¿Cuál es el coseno de x? Fórmulas básicas de trigonometría.

En este artículo echaremos un vistazo completo. Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una conexión entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través de otra conocida.

Enumeremos inmediatamente las principales identidades trigonométricas que analizaremos en este artículo. Anotémoslos en una tabla y, a continuación, daremos el resultado de estas fórmulas y brindaremos las explicaciones necesarias.

Navegación de páginas.

Relación entre seno y coseno de un ángulo

A veces no hablan de las principales identidades trigonométricas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola. identidad trigonométrica básica amable . La explicación de este hecho es bastante simple: las igualdades se obtienen a partir de la identidad trigonométrica principal después de dividir ambas partes por y, respectivamente, y las igualdades Y se desprende de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos de esto con más detalle en los siguientes párrafos.

Eso es, interés especial representa precisamente la igualdad, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica principal.

Antes de demostrar la identidad trigonométrica básica, demos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo.

La identidad trigonométrica básica se utiliza muy a menudo cuando transformación expresiones trigonométricas . Permite sustituir por uno la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo. No menos a menudo se utiliza la identidad trigonométrica básica en orden inverso: unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y coseno de cualquier ángulo.

Tangente y cotangente mediante seno y coseno

Identidades que conectan tangente y cotangente con seno y coseno de un ángulo de visión y se sigue inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada de y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la relación entre la ordenada y la abscisa, es decir, , y la cotangente es la relación entre la abscisa y la ordenada, es decir, .

Gracias a tal obviedad de las identidades y La tangente y la cotangente a menudo no se definen mediante la relación de abscisas y ordenadas, sino mediante la relación de seno y coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón entre el seno y el coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón entre el coseno y el seno.

Como conclusión de este párrafo, cabe señalar que las identidades y tienen lugar para todos los ángulos en los que las funciones trigonométricas incluidas en ellos tienen sentido. Entonces la fórmula es válida para cualquier distinto de (de lo contrario, el denominador tendrá cero y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todos, diferentes de, donde z es cualquiera.

Relación entre tangente y cotangente

Aún más obvio identidad trigonométrica que los dos anteriores, es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma . Está claro que es válido para cualquier ángulo distinto de , de lo contrario, ni la tangente ni la cotangente no están definidas.

Prueba de la fórmula muy simple. Por definición y de dónde . La prueba podría haberse llevado a cabo de forma un poco diferente. Desde , Eso .

Entonces, la tangente y cotangente del mismo ángulo en el que tienen sentido son.

Trigonometría - sección ciencia matemática, que explora funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en la época. antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente y la India hicieron importantes contribuciones al desarrollo de esta ciencia.

Este artículo está dedicado a conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Se analizan las definiciones de las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente y cotangente. Su significado se explica e ilustra en el contexto de la geometría.

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Inicialmente, las definiciones de funciones trigonométricas cuyo argumento es un ángulo se expresaban en términos de relaciones de aspecto triángulo rectángulo.

Definiciones de funciones trigonométricas

El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.

El coseno del ángulo (cos α) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Ángulo tangente (t g α) - relación pierna opuesta al adyacente.

Ángulo cotangente (c t g α): la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

¡Estas definiciones se dan para el ángulo agudo de un triángulo rectángulo!

Pongamos una ilustración.

EN triangulo abc con ángulo recto C seno del ángulo A igual a la proporción cateto BC a la hipotenusa AB.

Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente te permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados del triángulo.

¡Importante recordar!

El rango de valores del seno y el coseno es de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de la tangente y la cotangente es la recta numérica completa, es decir, estas funciones pueden tomar cualquier valor.

Las definiciones dadas anteriormente se aplican a ángulos agudos. En trigonometría se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no se limita a 0 a 90 grados. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa mediante cualquier número real desde - ∞ hasta + ∞.

EN en este contexto Puede definir seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de tamaño arbitrario. imaginemos circulo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas cartesiano.

El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario un cierto ángulo α y va al punto A 1. La definición se da en términos de las coordenadas del punto A 1 (x, y).

Seno (pecado) del ángulo de rotación.

El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). pecado α = y

Coseno (cos) del ángulo de rotación.

