Fórmula para calcular la suma de ángulos. Polígono regular

Tipo de lección: lección práctica, lección combinada.

Objetivos de la lección:

1. Deducir una fórmula que exprese la suma de los ángulos de un polígono convexo.

2. Desarrollo pensamiento lógico y atencion

3. Fomentar una cultura del trabajo mental

Equipo: tabla “Suma de ángulos de un polígono convexo”, libro de trabajo en geometría, conjunto de modelos polígonos convexos.

Tecnologías utilizadas: elementos de tecnologia pensamiento crítico, tecnologías que salvan la salud, tecnología de aprendizaje basada en problemas.

Durante las clases:

I . Comienzo emocional de la lección:

Hola, chicos. Hola invitados. Chicos, mírenme. Estoy preocupada ¿y tú? ¿Cuál es su estado de ánimo? Apoyémonos unos a otros, sonriamos unos a otros y estoy seguro de que juntos superaremos todas las dificultades, podemos hacerlo.

¿De qué crees que se tratará la lección de hoy? ¿Teniendo problemas? No formularemos el tema de nuestra lección por ahora; volveremos a él más adelante, en el curso del trabajo.

II . Actualización de conocimientos:

Dictado matemático (frontal) seguido de prueba en el reverso del tablero. El alumno trabaja en la parte posterior del tablero.

El propósito de esta tarea: repetir todo Información necesaria para seguir trabajando.

Tipo de prueba: mutua o autoevaluación, a elección del alumno.

El profesor revisa 2-3 trabajos elegidos por los estudiantes. La puntuación se basa en el número de respuestas correctas.

Dictado:

1 polígono connortelos vértices se llaman... (norte-cuadrado).

2. Un segmento que conecta dos cualesquiera no picos vecinos, se llama... (la diagonal del polígono).

3. Si un polígono se encuentra a un lado de cada línea recta que pasa por sus dos vértices vecinos, entonces se llama... (convexo).

4. Dos vértices de un cuadrilátero que no son adyacentes se llaman... (opuesto).

5. ¿Cuál es el monto? medidas de grado¿Todos los ángulos de un triángulo?... (180°).

Resultados: conceptonorte-gon, sus diagonales, un polígono convexo, sus vértices opuestos, la suma de las medidas en grados de todos los ángulos de un triángulo que usaremos en la siguiente etapa de nuestra lección, realizando trabajo de laboratorio.

III . Aprender material nuevo:

Trabajo de laboratorio (por parejas).

Objetivo del trabajo: derivar experimentalmente una fórmula que exprese la suma de los ángulos de un polígono convexo.

Instrucciones de uso:

1. Construye tres polígonos convexos.

2. Dibuja diagonales desde un vértice.

3. Compara el número de lados del polígono con el número de triángulos resultantes.

4. Expresa la suma de los ángulos de cada polígono en términos de la suma de los ángulos del triángulo.

Registre los resultados en una tabla (varios estudiantes escriben sus resultados en la pizarra)

¿Es posible formular el tema de la lección ahora?

- Tema: “Suma de ángulos de un polígono convexo”

5. Formule una hipótesis: “La suma de los ángulos de un convexonorte-gon es igual a (norte-2) ٠ 180°"

Confirmemos esta hipótesis leyendo la derivación de la fórmula en la página 99 del libro de texto. Escribamos la fórmula en un cuaderno. Los estudiantes evalúan sus resultados. trabajo de laboratorio según un sistema de cinco puntos.

IV . Descanso para salvar la salud.

Objetivo: prevenir la fatiga, preservar la salud de los estudiantes conectando ejercicios con elementos incluidos en el tema de la lección (con ángulos de varios tipos).

Los niños están sentados en un escritorio. Invítelos a sentarse en un ángulo de 90°.

Chicos, levántense. Usa tus manos para dibujar un ángulo amplio. Levantamiento mano derecha, muestra un ángulo recto. Haz lo mismo levantando mano izquierda. Luego, alternativamente, finge ser estúpido y luego Esquinas filosas. Siéntate.

V . Consolidación del material estudiado.

