Dado material metodológico es sólo para referencia y se refiere a a un amplio círculo temas El artículo proporciona una descripción general de las gráficas de funciones elementales básicas y analiza la pregunta más importante – cómo construir un gráfico de forma correcta y RÁPIDA. durante el estudio matemáticas superiores Sin conocer las gráficas de funciones elementales básicas, será difícil, por eso es muy importante recordar cómo son las gráficas de una parábola, hipérbola, seno, coseno, etc., y recordar algunos de los valores de las funciones. También hablaremos de algunas propiedades de las funciones principales.

No pretendo que los materiales sean completos y científicos; el énfasis se pondrá, en primer lugar, en la práctica, aquellas cosas con las que se puede contar; uno se encuentra literalmente a cada paso, en cualquier tema de matemáticas superiores. ¿Gráficos para tontos? Se podría decir que sí.

Debido a numerosas solicitudes de los lectores. tabla de contenidos en la que se puede hacer clic:

Además, hay una sinopsis ultracorta sobre el tema.
– ¡Domina 16 tipos de gráficos estudiando SEIS páginas!

En serio, seis, incluso yo me sorprendí. este resumen contiene gráficos mejorados y está disponible por una tarifa nominal; puede ver la versión de demostración. Es conveniente imprimir el archivo para tener los gráficos siempre a mano. ¡Gracias por apoyar el proyecto!

Y comencemos de inmediato:

¿Cómo construir ejes de coordenadas correctamente?

En la práctica, los estudiantes casi siempre completan las pruebas en cuadernos separados, alineados en un cuadrado. ¿Por qué necesitas marcas a cuadros? Después de todo, el trabajo, en principio, se puede realizar en hojas A4. Y la jaula es necesaria precisamente para el diseño preciso y de alta calidad de los dibujos.

Cualquier dibujo de un gráfico de funciones comienza con ejes de coordenadas..

Los dibujos pueden ser bidimensionales o tridimensionales.

Consideremos primero el caso bidimensional. cartesiano sistema rectangular coordenadas:

1) Dibujar ejes de coordenadas. El eje se llama eje x , y el eje es eje y . Siempre tratamos de dibujarlos. limpio y no torcido. Las flechas tampoco deberían parecerse a la barba de Papa Carlo.

2) Etiquetar los ejes en mayúsculas"X" e "Y". No olvides etiquetar los ejes..

3) Establecer la escala a lo largo de los ejes: dibuja un cero y dos unos. Al hacer un dibujo, la escala más conveniente y utilizada con frecuencia es: 1 unidad = 2 celdas (dibujo de la izquierda); si es posible, cíñete a ella. Sin embargo, de vez en cuando sucede que el dibujo no cabe en la hoja del cuaderno; entonces reducimos la escala: 1 unidad = 1 celda (dibujo de la derecha). Es raro, pero sucede que hay que reducir (o aumentar) aún más la escala del dibujo.

NO HAY NECESIDAD de “ametrallar”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Para plano de coordenadas No es un monumento a Descartes, y el estudiante no es una paloma. ponemos cero Y dos unidades a lo largo de los ejes. A veces en lugar de unidades, es conveniente "marcar" otros valores, por ejemplo, "dos" en el eje de abscisas y "tres" en el eje de ordenadas, y este sistema (0, 2 y 3) también definirá de forma única la cuadrícula de coordenadas.

Es mejor estimar las dimensiones estimadas del dibujo ANTES de construirlo.. Entonces, por ejemplo, si la tarea requiere dibujar un triángulo con vértices , , , entonces está completamente claro que la escala popular de 1 unidad = 2 celdas no funcionará. ¿Por qué? Veamos el punto: aquí tendrás que medir quince centímetros hacia abajo y, obviamente, el dibujo no cabe (o apenas cabe) en una hoja de cuaderno. Por lo tanto, seleccionamos inmediatamente una escala más pequeña: 1 unidad = 1 celda.