El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x

Tangente (tg) del ángulo de rotación

La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t g α = y x

Cotangente (ctg) del ángulo de rotación

La cotangente del ángulo de rotación α es la relación entre la abscisa del punto A 1 (x, y) y su ordenada. c t g α = x y

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada de un punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con la tangente y la cotangente. La tangente no está definida cuando un punto después de la rotación va a un punto con abscisas cero (0, 1) y (0, - 1). En tales casos, la expresión para la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada de un punto tiende a cero.

¡Importante recordar!

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.

La tangente se define para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

La cotangente se define para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Al decidir ejemplos prácticos no digas "seno del ángulo de rotación α". Las palabras “ángulo de rotación” simplemente se omiten, lo que implica que ya queda claro por el contexto lo que se está discutiendo.

Números

¿Qué pasa si determinamos el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número, en lugar del ángulo de rotación?

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número.

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número. t es un número que es respectivamente igual a seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.

Por ejemplo, el seno del número 10 π igual al senoángulo de rotación de 10 π rad.

Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Echemos un vistazo más de cerca.

Alguien Número Real t un punto en el círculo unitario está asociado con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano rectangular. El seno, el coseno, la tangente y la cotangente se determinan a través de las coordenadas de este punto.

El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).

Numero positivo t

Numero negativo t corresponde al punto al que irá el punto de partida si se mueve alrededor del círculo en sentido antihorario y seguirá el camino t.

Ahora que se ha establecido la conexión entre un número y un punto en un círculo, pasamos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno (pecado) de t

Seno de un número t- ordenada de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. pecado t = y

Coseno (cos) de t

coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x

Tangente (tg) de t

tangente de un numero t- la relación entre la ordenada y la abscisa de un punto en el círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t

Las últimas definiciones están de acuerdo con y no contradicen la definición dada al principio de este párrafo. Punto en el círculo correspondiente al número. t, coincide con el punto al que va el punto de partida después de girar un ángulo t radián.

Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico.

Cada valor del ángulo α corresponde a un determinado valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corresponden a un determinado valor de tangente. La cotangente, como se indicó anteriormente, se define para todos los α excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Podemos decir que sin α, cos α, t g α, c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.

De manera similar, podemos hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones de un argumento numérico. cada número real t corresponde a un cierto valor del seno o coseno de un número t. Todos los números distintos de π 2 + π · k, k ∈ Z, corresponden a un valor tangente. La cotangente, de manera similar, se define para todos los números excepto π · k, k ∈ Z.

Funciones básicas de trigonometría.

El seno, el coseno, la tangente y la cotangente son las funciones trigonométricas básicas.

Por lo general, del contexto queda claro qué argumento de la función trigonométrica ( argumento del ángulo o argumento numérico) Estamos tratando con.

Volvamos a las definiciones dadas al principio y al ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Definiciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente son completamente consistentes con definiciones geométricas, dado usando las relaciones de aspecto de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.

Tome un círculo unitario con centro en un rectángulo sistema cartesiano coordenadas Giremos el punto inicial A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibujemos una perpendicular al eje de abscisas desde el punto resultante A 1 (x, y). En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H igual al ángulo gire α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y). La longitud del cateto opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.

De acuerdo con la definición de geometría, el seno del ángulo α es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Esto significa que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.

De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.

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La solución más sencilla ecuaciones trigonométricas.

Resolver ecuaciones trigonométricas de cualquier nivel de complejidad se reduce en última instancia a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples. y en esto mejor ayudante nuevamente resulta ser un círculo trigonométrico.

Recordemos las definiciones de coseno y seno.

El coseno de un ángulo es la abscisa (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a una rotación a través de un ángulo dado.

El seno de un ángulo es la ordenada (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a una rotación a través de un ángulo dado.

Dirección positiva del movimiento a lo largo círculo trigonométrico Se considera el movimiento en sentido antihorario. Una rotación de 0 grados (o 0 radianes) corresponde a un punto con coordenadas (1;0)

Usamos estas definiciones para resolver ecuaciones trigonométricas simples.

1. Resuelve la ecuación

Esta ecuación se satisface con todos los valores del ángulo de rotación que corresponden a puntos del círculo cuya ordenada es igual a .

Marquemos un punto con ordenada en el eje de ordenadas:

llevemos a cabo linea horizontal paralelo al eje x hasta que se cruza con el círculo. Obtenemos dos puntos que se encuentran en el círculo y que tienen una ordenada. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación en y radianes:

Si salimos del punto correspondiente al ángulo de giro en radianes, damos la vuelta círculo completo, entonces llegaremos a un punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes y que tiene la misma ordenada. Es decir, este ángulo de rotación también satisface nuestra ecuación. Podemos hacer tantas revoluciones “inactivas” como queramos, volviendo al mismo punto, y todos estos valores de ángulos satisfarán nuestra ecuación. El número de revoluciones "inactivas" se indicará con la letra (o). Puesto que podemos hacer estas revoluciones tanto en positivo como en dirección negativa, (o ) puede tomar cualquier valor entero.