Objetivo: enseñar a los estudiantes a resolver líneas rectas y problema inverso, aplicando la fórmula para la suma de ángulos de un polígono convexo.

resolución de problemas

1. Trabajar en libros de trabajo. (Uno de los estudiantes lee en voz alta el problema y su solución, completando los espacios en blanco, el resto monitorea atentamente su trabajo. Si un estudiante comete un error, la clase lo corrige).

Tarea número 4. Usando la fórmula (norte-2) 180°, halla la suma de los ángulos convexos:

a) decágono

b) triángulo de veintidós lados

Respuesta: a) 1620°, b) 3600°

2. Decidir por escrito No. 365 (c). ¿Cuántos lados tiene un polígono convexo y cada ángulo mide 120°?

Uno de los alumnos es llamado a la pizarra para resolver el problema, el resto trabaja en sus cuadernos.

Solución: suma de ángulos de un convexonorte-gon es 180°٠ ( norte-2). Por lo tanto 180°٠ ( norte-2)=120°٠ norte

Desde aquí: 180°٠ norte-360°=120°٠ norte, 60°٠ norte=360°,norte=6.

Respuesta: 6 lados.

Preguntas sugerentes:

¿Cuál es la suma de los ángulos de un convexo?norte-¿cuadrado?

Otra forma de calcular la suma de los ángulos de un convexo.norte-gon, si cada uno de susnorte¿Angulos iguales a 120°?

¿Cómo encontrar el número de lados de tal polígono?

VI . Trabajo independiente

Objetivo: comprobar el nivel de dominio del tema

Ejercicio 1.

Usando la fórmula, encuentra la suma de los ángulos del convexo.nortecuadrado

Opción 1 Opción 2

norte=12. Respuesta: 1800°norte=32. Respuesta: 5400°

Tarea 2.

¿Cuántos lados tiene un polígono convexo, cada ángulo del cual es igual a:

Opción 1 Opción 2

90°. Respuesta: Cuatro 60° Respuesta: Tres

Varios alumnos de cada opción anotan sus respuestas en el reverso de la pizarra, el profesor comprueba y el resto de alumnos realizan autoevaluaciones o pruebas mutuas de su elección.

Tarea:

Objetivo: Fortalecer las habilidades de los estudiantes en la resolución de problemas utilizando la fórmula para la suma de ángulos de un polígono convexo.

1. Punto 40 de la página 99, pregunta 3 de la página 114;

2. Resolver los problemas No. 364 (c), 365 (d).

VII . Resumen de la lección:

1. Compilando un vino sincronizado.

2. Dar notas (media aritmética: dictado, l/r, s/r).

3. Comentar la tarea.

4. Entrega de cuadernos por parte de los alumnos.

vino hundido

Polígonos

convexo,norte-carbón

Construimos, destruimos, calculamos

Suma de ángulos convexosnorte-gon es igual a (norte-2) 180°

Fórmula

En octavo grado, durante las lecciones de geometría en la escuela, a los estudiantes se les presenta por primera vez el concepto de polígono convexo. Muy pronto aprenderán que esta figura tiene muy propiedad interesante. Por muy complejo que sea, la suma de todos los ángulos internos y externos de un polígono convexo adquiere un valor estrictamente definido. En este artículo, un tutor de matemáticas y física habla sobre a qué es igual la suma de los ángulos de un polígono convexo.

Suma de ángulos interiores de un polígono convexo

¿Cómo probar esta fórmula?

Antes de pasar a la prueba de esta afirmación, recordemos qué polígono se llama convexo. Un polígono convexo es un polígono que se encuentra completamente en un lado de una línea que contiene cualquiera de sus lados. Por ejemplo, el que se muestra en esta figura:

Si el polígono no satisface condición especificada, entonces se llama no convexo. Por ejemplo, así:

La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a , donde es el número de lados del polígono.

La prueba de este hecho se basa en el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, bien conocido por todos los escolares. Estoy seguro de que este teorema también te resulta familiar. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es .

La idea es dividir un polígono convexo en varios triángulos. Esto puede hacerse diferentes caminos. Dependiendo del método que elijamos, la evidencia será ligeramente diferente.