Por cierto, unos centímetros y celdas de cuaderno. ¿Es cierto que 30 celdas de un cuaderno contienen 15 centímetros? Para divertirte, mide 15 centímetros en tu cuaderno con una regla. En la URSS, esto pudo haber sido cierto... Es interesante notar que si mides estos mismos centímetros horizontal y verticalmente, ¡los resultados (en las celdas) serán diferentes! Estrictamente hablando, los cuadernos modernos no son a cuadros, sino rectangulares. Esto puede parecer una tontería, pero dibujar, por ejemplo, un círculo con un círculo en tales situaciones es muy inconveniente. Para ser honesto, en esos momentos uno comienza a pensar en la razón del camarada Stalin, quien fue enviado a campos para realizar trabajos de piratería en la producción, sin mencionar la industria automotriz nacional, los aviones que caen o las explosiones de centrales eléctricas.

Hablando de calidad, o breve recomendación para papelería. Hoy en día, la mayoría de los portátiles a la venta son, por decir lo mínimo, una completa basura. ¡Porque se mojan, y no solo con los bolígrafos de gel, sino también con los bolígrafos! Ahorran dinero en papel. Para registrarse pruebas Recomiendo utilizar cuadernos de la fábrica de pulpa y papel de Arkhangelsk (18 hojas, cuadrícula) o “Pyaterochka”, aunque es más caro. Es recomendable elegir un bolígrafo de gel; incluso el recambio de gel chino más barato es mucho mejor que un bolígrafo, que mancha o rasga el papel. El único bolígrafo “competitivo” que recuerdo es el Erich Krause. Escribe de forma clara, hermosa y coherente, ya sea con la esencia llena o casi vacía.

Además: Ver un sistema de coordenadas rectangular con los ojos. geometría analítica cubierto en el artículo Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores, información detallada sobre los cuartos de coordenadas se puede encontrar en el segundo párrafo de la lección Desigualdades lineales.

caso 3D

Es casi lo mismo aquí.

1) Dibujar ejes de coordenadas. Estándar: aplicar eje – dirigido hacia arriba, eje – dirigido hacia la derecha, eje – dirigido hacia abajo hacia la izquierda estrictamente en un ángulo de 45 grados.

2) Etiquete los ejes.

3) Establezca la escala a lo largo de los ejes. La escala a lo largo del eje es dos veces menor que la escala a lo largo de los otros ejes.. También tenga en cuenta que en el dibujo de la derecha utilicé una "muesca" no estándar a lo largo del eje. (esta posibilidad ya ha sido mencionada anteriormente). Desde mi punto de vista, esto es más preciso, más rápido y más agradable desde el punto de vista estético: no es necesario buscar el centro de la celda con un microscopio y "esculpir" una unidad cerca del origen de las coordenadas.

Al hacer un dibujo 3D, nuevamente, dale prioridad a la escala.
1 unidad = 2 celdas (dibujo de la izquierda).

¿Para qué sirven todas estas reglas? Las reglas están hechas para romperse. Eso es lo que haré ahora. El hecho es que los dibujos posteriores del artículo los haré yo en Excel y los ejes de coordenadas se verán incorrectos desde el punto de vista. diseño correcto. Podría dibujar todos los gráficos a mano, pero en realidad da miedo dibujarlos porque Excel se resiste a dibujarlos con mucha más precisión.

Gráficas y propiedades básicas de funciones elementales.

función lineal viene dada por la ecuación. La gráfica de funciones lineales es directo. Para construir una línea recta basta con conocer dos puntos.

Ejemplo 1

Construye una gráfica de la función. Encontremos dos puntos. Es ventajoso elegir cero como uno de los puntos.

Si entonces

Tomemos otro punto, por ejemplo, 1.

Si entonces

Al completar tareas, las coordenadas de los puntos generalmente se resumen en una tabla:

Y los valores en sí se calculan de forma oral o en un borrador, una calculadora.

Se han encontrado dos puntos, hagamos el dibujo:

Al preparar un dibujo, siempre firmamos los gráficos..