Es decir, la primera serie de soluciones. ecuación original tiene la forma:

, , - conjunto de números enteros (1)

De manera similar, la segunda serie de soluciones tiene la forma:

, Dónde , . (2)

Como habrás adivinado, esta serie de soluciones se basa en el punto del círculo correspondiente al ángulo de rotación de .

Estas dos series de soluciones se pueden combinar en una sola entrada:

Si tomamos (es decir, incluso) en esta entrada, obtendremos la primera serie de soluciones.

Si tomamos (es decir, impar) en esta entrada, obtenemos la segunda serie de soluciones.

2. Ahora resolvamos la ecuación.

Como esta es la abscisa de un punto del círculo unitario obtenido al rotar un ángulo, marcamos el punto con la abscisa en el eje:

llevemos a cabo linea vertical paralelo al eje hasta que se cruza con el círculo. Obtendremos dos puntos que se encuentran en el círculo y tienen una abscisa. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación en y radianes. Recordemos que al movernos en el sentido de las agujas del reloj obtenemos un ángulo de rotación negativo:

Anotemos dos series de soluciones:

,

,

(Llegamos al punto deseado yendo desde el círculo completo principal, es decir.

Combinemos estas dos series en una sola entrada:

3. Resuelve la ecuación

La recta tangente pasa por el punto de coordenadas (1,0) del círculo unitario paralelo al eje OY

Marquemos un punto con una ordenada igual a 1 (buscamos la tangente de qué ángulos es igual a 1):

Conectemos este punto al origen de coordenadas con una línea recta y marquemos los puntos de intersección de la línea con el círculo unitario. Los puntos de intersección de la línea recta y el círculo corresponden a los ángulos de rotación en y:

Dado que los puntos correspondientes a los ángulos de rotación que satisfacen nuestra ecuación se encuentran a una distancia de radianes entre sí, podemos escribir la solución de esta manera:

4. Resuelve la ecuación

La recta de cotangentes pasa por el punto cuyas coordenadas del círculo unitario son paralelas al eje.

Marquemos un punto con abscisa -1 en la recta cotangente:

Conectemos este punto con el origen de la línea recta y continúemos hasta que se cruce con el círculo. Esta línea recta cruzará el círculo en puntos correspondientes a los ángulos de rotación en y radianes:

Dado que estos puntos están separados entre sí por una distancia igual a , entonces decisión común Podemos escribir esta ecuación así:

En los ejemplos dados que ilustran la solución de las ecuaciones trigonométricas más simples, utilizamos valores de la tabla funciones trigonométricas.

Sin embargo, si el lado derecho de la ecuación contiene un valor no tabular, entonces sustituimos el valor en la solución general de la ecuación:

SOLUCIONES ESPECIALES:

Marquemos los puntos de la circunferencia cuya ordenada es 0:

Marquemos un solo punto en la circunferencia cuya ordenada es 1:

Marquemos un solo punto en el círculo cuya ordenada es igual a -1:

Como se acostumbra indicar valores más cercanos a cero, escribimos la solución de la siguiente manera:

Marquemos los puntos de la circunferencia cuya abscisa es igual a 0:

5.
Marquemos un solo punto en la circunferencia cuya abscisa sea igual a 1:

Marquemos un único punto en la circunferencia cuya abscisa sea igual a -1:

Y ejemplos un poco más complejos:

1.

Seno igual a uno, si el argumento es igual

El argumento de nuestro seno es igual, entonces obtenemos:

Divide ambos lados de la igualdad entre 3:

Respuesta:

2.

Coseno igual a cero, si el argumento coseno es igual a

El argumento de nuestro coseno es igual a , entonces obtenemos:

Expresemos , para ello primero nos desplazamos hacia la derecha con el signo contrario:

Simplifiquemos el lado derecho:

Divide ambos lados por -2:

Tenga en cuenta que el signo delante del término no cambia, ya que k puede tomar cualquier valor entero.