1. Divide un polígono convexo en triángulos usando todas las diagonales posibles extraídas de algún vértice. Es fácil entender que entonces nuestro n-gon se dividirá en triángulos:

Además, la suma de todos los ángulos de todos los triángulos resultantes es igual a la suma de los ángulos de nuestro n-gon. Después de todo, cada ángulo de los triángulos resultantes es un ángulo parcial de nuestro polígono convexo. Es decir, la cantidad requerida es igual a .

2. También puedes seleccionar un punto dentro del polígono convexo y conectarlo a todos los vértices. Entonces nuestro n-gon se dividirá en triángulos:

Además, la suma de los ángulos de nuestro polígono en este caso será igual a la suma de todos los ángulos de todos estos triángulos menos ángulo central, que es igual a . Es decir, la cantidad requerida vuelve a ser igual a .

Suma de ángulos exteriores de un polígono convexo.

Hagamos ahora la pregunta: "¿Cuál es la suma de los ángulos externos de un polígono convexo?" Esta pregunta se puede responder de la siguiente manera. Cada esquina externa es adyacente a la interna correspondiente. Por lo tanto es igual a:

Entonces la suma de todos los ángulos externos es igual a . Es decir, es igual.

Es decir, se obtiene un resultado muy divertido. Si trazamos todos los ángulos externos de cualquier n-gón convexo secuencialmente uno tras otro, entonces el resultado será exactamente el plano completo.

Este dato interesante se puede ilustrar de la siguiente manera. Reduzcamos proporcionalmente todos los lados de algún polígono convexo hasta que se fusione en un punto. Después de que esto suceda, todos los ángulos externos se separarán entre sí y así llenarán todo el plano.

Dato interesante, ¿no? Y hay muchos de esos hechos en geometría. ¡Así que aprendan geometría, queridos escolares!

El material sobre a qué es igual la suma de los ángulos de un polígono convexo fue preparado por Sergey Valerievich.

Triángulo, cuadrado, hexágono: casi todo el mundo conoce estas figuras. Pero esto es lo que es polígono regular, no todo el mundo lo sabe. Pero todos son iguales. Un polígono regular es aquel que tiene ángulos y lados iguales. Hay muchas figuras de este tipo, pero todas tienen propiedades idénticas, y se les aplican las mismas fórmulas.

Propiedades de los polígonos regulares

Cualquier polígono regular, ya sea un cuadrado o un octágono, puede inscribirse en una circunferencia. Esta propiedad básica se utiliza a menudo al construir una figura. Además, se puede inscribir un círculo en un polígono. En este caso, el número de puntos de contacto será igual al número de sus lados. Es importante que un círculo inscrito en un polígono regular tenga centro común. Estas figuras geométricas están sujetas a los mismos teoremas. Cualquier lado de un n-gón regular está relacionado con el radio R del círculo circunscrito a su alrededor. Por lo tanto, se puede calcular usando. la siguiente fórmula: a = 2R ∙ sen180°. A través de él puedes encontrar no solo los lados, sino también el perímetro del polígono.

Cómo encontrar el número de lados de un polígono regular

Cualquiera consta de un cierto número de segmentos iguales entre sí que, cuando se conectan, forman una línea cerrada. En este caso, todos los ángulos de la figura resultante tienen mismo valor. Los polígonos se dividen en simples y complejos. El primer grupo incluye un triángulo y un cuadrado. Los polígonos complejos tienen numero mayor lados Estos también incluyen figuras en forma de estrella. Para polígonos regulares complejos, los lados se encuentran inscribiéndolos en un círculo. Demos una prueba. Dibuja un polígono regular con cualquier número lados n. Dibuja un círculo a su alrededor. Establece el radio R. Ahora imagina que te dan un n-gon. Si los puntos de sus ángulos se encuentran en un círculo y son iguales entre sí, entonces los lados se pueden encontrar usando la fórmula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Calcular el número de lados de un triángulo regular inscrito

