¿Cuál es la altura de un cono? Cono (figura geométrica)

Se obtiene combinando todos los rayos que emanan de un punto ( picos cono) y pasando a través de una superficie plana. A veces, un cono es parte de dicho cuerpo y se obtiene combinando todos los segmentos que conectan el vértice y los puntos. superficie plana(este último en este caso se llama base cono, y el cono se llama propensión sobre esta base). Este es el caso que se considerará a continuación, salvo que se indique lo contrario. Si la base del cono es un polígono, el cono se convierte en una pirámide.

"== Definiciones relacionadas ==

• El segmento que une el vértice y el límite de la base se llama generatriz del cono.
• La unión de los generadores de un cono se llama generatriz(o lado) superficie del cono. La superficie de formación del cono es una superficie cónica.
• Un segmento que cae perpendicularmente desde el vértice al plano de la base (así como la longitud de dicho segmento) se llama altura del cono.
• Si la base del cono tiene un centro de simetría (por ejemplo, es un círculo o una elipse) y proyección ortográfica el vértice del cono en el plano de la base coincide con este centro, entonces el cono se llama directo. En este caso, la línea recta que conecta la parte superior y el centro de la base se llama eje del cono.
• Oblicuo (inclinado) cono: un cono cuya proyección ortogonal del vértice sobre la base no coincide con su centro de simetría.
• Cono circular- un cono cuya base es un círculo.
• Cono circular recto(a menudo llamado simplemente cono) se puede obtener girando un triángulo rectángulo alrededor de una línea que contiene el cateto (esta línea representa el eje del cono).
• Un cono que descansa sobre una elipse, parábola o hipérbola se llama respectivamente elíptico, parabólico Y cono hiperbólico(los dos últimos tienen volumen infinito).
• La parte del cono que se encuentra entre la base y el plano. paralelo a la base y ubicado entre la parte superior y la base se llama cono truncado.

Propiedades

• Si el área de la base es finita, entonces el volumen del cono también es finito e igual a un tercio del producto de la altura por el área de la base. Por tanto, todos los conos que descansan sobre una base determinada y que tienen un vértice ubicado en un plano determinado paralelo a la base tienen igual volumen, ya que sus alturas son iguales.
• El centro de gravedad de cualquier cono de volumen finito se encuentra a un cuarto de la altura desde la base.
• El ángulo sólido en el vértice de un cono circular recto es igual a

• El área de la superficie lateral de dicho cono es igual a

• El volumen de un cono circular es igual a

• La intersección de un plano con un cono circular recto es una de las secciones cónicas (en casos no degenerados, una elipse, parábola o hipérbola, según la posición del plano de corte).

Generalizaciones

En geometría algebraica cono es un subconjunto arbitrario espacio vectorial sobre el campo para el cual para cualquier

Ver también

• Cono (topología)

Fundación Wikimedia.

2010.

Vea qué es "Cono (figura geométrica)" en otros diccionarios: Cono: En matemáticas Cono figura geométrica

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, sobre el tamaño, la forma y el campo gravitacional de la Tierra y otros planetas. Esta es una rama de las matemáticas aplicadas, muy relacionada con la geometría,... ...
Definiciones:
Definición 1. Cono
Definición 2. Cono circular
Definición 3. Altura del cono
Definición 4. Cono recto
Definición 5. Cono circular recto
Teorema 1. Generadores del cono.

Teorema 1.1. Sección axial del cono.
Volumen y área:
Teorema 2. Volumen de un cono

Teorema 3. Área de la superficie lateral de un cono
Cono Truncado:
Teorema 4. Sección paralela a la base.
Definición 6. Cono truncado
Teorema 5. Volumen de un cono truncado

Teorema 6. Superficie lateral de un cono truncado
Definiciones Cuerpo limitado lateralmente, tomado entre su parte superior y el plano de la guía, y la base plana de la guía formada por una curva cerrada, se llama cono.

