La tangente del ángulo de inclinación de la recta es 0 25. Ecuación de la tangente a la gráfica de la función

Aprenda a tomar derivadas de funciones. La derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un punto determinado que se encuentra en la gráfica de esta función. EN en este caso La gráfica puede ser una línea recta o curva. Es decir, la derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un momento específico. Recordar reglas generales, mediante el cual se toman las derivadas, y solo entonces se pasa al siguiente paso.

• Leer el artículo.
• Cómo tomar las derivadas más simples, por ejemplo, derivada ecuación exponencial, descrito. Los cálculos presentados en los siguientes pasos se basarán en los métodos allí descritos.

Aprenda a distinguir entre tareas en las que pendiente debe calcularse a través de la derivada de la función. Los problemas no siempre piden que encuentres la pendiente o la derivada de una función. Por ejemplo, es posible que le pidan que encuentre la tasa de cambio de una función en el punto A(x,y). También te pueden pedir que encuentres la pendiente de la tangente en el punto A(x,y). En ambos casos es necesario tomar la derivada de la función.

La recta y=f(x) será tangente a la gráfica que se muestra en la figura en el punto x0 si pasa por el punto de coordenadas (x0; f(x0)) y tiene un coeficiente angular f"(x0). tal coeficiente, Conociendo las características de una tangente, no es difícil.

Necesitará

• - libro de referencia matemática;
• - un simple lápiz;
• - computadora portátil;
• - transportador;
• - Brújula;
• - bolígrafo.

Instrucciones

Si el valor f'(x0) no existe, entonces no hay tangente o corre verticalmente. En vista de esto, la presencia de una derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical a la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, el coeficiente angular de la tangente será igual a f "(x0). Por tanto, queda claro significado geométrico derivada – cálculo de la pendiente de la tangente.

Dibuja tangentes adicionales que estarían en contacto con la gráfica de la función en los puntos x1, x2 y x3, y también marca los ángulos formados por estas tangentes con el eje x (este ángulo se cuenta en la dirección positiva desde el eje hasta el linea tangente). Por ejemplo, el ángulo, es decir α1, será agudo, el segundo (α2) será obtuso y el tercero (α3) igual a cero, ya que la recta tangente es paralela al eje OX. En este caso, tangente ángulo obtuso– negativo, la tangente del ángulo agudo es positiva y en tg0 el resultado es cero.

nota

Determina correctamente el ángulo que forma la tangente. Para hacer esto, use un transportador.

Consejo útil

Dos rectas inclinadas serán paralelas si sus coeficientes angulares son iguales; perpendicular si el producto de los coeficientes angulares de estas tangentes es igual a -1.

Fuentes:

• Tangente a la gráfica de una función.

El coseno, al igual que el seno, se clasifica como una función trigonométrica "directa". La tangente (junto con la cotangente) se clasifica como otro par llamado “derivados”. Existen varias definiciones de estas funciones que permiten encontrar la tangente dada por valor conocido coseno del mismo valor.

Instrucciones

Resta el cociente de uno por el valor del coseno ángulo dado, y extrae la raíz cuadrada del resultado; este será el valor tangente del ángulo, expresado por su coseno: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Tenga en cuenta que en la fórmula el coseno está en el denominador de la fracción. La imposibilidad de dividir por cero impide el uso de esta expresión para ángulos iguales a 90°, así como para aquellos que difieren de este valor por números que sean múltiplos de 180° (270°, 450°, -90°, etc.).

Existe una forma alternativa de calcular la tangente a partir de un valor de coseno conocido. Se puede utilizar si no hay restricciones para el uso de otros. Para implementar este método, primero determine el valor del ángulo a partir de un valor de coseno conocido; esto se puede hacer usando la función arcocoseno. Luego simplemente calcula la tangente del ángulo del valor resultante. EN vista general este algoritmo se puede escribir de la siguiente manera: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

También existe una opción exótica que utiliza la definición de coseno y tangente a través de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. En esta definición, el coseno corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente al ángulo considerado y la longitud de la hipotenusa. Conociendo el valor del coseno, puedes seleccionar las longitudes correspondientes de estos dos lados. Por ejemplo, si cos(α) = 0,5, entonces el adyacente se puede tomar igual a 10 cm y la hipotenusa a 20 cm. Los números específicos no importan aquí: obtendrá los mismos números correctos con cualquier valor que tenga el mismo valor. Luego, usando el teorema de Pitágoras, determina la longitud del lado que falta: pierna opuesta. sera igual raíz cuadrada de la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa al cuadrado y pierna famosa: √(20²-10²)=√300. Por definición, la tangente corresponde a la relación entre las longitudes de los catetos opuestos y adyacentes (√300/10); calcúlala y obtén el valor de tangente encontrado usando definición clásica coseno.