Respuesta:

Y finalmente, mira el video tutorial “Seleccionar raíces en una ecuación trigonométrica usando círculo trigonométrico"

Con esto concluye nuestra conversación sobre la resolución de ecuaciones trigonométricas simples. La próxima vez hablaremos de cómo decidir.

Los conceptos de seno (), coseno (), tangente (), cotangente () están indisolublemente ligados al concepto de ángulo. Para entender bien estos, a primera vista, conceptos complejos(que provocan un estado de horror en muchos escolares), y para asegurarnos de que "el diablo no da tanto miedo como lo pintan", comencemos desde el principio y comprendamos el concepto de ángulo.

Concepto de ángulo: radianes, grados

Miremos la foto. El vector ha "girado" con respecto al punto en una cierta cantidad. Entonces la medida de esta rotación con respecto a la posición inicial será esquina.

¿Qué más necesitas saber sobre el concepto de ángulo? Bueno, por supuesto, ¡unidades angulares!

El ángulo, tanto en geometría como en trigonometría, se puede medir en grados y radianes.

Un ángulo de (un grado) se llama ángulo central en un círculo, basándose en un arco circular igual a parte del círculo. Por tanto, todo el círculo consta de "trozos" de arcos circulares, o el ángulo descrito por el círculo es igual.

Es decir, la figura de arriba muestra un ángulo igual a, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular del tamaño de la circunferencia.

Un ángulo en radianes es el ángulo central de un círculo subtendido por un arco circular cuya longitud es igual al radio del círculo. Bueno, ¿lo descubriste? Si no, averigüémoslo a partir del dibujo.

Entonces, la figura muestra un ángulo igual a un radian, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo (la longitud es igual a la longitud o radio igual a la longitud arcos). Por tanto, la longitud del arco se calcula mediante la fórmula:

¿Dónde está el ángulo central en radianes?

Bueno, sabiendo esto, ¿puedes responder cuántos radianes contiene el ángulo que describe el círculo? Sí, para ello es necesario recordar la fórmula de la circunferencia. Aqui esta ella:

Bueno, ahora correlacionemos estas dos fórmulas y encontremos que el ángulo descrito por el círculo es igual. Es decir, correlacionando el valor en grados y radianes, lo obtenemos. Respectivamente, . Como puede ver, a diferencia de "grados", se omite la palabra "radianes", ya que la unidad de medida suele quedar clara en el contexto.

¿Cuantos radianes hay? ¡Así es!

¿Entiendo? Luego continúa y solucionalo:

¿Tiene dificultades? Entonces mira respuestas:

Triángulo rectángulo: seno, coseno, tangente, cotangente del ángulo

Entonces, descubrimos el concepto de ángulo. Pero ¿qué es el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo? Vamos a resolverlo. Para ello nos ayudará un triángulo rectángulo.

¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, hipotenusa y catetos: la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto (en nuestro ejemplo este es el lado); Las patas son los dos lados restantes y (los adyacentes a ángulo recto), y, si consideramos los catetos en relación con el ángulo, entonces el cateto es el cateto adyacente y el cateto es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?

Seno de ángulo- esta es la relación entre el cateto opuesto (distante) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo.

coseno de ángulo- esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo.

tangente del ángulo- esta es la relación entre el lado opuesto (distante) y el adyacente (cercano).

En nuestro triángulo.

Cotangente de ángulo- esta es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y el opuesto (lejos).

En nuestro triángulo.

Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir en qué, debe comprender claramente que en tangente Y cotangente solo las piernas se sientan y la hipotenusa aparece solo en seno Y coseno. Y luego puedes crear una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:

Coseno→toque→toque→adyacente;

Cotangente→toque→toque→adyacente.

En primer lugar, debes recordar que el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como proporciones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en el mismo ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrate mirando la imagen:

Consideremos, por ejemplo, el coseno de un ángulo. Por definición, de un triángulo: , pero podemos calcular el coseno de un ángulo a partir de un triángulo: . Verás, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Así, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.

Si comprende las definiciones, ¡adelante y consolidelas!

Para el triángulo que se muestra en la siguiente figura, encontramos.

Bueno, ¿lo entendiste? Entonces pruébalo tú mismo: calcula lo mismo para el ángulo.

Círculo unitario (trigonométrico)

Entendiendo los conceptos de grados y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a. Tal círculo se llama soltero. Te será muy útil a la hora de estudiar trigonometría. Por tanto, veámoslo con un poco más de detalle.

