Una prueba visual del teorema de Pitágoras. Métodos para demostrar el teorema de Pitágoras.

Shapovalova L.A. (estación Egorlykskaya, MBOU ESOSH №11)

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En eso año académico yo conoci teorema interesante, conocido, como resulta, desde la antigüedad:

“Un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.”

El descubrimiento de esta afirmación suele atribuirse al antiguo filósofo y matemático griego Pitágoras (siglo VI a. C.). Pero el estudio de manuscritos antiguos demostró que esta afirmación se conocía mucho antes del nacimiento de Pitágoras.

Me preguntaba por qué, en este caso, se asocia con el nombre de Pitágoras.

Relevancia del tema: El teorema de Pitágoras tiene gran valor: utilizado en geometría literalmente en cada paso. Creo que las obras de Pitágoras siguen siendo relevantes, porque dondequiera que miremos podemos ver los frutos de sus grandes ideas, plasmadas en varias industrias vida moderna.

El propósito de mi investigación fue descubrir quién era Pitágoras y qué tenía que ver con este teorema.

Al estudiar la historia del teorema, decidí descubrir:

¿Existen otras pruebas de este teorema?

¿Cuál es el significado de este teorema en la vida de las personas?

¿Qué papel jugó Pitágoras en el desarrollo de las matemáticas?

De la biografía de Pitágoras.

Pitágoras de Samos es un gran científico griego. Su fama proviene de su nombre. Teorema de pitágoras. Aunque ahora sabemos que este teorema se conocía en antigua babilonia 1200 años antes de Pitágoras, y en Egipto 2000 años antes que él, se conocía un triángulo rectángulo con lados 3, 4, 5, todavía lo llamamos con el nombre de este antiguo científico.

Casi nada se sabe con certeza sobre la vida de Pitágoras, pero una gran cantidad de leyendas están asociadas con su nombre.

Pitágoras nació en el año 570 a.C. en la isla de Samos.

Pitágoras tenía una apariencia hermosa, llevaba una larga barba y una diadema de oro en la cabeza. Pitágoras no es un nombre, sino un apodo que recibió el filósofo porque siempre hablaba de manera correcta y convincente, como un oráculo griego. (Pitágoras - “persuasivo mediante el habla”).

En el año 550 a.C., Pitágoras toma una decisión y se dirige a Egipto. Entonces, ante Pitágoras se abre pais desconocido y cultura desconocida. Muy asombrado y sorprendido por Pitágoras en este país, y después de algunas observaciones de la vida de los egipcios, Pitágoras se dio cuenta de que el camino hacia el conocimiento, protegido por la casta sacerdotal, pasaba por la religión.

Después de once años de estudio en Egipto, Pitágoras regresa a su tierra natal, donde en el camino termina en cautiverio babilónico. Allí conoció la ciencia babilónica, que estaba más desarrollada que la egipcia. Los babilonios sabían resolver formas lineales, cuadradas y algunos tipos. ecuaciones cúbicas. Habiendo escapado del cautiverio, no pudo permanecer mucho tiempo en su tierra natal debido a la atmósfera de violencia y tiranía que reinaba allí. Decidió trasladarse a Crotona (una colonia griega en el norte de Italia).

Fue en Crotona donde comenzó el período más glorioso de la vida de Pitágoras. Allí estableció algo así como una hermandad ético-religiosa o una organización secreta. orden monástica, cuyos miembros se vieron obligados a llevar el llamado estilo de vida pitagórico.

Pitágoras y los pitagóricos

Pitágoras se organizó en colonia griega en el sur de la península de los Apeninos, una hermandad religiosa y ética, como una orden monástica, que más tarde se llamaría Unión Pitagórica. Los miembros de la unión tenían que adherirse a ciertos principios: en primer lugar, luchar por lo bello y glorioso, en segundo lugar, ser útiles y, en tercer lugar, luchar por lograr un gran placer.

El sistema de reglas morales y éticas, legado por Pitágoras a sus alumnos, se compiló en un código moral peculiar de los "Versos dorados" de los pitagóricos, que fueron muy populares en la época de la Antigüedad, la Edad Media y el Renacimiento.

El sistema de clases pitagórico constaba de tres secciones:

Enseñar sobre números: aritmética,

Enseñanzas sobre figuras - geometría,

Doctrinas sobre la estructura del Universo - astronomía.

El sistema educativo fundado por Pitágoras duró muchos siglos.

La escuela pitagórica hizo mucho para darle a la geometría el carácter de ciencia. La característica principal del método pitagórico fue la combinación de la geometría con la aritmética.

Pitágoras se ocupó mucho de las proporciones y progresiones y, probablemente, de la similitud de figuras, ya que a él se le atribuye la resolución del problema: “Dadas dos figuras, construye una tercera, igual en tamaño a uno de los datos y similar al segundo. "

Pitágoras y sus alumnos introdujeron el concepto de números poligonales, amigos y perfectos y estudiaron sus propiedades. A Pitágoras no le interesaba la aritmética como práctica de cálculo y declaró con orgullo que “ponía la aritmética por encima de los intereses del comerciante”.

Los miembros de la Unión Pitagórica eran residentes de muchas ciudades de Grecia.

Los pitagóricos también aceptaron a las mujeres en su sociedad. El sindicato floreció durante más de veinte años y luego comenzó la persecución de sus miembros y muchos de los estudiantes fueron asesinados.

Hubo muchas leyendas diferentes sobre la muerte del propio Pitágoras. Pero las enseñanzas de Pitágoras y sus alumnos continuaron vivas.

De la historia de la creación del teorema de Pitágoras.

Ahora se sabe que este teorema no fue descubierto por Pitágoras. Sin embargo, algunos creen que fue Pitágoras quien primero dio su prueba completa, mientras que otros le niegan este mérito. Algunos atribuyen a Pitágoras la prueba que da Euclides en el primer libro de sus Elementos. Por otro lado, Proclo afirma que la prueba contenida en los Elementos pertenece al propio Euclides. Como vemos, la historia de las matemáticas casi no ha conservado datos específicos confiables sobre la vida de Pitágoras y su actividad matemática.

Comenzamos nuestra revisión histórica del teorema de Pitágoras con China antigua. Aquí Atención especial atrae libro de matemáticas Chu-pei. Este ensayo habla de triángulo pitagórico con lados 3, 4 y 5:

"Si un ángulo recto se descompone en sus partes componentes, entonces la recta que une los extremos de sus lados será 5, cuando la base es 3 y la altura es 4".

Es muy fácil reproducir su método de construcción. Tomemos una cuerda de 12 m de largo y le atemos una tira de color a una distancia de 3 m. de un extremo y a 4 metros del otro. El ángulo recto quedará encerrado entre lados de 3 y 4 metros de largo.

