Si puedes encajar un círculo en un trapezoide, entonces... trapezoide

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.

El propósito de la lección:

educativo– introducir el concepto de trapezoide, familiarizarse con los tipos de trapecio, estudiar las propiedades de un trapezoide, enseñar a los estudiantes a aplicar los conocimientos adquiridos en el proceso de resolución de problemas;
desarrollando– desarrollo de las cualidades comunicativas de los estudiantes, desarrollo de la capacidad de realizar experimentos, generalizar, sacar conclusiones, desarrollo del interés por el tema.
educativo– cultivar la atención, crear una situación de éxito, alegría de forma independiente superando dificultades, desarrollar en los estudiantes la necesidad de autoexpresión a través de diferentes tipos obras

Formas de trabajo: frontal, baño de vapor, grupo.

Forma de organización de las actividades infantiles: la capacidad de escuchar, entablar una discusión, expresar un pensamiento, una pregunta, una adición.

Equipo: computadora, proyector multimedia, pantalla. En los pupitres de los alumnos: cortar material para hacer un trapezoide en el pupitre de cada alumno; Tarjetas con tareas (impresiones de dibujos y tareas de las notas de la lección).

DURANTE LAS CLASES

I. Momento organizacional

Saludo, comprobando la preparación del lugar de trabajo para la lección.

II. Actualizando conocimientos

desarrollo de habilidades para clasificar objetos;
identificación de características principales y secundarias durante la clasificación.

Considere el dibujo número 1.

Luego viene una discusión sobre el dibujo.
– ¿De qué está hecha esta figura geométrica? Los chicos encuentran la respuesta en las imágenes: [de un rectángulo y triángulos].
– ¿Cómo deben ser los triángulos que forman un trapezoide?
Se escuchan y discuten todas las opiniones y se selecciona una opción: [los triángulos deben ser rectangulares].
– ¿Cómo se forman los triángulos y un rectángulo? [Para que los lados opuestos del rectángulo coincidan con el cateto de cada uno de los triángulos].
– ¿Qué sabes sobre los lados opuestos de un rectángulo? [Son paralelos].
- ¿Entonces este cuadrilátero tendrá lados paralelos? [Sí].
- ¿Cuántos hay? [Dos].
Después de la discusión, el maestro demuestra la "reina de la lección": el trapezoide.

III. Explicación del nuevo material.

1. Definición de trapezoide, elementos del trapezoide.

enseñar a los estudiantes a definir un trapezoide;
nombrar sus elementos;
Desarrollo de la memoria asociativa.

– Ahora intenta dar una definición completa de trapezoide. Cada estudiante piensa en una respuesta a la pregunta. Intercambian opiniones por parejas y preparan una única respuesta a la pregunta. Se da una respuesta oral a un estudiante de 2-3 parejas.
[Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos lados no son paralelos].

– ¿Cómo se llaman los lados de un trapezoide? [ Lados paralelos se llaman bases del trapezoide y los otros dos se llaman lados laterales].

El profesor sugiere doblar las formas cortadas en trapecios. Los estudiantes trabajan en parejas y suman figuras. Es bueno si las parejas de estudiantes son de diferentes niveles, entonces uno de los estudiantes es un consultor y ayuda a un amigo en caso de dificultad.

– Construyan un trapezoide en sus cuadernos, escriban los nombres de los lados del trapezoide. Hazle preguntas a tu vecino sobre el dibujo, escucha sus respuestas y cuéntale tus opciones de respuesta.

Referencia histórica

"Trapezoide"- una palabra griega que en la antigüedad significaba "mesa" (en griego "trapedzion" significa mesa, mesa de comedor. La figura geométrica recibió su nombre debido a su parecido externo con una mesa pequeña.
En los Elementos (griego Στοιχεῖα, latín Elementa): la obra principal de Euclides, escrita alrededor del 300 a.C. mi. y dedicado a la construcción sistemática de la geometría), el término "trapezoide" no se usa en el sentido moderno, sino en un sentido diferente: cualquier cuadrilátero (no un paralelogramo). El "trapecio" en nuestro sentido se encuentra por primera vez en el antiguo matemático griego Posidonio (siglo I). En la Edad Media, según Euclides, cualquier cuadrilátero (no paralelogramo) se llamaba trapezoide; sólo en el siglo XVIII. esta palabra adquiere un significado moderno.