Sería útil recordar casos especiales de una función lineal:

Fíjate cómo coloqué las firmas, las firmas no deben permitir discrepancias al estudiar el dibujo.. EN en este caso Era extremadamente indeseable poner una firma al lado del punto de intersección de las líneas, o en la parte inferior derecha entre los gráficos.

1) Una función lineal de la forma () se llama proporcionalidad directa. Por ejemplo, . Una gráfica de proporcionalidad directa siempre pasa por el origen. Por lo tanto, construir una línea recta se simplifica: basta con encontrar un solo punto.

2) Una ecuación de la forma especifica una línea recta paralela al eje; en particular, el eje mismo está dado por la ecuación. La gráfica de la función se construye inmediatamente, sin encontrar ningún punto. Es decir, la entrada debe entenderse de la siguiente manera: “la y siempre es igual a –4, para cualquier valor de x”.

3) Una ecuación de la forma especifica una línea recta paralela al eje; en particular, el eje mismo está dado por la ecuación. La gráfica de la función también se traza inmediatamente. La entrada debe entenderse de la siguiente manera: “x es siempre, para cualquier valor de y, igual a 1”.

Algunos preguntarán, ¿por qué recordar el sexto grado? Así es, tal vez sea así, pero a lo largo de los años de práctica he conocido a una buena docena de estudiantes que estaban desconcertados ante la tarea de construir un gráfico como o.

Construir una línea recta es la acción más común al realizar dibujos.

La línea recta se analiza en detalle en el curso de geometría analítica, y los interesados ​​pueden consultar el artículo. Ecuación de una línea recta en un plano..

Gráfica de una función cúbica cuadrática, gráfica de un polinomio

Parábola. Cronograma función cuadrática () representa una parábola. consideremos incidente famoso:

Recordemos algunas propiedades de la función.

Entonces, la solución a nuestra ecuación: – es en este punto donde se ubica el vértice de la parábola. El motivo de esto se puede encontrar en el artículo teórico sobre la derivada y la lección sobre los extremos de la función. Mientras tanto, calculemos el valor "Y" correspondiente:

Por tanto, el vértice está en el punto

Ahora encontramos otros puntos, mientras usamos descaradamente la simetría de la parábola. Cabe señalar que la función – ni siquiera es, pero, sin embargo, nadie canceló la simetría de la parábola.

En qué orden para encontrar los puntos restantes, creo que quedará claro en la mesa final:

este algoritmo En sentido figurado, las construcciones pueden denominarse "lanzadera" o principio de "ida y vuelta" con Anfisa Chejova.

Hagamos el dibujo:

De los gráficos examinados, me viene a la mente otra característica útil:

Para una función cuadrática () lo siguiente es cierto:

Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba..

Si , entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo..

Se puede obtener un conocimiento profundo sobre la curva en la lección Hipérbola y parábola.

Una parábola cúbica está dada por la función. Aquí hay un dibujo familiar de la escuela:

Enumeremos las principales propiedades de la función.

Gráfica de una función

Representa una de las ramas de una parábola. Hagamos el dibujo:

Propiedades principales de la función:

En este caso el eje es asíntota vertical para la gráfica de una hipérbola en .

Sería un GRAVE error si, al realizar un dibujo, descuidadamente permites que la gráfica se cruce con una asíntota.

También los límites unilaterales nos dicen que la hipérbola no limitado desde arriba Y no limitado desde abajo.

Examinemos la función en el infinito: , es decir, si comenzamos a movernos a lo largo del eje hacia la izquierda (o derecha) hasta el infinito, entonces los “juegos” estarán en un paso ordenado. infinitamente cerca acercarse a cero y, en consecuencia, las ramas de la hipérbola infinitamente cerca acercarse al eje.

Entonces el eje es asíntota horizontal para la gráfica de una función, si “x” tiende a más o menos infinito.

La función es extraño, y, por tanto, la hipérbola es simétrica con respecto al origen. este hecho evidente por el dibujo, además, se verifica fácilmente analíticamente: .

