Ejemplo de cómo encontrar la función de correlación de un proceso aleatorio. Función de correlación de un proceso estacionario.

Vemos formas circulares y círculos por todas partes: esta es la rueda de un automóvil, la línea del horizonte y el disco de la Luna. Los matemáticos comenzaron a estudiar figuras geométricas (un círculo en un plano) hace mucho tiempo.

Un círculo con centro y radio es un conjunto de puntos en un plano ubicados a una distancia no mayor que . Un círculo está delimitado por un círculo que consta de puntos ubicados exactamente a una distancia del centro. Los segmentos que conectan el centro con los puntos del círculo tienen una longitud y también se llaman radios (de un círculo, círculo). Las partes de un círculo en las que se divide por dos radios se llaman sectores circulares(Figura 1). Una cuerda, un segmento que conecta dos puntos de un círculo, divide el círculo en dos segmentos y el círculo en dos arcos (Fig. 2). Una perpendicular trazada desde el centro hasta la cuerda la divide por la mitad y los arcos subtendidos por ella. La cuerda es más larga cuanto más cerca está del centro; las cuerdas más largas, las cuerdas que pasan por el centro, se llaman diámetros (de un círculo, círculo).

Si una línea recta se aleja del centro de un círculo a una distancia , entonces en no se cruza con el círculo, en se cruza con el círculo a lo largo de una cuerda y se llama secante, en tiene un solo punto común con el círculo y el circunferencia y se llama tangente. Una tangente se caracteriza por ser perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia. Se pueden trazar dos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior a ella, y sus segmentos desde un punto dado hasta los puntos de tangencia son iguales.

Los arcos de un círculo, al igual que los ángulos, se pueden medir en grados y fracciones. Parte de todo el círculo se toma como grado. El ángulo central (Fig. 3) se mide en el mismo número de grados que el arco sobre el que descansa; un ángulo inscrito se mide por medio arco. Si el vértice de un ángulo se encuentra dentro del círculo, entonces este ángulo en grados es igual a la mitad de la suma de los arcos y (Fig. 4, a). Un ángulo con un vértice fuera del círculo (Fig. 4,b), cortando arcos y en el círculo, se mide por la media diferencia de arcos y. Finalmente, el ángulo entre la tangente y la cuerda. igual a la mitad el arco de un círculo encerrado entre ellos (Fig. 4,c).

El círculo y la circunferencia tienen conjunto infinito ejes de simetría.

De los teoremas sobre la medida de ángulos y la semejanza de triángulos se siguen dos teoremas sobre segmentos proporcionales en un círculo. El teorema de las cuerdas dice que si un punto se encuentra dentro de un círculo, entonces el producto de las longitudes de los segmentos de cuerda que lo atraviesan es constante. En la figura. 5,a. El teorema sobre la secante y la tangente (es decir, las longitudes de los segmentos de partes de estas rectas) establece que si un punto se encuentra fuera del círculo, entonces el producto de la secante y su parte externa tampoco cambia y es igual al cuadrado de la tangente ( Figura 5,b).

Incluso en la antigüedad, intentaron resolver problemas relacionados con el círculo: medir la longitud de un círculo o su arco, el área de un círculo o sector, segmento. El primero de ellos tiene una solución puramente "práctica": puedes tender un hilo a lo largo de un círculo, luego desenrollarlo y aplicarlo a una regla, o marcar un punto en el círculo y "enrollarlo" a lo largo de la regla (puedes , por el contrario, “hacer rodar” un círculo con una regla). De una forma u otra, las mediciones mostraron que la relación entre la circunferencia y su diámetro es la misma para todos los círculos. Esta relación suele denotarse letra griega(“pi” es la letra inicial palabra griega perimetron, que significa “círculo”).

Sin embargo, los antiguos matemáticos griegos no estaban satisfechos con un enfoque tan empírico y experimental para determinar la circunferencia de un círculo: un círculo es una línea, es decir, según Euclides, “largo sin ancho”, y tales hilos no existen. Si hacemos rodar un círculo a lo largo de una regla, surge la pregunta: ¿por qué obtenemos la circunferencia y no algún otro valor? Además, este enfoque no nos permitió determinar el área del círculo.