Construir un trapezoide a partir de sus elementos dados. Los chicos completan las tareas de la tarjeta número 1.

Los estudiantes tienen que construir trapecios en una variedad de arreglos y formas. En el punto 1 es necesario construir trapezoide rectangular. En el punto 2 es posible construir Trapecio isósceles. En el punto 3, el trapezoide estará “acostado de lado”. En el párrafo 4, el dibujo consiste en construir un trapezoide en el que una de las bases resulta ser inusualmente pequeña.
Los alumnos “sorprenden” al profesor con diferentes figuras vistiendo el mismo nombre común– trapezoide. El maestro demuestra opciones posibles construir trapecios.

Problema 1. ¿Serán dos trapecios iguales si una de las bases y dos de ellas son respectivamente iguales? lados?
Discutir la solución al problema en grupos y demostrar la exactitud del razonamiento.
Un alumno del grupo hace un dibujo en la pizarra y explica el razonamiento.

2. Tipos de trapezoide

desarrollo memoria motora, habilidades para romper un trapezoide figuras famosas, necesario para resolver problemas;
desarrollo de habilidades para generalizar, comparar, definir por analogía y plantear hipótesis.

Veamos la imagen:

– ¿En qué se diferencian los trapecios que se muestran en la imagen?
Los chicos notaron que el tipo de trapezoide depende del tipo de triángulo ubicado a la izquierda.
- Completa la oración:

Un trapezoide se llama rectangular si...
Un trapezoide se llama isósceles si...

3. Propiedades de un trapezoide. Propiedades de un trapecio isósceles.

proponer, por analogía con un triángulo isósceles, una hipótesis sobre la propiedad de un trapezoide isósceles;
desarrollo de habilidades analíticas (comparar, plantear hipótesis, probar, construir).

El segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la mitad de la diferencia de las bases.
Un trapecio isósceles tiene ángulos iguales en cualquier base.
Un trapecio isósceles tiene diagonales iguales.
Un trapezoide isósceles tiene una altura bajada desde su vértice hasta base más grande, lo divide en dos segmentos, uno de los cuales es igual a la mitad de la suma de las bases y el otro, la mitad de la diferencia de las bases.

Tarea 2. Demuestre que en un trapezoide isósceles: a) los ángulos en cada base son iguales; b) las diagonales son iguales. Para demostrar estas propiedades de un trapezoide isósceles, recordemos los signos de igualdad de los triángulos. Los estudiantes completan la tarea en grupos, discuten y escriben la solución en sus cuadernos.
Un estudiante del grupo realiza una prueba en la pizarra.

4. Ejercicio de atención

5. Ejemplos de uso de formas trapezoidales en la vida cotidiana:

en interiores (sofás, paredes, falsos techos);
en diseño de paisajes (bordes de césped, estanques artificiales, piedras);
en la industria de la moda (ropa, calzado, complementos);
en el diseño de objetos cotidianos (lámparas, platos, utilizando formas trapezoidales);
en arquitectura.

Trabajo practico(según opciones).

– En un sistema de coordenadas, construya trapecios isósceles basándose en los tres vértices dados.

Opción 1: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…;…) y (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…;…).
Opción 2: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…;…) y (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …;

– Determinar las coordenadas del cuarto vértice.
La solución es revisada y comentada por toda la clase. Los estudiantes indican las coordenadas del cuarto punto encontrado y verbalmente intentan explicar por qué. condiciones dadas definir sólo un punto.

Una tarea interesante. Dobla un trapezoide a partir de: a) cuatro triángulos rectángulos; b) de tres triángulos rectángulos; c) de dos triángulos rectángulos.

IV. Tarea

educación autoestima correcta;
creando una situación de “éxito” para cada estudiante.

p.44, conocer la definición, elementos de un trapezoide, sus tipos, conocer las propiedades de un trapecio, poder demostrarlas, No. 388, No. 390.

v. Resumen de la lección. Al final de la lección se entrega a los niños. cuestionario, que le permite realizar un autoanálisis, dar una valoración cualitativa y cuantitativa de la lección .