Fuentes:

• coseno a través de la fórmula tangente

Uno de funciones trigonométricas, indicado con mayor frecuencia por las letras tg, aunque también se encuentran las designaciones tan. La forma más sencilla de representar la tangente es como una razón seno. ángulo a su coseno. Es extraño periódico y no función continua, cada ciclo del cual igual al numero Pi, y el punto de ruptura corresponde a la mitad de este número.

En matemáticas, uno de los parámetros que describe la posición de una línea en plano cartesiano coordenadas es la pendiente de esta recta. Este parámetro caracteriza la pendiente de la línea recta hacia el eje de abscisas. Para entender cómo encontrar la pendiente, primero recuerde la forma general de la ecuación de una línea recta en el sistema de coordenadas XY.

En general, cualquier línea recta se puede representar mediante la expresión ax+by=c, donde a, b y c son arbitrarios. numeros reales, pero necesariamente a 2 + b 2 ≠ 0.

Usando transformaciones simples, dicha ecuación se puede llevar a la forma y=kx+d, en la que k y d son números reales. El número k es la pendiente, y la ecuación de una recta de este tipo se llama ecuación con pendiente. Resulta que para encontrar el coeficiente angular, solo necesitas traer ecuación original al tipo anterior. Para una comprensión más completa, considere un ejemplo específico:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 36x - 18y = 108

Solución: Transformemos la ecuación original.

Respuesta: La pendiente requerida de esta línea es 2.

Si al transformar la ecuación obtuvimos una expresión como x = const y como resultado no podemos representar y en función de x, entonces estamos ante una línea recta paralela al eje X. El coeficiente angular de tal. una línea recta es igual al infinito.

Para rectas expresadas por una ecuación como y = const, la pendiente es cero. Esto es típico de líneas rectas paralelas al eje de abscisas. Por ejemplo:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solución: llevemos la ecuación original a su forma general.

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es imposible expresar y a partir de la expresión resultante, por lo tanto, el coeficiente angular de esta línea es igual al infinito y la línea misma será paralela al eje Y.

Significado geométrico

Para una mejor comprensión, veamos la imagen:

En la figura vemos una gráfica de una función como y = kx. Para simplificar, tomemos el coeficiente c = 0. En el triángulo OAB, la relación entre el lado BA y AO será igual al coeficiente angular k. Al mismo tiempo, la relación VA/AO es la tangente del ángulo agudo α en triángulo rectángulo OVA. Resulta que el coeficiente angular de la recta es igual a la tangente del ángulo que forma esta recta con el eje de abscisas de la cuadrícula de coordenadas.

Resolviendo el problema de cómo encontrar el coeficiente angular de una línea recta, encontramos la tangente del ángulo entre ella y el eje X de la cuadrícula de coordenadas. Los casos límite, cuando la línea en cuestión es paralela a los ejes de coordenadas, confirman lo anterior. De hecho, para una línea recta descrita por la ecuación y=const, el ángulo entre ella y el eje de abscisas es cero. La tangente del ángulo cero también es cero y la pendiente también es cero.

Para líneas rectas perpendiculares al eje x y descritas por la ecuación x=const, el ángulo entre ellas y el eje x es de 90 grados. Tangente ángulo recto es igual al infinito, y el coeficiente angular de rectas similares también es igual al infinito, lo que confirma lo escrito anteriormente.

pendiente tangente

Una tarea común que se encuentra a menudo en la práctica es también encontrar la pendiente de una tangente a la gráfica de una función en un punto determinado. Una tangente es una recta, por lo que también le es aplicable el concepto de pendiente.