La geometría entre los hindúes estaba estrechamente relacionada con el culto. Es muy probable que el cuadrado del teorema de la hipotenusa ya fuera conocido en la India alrededor del siglo VIII a.C. Junto a las prescripciones puramente rituales, también hay obras de carácter teológico geométrico. En estos escritos, que datan del siglo IV o V a.C., nos encontramos con la construcción ángulo recto usando un triángulo con lados 15, 36, 39.

En la Edad Media, el teorema de Pitágoras determinaba el límite, si no del mayor posible, al menos del bien. conocimiento matemático. El dibujo característico del teorema de Pitágoras, que ahora los escolares transforman a veces, por ejemplo, en un profesor vestido con una bata o un hombre con sombrero de copa, se usaba a menudo como símbolo de las matemáticas.

En conclusión, presentamos varias formulaciones del teorema de Pitágoras traducidas del griego, el latín y el alemán.

El teorema de Euclides establece (traducción literal):

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado extendido sobre el ángulo recto igual al cuadrado Estoy en los lados que contienen un ángulo recto”.

Como vemos, en diferentes paises Y idiomas diferentes Existen diferentes versiones de la formulación del conocido teorema. Creado en diferente tiempo y en diferentes idiomas reflejan la esencia de una ley matemática, cuya demostración también tiene varias opciones.

Cinco formas de demostrar el teorema de Pitágoras

Evidencia china antigua

Un antiguo dibujo chino muestra cuatro iguales. triángulo rectángulo con catetos a, by hipotenusa c están dispuestos de modo que su contorno exterior forme un cuadrado con lado a + b, y el contorno interior forme un cuadrado con lado c, construido sobre la hipotenusa

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Prueba de J. Hardfield (1882)

Dispongamos dos triángulos rectángulos iguales de modo que el cateto de uno de ellos sea una continuación del otro.

El área del trapezoide considerado se encuentra como el producto de la mitad de la suma de las bases por la altura.

Por otro lado, el área de un trapezoide es igual a la suma de las áreas de los triángulos resultantes:

Igualando estas expresiones obtenemos:

La prueba es simple

Esta prueba se obtiene en el caso más simple de un triángulo rectángulo isósceles.

Probablemente aquí es donde comenzó el teorema.

De hecho, basta con mirar el mosaico de triángulos rectángulos isósceles para convencerse de la validez del teorema.

Por ejemplo, para el triángulo ABC: el cuadrado construido sobre la hipotenusa AC contiene 4 triángulos originales, y los cuadrados construidos sobre los lados contienen dos. El teorema ha sido demostrado.

Prueba de los antiguos hindúes.

Un cuadrado de lado (a + b) se puede dividir en partes como en la Fig. 12.a, o como en la Fig. 12, b. Está claro que las partes 1, 2, 3, 4 son iguales en ambas imágenes. Y si restas iguales de (áreas) iguales, seguirán siendo iguales, es decir, c2 = a2 + b2.

La prueba de Euclides

Durante dos milenios, la demostración más utilizada del teorema de Pitágoras fue la de Euclides. Se encuentra en su famoso libro “Principios”.

Euclides bajó la altura BN desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa y demostró que su continuación divide el cuadrado completado sobre la hipotenusa en dos rectángulos, cuyas áreas son iguales a las áreas de los cuadrados correspondientes construidos en los lados.

El dibujo utilizado para demostrar este teorema se llama en broma “pantalones pitagóricos”. Durante mucho tiempo fue considerado uno de los símbolos de la ciencia matemática.

Aplicación del teorema de Pitágoras

La importancia del teorema de Pitágoras es que la mayoría de los teoremas de la geometría se pueden derivar de él o con su ayuda y se pueden resolver muchos problemas. Además, significado práctico El teorema de Pitágoras y su teorema inverso es que con su ayuda puedes encontrar las longitudes de los segmentos sin medir los segmentos mismos. Esto, por así decirlo, abre el camino de la línea recta al plano, del plano al espacio volumétrico y más allá. Es por eso que el teorema de Pitágoras es tan importante para la humanidad, que se esfuerza por descubrirlo todo. más dimensiones y crear tecnologías en estas dimensiones.

Conclusión

El teorema de Pitágoras es tan famoso que es difícil imaginar a una persona que no haya oído hablar de él. Aprendí que hay varias formas de demostrar el teorema de Pitágoras. Estudié varias fuentes históricas y matemáticas, incluida información en Internet, y me di cuenta de que el teorema de Pitágoras es interesante no solo por su historia, sino también por lo que ocupa. lugar importante en la vida y la ciencia. Esto se evidencia en las diversas interpretaciones del texto de este teorema y los métodos de demostración que he dado en este trabajo.

Entonces, el teorema de Pitágoras es uno de los principales y, podría decirse, el más teorema principal geometría. Su importancia radica en el hecho de que la mayoría de los teoremas de la geometría se pueden deducir de él o con su ayuda. El teorema de Pitágoras también es notable porque en sí mismo no es nada obvio. Por ejemplo, propiedades triángulo isósceles Se puede ver directamente en el dibujo. Pero por mucho que mires un triángulo rectángulo, nunca verás que existe una relación simple entre sus lados: c2 = a2 + b2. Por lo tanto, a menudo se utiliza la visualización para demostrarlo. El mérito de Pitágoras fue que dio una demostración científica completa de este teorema. Es interesante la personalidad del propio científico, cuya memoria no se conserva por casualidad gracias a este teorema. Pitágoras es un maravilloso orador, maestro y educador, organizador de su escuela, centrado en la armonía de la música y los números, la bondad y la justicia, el conocimiento y imagen saludable vida. Bien puede servir de ejemplo para nosotros, descendientes lejanos.

Enlace bibliográfico

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Pruebas basadas en el uso del concepto de igual tamaño de figuras.

En este caso, podemos considerar evidencia de que un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo dado está “compuesto” por las mismas figuras que los cuadrados construidos sobre los lados. También podemos considerar pruebas que utilizan reordenamientos de los sumandos de las figuras y tienen en cuenta una serie de ideas nuevas.

En la Fig. 2 muestra dos cuadrados iguales. La longitud de los lados de cada cuadrado es a + b. Cada uno de los cuadrados se divide en partes que constan de cuadrados y triángulos rectángulos. Está claro que si el área cuádruple de un triángulo rectángulo con catetos a, b se resta del área del cuadrado, entonces quedarán áreas iguales, es decir c 2 = a 2 + b 2 . Sin embargo, los antiguos hindúes, a quienes pertenece este razonamiento, generalmente no lo escribían, sino que

acompañó el dibujo con una sola palabra: “¡mira!” Es muy posible que Pitágoras ofreciera la misma prueba.

Pruebas aditivas.

Estas pruebas se basan en la descomposición de cuadrados construidos sobre los catetos en figuras a las que se puede sumar un cuadrado construido sobre la hipotenusa.