- (trapecio griego). 1) en geometría, un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y dos no. 2) una figura adaptada para ejercicios gimnásticos. Diccionario palabras extranjeras, incluido en el idioma ruso. Chudinov A.N., 1910. TRAPECIO... ... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.

trapezoide- Trapezoide. TRAPECIO (del griego trapecio, literalmente mesa), cuadrilátero convexo, en el que dos lados son paralelos (bases de un trapezoide). El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de las bases (línea media) y la altura. ... Diccionario enciclopédico ilustrado

trapezoide- cuadrilátero, proyectil, travesaño Diccionario de sinónimos rusos. sustantivo trapecio, número de sinónimos: 3 travesaño (21) ... Diccionario de sinónimos

TRAPECIO- (del griego trapecio, literalmente mesa), un cuadrilátero convexo en el que dos lados son paralelos (las bases de un trapezoide). El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de las bases (línea media) y la altura... enciclopedia moderna

TRAPECIO- (del griego trapecio iluminado. mesa), un cuadrilátero en el que dos lados opuestos, llamadas bases del trapezoide, son paralelas (en la figura AD y BC), y las otras dos no son paralelas. La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide (en... ... Gran diccionario enciclopédico

TRAPECIO- TRAPEZOIDE, cuadrangular figura plana, en el que dos lados opuestos son paralelos. El área de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de los lados paralelos multiplicada por la longitud de la perpendicular entre ellos... Diccionario enciclopédico científico y técnico.

TRAPECIO- TRAPECIO, trapezoide, mujer. (Del griego mesa trapeza). 1. Cuadrilátero con dos lados paralelos y dos no paralelos (mat.). 2. Un aparato de gimnasia formado por un travesaño suspendido de dos cuerdas (deportes). Acrobático... ... Diccionario Ushakova

TRAPECIO- TRAPECIO, y, femenino. 1. Un cuadrilátero con dos lados paralelos y dos no paralelos. Las bases del trapezoide (sus lados paralelos). 2. Un aparato de circo o gimnasia es una barra transversal suspendida de dos cables. Diccionario explicativo de Ozhegov. CON … Diccionario explicativo de Ozhegov

TRAPECIO- mujer, geom. un cuadrilátero con lados desiguales, dos de los cuales son paralelos (paralelos). Trapezoide, un cuadrilátero similar en el que todos los lados se separan. Trapezoedro, cuerpo facetado por trapecios. Diccionario explicativo de Dahl. Y EN. Dahl. 1863 1866… Diccionario explicativo de Dahl

TRAPECIO- (Trapecio), Estados Unidos, 1956, 105 min. Melodrama. El aspirante a acróbata Tino Orsini se une a una compañía de circo donde trabaja Mike Ribble, un famoso ex trapecista. Mike actuó una vez con el padre de Tino. El joven Orsini quiere a Mike... Enciclopedia del cine

trapezoide- un cuadrilátero cuyos dos lados son paralelos y los otros dos lados no son paralelos. Se llama la distancia entre lados paralelos. altura T. Si los lados paralelos y la altura contienen metros a, b y h, entonces el área de T contiene metros cuadrados … Enciclopedia de Brockhaus y Efron

Existe una terminología específica para designar los elementos de un trapezoide. Los lados paralelos de este figura geométrica se llaman sus bases. Por regla general, no son iguales entre sí. Sin embargo, hay uno que no dice nada sobre los lados no paralelos. Por tanto, algunos matemáticos consideran el paralelogramo como un caso especial de trapezoide. Sin embargo, la gran mayoría de los libros de texto todavía mencionan el no paralelismo del segundo par de lados, que se denominan laterales.

Hay varios tipos de trapecios. Si sus lados son iguales, entonces el trapezoide se llama isósceles o isósceles. Uno de los lados puede ser perpendicular a las bases. En consecuencia, en este caso la figura será rectangular.

Hay varias líneas más que definen los trapecios y ayudan a calcular otros parámetros. Divide los lados por la mitad y dibuja una línea recta a través de los puntos resultantes. Obtendrás la línea media del trapezoide. Es paralelo a las bases y su media suma. Se puede expresar mediante la fórmula n=(a+b)/2, donde n es la longitud, a y b son las longitudes de las bases. La línea media es muy parámetro importante. Por ejemplo, puedes usarlo para expresar el área de un trapezoide, que es igual a la longitud de la línea media multiplicada por la altura, es decir, S=nh.

Desde la esquina entre el lado y la base más corta, dibuja una perpendicular a la base larga. Obtendrás la altura del trapezoide. Como cualquier perpendicular, altura - distancia más corta entre líneas dadas.