Conceptos básicos
Un cono circular es un cuerpo que consta de un círculo (base), un punto que no se encuentra en el plano de la base (vértice) y todos los segmentos que conectan el vértice con los puntos de la base.

Un cono recto es un cono cuya altura contiene el centro de la base del cono.

Considere cualquier línea (curva, quebrada o mixta) (por ejemplo, yo), situada en un determinado plano, y punto arbitrario(por ejemplo, M) que no se encuentra en este plano. Todas las líneas rectas posibles que conectan el punto M con todos los puntos de una línea dada. yo, forma superficie llamada canónica. El punto M es el vértice de dicha superficie, y línea dada yo - guía. Todas las líneas rectas que conectan el punto M con todos los puntos de la línea. yo, llamado formando. Una superficie canónica no está limitada ni por su vértice ni por su guía. Se extiende indefinidamente en ambas direcciones desde arriba. Sea ahora la guía una línea convexa cerrada. Si la guía es línea quebrada, entonces un cuerpo limitado lateralmente por una superficie canónica tomada entre su cima y el plano de la guía, y una base plana en el plano de la guía, se llama pirámide.
Si la guía es una línea curva o mixta, entonces el cuerpo delimitado a los lados por una superficie canónica tomada entre su parte superior y el plano de la guía, y una base plana en el plano de la guía, se llama cono o
Definición 1 . Un cono es un cuerpo que consta de una base: figura plana, delimitado por una línea cerrada (curva o mixta), un vértice, un punto que no se encuentra en el plano de la base, y todos los segmentos que conectan el vértice con todos los puntos posibles de la base.
Todas las rectas que pasan por el vértice del cono y cualquiera de los puntos de la curva que delimita la figura de la base del cono se denominan generadores del cono. Muy a menudo, en problemas geométricos, la generatriz de una línea recta significa un segmento de esta línea recta, encerrado entre el vértice y el plano de la base del cono.
La base de una línea mixta limitada es un caso muy raro. Se indica aquí sólo porque puede considerarse en geometría. Más a menudo se considera el caso con una guía curva. Sin embargo, tanto el caso con una curva arbitraria como el caso con una guía mixta son de poca utilidad y es difícil derivar patrones a partir de ellos. Entre los conos, el cono circular recto se estudia en el curso de geometría elemental.

Se sabe que el círculo es caso especial línea curva cerrada. Un círculo es una figura plana delimitada por un círculo. Tomando como guía el círculo, podemos definir un cono circular.
Definición 2 . Un cono circular es un cuerpo que consta de un círculo (base), un punto que no se encuentra en el plano de la base (vértice) y todos los segmentos que conectan el vértice con los puntos de la base.
Definición 3 . La altura de un cono es la perpendicular que desciende desde la parte superior hasta el plano de la base del cono. Puede seleccionar un cono cuya altura caiga en el centro de la figura plana de la base.
Definición 4 . Un cono recto es un cono cuya altura contiene el centro de la base del cono.
Si combinamos estas dos definiciones, obtenemos un cono cuya base es un círculo y la altura cae en el centro de este círculo.
Definición 5 . Un cono circular recto es un cono cuya base es un círculo y su altura conecta la parte superior y el centro de la base de este cono. Un cono de este tipo se obtiene girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Por tanto, un cono circular recto es un cuerpo de revolución y también se le llama cono de revolución. A menos que se indique lo contrario, por brevedad en lo que sigue decimos simplemente cono.
Aquí hay algunas propiedades del cono:
Teorema 1. Todos los generadores del cono son iguales. Prueba. La altura del MO es perpendicular a todas las rectas de la base, por definición, una recta perpendicular al plano. Por tanto, los triángulos MOA, MOB y ​​MOS son rectangulares e iguales en dos catetos (MO es el general, OA=OB=OS son los radios de la base. Por tanto, las hipotenusas, es decir, las generadoras, también son iguales.
El radio de la base del cono a veces se llama radio del cono. La altura del cono también se llama eje del cono, por lo tanto cualquier sección que pase por la altura se llama sección axial. Cualquier sección axial cruza la base en diámetro (ya que la línea recta a lo largo de la cual se cruzan la sección axial y el plano de la base pasa por el centro del círculo) y forma triangulo isósceles.
Teorema 1.1. La sección axial del cono es un triángulo isósceles. Entonces el triángulo AMB es isósceles, porque sus dos lados MB y MA son generadores. El ángulo AMB es el ángulo del vértice. sección axial.