Como se puede ver, círculo dado construido en un sistema de coordenadas cartesiano. El radio del círculo es igual a uno y el centro del círculo se encuentra en el origen, posición inicial El vector de radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje (en nuestro ejemplo, este es el radio).

Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada del eje y la coordenada del eje. ¿Cuáles son estos números de coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema que nos ocupa? Para hacer esto, debemos recordar el triángulo rectángulo considerado. En la figura de arriba, puedes ver dos triángulos rectángulos completos. Considere un triángulo. Es rectangular porque es perpendicular al eje.

¿A qué es igual el triángulo? Así es. Además, sabemos que es el radio del círculo unitario, lo que significa. Sustituyamos este valor en nuestra fórmula del coseno. Esto es lo que sucede:

¿A qué es igual el triángulo? Bueno, ¡por supuesto! Sustituya el valor del radio en esta fórmula y obtenga:

Entonces, ¿puedes decir qué coordenadas tiene un punto que pertenece a un círculo? Bueno, ¿de ninguna manera? ¿Qué pasa si te das cuenta de eso y son sólo números? ¿A qué coordenada corresponde? Bueno, por supuesto, ¡las coordenadas! ¿Y a qué coordenada corresponde? Así es, ¡coordenadas! Así, punto.

¿A qué son entonces e iguales? Así es, usemos las definiciones correspondientes de tangente y cotangente y obtengamos eso, a.

¿Qué pasa si el ángulo es mayor? Por ejemplo, como en esta imagen:

¿Qué ha cambiado en en este ejemplo? Vamos a resolverlo. Para hacer esto, volvamos nuevamente a un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo: ángulo (como adyacente a un ángulo). ¿Cuáles son los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:

Bueno, como puedes ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada; el valor del coseno del ángulo - la coordenada; y los valores de tangente y cotangente a las razones correspondientes. Por tanto, estas relaciones se aplican a cualquier rotación del vector radio.

Ya se ha mencionado que la posición inicial del radio vector es a lo largo de la dirección positiva del eje. Hasta ahora hemos rotado este vector en el sentido contrario a las agujas del reloj, pero ¿qué pasa si lo rotamos en el sentido de las agujas del reloj? Nada extraordinario, también obtendrás un ángulo de cierto valor, pero solo será negativo. Por lo tanto, al girar el vector de radio en sentido antihorario, obtenemos ángulos positivos , y al girar en el sentido de las agujas del reloj - negativo.

Entonces, sabemos que una revolución completa del vector radio alrededor de un círculo es o. ¿Es posible rotar el vector de radio hacia o hacia? ¡Bueno, por supuesto que puedes! En el primer caso, por lo tanto, el vector radio formará uno vuelta completa y se detiene en la posición o.

En el segundo caso, es decir, el vector radio realizará tres revoluciones completas y se detendrá en la posición o.

Por lo tanto, de los ejemplos anteriores podemos concluir que los ángulos que difieren en o (donde es cualquier número entero) corresponden a la misma posición del vector de radio.

La siguiente figura muestra un ángulo. La misma imagen corresponde a la esquina, etc. Esta lista puede continuar indefinidamente. Todos estos ángulos se pueden escribir mediante la fórmula general o (donde está cualquier número entero)

Ahora bien, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y utilizando el círculo unitario, intenta responder cuáles son los valores:

Aquí tienes un círculo unitario para ayudarte:

¿Tiene dificultades? Entonces averigüémoslo. Entonces sabemos que:

A partir de aquí determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a determinadas medidas de ángulos. Bueno, comencemos en orden: el ángulo en corresponde a un punto con coordenadas, por lo tanto:

No existe;

Además, siguiendo la misma lógica, descubrimos que las esquinas corresponden a puntos con coordenadas, respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero y luego verifique las respuestas.

Respuestas:

No existe

No existe

No existe

No existe

Así, podemos hacer la siguiente tabla:

No es necesario recordar todos estos valores. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos del círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:

Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y, dados en la siguiente tabla, debe ser recordado:

No te asustes, ahora te mostramos un ejemplo. bastante simple de recordar los valores correspondientes:

Para utilizar este método, es vital recordar los valores del seno para las tres medidas del ángulo (), así como el valor de la tangente del ángulo. Conociendo estos valores, es bastante sencillo restaurar toda la tabla: los valores del coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:

Sabiendo esto, puedes restaurar los valores de. El numerador " " coincidirá y el denominador " " coincidirá. Los valores cotangentes se transfieren de acuerdo con las flechas indicadas en la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con las flechas, será suficiente recordar todos los valores de la tabla.