Hay propiedades adicionales que necesitas conocer. Los ángulos entre los lados y la base son entre sí. Además, sus diagonales son iguales, lo cual resulta fácil comparando los triángulos formados por ellas.

Divide las bases por la mitad. Encuentra el punto de intersección de las diagonales. Continúe los lados hasta que se crucen. Obtendrás 4 puntos a través de los cuales podrás trazar una línea recta, y solo uno.

Uno de propiedades importantes de cualquier cuadrilátero es la capacidad de construir un círculo inscrito o circunscrito. Esto no siempre funciona con un trapecio. Un círculo inscrito sólo se formará si la suma de las bases es igual a la suma de los lados. Un círculo sólo puede describirse alrededor de un trapezoide isósceles.

El trapezoide del circo puede ser fijo o móvil. El primero es un pequeño travesaño redondo. Está fijado a la cúpula del circo por ambos lados con varillas de hierro. El trapezoide móvil está sujeto con cables o cuerdas; puede oscilar libremente. Hay trapecios dobles e incluso triples. El mismo término se refiere al propio género de las acrobacias circenses.

El término "trapezoide"

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\[(\Large(\text(Trapezoide libre)))\]

Definiciones

Un trapezoide es un cuadrilátero convexo en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman bases y los otros dos lados se llaman lados laterales.

La altura de un trapezoide es la perpendicular trazada desde cualquier punto de una base a otra base.

Teoremas: propiedades de un trapecio

1) La suma de los ángulos laterales es \(180^\circ\) .

2) Las diagonales dividen el trapezoide en cuatro triángulos, dos de los cuales son semejantes y los otros dos son iguales en tamaño.

Prueba

1) porque \(AD\parallel BC\), entonces los ángulos \(\angle BAD\) y \(\angle ABC\) son unilaterales para estas rectas y la transversal \(AB\), por lo tanto, \(\angle MAL +\angle ABC=180^\circ\).

2) porque \(AD\parallel BC\) y \(BD\) son secantes, entonces \(\angle DBC=\angle BDA\) se encuentran transversalmente.
También \(\angle BOC=\angle AOD\) como vertical.
Por lo tanto, en dos ángulos \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Probemos que \(S_(\triángulo AOB)=S_(\triángulo COD)\). Sea \(h\) la altura del trapezoide. Entonces \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Entonces: \

Definición

La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados.

Teorema

La línea media del trapezoide es paralela a las bases e igual a su media suma.

Prueba*

1) Demostremos el paralelismo.

Dibujemos por el punto \(M\) la recta \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Entonces, según el teorema de Tales (ya que \(MN"\paralelo AD\paralelo BC, AM=MB\)) el punto \(N"\) es el medio del segmento \(CD\). Esto significa que los puntos \(N\) y \(N"\) coincidirán.

2) Probemos la fórmula.

Hagamos \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Dejar \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Entonces, según el teorema de Tales, \(M"\) y \(N"\) son los puntos medios de los segmentos \(BB"\) y \(CC"\), respectivamente. Entonces, \(MM"\) – linea intermedia\(\triangle ABB"\) , \(NN"\) es la línea media \(\triangle DCC"\). Por lo tanto: \

Porque \(MN\paralelo AD\paralelo BC\) y \(BB", CC"\perp AD\), entonces \(B"M"N"C"\) y \(BM"N"C\) son rectángulos. Según el teorema de Tales, de \(MN\parallel AD\) y \(AM=MB\) se sigue que \(B"M"=M"B\) . Por lo tanto, \(B"M"N"C "\) y \(BM"N"C\) – rectángulos iguales, por lo tanto, \(M"N"=B"C"=BC\) .

De este modo:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorema: propiedad trapezoide libre

Los puntos medios de las bases, el punto de intersección de las diagonales del trapezoide y el punto de intersección de las extensiones de los lados laterales se encuentran en la misma línea recta.

Prueba*
Se recomienda familiarizarse con la demostración después de estudiar el tema "Semejanza de triángulos".

1) Demostremos que los puntos \(P\), \(N\) y \(M\) se encuentran en la misma recta.

Dibujemos una línea recta \(PN\) (\(P\) es el punto de intersección de las extensiones de los lados laterales, \(N\) es el medio de \(BC\)). Deja que interseca el lado \(AD\) en el punto \(M\) . Demostremos que \(M\) es el punto medio de \(AD\) .