La solución se encontró de la siguiente manera: si consideramos los -gónos regulares inscritos en un círculo, entonces como , tendiendo al infinito, en el límite tienden a . Por tanto, es natural introducir las siguientes definiciones, ya estrictas: la longitud de un círculo es el límite de la secuencia de perímetros de triángulos regulares inscritos en un círculo, y el área de un círculo es el límite de la secuencia de sus áreas. Este enfoque también es aceptado en las matemáticas modernas, y en relación no sólo con el círculo y el círculo, sino también con otras áreas curvas o áreas limitadas por contornos curvilíneos: en lugar de polígonos regulares, se utilizan secuencias de líneas discontinuas con vértices en curvas o contornos de áreas. se consideran, y el límite se toma cuando la longitud tiende a cero en los eslabones más grandes de la línea discontinua.

La longitud del arco de un círculo se determina de manera similar: el arco se divide en partes iguales, los puntos de división se conectan mediante una línea discontinua y se da la longitud del arco. igual al límite los perímetros de líneas discontinuas como , tendiendo al infinito. (Al igual que los antiguos griegos, no aclaramos el concepto de límite en sí; ya no se refiere a la geometría y no se introdujo de manera bastante estricta hasta el siglo XIX).

De la definición del número en sí, se desprende la fórmula para la circunferencia:

Para la longitud de un arco podemos escribir una fórmula similar: como para dos arcos y con un ángulo central común, las consideraciones de semejanza implican la proporción, y de ella la proporción, después de pasar al límite obtenemos la independencia (de la radio del arco) de la relación . Esta relación está determinada únicamente por el ángulo central y se denomina medida en radianes de este ángulo y de todos los arcos correspondientes con centro en. Esto da la fórmula para la longitud del arco:

¿Dónde está la medida en radianes del arco?

Las fórmulas escritas para y son simplemente definiciones o notaciones reescritas, pero con su ayuda obtenemos fórmulas para las áreas de un círculo y un sector que están lejos de ser solo notaciones:

Para derivar la primera fórmula, basta con ir al límite en la fórmula del área de un triángulo regular inscrito en un círculo:

Por definición lado izquierdo tiende al área del círculo, y el de la derecha tiende al número

y , bases de sus medianas y , puntos medios y segmentos de recta desde el punto de intersección de sus alturas hasta sus vértices.

Este círculo, encontrado en el siglo XVIII. por el gran científico L. Euler (razón por la cual a menudo también se le llama círculo de Euler), fue redescubierto en el siglo siguiente por un profesor de un gimnasio provincial en Alemania. El nombre de este maestro era Karl Feuerbach (era hermano de filósofo famoso Ludwig Feuerbach). Además, K. Feuerbach descubrió que un círculo de nueve puntos tiene cuatro puntos más que están estrechamente relacionados con la geometría de cualquier triángulo dado. Estos son los puntos de contacto con los cuatro círculos. tipo especial(Figura 2). Uno de estos círculos está inscrito, los otros tres son excírculos. Están inscritos en las esquinas del triángulo y tocan. externamente sus lados. Los puntos de contacto de estos círculos con un círculo de nueve puntos se llaman puntos de Feuerbach. Así, el círculo de nueve puntos es en realidad el círculo de trece puntos.

Este círculo es muy fácil de construir si conoces sus dos propiedades. En primer lugar, el centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el medio del segmento que conecta el centro del círculo circunscrito al triángulo con un punto: su ortocentro (el punto de intersección de sus altitudes). En segundo lugar, su radio para un triángulo dado es igual a la mitad del radio del círculo circunscrito a su alrededor.

Círculo es una línea plana cerrada, cuyos puntos están a la misma distancia de un cierto punto (punto O), que se llama centro del círculo.
(Circunferencia - figura geométrica, que consta de todos los puntos ubicados a una distancia determinada de un punto determinado.)

Círculo es una parte del plano limitada por un círculo. El punto O también se llama centro del círculo.

La distancia desde un punto de un círculo hasta su centro, así como el segmento que conecta el centro del círculo con su punto, se llama radio. círculo/círculo.
Vea cómo se utilizan el círculo y la circunferencia en nuestra vida, arte y diseño.