Se obtiene un cono truncado si se corta el cono. cono más pequeño plano paralelo a la base (figura 8.10). Un cono truncado tiene dos bases: “inferior”, la base del cono original, y “superior”, la base del cono cortado. Según el teorema de la sección del cono, las bases de un cono truncado son similares. .

La altura de un cono truncado es la perpendicular trazada desde un punto de una base al plano de otra. Todas estas perpendiculares son iguales (ver sección 3.5). La altura también se llama longitud, es decir, la distancia entre los planos de las bases.

El cono de revolución truncado se obtiene del cono de revolución (figura 8.11). Por tanto, sus bases y todas sus secciones paralelas a ellas son círculos con centros en la misma recta, en el eje. Se obtiene un cono de revolución truncado girando trapezoide rectangular alrededor de su costado, perpendicular a las bases, o por rotación

trapezoide isósceles alrededor del eje de simetría (fig. 8.12).

Superficie lateral de un cono truncado de revolución.

Esta es su parte de la superficie lateral del cono de revolución del que se deriva. La superficie de un cono truncado de revolución (o su superficie completa) está formada por sus bases y su superficie lateral.

8.5. Imágenes de conos de revolución y conos de revolución truncados.

Un cono circular recto se dibuja así. Primero, dibuja una elipse que represente el círculo de la base (Fig. 8.13). Luego encuentran el centro de la base, el punto O, y dibujan un segmento vertical PO, que representa la altura del cono. Desde el punto P, dibuje líneas tangentes (de referencia) a la elipse (prácticamente esto se hace a ojo, aplicando una regla) y seleccione los segmentos RA y PB de estas líneas desde el punto P hasta los puntos de tangencia A y B. Tenga en cuenta que el segmento AB no es el diámetro del cono base y el triángulo ARV no es la sección axial del cono. La sección axial del cono es un triángulo APC: el segmento AC pasa por el punto O. Las líneas invisibles se dibujan con trazos; El segmento OP a menudo no se dibuja, sino que sólo se delinea mentalmente para representar la parte superior del cono P directamente encima del centro de la base, el punto O.

Al representar un cono de revolución truncado, es conveniente dibujar primero el cono del que se obtiene el cono truncado (figura 8.14).

8.6. Secciones cónicas. Ya lo hemos dicho superficie lateral el cilindro de rotación cruza el plano a lo largo de una elipse (sección 6.4). Además, la sección de la superficie lateral de un cono de rotación por un plano que no corta su base es una elipse (figura 8.15). Por tanto, una elipse se llama sección cónica.

Las secciones cónicas también incluyen otras curvas bien conocidas: hipérbolas y parábolas. Consideremos un cono ilimitado resultante de la continuación de la superficie lateral del cono de revolución (figura 8.16). Intersectémoslo con un plano a que no pasa por el vértice. Si a cruza todos los generadores del cono, entonces en la sección, como ya se dijo, obtenemos una elipse (figura 8.15).

Al girar el plano OS, puede asegurarse de que cruce todas las generatrices del cono K, excepto una (a la que el OS es paralelo). Luego, en la sección transversal obtenemos una parábola (figura 8.17). Finalmente, girando aún más el plano OS, lo trasladamos a una posición tal que a, que cruza parte de las generatrices del cono K, ya no se cruza conjunto infinito sus otros constituyentes y paralelo a dos de ellos (figura 8.18). Luego en la sección del cono K con el plano a obtenemos una curva llamada hipérbola (más precisamente, una de sus “ramas”). Por tanto, una hipérbola, que es la gráfica de una función, es un caso especial de hipérbola: una hipérbola equilátera, al igual que un círculo es un caso especial de una elipse.