Un triángulo equilátero es un polígono regular. Se le aplican las mismas fórmulas que a un cuadrado y un n-gón. Un triángulo se considerará regular si sus lados tienen la misma longitud. En este caso, los ángulos son 60⁰. Construyamos un triángulo con una longitud de lado dada a. Conociendo su mediana y su altura, puedes encontrar el valor de sus lados. Para ello utilizaremos el método de hallar mediante la fórmula a = x: cosα, donde x es la mediana o altura. Como todos los lados del triángulo son iguales, obtenemos a = b = c. Entonces será verdad la siguiente declaración a = b = c = x: cosα. De manera similar, puedes encontrar el valor de los lados en un triángulo isósceles, pero x será la altura dada. En este caso, conviene proyectarlo estrictamente sobre la base de la figura. Entonces, conociendo la altura x, encontramos el lado a triángulo isósceles según la fórmula a = b = x: cosα. Después de encontrar el valor de a, puedes calcular la longitud de la base c. Apliquemos el teorema de Pitágoras. Buscaremos el valor de la mitad de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Entonces c = 2xtanα. De esta sencilla forma podrás encontrar el número de lados de cualquier polígono inscrito.

Calcular los lados de un cuadrado inscrito en un círculo

Como cualquier otro polígono regular inscrito, un cuadrado tiene lados iguales y esquinas. Se le aplican las mismas fórmulas que a un triángulo. Puedes calcular los lados de un cuadrado usando el valor de la diagonal. Consideremos este método con más detalle. Se sabe que una diagonal divide un ángulo por la mitad. Inicialmente su valor era de 90 grados. Así, después de la división, se forman dos. Sus ángulos en la base serán iguales a 45 grados. En consecuencia, cada lado del cuadrado será igual, es decir: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, donde e es la diagonal del cuadrado, o la base del triángulo rectángulo formado después división. No es la única forma encontrar los lados de un cuadrado. Inscribamos esta figura en un círculo. Conociendo el radio de este círculo R, encontramos el lado del cuadrado. Lo calcularemos de la siguiente manera: a4 = R√2. Los radios de los polígonos regulares se calculan mediante la fórmula R = a: 2tg (360 o: 2n), donde a es la longitud del lado.

Cómo calcular el perímetro de un n-gon

El perímetro de un n-gon es la suma de todos sus lados. Es fácil de calcular. Para hacer esto, necesita conocer el significado de todos los lados. Para algunos tipos de polígonos existen fórmulas especiales. Te permiten encontrar el perímetro mucho más rápido. Se sabe que todo polígono regular tiene lados iguales. Por tanto, para calcular su perímetro basta con conocer al menos uno de ellos. La fórmula dependerá del número de lados de la figura. En general, se ve así: P = an, donde a es el valor del lado y n es el número de ángulos. Por ejemplo, para encontrar el perímetro de un octágono regular con un lado de 3 cm, debes multiplicarlo por 8, es decir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Para un hexágono con un lado de 5 cm, calculamos. de la siguiente manera: P = 5 ∙ 6 = 30 cm y así para cada polígono.

Encontrar el perímetro de un paralelogramo, cuadrado y rombo

Dependiendo de cuántos lados tenga un polígono regular se calcula su perímetro. Esto facilita mucho la tarea. Efectivamente, a diferencia de otras figuras, en este caso no es necesario buscar todos sus lados, uno es suficiente. Usando el mismo principio, encontramos el perímetro de los cuadriláteros, es decir, un cuadrado y un rombo. A pesar de que esto diferentes figuras, la fórmula para ellos es uno P = 4a, donde a es el lado. Pongamos un ejemplo. Si el lado de un rombo o cuadrado mide 6 cm, entonces encontramos el perímetro de la siguiente manera: P = 4 ∙ 6 = 24 cm, solo para un paralelogramo. lados opuestos. Por tanto, su perímetro se encuentra utilizando un método diferente. Entonces, necesitamos saber el largo a y el ancho b de la figura. Luego aplicamos la fórmula P = (a + b) ∙ 2. Un paralelogramo en el que todos los lados y ángulos entre ellos son iguales se llama rombo.

Encontrar el perímetro de un triángulo equilátero y rectángulo

El perímetro del correcto se puede encontrar usando la fórmula P = 3a, donde a es la longitud del lado. Si se desconoce, se puede encontrar a través de la mediana. EN triángulo rectángulo valor igual tener sólo dos lados. La base se puede encontrar mediante el teorema de Pitágoras. Una vez conocidos los valores de los tres lados calculamos el perímetro. Se puede encontrar usando la fórmula P = a + b + c, donde a y b son lados iguales y c es la base. Recuerde que en un triángulo isósceles a = b = a, lo que significa a + b = 2a, entonces P = 2a + c. Por ejemplo, el lado de un triángulo isósceles mide 4 cm, encontremos su base y perímetro. Calculamos el valor de la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras con = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Ahora calcula el perímetro P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Cómo encontrar los ángulos de un polígono regular.