Considere \(\triangle BPN\) y \(\triangle APM\) . Son similares en dos ángulos (\(\angle APM\) – general, \(\angle PAM=\angle PBN\) correspondientes en \(AD\parallel BC\) y \(AB\) secante). Medio: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Considere \(\triangle CPN\) y \(\triangle DPM\) . Son similares en dos ángulos (\(\angle DPM\) – general, \(\angle PDM=\angle PCN\) correspondientes en \(AD\parallel BC\) y \(CD\) secante). Medio: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

De aquí \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Pero \(BN=NC\) por lo tanto \(AM=DM\) .

2) Demostremos que los puntos \(N, O, M\) se encuentran en la misma recta.

Sea \(N\) el punto medio de \(BC\) y \(O\) el punto de intersección de las diagonales. Dibujemos una línea recta \(NO\) , cortará el lado \(AD\) en el punto \(M\) . Demostremos que \(M\) es el punto medio de \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) a lo largo de dos ángulos (\(\angle OBN=\angle ODM\) que se encuentran transversalmente en \(BC\parallel AD\) y \(BD\) secante; \(\angle BON=\angle DOM\) como vertical). Medio: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Asimismo \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Medio: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

De aquí \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Pero \(BN=CN\) por lo tanto \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(trapezoide isósceles)))\]

Definiciones

Un trapezoide se dice rectangular si uno de sus ángulos es recto.

Un trapezoide se llama isósceles si sus lados son iguales.

Teoremas: propiedades de un trapecio isósceles

1) Un trapezoide isósceles tiene ángulos base iguales.

2) Las diagonales de un trapezoide isósceles son iguales.

3) Dos triángulos formados por diagonales y una base son isósceles.

Prueba

1) Considere el trapezoide isósceles \(ABCD\).

Desde los vértices \(B\) y \(C\), dejamos caer las perpendiculares \(BM\) y \(CN\) al lado \(AD\), respectivamente. Dado que \(BM\perp AD\) y \(CN\perp AD\) , entonces \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , entonces \(MBCN\) es un paralelogramo, por lo tanto, \(BM = CN\) .

Consideremos triángulos rectángulos\(ABM\) y \(CDN\). Dado que sus hipotenusas son iguales y el cateto \(BM\) es igual al cateto \(CN\) , entonces estos triángulos son iguales, por lo tanto, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

Porque \(AB=CD, \ángulo A=\ángulo D, AD\)- general, luego según el primer signo. Por lo tanto, \(AC=BD\) .

3) porque \(\triángulo ABD=\triángulo ACD\), entonces \(\angle BDA=\angle CAD\) . Por lo tanto, el triángulo \(\triangle AOD\) es isósceles. De manera similar, se demuestra que \(\triangle BOC\) es isósceles.

Teoremas: signos de un trapezoide isósceles

1) Si un trapezoide tiene ángulos en la base iguales, entonces es isósceles.

2) Si un trapezoide tiene diagonales iguales, entonces es isósceles.

Prueba

Considere el trapezoide \(ABCD\) tal que \(\angle A = \angle D\) .

Completemos el trapecio hasta el triángulo \(AED\) como se muestra en la figura. Dado que \(\angle 1 = \angle 2\) , entonces el triángulo \(AED\) es isósceles y \(AE = ED\) . Los ángulos \(1\) y \(3\) son iguales a los ángulos correspondientes de las rectas paralelas \(AD\) y \(BC\) y secante \(AB\). De manera similar, los ángulos \(2\) y \(4\) son iguales, pero \(\angle 1 = \angle 2\), entonces \(\ángulo 3 = \ángulo 1 = \ángulo 2 = \ángulo 4\), por lo tanto, el triángulo \(BEC\) también es isósceles y \(BE = EC\) .

Eventualmente \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), es decir, \(AB = CD\), que es lo que faltaba demostrar.

2) Sea \(AC=BD\) . Porque \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), entonces denotamos su coeficiente de similitud como \(k\) . Entonces, si \(BO=x\) , entonces \(OD=kx\) . Similar a \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Porque \(AC=BD\) , entonces \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Esto significa que \(\triangle AOD\) es isósceles y \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Así, según el primer signo \(\triángulo ABD=\triángulo ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- general). Entonces, \(AB=CD\) , ¿por qué?