La prueba de Einstein (Fig. 3) se basa en la descomposición de un cuadrado construido sobre la hipotenusa en 8 triángulos.

Aquí: ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto C; CÎMN; CK^MN; PO||MN; EF||MN.

Demuestre de forma independiente la igualdad por pares de triángulos obtenidos al dividir cuadrados construidos sobre los catetos y la hipotenusa.

En la Fig. 4 muestra la demostración del teorema de Pitágoras utilizando la partición de al-Nayriziyah, el comentarista medieval de Bagdad de los Elementos de Euclides. En esta partición, el cuadrado construido sobre la hipotenusa se divide en 3 triángulos y 2 cuadriláteros. Aquí: ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto C; DE = BF.

Demuestre el teorema usando esta partición.

· Basado en la prueba de al-Nayriziyah, se llevó a cabo otra descomposición de cuadrados en pares cifras iguales(Fig. 5, aquí ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto C).

· Otra prueba mediante el método de descomposición de cuadrados en partes iguales, llamado “rueda con aspas”, se muestra en la Fig. 6. Aquí: ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto C; O es el centro de un cuadrado construido sobre un lado grande; Las líneas de puntos que pasan por el punto O son perpendiculares o paralelas a la hipotenusa.

· Esta descomposición de cuadrados es interesante porque sus cuadriláteros iguales por pares se pueden mapear entre sí mediante traslación paralela. Se pueden ofrecer muchas otras demostraciones del teorema de Pitágoras mediante la descomposición de cuadrados en figuras.

Pruebas por método constructivo.

La esencia de este método es que se suman cifras iguales a los cuadrados construidos sobre los catetos y al cuadrado construido sobre la hipotenusa de tal manera que se obtengan cifras iguales.

· En la Fig. La Figura 7 muestra la figura pitagórica habitual: un triángulo rectángulo ABC con cuadrados construidos en sus lados. Adjuntos a esta figura están los triángulos 1 y 2, iguales al triángulo rectángulo original.

La validez del teorema de Pitágoras se deriva del mismo tamaño de los hexágonos AEDFPB y ACBNMQ. Aquí CÎEP, la línea EP divide el hexágono AEDFPB en dos cuadriláteros del mismo tamaño, la línea CM divide el hexágono ACBNMQ en dos cuadriláteros del mismo tamaño; Al girar el plano 90° alrededor del centro A, se asigna el cuadrilátero AEPB al cuadrilátero ACMQ.

· En la Fig. 8 figura pitagórica completado en un rectángulo, cuyos lados son paralelos a los lados correspondientes de los cuadrados construidos sobre las patas. Dividamos este rectángulo en triángulos y rectángulos. Del rectángulo resultante, primero restamos todos los polígonos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dejando un cuadrado construido sobre la hipotenusa. Luego del mismo rectángulo restamos los rectángulos 5, 6, 7 y los rectángulos sombreados, obtenemos cuadrados construidos sobre los catetos.

Ahora demostremos que las cifras restadas en el primer caso son iguales en tamaño a las cifras restadas en el segundo caso.

· Arroz. 9 ilustra la prueba dada por Nassir-ed-Din (1594). Aquí: PCL – línea recta;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;

por lo tanto c 2 = a 2 + b 2 .

Arroz. La Figura 11 ilustra otra prueba más original propuesta por Hoffmann.

Aquí: triángulo ABC con ángulo recto C; el segmento BF es perpendicular a CB e igual a él, el segmento BE es perpendicular a AB e igual a él, el segmento AD es perpendicular a AC e igual a él; los puntos F, C, D pertenecen a la misma recta; los cuadriláteros ADFB y ACBE son iguales en tamaño, ya que ABF=ECB; los triángulos ADF y ACE son iguales en tamaño; restamos de ambos cuadriláteros iguales el triángulo ABC que comparten, obtenemos

Método algebraico de prueba.

· Arroz. 12 ilustra la prueba del gran matemático indio Bhaskari (famoso autor de Lilavati, siglo XII). El dibujo iba acompañado de una sola palabra: ¡MIRA! Entre las pruebas del teorema de Pitágoras método algebraico El primer lugar (quizás el más antiguo) lo ocupa la prueba mediante semejanza.

· Presentemos en una presentación moderna una de estas pruebas, perteneciente a Pitágoras.

En la Fig. 13 ABC – rectangular, C – ángulo recto, CM^AB, b1 – proyección del cateto b sobre la hipotenusa, a1 – proyección del cateto a sobre la hipotenusa, h – altura del triángulo dibujado hasta la hipotenusa.

Del hecho de que DABC es similar a DACM se deduce

b2 = cb1; (1)

del hecho de que DABC es similar a DBCM se deduce

un 2 = ca 1 . (2)

Sumando las igualdades (1) y (2) término por término, obtenemos a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Si Pitágoras realmente propuso tal demostración, entonces también estaba familiarizado con una serie de teoremas geométricos importantes que historiadores modernos Los matemáticos suelen atribuirlo a Euclides.

Prueba de Moehlmann (Fig. 14).

El área de un triángulo rectángulo dado, por un lado, es igual al otro, donde p es el semiperímetro del triángulo, r es el radio del círculo inscrito en él.

de donde se sigue que c2=a2+b2.

La prueba de Garfield.

En la Figura 15, tres triángulos rectángulos forman un trapezoide. Por lo tanto, el área de esta figura se puede encontrar usando la fórmula del área. trapezoide rectangular, o como la suma de las áreas de tres triángulos. En el primer caso, esta área es igual a

en el segundo

Igualando estas expresiones, obtenemos el teorema de Pitágoras.

Hay muchas demostraciones del teorema de Pitágoras, realizadas mediante cada uno de los métodos descritos o mediante el uso de una combinación de varios métodos. Para concluir la revisión de ejemplos de varias pruebas, presentamos más dibujos que ilustran los ocho métodos a los que se hace referencia en los Elementos de Euclides (Fig. 16 - 23). En estos dibujos, la figura pitagórica se representa con una línea continua y las construcciones adicionales se representan con una línea de puntos.

Como se mencionó anteriormente, los antiguos egipcios, hace más de 2000 años, prácticamente usaban las propiedades de un triángulo con lados 3, 4, 5 para construir un ángulo recto, es decir, en realidad usaban el teorema inverso al teorema de Pitágoras. Presentemos una prueba de este teorema basada en el criterio de igualdad de triángulos (es decir, una que pueda introducirse muy temprano en la escuela). Así que deja que las partes triangulo abc(Fig. 24) están relacionados por la relación

c 2 = un 2 + segundo 2 . (3)

Demostremos que este triángulo es rectángulo.

Construyamos un triángulo rectángulo A1B1C1 a lo largo de dos catetos, cuyas longitudes son iguales a las longitudes de los catetos a y b. triángulo dado(Figura 25).