Cualquier hipérbola se puede obtener a partir de hipérbolas equiláteras mediante proyección, de forma similar a cómo se obtiene una elipse. diseño paralelo círculos.

Para obtener ambas ramas de la hipérbola, es necesario tomar una sección de un cono que tenga dos “cavidades”, es decir, un cono formado no por rayos, sino por líneas rectas que contienen las generatrices de las superficies laterales del cono de revolución (figura 8.19).

Las secciones cónicas fueron estudiadas por los geómetras griegos antiguos y su teoría fue uno de los picos de la geometría antigua. Mayoría investigación completa Las secciones cónicas en la antigüedad fueron realizadas por Apolonio de Perge (siglo III aC).

hay un numero propiedades importantes, combinando elipses, hipérbolas y parábolas en una sola clase. Por ejemplo, agotan las “no degeneradas”, es decir, curvas que no son reducibles a un punto, una recta o un par de rectas, que se definen en un plano en Coordenadas cartesianas ecuaciones de la forma

Juego de secciones cónicas papel importante en la naturaleza: los cuerpos se mueven en órbitas elípticas, parabólicas e hiperbólicas en un campo gravitacional (recuerde las leyes de Kepler). Propiedades notables Las secciones cónicas se utilizan a menudo en ciencia y tecnología, por ejemplo en la fabricación de algunos instrumentos ópticos o focos (la superficie del espejo en el foco se obtiene girando el arco de una parábola alrededor del eje de la parábola). Se pueden observar secciones cónicas como límites de la sombra de las pantallas de lámparas redondas (Fig. 8.20).

Arroz. 1. Objetos de la vida que tienen forma de cono truncado

¿De dónde crees que provienen las nuevas formas en geometría? Es muy simple: en la vida una persona se enfrenta objetos similares y se le ocurre cómo llamarlos. Pensemos en el pedestal en el que se sientan los leones en el circo, el trozo de zanahoria que resulta cuando cortamos sólo una parte, volcán activo y, por ejemplo, la luz de una linterna (ver Fig. 1).

Arroz. 2. Formas geométricas

Vemos que todas estas figuras tienen una forma similar: tanto desde abajo como desde arriba están limitadas por círculos, pero se estrechan hacia arriba (ver Fig. 2).

Arroz. 3. Cortar la parte superior del cono.

Parece un cono. Sólo falta la parte superior. Imaginemos mentalmente que cogemos un cono y lo cortamos. parte superior con un solo golpe espada afilada(ver figura 3).

Arroz. 4. Cono truncado

El resultado es exactamente nuestra figura, se llama cono truncado (ver Fig. 4).

Arroz. 5. Sección paralela a la base del cono.

Que se dé un cono. Dibujemos un avión paralelo al plano la base de este cono e intersectando el cono (ver Fig. 5).

Dividirá el cono en dos cuerpos: uno de ellos es un cono más pequeño y el segundo se llama cono truncado (ver Fig. 6).

Arroz. 6. Los cuerpos resultantes con una sección paralela.

Por tanto, un cono truncado es la parte de un cono encerrada entre su base y un plano paralelo a la base. Al igual que ocurre con un cono, un cono truncado puede tener un círculo en su base, en cuyo caso se llama circular. Si el cono original era recto, entonces el cono truncado se llama recto. Al igual que con los conos, sólo consideraremos conos truncados circulares rectos a menos que se indique específicamente que estamos hablando de sobre un cono truncado indirecto o sus bases no son círculos.

Arroz. 7. Rotación de un trapezoide rectangular.