Coordenadas de un punto en un círculo.

¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo? conocer las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación?

¡Bueno, por supuesto que puedes! vamos a sacarlo formula general encontrar las coordenadas de un punto.

Por ejemplo, aquí hay un círculo frente a nosotros:

Se nos da que el punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas de un punto obtenidas girando el punto en grados.

Como puede verse en la figura, la coordenada del punto corresponde a la longitud del segmento. La longitud del segmento corresponde a la coordenada del centro del círculo, es decir, es igual. La longitud de un segmento se puede expresar utilizando la definición de coseno:

Luego tenemos eso para la coordenada del punto.

Usando la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto. De este modo,

Entonces, en vista general Las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:

Coordenadas del centro del círculo,

Radio del círculo,

El ángulo de rotación del radio vectorial.

Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son cero y el radio es uno:

Bueno, probemos estas fórmulas practicando cómo encontrar puntos en un círculo.

1. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.

2. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.

3. Encuentre las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenido al rotar el punto.

4. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el vector de radio inicial.

5. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es igual. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenido al rotar el vector de radio inicial.

¿Tiene problemas para encontrar las coordenadas de un punto en un círculo?

Resuelve estos cinco ejemplos (o mejora resolviendolos) ¡y aprenderás a encontrarlos!

1.

Puedes notarlo. Pero sabemos lo que corresponde a una revolución completa. punto de partida. De esta forma, el punto deseado quedará en la misma posición que al girar. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas requeridas del punto:

2. El círculo unitario está centrado en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Puedes notarlo. Sabemos lo que corresponde a dos revoluciones completas del punto de partida. Así, el punto deseado quedará en la misma posición que al girar. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas requeridas del punto:

El seno y el coseno son valores de tabla. Recordamos sus significados y obtenemos:

Por tanto, el punto deseado tiene coordenadas.

3. El círculo unitario está centrado en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Puedes notarlo. Representemos el ejemplo en cuestión en la figura:

El radio forma ángulos iguales a y con el eje. Sabiendo que los valores de la tabla de coseno y seno son iguales, y habiendo determinado que el coseno aquí toma significado negativo, y el seno es positivo, tenemos:

Más detalles ejemplos similares se entienden al estudiar fórmulas para reducir funciones trigonométricas en el tema.

Por tanto, el punto deseado tiene coordenadas.

4.

Ángulo de rotación del radio del vector (por condición)

Para determinar los signos correspondientes del seno y el coseno, construimos un círculo unitario y un ángulo:

Como puede ver, el valor es positivo y el valor es negativo. Conociendo los valores tabulares de las funciones trigonométricas correspondientes, obtenemos que:

Sustituyamos los valores obtenidos en nuestra fórmula y encontremos las coordenadas:

Por tanto, el punto deseado tiene coordenadas.

5. Para resolver este problema utilizamos fórmulas en forma general, donde

Coordenadas del centro del círculo (en nuestro ejemplo,

Radio del círculo (por condición)

Ángulo de rotación del radio del vector (por condición).

Sustituyamos todos los valores en la fórmula y obtenemos:

y - valores de la tabla. Recordémoslos y sustitúyelos en la fórmula:

Por tanto, el punto deseado tiene coordenadas.

RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (lejano) y la hipotenusa.

El coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.

La tangente de un ángulo es la relación entre el lado opuesto (lejos) y el lado adyacente (cercano).

La cotangente de un ángulo es la relación entre el lado adyacente (cercano) y el lado opuesto (lejos).

Ejemplos:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

Argumento y significado

Coseno de un ángulo agudo

Coseno de un ángulo agudo se puede determinar usando un triángulo rectángulo: es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Ejemplo :

1) Sea un ángulo dado y necesitamos determinar el coseno de este ángulo.

2) Completemos cualquier triángulo rectángulo en este ángulo.

3) Habiendo medido, fiestas necesarias, podemos calcular el coseno.

coseno de un numero

El círculo numérico te permite determinar el coseno de cualquier número, pero normalmente encuentras el coseno de los números relacionado de alguna manera con: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Por ejemplo, para el número \(\frac(π)(6)\) - el coseno será igual a \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Y para el número \(-\)\(\frac(3π)(4)\) será igual a \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (aproximadamente \ (-0,71\)).