Sea la longitud de la hipotenusa del triángulo construido igual a c1. Dado que el triángulo construido es rectángulo, según el teorema de Pitágoras tenemos: c 1 2 = a 2 + b 2. (4)

Comparando las relaciones (3) y (4), obtenemos que

c 1 2 = c 2, o c 1 = c.

Así, los triángulos -dados y construidos- son iguales, ya que tienen tres respectivamente. lados iguales. El ángulo C1 es recto, por lo que el ángulo C de este triángulo también es recto.

Prueba por método de descomposición.

Hay una serie de demostraciones del teorema de Pitágoras en las que los cuadrados construidos sobre los catetos y sobre la hipotenusa se cortan de modo que cada parte del cuadrado construido sobre la hipotenusa corresponda a una parte de uno de los cuadrados construidos sobre los catetos. En todos estos casos, basta una mirada al dibujo para comprender la prueba; el razonamiento aquí puede limitarse a una sola palabra: “¡Mira!”, como se hacía en los escritos de los antiguos matemáticos hindúes. Sin embargo, cabe señalar que, de hecho, la demostración no puede considerarse completa hasta que hayamos demostrado la igualdad de todas las partes correspondientes. Esto casi siempre es bastante fácil de hacer, pero puede (especialmente si grandes cantidades piezas) requieren bastante trabajo.

La prueba de Epstein

Comencemos con la prueba de Epstein (Fig. 1); su ventaja es que aquí como componentes las descomposiciones involucran exclusivamente triángulos. Para entender el dibujo, observe que la recta CD se traza perpendicular a la recta EF.

La descomposición en triángulos se puede hacer más visual que en la figura.

La prueba de Nielsen.

En la figura, las líneas auxiliares han sido modificadas según sugerencia de Nielsen.

La prueba de Boettcher.

La figura muestra una descomposición de Bötcher muy clara.

La prueba de Perigal.

En los libros de texto se encuentra a menudo la descomposición indicada en la figura (la llamada “rueda con palas”; esta prueba fue encontrada por Perigal). Por el centro O del cuadrado construido sobre el cateto mayor, trazamos líneas rectas paralelas y perpendiculares a la hipotenusa. La correspondencia de las partes de la figura se ve claramente en el dibujo.

La prueba de Gutheil.

La descomposición que se muestra en la figura se debe a Gutheil; se caracteriza por una disposición clara partes individuales, lo que permite ver de inmediato qué simplificaciones implicará el caso de un triángulo rectángulo isósceles.

Evidencia del siglo IX d.C.

Anteriormente, solo se presentaban demostraciones en las que un cuadrado construido sobre la hipotenusa, por un lado, y los cuadrados construidos sobre los catetos, por el otro, estaban compuestos de partes iguales. Estas pruebas se denominan pruebas por suma ("pruebas aditivas") o, más comúnmente, pruebas por descomposición. Hasta ahora partimos de la disposición habitual de cuadrados construidos en los lados correspondientes del triángulo, es decir, fuera del triángulo. Sin embargo, en muchos casos resulta más ventajosa una disposición diferente de los cuadrados.

En la figura, los cuadrados construidos sobre las patas están colocados escalonados, uno al lado del otro. Esta cifra, que aparece como evidencia, se remonta a más tardar al siglo IX d.C. e., los hindúes la llamaban la "silla de la novia". Un método para construir un cuadrado con un lado. igual a la hipotenusa, se desprende claramente del dibujo. una parte común dos cuadrados construidos sobre los catetos y un cuadrado construido sobre la hipotenusa: pentágono 5 sombreado irregular. Al unirle los triángulos 1 y 2, obtenemos ambos cuadrados construidos sobre los catetos; Si reemplazamos los triángulos 1 y 2 con los triángulos iguales 3 y 4, obtenemos un cuadrado construido sobre la hipotenusa. Las siguientes imágenes muestran dos diferentes ubicaciones cercano al que se muestra en la primera figura.

Pruebas por suma

Prueba uno.

Junto con las pruebas que utilizan el método de la suma, puedes dar ejemplos de pruebas que utilizan la resta, también llamadas pruebas por el método de la suma. La idea general de tales pruebas es la siguiente.

de dos áreas iguales es necesario restar partes iguales para que en un caso queden dos cuadrados construidos sobre los catetos y, en el otro, un cuadrado construido sobre la hipotenusa. Después de todo, si en igualdades

B-A=C y B 1 -A 1 =C 1

la parte A es igual en tamaño a la parte A 1, y la parte B es igual en tamaño a B 1, entonces las partes C y C 1 también son iguales en tamaño.

Expliquemos este método con un ejemplo. En la Fig. a la figura pitagórica habitual, los triángulos 2 y 3 están unidos arriba y abajo, iguales al triángulo original 1. La línea recta DG necesariamente pasará por C. Ahora notamos (lo demostraremos más adelante) que los hexágonos DABGFE y CAJKHB son igual en tamaño. Si al primero de ellos le restamos los triángulos 1 y 2, entonces nos quedarán cuadrados construidos en los lados, y si al segundo le restamos el hexágono triangulos iguales 1 y 3, entonces habrá un cuadrado construido sobre la hipotenusa. De esto se deduce que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Queda por demostrar que nuestros hexágonos tienen el mismo tamaño. Tenga en cuenta que la línea DG divide el hexágono superior en partes iguales; Lo mismo puede decirse de la recta CK y del hexágono inferior. Giremos el cuadrilátero DABG, que es la mitad del hexágono DABGFE, alrededor del punto A en el sentido de las agujas del reloj en un ángulo de 90; entonces coincidirá con el cuadrilátero CAJK, que es la mitad del hexágono CAJKHB. Por tanto, los hexágonos DABGFE y CAJKHB tienen el mismo tamaño.

Otra prueba usando el método de la resta.

Veamos otra prueba usando el método de resta. Incluyamos el dibujo familiar del teorema de Pitágoras en un marco rectangular, cuyas direcciones de los lados coinciden con las direcciones de los catetos del triángulo. Continuamos algunos de los segmentos de la figura como se indica en la figura, mientras el rectángulo se divide en varios triángulos, rectángulos y cuadrados. Primero eliminemos varias partes del rectángulo para que solo quede el cuadrado construido sobre la hipotenusa. Estas partes son las siguientes:

1. triángulos 1, 2, 3, 4;

2. rectángulo 5;

3. rectángulo 6 y cuadrado 8;

4. rectángulo 7 y cuadrado 9;

Luego tiramos las partes del rectángulo para que solo queden los cuadrados construidos sobre las catatas. Estas partes serán:

1. rectángulos 6 y 7;

2. rectángulo 5;

3. rectángulo 1 (sombreado);

4. rectángulo 2 (sombreado);

Todo lo que tenemos que hacer es demostrar que las partes quitadas son iguales en tamaño. Esto es fácil de ver debido a la disposición de las figuras. De la figura queda claro que:

1. el rectángulo 5 tiene el mismo tamaño que él mismo;

2. cuatro triángulos 1,2,3,4 tienen el mismo tamaño que dos rectángulos 6 y 7;

3. el rectángulo 6 y el cuadrado 8, tomados juntos, tienen el mismo tamaño que el rectángulo 1 (sombreado);

4. el rectángulo 7 junto con el cuadrado 9 tienen el mismo tamaño que el rectángulo 2 (sombreado);

La prueba está completa.