Un polígono regular aparece en nuestras vidas todos los días, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo o un octágono regulares. Parecería que no hay nada más fácil que construir tú mismo esta figura. Pero esto sólo es sencillo a primera vista. Para construir cualquier n-gón, necesitas saber el valor de sus ángulos. ¿Pero cómo encontrarlos? Incluso los científicos antiguos intentaron construir polígonos regulares. Descubrieron cómo colocarlos en círculos. Y luego lo marcaron puntos necesarios, los conectó con líneas rectas. Para figuras simples El problema de la construcción fue resuelto. Se obtuvieron fórmulas y teoremas. Por ejemplo, Euclides, en su famosa obra "Inception", se ocupó de la resolución de problemas de 3, 4, 5, 6 y 15 gónos. Encontró formas de construirlos y encontrar ángulos. Veamos cómo hacer esto para un 15 gon. Primero necesitas calcular la suma de sus ángulos interiores. Es necesario utilizar la fórmula S = 180⁰(n-2). Entonces, nos dan un góno de 15, lo que significa que el número n es 15. Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula y obtenemos S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Encontramos la suma de todos los ángulos interiores de un góno de 15. Ahora necesitas obtener el valor de cada uno de ellos. Son 15 ángulos en total. Hacemos el cálculo 2340⁰: 15 = 156⁰. entonces todos esquina interna es igual a 156⁰, ahora usando una regla y un compás puedes construir un góndola regular de 15. Pero ¿qué pasa con los n-gons más complejos? Durante muchos siglos, los científicos han luchado por resolver este problema. Fue encontrado recién en el siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss. Pudo construir un 65537-gon. Desde entonces, el problema se considera oficialmente resuelto por completo.

Cálculo de ángulos de n-gonos en radianes.

Por supuesto, hay varias formas de encontrar los ángulos de los polígonos. La mayoría de las veces se calculan en grados. Pero también se pueden expresar en radianes. ¿Cómo hacerlo? Debe proceder de la siguiente manera. Primero, averiguamos el número de lados de un polígono regular, luego le restamos 2. Esto significa que obtenemos el valor: n - 2. Multiplicamos la diferencia encontrada por el número n (“pi” = 3,14). Ahora solo queda dividir el producto resultante por el número de ángulos en el n-gón. Consideremos estos cálculos usando el mismo decágono como ejemplo. Entonces, el número n es 15. Apliquemos la fórmula S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Por supuesto, esta no es la única forma de calcular un ángulo en radianes. Simplemente puedes dividir el ángulo en grados por 57,3. Después de todo, esto es cuántos grados equivalen a un radianes.

Cálculo de ángulos en grados.

Además de los grados y radianes, puedes intentar encontrar los ángulos de un polígono regular en grados. Esto se hace de la siguiente manera. De numero totalángulos, restar 2, dividir la diferencia resultante por el número de lados de un polígono regular. Multiplicamos el resultado obtenido por 200. Por cierto, prácticamente no se utiliza una unidad de medida de ángulos como los grados.

Cálculo de ángulos externos de n-gonos.

Para cualquier polígono regular, además del interno, también puedes calcular el ángulo externo. Su valor se encuentra de la misma forma que para otras figuras. Entonces, para encontrar el ángulo externo de un polígono regular, necesitas saber el valor del ángulo interno. Además, sabemos que la suma de estos dos ángulos siempre es igual a 180 grados. Por tanto, hacemos los cálculos de la siguiente manera: 180⁰ menos el valor del ángulo interno. Encontramos la diferencia. Será igual al valor del ángulo adyacente a él. Por ejemplo, el ángulo interno de un cuadrado es de 90 grados, lo que significa que el ángulo externo será 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Como vemos, no es difícil de encontrar. Esquina exterior puede tomar un valor de +180⁰ a, respectivamente, -180⁰.