . Usando la ecuación de movimiento relativistamente correcta, esperamos que con el tiempo nuestra partícula adquiera momento transversal en el sistema, dado por la expresión

En el sistema, el momento transversal será igual a

Cifra. 13.12. En el sistema, la densidad de carga es cero y la densidad de corriente es igual a. Sólo hay un campo magnético. En el sistema, la densidad de carga es igual a y la densidad de corriente es. El campo magnético aquí es igual y hay un campo eléctrico.

Debemos comparar y , por supuesto, para los intervalos de tiempo correspondientes y . Pulgada. 15 (número 2) vimos que los intervalos de tiempo relacionados con una partícula en movimiento parecen más largos que los intervalos en el sistema de reposo de la partícula. Dado que nuestra partícula estaba inicialmente en reposo en el sistema, esperamos que para pequeñas

y todo sale genial. Según (13.31) y (13.32),

y si combinamos (13.30) y (13.33), entonces esta razón es igual a uno.

Entonces resulta que obtenemos el mismo resultado, independientemente de si analizamos el movimiento de una partícula que vuela junto al cable en el marco de reposo del cable o en el marco de reposo de la partícula. En el primer caso la fuerza era puramente “magnética”, en el segundo era puramente “eléctrica”. Ambos métodos de observación se muestran en la Fig. 13.12 (aunque en el segundo sistema también hay un campo magnético, este no afecta a la partícula estacionaria).

Si hubiéramos elegido otro sistema de coordenadas, habríamos encontrado una mezcla diferente de campos y . Las fuerzas eléctricas y magnéticas son parte de un fenómeno físico: la interacción electromagnética de partículas. La división de esta interacción en partes eléctrica y magnética depende en gran medida del marco de referencia en el que describimos la interacción. Pero la descripción electromagnética completa es invariante; La electricidad y el magnetismo tomados juntos son consistentes con el principio de relatividad descubierto por Einstein." En el sistema en el punto de carga, la fórmula (13.1) no cambiará si la fuente de los campos o se mueve (los valores de y cambiarán como resultado del movimiento). Nuestra descripción matemática se aplica sólo a los campos como funciones de y , tomados en algún marco de referencia inercial.

Más adelante hablaremos de “una onda de campos eléctricos y magnéticos que se propagan por el espacio”, como por ejemplo una onda de luz. Pero esto es como hablar de una ola que corre a lo largo de una cuerda. No queremos decir que alguna parte de la cuerda se mueva en la dirección de la ola, sino que el desplazamiento de la cuerda aparece primero en un lugar y luego en otro. Lo mismo ocurre con una onda electromagnética: la onda misma se propaga y la magnitud de los campos cambia.

Así que en el futuro, cuando nosotros (o cualquier otra persona) hablemos de un campo "en movimiento", deberías entender que simplemente estamos hablando de una forma breve y conveniente de describir un campo cambiante bajo ciertas condiciones.

Leyes de transformación y relatividad.

Un campo electromagnético se diferencia de cualquier sistema de partículas en que es un sistema físico con infinitas un número grande grados de libertad. Esta propiedad está asociada a un determinado estado del campo. De hecho, en la región de existencia del campo, los valores de los componentes independientes constituyen un número infinito de cantidades, ya que cualquier región del espacio contiene un número infinitamente grande de puntos.

Los campos eléctricos y magnéticos son diversas manifestaciones soltero campo electromagnetico, que también obedece al principio de superposición. La división del campo electromagnético en campo eléctrico y campo magnético es de naturaleza relativa, ya que depende de la elección del sistema de referencia.

Por ejemplo, una carga se mueve en un sistema de referencia inercial S con una velocidad constante v o cuando se mueve cargos idénticos uno hacia el otro con velocidad constante v. En este marco de referencia se observan tanto los campos eléctricos como magnéticos de esta carga, pero cambiando con el tiempo. Al pasar a otro sistema de referencia inercial S*, moviéndose con la carga, solo se observa un campo eléctrico, ya que la carga está en reposo en él. Si en el marco de referencia S hay un campo magnético constante y no homogéneo (por ejemplo, un imán de herradura), entonces en el marco S * que se mueve con respecto al marco S, se observan campos eléctricos y magnéticos alternos.

Las relaciones entre los campos eléctricos y magnéticos no son las mismas en diferentes sistemas de referencia.

Los experimentos muestran que la carga de cualquier partícula es invariante, es decir, no depende de la velocidad de la partícula ni de la elección del sistema de referencia inercial. teorema de gauss

es válido no sólo para cargas en reposo, sino también para cargas en movimiento, es decir, es invariante con respecto a sistemas de referencia inerciales.

Al pasar de un sistema de referencia inercial a otro, los campos eléctrico y magnético se transforman. Que sean dos sistemas inerciales referencia: S y el sistema que se mueve respecto a él, con velocidad S*. Si en algún punto espacio-temporal A del sistema S se conocen los valores de los campos y, ¿cuáles serán los valores de estos campos * y * en el mismo punto espacio-temporal A del sistema S *? El punto espaciotemporal A es un punto cuyas coordenadas y tiempo en ambos sistemas de referencia están interconectados por transformaciones de Lorentz, es decir

Las leyes de transformación de estos campos según la teoría especial de la relatividad se expresan mediante las siguientes cuatro fórmulas:

Símbolos || y ^ están marcadas las componentes longitudinal y transversal (con respecto al vector) de los campos eléctrico y magnético; c es la velocidad de la luz en el vacío;

De las ecuaciones se desprende claramente que cada uno de los vectores * y * se expresa de principio a fin, lo que indica la naturaleza unificada de los campos eléctrico y magnético.

Por ejemplo, el módulo de fuerza del vector E de una carga relativista que se mueve libremente se describe mediante la fórmula

donde a es el ángulo entre el vector radio y el vector velocidad.