Otra evidencia

La prueba de Euclides

Esta prueba la dio Euclides en sus Elementos. Según Proclo (Bizancio), fue inventado por el propio Euclides. La prueba de Euclides se da en la oración 47 del primer libro de los Elementos.

Se construyen los cuadrados correspondientes sobre la hipotenusa y los catetos del triángulo rectángulo ABC y se demuestra que el rectángulo BJLD es igual al cuadrado ABFH, y el rectángulo ICEL es igual al cuadrado ACCC. Entonces la suma de los cuadrados de los catetos será igual al cuadrado de la hipotenusa.

De hecho, los triángulos ABD y BFC son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos:

FB = AB, BC = BD

RFBC = d + PABC = PABD

SABD = 1/2 S BJLD,

desde el triángulo ABD y el rectángulo BJLD terreno común BD y altura total LD. Asimismo

(BF-base común, AB-altura común). Por lo tanto, considerando que

De manera similar, utilizando la igualdad de los triángulos VSK y ACE, se demuestra que

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,

Q.E.D.

La prueba de Hawkins.

Damos una prueba más, que es de naturaleza computacional, pero muy diferente a todas las anteriores. Fue publicado por el inglés Hawkins en 1909; Es difícil decir si se sabía antes.

Gire el triángulo rectángulo ABC con ángulo recto C 90° para que tome la posición A"CB". Extendamos la hipotenusa A"B" más allá del punto A" hasta que se intersecta con la recta AB en el punto D. El segmento B"D será la altura del triángulo B"AB. Consideremos ahora el cuadrilátero sombreado A"AB"B Se puede descomponer en dos triángulos isósceles CAA" y SVV" (o en dos triángulos A"B"A y A"B"B).

Pitágoras sacrificó 100 toros. Caricaturas Prueba teoremas Pitágoras... hipotenusa igual a la suma cuadrados de patas ( Teorema Pitágoras).Prueba:1. Demostremos que el rectángulo BJLD es igual...

Volviendo a la historia, aunque el teorema de Pitágoras lleva el nombre de Pitágoras, no fue él quien lo descubrió. Porque propiedades especiales rectángulo rectangular Los científicos comenzaron a estudiar mucho antes que él. Sin embargo, hay dos declaraciones. El primero dice que Pitágoras demostró el teorema. En segundo lugar, en consecuencia, no es él. Por el momento, es imposible verificar cuál de estas opiniones es verdadera, pero desafortunadamente, si hubo una prueba de Pitágoras, no ha sobrevivido hasta nuestros días. También existe la opinión de que la prueba de Euclides fue hecha por Pitágoras y Euclides la hizo pública.
Sin duda, en Egipto durante el reinado de los faraones surgieron dudas con el triángulo rectángulo. También participó en la historia de Babilonia. De lo cual podemos concluir que este teorema, ha despertado interés desde la antigüedad. Hasta la fecha, existen 367 pruebas diferentes. Algo de lo que ningún otro teorema puede presumir.

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Veamos la evidencia principal.

1 Prueba del teorema de Pitágoras.

Se cree que esto camino fácil. Utiliza triángulos regulares.

si tomamos un rectángulo isósceles triangulo abc, a partir de la hipotenusa AC podemos construir un cuadrado que contenga 4 triángulos semejantes. Usando los catetos AB y BC se construyen cuadrados que contienen dos triángulos más iguales.

2 Prueba del teorema de Pitágoras.

Combina álgebra y geometría. Dibuja un triángulo rectángulo abc. Y 2 cuadrados equivalen a dos longitudes de catetos a+b. Luego haremos una construcción, como en las Figuras 2, 3. Como resultado, obtenemos dos cuadrados con lados a y b. El segundo cuadrado contiene 4 triángulos, formando así un cuadrado igual a la hipotenusa c. Me pregunto que área total cuadrados en la Fig. 2, 3 son iguales entre sí.
Resumiendo todo en una fórmula obtenemos. a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 4 * 1/2 * a * b. Abriendo los corchetes obtenemos a 2 +b 2 = a 2 +b 2. El área de la Fig. 3 se calcula como S = c 2 o a 2 + b 2 = c 2 .h.t.d.


3 Demostración del teorema de Pitágoras.

Evidencia encontrada en el siglo XII, en la antigua India.

Construyamos 4 triángulos (rectangulares) en un cuadrado. La hipotenusa será el lado c, los catetos del triángulo son a y b. Calculamos el área de cuadrados grandes - S=c 2, y interna
(a-b) 2 2 +4 * 1/2 * a * b. De lo cual concluimos que c 2 = (a-b) 2 2+ 4 * 1/2 * a * b, y por tanto, c 2 = a 2 + b 2.

4 Demostración del teorema de Pitágoras.

Basado en la geometría, se llama Método Garfield. Construyendo un triángulo rectángulo ABC, encontraremos la prueba de que BC2 = AC2 + AB2 Continuamos con el cateto AC, creando una línea recta CD igual al cateto AB. Al conectar la línea recta y el ángulo E perpendicular a AD obtenemos ED. Las líneas directas AC y ED son iguales entre sí.

como prueba de esta acción, también usaremos dos métodos, equiparando estas expresiones.
Encuentra el área del polígono ABED. Como AB=CD, AC=ED, BC=CE, entonces S ABED = 2*1/2 (AB*AC)+ 1/2 BC 2.
Vemos que ABCD es un trapezoide. Esto significa S ABCD = (DE+AB)*1/2AD.
Imaginemos estos métodos juntos y equiparémoslos:
AB*AC+ 1/2 BC 2 = (DE+AB)*1/2(AC+CD).
Simplifiquemos AB*AC +1/2ВС 2 = 1/2(AB+AC) 2.
Abriendo los corchetes obtenemos: AB*AC+1/2ВС 2 =1/2AC+2*1/2(AB*AC)+1/2АВ 2.
Resultado: BC 2 = AC 2 + AB 2. etc.

Estas no son todas las formas de demostrar el teorema de Pitágoras, pero sí las principales.

Vueltas y vueltas

En primer lugar, en aras de la exhaustividad, me gustaría presentar aquí la demostración del teorema de Pitágoras, que, en mi opinión, es la más elegante y obvia. La imagen de arriba muestra dos cuadrados idénticos: izquierda y derecha. En la figura se puede ver que a la izquierda y a la derecha las áreas de las figuras sombreadas son iguales, ya que en cada uno de los cuadrados grandes hay 4 triángulos rectángulos idénticos sombreados. Esto significa que las áreas no sombreadas (blancas) a la izquierda y a la derecha también son iguales. Observamos que en el primer caso el área de la figura no sombreada es igual a , y en el segundo caso el área de la región no sombreada es igual a . De este modo, . ¡El teorema está demostrado!

¿Cómo llamar a estos números? No puedes llamarlos triángulos porque cuatro números no pueden formar un triángulo. ¡Y aquí! Como un rayo caído del cielo

Dado que existen cuádruples de números, significa que debe haber un objeto geométrico con las mismas propiedades reflejadas en estos números.

Ahora solo queda seleccionar algún objeto geométrico para esta propiedad, ¡y todo encajará en su lugar! Por supuesto, la suposición era puramente hipotética y no tenía ningún fundamento que la sustentara. ¡Pero qué pasa si esto es así!

La selección de objetos ha comenzado. Estrellas, polígonos, regulares, irregulares, ángulos rectos, etcétera, etcétera. De nuevo nada encaja. ¿Qué hacer? Y en ese momento Sherlock consigue su segunda ventaja.

¡Necesitamos aumentar el tamaño! Como tres corresponde a un triángulo en un plano, ¡cuatro corresponde a algo tridimensional!

¡Oh, no! ¡Demasiadas opciones otra vez! Y en tres dimensiones hay muchísimos más tipos de cuerpos geométricos. ¡Intenta revisarlos todos! Pero no todo es tan malo. ¡También hay un ángulo recto y otras pistas! ¿Que tenemos? Cuatros egipcios de números (aunque sean egipcios, hay que llamarlos de alguna manera), un ángulo recto (o ángulos) y un cierto objeto tridimensional. ¡La deducción funcionó! Y... creo que los lectores expertos ya se han dado cuenta de que estamos hablando acerca de sobre pirámides en las que en uno de los vértices los tres ángulos son rectos. Incluso puedes llamarlos pirámides rectangulares similar a un triángulo rectángulo.

Nuevo teorema

La imagen muestra una pirámide con la cima al principio. coordenadas rectangulares(la pirámide parece estar de lado). La pirámide está formada por tres vectores mutuamente perpendiculares trazados desde el origen a lo largo ejes de coordenadas. Es decir, cada borde lateral Una pirámide es un triángulo rectángulo con un ángulo recto en el origen. Los extremos de los vectores definen el plano de corte y forman la cara base de la pirámide.

Teorema

Dejalo ser pirámide rectangular, formado por tres vectores mutuamente perpendiculares, en los que las áreas de los lados de los catetos son iguales a - , y el área de la cara de la hipotenusa es - . Entonces

Formulación alternativa: Para una pirámide tetraédrica, en la que en uno de los vértices todos los ángulos planos son rectos, la suma de los cuadrados de las áreas de las caras laterales es igual al cuadrado del área de la base.

Por supuesto, si el teorema de Pitágoras habitual se formula para las longitudes de los lados de los triángulos, entonces nuestro teorema se formula para las áreas de los lados de la pirámide. Demostrar este teorema en tres dimensiones es muy fácil si sabes un poco de álgebra vectorial.

Prueba

Expresemos las áreas en términos de las longitudes de los vectores.

Dónde .

Imaginemos el área como la mitad del área de un paralelogramo construido sobre los vectores y

Como es sabido, producto vectorial dos vectores es un vector cuya longitud es numéricamente igual al área del paralelogramo construido sobre estos vectores.
Es por eso

De este modo,

¡Q.E.D!

Por supuesto, como persona que se dedica profesionalmente a la investigación, esto ya me ha sucedido en mi vida, más de una vez. Pero este momento fue el más brillante y memorable. Experimenté toda la gama de sentimientos, emociones y experiencias de un descubridor. Desde el nacimiento de un pensamiento, la cristalización de una idea, el descubrimiento de evidencia, hasta el completo malentendido e incluso el rechazo que mis ideas encontraron entre mis amigos, conocidos y, como me pareció entonces, el mundo entero. ¡Fue único! Me sentí como si estuviera en el lugar de Galileo, Copérnico, Newton, Schrödinger, Bohr, Einstein y muchos otros descubridores.

Epílogo

En la vida todo resultó mucho más sencillo y prosaico. Llegué tarde... ¡Pero cuánto! ¡Solo 18 años! ¡Bajo una tortura terrible y prolongada, y no es la primera vez, Google me admitió que este teorema fue publicado en 1996!

Artículo publicado por Texas Press Universidad Tecnica. Los autores, matemáticos profesionales, introdujeron terminología (que, por cierto, coincidía en gran medida con la mía) y también demostraron un teorema generalizado que es válido para un espacio de cualquier dimensión mayor que uno. ¿Qué sucede en dimensiones superiores a 3? Todo es muy sencillo: en lugar de caras y áreas habrá hipersuperficies y volúmenes multidimensionales. Y la afirmación, por supuesto, seguirá siendo la misma: la suma de los cuadrados de los volúmenes de las caras laterales es igual al cuadrado del volumen de la base; simplemente el número de caras será mayor y el volumen de cada una. de ellos será igual a la mitad del producto de los vectores generadores. ¡Es casi imposible de imaginar! ¡Sólo se puede, como dicen los filósofos, pensar!

Sorprendentemente, cuando supe que ese teorema ya se conocía, no me molesté en absoluto. En algún lugar de lo más profundo de mi alma sospeché que era muy posible que no fuera el primero y entendí que debía estar siempre preparado para esto. Pero esa experiencia emocional que recibí encendió en mí una chispa de investigador que, estoy seguro, ¡nunca se apagará ahora!

PD

Un lector erudito envió un enlace en los comentarios.
Teorema de De Gois

Extracto de Wikipedia

En 1783 el teorema fue presentado a la Academia de Ciencias de París. matemático francés J.-P. de Gois, pero ya lo conocía René Descartes y antes que él Johann Fulgaber, quien probablemente fue el primero en descubrirlo en 1622. En mas vista general El teorema fue formulado por Charles Tinsault (francés) en un informe a la Academia de Ciencias de París en 1774.

¡Así que no llegué con 18 años de retraso, sino al menos con un par de siglos de retraso!

Fuentes

Los lectores indicaron varios en los comentarios. Enlaces útiles. Aquí os dejo estos y algunos otros enlaces:

Una cosa de la que puedes estar cien por ciento seguro es que cuando se le pregunta cuál es el cuadrado de la hipotenusa, cualquier adulto responderá con audacia: "La suma de los cuadrados de los catetos". Este teorema está firmemente arraigado en la mente de todos. persona educada, pero basta con pedirle a alguien que lo demuestre y pueden surgir dificultades. Así que recordemos y consideremos diferentes caminos demostración del teorema de Pitágoras.

Breve biografía

El teorema de Pitágoras es familiar para casi todo el mundo, pero por alguna razón la biografía de la persona que lo trajo al mundo no es tan popular. Esto se puede arreglar. Por lo tanto, antes de explorar las diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras, es necesario conocer brevemente su personalidad.

Pitágoras: filósofo, matemático, pensador originario de Hoy en día es muy difícil distinguir su biografía de las leyendas que se han desarrollado en memoria de este gran hombre. Pero como se desprende de las obras de sus seguidores, Pitágoras de Samos nació en la isla de Samos. Su padre era un simple picapedrero, pero su madre provenía de una familia noble.

A juzgar por la leyenda, el nacimiento de Pitágoras fue predicho por una mujer llamada Pythia, en cuyo honor recibió su nombre el niño. Según su predicción, se suponía que el niño nacido traería muchos beneficios y beneficios a la humanidad. Que es exactamente lo que hizo.

Nacimiento del teorema

En su juventud, Pitágoras se mudó a Egipto para encontrarse allí con famosos sabios egipcios. Después de reunirse con ellos, se le permitió estudiar, donde aprendió todos los grandes logros de la filosofía, las matemáticas y la medicina egipcias.

Probablemente fue en Egipto donde Pitágoras se inspiró en la majestuosidad y belleza de las pirámides y creó las suyas propias. gran teoría. Esto puede sorprender a los lectores, pero los historiadores modernos creen que Pitágoras no demostró su teoría. Pero sólo transmitió sus conocimientos a sus seguidores, quienes más tarde realizaron todos los cálculos matemáticos necesarios.

Sea como fuere, hoy no se conoce un método para demostrar este teorema, sino varios a la vez. Hoy en día sólo podemos adivinar cómo exactamente realizaban sus cálculos los antiguos griegos, por lo que aquí veremos diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Antes de comenzar cualquier cálculo, debes determinar qué teoría quieres probar. El teorema de Pitágoras dice así: "En un triángulo en el que uno de los ángulos mide 90°, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".

Hay un total de 15 formas diferentes de demostrar el teorema de Pitágoras. Esto es suficiente Número grande, así que prestemos atención a los más populares.

Método uno

Primero, definamos lo que se nos ha dado. Estos datos también se aplicarán a otros métodos para demostrar el teorema de Pitágoras, por lo que vale la pena recordar inmediatamente todas las notaciones disponibles.

Supongamos que nos dan un triángulo rectángulo con catetos a, by una hipotenusa igual a c. El primer método de prueba se basa en el hecho de que es necesario dibujar un cuadrado a partir de un triángulo rectángulo.

Para hacer esto, debe agregar un segmento igual al cateto b al cateto de longitud a, y viceversa. Esto debería resultar en dos lados iguales del cuadrado. Solo queda dibujar dos líneas paralelas y el cuadrado estará listo.

Dentro de la figura resultante, debes dibujar otro cuadrado con un lado igual a la hipotenusa del triángulo original. Para hacer esto, desde los vértices ас y св necesitas dibujar dos paralelo al segmento igual a Así, obtenemos tres lados del cuadrado, uno de los cuales es la hipotenusa del triángulo rectángulo original. Ya sólo queda dibujar el cuarto segmento.

Con base en la figura resultante, podemos concluir que el área del cuadrado exterior es (a + b) 2. Si miras dentro de la figura, puedes ver que además del cuadrado interior, hay cuatro triángulos rectángulos. El área de cada uno es 0.5av.

Por lo tanto, el área es igual a: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

Por tanto (a + b) 2 = 2ab + c 2

Y, por tanto, c 2 =a 2 +b 2

El teorema ha sido demostrado.

Método dos: triángulos semejantes

Esta fórmula para demostrar el teorema de Pitágoras se derivó de una declaración de la sección de geometría sobre triangulos semejantes. Afirma que el cateto de un triángulo rectángulo es el promedio proporcional a su hipotenusa y al segmento de hipotenusa que emana del vértice del ángulo de 90°.

Los datos iniciales siguen siendo los mismos, así que comencemos ahora mismo con la demostración. llevemos a cabo perpendicular al lado CD del segmento AB. Según la afirmación anterior, los lados de los triángulos son iguales:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Para responder a la pregunta de cómo probar el teorema de Pitágoras, la demostración debe completarse elevando ambas desigualdades al cuadrado.

AC 2 = AB * AD y CB 2 = AB * DV

Ahora necesitamos sumar las desigualdades resultantes.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), donde AD + DV = AB

Resulta que:

CA 2 + CB 2 =AB*AB

Y por lo tanto:

CA 2 + CB 2 = AB 2

Prueba del teorema de Pitágoras y varias maneras sus soluciones requieren un enfoque multifacético a este problema. Sin embargo, esta opción es una de las más sencillas.

Otro método de cálculo

Es posible que las descripciones de diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras no signifiquen nada hasta que empieces a practicarlo tú mismo. Muchos métodos implican no sólo calculos matematicos, sino también la construcción de nuevas figuras a partir del triángulo original.

EN en este caso Es necesario completar otro triángulo rectángulo VSD desde el lado BC. Por tanto, ahora hay dos triángulos con un cateto común BC.

sabiendo que la zona cifras similares tienen una razón como los cuadrados de sus dimensiones lineales similares, entonces:

S avs * c 2 - S avd * en 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(de 2 - a 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

de 2 - a 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Dado que entre los diversos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras para el grado 8, esta opción no es adecuada, puede utilizar el siguiente método.

La forma más sencilla de demostrar el teorema de Pitágoras. Reseñas

Según los historiadores, este método se utilizó por primera vez para demostrar el teorema en antigua Grecia. Es el más sencillo, ya que no requiere absolutamente ningún cálculo. Si dibujas el dibujo correctamente, entonces la prueba de la afirmación de que a 2 + b 2 = c 2 será claramente visible.

Condiciones para este método será ligeramente diferente al anterior. Para demostrar el teorema, supongamos que el triángulo rectángulo ABC es isósceles.

Tomamos la hipotenusa AC como lado del cuadrado y dibujamos sus tres lados. Además, en el cuadrado resultante es necesario dibujar dos líneas diagonales. De modo que en su interior queden cuatro triángulos isósceles.

También necesitas dibujar un cuadrado en los catetos AB y CB y dibujar una línea recta diagonal en cada uno de ellos. Dibujamos la primera línea desde el vértice A, la segunda desde C.

Ahora debes mirar cuidadosamente el dibujo resultante. Dado que en la hipotenusa AC hay cuatro triángulos iguales al original, y en los lados dos, esto indica la veracidad de este teorema.

Por cierto, gracias a este método de demostrar el teorema de Pitágoras, el frase famosa: « pantalones pitagóricos iguales en todas direcciones."

La prueba de J. Garfield

James Garfield es el vigésimo presidente de los Estados Unidos de América. Además de dejar su huella en la historia como gobernante de los Estados Unidos, también fue un talentoso autodidacta.

Al inicio de su carrera fue profesor titular en escuela publica, pero pronto se convirtió en director de uno de los más altos Instituciones educacionales. El deseo de autodesarrollo le permitió ofrecer nueva teoría demostración del teorema de Pitágoras. El teorema y un ejemplo de su solución son los siguientes.

Primero debes dibujar dos triángulos rectángulos en una hoja de papel para que el cateto de uno de ellos sea una continuación del segundo. Los vértices de estos triángulos deben estar conectados para finalmente formar un trapezoide.

Como sabes, el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases por su altura.

S=a+b/2 * (a+b)

Si consideramos el trapezoide resultante como una figura que consta de tres triángulos, entonces su área se puede encontrar de la siguiente manera:

S=media/2 *2 + s 2 /2

Ahora necesitamos igualar las dos expresiones originales.

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

Se podría escribir más de un volumen sobre el teorema de Pitágoras y los métodos para demostrarlo. ayuda para enseñar. ¿Pero tiene algún sentido cuando este conocimiento no se puede aplicar en la práctica?

Aplicación práctica del teorema de Pitágoras

Desafortunadamente, en la actualidad programas escolares Este teorema está destinado a ser utilizado sólo en problemas geométricos. Los graduados pronto dejarán la escuela sin saber cómo pueden aplicar sus conocimientos y habilidades en la práctica.

De hecho, utiliza el teorema de Pitágoras en tu La vida cotidiana todos pueden. Y no sólo en actividad profesional, pero también en las tareas domésticas habituales. Consideremos varios casos en los que el teorema de Pitágoras y los métodos para demostrarlo pueden ser extremadamente necesarios.

Relación entre el teorema y la astronomía.

Parecería cómo se pueden conectar estrellas y triángulos en papel. De hecho, la astronomía es campo científico, que hace un uso extensivo del teorema de Pitágoras.

Consideremos, por ejemplo, el movimiento Haz de luz en el espacio. Se sabe que la luz se mueve en ambas direcciones a la misma velocidad. Llamemos AB a la trayectoria por la que se mueve el rayo de luz. yo. Y llamemos a la mitad del tiempo que tarda la luz en llegar del punto A al punto B. t. Y la velocidad del rayo - C. Resulta que: c*t=l

Si miras este mismo rayo desde otro plano, por ejemplo, desde un transatlántico que se mueve con velocidad v, al observar los cuerpos de esta manera, su velocidad cambiará. En este caso, incluso los elementos estacionarios comenzarán a moverse con velocidad v en la dirección opuesta.

Digamos que el cómic navega hacia la derecha. Luego, los puntos A y B, entre los cuales se precipita el rayo, comenzarán a moverse hacia la izquierda. Además, cuando el rayo se mueve del punto A al punto B, el punto A tiene tiempo de moverse y, en consecuencia, la luz ya llegará a nuevo punto C. Para encontrar la mitad de la distancia que se ha movido el punto A, es necesario multiplicar la velocidad del revestimiento por la mitad del tiempo de viaje del haz (t").

Y para saber qué tan lejos podría viajar un rayo de luz durante este tiempo, es necesario marcar la mitad del camino con una nueva letra s y obtener la siguiente expresión:

Si imaginamos que los puntos luminosos C y B, así como el revestimiento espacial, son los vértices de un triángulo isósceles, entonces el segmento desde el punto A hasta el revestimiento lo dividirá en dos triángulos rectángulos. Por tanto, gracias al teorema de Pitágoras se puede encontrar la distancia que podría recorrer un rayo de luz.

Este ejemplo, por supuesto, no es el más exitoso, ya que sólo unos pocos pueden tener la suerte de probarlo en la práctica. Por lo tanto, consideremos aplicaciones más mundanas de este teorema.

Rango de transmisión de señal móvil

Ya no se puede imaginar la vida moderna sin la existencia de los teléfonos inteligentes. ¿Pero serían de mucha utilidad si no pudieran conectar a los suscriptores a través de comunicaciones móviles?!

La calidad de las comunicaciones móviles depende directamente de la altura a la que se encuentra la antena del operador de telefonía móvil. Para calcular a qué distancia de una torre de telefonía móvil puede recibir señal un teléfono, se puede aplicar el teorema de Pitágoras.

Digamos que necesita encontrar la altura aproximada de una torre estacionaria para que pueda distribuir una señal en un radio de 200 kilómetros.

AB (altura de la torre) = x;

BC (radio de transmisión de señal) = 200 km;

SO (radio globo) = 6380 kilómetros;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplicando el teorema de Pitágoras encontramos que altura minima la torre debería tener 2,3 kilómetros de largo.

Teorema de Pitágoras en la vida cotidiana

Curiosamente, el teorema de Pitágoras puede resultar útil incluso en asuntos cotidianos, como, por ejemplo, para determinar la altura de un armario. A primera vista, no es necesario utilizar tales cálculos complejos, porque puedes tomar medidas simplemente con una cinta métrica. Pero mucha gente se pregunta por qué surgen ciertos problemas durante el proceso de montaje si todas las medidas se tomaron con mayor precisión.

El caso es que el armario está montado en posicion horizontal y sólo entonces se levanta y se instala contra la pared. Por lo tanto, durante el proceso de elevación de la estructura, el lateral del gabinete debe moverse libremente tanto a lo largo de la altura como en diagonal de la habitación.

Supongamos que hay un armario con una profundidad de 800 mm. Distancia del suelo al techo - 2600 mm. Un fabricante de muebles experimentado dirá que la altura del mueble debe ser 126 mm menor que la altura de la habitación. ¿Pero por qué exactamente 126 mm? Veamos un ejemplo.

Con dimensiones de gabinete ideales, verifiquemos el funcionamiento del teorema de Pitágoras:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - todo encaja.

Digamos que la altura del gabinete no es de 2474 mm, sino de 2505 mm. Entonces:

CA=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Por lo tanto, este gabinete no es adecuado para su instalación en esta habitación. Porque levantarlo a una posición vertical puede causar daños a su cuerpo.

Quizás, habiendo considerado diferentes métodos de prueba del teorema de Pitágoras por parte de diferentes científicos, podamos concluir que esto es más que cierto. Ahora puede utilizar la información recibida en su vida diaria y estar completamente seguro de que todos los cálculos no solo serán útiles, sino también correctos.