Para conocer el coseno de otros números que se encuentran a menudo en la práctica, consulte.

El valor del coseno siempre se encuentra en el rango de \(-1\) a \(1\). En este caso, el coseno se puede calcular para absolutamente cualquier ángulo y número.

Coseno de cualquier ángulo

Gracias al círculo numérico, puedes determinar el coseno no solo de un ángulo agudo, sino también de uno obtuso, negativo e incluso mayor que \(360°\) (revolución completa). Cómo hacer esto es más fácil de ver una vez que de escuchar \(100\) veces, así que mira la imagen.

Ahora una explicación: supongamos que necesitamos determinar el coseno del ángulo. koa Con medida de grado en \(150°\). Combinando el punto ACERCA DE con el centro del círculo y el lado DE ACUERDO– con el eje \(x\). Después de esto, reserve \(150°\) en sentido antihorario. Entonces la ordenada del punto A nos mostrará el coseno de este ángulo.

Si nos interesa un ángulo con medida en grados, por ejemplo, en \(-60°\) (ángulo KOV), haga lo mismo, pero establezca \(60°\) en el sentido de las agujas del reloj.

Y finalmente, el ángulo es mayor que \(360°\) (ángulo CBS) - todo es similar al estúpido, solo que después de dar una vuelta completa en el sentido de las agujas del reloj, pasamos al segundo círculo y “obtenemos la falta de grados”. Específicamente, en nuestro caso, el ángulo \(405°\) se representa como \(360° + 45°\).

Es fácil adivinar que para trazar un ángulo, por ejemplo, en \(960°\), necesitas hacer dos giros (\(360°+360°+240°\)), y para un ángulo en \(2640 °\) - siete enteros.

¿Cómo podrías reemplazar tanto el coseno de un número como el coseno? ángulo arbitrario se define casi idénticamente. Sólo cambia la forma en que se encuentra el punto en el círculo.

Signos de coseno por cuartos

Usando el eje del coseno (es decir, el eje de abscisas resaltado en rojo en la figura), es fácil determinar los signos de los cosenos a lo largo del círculo numérico (trigonométrico):

Donde los valores en el eje son de \(0\) a \(1\), el coseno tendrá un signo más (I y IV cuartos - área verde),
- donde los valores en el eje van de \(0\) a \(-1\), el coseno tendrá un signo menos (II y III cuartos - área morada).

Relación con otras funciones trigonométricas:

Solución de la ecuación \(\cos⁡x=a\)

La solución a la ecuación \(\cos⁡x=a\), donde \(a\) es un número no mayor que \(1\) ni menor que \(-1\), es decir \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Si \(a>1\) o \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Resolvamos la ecuación usando el círculo numérico. Para esto:
1) Construyamos los ejes.
2) Construyamos un círculo.
3) En el eje coseno (eje \(y\)) marque el punto \(\frac(1)(2)\).
4) Traza una perpendicular al eje coseno que pasa por este punto.
5) Marcar los puntos de intersección de la perpendicular y el círculo.
6) Firmemos los valores de estos puntos: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Anotemos todos los valores correspondientes a estos puntos usando la fórmula \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Respuesta: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Función \(y=\cos(x)\)

Si trazamos los ángulos en radianes a lo largo del eje \(x\), y los valores del coseno correspondientes a estos ángulos a lo largo del eje \(y\), obtenemos la siguiente gráfica:

Este gráfico se llama y tiene las siguientes propiedades:

El dominio de definición es cualquier valor de x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- rango de valores – desde \(-1\) hasta \(1\) inclusive: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- incluso: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periódico con período \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- puntos de intersección con ejes de coordenadas:
Eje de abscisas: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), donde \(n ϵ Z\)
Eje Y: \((0;1)\)
- intervalos de constancia de signo:
la función es positiva en los intervalos: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), donde \(n ϵ Z\)
la función es negativa en los intervalos: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), donde \(n ϵ Z\)
- intervalos de aumento y disminución:
la función aumenta en los intervalos: \((π+2πn;2π+2πn)\), donde \(n ϵ Z\)
la función disminuye en los intervalos: \((2πn;π+2πn)\), donde \(n ϵ Z\)
- máximos y mínimos de la función:
la función tiene un valor máximo \(y=1\) en los puntos \(x=2πn\), donde \(n ϵ Z\)
la función tiene un valor mínimo \(y=-1\) en los puntos \(x=π+2πn\), donde \(n ϵ Z\).