Para saber cómo encontrar la pendiente de una tangente, necesitaremos recordar el concepto de derivada. La derivada de cualquier función en algún punto es una constante, numéricamente igual a tangente el ángulo formado entre la tangente en un punto específico a la gráfica de esta función y el eje de abscisas. Resulta que para determinar el coeficiente angular de la tangente en el punto x 0, necesitamos calcular el valor de la derivada de la función original en este punto k = f"(x 0). Veamos el ejemplo:

Problema: Encuentra la pendiente de la recta tangente a la función y = 12x 2 + 2xe x en x = 0,1.

Solución: encuentre la derivada de la función original en forma general.

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Respuesta: La pendiente requerida en el punto x = 0,1 es 4,831

La derivada de una función es una de temas dificiles V currículum escolar. No todos los graduados responderán a la pregunta de qué es un derivado.

Este artículo explica de forma sencilla y clara qué es un derivado y por qué es necesario.. Ahora no nos esforzaremos por lograr un rigor matemático en la presentación. Lo más importante es entender el significado.

Recordemos la definición:

La derivada es la tasa de cambio de una función.

La figura muestra gráficas de tres funciones. ¿Cuál crees que está creciendo más rápido?

La respuesta es obvia: la tercera. Tiene la tasa de cambio más alta, es decir, la derivada más grande.

Aquí hay otro ejemplo.

Kostya, Grisha y Matvey consiguieron trabajo al mismo tiempo. Veamos cómo cambiaron sus ingresos durante el año:

El gráfico muestra todo a la vez, ¿no? Los ingresos de Kostya se duplicaron con creces en seis meses. Y los ingresos de Grisha también aumentaron, pero sólo un poco. Y los ingresos de Matvey disminuyeron a cero. Las condiciones iniciales son las mismas, pero la tasa de cambio de la función, es decir derivado, - diferente. En cuanto a Matvey, su derivada de ingresos es en general negativa.

Intuitivamente, estimamos fácilmente la tasa de cambio de una función. ¿Pero cómo hacemos esto?

Lo que realmente estamos viendo es qué tan pronunciado sube (o baja) la gráfica de una función. En otras palabras, ¿con qué rapidez cambia y cuando cambia x? Obviamente, la misma función en diferentes puntos puede tener significado diferente derivada, es decir, puede cambiar más rápido o más lentamente.

La derivada de una función se denota.

Le mostraremos cómo encontrarlo usando un gráfico.

Se ha dibujado una gráfica de alguna función. Tomemos un punto con una abscisa. Dibujemos una tangente a la gráfica de la función en este punto. Queremos estimar qué tan pronunciado sube la gráfica de una función. Un valor conveniente para esto es tangente del ángulo tangente.

La derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo tangente trazado a la gráfica de la función en ese punto.

Tenga en cuenta que como ángulo de inclinación de la tangente tomamos el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje.

A veces los estudiantes preguntan qué es una tangente a la gráfica de una función. Esta es una línea recta que tiene sólo una punto común con una gráfica, y como se muestra en nuestra figura. Parece una tangente a un círculo.

Encontrémoslo. Recordamos que la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo igual a la proporción el lado opuesto al adyacente. Del triángulo:

Encontramos la derivada usando una gráfica sin siquiera conocer la fórmula de la función. Estos problemas se encuentran a menudo en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas bajo el número.

Hay otra relación importante. Recordemos que la recta viene dada por la ecuación

La cantidad en esta ecuación se llama pendiente de una recta. Es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje.

.

lo entendemos

Recordemos esta fórmula. Expresa el significado geométrico de la derivada.

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.

En otras palabras, la derivada es igual a la tangente del ángulo tangente.

Ya hemos dicho que una misma función puede tener distintas derivadas en distintos puntos. Veamos cómo se relaciona la derivada con el comportamiento de la función.

Dibujemos una gráfica de alguna función. Dejemos que esta función aumente en algunas áreas y disminuya en otras, y con a diferentes velocidades. Y dejemos que esta función tenga puntos máximos y mínimos.

En un punto la función aumenta. La tangente a la gráfica trazada en el punto se forma esquina filosa; con dirección de eje positivo. Esto significa que la derivada en el punto es positiva.