La gráfica de una función de la forma () representa dos ramas de una hipérbola.

Si , entonces la hipérbola se ubica en el primer y tercer cuarto de coordenadas(ver imagen arriba).

Si , entonces la hipérbola se ubica en el segundo y cuarto cuarto de coordenadas.

El patrón indicado de residencia de la hipérbola es fácil de analizar desde el punto de vista de las transformaciones geométricas de las gráficas.

Ejemplo 3

Construye la rama derecha de la hipérbola.

Usamos el método de construcción puntual y es ventajoso seleccionar los valores para que sean divisibles por un entero:

Hagamos el dibujo:

No será difícil construir la rama izquierda de la hipérbola; la rareza de la función ayudará aquí. A grandes rasgos, en la mesa construcción punto por punto suma mentalmente un menos a cada número, coloca los puntos correspondientes y dibuja la segunda rama.

Detallado información geométrica sobre la línea considerada se puede encontrar en el artículo Hipérbola y parábola.

Gráfica de una función exponencial

En este apartado consideraré inmediatamente la función exponencial, ya que en problemas de matemáticas superiores en el 95% de los casos es la exponencial la que aparece.

Permítanme recordarles que este es un número irracional: , será necesario al construir un gráfico que, de hecho, construiré sin ceremonias. Tres puntos, quizás eso sea suficiente:

Dejemos la gráfica de la función sola por ahora, hablaremos de ella más adelante.

Propiedades principales de la función:

Los gráficos de funciones, etc., se ven fundamentalmente iguales.

Debo decir que el segundo caso ocurre con menos frecuencia en la práctica, pero ocurre, por lo que consideré necesario incluirlo en este artículo.

Gráfica de una función logarítmica

Considere una función con un logaritmo natural.
Hagamos un dibujo punto por punto:

Si ha olvidado qué es un logaritmo, consulte los libros de texto de su escuela.

Propiedades principales de la función:

Dominio de definición:

Rango de valores: .

La función no está limitada desde arriba: , aunque lentamente, pero la rama del logaritmo llega hasta el infinito.
Examinemos el comportamiento de la función cercana a cero a la derecha: . Entonces el eje es asíntota vertical para la gráfica de una función cuando “x” tiende a cero desde la derecha.

Es imperativo conocer y recordar el valor típico del logaritmo.: .

La gráfica del logaritmo en la base se ve fundamentalmente igual: , , ( logaritmo decimal a base 10), etc. Al mismo tiempo, que base más grande, más plana será la gráfica.

No consideraremos el caso, no recuerdo cuando último tiempo Construí un gráfico sobre esta base. Y el logaritmo parece ser un invitado muy raro en los problemas de matemáticas superiores.

Al final de este párrafo diré un hecho más: Función exponencial y función logarítmica.– estas son dos funciones mutuamente inversas. Si miras de cerca la gráfica del logaritmo, puedes ver que este es el mismo exponente, solo que está ubicado de manera un poco diferente.

Gráficas de funciones trigonométricas.

¿Dónde comienza el tormento trigonométrico en la escuela? Bien. Del seno

Trazamos la función

esta linea llamado sinusoide.

Déjame recordarte que “pi” es un número irracional: y en trigonometría deslumbra los ojos.

Propiedades principales de la función:

Esta función es periódico con punto. ¿Qué significa? Veamos el segmento. A la izquierda y a la derecha, exactamente la misma parte del gráfico se repite sin cesar.

Dominio de definición: , es decir, para cualquier valor de “x” existe un valor seno.

Rango de valores: . La función es limitado: , es decir, todos los "jugadores" se sientan estrictamente en el segmento.
Esto no sucede: o, más precisamente, sucede, pero estas ecuaciones no tienen solución.

1) Dominio de función y rango de función.

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores válidos. valores reales argumento incógnita(variable incógnita), para lo cual la función y = f(x) determinado. El rango de una función es el conjunto de todos los valores reales. y, que la función acepta.