Acorde - Griego - una cuerda que une algo
Diámetro - "medición a través de"

FORMA REDONDA

Los ángulos pueden aparecer en cantidades cada vez mayores y, en consecuencia, adquirir un giro cada vez mayor, hasta que desaparecen por completo y el plano se convierte en un círculo.Es muy simple y al mismo tiempo muy caso dificil, del que me gustaría hablar en detalle. Cabe señalar aquí que tanto la simplicidad como la complejidad se deben a la ausencia de ángulos. El círculo es simple porque la presión de sus límites, en comparación con las formas rectangulares, está nivelada; las diferencias aquí no son tan grandes. Es complejo porque la parte superior fluye imperceptiblemente hacia la izquierda y la derecha, y la izquierda y la derecha hacia abajo.

V. Kandinsky

EN Grecia antigua el círculo y la circunferencia eran considerados la corona de la perfección. De hecho, en cada punto el círculo está dispuesto de la misma manera, lo que le permite moverse por sí solo. Esta propiedad del círculo hizo posible ocurrencia ruedas, ya que el eje y el cubo de la rueda deben estar en contacto en todo momento.

Se estudia mucho en la escuela. propiedades útiles círculos. Uno de los teoremas más bellos es el siguiente: dibujemos punto dado la línea recta que se cruza círculo dado, entonces el producto de las distancias desde este punto hasta Los puntos de intersección de un círculo con una línea recta no dependen exactamente de cómo se dibujó la línea recta. Este teorema tiene unos dos mil años.

En la figura. La Figura 2 muestra dos círculos y una cadena de círculos, cada uno de los cuales toca estos dos círculos y dos vecinos en la cadena. El geómetra suizo Jacob Steiner lo demostró hace unos 150 años. próxima declaración: si para alguna elección del tercer círculo la cadena está cerrada, entonces estará cerrada para cualquier otra elección del tercer círculo. De ello se deduce que si la cadena no se cierra una vez, tampoco se cerrará para ninguna elección del tercer círculo. Al artista que pintócadena representada, habría que trabajar duro para hacerla funcionar, o recurrir a un matemático para calcular la ubicación de los dos primeros círculos, en los que se cierra la cadena.

Primero mencionamos la rueda, pero incluso antes de la rueda, la gente usaba troncos redondos.- rodillos para el transporte de cargas pesadas.

¿Es posible utilizar rodillos de alguna otra forma que no sea redonda? AlemánEl ingeniero Franz Relo descubrió que los rodillos, cuya forma se muestra en la figura, tienen la misma propiedad. 3. Esta figura se obtiene dibujando arcos de circunferencia con centro en los vértices. triangulo equilatero conectando otros dos vértices. Si trazamos dos tangentes paralelas a esta figura, entonces la distancia entreSerán iguales a la longitud del lado del triángulo equilátero original, por lo que estos rodillos no son peores que los redondos. Posteriormente se inventaron otras figuras que podían servir como rodillos.

Enz. "Exploro el mundo. Matemáticas", 2006

Cada triángulo tiene, y además, sólo uno, círculo de nueve puntos. Esteun círculo que pasa por los siguientes tres tripletes de puntos, cuyas posiciones están determinadas para el triángulo: las bases de sus altitudes D1 D2 y D3, las bases de sus medianas D4, D5 y D6los puntos medios de D7, D8 y D9 de segmentos rectos desde el punto de intersección de sus alturas H hasta sus vértices.

Este círculo, encontrado en el siglo XVIII. por el gran científico L. Euler (razón por la cual a menudo también se le llama círculo de Euler), fue redescubierto en el siglo siguiente por un profesor de un gimnasio provincial en Alemania. El nombre de este maestro era Karl Feuerbach (era hermano del famoso filósofo Ludwig Feuerbach).Además, K. Feuerbach descubrió que un círculo de nueve puntos tiene cuatro puntos más que están estrechamente relacionados con la geometría de cualquier triángulo dado. Estos son los puntos de su contacto con cuatro círculos de un tipo especial. Uno de estos círculos está inscrito, los otros tres son excírculos. Están inscritos en las esquinas del triángulo y tocan externamente sus lados. Los puntos de contacto de estos círculos con el círculo de nueve puntos D10, D11, D12 y D13 se denominan puntos de Feuerbach. Así, el círculo de nueve puntos es en realidad el círculo de trece puntos.

Este círculo es muy fácil de construir si conoces sus dos propiedades. En primer lugar, el centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el medio del segmento que conecta el centro del círculo circunscrito del triángulo con el punto H, su ortocentro (el punto de intersección de sus altitudes). En segundo lugar, su radio para un triángulo dado es igual a la mitad del radio del círculo circunscrito a su alrededor.