En ese momento nuestra función disminuye. La tangente en este punto forma un ángulo obtuso; con dirección de eje positiva. Como la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la derivada en el punto es negativa.

Esto es lo que sucede:

Si una función es creciente, su derivada es positiva.

Si disminuye, su derivada es negativa.

¿Qué pasará en los puntos máximo y mínimo? Vemos que en los puntos (punto máximo) y (punto mínimo) la tangente es horizontal. Por tanto, la tangente de la tangente en estos puntos es cero y la derivada también es cero.

Punto - punto máximo. En este punto, el aumento de la función se reemplaza por una disminución. En consecuencia, el signo de la derivada cambia en el punto de “más” a “menos”.

En el punto, el punto mínimo, la derivada también es cero, pero su signo cambia de "menos" a "más".

Conclusión: utilizando la derivada podemos averiguar todo lo que nos interesa sobre el comportamiento de una función.

Si la derivada es positiva, entonces la función aumenta.

Si la derivada es negativa, entonces la función disminuye.

En el punto máximo, la derivada es cero y cambia de signo de “más” a “menos”.

En el punto mínimo, la derivada también es cero y cambia de signo de “menos” a “más”.

Escribamos estas conclusiones en forma de tabla:

Hagamos dos pequeñas aclaraciones. Necesitará uno de ellos para resolver el problema. Otro, en el primer año, con un estudio más serio de funciones y derivadas.

Es posible que la derivada de una función en algún punto sea igual a cero, pero la función no tiene ni máximo ni mínimo en ese punto. Este es el llamado :

En un punto, la tangente a la gráfica es horizontal y la derivada es cero. Sin embargo, antes del punto la función aumentó y después del punto continúa aumentando. El signo de la derivada no cambia: sigue siendo positivo como antes.

También sucede que en el punto de máximo o mínimo la derivada no existe. En el gráfico, esto corresponde a una ruptura brusca, cuando es imposible trazar una tangente en un punto dado.

¿Cómo encontrar la derivada si la función no viene dada por una gráfica, sino por una fórmula? En este caso se aplica

EN capítulo previo Se demostró que al elegir un determinado sistema de coordenadas en el avión, podemos propiedades geométricas, que caracteriza los puntos de la línea considerada, se expresa analíticamente mediante una ecuación entre las coordenadas actuales. Así obtenemos la ecuación de la recta. Este capítulo analizará las ecuaciones en línea recta.

Para escribir la ecuación de una recta en Coordenadas cartesianas, es necesario establecer de alguna manera las condiciones que determinan su posición en relación con los ejes de coordenadas.

Primero, introduciremos el concepto de coeficiente angular de una línea, que es una de las cantidades que caracterizan la posición de una línea en un plano.

Llamemos al ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox el ángulo mediante el cual se debe girar el eje Ox para que coincida con la línea dada (o sea paralelo a ella). Como es habitual, consideraremos el ángulo teniendo en cuenta el signo (el signo está determinado por el sentido de rotación: en sentido contrario a las agujas del reloj o en el sentido de las agujas del reloj). Dado que una rotación adicional del eje Ox en un ángulo de 180° lo alineará nuevamente con la línea recta, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje no se puede elegir de manera inequívoca (dentro de un término, un múltiplo de ).

La tangente de este ángulo se determina de forma única (ya que cambiar el ángulo no cambia su tangente).

La tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje Ox se llama coeficiente angular de la recta.

El coeficiente angular caracteriza la dirección de la línea recta (no distinguimos entre los dos mutuamente direcciones opuestas derecho). Si la pendiente de una recta es cero, entonces la recta es paralela al eje x. Con un coeficiente angular positivo, el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox será agudo (aquí consideramos el más pequeño valor positivoángulo de inclinación) (Fig. 39); Además, cuanto mayor sea el coeficiente angular, mayor ángulo más grande su inclinación con respecto al eje Ox. Si el coeficiente angular es negativo, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje Ox será obtuso (Fig. 40). Tenga en cuenta que una línea recta perpendicular al eje Ox no tiene coeficiente angular (la tangente del ángulo no existe).