EN matemáticas elementales Las funciones se estudian sólo en el conjunto de los números reales.

2) Función ceros.

La función cero es valor del argumento, en el que el valor de la función es igual a cero.

3) Intervalos de signo constante de una función.

Los intervalos de signo constante de una función son conjuntos de valores de argumentos en los que los valores de la función son solo positivos o solo negativos.

4) Monotonicidad de la función..

Una función creciente (en un cierto intervalo) es una función para la cual valor más alto el argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.

Una función decreciente (en un intervalo determinado) es una función a la que corresponde el valor mayor del argumento de este intervalo. valor más bajo funciones.

5) Función par (impar).

Una función par es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier incógnita desde el dominio de la definición la igualdad f(-x) = f(x). Cronograma incluso función

simétrico respecto al eje de ordenadas. incógnita Una función impar es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier desde el dominio de la definición la igualdad es verdadera f(-x) = -f(x) ). Cronograma

función impar.

simétrico respecto al origen. 6) Funciones limitadas e ilimitadas Una función se llama acotada si existe tal

numero positivo.

M tal que |f(x)| ≤ M para todos los valores de x. Si tal número no existe, entonces la función es ilimitada.

7) Periodicidad de la función Una función f(x) es periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x del dominio de definición de la función se cumple lo siguiente: f(x+T) = f(x). Este número más pequeño se llama período de la función. Todas las funciones trigonométricas son periódicas. (Fórmulas trigonométricas). 19. Básico

funciones elementales

, sus propiedades y gráficas. Aplicación de funciones en economía.

Funciones elementales básicas. Sus propiedades y gráficas. 1. Función lineal.

función lineal se llama función de la forma , donde x es una variable, a y b son números reales. Número A llamado pendiente recto, el

igual a tangente

el ángulo de inclinación de esta línea recta con respecto a la dirección positiva del eje x. La gráfica de una función lineal es una línea recta. Está definido por dos puntos.

Propiedades de una función lineal

1. Dominio de definición: el conjunto de todos los números reales: D(y)=R

2. El conjunto de valores es el conjunto de todos los números reales: E(y)=R

3. La función toma un valor cero cuando o.

4. La función aumenta (disminuye) en todo el dominio de definición.

Una función de la forma, donde x es una variable y los coeficientes a, b, c son números reales, se llama cuadrático

Lección y presentación sobre el tema: "Funciones de potencia. Propiedades. Gráficas"

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Funciones de potencia, dominio de definición.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Solución. La gráfica de la función $y=x^(\frac(4)(3))$ aumenta y la gráfica de la función $y=24-x$ disminuye. Chicos, ustedes y yo lo sabemos: si una función aumenta y la otra disminuye, entonces se cruzan solo en un punto, es decir, solo tenemos una solución.
Nota:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Es decir, con $x=8$ obtuvimos la igualdad correcta $16=16$, esta es la solución a nuestra ecuación.
Respuesta: $x=8$.

Ejemplo.
Grafica la función: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Solución.
La gráfica de nuestra función se obtiene de la gráfica de la función $y=x^(\frac(3)(4))$, desplazándola 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

Ejemplo. Escribe una ecuación para la tangente a la recta $y=x^(-\frac(4)(5))$ en el punto $x=1$.
Solución. La ecuación tangente está determinada por la fórmula que conocemos:
$y=f(a)+f"(a)(xa)$.
En nuestro caso $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Encontremos la derivada:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Calculemos:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Encontremos la ecuación tangente:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Respuesta: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Problemas para resolver de forma independiente.

Proporciona datos de referencia sobre la función exponencial: propiedades básicas, gráficos y fórmulas. Consideró las siguientes preguntas: dominio de definición, conjunto de valores, monotonicidad, función inversa, derivada, integral, expansión en serie de potencias y representación mediante números complejos.

Definición

función exponencial es una generalización del producto de n números iguales a a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
al conjunto de los números reales x:
y (x) = hacha.
Aqui esta arreglado numero real que se llama base de la función exponencial.
Una función exponencial con base a también se llama exponente a base a.

La generalización se realiza de la siguiente manera.
Para x naturales = 1, 2, 3,... , la función exponencial es el producto de x factores:
.
Además, tiene propiedades (1.5-8) (), que se derivan de las reglas para multiplicar números. en cero y valores negativos números enteros, la función exponencial se determina usando las fórmulas (1.9-10). En valores fraccionarios x = m/n numeros racionales, , está determinado por la fórmula (1.11). Para reales, la función exponencial se define como límite de secuencia:
,
donde es una secuencia arbitraria de números racionales que convergen a x: .
Con esta definición, la función exponencial está definida para todo , y satisface las propiedades (1.5-8), como para x natural.

Estricto formulación matemática Las definiciones de una función exponencial y la prueba de sus propiedades se dan en la página “Definición y prueba de las propiedades de una función exponencial”.

Propiedades de la función exponencial

La función exponencial y = a x tiene siguientes propiedades sobre el conjunto de los números reales ():
(1.1) definido y continuo, para , para todos ;
(1.2) por un ≠ 1 tiene muchos significados;
(1.3) aumenta estrictamente en , disminuye estrictamente en ,
es constante en ;
(1.4) en ;
en ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Otras fórmulas útiles.
.
Fórmula para convertir a una función exponencial con una base de exponente diferente:

Cuando b = e, obtenemos la expresión de la función exponencial mediante la exponencial:

Valores privados

, , , , .

La figura muestra gráficas de la función exponencial.
y (x) = hacha
por cuatro valores bases de grado: un = 2 , un = 8 , un = 1/2 y un = 1/8 . 1 Se puede observar que para un > 0 < a < 1 la función exponencial aumenta monótonamente. Cuanto mayor sea la base del grado a, más fuerte será el crecimiento. En la función exponencial disminuye monótonamente. Cómo menos indicador

grado a, más fuerte es la disminución.

Ascendente, descendente

y =

función inversa

La inversa de una función exponencial con base a es el logaritmo en base a.
.
Si entonces
.

Si entonces

Derivación de una función exponencial Para diferenciar una función exponencial se debe reducir su base al número e, aplicar la tabla de derivadas y la regla de diferenciación.

función compleja
Para hacer esto necesitas usar la propiedad de los logaritmos.
.

y la fórmula de la tabla de derivadas:
.
Sea una función exponencial:

Lo llevamos a la base e:

Apliquemos la regla de diferenciación de funciones complejas. Para ello introduzca la variable

Entonces
.
De la tabla de derivadas tenemos (reemplace la variable x con z):
.
Como es una constante, la derivada de z con respecto a x es igual a
.

Según la regla de derivación de una función compleja:

.
Derivada de una función exponencial
.
Derivada de enésimo orden:

Derivando fórmulas > > >

Un ejemplo de derivación de una función exponencial.
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = Encuentra la derivada de una función.

3 5x

Solución
Expresemos la base de la función exponencial a través del número e.
Apliquemos la regla de diferenciación de funciones complejas. Para ello introduzca la variable
.
3 = e en 3
.
Apliquemos la regla de diferenciación de funciones complejas. Para ello introduzca la variable

Introduce una variable
.
De la tabla de derivadas encontramos: Desde 5ln 3
.
es una constante, entonces la derivada de z con respecto a x es igual a:
.

Según la regla de derivación de una función compleja, tenemos:

Respuesta

Integral

Expresiones usando números complejos Considere la función numero complejo:
z F
(z) = a z 2 = - 1 .
donde z = x + iy;
i
Apliquemos la regla de diferenciación de funciones complejas. Para ello introduzca la variable


.
El argumento φ no está definido de forma única. EN vista general
φ = φ 0 + 2 πn,
donde n es un número entero. Por lo tanto la función f (z) Tampoco está claro. A menudo se considera su significado principal.
.

Expansión de la serie

.

Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.