Enz. libro de referencia para jóvenes matemáticos, 1989

Círculo- una figura geométrica que consta de todos los puntos del plano ubicados a una distancia determinada de un punto determinado.

Este punto (O) se llama centro del circulo.
Radio del círculo- este es un segmento que conecta el centro con cualquier punto del círculo. Todos los radios tienen la misma longitud (por definición).
Acorde- un segmento que conecta dos puntos de una circunferencia. Una cuerda que pasa por el centro de una circunferencia se llama diámetro. El centro de un círculo es el punto medio de cualquier diámetro.
Dos puntos cualesquiera en un círculo lo dividen en dos partes. Cada una de estas partes se llama arco de círculo. El arco se llama semicírculo, si el segmento que conecta sus extremos es un diámetro.
La longitud de un semicírculo unitario se denota por π .
La suma de las medidas en grados de dos arcos de círculo con extremos comunes es igual a 360º.
La parte del plano delimitada por una circunferencia se llama por todas partes.
sectores circulares- una parte de un círculo delimitada por un arco y dos radios que conectan los extremos del arco con el centro del círculo. El arco que limita el sector se llama arco del sector.
Dos círculos que tienen centro general, se llaman concéntrico.
Dos círculos que se cortan formando ángulos rectos se llaman ortogonal.

La posición relativa de una línea recta y un círculo.

1. Si la distancia desde el centro del círculo a la línea recta menor que el radio círculo ( d), entonces una línea recta y un círculo tienen dos puntos comunes. En este caso la línea se llama secante en relación al círculo.
2. Si la distancia desde el centro del círculo a la línea recta es igual al radio del círculo, entonces la línea recta y el círculo tienen solo un punto común. Esta línea se llama tangente a la circunferencia, y su punto común se llama punto de tangencia entre una recta y un círculo.
3. Si la distancia desde el centro del círculo a la línea recta mayor que el radio círculos, luego una línea recta y un círculo no tienen puntos en común
.

Ángulos centrales e inscritos

ángulo central es un ángulo con su vértice en el centro del círculo.
ángulo inscrito- un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan el círculo.

Teorema del ángulo inscrito

Un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco en el que se subtiende.

• Corolario 1.
  Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales.


• Corolario 2.
  Un ángulo inscrito subtendido por un semicírculo es un ángulo recto.

Teorema sobre el producto de segmentos de cuerdas que se cruzan.

Si dos cuerdas de un círculo se cruzan, entonces el producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra cuerda.

Fórmulas básicas

• Circunferencia:

• Longitud del arco circular:

• Diámetro:

• Longitud del arco circular:

• Área del círculo:

• Área del sector circular:

Ecuación de un círculo

• EN sistema rectangular ecuación de coordenadas de un radio circular r centrado en un punto do(x o;y o) tiene la forma:

• La ecuación de una circunferencia de radio r con centro en el origen tiene la forma:

Primero, comprendamos la diferencia entre un círculo y un círculo. Para ver esta diferencia basta considerar cuáles son ambas cifras. Estos son un número infinito de puntos en el plano ubicado en igual distancia desde un único punto central. Pero si el círculo consta de espacio interno, entonces no pertenece al círculo. Resulta que un círculo es a la vez un círculo que lo limita (círculo(r)) y un número innumerable de puntos que se encuentran dentro del círculo.

Para cualquier punto L que se encuentre en el círculo, se aplica la igualdad OL=R. (La longitud del segmento OL es igual al radio del círculo).

Un segmento que une dos puntos de una circunferencia es su acorde.

Una cuerda que pasa directamente por el centro de una circunferencia es diámetro este círculo (D). El diámetro se puede calcular mediante la fórmula: D=2R

Circunferencia calculado por la fórmula: C=2\pi R

Área de un círculo: S=\piR^(2)

Arco de círculo Se llama aquella parte de ella que se sitúa entre sus dos puntos. Estos dos puntos definen dos arcos de círculo. El acorde CD subtiende dos arcos: CMD y CLD. Cuerdas idénticas subtienden arcos iguales.

ángulo central Se llama al ángulo que se encuentra entre dos radios.