Nuestro tema global- cuerpos de revolución. ¡El cono truncado no es una excepción! Recordemos que para obtener un cono consideramos triangulo rectángulo y lo giró alrededor de la pierna? Si el cono resultante es interceptado por un plano paralelo a la base, entonces el triángulo seguirá siendo un trapezoide rectangular. Su rotación alrededor del lado menor nos dará un cono truncado. Notemos nuevamente que, por supuesto, estamos hablando sólo de cono circular(ver figura 7).

Arroz. 8. Bases de un cono truncado

Hagamos algunos comentarios. Base cono lleno y el círculo obtenido en la sección del cono por el plano se denomina bases del cono truncado (inferior y superior) (ver Fig. 8).

Arroz. 9. Generadores de cono truncado.

Los segmentos de los generadores de un cono completo, encerrados entre las bases de un cono truncado, se denominan generadores de un cono truncado. Dado que todos los generadores del cono original son iguales y todos los generadores del cono cortado son iguales, entonces los generadores del cono truncado son iguales (¡no confunda el cono cortado y el truncado!). Esto implica que la sección axial del trapecio es isósceles (ver Fig. 9).

El segmento del eje de rotación encerrado dentro de un cono truncado se llama eje del cono truncado. Este segmento, por supuesto, conecta los centros de sus bases (ver Fig. 10).

Arroz. 10. Eje de un cono truncado

La altura de un cono truncado es una perpendicular trazada desde un punto de una de las bases hasta la otra base. Muy a menudo, la altura de un cono truncado se considera su eje.

Arroz. 11. Sección axial de un cono truncado.

La sección axial de un cono truncado es la sección que pasa por su eje. Tiene forma de trapezoide; un poco más adelante demostraremos que es isósceles (ver Fig. 11).

Arroz. 12. Cono con notaciones introducidas.

Encontremos el área de la superficie lateral del cono truncado. Sean las bases del cono truncado radios y , y la generatriz sea igual (ver Fig. 12).

Arroz. 13. Designación de la generatriz del cono cortado.

Encontremos el área de la superficie lateral del cono truncado como la diferencia entre las áreas de las superficies laterales del cono original y el cortado. Para hacer esto, denotemos por la generatriz del cono cortado (ver Fig. 13).

Entonces lo que buscas.

Arroz. 14. Triángulos semejantes

Sólo queda expresar.

Tenga en cuenta que a partir de la similitud de los triángulos, de donde (ver Fig. 14).

Sería posible expresar , dividiendo por la diferencia de radios, pero no lo necesitamos, porque el producto en cuestión aparece en la expresión deseada. Sustituyendo finalmente tenemos: .

Ahora es fácil obtener una fórmula para la superficie total. Para ello basta con sumar el área de los dos círculos de las bases: .

Arroz. 15. Ilustración del problema.

Sea un cono truncado girando un trapezoide rectangular alrededor de su altura. La línea media del trapezoide es igual a y la línea mayor lado- (ver Fig. 15). Encuentre el área de la superficie lateral del cono truncado resultante.

Solución

Por la fórmula sabemos que .

El generador del cono será lado grande el trapezoide original, es decir, los radios del cono son las bases del trapezoide. No podemos encontrarlos. Pero no lo necesitamos: sólo necesitamos su suma, y ​​la suma de las bases de un trapezoide es el doble línea media, es decir, es igual a . Entonces .

Tenga en cuenta que cuando hablamos del cono, trazamos paralelos entre él y la pirámide; las fórmulas eran similares. Aquí ocurre lo mismo, porque un cono truncado es muy similar a una pirámide truncada, por lo que las fórmulas para las áreas de las áreas lateral y lleno de superficies El cono truncado y la pirámide (y pronto habrá fórmulas para el volumen) son similares.

Arroz. 1. Ilustración del problema.

Los radios de las bases del cono truncado son iguales a y , y la generatriz es igual a . Encuentre la altura del cono truncado y el área de su sección axial (ver Fig. 1).

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