Longitud del arco se puede encontrar usando la fórmula:

1. Usando medida de grado: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Usando medida en radianes: CD = \alpha R

El diámetro, que es perpendicular a la cuerda, divide por la mitad la cuerda y los arcos que ésta contrae.

Si las cuerdas AB y CD de un círculo se cortan en el punto N, entonces los productos de los segmentos de cuerdas separados por el punto N son iguales entre sí.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangente a una circunferencia

Tangente a una circunferencia Se acostumbra llamar círculo a una línea recta que tiene un punto común.

Si una recta tiene dos puntos comunes se llama secante.

Si dibujas el radio al punto tangente, será perpendicular a la tangente al círculo.

Dibujemos dos tangentes desde este punto a nuestro círculo. Resulta que los segmentos tangentes serán iguales entre sí y el centro del círculo estará ubicado en la bisectriz del ángulo con el vértice en este punto.

CA = CB

Ahora dibujemos una tangente y una secante a la circunferencia desde nuestro punto. Encontramos que el cuadrado de la longitud del segmento tangente será igual al producto todo el segmento secante a su parte exterior.

AC^(2) = CD \cdot BC

Podemos concluir: el producto de un segmento entero de la primera secante y su parte externa es igual al producto de un segmento entero de la segunda secante y su parte externa.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Ángulos en un círculo

Medidas de grado ángulo central y el arco sobre el que descansa son iguales.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas.

Puedes calcularlo conociendo el tamaño del arco, ya que es igual a la mitad de este arco.

\ángulo AOB = 2 \ángulo ADB

Basado en un diámetro, ángulo inscrito, ángulo recto.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son idénticos.

Los ángulos inscritos que descansan sobre una cuerda son idénticos o su suma es igual a 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\ángulo ADB = \ángulo AEB = \ángulo AFB

En una misma circunferencia están los vértices de triángulos con ángulos idénticos y una base determinada.

Un ángulo con vértice dentro de una circunferencia y situado entre dos cuerdas es idéntico a la mitad de la suma valores angulares Arcos de círculo que están contenidos dentro de un ángulo vertical dado.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un ángulo con vértice fuera del círculo y situado entre dos secantes es idéntico a la mitad de la diferencia de los valores angulares de los arcos del círculo que están contenidos dentro del ángulo.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

círculo inscrito

círculo inscrito es un círculo tangente a los lados de un polígono.

En el punto donde se cruzan las bisectrices de las esquinas de un polígono, se ubica su centro.

No se puede inscribir un círculo en cada polígono.

El área de un polígono con un círculo inscrito se encuentra mediante la fórmula:

S = pr,

p es el semiperímetro del polígono,

r es el radio del círculo inscrito.

Se deduce que el radio del círculo inscrito es igual a:

r = \frac(S)(p)

Sumas de longitudes lados opuestos será idéntico si el círculo está inscrito en un cuadrilátero convexo. Y viceversa: un círculo cabe en un cuadrilátero convexo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos son idénticas.

AB + DC = ANUNCIO + BC

Es posible inscribir un círculo en cualquiera de los triángulos. Sólo uno. En el punto donde se cruzan las bisectrices esquinas internas figura, estará el centro de este círculo inscrito.

El radio del círculo inscrito se calcula mediante la fórmula:

r = \frac(S)(p) ,

donde p = \frac(a + b + c)(2)

círculo circunstante

Si un círculo pasa por cada vértice de un polígono, dicho círculo generalmente se llama descrito sobre un polígono.

En el punto de intersección de las mediatrices de los lados de esta figura estará el centro del círculo circunscrito.

El radio se puede encontrar calculándolo como el radio del círculo que está circunscrito al triángulo definido por 3 vértices cualesquiera del polígono.

Comer siguiente condición: un círculo se puede describir alrededor de un cuadrilátero solo si su suma esquinas opuestas es igual a 180^( \circ) .

\ángulo A + \ángulo C = \ángulo B + \ángulo D = 180^ (\circ)

Alrededor de cualquier triángulo se puede describir un círculo, y sólo uno. El centro de dicho círculo estará ubicado en el punto donde se cruzan. bisectrices perpendiculares lados del triángulo.

El radio del círculo circunscrito se puede calcular mediante las fórmulas:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo,

S es el área del triángulo.

teorema de ptolomeo

Finalmente, considere el teorema de Ptolomeo.

El teorema de Ptolomeo establece que el producto de las diagonales es idéntico a la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD